Ppt

1. Cours de Mécanique
Quantique
Chapitre 1 : Origine de la Mécanique Quantique
Chapitre 2 : Effet photoélectrique, effet Compton et
nature corpusculaire et ondulatoire de la lumière
Chapitre 3 : Formalisme Mathématique de la Mécanique
Quantique
Chapitre 4 : Postulats de la Mécanique Quantique
Filière : Sciences de la Matière Physique (SMP)

2. Chapitre 1 :
Origine de la Mécanique
Quantique

3. A- Radiation du corps noir :
 Soit une enceinte maintenue à une température uniforme T. Les parois
internes de cette enceinte émettent et absorbent du rayonnement thermique
c’est à dire électromagnétique.
 L’étude de la radiation du corps noir est à l ’origine de développement
de la mécanique quantique
1- Corps noir :
enceinte

4.  Il finit par s’établir dans l’enceinte (ou le corps noir) un état
stationnaire d’équilibre dans lequel les échanges d’énergie entre la
matière et la radiation se compensent.
 Ce rayonnement est caractérisé par une fonction U appelée densité
d’énergie (par unité de volume) et son expression est donnée par:
 Si on pratique un trou à travers la paroi de l’enceinte, on peut observer
le rayonnement qui s’en échappe.

8
H
E
U
2
2


Où
E : est le champ électrique
H : est le champ magnétique

5.  À travers différents filtres on peut déterminer U, la partie de la densité
d’énergie U dont la fréquence est comprise entre  et +d de telle sorte que:
 La fonction U s’appelle: la densité spectrale du rayonnement



0
U
U 
 d
 La physique théorique devait être en mesure de déterminer cette fonction U.
Autrement, prévoir la composition spectrale du rayonnement correspondant à
une température donnée. Ce problème fut d’abord abordé en utilisant seulement
les principes et les méthodes de la thermodynamique.

6. 3- Loi de STEFAN - BOLTZMANN :
 Une première loi fut découverte expérimentalement par STEFAN et
démontrée par BOLTZMANN selon laquelle la densité d’énergie U (contenue
par unité de volume dans l ’enceinte en équilibre thermique) est proportionnelle
à la quatrième puissance de la température absolue:
U=T4
 Gustav Robert Kirchhoff a montré que la densité spectrale du
rayonnement U ne dépendait que de la température de l’enceinte et
aucunement de sa forme, de ses dimensions et de la nature de ses parois :
U= U(T)
2- Loi KIRCHHOFF :

7. La fonction f ne peut pas être déterminée avec les seules ressources de
la thermodynamique.
Il faut introduire des hypothèses sur la façon dont la nature émet et
absorbe le rayonnement.
: Problème
 : Solution
 Ensuite, WIEN a développé un raisonnement qui montra que la densité
spectrale d’énergie U devait être une fonction possédant l’expression
suivante:
U= 3 f(/T)
4- Loi de WIEN :

8. 5- La formule de RAYLEIGH – JEANS :
 On savait à la fin de 19ème siècle qu’un fragment de matière était constitué
par d’inombrables particules chargées élctriquement et animées d’oscillations
rythmiques. Il est donc commode de considérer que les parois de l’enceinte
sont faites d’une matière constituée d’oscillateurs électroniques linéaires, c’est
à dire d’électrons susceptibles d’osciller autour d’une position d’équilibre.
Or chacun de ces oscillateurs est soumis à deux types d’intéractions:
D’une part chaque oscillateur interagit mécaniquement et cela par des
chocs avec les particules et les oscillateurs qui l’entourent. Un
raisonnement de thermodynamique classique établit que si la
température absolue du milieu est T, l’énergie moyenne <E(T)> de
chacun de ces oscillateurs s’écrit simplement:

<E(T)>= kT
k est la constante de Boltzmann, k= 1,3810-23[J.K-1]

9. D’autre part chaque oscillateur interagit avec le rayonnement
électromagnétique ambiant, c’est ainsi que les calculs d’électromagnétisme
nous indiquent que dans un champ de rayonnement de densité spectrale U,
un oscillateur linéaire de fréquence , de charge e et de masse m, absorbe
dans le temps dt l’énergie :

dt
m
3
e
dW
2
a 

U

Tandis que, s’il possède lui-même l’énergie d’oscillation <E(T)>, il émet
dans cette même intervalle de temps dt l’énergie :
dt
mc
3
e
8
E(T)
dW 3
2
2
2
e





10. À l’équilibre thermique, ces deux énergies absorbée et émise sont
égales en moyenne, on aura:
dWa = dWe
D’où


 E(T)
c
8
U 3
2


Si on remplace maintenant l’énergie moyenne de l’oscillateur par son
expression, on obtient:
T
c
k
8
U 2
3


 
Cette dernière expression de U est la formule de RAYLEIGH-
JEANS qui est bien compatible avec la loi de WIEN

11. 6- La catastrophe ultra-violette:
 La formule de RAYLEIGH – JEANS est certainement inexacte. En effet,
elle est d’abord en contradiction flagrante avec les faits expérimentaux les plus
nets. Pour des fréquences croissantes, ou des longueurs d’onde =c/
décroissantes, c’est-à-dire en allant vers l’ultra-violet, la densité d’énergie
U(T) croitrait indéfiniment à température donnée (voir courbe théorique).
Tandis que la courbe expérimentale indique l’existence d’un maximum dont
la position ne dépend que de la température. L’ensemble de la courbe ayant la
forme d’une courbe en ´´cloche``.

m
Courbe théorique
Courbe
expérimentale
U

13.  D’autre part, la formule de RAYLEIGH – JEANS est même absurde de
point de vue de ces conséquences théoriques. En effet, la densité totale
d’énergie serait infinie à toute température :
 






0
0
2
3
d
c
kT
8
d
U
U 




Cette divergence de l’intégrale pour les fréquences élevées s’est
appelée :
CATASTROPHE ULTRAVIOLETTE

14. B - L’hypothèse de PLANCK :
1- L’idée révolutionnaire de Max PLANCK :
 La démonstration de la formule inexacte de RAYLEIGH – JEANS est
fondée sur deux résultats classiques fondamentaux:
- L’un de la thermodynamique
- L’autre de l’électromagnétisme
<E(T)>=kT


 )
(
c
8
U 3
2
T
E


 M. PLANCK démontra que l’on pouvait être en accord avec les résultats
expérimentaux, en gardant la formule obtenue à partir de l’électromagnétisme
et en modifiant la formule obtenue à partir de la thermodynamique et cela de
la manière suivante :

15.  Or, il existe un résultat classique fondamental de thermodynamique qui
indique que si un grand nombre de systèmes microscopiques, tels nos
oscillateurs électroniques, sont en intéraction avec un milieu de température
absolue T, chaque oscillateur a une probabilité P(E)dE pour que son énergie soit
comprise dans l’intervalle E, E+dE tel que:
M. PLANCK admit d’abord qu’il était valable de schématiser la matière en la
considérant comme constituée des oscillateurs linéaires (déja introduits
précédement). Chacun des ces oscillateurs a une énergie:
2
2
2
X
m
2
1
2m
P
E 


 Classiquement, cette énergie est susceptible de varier d’une façon continue,
et peut prendre n’importe quelle valeur positive.
dE
kT
E
Cexp
P(E)dE 








16. La dépendance en E de la fonction P(E) est représentée sur la figure ci-
dessous par une courbe continue où toute valeur de E est permise.
La constante C devant être telle que :
1
dE
kT
E
-
exp
C
P(E)dE
0 0








 
 
P(E)
E
Variation de P(E) en fonction de E

17. Nous devons calculer l’énergie moyenne de l’oscillateur.
Classiqument, cette valeur moyenne est donnée par la formule suivante:
Et puisque :
dE
kT
E
-
Eexp
C
EP(E)dE
E(T)
0 0
 
 


















0
1
dE
kT
E
-
exp
C
Alors si on remplace C par son expression, on trouve:


















0
0
dE
kT
E
-
exp
dE
kT
E
-
Eexp
E(T)

18.  M. PLANCK décomposa l’intervalle entier d’énergie en ségment de
grandeur  et fit l’hypothèse que dans chacun de ces intervalles
[n,(n+1)] l’énergie de l’oscillateur ne pouvait prendre qu’une seule
valeur, soit (n+)  avec0≤<1.
E
P1
P2 P3 P4
P0
 2 3 4
P(E)
Variation de P(E) en fonction de E

19.  Cette hypothèse revient à postuler que l’énergie de chaque oscillateur
n’est pas sucsptible de varier d’une façon continue, mais seulement d’une
façon discontinue et cela par sauts d’amplitude . Dés lors, les intégrales
précédentes doivent être remplacées par des sommes, et l’énergie moyenne
de l’oscilateur aura l’expression suivante:











 





 



0
n
0
n
kT
)
(n
-
exp
kT
)
(n
-
exp
)
(n
E(T)






Et si on enlève au numérateur et au dénominateur le facteur commun exp(-
/kT) et on pose exp (- /kT)=Z









0
n
n
0
n
Z
)
(n
E(T)
n
Z


On trouve:

20. D’où
D’où
....
......
1
...
)
(
.........
)
(2
Z
)
1
(
)
( 2
2














 n
n
Z
Z
Z
Z
n
Z
T
E









































...
Z
...
Z
Z
1
...
Z
...
Z
3
Z
2
1
Z
...
Z
...
Z
Z
1
...
Z
...
Z
Z
1
E(T) n
1
-
n
2
n
2
n
2
n



Or
Et
Z
1
1
...
Z
...
Z
Z
Z
1 n
3
2








2
1
-
n
2
Z)
-
(1
1
...
nZ
...
Z
3
Z
2
1 






21. Il en résulte donc :
Et en remplacant Z par son expression on trouve:
Z
1
E(T)




Z



1
kT
exp
E(T)














Pour  0, on trouve bien le résultat classique:
<E(T)>=kT

22.  PLANCK remarqua alors que s’il ne fait pas tendre  vers 0, et avec  =0 ,
il obtenait une nouvelle expression de la densité spectrale d’énergie U(T):
 Cette dernière expression ne devient compatible avec la loi de WIEN qu’à
condition de poser :
h désignant une constante appelée depuis constante de PLANK
1
kT
exp
c
8
(T)
U 3
2












=h 

23.  Avec cette nouvelle formule la catastrophe ultra-viollette disparaît et en plus
elle est en parfait accord avec les résultats expérimentaux à condition de donner à
la constante de PLANCK la valeur suivante:
h≈ 6,62.10-34 J.S
 La formule classique de RAYLEIGH-JEANS est alors remplacée par une
nouvelle formule appelée formule de PLANCK:
1
kT
h
exp
1
c
h
8
(T)
U 3
3













24. 2- Signification de l’hypothèse de PLANCK :
 L’hypothèse révolutionnaire de PLANCK consiste à considérer que
l’énergie de chaque oscillateur ne pourait pas varier d’une façon continue,
mais d’une façon discontinue, par sauts d’amplitude .
 Par ailleurs, lorsque l’énergie échangée entre l’oscillateur et le
rayonnement correspond à une fréquence , le saut d’énergie est par la suite le
paquet d’énergie échangée a pour grandeur =h  qui est proportionnelle à la
fréquence. PLANCK appela cette quantité d’énergie finie, un quantum
d’énergie.

25. 3- Vérification de la loi de STEFAN-BOLTZMANN :
 L’énergie totale de rayonnement par unité de volume, c’est-à-dire la densité
d’énergie U(T) poura être déduite de la formule de PLANCK :










0
3
3
1
kT
h
exp
d
c
h
8
U(T)




On retrouve bien la loi de STEFAN-BOLTZMANN avec une
détermination du coefficient 
Le calcul de cette intégrale est facile et fournit le résultat suivant:
Avec
3
3
4
5
h
c
k
.
15
8
 
4
T
U(T) 

15
1
4
0
3





dx
e
x
x
En utilisant :

26. Chapitre 2 :
Effet Photo - électrique et Compton et
Caractère Corpusculaire et
Ondulatoire de la Lumière

27. A- L’effet photo-électrique :
1- Définition :
L’effet photo-électrique consiste essentiellement en une émission d’électrons
par certain métaux lorsqu’ils sont éclairés dans des conditions convenables.
‫تض‬ ‫عندما‬ ‫معينة‬ ‫معادن‬ ‫بواسطة‬ ‫اإللكترونات‬ ‫انبعاث‬ ‫من‬ ‫أساسي‬ ‫بشكل‬ ‫الكهروضوئي‬ ‫التأثير‬ ‫يتكون‬
‫يء‬
‫مناسبة‬ ‫ظروف‬ ‫ظل‬ ‫في‬
.
2- Expérience :
Dans une ampoule de verre transparente à la lumière jusqu’à dans l’ultra-
violet, on fait un vide poussé et on place deux électrodes P et G.
La photocathode P est une plaque d’un métal alcalin (sodium, potassium…)
l’électrode G est une grille métallique dont on peut faire varier le potentiel V
par rapport à P. Un flux lumineux de fréquence  et d’intensité lumineuse 
réglable traverse l’ampoule et vient frapper la plaque P.
Lampe
G g
P V
Faisceau incident (,)

29. 1  pour une fréquence  et une tension V suffisantes ‫الكاافي‬et fixées, l’intensité
i du courant électrique est seulement proportionnelle au flux lumineux incident
:
On constate alors que dans certains conditions, des électrons sont émis par la
plaque P vers la grille G et donne naissance à un courant dans le circuit et dont
l’intensité i mesurée par un galvanomètre g, est fonction des trois paramètres: , V
et  :
Différentes observations:
2  L’émission électronique n’aura lieu que lorsque la fréquence de la
lumière incidente est supérieur à une fréquence seuil 0 qui est indépendante
de  et de V, mais elle est dépendante de la nature du métal de la photo –
cathode.
Le coefficient de proportionnalité  est toute fois fonction de la fréquence  et
du potentiel V



i

30. 3 Pour une fréquence  >  0 et un flux  constants, l’intensité du
courant i est une fonction de la tension V qui a l’allure de la courbe
suivante:
Tant que la tension V<-V0, le courant i est nul, ce dernier tend vers une
valeur limite is appelée courant de saturation.
i
V
-V0
is

31.  Par ailleurs, Einstein affirmait que si la lumière monochromatique
considérée a une fréquence , chacun des photons correspondants a une
énergie:
En 1905, Einstein eut l’audace de prétendre que l’énergie du champ
électromagnétique lui-même était également quantifiée et donc portée par
des paquets qu’il appela des quantas de lumière aujourd'hui dénommés :
photons
 ‫ا‬ً‫ي‬‫كم‬ ‫تحديدها‬ ‫تم‬ ‫نفسه‬ ‫الكهرومغناطيسي‬ ‫المجال‬ ‫طاقة‬ ‫بأن‬ ‫االدعاء‬ ‫في‬ ‫الجرأة‬ ‫أينشتاين‬ ‫لدى‬ ‫كان‬
‫اليوم‬ ‫الضوء‬ ‫كوانتاس‬ ‫اسم‬ ‫عليها‬ ‫أطلق‬ ‫رزم‬ ‫بواسطة‬ ‫حملها‬ ‫تم‬ ‫وبالتالي‬ ، ‫ًا‬‫ض‬‫أي‬
:
‫الفوتونات‬
E=h 
 Nous retrouvons ici une relation identique à celle de Planck.
L’introduction des photons de Einstein permet d’expliquer tous les aspects
expérimentaux de l’effet photo-électrique.

32.  En effet, quelle que soit son intensité, la lumière incidente de fréquence
 est alors constituée par un nombre de corpuscules d’énergie h. Lorsque
l’un de ces photons rencontre un électron de métal, il est entièrement
annihilé et l’électron reçoit l’énergie libérée h. En quittant le métal,
l’électron éjecté doit fournir un travail W égale à son énergie de liaison
dans le métal, de telle sorte que les électrons émis ont une énergie
cinétique maximum Ec telle que :
W
-
h
mv
2
1
E 2
c 


 Il s’agit bien là d’une énergie maximum, car les électrons frappés en
profondeur par les photons, peuvent heurter d’autres électrons et perdre
de l’énergie avant de sortir du métal.

33. 1 L’intensité  de la lumière incidente mesure le nombre de photon qui
tombent par seconde sur un centimètre carré de la surface irradiée et par la
suite le nombre des effets photo-électriques, c’est-à-dire des électrons émis
par seconde. L’intensité i du courant doit donc être proportionnelle à cette
intensité  du flux incident.
La relation précédente de conservation de l’énergie permet d’expliquer
toutes les lois (aspects expérimentaux) de l’effet photo-électrique:
2 L’effet photo-électrique n’a lieu que lorsque les électrons émis ont une
énergie cinétique positive :
0
W
-
h
Ec 
 



i

34. Pour cela, il est nécessaire que la fréquence  de la lumière incidente soit
supérieure à la fréquence seuil 0 telle que:
h 0-W=0 ou 0=W/h
La fréquence seuil 0 ne dépend que du travail d’extraction W et donc
seulement de la nature du métal de la photocathode.
 Si  0, l’effet photoélectrique ne se produit pas quelle que soit
l’intensité lumineuse
 Si   0, l’émission d’électrons est quasi-instantanée, même à faible
intensité lumineuse. Dans ce cas, nous avons :
La variation de l’intensité lumineuse n’introduit pas de variation de la
vitesse des électrons émis (appelés photoélectrons), mais bien de leur
nombre.
La vitesse maximale des électrons émis augmente quand la fréquence
de la lumière incidente augmente.

35. 3 Le courant i, c’est-à-dire le flux d’électrons collectés dépend de la
tension V qui attire plus au moins la totalité des photo-électrons émis dans
toutes les directions. En effet :
 Quand V=0, i # 0 car les photons sont suffisamment énergétiques
pour arracher des électrons de la photocathode et leur conférer assez
d’énergie cinétique pour parvenir à l’anode.
 Quand V augmente, le courant tend vers is (courant de
saturation), qui traduit le fait que tous les électrons arrachés sont
récoltés par l’anode.
 Si l’on inverse les bornes du générateur, on constate que le courant
s’annule pour une certaine valeur V0 : c’est le potentiel d’arrêt qui ne
dépend que de la fréquence de la lumière incidente.

36.  Si vm est la vitesse d’un photoélectron n’ayant pas subi de freinage,
son énergie cinétique est maximale, et elle est donnée par:
)
-
h(
W
-
h
mv
2
1
E 0
2
m
c 

 


m
)
-
h(
2
v 0
m



La vitesse maximale des photoélectrons augmente quand la fréquence
des photons augmente, mais ne dépend pas de l’intensité lumineuse.

37. L’effet Compton a été découvert en étudiant la diffusion des rayons X par la
matière (on appelle rayon X tout rayonnement électromagnétique dont la
longueur d’onde  appartient à l’intervalle [ 10-2 Ǻ, 200 Ǻ] avec 1 Ǻ =10-10m).
B- L’effet Compton:
1- Expérience:
En envoyant une radiation ayant une longueur d’onde 0=0.708Ǻ à travers une
feuille très mince de graphite, Compton observa que le rayonnement incident
était partiellement diffusé dans toutes les directions et que dans chaque
direction  il observait deux rayonnement à savoir ``une raie non déplacée´´
dont la longueur d’onde 0 était celle du rayonnement incident et une autre
``raie déplacée´´ dont la longueur d’onde 1 est supérieur à 0 et dépend de
l’angle d’observation  conformément à la formule suivante:
1=0+k0sin²(/2)

38. k0 : une constante indépendante de la longueur d’onde 0 incidente et
même de la nature de la feuille qui provoque la diffusion (k0=0,048Ǻ)
L’interprétation classique de ce phénomène appelé ``diffusion Thomson´´
ne peut pas expliquer l’observation de la ``raie déplacée´´ de longueur
d’onde 1, car elle consiste à considérer que le diffusion d’une onde
primaire monochromatique doit s’effectuer sans changement de fréquence.
2- Explication classique:
3- Explication par Compton:
Compton adopte l’hypothèse d’Einstein concernant la nature corpusculaire
du rayonnement. Dès lors le phénomène est considéré comme résultat de
collisions élastiques des photons du rayonnement incident sur les électrons
de la feuille de graphite irradiée.

39. Mais également d’une impulsion, ou quantité de mouvement telle
que:
Le nouveau dans cette interprétation de Compton, c’est que chaque photon va
être doté non seulement d’une énergie:



 



2
h
h
E
c
h
c
E
p



(e,m)
(h)
électron
Photon incident
x
y


Figure : Le principe de l’effet Compton

40. Dès 1923, il n’était plus contesté que le rayonnement électromagnétique, la
lumière en particulier, se comportait comme s’il possédait deux
structures contradictoires, d’une part la structure continue d’une
onde- c’est la nature ondulatoire- (interférences, diffractions…etc).
D’autre part une structure discontinue faite de particules- c’est la nature
corpusculaire-: les photons transportent à la fois de l’énergie et de
l’impulsion (effet photo-électrique et Compton).
C- Nature corpusculaire et ondulatoire de la lumière:

41. D- Le principe d’incertitude de Heisenberg
► Toute mesure est entachée d’erreur et d’incertitude.
1- En mécanique classique :
► Possibilité de réduire ces incertitudes en utilisant des moyens de mesure
sophistiqués.
2- En mécanique quantique :
► Il existe une limite intrinsèque à la précision des mesures.
► Ces incertitudes peuvent être soit :
 Résultat de la nature ondulatoire des particules,
 Résultat de l’interaction avec l’appareil de mesure.

42. Ceci est l’essence même du principe d’incertitude de Heisenberg.
3- Mesure de la position d’une particule en utilisant des photons :
Un photon permet de mesurer une position avec une précision de l’ordre de
grandeur de sa longueur d’onde .
Pour améliorer la précision de la mesure, il faut diminuer la longueur d’onde
du photon incident.
Ce photon transportera donc une plus grande quantité d’énergie.
Cette énergie est fournie à la particule sous forme de quantité de mouvement
Impossible de connaître avec précision la quantité de mouvement de la particule
qui est modifiée d’une manière aléatoire par interaction avec le photon.

43.   

2
h
ΔP
.
Δx 
 
 avec
   

Δt
.
ΔE
Plus précisément, Heisenberg a pu montrer que le produit de la précision sur
la position et de la précision sur la quantité de mouvement devait être tel que :
De la même façon, on ne peut espérer mesurer précisément l’énergie d’une
particule à un instant donné :

44. Chapitre 3 :
Formalisme Mathématique de la
Mécanique Quantique

45. A- Espace des fonctions d’onde d’une particule :
1- Définition :
A tout système, on peut associer une fonction d’onde  qui décrit l’état de ce
système.  est une fonction complexe que l’on peut exprimer en fonction des
coordonnées de l’espace et en fonction de temps : (x,y,z,t).
La fonction en elle-même n’a pas de signification physique, tandis que le
module au carré de la fonction (x,y,z,t)² =(x,y,z,t) *(x,y,z,t) représente
la densité de probabilité de trouver le système dans le volume dV=dxdydz à
l’instant t lorsque le système se trouve dans l’état (x,y,z,t).
Exemple: La densité de probabilité radiale d’un électron 1s :
r=a0 =0,524 A° est le rayon de Bohr.
C’est à cette distance (1ère orbite de Bohr) que
l’électron 1s a le plus de chances de se trouver :
c’est le rayon le plus probable.

46.  L’ensemble des fonctions d’onde noté F forme un espace vectoriel
complexe car si 1et 2 appartiennent à F, alors la somme et le produit
par une constante complexe appartiennent aussi à cet ensemble :
Si 1,2 Є F, et  є¢ alors :
=(1+2 )є F
=1 є F
 Les éléments de l’espace vectoriel F sont des fonctions de carré
sommable, c’est-à-dire :
 

2
3
)
,
( t
r
r
d 

47.  On définit le produit scalaire entre les éléments de F de la façon suivante:
r
(r)d
)
r
(
)
,
( 3
*
3



 


 Les propriétés de ce produit scalaire sont les suivantes :
 1,2,1,2 є F, et  1,2 є ¢ on a :
(1, 1.1+ 2.2)=1(1,1)+ 2 (1,2)
(11+ 22,1)=*
1(1,1)+ *
2 (2,1)
 , Є F alors (,)=(,)*
 Si (,)=0, on dit que les deux fonctions (r) et (r) sont orthogonales

48.  Notons aussi que :
0
r
(r)d
r)
(
)
,
(
3
3
*

 





 Et que : 0
r)
(
0
)
,
( 

 


2- Bases orthonormées discrètes dans F:
Soit B l’ensemble des fonctions Ui(r) qui appartiennent à F avec i Є[1,n]:
B={Ui(r) Є F, i Є[1,n]}
L’ensemble B est dit orthonormé si :
ij
j
*
i
3
j
i
3
(r)
(r)U
rU
d
)
U
,
U
(
,
]
n
,
1
[
j
i, 







49. Où ij est le symbole de Kronecker avec :






j
i
si
0
j
i
si
1
ij

 La dernière expression est dite relation d’orthogonalisation. Elle exprime
que les fonctions de l’ensemble B sont normées à 1 et orthogonales entre
elles.
 L’ensemble B constitue une base si toute fonction (r) de F peut se
développer d’une façon et d’une seule sur les Ui(r) :



n
1
i
i
i )
r
(
U
c
)
r
(

 Les composantes ci de (r) sur la base B sont données par le produit
scalaire de (r) par Ui(r):
)
,
U
(
c
,
n]
[1,
i i
i 




50. 3- Expression du produit scalaire en fonction des composantes :
 Soient (r) et (r) deux fonctions d’onde appartenant F dont les
développements s’écrivent:
  


n
1
i
i
i (r)
U
c
r

  


n
1
j
j
j (r)
U
b
r



i
i
*
i c
b
)
,
( 

En particulier :


i
2
i
c
)
,
( 

 Le produit scalaire de deux fonctions d’onde s’exprime donc
simplement en fonction des composantes de ces fonctions dans la base
{Ui(r) Є F avec i Є[1,n]}.

51. B- Espace ξ des états d’une particule :
1- Définition :
L’état quantique d’une particule est caractérisé par un être mathématique
appelé vecteur état. L’ensemble de ces vecteurs états constitue l’espace ξ
des états.
Dirac a introduit la notation |> pour désigner un vecteur état de la
particule ; |> est Ket psi.
Les éléments de l’espace vectoriel ξ sont dotés d’un produit scalaire :
 |>, |> є ξ ; < |> = ( |>,|> )
Où le vecteur <|, appelé Bra est un élément du dual ξ*
C’est-à-dire : <| є ξ*  <| : ξ ¢
|> < |>

52. 2- Correspondance entre ket et bra :
 Dans l’espace des états , le produit scalaire est antilinéaire par
rapport au premier vecteur :
 1, 2 et   et  1 et 2 deux nombres
complexes :
(11 + 22, ) = 1*(1, ) + 2*(2, )
= 1*<1 + 2*<2
 Le bra associé au ket 11+22 est le bra 1*<1+2*<2
La correspondance ket bra est donc antilinéaire
Remarque :
Si  est un nombre complexe et  un ket appartenant à
l’espace des états , nous avons :
 = <=*<
et

53. 3- Produit scalaire en notation du Dirac :
Les propriétés du produit scalaire en notation du Dirac sont les
suivantes :
 < >=< >*,
 < 1 1+2 2>=1< 1>+2< 2>,
 <11+22 >=1*<1>+2*<2 >,
 < > est un nombre réel positif ; nul si et seulement si  > = 0.

54. 4- Algèbre des opérateurs :
4-1- Opérateur linéaire :
Un opérateur est un être mathématique qui agit sur un ket
> appartenant à , et le transforme en un autre ket ’> :
’> = A>,
 1> et 2>   ,  1 et 2 deux nombres complexes :
A (1 1>+22>)=1A 1>+2A2>.

55. 4-2- Exemples importants :
4-2-1- L’opérateur position et l’opérateur impulsion :
L’opérateur position X et l’opérateur impulsion P sont des
opérateurs linéaires qui agissent sur une fonction (x)
appartenant à F . Ces deux opérateurs sont définis par :
x
X 
δx
δ
i
P 


Soit (x) une fonction d’onde, définie par (x) = ne(-3x),
avec n=cste, alors nous aurons :
Exemple :
X(x) =nxe(-3x)
  (-3x)
e
3ni
x
Pψ 


56. 4-2-2- L’opérateur projecteur :
L’opérateur projecteur P est un opérateur linéaire défini
par :
P = ><
4-3- Le produit de deux opérateurs :
Le produit de deux opérateurs linéaires A et B est défini par :
(AB)>=A(B>)
Le commutateur A,B de A et B est donné par :
A,B = AB-BA
En général AB  BA

57. 4-4- Elément de matrice d’un opérateur entre deux kets :
Soient deux kets > et > appartenant à l’espace des états .
On appelle élément de matrice de l’opérateur A entre > et
>, le produit scalaire :
<A>=<(A>)
Cet élément de matrice est un nombre qui dépend linéairement
de> et antilinéairement de>.

58. 4-5- Elément de matrice d’un opérateur dans une base :
Choisissons une base orthonormée  
 
n
1,
i
ζ,
U
B i 



Un opérateur linéaire A pourra être représenté par une
matrice d’éléments :

 j
i
ij U
A
U
A
Remarques :
1- Faire attention à l’ordre de> et > car :
<> représente un nombre
>< représente un opérateur

59. a- > =>,
b- A> =  A> où A est un opérateur linéaire,
c- < = <,
d- <> = <>= <>
4-6- Opérateur adjoint A+ d’un opérateur linéaire A :
Soit A un opérateur linéaire. A+ est dit opérateur adjoint de A si :
 > et >  ; < A+>= < A>*
A> = A> et <A =<A+
Remarques :
(A+)+ =A, (A)+= *A+, (A+B)+ = A++B+ et (AB)+=B+A+
2- Il n’y a que les nombres complexes dont on peut changer la
place sans problème car :

60. 4-7- Conjugaison hermitique dans la notation du Dirac :
On dit d’un ket > et du bra < correspond qu’ils sont
´´conjugués hermitiques`` l’un de l’autre.
Conjugué hermitique
Ket > bra <
Bra < Ket >
Opérateur A Opérateur adjoint A+
Complexe  Complexe conjugué *

61. Pour obtenir le conjugué hermitique (ou l’adjoint) d’une
expression, il faut :
1- Remplacer les constantes par leurs complexes conjugués, les kets par les bras
associés, les bras par les kets associés et les opérateurs par leurs adjoints.
2- Inverser l’ordre des facteurs sachant que la place des constantes n’a pas
d’importance.
Exemples :
A * A+ 
wA *A*w

62. 4-8- Opérateur hermitique :
Un opérateur A est dit hermitique s’il coïncide avec son adjoint,
dans ce cas nous avons :
A=A+
A+=A*=A ou A=A
Autrement,  > et >  :
L’opérateur projecteur P est un opérateur hermitique.
Exemple :
4-9- Opérateur linéaire unitaire :
Un opérateur linéaire A est dit unitaire si A-1=A+ ou si
AA+=A+A= 1.

63. C- Représentation dans l’espace des états  :
1- Définition :
Une représentation est une base orthonormée, discrète ou
continue, dans l’espace des états . Dans cette base, les
vecteurs sont représentés par des composantes, et les
opérateurs par des éléments de matrice.
2- Caractéristiques d’une base orthonormée :
2-1- Base discrète :
est un ensemble de kets vérifiant la
 
 
n
1,
i
avec
,
ζ
Ui 









j
i
si
0
j
i
si
1
δ
U
U ij
j
i
relation d’orthonormalisation suivante :

64.  
 
n
1,
i
avec
,
ζ
Ui 
 est une base orthonormée dans  1
U
U
n
1
i
i
i 



Alors :
2-2- Base continue :
 
continu
indice
un
α
avec
,
Vα  est un ensemble de kets vérifiant la
relation d’orthonormalisation suivante :V V’ = (-’), alors :
V, avec  un indice continu est une base orthonormée de   
 1


 V
V
d

65. 3- Représentation des éléments de  et * :
3-1- Représentation d’un ket et d’un bra :
Un vecteur ket  , de l’espace des états , peut être représenté
par une suite de nombres (ses composantes) quand une base
Uia été choisie. Ces nombres peuvent être rangés en
colonne pour former une matrice à une colonne :
 
   
 
n
1,
i
avec
,
U
n
3
2
1
n
1,
i
avec
,
U
n
3
2
1
i
i
C
.
.
.
C
C
C
ψ
U
.
.
.
ψ
U
ψ
U
ψ
U
ψ



























































66. Dans la base  
 
n
1,
i
avec
,
ζ
Ui 
 , le ket> peut être donné par :





n
1
i
i
*
i U
b

D’où le bra  se développe d’une façon et d’une seule sur les
bras Ui. Le bra  peut être représenté sous la forme d’une
matrice à une ligne :
 = (U1 ; U2 ; U3 ; ...... ; Un )
 = ( b1* ; b2* ; b3* ;…… ; bn* )
Alors le bra  peut être écris par :


 

i
n
1
i
i U
b

Ou

67. 3-2- Expression d’un produit scalaire :
Soient les deux vecteurs  et  qui représentent respectivement un
ket et un bra. Ces deux vecteurs sont représentés sous la forme des
matrices suivantes :

















n
2
1
c
.
.
c
c
ψ  = ( b1* ; b2* ; b3* ;…;bn* )
et
Le produit scalaire   est le produit au sens des matrices, de la
matrice ligne qui correspond à  par la matrice colonne qui correspond
à  :
  *
n
n
*
2
2
*
1
1
n
2
1
*
n
*
2
*
1 b
c
......
b
c
b
c
c
.
.
c
c
b
.
.
b
b
ψ 



























n
1
i
*
i
i b
c
ψ

D’où

68. 3-3- Représentation d’un opérateur par une matrice :
Soit A un opérateur linéaire dont les éléments Aij sont donnés dans la
base  
 
n
1,
i
avec
,
ζ
Ui 
 par :
Aij =<UiAUj>
L’opérateur A peut être représenté dans la même base par la matrice :





















nn
n3
n2
n1
3n
31
2n
11
21
1n
13
12
11
ij
A
.
.
A
A
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
.
.
.
.
A
A
.
.
.
A
A
A
.
.
A
A
A
A

69. Soit A et B deux opérateurs linéaires dont les éléments Aij et Bij sont
donnés par :
3-4- Représentation d’un produit de deux opérateurs :
Aij =<UiAUj> et Bij =<UiBUj>
Alors les éléments (AB)ij de l’opérateur AB sont donnés par :
  
 







k
kj
ik
k
j
k
k
i
j
i
ij B
A
U
B
U
U
A
U
U
AB
U
AB
Ce résultat exprime que la matrice représentant l’opérateur AB est le
produit de la matrice associée à A par celle associée à B.

70. 3-5- Représentation du ket =A :
Soient  et  deux kets appartenant à l’espace des états  et A un
opérateur linéaire tel que =A.
Si les cordonnées de et  Sont respectivement ci=Ui et
bi=Ui, alors :


j
j
ij
i c
A
b

















































n
2
1
nn
n2
n1
2n
22
21
1n
12
11
n
2
1
c
.
.
c
c
A
.
.
A
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
.
.
A
A
A
.
.
A
A
b
.
.
b
b
Cette formule s’interprète matriciellement de la manière suivante :

71. 3-6- Expression du nombre A :
Soient  et  deux kets de l’espace des états  et A un opérateur linéaire.
Le nombre A est donné par :




ij
j
ij
*
i c
A
b
ψ
A

Cette relation s’interprète matriciellement de la façon suivante :
 



































n
2
1
nn
n2
n1
2n
22
21
1n
11
11
*
n
*
2
*
1
c
.
.
c
c
A
.
.
A
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
.
.
A
A
A
.
.
A
A
b
.
.
b
b
ψ
A


72. 3-7- Représentation de l’opérateur A+ l’adjoint de A :
Les éléments de matrice de l’adjoint A+ d’un opérateur A sont donnés par :
(A+)ij =<UiA+Uj>=<UjAUi>*=(Aji)*
Dans le cas où l’opérateur A est hermitique (A+=A), les éléments
diagonaux de la matrice de A sont des nombres réels.
3-8- Représentations particulières :
Considérons deux fonctions d’onde )
r
ψ( et )
p
(
ψ
que l’on note sous les formes suivantes :

 ψ
r
)
r
ψ( 
 ψ
p
)
p
(
ψ
et
On peut écrire tout ket  appartenant à l’espace des états  par :
 
 



 ψ
r
r
r
d
r
rψ
d
ψ 3
3
r

73. Ou encore :

 



 ψ
p
p
p
d
p
)
p
(
ψ
p
d
ψ 3
3
 

r  

p
et constituent des représentations continues de l’espace des états .
3-9- Passage de la représentation  

r  

p
à la représentation
Les deux représentations constituent deux bases continues. Le passage d’une base à
l’autre fait intervenir le produit scalaire suivant :
  










r
.
p
i
exp
2π
r
p
p
r 2
3
*


Un ket  appartenant à l’espace des états est représenté par :
dans la base

 ψ
p
)
p
(
ψ

 ψ
r
)
r
ψ(
dans la base  

p
 

r

74.      
 







p
ψ
r
.
p
i
exp
p
d
2π
r
ψ 3
2
3


Alors on trouve :
     
 








r
ψ
r
.
p
i
exp
r
d
2π
p
ψ 3
2
3


Inversement on trouve :
On voit bien que  
p
ψ est la transformée de Fourier de  
r
ψ

75. 4- Les opérateurs R et P :
4-1- Définition :
Les opérateurs R et P sont des opérateurs vectoriels dont les composantes
sont respectivement (X,Y,Z) et (Px,Py,Pz).
L’opérateur R est défini, en représentation , de la manière suivante :
 

r
 ;



















ψ
r
z
ψ
Z
r
ψ
r
y
ψ
Y
r
ψ
r
x
ψ
X
r
L’opérateur P est défini, en représentation , de la manière suivante :
 

p



















ψ
P
p
ψ
Pz
P
ψ
P
p
ψ
Py
P
ψ
P
p
ψ
Px
p
z
y
x
 ;

76. 4-2- Propriétés des opérateurs R et P :
L’opérateur Px coïncide avec l’opérateur dérivation :
 En représentation
L’opérateur Py coïncide avec l’opérateur dérivation :
L’opérateur Pz coïncide avec l’opérateur dérivation :
δy
δ
i

δz
δ
i

 

r
δx
δ
i

 Le commutateur   
i
Px
X, 
 En général, les commutateurs entre les composantes de R et celles de P
sont les suivants :
  0
R
,
R j
i    0
P
,
P j
i    ij
j
i δ
i
P
,
R 
 avec i,j=1, 2, 3
Où R1, R2, R3, P1, P2 et P3 désignent respectivement X, Y, Z, Px, Py et Pz.
Ces formules sont appelées les relations de commutations canoniques.

77. D- Equations aux valeurs propres :
1- Définitions :
 Soit un ket appartenant à l’espace des états.  est dit vecteur
propre de l’opérateur A s’il existe un nombre complexe  tel que A =
. Cette équation est appelée équation aux valeurs propres de
l’opérateur A. Le nombre complexe , lorsqu’il existe, est dit valeur propre
de A.
 L’ensemble des valeurs propres SA=  complexe, A = 
s’appelle le spectre de l’opérateur A.
 La valeur propre  est dite non dégénérée si il lui est associé un vecteur
propre  unique.
 La valeur propre  est dite dégénérée si il lui est associé au moins deux
vecteurs propres linéairement indépendants. Le degré de
dégénérescence de  est alors le nombre de vecteurs propres linéairement
indépendants qui lui sont associés.

78. 2- Détermination des valeurs propres d’un opérateur :
Les valeurs propres d’un opérateur A sont les racines de l’équation
caractéristique :
  0
λI
A
det 

Où A est un opérateur représenté par ses éléments de matrice Aij tels que :
Aij=UiAUj, et I est la matrice unité.
3- Détermination des vecteurs propres d’un opérateur :
Les composantes du vecteur propre associé à la valeur propre  sont
les solutions du système d’équation :
  0
ψ
λI
A 


79. 4- Observables :
Un opérateur hermitique A (A=A+) est une observable, si les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de cette opérateur
constituent une base de l’espace d’états.

80. Chapitre 4 :
Les Postulats de la Mécanique
Quantique

81. Introduction :
En mécanique classique, le mouvement d’un système matériel
quelconque est déterminé si l’on connaît, en fonction du temps,
la position et la vitesse de chacun de ces points. En mécanique
quantique, nous devons énoncer des postulats qui doivent nous
fournir des réponses aux questions suivantes :
a- Comment décrire l’état d’un système quantique à un instant t
donné ?
b- Comment, cet état étant donné, prévoir les résultats de
mesure des diverses grandeurs physiques ?
c- Connaissant l’état d’un système à l’instant t0, comment
prévoir l’évolution du système au cours du temps.

82. A- Énoncé des postulats de la mécanique quantique :
1 : Description de l’état d’un système quantique (Postulat 1) :
La connaissance de l’état d’un système à un instant t donné est
complètement contenue dans un vecteur appelé vecteur état,
noté (t) conformément à la notation de Dirac. Ce vecteur
appartient à l’espace des états .
2 : Description d’une grandeur physique (Postulat 2) :
Toute grandeur physique mesurable est décrite par un opérateur
A agissant dans . Cet opérateur est une observable.

83. 3 : Mesure des grandeurs physiques (Postulat 3) :
La mesure d’une grandeur physique représentée par l’observable
A ne peut donner comme résultat que l’une des valeurs propres de
A.
Remarques :
Une observable A est un opérateur hermitique, d’où les valeurs
propres de cet opérateur sont réelles.
 Un opérateur hermitique A est dit une observable, si tous les
vecteurs propres associés aux valeurs propres de A constituent
une base dans l’espace des états . Alors les vecteurs propres
d’une observable son orthogonaux.

84. 4. Principe de décomposition spectrale :
4.1- Cas d’un spectre discret :
Considérons que le spectre de l’opérateur A est entièrement
discret. Si toutes les valeurs propres an de A sont non
dégénérées, à chacune d’elle est associé un vecteur propre
Un et un seul (à un facteur près) :
AUn = anUn
A étant une observable, l’ensemble des vecteursUn, que nous
prendrons normés, constituent une base dans l’espace des états
 (A est une observable). Donc,
 ε , nous avons :  

n
n
n U
c
ψ

85. Postulat 4 : Cas d’un spectre discret et non dégénéré :
Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système
se trouvant dans l’état, la probabilité P(an) d’obtenir comme
résultat la valeur propre non dégénérée an de l’observable A
correspondante est :
 








ψ
ψ
c
ψ
ψ
ψ
U
a
P
2
n
2
n
n
Où Un est le vecteur propre normé de A associé à la valeur
propre an.

86. Postulat 4 : Cas d’un spectre discret et dégénéré :
Par contre, si certaines des valeurs propres an sont dégénérées,
il leurs correspondent plusieurs vecteurs propres orthonormés
Uni tels que :
AUni = anUni avec i = 1, 2, 3…, gn
Le vecteur état  peut encore être développé sur la base
orthonormée Uni  de la manière suivante :





n
g
1
i
i
n
n
i
n
U
c
ψ
 


n
n
ψ
ψ 




n
g
1
i
i
n
n
i
n U
c
ψ
Autrement nous avons

87. Alors, lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un
système se trouvant dans l’état  ; la probabilité P(an) d’obtenir
comme résultat la valeur propre dégénérée an de l’observable A
correspondante est :
 







ψ
ψ
ψ
U
a
P
2
g
1
i
i
n
n
n
4.2- Cas d’un spectre continu :
Lorsque le spectre de l’opérateur A est continu, le système des
vecteurs propre V de A tel que :
forme une base continue dans . Sur cette base, on peut
décomposer tout ket  de l’espace d’états  de la manière
suivante :

 α
α V
α
V
A
 
 
 


 V
c
d

88. Postulat 4 : Cas d’un spectre continu et non dégénéré :
Lorsque l’on mesure la grandeur physique A sur un système
se trouvant dans l’état, la probabilité dP() d’obtenir un
résultat compris entre  et +d vaut :
  





d
V
dP
2

Où V est le vecteur propre correspondant à la valeur propre 
de l’observable A.

89. 5. Principe de réduction du paquet d’onde (Postulat 5) :
Si la mesure d’une grandeur physique qui correspond à l’observable
A a donné la valeur propre non dégénérée an, le système étant dans
l’état  (immédiatement avant la mesure), alors immédiatement
après la mesure, l’état du système n’est plus , mais Un le
vecteur propre associé à la valeur propre an.
Dans le cas où la valeur propre an est dégénérée, le système sera,
immédiatement après la mesure, dans l’état :
 2
1



n
n
P
Pn
U 
Avec i
n
g
i
i
n
n U
U
P
n



1
gn étant le degré de dégénérescence de la valeur propre an.

90. 5. Evolution des systèmes dans le temps (Postulat 6) :
L’évolution dans le temps du vecteur d’état (t) est régie par
l’équation de Schrödinger :
     
t
t
H
t
dt
d
i 
 

Où H(t) est l’observable associée à l’énergie totale du système.
Cette observable est appelée aussi Opérateur hamiltonien du
système.

91. B- Règles de quantification :
Considérons un système constitué d’une seule particule, sans spin,
soumise à un potentiel scalaire.
1. Enoncé :
A la position r(x,y,z) de la particule est associée l’observable
R(X,Y,Z) et à l’impulsion p(px,py,pz) de la particule est associée
l’observable P(Px,Py, Pz).
Soit A une grandeur physique quelconque relative à cette particule
qui s’exprime en fonction des variables dynamiques fondamentales r
et p : A (r,p,t).
L’observable A qui décrit cette grandeur physique A définie
classiquement s’obtient en remplaçant, dans l’expression
convenablement symétrisée de A, r et p par les observales R et P,
respectivement.

92. 2. Hamiltonien d’une particule dans un potentiel scalaire :
Considérons une particule (sans spin) de charge q et de masse m,
placée dans champ électrique dérivant d’un potentiel scalaire U(r).
L’énergie potentielle de la particule est donc V(r) = q.U(r), et
l’Hamiltonien correspondant s’écrit H(r,p) = p²/2m + v(r) avec
p=mdr/dt = mv où v est la vitesse de la particule.
La construction de l’opérateur quantique H qui correspond à H est
facile, car aucune symétrisation n’est nécessaire puisque ni P² =
(Px)²+ (Py)²+ (Pz)², ni V(R) ne font intervenir de produits
d’opérateur ne comutant pas entre eux.
L’opérateur quantique H est donné alors par :
)
(
2
²
R
V
m
P
H 


93. Alors l’équation de Schrödinger, donnée par le 6ème postulat,
devient :
   
t
R
V
m
P
t
dt
d
i 
 






 )
(
2
²

B- Conséquences physiques des postulats :
1. Valeur moyenne d’une observable :
Soit A une observable correspondant à un système physique se
trouvant dans l’état . La valeur moyenne <A> de A est
donnée par :





A
A 


2. Ecart quadratique moyen d’une observable :
L’écart quadratique moyen A est un nombre qui mesure la
dispersion des résultats autour de la valeur moyenne :
 2
1
²
² 





 A
A
A

94. 3. Observables compatibles :
Soient A et B deux observables d’un système physique.
A et B sont compatibles si [A,B] = 0,
 A et B sont incompatibles si [A,B] # 0.
Les observables compatibles peuvent être mesurées
simultanément et ce n’est pas le cas pour les observables
incompatibles.
4. Expression du ket (t) décrivant un système à l’instant t
4. 1- Définition d’un système conservatif :
Un système est dit conservatif quand son hamiltonien H ne dépend
pas de temps :
0

dt
dH

95. 4. 2- Expression du Ket (t) :
H étant indépendant du temps, il en résulte que ces valeurs propres
En et ses vecteurs propres n sont également indépendants du
temps.
H étant une observable, il en résulte que les vecteurs propres n
constituent une base de l’espace d’état du système.
Si on désigne par (t0) l’état du système à l’instant t0 et par (t)
son état à l’instant t, avec :
       
       
t
t
c
avec
t
c
t
t
t
c
avec
t
c
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n













 0
0
0
0
Cherchons comment évoluent les composantes cn(t) en fonction de
temps.

96. Pour faire, calculons :    
 
t
dt
d
dt
t
dC
n
n



Nous trouvons donc :
   
 
0
0
t
t
iE
n
n
n
e
t
C
t
C


 
Si l’on injecte ce résultat dans l’expression (t) de on trouve :
     







  0
0 exp t
t
iE
t
c
t n
n
n


4. 3- Définition des constantes de mouvement :
On appelle constante de mouvement toute observable A qui ne
dépend pas explicitement du temps et qui commute avec H. c’est-à-
dire :
  0
,
0 
 H
A
et
dt
dA

97. 2- La valeur moyenne d’un constante de mouvement n’évolue pas au
cours du temps.
D- Application : L’oscillateur harmonique à une dimension :
1. Introduction :
Un grand nombre de systèmes sont régis (au moins de manière
approchée) par les équations de l’oscillateur harmonique. En effet,
chaque fois que l’on étudie le comportement d’un système physique
au voisinage d’une position d’équilibre, on aboutit à des équations
qui, à la limite des petites oscillations, sont celles d’un oscillateur
harmonique. Citons par exemple les vibrations des atomes d’une
molécule autour de leur position d’équilibre et les oscillations des
atomes ou ions d’un réseau cristallin.
Remarques :
1- Pour un système conservatif, l’hamiltonien H est lui-même une
constante de mouvement.

98. 2. L’oscillateur harmonique en mécanique classique :
C’est un système matériel, constitué par une masse m ponctuelle, se
déplaçant sur un axe (OX) dans un potentiel ne dépendant que de la
variable x. L’énergie potentielle est de la forme :
  


 k
avec
kx
x
V 2
2
1
La particule est attirée vers le plan x=0, qui représente le minimum
de V(x) et qui correspond aux positions d’équilibre stable, avec une
force de rappel proportionnelle à l’élongation x :
kx
dx
x
dV
Fx 



)
(
Le mouvement de la particule est régi par l’équation :
kx
dt
x
d
m 

2
2

99. La solution générale de cette équation est de la forme :
   

 
 t
x
t
x m cos
Où, =(k/m)1/2 et xm et  sont des constantes qui seront
déterminées par les conditions initiales du mouvement.
La particule est donc animée d’un mouvement oscillatoire
sinusoïdale d’amplitude xm et de pulsation .
L’énergie cinétique de la particule vaut :
2
2
2
1
2
1








dt
dx
m
mV
EC
L’énergie potentielle vaut : 2
2
2
2
1
2
1
)
( x
m
kx
x
V
EP 



L’énergie totale de la particule est :
2
2
2
1
m
P
C x
m
E
E
E 




100. Remarque :
Cette dernière relation montre que l’énergie de la particule est
indépendante du temps (c’est une propriété générale des systèmes
conservatifs) et elle peut prendre n’importe quelle valeur positive ou
nulle, puisque xm peut être à priori quelconque.
3. L’oscillateur harmonique en mécanique quantique :
En mécanique quantique, les grandeurs classique x et p sont
remplacées respectivement par les observables X et P qui vérifient la
relation de commutation . On obtient alors l’opérateur
hamiltonien du système :
2
2
2
2
1
2
X
m
m
P
H 


H est indépendant du temps (système conservatif). L’étude quantique
de l’oscillateur harmonique se ramène à la résolution de l’équation
aux valeurs propres :
  
i
P
X, X 

101. 
 E
H 
Où E et  sont respectivement les valeurs et vecteurs propres de H.
L’équation aux valeurs propres s’écrit en représentation sous la
forme :
 

x
   
x
E
x
x
m
dx
d
m


 







 2
2
2
2
2
2
1
2
