Copyright @ Denis Laurendeau

1. Rappels
mathématiques
Denis Laurendeau (dernière révision juillet 2021)
1

2. Introduction
2
Cette partie rappelle ou présente certaines notions
mathématiques qui seront utiles pour le reste du cours.
Un document (manuscript) plus détaillé est aussi disponible sur
monPortail et Teams pour les personnes intéressées.

3. Notions présentées dans cette section
3
1. Coordonnées homogènes;
2. Transformations de coordonnées et changements de repères
de coordonnées
1. rotations
2. translations
3. Autres types de transformations
1. Mise à l’echelle
2. Transformation affine
3. Transformation projective.

4. 1- Coordonnées homogènes
4

5. 1- Coordonnées homogènes
5
Les coordonnées homogènes sont utilisées pour
linéariser des équations. Elles seront utiles quand
nous traiterons de la projection de perspective.
Dans le plan X-Y de la figure, un point a les
coordonnées (x,y).
En coordonnées homogènes, ce point est représenté
dans un repère en trois dimensions et ses coordonnées
sont (hx, hy, h). La troisième dimensions est appelée
facteur d’echelle.
Un même point (x,y) peut par conséquent être représenté par plusieurs points en
coordonnées homogènes.
(x,y)
(x,y,1)
(2x,2y,2)

6. 6
Convention de notation qui sera adoptée pour le reste du cours
1. Les vecteurs sont des vecteurs colonnes. Par exemple, un point 2D de coordonnées
(x,y) sera représenté par le vecteur :
2. Notation pour les vecteurs et matrices en coordonnées réelles et
en coordonnées homogènes
x
y
 
 
 
Vecteur en coordonnées réelles (n lignes)
Vecteur en coordonnées homogènes (n+1 lignes)
Matrice en coordonnées réelles (n lignes x m colonnes)
Matrice en coordonnées homogènes (n+1 lignes x m+1 colonnes)
v
v
M
M

7. 7
La stratégie derrière l’utilisation des coordonnées
homogènes est la suivante (pour des vecteurs
à 2 dimensions en coordonnées réelles) :
a. on transforme les matrices et vecteurs en
coordonnées homogènes pour calculer
un résultat (par exemple obtenir le vecteur
en appliquant la matrice au vecteur )
b. Une fois le résultat obtenu, on ramène le vecteur en coordonnées réelles en
divisant ses deux premières composantes par la troisième.
Ce qui précède s’étend au cas à 3 dimensions pour lequel les vecteurs deviennent
à 4 dimensions dans l’espace homogène.
(x,y)
(x,y,1)
(2x,2y,2)
v M u
=
v
M u
v

8. 2- Transformations de coordonnées
8

9. 2- Transformations de coordonnées et
changements de repères de coordonnées
9
A- Rotation pure
En deux dimensions, la matrice de rotation est :
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
R
 

 
−
 
=  
 
Elle peut être interprétée de deux façons

10. 10
i- Rotation d’un vecteur d’un angle  dans un repère de coordonnées
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
R
 

 
−
 
=  
 
ii- Changement de repère d’un vecteur dont les coordonnées sont exprimées dans
un repère B ayant subi une rotation de  degrés pare rapport à un repère A

11. 11
Dans ce cas, on a :
( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
A B
v v
 
 
−
 
=  
 
ib jb
B B
B B
A A
A A B B
B
A A
i i j i
v R v v
i j j j
 
 
= =  
 
 
 
yA

12. 12
En coordonnées homogènes on aura donc :
( ) ( )
( ) ( )
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1 1
A B
A B
x x
y y
h
 
 
   
−
 
   
 
=
   
 
   
 
 
   
( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
1
A B B
A B B
x x y
y x y
h
 
 
= −
= +
=
et, en coordonnées réelles :
( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
A B B
A
B B
x x y
h
y x y
h
 
 
= −
= +

13. 13
B- Translation
D’après la figure de droite:
La matrice de translation en
coordonnées homogènes permet de transformer le vecteur dans le repère
en exprimé dans le repère .
A
BT
B
v
B
O A
O
A
v
1 0
0 1
0 0 1
x
A
B y
t
T t
 
 
=  
 
 
1 0
0 1
0 0 1 1
A B
x
A B
y
x t x
y t y
h
   
 
   
 
=
   
 
   
 
 
   
coord. homogènes
A B
x
x x t
= +
A B
y
y y t
= +
1
h =
coord. réelles
Translation inverse 1
1 0
0 1
0 0 1
x
B
A y
t
T t
−
−
 
 
= −
 
 
 

14. 14
C- Transformations composées
On peut construire des transformations composées en post-multipliant
les changements de repères. Par exemple, sur la figure,
La rotation d’un repère (noir vers bleu)
suivie d’une translation (bleu vers vert)
s’écrit :
A A B C
B C
v R T v
=
Post-multiplication des matrices

15. 15
D- Généralisation en 3D
On peut construire généraliser les rotations et translations dans le plan
au cas général des rotations et translations dans l’espace cartésien à
trois dimensions avec les matrices suivantes en coordonnées homogènes
Rotations
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
x
R
 

 
 
 
−
 
=
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos 0 sin 0
0 1 0 0
sin 0 cos 0
0 0 0 1
y
R
 

 
 
 
 
=
 
−
 
 
Translations
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
x
y
z
t
t
T
t
 
 
 
=
 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
z
R
 
 

 − 
 
 
=
 
 
 
x y z

16. 16
E- Propriétés des matrices de rotation
a) une matrice de rotation est orthonormale : (vrai aussi en not. hom.)
b)
c) Les colonnes de forment un système orthonormal de vecteurs
(idem pour les lignes)
d) Les valeurs propres de sont : 1 (correspond à l’axe de rotation), et
e) Une matrice de rotation compte 9 éléments (les ri,j) et est soumise
aux 6 contraintes de c). Par consequent, elle possède 3 degrés de
liberté correspondant aux trois axes de rotation.
1 T
R R
−
=
( ) 1
Det R =
R
ic * ic = jc * jc = kc * kc = 1
iL * iL = jL * jL = kL * kL = 1
ic jc kc
iL
jL
kL
R i
e i
e 
−
r11
r21
r31
r12
r22
r32
r13
r23
r33

17. 17
F- Diverses conventions de représentation des rotations
Il existe plusieurs façons (conventions) de représenter des rotations à
dans l’espace 3D partir des matrices fournies en D)
1- Convention Roulis-Tangage-Lacet (Roll-Pitch-Yaw)
2- Angles d’Euler (non utilise dans le cours):
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles#Geometrical_definition

18. 18
3- Post-multiplications de matrices de rotation autour de chacun des axes
(approche retenue pour le cours)
Exemple de changement de repères complexe incluant une translation et
des rotations autour des trois axes de coordonnées :
( ) ( ) ( ) ( )
0, , 90 90 90
A B C D
A B y z C x D y E E
v T t t R R R v
=
Post-multiplication des matrices

19. 19
Remarque importante
Comme le produit de matrices n’est pas commutatif, l’ordre des
matrices dans une post-multiplication est important.
Rotation de 90° selon x suivie d’une rotation de 90° selon y
Rotation de 90° selon y suivie d’une rotation de 90° selon x
Configuration finale

20. 20
4- Représentation des rotations par axe et angle
Toute rotation composée peut être exprimée par un axe de rotation
et un angle de rotation autour de cet axe (règle de la main droite pour rotation positive).
Cette representation est compatible avec
celle des matrices de rotation car elle
possède 3 degrés de liberté : orientation a,w
de l’axe et angle .
La matrice de rotation peut être obtenue
avec l’equation suivante (coordonnées réelles):
est la matrice identité 3 x 3 et les n? sont les composantes du vecteur unitaire dans la direction de l’axe de rotation)
3
I
2
2
3 3
2
1 0
(1 cos( )) 1 sin( ) 0
1 0
x x y x z z y
x y x y y z z x
z x z y z y x
n n n n n n n
R I n n n n n n n
n n n n n n n
 
   
− −
   
= + − − + −
   
   
− −
 
 

21. 21
5- Transformation rigide
Dans le cadre du cours, nous allons utiliser souvent une transformation
rigide qui est composée d’une translation suivie d’une rotation. On dit
que la transformation est rigide parce que quand elle est appliquée aux
points d’un objet, les angles et les distances entre les points sur l’objet
sont préservés (i.e. la forme de l’objet reste la même après la
transformation)
L’expression de la transformation rigide en post-multiplication est
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
x
y
A
B
z
t
t
T
t
 
 
 
=
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
0
0
0 0 0 1
B
C
r r r
r r r
R
r r r
 
 
 
=
 
 
 
A B
A B C C
v T R v
= 3 3 3 1
3 1
0 1
x x
A C
T
x
R t
v v
 
=  
 
A C
v R v t
= +
coord. hom.
coord. réelles

22. 22
L’inverse de la transformation rigide est :
3 3
3 1
0 1
T T
x
C A
T
x
R R t
v v
 
−
=  
 
1 1 T T
C A A
v R v R t R v R t
− −
= − = −
coord. hom.
coord. réelles

23. 3- Autres types de transformations
23

24. Mise à l’échelle
24

25. 25
La mise à l’echelle est une transformation de similarité c’est à- dire
qu’elle transforme un objet en un objet similaire.
Comparativement, une transformation rigide transforme un objet
en un objet identique.
En 3D (notation homogène), la matrice de mise à l’echelle est :
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 1
x
y
z
s
s
S
s
 
 
 
=
 
 
 
, , : ' , ,
x y z
s s s facteurs d échelleselon x y et z
La mise à l’échelle ne
préserve ni les longueurs
ni les angles.
Ex.
x x
y y
2 0 0 0
0 1 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 

26. Transformation affine
26

27. Une transformation affine est une transformation générale qui ne préserve
ni les longueurs ni les angles.
La dernière ligne contient des 0 et un “1” au pivot de facteur d’échelle
0 0 0 1
a b c d
e f g h
A
i j k l
 
 
 
=
 
 
 

28. Transformation projective
28

29. Une transformation projective en coordonnées homogènes s’exprime
comme suit :
v P v
 =
Avec quelconque.
P

30. En particulier, dans le cours de vision artificielle, une transformation
projective permet de formuler l’operation de formation des images
sur le plan géométrique comme une projection du monde 3D
(l’espace cartésien à 3 dimensions) vers un monde 2D (l’image)
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1
x
u a a a b
y
v a a a b
z
s a a a b
 
     
     
=
     
     
   
 
3 4
x
M
Si , est une matrice de projection de perspective.
0
A  3 4
x
M