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Groupe: IEX 05
Correction EMD 2 : Thermodynamique et Transfert de Chaleur
Exercice 1 (6 Pts)
1- Calcul de l’irradiation Totale (1Pts)
0
G G dλ λ
∞
= ∫ …0,5
1
G=400 (2 1)+300 (4 2) 300 (7 4)
2
⇒ × − × − + × × −
Donc G=1450 W/m2
…0,5
2- Calcul de la radiosité Totale (1.5 Pts)
On a J=E+ρG …0,5
Et d’après les données ρ=0.4, α=0.6 …0,5 donc
J=600+0.4x1450 ⇒ J=1180 W/m2
…0,5
3- le flux radiatif net (1.5 Pts)
q=J−G …0,5 ⇒ q=-270 W/m2
(flux reçu) …1
4-Le schéma du bilan d’énergie (2 Pts)
Exercice 2 (6 Pts)
1-Calcul du flux radiatif net (1,5 Pts)
Le calcul du facteur de forme F12
On a F11+F12+F13=1 (F13 pour la surface en pointillé) avec F11=0
F12=F13 (Symétrie) donc F12=0.5…0,5
Le flux radiatif net entre les deux surfaces noires :
4 4
12 1 12 1 2Q A F (T T )σ= − …0,5 avec A1=0.1x1 donc
Q12≈1680 W …0,5
2- Le schéma électrique (1 Pts)
3- Calcul du nouveau flux radiatif net (2 Pts)
Puisque la troisième surface est isolée (Q3=0)
Donc Q1=-Q2=-Q12 donc
b1 b2
12
eq
E E
Q'
R
−
= …0,5
On a F12=F13=F23=0.5 et A1= A2= A3 …0,5 (triangle équilatérale)
[ ]
1
1
eq 1 12 1 13 2 23
1 12
2
R A F 1/A F 1/A F
3A F
−
−
 = + + =
  …0,5 donc
4 4
12 1 12 1 2
3
Q' A F (T T )
2
σ= − ⇒ Q’12≈2520 W …0,5
4- calcul de la température de la troisième surface (1,5 Pts)
Q3=0 ⇒ Q13= Q23…0,5 1 12 b1 b2 3 32 b3 b2A F (E E ) A F (E E )⇒ − = − donc
4
b3 3 b1 b2E = T =(E + E )/2σ ⇒
1/4
4 4
3 1 2T (T T )/2 = +  …0,5
q=-270
Unité : W/m2
T3=916 K …0,5
Exercice 3 (8 Pts)
1-détermination de l’équation de la chaleur dans le cœur radioactif (3Pts)
L’équation de la chaleur dans ces conditions s’écrit
2
2
1
0
λ
∂
+ =
∂
&T q
x
…0,5 si on intègre deux fois on obtient la solution :
2
1 2
1
( )
2
q
T x x C x C
λ
= − + +
&
…0,5, on déduit C1 et C2 à partir des conditions aux limites :
x=-L : T=T1=
2
1 2
12
q
L C L C
λ
− − +
&
;x=L: T=T2=
2
1 2
12
q
L C L C
λ
− + +
&
donc on obtient
21 2
2
12 2
T T q
C L
λ
+
= +
&
…0,5 1 2
1
2
−
= −
T T
C
L
…0,5
2 2 1 2 1 2
1
( ) ( )
2 2 2
T T T Tq
T x L x x
Lλ
− +
= − − +
&
…1
2- Schéma de distribution de la température dans le système (1,5 Pts)
-Dans la première couche d’acier –b−L<x<-L c’est une conduction sans sources donc
T(x)=ax+b Mais une face est isolé x=-b-L :
dT/dx=0 ⇒ T(x)=b=T0=T1….0,5
- Pour -L<x<L c’est la fonction de la partie 1 avec
dT/dx=0 (x=-L)
- Pour L<x<L+b c’est une conduction sans
sources donc T(x)=a’x+b’ et on obtient :
T(x)= (T3− T2)(x-L)/b+ T2…0,5 et on obtient le
schéma suivant…0,5 :
3- Calcul des températures T0, T1, T2, et T3. (2,5 Pts)
En régime permanent on a la conservation du flux : 3( )g convQ Q qV hS T T∞= ⇒ = −& & &
3 3
2
2 ( )
qL
qS L hS T T T T
h
∞ ∞⇒ × = − ⇒ = +
&
& donc T3=260 °C…0,75
En régime permanent on a la conservation du flux : g condQ Q=& &
2 2 32 ( )/qS L S T T bλ⇒ × = −&
2 3
2
2qLb
T T
λ
⇒ = +
&
⇒ T2=380 °C…0,75
Pour x=-L on a dT/dx=0⇒
2
1 2
1 2
1 1
2
0
2
T Tq qL
L T T
Lλ λ
−
= − ⇒ = +
& &
Donc T1=530°C…0,75
T0=T1=530°C…0,25
4- Les températures maximales et minimales (1 Pts)
On a pour x=-L, dT/dx=0 ⇒ Tmax= T(L)=T1 ⇒ Tmax =530°C...0,5
Il est clair d’après le schéma que Tmin=T(L)=T2 ⇒ Tmin =380°C…0,5

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  • 1. Groupe: IEX 05 Correction EMD 2 : Thermodynamique et Transfert de Chaleur Exercice 1 (6 Pts) 1- Calcul de l’irradiation Totale (1Pts) 0 G G dλ λ ∞ = ∫ …0,5 1 G=400 (2 1)+300 (4 2) 300 (7 4) 2 ⇒ × − × − + × × − Donc G=1450 W/m2 …0,5 2- Calcul de la radiosité Totale (1.5 Pts) On a J=E+ρG …0,5 Et d’après les données ρ=0.4, α=0.6 …0,5 donc J=600+0.4x1450 ⇒ J=1180 W/m2 …0,5 3- le flux radiatif net (1.5 Pts) q=J−G …0,5 ⇒ q=-270 W/m2 (flux reçu) …1 4-Le schéma du bilan d’énergie (2 Pts) Exercice 2 (6 Pts) 1-Calcul du flux radiatif net (1,5 Pts) Le calcul du facteur de forme F12 On a F11+F12+F13=1 (F13 pour la surface en pointillé) avec F11=0 F12=F13 (Symétrie) donc F12=0.5…0,5 Le flux radiatif net entre les deux surfaces noires : 4 4 12 1 12 1 2Q A F (T T )σ= − …0,5 avec A1=0.1x1 donc Q12≈1680 W …0,5 2- Le schéma électrique (1 Pts) 3- Calcul du nouveau flux radiatif net (2 Pts) Puisque la troisième surface est isolée (Q3=0) Donc Q1=-Q2=-Q12 donc b1 b2 12 eq E E Q' R − = …0,5 On a F12=F13=F23=0.5 et A1= A2= A3 …0,5 (triangle équilatérale) [ ] 1 1 eq 1 12 1 13 2 23 1 12 2 R A F 1/A F 1/A F 3A F − −  = + + =   …0,5 donc 4 4 12 1 12 1 2 3 Q' A F (T T ) 2 σ= − ⇒ Q’12≈2520 W …0,5 4- calcul de la température de la troisième surface (1,5 Pts) Q3=0 ⇒ Q13= Q23…0,5 1 12 b1 b2 3 32 b3 b2A F (E E ) A F (E E )⇒ − = − donc 4 b3 3 b1 b2E = T =(E + E )/2σ ⇒ 1/4 4 4 3 1 2T (T T )/2 = +  …0,5 q=-270 Unité : W/m2
  • 2. T3=916 K …0,5 Exercice 3 (8 Pts) 1-détermination de l’équation de la chaleur dans le cœur radioactif (3Pts) L’équation de la chaleur dans ces conditions s’écrit 2 2 1 0 λ ∂ + = ∂ &T q x …0,5 si on intègre deux fois on obtient la solution : 2 1 2 1 ( ) 2 q T x x C x C λ = − + + & …0,5, on déduit C1 et C2 à partir des conditions aux limites : x=-L : T=T1= 2 1 2 12 q L C L C λ − − + & ;x=L: T=T2= 2 1 2 12 q L C L C λ − + + & donc on obtient 21 2 2 12 2 T T q C L λ + = + & …0,5 1 2 1 2 − = − T T C L …0,5 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 T T T Tq T x L x x Lλ − + = − − + & …1 2- Schéma de distribution de la température dans le système (1,5 Pts) -Dans la première couche d’acier –b−L<x<-L c’est une conduction sans sources donc T(x)=ax+b Mais une face est isolé x=-b-L : dT/dx=0 ⇒ T(x)=b=T0=T1….0,5 - Pour -L<x<L c’est la fonction de la partie 1 avec dT/dx=0 (x=-L) - Pour L<x<L+b c’est une conduction sans sources donc T(x)=a’x+b’ et on obtient : T(x)= (T3− T2)(x-L)/b+ T2…0,5 et on obtient le schéma suivant…0,5 : 3- Calcul des températures T0, T1, T2, et T3. (2,5 Pts) En régime permanent on a la conservation du flux : 3( )g convQ Q qV hS T T∞= ⇒ = −& & & 3 3 2 2 ( ) qL qS L hS T T T T h ∞ ∞⇒ × = − ⇒ = + & & donc T3=260 °C…0,75 En régime permanent on a la conservation du flux : g condQ Q=& & 2 2 32 ( )/qS L S T T bλ⇒ × = −& 2 3 2 2qLb T T λ ⇒ = + & ⇒ T2=380 °C…0,75 Pour x=-L on a dT/dx=0⇒ 2 1 2 1 2 1 1 2 0 2 T Tq qL L T T Lλ λ − = − ⇒ = + & & Donc T1=530°C…0,75 T0=T1=530°C…0,25 4- Les températures maximales et minimales (1 Pts) On a pour x=-L, dT/dx=0 ⇒ Tmax= T(L)=T1 ⇒ Tmax =530°C...0,5 Il est clair d’après le schéma que Tmin=T(L)=T2 ⇒ Tmin =380°C…0,5