Le document présente des exercices d'analyse fondamentale sur l'aversion au risque, l'évaluation des portefeuilles d'investissement et la maximisation de l'espérance d'utilité. Il inclut des calculs sur l'équivalent certain, la prime de risque et l'optimisation d'un portefeuille d'actifs entre deux titres risqués. Les résultats discutent des portefeuilles efficients et des décisions d'investissement basées sur la minimisation du risque.

1. http://jeu-optimum.pagesperso-orange.fr/analyse_fondamentale.htm
UNIVERSITE PARIS X NANTERRE
Année Universitaire 2007/2008
Série d’exercice N°3
EXERCICE N° 1http://fr.wikipedia.org/wiki/Mod
%C3%A8le_d'%C3%A9valuation_des_actifs_financiers
Considérez un individu de fonction d’utilité U ( W ) = ln ( 50 + W ) . La richesse initiale est de
100 Euro.
1- Présente-t-il de l’aversion pour le risque ? Quel est son coefficient d’aversion absolue pour
le risque ?
Considérez la loterie L (les gains possibles sont en Euro) :
x P(X=x)
20 0.25
10 0.5
-35 0.25
2- Calculer l’équivalent certain EC et la prime de risque de cette loterie.
3- L’individu serait-il prêt à payer pour ne pas être confronté à cette loterie ? Si oui, quel
montant ?
Corrigé de l’exercice N°1 :
∂U (W ) 1
1) = >0
∂W 50 + W
 la fonction d’utilité est croissante avec la richesse.
∂ 2U (W ) −1
= <0
∂W 2
(50 + W ) 2
 La fonction d’utilité marginale est décroissante et la fonction d’utilité est concave.
Donc, il s’agit là d’un comportement d’un individu averse au risque.
On note AA, l’aversion absolue pour le risque.
− U ' ' (W ) 1
AA = = >0
U ' (W ) 50 + W
1

2. ∂AA −1
= <0
∂W (50 + W ) 2
 L’Aversion absolue est décroissante par rapport à la richesse : Plus la richesse augmente,
plus l’aversion pour le risque diminue.
En d’autres termes, plus la richesse augmente, plus l’individu investi dans les actifs les plus
risqués.
2) * Commençons par calculer l’équivalent certain, noté « EC »
U ( EC ) = E[U (W )]
 U ( EC ) = 0.25 * U (120) + 0.5 * U (110) + 0.25 * U (65)
 Log (50 + EC ) = 5.009
Appliquons la fonction exponentielle :
=> 50 + EC = exp(5.009)
 EC = 149.5 − 50
 EC = 99.5 ∈
* Calculons, à présent, la prime de risque notée π
π = E ( L) − EC
 π = [0.25 * 120 + 0.5 * 110 + 0.25 * 65] − 99.5
 π = 101.25 − 99.5
 π = 1.75 ∈
3) Par définition, π représente le montant que l’investisseur est prêt à payer pour éviter le
risque s’il est obligé de participer à la loterie. Ce montant rendra l’investisseur indifférent
entre jouer ou non à la loterie.
Donc, l’individu sera prêt à payer au maximum 1.75 ∈ pour ne pas être confronté à cette
loterie.
EXERCICE N° 2
Supposons que la fonction d’utilité d’un investisseur est équivalente à:
U ( x ) = − exp ( −ax ) a>0
On considère que x est le taux de taux de rendement r d’un portefeuille supposé distribué
selon une loi normale.
1- En supposant le taux de rendement r petit, effectuer un développement limité de U(r)
autour de 0, à l’ordre 2
2

3. 2- Vérifier que la maximisation de l’espérance de l’utilité revient à maximiser
Φ
E ( r ) − V ( r ) avec E ( r ) est le taux de rentabilité espérée, V ( r ) est la variance du taux de
2
rendements et Φ un indice d’aversion au risque que l’on exprimera en fonction du paramètre
( a)
Corrigé de l’exercice N°2 :
Première méthode :
1) Sans hypothèse sur la distribution du rendement mais en n supposant que le taux de
rendement r est petit (et plus précisément tel que E(ar)<<1 et E((ar) 2)<<1), nous allons
effectuer un développement limité de la fonction d’utilité autour de 0, à l’ordre 2 et donner
une approximation de l’équivalent certain:
1
− exp(− aEQC ) = ( E (− exp(− ar )) = − E (1 − ar + a 2 r 2 )
2
1
⇔ −aEQC = Log (1 − aE (r ) + a 2 E (r 2 ))
2
2
⇔ −aEQC = −aE (r ) + a 2 E (r 2 ) −  −aE (r ) + a 2 E (r 2 ) 
1 1 1
2 2 2 

1 1
⇔ −aEQC = −aE (r ) + a 2 E (r 2 ) − a 2 ( E (r ) )
2
2 2
1
⇔ EQC = E (r ) − aV (r )
2
2°) Maximiser l’espérance d’utilité c’est maximiser l’équivalent certain, puisque la fonction
d’utilité est croissante.
3°) Φ = a
Deuxième méthode : en supposant que le rendement est distribué selon une loi normale ;
attention ERREUR dans l’énoncé ; le rendement est normal et pas log-normal)
Dans ce cas, on n’a pas besoin de faire de développement limité pour répondre à la question
2) Soit une fonction U : R → R
VT → U ( VT ) = − exp ( −aVT ) avec a f 0
Avec VT : la valeur du portefeuille à l’échéance T (ou bien c’est la richesse de l’investisseur à
la date T).
U ' = a exp ( −aVT ) f 0 

 ⇒ Investisseur averse au risque :
U " = −a 2 exp ( − aVT ) p 0

3

4.  − aV θ 
θ   ( )
Max E U VTθ  = Max  − E e T
θ  
 ÷

VθT
Or le rendement noté R =
V0
θ 


− aV θ 
Max  − E e T  ÷ = Max − E e 0 
 
 θ 

− aV R

 ( ) Avec R → N ( E ( R ) , V ( R ) )
( a V0 ) 2 V
−a V E R +( ) ( R)
E e =e
− aV R 0
0 2

 

 ( a V0 ) 2 V 
( )
 = Max  −e 0 ( ) ( R) ÷
−a V E R +
Max − E e
− aV R
0 2
θ 
 
 θ  ÷
 ÷
 
a V0 E ( R ) - ( aV0 ) 2V R
Donc ce critère revient à maximiser : 2 ( )
Donc la maximisation de l’espérance d’utilité exponentielle revient à maximiser
Φ
E ( R) − V ( R) .
2
Avec Φ=a
EXERCICE N° 3
Une société X dispose d’un excédent de trésorerie de 20000 Euros qu’elle désire placer sur le
marché financier. Le choix de la société a porté sur deux titres risqués A et B. Le tableau ci-
dessous résume les caractéristiques financières des deux titres :
Titre A Titre B
Tx de rendement espéré (%) 10 8
Ecart-type (%) 15 12
Le coefficient de corrélation entre les taux de rendement des deux titres est de 0,2.
1- Calculer le taux de rendement espéré et le risque (mesuré par l’ecart-type) des
portefeuilles suivants :
- Pf1 : 100% A Pf 5 : 60%A et 40% B
- Pf 2 : 100% B Pf 6 : 40% A et 60% B
- Pf 3 : 80% A et 20%B Pf 7 : equi-pondéré
- Pf 4 : 20% A et 80% B
2- En déduire de la question précédente les portefeuilles efficients dans le plan espérance
écart type ( E − σ ) .
4

5. 3- Si la société choisit le portefeuille de risque minimum, proposer une répartition du
montant à investir?
4- Même question lorsque les taux de rendement des deux titres sont :
• Parfaitement positivement corrélés.
• Parfaitement négativement corrélés.
• Indépendants.
Comparer les résultats obtenus avec ceux de la question 3.
Corrigé de l’exercice N°3 :
1) a) E (rpk ) est le taux de rendement espéré du portefeuille d’ordre k tel que k=1 … 7
E ( r pk ) = ∑X j E[ r j ] tel que l’indice j représente le nombre des titres dans le portefeuille
j
et Xi représente la proportion du titre i dans le portefeuille.
* E (rp1 ) = X A E[rA ] = 100% * 10% = 10% = 0.1
* E (rp2 ) = X B E[rB ] = 100% * 8% = 8% = 0.08
* E (rp ) = j∑ X j E[r j ] = X A E[rA ] + X B E[rB ] = 0.8 * 10% + 0.2 * 8% = 9.6%
3
= A, B
* E ( rp ) =
4 ∑X
j = A, B
j E[r j ] = X A E[rA ] + X B E[rB ] = 0.2 * 10% + 0.8 * 8% = 8.4%
* E ( rp ) =
5 ∑X
j = A, B
j E[r j ] = X A E[rA ] + X B E[ rB ] = 0.6 *10% + 0.4 * 8% = 9.2%
* E (rp ) = j∑ X j E[r j ] = X A E[rA ] + X B E[rB ] = 0.4 * 10% + 0.6 * 8% = 8.8%
6
= A, B
* E (rp 7 ) = ∑X
j = A, B
j E[r j ] = X A E[rA ] + X B E[ rB ] = 0.5 * 10% + 0.5 * 8% = 9%
b) V (rp ) = ∑∑X i X j ρi , j σiσ j
k
i j
V ( rp1 ) = X A * V ( rA ) = 12 * 0.15 2 = 2.25%
2
V (rp2 ) = X B * V (rB ) = 12 * 0.12 2 = 1.44%
2
V (r p3 ) = X AV (rA ) + X B V (rB ) + 2 X A X B ρ A, B σ Aσ B = 0.8 2 * 0.15 2 + 0.2 2 * 0.12 2 + 2 * 0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.12 * 0.1
2 2
V (r p4 ) = X AV (rA ) + X BV (rB ) + 2 X A X B ρ A, B σ Aσ B = 0.2 2 * 0.15 2 + 0.8 2 * 0.12 2 + 2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.12 * 0.1
2 2
V (r p5 ) = X AV (rA ) + X BV (rB ) + 2 X A X B ρ A, B σ Aσ B = 0.6 2 * 0.15 2 + 0.4 2 * 0.12 2 + 2 * 0.6 * 0.4 * 0.2 * 0.12 * 0.1
2 2
V ( r p6 ) = X AV ( rA ) + X BV (rB ) + 2 X A X B ρ A, B σ Aσ B = 0.4 2 * 0.15 2 + 0.6 2 * 0.12 2 + 2 * 0.4 * 0.6 * 0.2 * 0.12 * 0.1
2 2
V (r p7 ) = X AV (rA ) + X B V (rB ) + 2 X A X B ρ A, B σ Aσ B = 0.5 2 * 0.15 2 + 0.5 2 * 0.12 2 + 2 * 0.5 * 0.5 * 0.2 * 0.12 * 0.1
2 2
Remarque : On pourrait aussi calculer la matrice de variance –covariance des rendements des
 σA 2
ρσ Aσ B   225 360
deux titres : VR =  = 
 ρσ Aσ B σ B   360 144 
2
X 
Puis Var (rP ( X A,X B ) ) = ( X A , X B )VR  A 
X B 
2)
1 2 3 4 5 6 7
% en A 100 0 80 20 60 40 50
5

6. % en B 0 100 20 80 40 60 50
E (rpk ) en 10 8 9.6 8.4 9.2 8.8 9
%
V ( r pk ) 2.25 1.44 1.613 1.127 1.213 1.051 1.1025
σ (rp ) en %
k
15 12 12.7 10.6 11.01 10.25 10.5
Nous représentons, en rouge, la frontière efficiente et en noir, la courbe des portefeuilles
accessibles.
Les portefeuilles existants sur la frontière efficiente dominent ceux situés sur la courbe des
portefeuilles accessibles (qui sont en dessous du portefeuille à variance minimlale).
 D’après le graphique, le portefeuille à variance optimale est P6 (40% A ; 60% (B).
3) Détermination du portefeuille à variance minimale :
σ p = ∑∑ X i X j ρi , j σ iσ j ∀, j = A, B
2
i
i j
 σ = X Aσ A + X Bσ B + 2 X A X B ρ A, Bσ Aσ B
2 2 2 2 2
p
Or X A + X B = 1 => X B =1 − X A
On remplace X B dans l’expression de σ p comme suit :
2
σ p = X Aσ A + (1 − X A ) 2 σ B + 2 X A (1 − X A ) ρ A, Bσ Aσ B
2 2 2 2
σ p = X Aσ A + σ B − 2 X Aσ B + X Aσ B + 2 X A ρ A, Bσ Aσ B − 2 X A ρ A, Bσ Aσ B
2 2 2 2 2 2 2 2
∂σ p
2
=0
∂X A
 2 * X A * σ A − 2 * σ B + 2 * X A * σ B + 2 * ρ A, B * σ A * σ B − 4 * X A * ρ A , B * σ A * σ B = 0
2 2 2
 X A * ( 2 * σ A + 2 * σ B − 4 * ρ A , B * σ A * σ B ) = 2 * σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B
2 2 2
 2 * X A * (σ A + σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B ) = 2 * (σ B − ρ A, B * σ A * σ B )
2 2 2
σ B − ρ A, B * σ A * σ B
2
 XA = 2
σ A + σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B
2
Application numérique :
6

7. 0.12 2 − 0.2 * 0.15 * 0.12
XA =
0.15 2 + 0.12 2 − 2 * 0.2 * 0.15 * 0.12
 X A = 36,36%
=> X B = 63,64%
Conclusion : Le portefeuille à variance minimale est celui constitué de 36,36% du titre A et de
63,64% du titre B.
4) * Les deux titres sont parfaitement et positivement corrélés => ρA, B =1
σ B − ρ A, B * σ A * σ B
2
D’après la question précédente on a : X A = 2
σ A + σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B
2
En remplaçant par ρA, B =1 , on obtient :
σ B − σ A *σ B
2
XA = 2
σ A + σ B − 2 *σ A *σ B
2
σ B (σ B − σ A )
 XA =
(σ B − σ A ) 2
σB
 XA =
(σ B − σ A )
Application numérique :
0.12
XA =
(0.12 − 0.15)
 X A = −4
=> X B = 5
Conclusion : Lorsque les deux titres sont parfaitement et positivement corrélés, le portefeuille
à variance minimale est constitué de -400% du titre A et de 500% du titre B.
Il s’agit là d’une vente à découvert des titres A pour acheter des titres B.
* Les deux titres sont parfaitement et négativement corrélés => ρA, B = −1
σ B − ρ A, B * σ A * σ B
2
D’après la question précédente on a : X A = 2
σ A + σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B
2
En remplaçant par ρA, B = −1 , on obtient :
σ B + σ A *σ B
2
XA = 2
σ A + σ B + 2 *σ A *σ B
2
σ B (σ B + σ A )
 XA =
(σ B + σ A ) 2
σB
 XA =
(σ B + σ A )
Application numérique :
0.12
XA =
(0.12 + 0.15)
 X A = 44,44%
=> X B = 55,56%
7

8. Conclusion : Lorsque les deux titres sont parfaitement et négativement corrélés, le
portefeuille à variance minimale est constitué de 44,44% du titre A et de 55,56% du titre B.
* Les deux titres sont indépendants => ρA, B = 0
σ B − ρ A, B * σ A * σ B
2
D’après la question précédente on a : XA = 2
σ A + σ B − 2 * ρ A, B * σ A * σ B
2
En remplaçant par ρA, B = 0 , on obtient :
σB2
XA =
σ A +σB
2 2
Application numérique :
0.12 2
XA =
(0.12) 2 + (0.15) 2
 X A = 39%
=> X B = 61%
Conclusion : Lorsque les deux titres sont indépendants, le portefeuille à variance minimale
est constitué de 39% du titre A et de 61% du titre B.
3) Nous remarquons que lorsqu’on avait ρA, B = 0.2 ≈ 0 , on a obtenu un portefeuille à
variance minimale constitué de 36,36% du titre A et de 63,64% du titre B se rapprochant dans
la composition du portefeuille à variance minimale obtenu lorsque les deux titres sont
indépendants, à savoir, un portefeuille composé de 39% du titre A et de 61% du titre B.
EXERCICE N° 4
Soient deux titres dont la distribution jointe des rendements r1 et r2 est donnée par :
P (r1 = 0 et r2 = 0.6) = 0.1
P (r1 = 0.25 et r2 = 0.2) = 0.8
P (r1 = 0.5 et r2 = −0.2) = 0.1
1- Calculez les espérances et les variances des rendements des deux titres ainsi que leur
covariance.
2- Représentez l’ensemble des portefeuilles que l’on peut obtenir par combinaison de
ces deux titres dans le plan Ecart-type de rentabilité—espérance de rentabilité.
3- Interprétez
Corrigé de l’exercice N°4 :
8

9. 3
*E ( r1 ) = ∑ pi * ri ,1
i =1
1)
⇔ E ( r1 ) = 0*0.1 + 0.25*0.8 + 0.5*0.1
⇔ E ( r1 ) = 0, 25
3
*E ( r2 ) = ∑ pi * ri ,2
i =1
⇔ E ( r2 ) = 0.6*0.1 + 0.2*0.8 − 0.2*0.1
⇔ E ( r2 ) = 0, 2
*V ( r1 ) = E ( r12 ) − E ( r1 ) 2
⇔ V ( r1 ) = 0, 0125
=> σ (r1 ) = 0,1118 ; 0,112
*V ( r2 ) = E ( r2 2 ) − E ( r2 ) 2
⇔ V ( r2 ) = 0, 032
=> σ (r2 ) = 0,178
3
*cov ( r1 , r2 ) = ∑ ( ri ,1 − E ( r1 )) *( ri ,2 − E ( r2 ))
i =1
⇔ cov ( r1 , r2 ) = −0, 02
cov ( r1 , r2 )
*ρ1,2 =
V (r1 ) *V ( r2 )
⇔ ρ1,2 = −1
2) σ p = ∑∑ xi x j σ ij
2
i j
9

10. σ 2 = x12σ 12 + x2 σ 2 + 2 x12 x2 ρ1,2σ 1σ 2
p
2 2 2
= ( x1 σ 1 − x2σ 2 )
2
si ρ1,2 = −1
x2 = 1 − x1
σ 2 =  x1 σ 1 − ( 1 − x1 ) σ 2  =  x1 ( σ 1 + σ 2 ) − σ 2 
2 2
p    
σP σ2
x1 = ( + / − ) +
( σ1 + σ 2 ) ( σ1 + σ 2 )
EP − E2
E P = x1 E1 + x2 E 2 ⇒ x1 =
E1 − E 2
σP σ2 E − E2
( + / −) + = P
( σ1 + σ 2 ) ( σ 1 + σ 2 ) E1 − E 2
E1 − E 2  σ E +σ E 
E ( RP ) = ( + / − ) σ P + 2 1 1 2
÷
( σ1 + σ 2 ) 
 ( σ1 + σ 2 ) ÷

Nous constatons d’après le graphique qu’il est possible, à partir de deux titres risqués, de
constituer un portefeuille à variance nulle (Portefeuille non risqué) si et seulement si les
deux titres sont parfaitement et négativement corrélés.
En effet, si ρ1,2 = −1 alors on a σ 2 p = ( x1 σ 1 − x2σ 2 )
2
Donc si σ p = 0
2
 ( x1 σ 1 − x2σ 2 ) = 0
2
 ( x1 σ 1 − x2σ 2 ) = 0
x1 σ 2
 =
x2 σ 1
Par suite, connaissant σ 1 et σ 2 , l’investisseur peut jouer sur les pondérations x1 et x2
pour constituer un portefeuille non risqué à partir de deux titres 1 et 2 parfaitement et
négativement corrélés.
10

11. EXERCICE N° 5
Trois titres T1, T2, T3 ont les rendements suivants
E ( R1 ) = 6% E ( R1 ) = 8% E ( R1 ) = 12%
Leur matrice des variances-covariances est la suivant :
T1 T2 T3
T1 500 100 100
T2 700 200
T3 900
1- Calculez le rendement espéré, la variance du rendement et l’écart-type du portefeuille
constitué des trois titres T1, T2, T3 dans les proportions respectives de 0.5, 0.3 et 0.2.
2- Formulez le programme de minimisation de la variance et déterminer l’expression du
lagrangien pour un niveau de rendement donné fixé à Ra.
3- Déterminer les proportions optimales à investir dans le portefeuille composé des trois
titres quand le rendement Ra est fixé à 6.8%. Quelle est dans ce cas la valeur de la
variance ?
4- Que deviennent les proportions optimales à investir et le risque quand le rendement
exigé est de 9% puis de 15%.
Corrigé de l’exercice N°5 :
1)
E ( R p ) = 0.5 E ( R1 ) + 0.3E ( R2 ) + 0.2 E ( R3 ) = 7,8%
σ 2 = 298
P
σ = 17, 26
P

 Min σ 2
 P

2)  sc : E ( R p ) = Ra
 3



∑ xi = 1
i =1
⇔ Min σ 2 = 500 X 12 + 700 X 2 + 900 X 32 + 200 X 1 X 2 + 200 X 1 X 3 + 400 X 2 X 3
2
P
0.06 X 1 + 0.08 X 2 + 0.12 X 3 = Ra

sc 
X1 + X 2 + X 3 = 1

11

12. L = 500 X 12 + 700 X 2 + 900 X 32 + 200 X 1 X 2 + 200 X 1 X 3 + 400 X 2 X 3 + λ1 ( 0.06 X 1 + 0.08 X 2 + 0.12 X 3 − Ra )
2
+ λ2 ( X1 + X 2 + X 3 − 1)
∂L
= 0 ⇔ 100X1 + 200X 2 +200X 3 + 0, 06λ1 + λ2 = 0 ( 1)
∂X 1
∂L
= 0 ⇔ 200X1 + 1400X 2 +400X 3 + 0, 08λ1 + λ2 = 0 ( 2)
∂X 2
∂L
= 0 ⇔ 200X1 + 400X 2 +1800X3 + 0,12λ1 + λ2 = 0 ( 3)
∂X 3
∂L
= 0 ⇔ 0.06 X 1 + 0.08 X 2 + 0.12 X 3 − Ra = 0 ( 4)
∂λ1
∂L
= 0 ⇔ X1 + X 2 + X 3 − 1 = 0 ( 5)
∂λ1
3)
Ra=6,8%
( 5) ⇒ X1 = 1 - X 2 - X 3
Dans ( 1) : −800X 2 -800X 3 + 0, 06λ1 + λ2 + 1000 = 0 ( 1′ )
Dans ( 2 ) :1200X 2 + 200X 3 + 0, 08λ1 + λ2 + 200 = 0 ( 2′)
Dans ( 3) : 200X 2 +1600X 3 + 0,12λ1 + λ2 + 200 = 0 ( 3′ )
Dans ( 4 ) : 0.02 X 2 + 0.06 X 3 − 0.008 = 0 ( 4′)
( 4′ ) ⇒ X 2 = 0.4 - 3X 3
Dans ( 1′ ) :1600X 3 = −0,06λ1 − λ2 − 680 ( 1′′ )
Dans ( 2′ ) : 3400X 3 = 0, 08λ1 + λ2 + 680 ( 2′′)
Dans ( 3′ ) :1000X3 = −0,12λ1 − λ2 + 280 ( 3′′)
( 3′′ ) ⇒ λ2 = −1000X 3 − 0,12λ1 − 280
Dans ( 1′′ ) : 600X 3 = 0, 06λ1 − 400 ( 1′′′ )
Dans ( 2′′ ) : 4400X 3 = −0, 04λ1 + 400 ( 2′′′)
( 1′′′) + ( 2′′′) ⇒ 5000X 3 = 0, 02λ1 ⇒ λ1 = 200000X 3 ( 3′′′ )
Dans ( 1′′′ ) : X 3 = 2.77%
X 2 = 31, 69%
X1 = 67%
λ1 = 6925 λ2 = −1138.7
σ 2 = 3,344% ⇒ σ = 18, 287%
P P
4)
Ra=9%
12

13. X1 = 23, 68%
X 2 = 24, 48%
X 3 = 41,84%
σ = 18, 48%
P
Il s’agit de faire le même raisonnement pour Ra=15%
X1 = −60%
X 2 = 15%
X 3 = 145%
σ = 44,53%
P
13