2. Semi-conducteurs à l’équilibre
• Dopage des semi-conducteurs
• Semi-conducteur intrinsèque
• Le dopage n et p
• Calcul de la densité de porteurs extrinsèques
2
3. Semi-conducteurs
• Structure en bandes
d’énergie:
• Bande de valence: c’est la
dernière bande remplie à
T=0K
• Bande de conduction: c’est
la bande immédiatement au
dessus et vide à T=0K
3
4. Notion de trous (+e !)
• La notion de bandes
permet d’introduire le
porteur de charge positif
: un trou
4
Aux températures
différentes de 0 K,
électrons « montent » dans
BC, laissent des « trous »
dans la BV
8. Densité de porteurs dans les bandes
• Fonction de Fermi:
• Densité d’états:
• Densité de porteurs:
8
Eg
kT
F
E
E
e
E
f /
)
(
1
1
)
(
2
/
1
2
/
3
2
*
2
)
(
2
2
1
)
( C
c
C E
E
m
E
N
2
/
1
2
/
3
2
*
2
)
(
2
2
1
)
( E
E
m
E
N V
v
v
C
E
n
C dE
E
f
E
N
n ).
(
).
(
V
E
p
v dE
E
f
E
N
p ).
(
).
(
9. Densité de porteurs dans les bandes
• Approximation de Boltzmann:
• Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du minimum de la
bande de conduction ou du maximum de la bande de valence, on
peut simplifier la fonction de distribution:
9
kT
E
E
e
E
n
f F
/
)
(
)
(
kT
E
E
e
E
n
f F
/
)
(
)
(
kT
E
E
e
E
p
f F
/
)
(
)
(
kT
E
E
e
E
p
f F
/
)
(
)
(
10. Densité de porteurs dans les bandes
• Dans ces conditions (Boltzmann), la densité de
porteurs libres s’écrit:
• Dans la bande de conduction (électrons):
• Dans la bande de valence (trous):
10
)
exp(
kT
E
E
N
n F
C
C
)
exp(
kT
E
E
N
n F
C
C
)
exp(
kT
E
E
N
p v
F
v
)
exp(
kT
E
E
N
p v
F
v
avec
2
/
3
2
*
2
2
h
kT
m
N C
C
2
/
3
2
*
2
2
h
kT
m
N C
C
2
/
3
2
*
2
2
h
kT
m
N v
v
2
/
3
2
*
2
2
h
kT
m
N v
v
avec
11. Loi d’action de masse np=ni
2
• Dans un semi-conducteur intrinsèque, la densité de
trous est égale à la densité d’électrons:
• En faisant n=p, on obtient le niveau de Fermi
intrinsèque:
11
2
2
/
3
*
*
3
2
)
exp(
)
(
2
4 i
g
h
e n
kT
E
m
m
kT
np
)
ln(
2
2 V
C
V
C
Fi
i
N
N
kT
E
E
E
E
12. Semi-conducteur intrinsèque
• Variation exponentielle
de la densité de
porteurs
• Si ni>1015cm-3, le
matériau inadapté pour
des dispositifs
électroniques.
12
SC à grands « gap »
Type SiC, GaN, Diamant
Remarque:
Le produit np est
indépendant du
niveau de Fermi
Expression valable même
si semi-conducteur dopé
Introduction du dopage
16. Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction
de la température
16
3 régimes:
•Extrinsèque
•Épuisement des donneurs
•Intrinsèque
Tous les « donneurs
sont ionisés
17. Calcul de la position du niveau énergétique
Ed ou Ea
• Le problème « ressemble »
au modèle de l’atome
d’hydrogène
• Introduction du Rydberg
« modifié » :
17
2
0
0
*
6
.
13
m
m
E
E C
d
Exemple de dopants et leurs énergies
eV
n
e
m
En 2
2
2
0
4
0
6
.
13
)
4
(
2
18. Densité de porteurs extrinsèques:
• nb d’électrons différents du nb de trous
• Mais loi d’action de masse toujours valable, avec n.p=cte
(sauf si dopage trop élevé).
• Pour déterminer ces concentrations (n et p), on écrit la
neutralité électrique du système.
18
0
n
p
n
cste
n
p
n i
2
.
0
)
( 2
2
i
A
D n
n
N
N
n
D
A N
p
N
n
19. Densité de porteurs extrinsèques:
• Semi-conducteurs type n (ND>NA):
• Dans la pratique (ND, NA, et ND – NA >> )ni si bien que:
19
2
1
2
2
2
1
2
2
4
)
(
2
1
4
)
(
2
1
i
A
D
A
D
i
A
D
A
D
n
N
N
N
N
p
n
N
N
N
N
n
)
/(
2
A
D
i
A
D
N
N
n
p
N
N
n
20. Niveau de Fermi dans un SC dopé
• Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de
Boltzmann reste valable:
• Type n et p respectivement
• Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:
20
)
exp(
)
exp(
kT
E
E
N
N
N
p
kT
E
E
N
N
N
n
V
F
V
D
A
F
C
C
A
D
p
n
))
/(
ln(
))
/(
ln(
D
A
V
V
F
A
D
C
C
F
N
N
N
kT
E
E
N
N
N
kT
E
E
p
n
21. Différence Ef - Efi
• Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et Nv, on peut
écrire:
type n
type p
21
i
d
i
f
n
N
kT
E
E ln
i
a
f
i
n
N
kT
E
E ln
Fi
e
22. • On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous
à l’équilibre par:
22
kT
e
i
kT
E
E
i
kT
e
i
kT
E
E
i
Fi
Fi
F
Fi
Fi
F
e
n
e
n
p
e
n
e
n
n
/
/
)
(
/
/
)
(
avec:
0
0
Fi
F
Fi
Fi
F
Fi
E
E
e
E
E
e
type n
type p
Équations de
Boltzmann
Différence Ef - Efi
23. Semi-conducteurs dégénérés:
approximation de Joyce –Dixon
• Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est
plus valable pour le calcul:
• soit de n et p
• soit de la position du niveau de Fermi:
on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:
23
V
V
V
C
C
C
F
N
p
N
p
kT
E
N
n
N
n
kT
E
E
8
1
ln
8
1
ln
24. Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
• En fonction de la température, le niveau d’impureté
est plus ou moins peuplé. Supposons un SC « avec »
ND donneurs et NA accepteurs (ND>NA)
• À T=0K
•BV =>pleine
•EA => NA électrons
•ED => ND-NA électrons
•BC => vide
24
25. Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs
• À température non nulle: les électrons sont redistribués
mais leur nombre reste constant !!!. L’équation de
neutralité électrique permet de connaître leur répartition:
25
A
a
i
D
d
i
N
p
n
p
N
n
n
n
)
(
)
(
a
A
D
d p
p
N
N
n
n
n, p : électrons (trous) libres dans BC (BV)
nd (pa) : électrons (trous) liés aux donneurs (accepteurs)
26. Fonction de distribution des atomes d’impuretés –
Principe d’exclusion de Pauli
Comparaison de l’image « chimique » et de la description en
« bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:
26
« liaison chimique »
Atome donneur atome Si +
noyau chargé positivement.
« Bande d’énergie »
Cristal parfait + puits de potentiel
attractif sur un site du réseau
Mécanique quantique
(électrons indépendants)
Niveau énergétique Ed dans
le gap sous Ec doublement
dégénéré (spin up et down)
Interaction Coulombienne
+ écrantage du noyau: Ed
diminue
Le deuxième électron
« s’échappe » : occupation
du niveau par un seul électron
27. Probabilité d’occupation du niveau
d’impureté
• Proba d’occupation et nb d’électrons sur Ed:
• Proba de non occupation et nb de trous sur Ea:
27
)
exp
2
1
1
(
kT
E
E
f
f
d
n
kT
E
E
N
n
f
d
d
d
exp
2
1
1
)
exp
4
1
1
(
kT
E
E
f
a
f
p
kT
E
E
N
p
a
f
a
a
exp
4
1
1
28. Niveau « donneur »:le facteur 1/2
• Atome de Phosphore (col V):
• États électroniques 3s² 3p3 : 2e s et 2e p participent aux
liaisons 1e sur le niveau ED (le 5° !)
• il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down
• Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut
capturer un spin up ou down => le mécanisme (la
proba.) de capture est augmenté / à l’émission.
28
)
(
)
( E
f
E
fD
29. Semi-conducteur fortement dopé
• Si dopage trop important, les impuretés se « voient »
(rayon de Bohr 100 angströms)
le niveau d’énergie associé s’élargit
• Un effet important est la diminution du « Gap » du SC et
donc ni augmente!!:
29
meV
K
T
N
E d
g
2
/
1
18
)
(
300
10
5
.
22
pour le Silicium
31. Plan:
• Recombinaison et génération
• Courants dans les SC
• Équation de densité de courants
• Équations de continuité
• Longueur de Debye
• Équation de Poisson
• Temps de relaxation diélectrique
31
32. Phénomènes de Génération - Recombinaison
• Loi d’action de masse:
• À l’équilibre thermodynamique:
• Hors équilibre: apparition de phénomènes de Génération -
Recombinaison
• création ou recombinaison de porteurs :
Unité [g]=[r]=s-1cm-3
• Taux net de recombinaison:
32
r
g
r
g
g
r
g th
'
'
' avec
th
g
r
r
'
externe interne
2
i
n
np
33. Différents chemins de recombinaison
33
Génération bande à bande
Génération depuis
état lié
34. Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Recombinaison directe électron-trou
• Processus fonction du nombre d’électron et de trous
• Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection (
ie )
• En régime de faible injection le nombre de porteurs
majoritaires n’est pas affecté.
34
p
p
p
r
n
n
n
r
p
p
p
0 0
0 n
n
n
n
0
n
p
n
35. Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Recombinaison par centres de recombinaison:
• En général ces centres se trouvent en milieu de bande interdite
• Le taux de recombinaison s’écrit:
• Où est caractéristique du centre recombinant
• Si les 2 processus s’appliquent:
35
m
)
(
1
1
1
p
n
m
n
p
n
n
np
r
i
i
m
2
1 2
Équation de
Shockley-Read
36. Recombinaison: 2 « chemins » possibles
• Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR
• Si semi-conducteur dopé n:
• Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE)
36
p
p
p
r
0
2
m
i
n
r
Taux net de génération.
Création de porteurs
40. Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Si E=0, vitesse des électron=vitesse thermique (107 cm/s) mais =>
vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau +
impuretés.
• Libre parcours moyen (« mean free path »):
40
o
A
100
.
vth
l ps
1
.
0
41. Courants dans les SC
• Courant de conduction: présence de champ électrique
• Entre deux chocs, les électrons sont accélérés uniformément
suivant
• Accélération:
• Vitesse:
• Mobilité:
41
*
/m
qE
E
µE
m
qE
v
*
/
*
/m
q
µ
Si : 1500 cm2/Vs
GaAs: 8500 cm2/Vs
In0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs
42. Courants dans les SC
• La densité de courant de conduction s’écrit:
• Pour les électrons:
• Pour les trous:
• Pour l’ensemble:
42
E
neµ
v
ne
J n
n
n
c
E
neµ
v
ne
J n
n
n
c
E
peµ
v
pe
J p
p
p
c
E
peµ
v
pe
J p
p
p
c
E
peµ
neµ
J
J
J p
n
p
n
total
c )
(
E
peµ
neµ
J
J
J p
n
p
n
total
c )
(
43. Courants dans les SC
• Importance de la mobilité sur les composants
• Mobilité la plus élevée possible
• => vitesse plus grande pour un même E
• Facteurs limitants:
• Dopage
• Défauts (cristallins, structuraux, …)
• Température
• Champ électrique de saturation + géométrie
43
44. Courants dans les SC
• Vitesse de saturation des électrons
• La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement
pour:
• Champ électrique pas trop élevé
• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
• Sinon:
• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse
• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée.
• Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
44
45. Vitesse de saturation
• Différents
comportement en
fonction du SC
45
Survitesse
(« overshoot »)
47. Courants dans les SC
• Courant de diffusion:
• Origine: gradient de concentration
• Diffusion depuis la région de forte concentration vers la région de
moindre [].
• 1° loi de Fick:
47
dx
dp
D
p
dx
dn
D
n
p
x
D
n
x
D
nb d’e- qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
nb de h+ qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
48. Courants dans les SC
• Courant de diffusion: somme des deux contributions
(électrons et trous):
• Constante ou coefficient de diffusion
[ ]=cm2/s.
48
dx
dp
eD
dx
dn
eD
p
n
e
J p
n
x
D
x
D
diff
)
(
p
n
D ,
49. Courants dans les SC
• Courant total: somme des deux contributions (si elles existent)
de conduction et diffusion:
• D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe
une relation entre eux: relation d’Einstein:
49
)
(
)
(
dx
dp
D
dx
dn
D
e
E
peµ
neµ
J
J
J
J
J
J
p
n
p
n
T
p
n
diff
cond
T
e
kT
µ
D
e
kT
µ
D
50. Équations de continuité – longueur de diffusion
• G et R altèrent la distribution des
porteurs donc du courant
50
G
R
e
x
dx
x
dJ
A
dt
t
x
dn
x
A
G
R
e
x
J
e
x
x
J
A
dt
t
x
dn
x
A
n
n
n
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
On obtient alors les équations de
continuité pour les électrons et les trous:
n
n
n
g
r
dx
dJ
e
dt
t
x
dn
1
)
,
(
n
n
n
g
r
dx
dJ
e
dt
t
x
dn
1
)
,
(
p
p
p
g
r
dx
dJ
e
dt
t
x
dp
1
)
,
(
p
p
p
g
r
dx
dJ
e
dt
t
x
dp
1
)
,
(
51. Équations de continuité – longueur de diffusion
• Exemple: cas où le courant est exclusivement du à
de la diffusion:
51
dx
dp
eD
diff
J
dx
dn
eD
diff
J
p
p
n
n
)
(
)
(
dx
dp
eD
diff
J
dx
dn
eD
diff
J
p
p
n
n
)
(
)
( n
n
n
n
dx
n
d
D
dt
dn
0
2
2
n
n
n
n
dx
n
d
D
dt
dn
0
2
2
p
p
p
p
dx
p
d
D
dt
dp
0
2
2
p
p
p
p
dx
p
d
D
dt
dp
0
2
2
52. Équations de continuité – longueur de
diffusion
• En régime stationnaire, les
dérivées par rapport au temps
s’annulent:
• Solutions:
52
2
0
0
2
0
2
)
(
n
n
n L
n
n
D
n
n
dx
n
n
d
2
0
0
2
0
2
)
(
n
n
n L
n
n
D
n
n
dx
n
n
d
2
0
0
2
0
2
)
(
p
p
p L
p
p
D
p
p
dx
p
p
d
2
0
0
2
0
2
)
(
p
p
p L
p
p
D
p
p
dx
p
p
d
n
L
x
e
n
n
x
n
x
n /
0 )
0
(
)
)
(
(
)
(
n
L
x
e
n
n
x
n
x
n /
0 )
0
(
)
)
(
(
)
(
Longueur de diffusion: représente la
distance moyenne parcourue avant
que l’électron ne se recombine avec
un trou (qq microns voire qq mm)
Ln ou Lp >> aux dispos VLSI
R et G jouent un petit rôle sauf
dans qq cas précis (Taur et al)
n
n
n D
L
n
n
n D
L
p
p
p D
L
p
p
p D
L
53. Équation de Poisson
• Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le
potentiel électrique et la densité de charge:
• Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles):
53
sc
x
dx
dE
dx
V
d
)
(
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
x
N
x
N
x
n
x
p
e
dx
V
d
A
D
sc
Charge mobiles
(électrons et trous)
Charges fixes
(dopants ionisés)
54. Longueur de Debye
• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en
fonction de :
• Si Nd(x) => Nd+Nd(x) , alors Fi est modifié de Fi
54
Fi
kT
e
i
d
sc
Fi Fi
e
n
x
N
e
dx
d /
2
2
)
(
en remarquant que: V(x)=Fi cte
)
(
2
2
2
x
N
e
kT
N
e
dx
d
d
sc
Fi
sc
d
Fi
55. Longueur de Debye
• Signification physique?
• Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
• La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend »
quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette
région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique
non réalisée)
55
D
Fi
L
x
A
exp
D
sc
D
N
e
kT
L 2
avec
56. Temps de relaxation diélectrique
• Comment évolue dans le temps la densité de
porteurs majoritaires ?
• Équation de continuité (R et G négligés):
56
x
J
e
t
n n
1
n
n E
E
J
/
sc
en
x
E
/
or et
d’où
sc
n
n
t
n
Solution: )
/
exp(
)
( sc
n
t
t
n
sc
n
Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)
