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Ecole Polytechnique de l’Université de Nice - Sophia Antipolis     CiP1




             Notes du Cours d’Electrostatique
                              Prof. Patrizia Vignolo
                            Patrizia.Vignolo@inln.cnrs.fr

                               Jean-François Schaff
                         jean-francois.schaff@inln.cnrs.fr




Sommaire :


–   Analyse Vectorielle                                          page    1
–   Champ et potentiel électrostatique                           page    5
–   Théorème de Gauss                                            page    9
–   Conducteur en équilibre                                      page   13
–   Energie électrostatique                                      page   15
Cours electrostat
Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis                                     Année 2009/2010
Cours No 1 d’électrostatique                                                                                CiP1




                   Cours No 1 : Analyse Vectorielle



1    Représentation d’un point dans l’espace
On se placera toujours dans un repère orthonormé Oxyz de vecteurs unitaires ex , ey , ez .
Selon la symétrie du problème, on choisira :
                                                         z
                                                          z
                                                                                    M(x,y,z)
les coordonnées cartésiennes (x,y,z) :
     −→
      −
r = OM = xex + yey + zez
  −→
   −
dOM = dxex + dyey + dzez                                ez
                                                                      ey             y
                                                         0
                                                             ex                                  y
                                                    x
                                                                                H
                                                    x

                                                         z
                                                          z
                                                                                    M(ρ, θ, z)
les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) :
     −→
      −
r = OM = ρeρ + zez
  −→
   −
dOM = dρeρ + ρdθeθ + dzez                               ez
                                                                                     y
                                                         0
                                                                                     eθ          y
                                                    x             θ
                                                                           H
                                                                                     eρ
                                                    x

                                                         z
                                                          z                    er         eϕ
                                                                           M
les coordonnées sphériques :(r,θ,ϕ)                                                 eθ

     −→
      −                                                           θ
r = OM = rer
  −→
   −
dOM = drer + rdθeθ + r sin θdϕeϕ                                                     y
                                                         0
                                                                                                 y
                                                    x             ϕ
                                                                           H        eϕ
                                                    x




2    Vecteurs
Rappel. Soient v1 et v2 deux vecteurs avec composantes v1 = (v1,x , v1,y , v1,z ) et v2 =
(v2,x , v2,y , v2,z ), s un scalaire. Alors :

                                            1
–   v1 = v1,x ex + v1,y ey + v1,z ez , avec ex = (1, 0, 0), ey = (0, 1, 0) et ez = (0, 0, 1) ;
–   sv1 = (sv1,x , sv1,y , sv1,z )
–   R = v1 + v2 = (v1,x + v2,x , v1,y + v2,y , v1,z + v2,z ) ;
–   D = v1 − v2 = (v1,x − v2,x , v1,y − v2,y , v1,z − v2,z ) ;
–   S = v1 · v2 = |v1 ||v2 | cos θ1,2 = v1,x v2,x + v1,y v2,y + v1,z v2,z ;
–   V = v1 × v2 = (v1,y v2,z − v2,y v1,z , v1,z v2,x − v2,z v1,x , v1,x v2,y − v2,x v1,y )
    avec |V | = |v1 ||v2 | sin θ1,2 .
Remarque. Un vecteur qui est indépendant du sens de l’axe qui constitue son support est
dit vecteur polaire. Un vecteur qui est déterminé par le sens de rotation autour de son
axe-support est dit vecteur axial ou pseudo-vecteur.


3      Circulation d’un vecteur
                                 −
                                 →
Circulation élémentaire : dC = v. dl
– en coordonnées cartésiennes : dC = vx dx + vy dy + vz dz ;
– en coordonnées cylindriques : dC = vρ dρ + vθ ρdθ + vz dz ;
– en coordonnées sphériques : dC = vr dr + vθ rdθ + vφ r sin θdφ.
                                      −
                                      →
Circulation sur un chemin : C = AB v. dl
                                          −
                                          →
Circulation sur un chemin fermé : C = v. dl
Remarque. Si le vecteur v représente une force, la circulation n’est autre que le travail.


4      Flux d’un vecteur
On défini le flux élémentaire dΦ d’un vecteur v à travers
une surface élémentaire dS :
                                                                                    N
                             −
                             →                                                                       v
                    dΦ = v · dS = v · N dS.                    (1)
                                                                                  dS
Si la surface est fermée, N est orienté de l’intérieur vers
l’extérieur. Si la surface est ouverte (comme en figure),
une fois orienté le contour (c) de la surface, N est défini                       (c)
par la règle du tire-bouchon.



5      Angle solide
L’angle solide élémentaire dΩ, délimité par un cône coupant
un élément de surface élémentaire dS situé à une distance r
de son sommet O vaut                                                                                     dS

                             −→                                                                               er
                             dS · er                                                             r
                        dΩ =         ,                  (2)
                                r2
   −→
où dS est le vecteur de norme dS, normal à la surface dS.




                                                    2
6    Opérateurs vectoriels
           −→
            −      −
                   →    ∂f      ∂f      ∂f
Gradient : gradf = ∇f =    ex +    ey +    ez
                        ∂x      ∂y      ∂z
                                                                                        −
                                                                                        →
Le gradient est un vecteur qui pointe vers les valeurs croissantes de f . Rappel : df = ∇f · dr .

                     −
                     →       ∂vx ∂vy ∂vz
Divergence : div v = ∇ · v =    +    +
                             ∂x   ∂y   ∂z
Formule de Green-Ostrogradsky :

                                                  −
                                                  →               −
                                                                  →
                           Φ=                 v · dS =            ∇ · v dτ                         (3)
                                   S fermée                   τ




              −→     −
                     →             ∂vz   ∂vy                ∂vx ∂vz                 ∂vy ∂vx
Rotationnel : rotv = ∇ ∧ v =           −          ex +         −             ey +      −      ez
                                   ∂y    ∂z                 ∂z   ∂x                 ∂x   ∂y
Formule de Stokes :
                                         −
                                         →                −
                                                          →         −
                                                                    →
                              C=     v · dl =            ( ∇ ∧ v) · dS                             (4)
                                                     S

Le rotationnel mesure si un champ tourne localement.

                 ∂2    ∂2     ∂2
Laplacien : △ =      + 2+ 2
                ∂x2 ∂y        ∂z
L’opérateur Laplacien peut s’appliquer à une fonction scalaire

                                         ∂2f  ∂2f ∂2f
                                  △f =       + 2 + 2
                                         ∂x2  ∂y  ∂z
ou à un vecteur
                                         ∂2v ∂2v ∂2v
                                  △v =      +    +     .
                                         ∂x2 ∂y 2 ∂z 2


7    Quelques relations vectorielles
A · (B ∧ C) = B · (C ∧ A) = C · (A ∧ B)
A ∧ B ∧ C = B(A · C) − C(A · B)
     −
     →
div( ∇f ) = △f
     −
     →
div(rot v) = 0
    −
    →
rot( ∇f) = 0
− −
 → →         −
             →
rot(rot v) = ∇(div v) − △ v




                                                 3
7.1   Forme explicite des operateurs vectoriels
– Coordonnées cartesiennes
                        ∂f      ∂f       ∂f
             ∇f =          ex +    ey +     ez
                        ∂x      ∂y       ∂z
                        ∂vx ∂vy ∂vz
            ∇·v =            +     +
                        ∂x     ∂y     ∂z
                         ∂vz ∂vy               ∂vx ∂vz                   ∂vy ∂vx
           ∇∧v =              −       ex +        −              ey +       −           ez
                          ∂y     ∂z            ∂z   ∂x                   ∂x   ∂y
                         2      2      2
                        ∂ f    ∂ f    ∂ f
             △f =            + 2+ 2
                        ∂x 2   ∂y     ∂z
                        ∂ v ∂ v ∂2v
                         2      2
             △v =            +     +
                        ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
– Coordonnées cylindriques
                    ∂f       1 ∂f      ∂f
          ∇f =         eρ +       eθ +     ez
                    ∂ρ       ρ ∂θ      ∂z
                    1 ∂           1 ∂vθ ∂vz
        ∇·v =            (ρvρ ) +       +
                    ρ ∂ρ          ρ ∂θ      ∂z
                      1 ∂vz     ∂vθ           ∂vρ ∂vz                1   ∂           ∂vρ
       ∇∧v =                −        eρ +         −           eθ +          (ρvθ ) −         ez
                      ρ ∂θ      ∂z            ∂z    ∂ρ               ρ   ∂ρ          ∂θ
                    1 ∂      ∂f       1 ∂2f     ∂2f
          △f =             ρ       + 2 2 + 2
                    ρ ∂ρ     ∂ρ      ρ ∂θ       ∂z
                    1 ∂      ∂v      1 ∂ v ∂2v
                                         2
          △v =             ρ       + 2 2+ 2
                    ρ ∂ρ     ∂ρ      ρ ∂θ       ∂z

– Coordonnées sphériques
                    ∂f        1 ∂f           1 ∂f
         ∇f =           er +        eθ +             eφ
                    ∂r        r ∂θ        r sin θ ∂φ
                    1 ∂ 2                1 ∂                       1 ∂vφ
        ∇·v =              (r vr ) +             (sin θ vθ ) +
                    r 2 ∂r            r sin θ ∂θ                r sin θ ∂φ
                         1       ∂                ∂vθ                  1 ∂vr 1 ∂
       ∇∧v =                       (sin θ vφ ) −           er +                 −      (rvφ ) eθ
                      r sin θ ∂θ                   ∂φ               r sin θ ∂φ    r ∂r
                    1 ∂               ∂vr
              +             (rvθ ) −          eφ
                    r ∂r               ∂θ
                    1 ∂         ∂f            1    ∂           ∂f           1 ∂2f
         △f =                r2        + 2               sin θ        + 2
                    r 2 ∂r      ∂r        r sin θ ∂θ           ∂θ        r sin θ ∂φ2
                    1 ∂         ∂v           1     ∂           ∂v           1 ∂2v
         △v =                r2        + 2              sin θ         + 2
                    r 2 ∂r      ∂r        r sin θ ∂θ           ∂θ        r sin θ ∂φ2

                     1 ∂           ∂f       1 ∂2
  On remarque que             r2        =          (rf ).
                     r 2 ∂r        ∂r       r ∂r 2




                                                   4
Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis               Année 2009/2010
Cours No 2 d’électrostatique                                                          CiP1




       Cours No 2 : Champ et potentiel électrostatique




1      Charges électriques
L’ électrostatique est l’étude des propriétés conférées à l’espace qui entoure une charge
électrique.
La charge électrique dans le SI est mesurée en Coulomb (C).
Toute charge est multiple de la charge élémentaire e, qui vaut : e = 1, 6.10−19C.
Dans la suite on parlera de :
– charges ponctuelles (analogues aux points matériels en mécanique)
– distributions continues de charges, définies par la densité de charge, qui peut être :

    – linéique, λ = dq/dl ;
    – surfacique, σ = dq/dS ;
    – volumique, ρ = dq/dτ .


2      Loi de Coulomb
La force de Coulomb est la force exercée par une charge
q au point M sur une charge q ′ au point M ′ :

                FM (M ′ ) = Kqq ′ uM M ′ /r 2         (5)                            FM (M’)


avec K = 1/4πǫ0 = 9.109 N m2 C−2 .                                                    q’(M’)


La force exercée par la charge q ′ au point M ′ sur la
charge q au point M vérifie le principe d’action-réaction :      F (M)
                                                                 M’
FM ′ (M) = −FM (M ′ ).
                                                                   q (M)
La force est répulsive si les charges sont de même signe
(comme dans la figure), elle est attractive si les charges
sont de signe contraire.




                                                5
3     Champ et potentiel
3.1    Charge ponctuelle
La présence d’une charge q au point M permet de définir au point M ′ une propriété
vectorielle, le champ électrostatique
                                                  1
                                  EM (M ′ ) =         quM M ′ /r 2,
                                                 4πε0
et une propriété scalaire, le potentiel électrostatique
                                                  1
                                   VM (M ′ ) =        q/r + cte.
                                                 4πε0
Le champ et le potentiel éléctrostatiques sont liés par la rélation :
                                                 −
                                                 →
                                    EM (M ′ ) = − ∇VM (M ′ ).




3.2    Système de charges
En présence de plusieurs charges qi , le champ éléctrostatique est la somme des champs
éléctrostatiques produits par chaque charge qi :
                                              1                               2
                                 E(M ′ ) =                       qi uMi M ′ /ri .
                                             4πε0       i

De même pour le potentiel électrostatique :
                                                  1
                                    V (M ′ ) =                        qi /ri .
                                                 4πε0             i

 En présence d’une distribution de charges linéaire λ, le champ et le potentiel s’écrivent :
           1       λdl                                      B
E(M ′ ) =              u ′
                AB r 2 P M
                                             dl
          4πε0                                P
                                                      r
           1       λdl                                        M’
V (M ) =
     ′
                AB
          4πε0      r                   A
En présence d’une distribution de charges de surface σ, le champ et le potentiel s’écrivent :
            1       σdS
E(M ′ ) =               uP M ′                              dS
           4πε0      r2
            1       σdS                                     P
                                                                         r
V (M ′ ) =                                                                          M’
           4πε0      r
En présence d’une distribution de charges volumique ρ, le champ et le potentiel s’écrivent :
            1       ρdτ
E(M ′ ) =                uP M ′              dτ
           4πε0      r2
            1       ρdτ
V (M ′ ) =                                    P     r
                                                             M’
           4πε0       r



                                                    6
4     Lignes de champ et surfaces équipotentielles
Les lignes de champ sont les courbes tangentes point par point au champ électrique.
 Les surfaces équipotentielles V = const. sont définies par une circulation élémentaire du
champ nulle. En effet :

                  V = const. ⇒ dV = 0 ⇒ gradV · dl = 0 ⇒ E · dl = 0.


5     Force et énergie potentielle électrostatique
Une charge q dans un champ électrique E est soumise à une force

                                            F = q E.

Cette force est une force conservative car elle peut être écrite comme le gradient d’une
fonction scalaire :
                                              −
                                              →
                                      F = − ∇Ep ,
où Ep est l’énergie potentielle électrostatique qui est liée au potentiel électrostatique par
la relation Ep = qV .


6     Loi locale et circulation du champ électrique
                                                                           −→
Du fait que E = −∇V , on obtient pour le champ électrique une loi locale : rotE = 0 ,
                                 −
                                 →
et une loi intégrale :          E dl = VA − VB
                           AB



7     Dipôle électrostatique
On appelle dipôle éléctrostatique un système de deux
charges −q et +q placées aux points A et B.
Le champ à grande distance a pour composantes :                                        ur
                                                                                 uθ   M
            1 2p cos θ              1 p sin θ
    Er =               ,   Eθ =               et Eφ = 0,
           4πε0 r 3                4πε0 r 3
où p est la norme du vecteur moment dipolaire p :
                                 −→
                           p = q AB.


Le potentiel créé par un dipôle électrostatique s’écrit :
                             1 p · ur
                      V =             ,
                            4πε0 r 2                        −q (A)      +q (B)

dans la limite où r ≫ |AB|.


                                                 7
7.1    Dipôle édectrostatique dans un champ externe E.
Si le champ E est uniforme :
– la force exercée sur le dipôle est nulle

                                      F = FA + FB = 0;

– le moment des forces oriente le dipôle selon le champ appliqué

                                        M (F ) = p ∧ E;

– l’énergie potentielle
                                         Ep = −p · E
  est minimale lorsque θ = 0 : le dipôle est en équilibre stable quand il est orienté
  parallèlement au champ appliqué.




                                             8
Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis                 Année 2009/2010
Cours No 3 d’électrostatique                                                            CiP1




                      Cours No 3 : Théorème de Gauss



1    Théorème de Gauss
Le flux d’un vecteur champ électrique à travers une
surface fermée n’est dû qu’aux charges à l’intérieur de
cette surface :
                                                                            q3

                                  −
                                  →          qi                        q1        q2
                Φ=            E · dS =                      (6)
                          S              i
                                             ǫ0

Demonstration : cas d’une charge ponctuelle.
Considérons une charge q englobée par une surface S. Soit dS et dS ′ deux éléments de
surface découpés par les deux angles solide dΩ issus de O (voir la figure ci-dessous).
Le flux dΦ à travers dS vaut :
                            q                q
      dΦ = E · dS =               e · NdS =
                                 2 r
                                                 dΩ.
                          4πǫ0 r            4πǫ0
                                                                  er
Le flux dΦ′ à travers dS ′ vaut :                                                 O
                                                                  N
                           q                      q                              q                 e r’
     dΦ′ = E · dS ′ =             e · N ′ dS ′ =
                                ′2 r
                                                      dΩ.
                         4πǫ0 r                  4πǫ0                                             N’

Au total
                                q       q
                 Φ=                 dΩ = .
                           S   4πǫ0     ǫ0
Considerez maintenant une charge q qui n’est pas englobée par la surface (comme en fi-
gure ci-dessous). Dans ce cas le flux dΦ à travers dS vaut :
                         q                q
       dΦ = E · dS =          e · NdS =
                             2 r
                                             dΩ.
                      4πǫ0 r            4πǫ0
                                                                  er
Le flux dΦ′ à travers dS ′ vaut :
                                                                  N
       ′                  q                 ′     q
    dΦ = E ·   dS ′   =          2 er · N dS = −
                                         ′            dΩ.                             e r’
                        4πǫ0 r ′                 4πǫ0                                        N’
                                                                                                          q
Donc on obtient dΦ + dΦ′ = 0, et au total Φ = 0.




                                                  9
2    Loi intégrale et loi locale
Soit S une surface fermée contenant une densité volumique ρ, alors on a :
                                           −
                                           →                ρ       qint
                          Φ=           E · dS =                dτ =                 (7)
                                  S                     τ   ǫ0       ǫ0

Equation (7) constitue la forme intégrale du théorème de Gauss.
En exploitant le théorème de la divergence (Green-Ostrogradsky) on obtient la forme
locale du théorème de Gauss (2eme loi de l’électrostatique)

                                         ∇ · E = ρ/ǫ0 .

Remarque : En l’absence de charge ∇ · E = 0.

Rappel : Le champ électrostatique E obéit aux lois suivantes :



                              locale           intégrale


                   1ere loi   ∇∧E =0            AB
                                                      E · dl = V (A) − V (B)


                                         ρ                       qint
                   2eme loi   ∇·E =               S
                                                      E · dS =
                                         ǫ0                       ǫ0




3    Equation de Poisson et de Laplace (pour le potentiel)
De la forme locale du théorème de Gauss ∇ · E = ρ/ǫ0 et de la rélation qui lie le champ
au potentiel, E = −∇V , on obtient, en présence de charges, l’équation de Poisson :

                ∇ · E = ρ/ǫ0 ⇒ −∇ · ∇V = ρ/ǫ0 ⇒ △V + ρ/ǫ0 = 0

et, sans charges, l’équation de Laplace :

                                              △V = 0




                                                10
4    Condition de passage à l’interface entre deux distri-
     butions de charges
Considerons le champ en deux points M1 et M2 infiniment proches d’une interface, avec
une distribution de charge surfacique σ, séparant deux milieux avec deux distributions de
charges ρ1 et ρ2 .
Dans le repère de Frenet on peur écrire :

                 E1 = E1,t T + E1,n N12                                E1           1
                 E2 = E2,t T + E2,n N12
où N12 est le vecteur unitaire normal à la surface et              A           M1   B
orienté du point M1 au point M2 .
De la première loi de l’électrostatique on obtient :                   N 12     T
                                                                   D           M2   C
          E · dl = 0 ⇒ E1,t AB − E2,t CD = 0.
                                                                       E2
Donc le champ tangent à l’interface est conservé : E1,t =                           2
E2,t
De la deuxième loi de l’électrostatique (thèoreme de Gauss) on obtient :

            dΦ =E1 · N1 dS + E2 · N2 dS
                                                                                    1
                                     σdS                             E1
               =E2,n dS − E1,n dS =      .
                                      ǫ0

Donc le champ normal En = En N12 subit une disconti-
nuité si l’interface est chargée :
                                 σ                                              T
                 E2,n − E1,n =      N12 .                              N 12
                                 ǫ0
                                                                          E2
                                                                                    2




                                             11
Cours electrostat
Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis              Année 2009/2010
Cours No 4 d’électrostatique                                                         CiP1




               Cours No 4 : Conducteur en équilibre



1     Loi de conservation de la charge
Dans un système isolé, la charge électrique se conserve : q(t) =Constante


2     Corps conducteurs et corps isolants
Corps conducteurs : Une partie des électrons peuvent se déplacer.
Corps isolants (ou diélectriques) : Les charges ne sont pas libres.


3     Equilibre électrostatique
Considerons un conducteur chargé. Le conducteur est à l’équilibre électrostatique si la
force sur chaque charge est nulle. Ça implique que à l’intérieur du conducteur
                                          Eint = 0,
c’est-à-dire Vint = V0 = Constante, ρint = 0.


3.1    Théorème de Coulomb
Si le conducteur est chargé on a également Eint = 0, et la charge ne peut se répartir
que sur la surface (σ = 0). Les charges surfaciques sont à l’équilibre si la surface est une
surface équipotentielle.
La surface d’un conducteur à l’équilibre étant une surface équipotentielle, au voisinage de
la surface le champ est normal à la surface même et vaut
                                       Eext = σ N /ǫ0 .                                  (8)

On appelle cage de Faraday une cavité à l’intérieur d’un conducteur (où E = 0).


4     Influence de deux conducteurs chargés
Soit deux conducteurs (C1 ) et (C2 ) dont au moins un chargé (C1 ). La distribution de charge
sur (C2 ) devient inhomogène à cause du champ produit par la charge sur le conducteur
(C1 ).



                                             13
4.1      Théorème de Faraday

                                                                      E
L’équilibre est atteint quand les charges Q1 =                                     dS2
σ1 dS1 et Q2 = σ2 dS2 se faisant face sont égales
et opposées (théorème de Faraday).                                    dS1




                                                                              S2
Si l’ensemble des lignes de champs d’un des conducteurs re-
joignent l’autre (figure à côté) l’influence est dite totale. Si
                                                                          E
seulement une partie des lignes de champs se rejoignent l’in-
fluence est dite partielle (figure en haut).                                       S1




5     Capacité d’un conducteur
La charge d’un conducteur unique est proportionnelle au potentiel V . Le coefficient de
proportionnalité entre la charge et le potentiel est la capacité :
                                                q
                                         C=       .                                      (9)
                                                V
                                             Coulomb Coulomb2
La capacité se mesure en farad (F) : un farad=      =         .
                                               Volt    Joule
                                               1
Pour une sphère de rayon de 1 m : C = 4πǫ0 R = 10−9 F.
                                               9

5.1      Capacité d’un condensateur
Si deux conducteurs (C1 ) et (C2 ) sont en influence totale, ils forment un condensateur de
capacité
                                                Q
                                       C=            .                                (10)
                                             V1 − V2

5.2      Associations de condensateurs
Condensateurs en série : 1/C = 1/C1 + 1/C2 + . . .
Condensateurs en parallèle : C = C1 + C2 + . . .


         +Q   −Q          +Q   −Q
                                                      Q1       Q2           Q3
               +Q        −Q                     V
V
    11
    00                           11
                                 00          111
                                             000
    11
    00                           11
                                 00          111
                                             000
    11
    00                           11
                                 00          111
                                             000
    11
    00                           11
                                 00          111
                                             000
              en s´rie
                  e                                        en parall`le
                                                                    e


                                           14
Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis                           Année 2009/2010
Cours No 5 d’électrostatique                                                                      CiP1




                   Cours No 5 : Energie électrostatique




1      Charge ponctuelle en interaction avec un champ ex-
       térieur
Rappel :

– Une charge ponctuelle isolée ne peut pas avoir une énergie potentielle (elle ne se “voit”
  pas).
– Dans le cas de deux chrages q et q ′ :

                                                     1 qq ′
                                               Ep =         ,                                          (11)
                                                    4πǫ r
    qui peut être considérée comme (i) l’énergie de q ′ dans le champ de q ou comme (ii)
    l’énergie de q dans le champ q ′ . Equation (11) peut être écrite
                                               1
                                        Ep =     (qVq′ →q + q ′ Vq→q′ )                                (12)
                                               2
    où Vq′ →q est le potentiel créé par la charge q ′ au point q.

1.1      Energie potentielle d’une distribution de charges ponctuelles
                                                         n
                                                    1
                                            Ep =              qi Vi                                    (13)
                                                    2   i=1

où Vi = V1,2,...,i−1,i+1,···→i est le potenteil résultant crée par les charges 1, 2, . . . , i−1, i+1, . . .
au point où demeure la charge qi .

1.2      Energie potentielle d’une distribution continue de charges

                                            1
                                                V dq
                                             Ep =                                    (14)
                                            2
où dq = λdl si la distribution est linéaire, dq = σdS si la distribution est superficielle,
dq = ρdτ si la distribution est volumique.




                                                    15
2     Energie électrostatique emmagasinée dans les conduc-
      teurs chargés
2.1    Cas d’un conducteur unique
Pour un conducteur portant une charge q et de capacité C :

                                   1    1       1 q2
                               Ep = qV = CV 2 =      .                                 (15)
                                   2    2       2C

2.2    Cas d’un condensateur
Pour un condensateur avec armatures aux potentiels V1 et V2 , portant charges q1 et q2
(q2 = −q1 ) :
                                1                    1
                         Ep =     (q1 V1 + q2 V2 ) = q1 (V1 − V2 )
                                2                    2
                                                       2
                                1                   1 q1
                              =   C (V1 − V2 )2 =        .                             (16)
                                2                   2C
Dans le cas d’un condensateur plan, de capacité C = ǫ0 S/d, le champ est uniforme et sa
                                                      1
norme vaut E = (V1 − V2 )d. On peut donc écrire Ep = ε0 SdE 2 .
                                                      2
La densité d’ énergie par unité de volume vaut
                                         dEp  1
                                    E=       = ε0 E 2 .
                                          dτ  2

3     Forces électrostatiques à partir de l’énergie
3.1    Système à charge constante
Considerons le cas d’un condensateur préalamblement chargé et puis isolé. Le système
étant isolé, la conservation de l’ énergie implique que dL + dEp = 0. Donc de la relation
F · dl + ∇Ep · dl, on trouve que
                                         F = −∇Ep .                                  (17)

3.2    Système à potentiel constant
Considerons un condensateur chargé relié à une source en permanance. Dans ce cas dL +
dEp = dLs , où Ls est l’énergie dépensée par la source pour maintenir le potentiel constant,
avec                                      q
                         Ls = (V1 − V2 )    dq = (V1 − V2 )q = 2Ep .
                                         0
On trouve donc
                                       F = +∇Ep .                                      (18)




                                             16
4    Pression électrostatique
Exemple de la sphère.

                                               σ
                                             2ε er
             Ee
               xt
                                                     EM
                    M
                    σdS




Considérons une sphère conductrice avec une charge surfacique σ. D’après le théorème de
                                                         σ
Coulomb on sait que le champs à la surface vaut Eext = er et qu’il est nul à l’intérieur
                                                         ε0
du conducteur.
Nous évaluons la force électrostatique dF qui s’applique à la charge dq = σdS :

                                      dF = dq EM ,

EM étant le champ au point M créé par toutes les charges existantes sur le conducteur,
à l’exception de la charque dq. En exploitant le principe de superposition on déduit que
                                               σ        σ
                              EM = Eext −         er =     er ,
                                              2ε0      2ε0
et donc que ce champ exerce sur la charge dq une force électrostatique

                                           σ       σ2
                                dF = dq       er =     dSer .
                                          2ε0      2ε0

            σ2
Le terme         est une force par unité de surface, c’est à dire une pression, la pression
            2ε0
électrostatique.


5    Annexe : Méthode des charges images
Le problème à résoudre :
Calculer le potentiel et le champ électrostatique pour un système donné (le système A).
La méthode :
Trouver un système B qui est décrit par la même équation de Poisson/Laplace pour le
potentiel et qui a les mêmes conditions au bord que le système A.




                                             17
Exemple. Une charge q, q > 0 est placée à une distance d d’un plan conducteur relié à la
terre (Vplan = 0). Déterminer :
(a) le champ à proximité du plan conducteur ;
(b) la distribution surfacique σ sur le plan, en fonction de l’angle θ (voir schéma) ;
(c) la force exercée par le plan sur la charge.
Solution :
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
              A           11
                          00
                          11
                          00                           B
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00                                         Eq
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00                                           Eplan
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00                                           E−q
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                      θ   11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                  q       11
                          00                               q
                      d   11
                          00
                          11
                          00                                    d      d −q
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                      N   11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00
                          11
                          00   V=0

Le système B est un système sans le plan conducteur, avec une charge −q située symétri-
quement par rapport au plan. La région à gauche du plan est décrite par la même équation
pour le potentiel (la distribution des charges est la même) pour les sytème A et B, et la
condition au bord Vplan = 0 est bien vérifiée dans le système B grâce à la charge image
−q.
                           −q cos3 θ
(a) Eplan = Eq + E−q =               N
                            2πε0d2
              σ              −q cos3 θ
(b) Eplan =      N. Donc σ =
              ε0              2πd2
                             q2
(c) Fplan→q = F−q→q = −             N.
                           16πε0 d2




                                           18

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  • 1. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice - Sophia Antipolis CiP1 Notes du Cours d’Electrostatique Prof. Patrizia Vignolo Patrizia.Vignolo@inln.cnrs.fr Jean-François Schaff jean-francois.schaff@inln.cnrs.fr Sommaire : – Analyse Vectorielle page 1 – Champ et potentiel électrostatique page 5 – Théorème de Gauss page 9 – Conducteur en équilibre page 13 – Energie électrostatique page 15
  • 3. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis Année 2009/2010 Cours No 1 d’électrostatique CiP1 Cours No 1 : Analyse Vectorielle 1 Représentation d’un point dans l’espace On se placera toujours dans un repère orthonormé Oxyz de vecteurs unitaires ex , ey , ez . Selon la symétrie du problème, on choisira : z z M(x,y,z) les coordonnées cartésiennes (x,y,z) : −→ − r = OM = xex + yey + zez −→ − dOM = dxex + dyey + dzez ez ey y 0 ex y x H x z z M(ρ, θ, z) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) : −→ − r = OM = ρeρ + zez −→ − dOM = dρeρ + ρdθeθ + dzez ez y 0 eθ y x θ H eρ x z z er eϕ M les coordonnées sphériques :(r,θ,ϕ) eθ −→ − θ r = OM = rer −→ − dOM = drer + rdθeθ + r sin θdϕeϕ y 0 y x ϕ H eϕ x 2 Vecteurs Rappel. Soient v1 et v2 deux vecteurs avec composantes v1 = (v1,x , v1,y , v1,z ) et v2 = (v2,x , v2,y , v2,z ), s un scalaire. Alors : 1
  • 4. v1 = v1,x ex + v1,y ey + v1,z ez , avec ex = (1, 0, 0), ey = (0, 1, 0) et ez = (0, 0, 1) ; – sv1 = (sv1,x , sv1,y , sv1,z ) – R = v1 + v2 = (v1,x + v2,x , v1,y + v2,y , v1,z + v2,z ) ; – D = v1 − v2 = (v1,x − v2,x , v1,y − v2,y , v1,z − v2,z ) ; – S = v1 · v2 = |v1 ||v2 | cos θ1,2 = v1,x v2,x + v1,y v2,y + v1,z v2,z ; – V = v1 × v2 = (v1,y v2,z − v2,y v1,z , v1,z v2,x − v2,z v1,x , v1,x v2,y − v2,x v1,y ) avec |V | = |v1 ||v2 | sin θ1,2 . Remarque. Un vecteur qui est indépendant du sens de l’axe qui constitue son support est dit vecteur polaire. Un vecteur qui est déterminé par le sens de rotation autour de son axe-support est dit vecteur axial ou pseudo-vecteur. 3 Circulation d’un vecteur − → Circulation élémentaire : dC = v. dl – en coordonnées cartésiennes : dC = vx dx + vy dy + vz dz ; – en coordonnées cylindriques : dC = vρ dρ + vθ ρdθ + vz dz ; – en coordonnées sphériques : dC = vr dr + vθ rdθ + vφ r sin θdφ. − → Circulation sur un chemin : C = AB v. dl − → Circulation sur un chemin fermé : C = v. dl Remarque. Si le vecteur v représente une force, la circulation n’est autre que le travail. 4 Flux d’un vecteur On défini le flux élémentaire dΦ d’un vecteur v à travers une surface élémentaire dS : N − → v dΦ = v · dS = v · N dS. (1) dS Si la surface est fermée, N est orienté de l’intérieur vers l’extérieur. Si la surface est ouverte (comme en figure), une fois orienté le contour (c) de la surface, N est défini (c) par la règle du tire-bouchon. 5 Angle solide L’angle solide élémentaire dΩ, délimité par un cône coupant un élément de surface élémentaire dS situé à une distance r de son sommet O vaut dS −→ er dS · er r dΩ = , (2) r2 −→ où dS est le vecteur de norme dS, normal à la surface dS. 2
  • 5. 6 Opérateurs vectoriels −→ − − → ∂f ∂f ∂f Gradient : gradf = ∇f = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z − → Le gradient est un vecteur qui pointe vers les valeurs croissantes de f . Rappel : df = ∇f · dr . − → ∂vx ∂vy ∂vz Divergence : div v = ∇ · v = + + ∂x ∂y ∂z Formule de Green-Ostrogradsky : − → − → Φ= v · dS = ∇ · v dτ (3) S fermée τ −→ − → ∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx Rotationnel : rotv = ∇ ∧ v = − ex + − ey + − ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Formule de Stokes : − → − → − → C= v · dl = ( ∇ ∧ v) · dS (4) S Le rotationnel mesure si un champ tourne localement. ∂2 ∂2 ∂2 Laplacien : △ = + 2+ 2 ∂x2 ∂y ∂z L’opérateur Laplacien peut s’appliquer à une fonction scalaire ∂2f ∂2f ∂2f △f = + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z ou à un vecteur ∂2v ∂2v ∂2v △v = + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 7 Quelques relations vectorielles A · (B ∧ C) = B · (C ∧ A) = C · (A ∧ B) A ∧ B ∧ C = B(A · C) − C(A · B) − → div( ∇f ) = △f − → div(rot v) = 0 − → rot( ∇f) = 0 − − → → − → rot(rot v) = ∇(div v) − △ v 3
  • 6. 7.1 Forme explicite des operateurs vectoriels – Coordonnées cartesiennes ∂f ∂f ∂f ∇f = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂vx ∂vy ∂vz ∇·v = + + ∂x ∂y ∂z ∂vz ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx ∇∧v = − ex + − ey + − ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 2 2 2 ∂ f ∂ f ∂ f △f = + 2+ 2 ∂x 2 ∂y ∂z ∂ v ∂ v ∂2v 2 2 △v = + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 – Coordonnées cylindriques ∂f 1 ∂f ∂f ∇f = eρ + eθ + ez ∂ρ ρ ∂θ ∂z 1 ∂ 1 ∂vθ ∂vz ∇·v = (ρvρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z 1 ∂vz ∂vθ ∂vρ ∂vz 1 ∂ ∂vρ ∇∧v = − eρ + − eθ + (ρvθ ) − ez ρ ∂θ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂θ 1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂2f △f = ρ + 2 2 + 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z 1 ∂ ∂v 1 ∂ v ∂2v 2 △v = ρ + 2 2+ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z – Coordonnées sphériques ∂f 1 ∂f 1 ∂f ∇f = er + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂vφ ∇·v = (r vr ) + (sin θ vθ ) + r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂ ∂vθ 1 ∂vr 1 ∂ ∇∧v = (sin θ vφ ) − er + − (rvφ ) eθ r sin θ ∂θ ∂φ r sin θ ∂φ r ∂r 1 ∂ ∂vr + (rvθ ) − eφ r ∂r ∂θ 1 ∂ ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2f △f = r2 + 2 sin θ + 2 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 1 ∂ ∂v 1 ∂ ∂v 1 ∂2v △v = r2 + 2 sin θ + 2 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 1 ∂ ∂f 1 ∂2 On remarque que r2 = (rf ). r 2 ∂r ∂r r ∂r 2 4
  • 7. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis Année 2009/2010 Cours No 2 d’électrostatique CiP1 Cours No 2 : Champ et potentiel électrostatique 1 Charges électriques L’ électrostatique est l’étude des propriétés conférées à l’espace qui entoure une charge électrique. La charge électrique dans le SI est mesurée en Coulomb (C). Toute charge est multiple de la charge élémentaire e, qui vaut : e = 1, 6.10−19C. Dans la suite on parlera de : – charges ponctuelles (analogues aux points matériels en mécanique) – distributions continues de charges, définies par la densité de charge, qui peut être : – linéique, λ = dq/dl ; – surfacique, σ = dq/dS ; – volumique, ρ = dq/dτ . 2 Loi de Coulomb La force de Coulomb est la force exercée par une charge q au point M sur une charge q ′ au point M ′ : FM (M ′ ) = Kqq ′ uM M ′ /r 2 (5) FM (M’) avec K = 1/4πǫ0 = 9.109 N m2 C−2 . q’(M’) La force exercée par la charge q ′ au point M ′ sur la charge q au point M vérifie le principe d’action-réaction : F (M) M’ FM ′ (M) = −FM (M ′ ). q (M) La force est répulsive si les charges sont de même signe (comme dans la figure), elle est attractive si les charges sont de signe contraire. 5
  • 8. 3 Champ et potentiel 3.1 Charge ponctuelle La présence d’une charge q au point M permet de définir au point M ′ une propriété vectorielle, le champ électrostatique 1 EM (M ′ ) = quM M ′ /r 2, 4πε0 et une propriété scalaire, le potentiel électrostatique 1 VM (M ′ ) = q/r + cte. 4πε0 Le champ et le potentiel éléctrostatiques sont liés par la rélation : − → EM (M ′ ) = − ∇VM (M ′ ). 3.2 Système de charges En présence de plusieurs charges qi , le champ éléctrostatique est la somme des champs éléctrostatiques produits par chaque charge qi : 1 2 E(M ′ ) = qi uMi M ′ /ri . 4πε0 i De même pour le potentiel électrostatique : 1 V (M ′ ) = qi /ri . 4πε0 i En présence d’une distribution de charges linéaire λ, le champ et le potentiel s’écrivent : 1 λdl B E(M ′ ) = u ′ AB r 2 P M dl 4πε0 P r 1 λdl M’ V (M ) = ′ AB 4πε0 r A En présence d’une distribution de charges de surface σ, le champ et le potentiel s’écrivent : 1 σdS E(M ′ ) = uP M ′ dS 4πε0 r2 1 σdS P r V (M ′ ) = M’ 4πε0 r En présence d’une distribution de charges volumique ρ, le champ et le potentiel s’écrivent : 1 ρdτ E(M ′ ) = uP M ′ dτ 4πε0 r2 1 ρdτ V (M ′ ) = P r M’ 4πε0 r 6
  • 9. 4 Lignes de champ et surfaces équipotentielles Les lignes de champ sont les courbes tangentes point par point au champ électrique. Les surfaces équipotentielles V = const. sont définies par une circulation élémentaire du champ nulle. En effet : V = const. ⇒ dV = 0 ⇒ gradV · dl = 0 ⇒ E · dl = 0. 5 Force et énergie potentielle électrostatique Une charge q dans un champ électrique E est soumise à une force F = q E. Cette force est une force conservative car elle peut être écrite comme le gradient d’une fonction scalaire : − → F = − ∇Ep , où Ep est l’énergie potentielle électrostatique qui est liée au potentiel électrostatique par la relation Ep = qV . 6 Loi locale et circulation du champ électrique −→ Du fait que E = −∇V , on obtient pour le champ électrique une loi locale : rotE = 0 , − → et une loi intégrale : E dl = VA − VB AB 7 Dipôle électrostatique On appelle dipôle éléctrostatique un système de deux charges −q et +q placées aux points A et B. Le champ à grande distance a pour composantes : ur uθ M 1 2p cos θ 1 p sin θ Er = , Eθ = et Eφ = 0, 4πε0 r 3 4πε0 r 3 où p est la norme du vecteur moment dipolaire p : −→ p = q AB. Le potentiel créé par un dipôle électrostatique s’écrit : 1 p · ur V = , 4πε0 r 2 −q (A) +q (B) dans la limite où r ≫ |AB|. 7
  • 10. 7.1 Dipôle édectrostatique dans un champ externe E. Si le champ E est uniforme : – la force exercée sur le dipôle est nulle F = FA + FB = 0; – le moment des forces oriente le dipôle selon le champ appliqué M (F ) = p ∧ E; – l’énergie potentielle Ep = −p · E est minimale lorsque θ = 0 : le dipôle est en équilibre stable quand il est orienté parallèlement au champ appliqué. 8
  • 11. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis Année 2009/2010 Cours No 3 d’électrostatique CiP1 Cours No 3 : Théorème de Gauss 1 Théorème de Gauss Le flux d’un vecteur champ électrique à travers une surface fermée n’est dû qu’aux charges à l’intérieur de cette surface : q3 − → qi q1 q2 Φ= E · dS = (6) S i ǫ0 Demonstration : cas d’une charge ponctuelle. Considérons une charge q englobée par une surface S. Soit dS et dS ′ deux éléments de surface découpés par les deux angles solide dΩ issus de O (voir la figure ci-dessous). Le flux dΦ à travers dS vaut : q q dΦ = E · dS = e · NdS = 2 r dΩ. 4πǫ0 r 4πǫ0 er Le flux dΦ′ à travers dS ′ vaut : O N q q q e r’ dΦ′ = E · dS ′ = e · N ′ dS ′ = ′2 r dΩ. 4πǫ0 r 4πǫ0 N’ Au total q q Φ= dΩ = . S 4πǫ0 ǫ0 Considerez maintenant une charge q qui n’est pas englobée par la surface (comme en fi- gure ci-dessous). Dans ce cas le flux dΦ à travers dS vaut : q q dΦ = E · dS = e · NdS = 2 r dΩ. 4πǫ0 r 4πǫ0 er Le flux dΦ′ à travers dS ′ vaut : N ′ q ′ q dΦ = E · dS ′ = 2 er · N dS = − ′ dΩ. e r’ 4πǫ0 r ′ 4πǫ0 N’ q Donc on obtient dΦ + dΦ′ = 0, et au total Φ = 0. 9
  • 12. 2 Loi intégrale et loi locale Soit S une surface fermée contenant une densité volumique ρ, alors on a : − → ρ qint Φ= E · dS = dτ = (7) S τ ǫ0 ǫ0 Equation (7) constitue la forme intégrale du théorème de Gauss. En exploitant le théorème de la divergence (Green-Ostrogradsky) on obtient la forme locale du théorème de Gauss (2eme loi de l’électrostatique) ∇ · E = ρ/ǫ0 . Remarque : En l’absence de charge ∇ · E = 0. Rappel : Le champ électrostatique E obéit aux lois suivantes : locale intégrale 1ere loi ∇∧E =0 AB E · dl = V (A) − V (B) ρ qint 2eme loi ∇·E = S E · dS = ǫ0 ǫ0 3 Equation de Poisson et de Laplace (pour le potentiel) De la forme locale du théorème de Gauss ∇ · E = ρ/ǫ0 et de la rélation qui lie le champ au potentiel, E = −∇V , on obtient, en présence de charges, l’équation de Poisson : ∇ · E = ρ/ǫ0 ⇒ −∇ · ∇V = ρ/ǫ0 ⇒ △V + ρ/ǫ0 = 0 et, sans charges, l’équation de Laplace : △V = 0 10
  • 13. 4 Condition de passage à l’interface entre deux distri- butions de charges Considerons le champ en deux points M1 et M2 infiniment proches d’une interface, avec une distribution de charge surfacique σ, séparant deux milieux avec deux distributions de charges ρ1 et ρ2 . Dans le repère de Frenet on peur écrire : E1 = E1,t T + E1,n N12 E1 1 E2 = E2,t T + E2,n N12 où N12 est le vecteur unitaire normal à la surface et A M1 B orienté du point M1 au point M2 . De la première loi de l’électrostatique on obtient : N 12 T D M2 C E · dl = 0 ⇒ E1,t AB − E2,t CD = 0. E2 Donc le champ tangent à l’interface est conservé : E1,t = 2 E2,t De la deuxième loi de l’électrostatique (thèoreme de Gauss) on obtient : dΦ =E1 · N1 dS + E2 · N2 dS 1 σdS E1 =E2,n dS − E1,n dS = . ǫ0 Donc le champ normal En = En N12 subit une disconti- nuité si l’interface est chargée : σ T E2,n − E1,n = N12 . N 12 ǫ0 E2 2 11
  • 15. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis Année 2009/2010 Cours No 4 d’électrostatique CiP1 Cours No 4 : Conducteur en équilibre 1 Loi de conservation de la charge Dans un système isolé, la charge électrique se conserve : q(t) =Constante 2 Corps conducteurs et corps isolants Corps conducteurs : Une partie des électrons peuvent se déplacer. Corps isolants (ou diélectriques) : Les charges ne sont pas libres. 3 Equilibre électrostatique Considerons un conducteur chargé. Le conducteur est à l’équilibre électrostatique si la force sur chaque charge est nulle. Ça implique que à l’intérieur du conducteur Eint = 0, c’est-à-dire Vint = V0 = Constante, ρint = 0. 3.1 Théorème de Coulomb Si le conducteur est chargé on a également Eint = 0, et la charge ne peut se répartir que sur la surface (σ = 0). Les charges surfaciques sont à l’équilibre si la surface est une surface équipotentielle. La surface d’un conducteur à l’équilibre étant une surface équipotentielle, au voisinage de la surface le champ est normal à la surface même et vaut Eext = σ N /ǫ0 . (8) On appelle cage de Faraday une cavité à l’intérieur d’un conducteur (où E = 0). 4 Influence de deux conducteurs chargés Soit deux conducteurs (C1 ) et (C2 ) dont au moins un chargé (C1 ). La distribution de charge sur (C2 ) devient inhomogène à cause du champ produit par la charge sur le conducteur (C1 ). 13
  • 16. 4.1 Théorème de Faraday E L’équilibre est atteint quand les charges Q1 = dS2 σ1 dS1 et Q2 = σ2 dS2 se faisant face sont égales et opposées (théorème de Faraday). dS1 S2 Si l’ensemble des lignes de champs d’un des conducteurs re- joignent l’autre (figure à côté) l’influence est dite totale. Si E seulement une partie des lignes de champs se rejoignent l’in- fluence est dite partielle (figure en haut). S1 5 Capacité d’un conducteur La charge d’un conducteur unique est proportionnelle au potentiel V . Le coefficient de proportionnalité entre la charge et le potentiel est la capacité : q C= . (9) V Coulomb Coulomb2 La capacité se mesure en farad (F) : un farad= = . Volt Joule 1 Pour une sphère de rayon de 1 m : C = 4πǫ0 R = 10−9 F. 9 5.1 Capacité d’un condensateur Si deux conducteurs (C1 ) et (C2 ) sont en influence totale, ils forment un condensateur de capacité Q C= . (10) V1 − V2 5.2 Associations de condensateurs Condensateurs en série : 1/C = 1/C1 + 1/C2 + . . . Condensateurs en parallèle : C = C1 + C2 + . . . +Q −Q +Q −Q Q1 Q2 Q3 +Q −Q V V 11 00 11 00 111 000 11 00 11 00 111 000 11 00 11 00 111 000 11 00 11 00 111 000 en s´rie e en parall`le e 14
  • 17. Ecole Polytechnique de l’Université de Nice-Sophia Antipolis Année 2009/2010 Cours No 5 d’électrostatique CiP1 Cours No 5 : Energie électrostatique 1 Charge ponctuelle en interaction avec un champ ex- térieur Rappel : – Une charge ponctuelle isolée ne peut pas avoir une énergie potentielle (elle ne se “voit” pas). – Dans le cas de deux chrages q et q ′ : 1 qq ′ Ep = , (11) 4πǫ r qui peut être considérée comme (i) l’énergie de q ′ dans le champ de q ou comme (ii) l’énergie de q dans le champ q ′ . Equation (11) peut être écrite 1 Ep = (qVq′ →q + q ′ Vq→q′ ) (12) 2 où Vq′ →q est le potentiel créé par la charge q ′ au point q. 1.1 Energie potentielle d’une distribution de charges ponctuelles n 1 Ep = qi Vi (13) 2 i=1 où Vi = V1,2,...,i−1,i+1,···→i est le potenteil résultant crée par les charges 1, 2, . . . , i−1, i+1, . . . au point où demeure la charge qi . 1.2 Energie potentielle d’une distribution continue de charges 1 V dq Ep = (14) 2 où dq = λdl si la distribution est linéaire, dq = σdS si la distribution est superficielle, dq = ρdτ si la distribution est volumique. 15
  • 18. 2 Energie électrostatique emmagasinée dans les conduc- teurs chargés 2.1 Cas d’un conducteur unique Pour un conducteur portant une charge q et de capacité C : 1 1 1 q2 Ep = qV = CV 2 = . (15) 2 2 2C 2.2 Cas d’un condensateur Pour un condensateur avec armatures aux potentiels V1 et V2 , portant charges q1 et q2 (q2 = −q1 ) : 1 1 Ep = (q1 V1 + q2 V2 ) = q1 (V1 − V2 ) 2 2 2 1 1 q1 = C (V1 − V2 )2 = . (16) 2 2C Dans le cas d’un condensateur plan, de capacité C = ǫ0 S/d, le champ est uniforme et sa 1 norme vaut E = (V1 − V2 )d. On peut donc écrire Ep = ε0 SdE 2 . 2 La densité d’ énergie par unité de volume vaut dEp 1 E= = ε0 E 2 . dτ 2 3 Forces électrostatiques à partir de l’énergie 3.1 Système à charge constante Considerons le cas d’un condensateur préalamblement chargé et puis isolé. Le système étant isolé, la conservation de l’ énergie implique que dL + dEp = 0. Donc de la relation F · dl + ∇Ep · dl, on trouve que F = −∇Ep . (17) 3.2 Système à potentiel constant Considerons un condensateur chargé relié à une source en permanance. Dans ce cas dL + dEp = dLs , où Ls est l’énergie dépensée par la source pour maintenir le potentiel constant, avec q Ls = (V1 − V2 ) dq = (V1 − V2 )q = 2Ep . 0 On trouve donc F = +∇Ep . (18) 16
  • 19. 4 Pression électrostatique Exemple de la sphère. σ 2ε er Ee xt EM M σdS Considérons une sphère conductrice avec une charge surfacique σ. D’après le théorème de σ Coulomb on sait que le champs à la surface vaut Eext = er et qu’il est nul à l’intérieur ε0 du conducteur. Nous évaluons la force électrostatique dF qui s’applique à la charge dq = σdS : dF = dq EM , EM étant le champ au point M créé par toutes les charges existantes sur le conducteur, à l’exception de la charque dq. En exploitant le principe de superposition on déduit que σ σ EM = Eext − er = er , 2ε0 2ε0 et donc que ce champ exerce sur la charge dq une force électrostatique σ σ2 dF = dq er = dSer . 2ε0 2ε0 σ2 Le terme est une force par unité de surface, c’est à dire une pression, la pression 2ε0 électrostatique. 5 Annexe : Méthode des charges images Le problème à résoudre : Calculer le potentiel et le champ électrostatique pour un système donné (le système A). La méthode : Trouver un système B qui est décrit par la même équation de Poisson/Laplace pour le potentiel et qui a les mêmes conditions au bord que le système A. 17
  • 20. Exemple. Une charge q, q > 0 est placée à une distance d d’un plan conducteur relié à la terre (Vplan = 0). Déterminer : (a) le champ à proximité du plan conducteur ; (b) la distribution surfacique σ sur le plan, en fonction de l’angle θ (voir schéma) ; (c) la force exercée par le plan sur la charge. Solution : 11 00 11 00 11 00 A 11 00 11 00 B 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 Eq 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 Eplan 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 E−q 11 00 11 00 11 00 11 00 θ 11 00 11 00 11 00 q 11 00 q d 11 00 11 00 d d −q 11 00 11 00 11 00 11 00 N 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 V=0 Le système B est un système sans le plan conducteur, avec une charge −q située symétri- quement par rapport au plan. La région à gauche du plan est décrite par la même équation pour le potentiel (la distribution des charges est la même) pour les sytème A et B, et la condition au bord Vplan = 0 est bien vérifiée dans le système B grâce à la charge image −q. −q cos3 θ (a) Eplan = Eq + E−q = N 2πε0d2 σ −q cos3 θ (b) Eplan = N. Donc σ = ε0 2πd2 q2 (c) Fplan→q = F−q→q = − N. 16πε0 d2 18