Chapitre 2_transfert_thermique _Conduction

CONDUCTION 1
CONDUCTION
 Mise en équation du bilan thermique
 Loi de la conduction
 Conduction dans les solides, en régime permanant
• Surface plane simple
• Surfaces planes en série
• Surfaces planes en parallèle
• Surface cylindrique simple
• Surfaces cylindriques concentriques
 Exercices d’application
 Introduction
• Surfaces sphériques
• Ailette

CONDUCTION 2
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation
de conservation de l’énergie thermique par bilan
sur un élément de volume, en se basant sur la loi
de conduction.
Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous
nous intéresserons à des cas simples, comme un
volume plan ou un volume cylindrique.

CONDUCTION 3
Loi de la conduction
Définitions
La conduction thermique est le mode de transfert
thermique provoqué par une différence de température
entre deux régions d'un même milieu ou entre deux
milieux en contact sans déplacement appréciable de
matière.
• gaz et liquides: agitation moléculaire;
• solides non-conducteurs: vibrations des réseaux cristallins;
• métaux conducteurs: déplacement d'électrons libres.

CONDUCTION 4
(Définitions)
Régime permanent ou
stationnaire
Régime transitoire ou variable
Surfaces isothermes Surfaces mobiles et déformables
La température d’un corps est variable
Ө=f(x,y,z) Ө=f(x,y,z,t)

CONDUCTION 5
Sdt
dQ


dt
dQ


Transfert de chaleur spontané
Région
Өbasse
Région
Өélevée
Flux thermique (W)
Densité de flux thermique (W/m2
)
Quantité de chaleur échangée (Joule)
S



?

CONDUCTION 6
Loi de Fourier
Système à une dimension
2

2
S
1
S
1

dx
dӨ
x
.
dS
Densité de flux thermique:
dx
d

 

φ
Écoulement de chaleur dans le sens des températures décroissantes
Gradient de la fonction Ө dans la direction normale à dS
cœfficient de proportionnalité, caractéristique du milieu considéré
Étude expérimentale: dSdt
dx
d
dQx




grad

CONDUCTION 7
Loi de Fourier





















z
y
x
z
y
x











 grad


• Milieu isotrope
Hypothèses:
:  = Constante



















 k
z
θ
j
y
θ
i
x
θ
λ
k
j
i z
y
x 


k
i
j
y
x
z
Système à trois dimensions
• Variation de la température dans les trois directions de l’espace
?
Ф

CONDUCTION 8
Loi de Fourier
 Les lignes de force ou lignes de courant de chaleur du champ
thermique, φ, sont rectilignes et perpendiculaires aux surfaces
isothermes.
 Les lignes de forces qui s’appuient sur une courbe fermée
forment un tube de force ou tube de courant. Dans un tel tube
le flux thermique est conservatif, en régime permanent.
 La loi de Fourier a servi de base à la loi d’Ohm, d’où la
résolution, de nombreux problèmes de conduction, se fait de
façon analogue en étudiant le passage du courant électrique
dans un système conducteur.

CONDUCTION 9
Conductivité thermique
Nature du matériaux
Solides Gaz
a>0, pour de nombreux matériaux isolants
 = F(Ө)
Grandeur physique
(W/mK =W/m°C )
=
Liquides
 = F(P)
coefficient caractéristique de chaque matériau
a<0 , pour la plupart des métaux et alliages
conductivité thermique du matériau à 0K
Matériau conducteur Matériau isolant
faible
élevée
Température
 


 a

 1
0

CONDUCTION 10
Matériaux de construction
Évolution avec l'humidité
H
0,08
0e
λ
λ 
du matériau sec
Humidité relative
(%)
Un matériau humide est plus conducteur de la chaleur
qu’un matériau sec

CONDUCTION 11
Conductivité thermique des métaux
Substance T(°C)  (kcal/hm°C)
cuivre 18 330
100 327
Acier 18 40
100 38
Aluminium 100 177
300 230
600 364

CONDUCTION 12
Conductivité thermique des liquides
substance T(°C)  (kcal/h m°C)
Eau
20 0,52
60 0,56
100 0,58
Sodium
100 74
300 65
500 57
Utilisation de sels de sodium comme fluide caloporteur, pour le
refroidissement des réacteurs nucléaires.
Plomb 330 14,0
700 13,0
mercure 0 7,0
120 9,4
Métaux
fondus

CONDUCTION 13
Conductivité thermique des gaz
(k Cal/ h m°C)
Ө(K)
Gaz
100 200 300
H2 0,058 0,11 0,15
O2 0,008 0,016 0,023
CO2 - 0,008 0,014
CH4 0,09 0,019 0,029
NO - 0,015 0,022
λ des gaz < λ des liquides < λ des solides

CONDUCTION 14
Conduction dans les solides
 Le calorifugeage des surfaces
Transfert de chaleur à travers les tubes des
échangeurs
Dégagement de chaleur, par effet joule dans les
conducteurs

CONDUCTION 15
Conduction dans les solides
Équations de la conduction
Régime transitoire
avec source d’énergie
Sans source d’énergie
Régime permanent

CONDUCTION 16
 Vitesse = 0
Hypothèses
 solide
 Milieu homogène et isotrope
 Les grandeurs physico-chimiques , , CP
sont supposées être, d'une part indépendantes de
la température, et d'autre part, identiques dans
tout le volume du solide considéré.

CONDUCTION 17
Mise en équation du bilan thermique
= flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
flux de chaleur perdu par la surface extérieure de ce volume
V dS
n

la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention,
tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement



S
dS
n
.





V
dV
div 
?
Intégrale de surface
?
Intégrale de volume
Théorème
de Green-Ostrogradski

CONDUCTION 18
flux de chaleur générée = 

V
PdV
La puissance thermique P est une source interne produite par unité de
volume du milieu (W.m-3
)
V dS
n

P
Exemples:
-Transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire;
- Absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
?

CONDUCTION 19
Régime variable
 


V
p dV
t
θ
ρC
accumulation d'énergie interne
V dS
n

P
=?

CONDUCTION 20
Bilan thermique
t
θ
ρC
P
div p




 
V dS
n

P
flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
+ flux de chaleur générée = accumulation d'énergie interne
 
 




V V
p
V
dV
t
ρC
dV
P
dV
div


Soit:

CONDUCTION 21
Équations de la chaleur
0
div 
 
t
P






 p
ρC
div
0
div 

 P

 Régime transitoire:
 Régime permanent:
 Régime permanent, sans source d’énergie:
0

dt
d
P=0

CONDUCTION 22
t
P
grad






 p
ρC
)
div(
t
P
grad







 p
ρC
)
div(-
• Équation de Poisson:
t







1
• Équation de Laplace: 0


t
P






 p
ρC
div 

 grad


et
p
C


 
La diffusivité de la chaleur dans un milieu donné:
t
P








p
ρC
• Équation de Fourier:
0





P
P=0
?
0



t

?
0



t

et
P=0?

CONDUCTION 23
0
t
ρC
P
)
z
θ
y
θ
x
θ
α(
p
2
2
2
2
2
2














r
r+dr
z z+dz
r
z
φ r
φr+dr
φ
z
φ z+dz
 Coordonnées cartésiennes:
 Coordonnées cylindriques à symétrie axiale:
0
t
θ
P
z
θ
r
θ
r
r
r
1
2
2


























p
C


 Coordonnées sphériques à symétrie centrale
0
t
θ
ρC
P
r
θ
r
r
r
1
p
2
2
























r
dx
dz
dy
z
y
x
L
R
Si, L >> R
0
t
ρC
P
x
θ
α
p
2
2








Mur plan:
0
t
θ
P
r
θ
r
r
r
1























p
C



CONDUCTION 24
Équation de la chaleur
 Notons que l’équation de chaleur est écrite sous forme
différentielle.
 Son intégration donne la distribution du flux de chaleur
(ou la densité de flux).
 Une deuxième intégration permet d’obtenir la
distribution des températures.
 Les constantes d’intégration sont déterminées en
vérifiant des conditions limites.

CONDUCTION 25
Conditions aux limites
 Condition initiale à t=0:
La distribution des températures à l’intérieur du solide et sur sa
surface est supposée connue
 Conditions de surface à t>0:
• Spécification de la température de la paroi
2
2
1
1 


 grad
grad 
• Transfert à l’interface de deux solides de natures
différentes, la conservation du flux :
• Spécification de flux de chaleur à travers une face
• Spécification de la température du milieu fluide en contact avec la
surface: Φ=hS(Өp-Өf)
• Continuité des températures et des flux aux interfaces

CONDUCTION 26
Surface plane simple
Mur = matériau conducteur
0



 dx
x
x
1. Bilan thermique:
Soit :
0


dx
d
1
c


2. Loi de FOURIER : dx
d
S





3. Conditions limites :
1
c
dx
d
S 


 2
1
c
x
S
c





)
( 1
0
1 




e
S
c
Flux thermique :
)
( 1
0 





e
S
Résistance thermique:


 1
0 

R
S
e
R


0
0 
 

x
1

 
e
x
0
2 

c
Si Ө0 > Ө1
Ф=?
e
0
Ө1
P1
S
Ө0
P0
Фx
Φx+dx
x

P
Ө+dӨ
P’
x+dx

Ө
?
?
x

CONDUCTION 27
Analogie électrique
R
U = RI
 
I
Électricité
Rth
T = RthФ
 
Ф
Thermique

CONDUCTION 28
1er
exemple d’application
1. en déduire la résistance thermique de la vitre, sachant que, la
conductivité thermique du verre est:
λv = 0,7 W.m-1
.K-1
2. Pour les mêmes températures de paroi, calculer le flux
traversant un m² de mur de briques de 26 cm d’épaisseur.
3. En déduire la résistance thermique, sachant que, la conductivité
thermique des briques est:
λb = 0,52 W.m-1
.K-1
.
Calculer le flux traversant une vitre de 1 m² de surface et de 3,5 mm
d’épaisseur. La température de la face interne de la vitre est égale à
10°C, celle de la face externe est égale à 5°C.

CONDUCTION 29
Solution
du 1er
)
( 1
0 





e
S
V
)
5
10
(
10
.
5
,
3
1
.
7
,
0
3


 
V
Flux traversant 1m² de vitre :
A.N.:  W
V 1000


1. Résistance thermique d’1m² de vitre :
S
e
RV







)
( 1
0
W
C
RV /
10
.
5
7
,
0
10
.
5
,
3 3
3


 

A.N.:
2. Flux traversant 1m² de mur de briques : )
( 1
0 





e
S
b
)
5
10
(
26
,
0
1
.
52
,
0


b
A.N.: W
b 10



3. Résistance thermique d’1m² de brique:
W
C
Rb /
5
,
0
1
.
52
,
0
26
,
0



A.N.:

CONDUCTION 30
Analyse des résultats
Pour une même surface et un même écart de
température, le flux perdu par la vitre est 100 fois plus
élevé que celui perdu par le mur de briques dont la
conductivité est plus faible et dont l’épaisseur est
beaucoup plus élevée que celle de la vitre.

CONDUCTION 31
Surface plane simple
Mur = matériau conducteur
Flux thermique : Résistance thermique:
Ф=?
Air Froid
Өa1
e
0
Ө1
P1
S
Ө0
P0
x
Ф0
Φ1
Air chaud
Өa0
1. Loi de FOURIER :
S
h
S
e
S
h
a
a
1
0
1
0
1
1
)
(








S
h
S
e
S
h
R
1
0
1
1




)
( 1
0 





e
S
flux à travers le mur:
2. Loi de Newton :
)
( '
0
0
0
0 
 

 a
S
h
)
( 1
'
1
1
1 a
S
h 
 


• continuité des températures:
• continuité des flux
1
'
1
0
'
0 


 
 et




 1
0
• flux à travers le Plan P0:
• flux à travers le Plan P1:
h0
h1
?
Résistances
thermiques

CONDUCTION 32
Surfaces planes en série
S
e1 e2 e3
x
1 2 3

Ө0

Ө1

Ө2

Ө3
Ө0 > Ө1 > Ө2> Ө3
Mur composite
• Le contact entre chaque couche est parfait → Ө
à l'interface entre 2 matériaux est identique.
1. Hypothèse:
Ф=?
2. flux traversant chaque mur
• Pour le mur 1 :
• Pour le mur 2:
• Pour le mur 3 :
)
( 1
0
1
1






e
S
)
( 2
1
2
2






e
S
)
( 3
2
3
3






e
S
En additionnant membre à membre :













S
e
S
e
S
e
3
3
2
2
1
1
3
0
















S
e
S
e
S
e
R
3
3
2
2
1
1



• La surface de contact entre chaque
matériau est constante → flux surfacique
constant: 1= 2= 3=
S
e
R
S
e
R
S
e
R
où
R
R
R
R
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
;
;
:










CONDUCTION 33
2ème
1. Calculez les pertes thermiques, pour une vitre de 1 m² en négligeant
l’effet du coefficient de convection de part et d’autre de chaque vitre.
2. Comparez ces pertes thermiques à celles qui seraient obtenues avec une
seule vitre d’épaisseur égale à 3,5 mm.
Un double vitrage est constitué de deux plaques de verre séparées par une
couche d’air sec immobile. L’épaisseur de chaque vitre est de 3,5 mm et
celle de la couche d’air est de 12 mm. Les conductivités thermiques sont:
v = 0,7 W.m-1
.°C, et a = 0,024 W.m-1
.°C-1
sur le domaine de température
étudié.
Pour une chute de température de 5°C entre les deux faces extrêmes du
double vitrage, on vous demande:

CONDUCTION 34
Solution
du 2ème












S
e
S
e
a
a
v
v
ext
dv




.
2
)
( int
1. Le double vitrage est constitué de trois résistances thermiques en
série. Le flux traversant ce double vitrage est donné par :













 

024
,
0
10
12
7
,
0
10
5
,
3
2
1
5
3
3
dv
A.N. :  W
dv 8
,
9


2. le flux traversant une seule vitre en verre, pour une même surface et une
même différence de température:










 
7
,
0
10
5
,
3
1
5
3
1v
A.N. :
 W
v 1000
1 












S
e
v
v
ext
v


 )
( int
1
3. Comparaison des deux flux:
Ф1v  100Фdv

CONDUCTION 35
 La résistance thermique de l'air est 100 fois plus élevée que celle de chaque vitre, la
chute de température dans l'air sera 100 fois plus élevée que dans chaque vitre.
Өint - Ө1 = Rv . Φ = 0,005 x 9,8 = 0,049 °C
Ө1 - Ө2 = Ra . Φ = 0,5 x 9,8 = 4,9 °C
Ө2 - Өext = Rv . Φ = 0,005 x 9,8 = 0,049 °C
 Le double vitrage permet de réduire, 100 fois les pertes thermiques à
travers la vitre. Ceci est surtout dû à la résistance thermique très élevée de la
couche d'air qui a une faible conductivité thermique.
Өext
ev=3,5mm ev=3,5mm
ea=12 mm
v
a
v
Өint

Ө1
Ө2


CONDUCTION 36
Surfaces planes en parallèle
1
1
1
S
e
R


3
3
3
S
e
R


1. Hypothèse:
• Température uniforme sur chaque face
2. flux traversant chaque mur
3. flux total:
• Murs en contact parfait
• Pour le mur 1 :
• Pour le mur 2:
• Pour le mur 3 :
1
1
0
1
R

 


2
1
0
2
R

 


2
2
2
S
e
R


3
2
1 



















3
2
1
1
0
1
1
1
)
(
R
R
R

 













3
2
1
1
0 1
1
1
1
)
(
R
R
R
R
avec
R


3
1
0
3
R

 


e
S1
S3
S2
Ө0 
Ө1
Φ2
Φ3
1
2
3
Φ1
Φ?
Mur composite

CONDUCTION 37
3ème
Calculer le flux traversant la façade de 50 m² d'une maison. Le
mur est constitué de briques de 26 cm d'épaisseur. La façade
est percée de 4 vitres de 2 m² de surface et 3,5 mm d'épaisseur
et d'une porte en bois de 2m² et de 42 mm d'épaisseur.
On suppose que la température de paroi interne est égale à
10°C pour tous les matériaux constituant la façade, de même, la
température de paroi externe est de 5°C. On donne:
Conductivité thermique du verre : λv = 0,7 W.m-1
.K -1
Conductivité thermique des briques : λb = 0,52 W.m-1
.K -1
Conductivité thermique du bois : λbois = 0,21 W.m-1
.K -1

CONDUCTION 38
Solution
du 3ème
p
bois
p
p
S
e
R


2
1
2
,
0
042
,
0


p
R
• Résistance thermique de la porte
• Résistance thermique du mur :
• Résistance équivalente de la façade
• Résistance thermique des vitres:
A.N. :
v
v
v
v
S
e
R

 0,625.10-3
°C/W
A.N. : 2
4
7
,
0
10
5
,
3 3




v
R
0,1 °C / W
m
b
m
m
S
e
R


)
2
2
4
50
(
52
,
0
26
,
0





m
R
A.N. : 0,0125 °C / W











3
2
1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
Façade
)
( 1
0 
 


C
w
R






 
/
80
10
1600
0125
,
0
1
1
,
0
1
62510
,
0
1
1
3
A.N. : R=0,592.10 -3
°C/W
• Flux traversant la façade:
A.N. : 3
10
592
,
0
)
5
10
(



Façade Φfaçade = 8450 W

CONDUCTION 39
Il serait important de réduire le flux perdu par les vitres.
m
p
v
façade 






A.N.: W
et
W
W m
p
v 400
50
8000 





m
p
v
façade S
S
S
S 

 2
2
2
40
2
8 m
S
et
m
S
m
S m
p
v 


et
Le flux perdu par conduction par les vitres est plus important que celui
perdu par le mur, bien que la surface des 4 vitres est très inférieure à
celle de mur.
Utilisation d’un double vitrage
A.N.:
?

CONDUCTION 40
Ө1 
Ө0

r0
r1
Surface cylindrique simple
1. Hypothèse:
2. Bilan thermique:
Flux thermique : Résistance thermique:
 Ф radial
Фr - Фr+dr = 0 0


dr
d r
,
 1
c
r 

dr
dθ
r
Lλ
2
dr
dθ
λS
Φr 





3. Loi de FOURIER :
1
dr
dθ
r
Lλ
2 c

 
Profil de température: 2
1
c
r
Ln
λL
2
c
θ 



2
0
1
0
0
0 c
r
Ln
λL
2
c
θ
θ
r 





r
2
1
1
1
1
1 c
r
Ln
λL
2
c
θ
θ
r
r 






0
0
1
1
0
0
2
0
1
1
0
1 c
λL
2
c r
Ln
r
r
Ln
et
r
r
Ln 





































0
1
1
0
r
r
Ln
θ
θ
λL
2π
Φ
L
2
0
1











r
r
Ln
Rth
Ф
?
Ф
=?
Tube de longueur, L et 
• les surfaces isothermes sont des
surfaces cylindriques coaxiales
• régime permanant sans génération de chaleur
?
r
+
d
r
r

CONDUCTION 41
Expression du flux en fonction des dimensions
absolues du tube
?
)
,
( ml
s
e
f












0
1
0
1
2
2
)
(
2
Lr
Lr
Ln
r
r
L
Sml



ml
ml Lr
r
r
Ln
r
r
L
S 
 2
)
(
2
0
1
0
1





















0
1
0
1
ml
S
S
Ln
S
S
S
• Moyenne logarithmique, appliquée aux deux rayons r0 et r1:
ml
ml
r
e
r
r
Ln
r
r
Ln
e
r
r
Ln
r
r
r 




























0
1
0
1
0
1
0
1
• Moyenne logarithmique, appliquée aux deux surfaces, S0 et S1:
surface latérale interne du tube: S0 = 2  r0L
surface latérale externe du tube: S1 = 2  r1L
)
(
λS
1
0
ml

 


e











0
1
1
0
λL
2
r
r
Ln



ml
th
S

e
R 
?
L
S
r ml
ml

2


CONDUCTION 42
Profil radial des températures
à travers le tube











0
0
r
r
Ln
λL
2
θ


0
1
0
0
1
0
Lnr
Lnr
Lnr
Lnr
θ
θ
θ
θ
















0
1
1
0
λL
2
r
r
Ln



avec:

 le long d'un rayon, la température décroît de Ө0 à Ө1,
selon une loi logarithmique.
 Le profil radial des températures n'est pas linéaire.
?

CONDUCTION 43
4ème
Soit un tube d'acier 20/27 dont la température de la paroi
interne est:
Өi = 119,75°C et celle de la paroi externe, Өe = 119,64°C.
Conductivité thermique de l'acier : = 46 W.m-1
.°C-1
Calculer :
1. la résistance thermique du tube pour une longueur de 1
m.
2. le flux de chaleur, correspondant.

CONDUCTION 44
Solution
du 4ème
L
r
r
Ln
R

2
0
1









1. Résistance thermique du tube, pour une longueur de 1 m est :
R = 1,038.10-3
°C/W
1
2
46
2
/
20
2
/
27










Ln
R
2. Le flux de chaleur traversant, par conduction, un tube de 1m de longueur:
Φ = 105,97 W
R
)
( 1
0 
 


3
10
038
,
1
)
64
,
119
75
,
119
(




A.N. :
A.N. :

CONDUCTION 45
Surfaces cylindriques concentriques




 n
1
i i
1
i
i
n
0
L
λ
2π
)
/r
(r
Ln
)
θ
(θ
Φ
• n: nombre de couches élémentaires
• Ө0 et Өn sont les températures des faces internes et externes
• 1, 2 …, n : conductivités thermiques de matériaux




n
1
i i
1
i
i
L
λ
2π
)
/r
(r
Ln
R
et
Flux thermique Résistance thermique
• r1, …ri …, rn : rayons des faces ou interfaces successives
Application au calorifugeage de
tube

CONDUCTION 46
5 ème
L'intérieur du tube 20/27 étudié dans l'exemple précédent est entartré sur une
épaisseur de 2 mm.
On suppose que les températures intérieures et extérieures restent inchangées : la
température de la paroi interne est Ө1= 119,75°C et celle de la paroi externe
Ө2 = 119,64°C.
Calculer :
1. la résistance thermique de la couche de tartre (pour une longueur de 1 m)
2. la résistance équivalente du tube entartré.
3. le flux thermique correspondant.
On donne la conductivité thermique du tartre : λC = 2,2 W.m-1
.°C-1

CONDUCTION 47
Solution
5ème
rt
r0
r1
Ө1 
Ө0 
Tartre
Acier
e = r0- rt = 2 mm  rt = 8 mm
r1=13,5 mm
• Rayon du tartre:
• Rayon interne du tube:
• Rayon externe du tube:
r0= 10 mm

CONDUCTION 48
Solution
5ème
L
2 t
t
0
t










r
r
Ln
R
1
2
,
2
2
8
10










Ln
Rt
R
)
( 1
0 
 


1. la résistance thermique de la couche de tartre , pour une longueur de 1 m:
2. la résistance équivalente du tube entartré est donnée par les deux
résistances en série:
3. Le flux traversant le tube entartré de 1m de longueur:
A.N. Rt
= 1,614.10-2
°C/ W
R = Racier + Rtartre
R = 1,038.10-3
+ 1,614.10-2 R = 1,718.10-2
°C/W
A.N.
A.N. 2
10
718
,
1
)
64
,
119
75
,
119
(




Φ = 6,4 W

CONDUCTION 49
2. Le flux traversant le tube entartré de 1m de longueur:
1. Le flux traversant le tube de 1m de longueur:
Φ = 105,97 W
Φ = 6,4 W

Le tartre réduit les pertes thermiques

CONDUCTION 50
Surfaces sphériques
1. Hypothèse:
2. Bilan thermique:
3. Loi de FOURIER :
• régime permanant sans source d’énergie
• surfaces isothermes sont des sphères concentriques
Фr – Фr+dr = 0
0


dr
d r  1
c
r 

1
c
dr
dθ
2
r
λ4π
Φ 


2
1 1
4
c
r
c




2
1
1
1
1
1 c
r
1
λ
4
c
θ
r
r 





 0
1
0
1
0
0
2
1
0
1
0
1
1
1
1
c
1
1
λ
4
c
r
r
r
et
r
r













flux de chaleur
0
1
1
0
1
0
λ
4
r
r
r
r







Résistance thermique
0
1
0
1
r
λr
4
r
r



th
R
2
0
1
0
0
0 c
r
1
λ
4
c
θ
r
r 






r0
r1

Ө0
Ө1

r

CONDUCTION 51
Forme du flux thermique
e
Sm
1
0
λ

 


2
1
1
2
0
0 4
4 r
S
et
r
S 
 

0
1
2
/
1
1
0 )
( r
r
e
et
S
S
Sm 


0
1
0
1
th
r
λr
4π
r
r
R


• Surface moyenne appliquée aux deux surfaces, S0 et S1:
Avec:

CONDUCTION 52
• n: nombre de couches élémentaires
 1, 2 …, n : conductivités thermiques de matériaux
• Ө0 et Өn sont les températures des faces internes et
externes
• r1, …ri …, rn : rayons des faces ou interfaces
successives
Surfaces sphériques concentriques
Φ = ?

CONDUCTION 53
Conduction en régime variable
Système évolue constamment sans jamais atteindre
un équilibre thermique
Importance
Domaine de la science et technologie des matériaux
Exemple
traitements thermiques des matériaux et la solidification
T = T (x,y,z,t)
t
C
P
p 









CONDUCTION 54
 Régime transitoire sans source d’énergie
Hypothèses
 P = 0
 Milieu homogène et isotrope
 Les grandeurs physico-chimiques , , c
sont constantes

CONDUCTION 55
Approximation des systèmes minces
Abandon de l’équation de conduction
pour une formulation globale
Température Uniforme à l’intérieur du corps considéré
Résistance thermique aux bords >> Résistance thermique à l’intérieur
T = T (t)

CONDUCTION 56
Solide de conductivité thermique infinie
• Volume V
• Surface extérieure S
• Masse volumique 
• Chaleur massique C
• Conductivité thermique 
V
T(t)
S
(h, T)
Fluide
)
( 





T
T
hS
t
T
CV

Taux d’accumulation de la chaleur Pertes de chaleur par convection
Supposons que: Étude de transfert de chaleur entre solide et le fluide
Condition initiale: t = 0  T = T0














t
cV
hS
T
T
T
T

exp
0

CONDUCTION 57
Nombres adimensionnels
• Nombre de Biot:
Définition de la longueur caractéristique:
S
V
Lc 














t
CV
hS
T
T
T
T

exp
0
t
L
hL
t
L
L
h
t
CV
S
h
t
cV
hS
c
c
c
c
2
2











[W/(m2
K)]
(W/ m.K)
m
m2
/s
s
m2

c
i
hL
B 
2
0
c
L
t
F


•Nombre de Fourier:

CONDUCTION 58
Nombre de Biot
• On le définit de la manière suivante: 
c
i
hL
B 













hS
S
L
B
c
i
1

C’est un nombre sans dimension utilisé dans les calculs de
transfert thermique en régime transitoire. Il compare les
résistances au transfert thermique à l'intérieur et à la surface d'un
corps.
S
Validité de l’approximation adoptée au départ
• Bi  1 la conduction de la chaleur à l'intérieur du corps est plus lente qu'à
sa surface, et que les gradients de température ne sont pas négligeables au sein
du corps.
• Si Bi <0,1 le nombre de Biot d'un système est petit devant 1 (on utilisera
souvent Bi<0,1),  la résistance interne est négligeable, et donc que la
température peut être considérée comme uniforme à l'intérieur du corps.

CONDUCTION 59
Nombre de Fourier
2
0
c
L
t
F


Le nombre de Fourier indique le degré de pénétration de la chaleur
en régime variable, pour un corps donné, soit:

CONDUCTION 60
Variation de la température relative d’une plaque infinie
initialement à une Température uniforme Ti puis
soumise à un environnement à température T

CONDUCTION 61
Exercice 10
Une tige d’acier de diamètre extérieur de 1cm
portée à une température de 320°C est plongée
à l’instant t=0, dans un bain à 120°C. Le
coefficient convectif de transfert thermique de
ce liquide est 100 W/m2
K. Déterminer le temps
nécessaire pour que la température de la tige
atteigne la température T=200°C.
On donne : =7800kg/m3
, c=460J/kgK,
=40W/mK et L=1m.

Chapitre 2_transfert_thermique _Conduction

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