Ce document traite des concepts fondamentaux de la trigonométrie et de la géométrie dans un cadre académique. Il couvre notamment la mesure des angles en radians, le cercle trigonométrique, les relations entre angles orientés et vecteurs, ainsi que les méthodes de calcul dans ce contexte. Des exercices et des exemples sont fournis pour illustrer ces notions et aider à leur compréhension.

1. Séquence 3
Géométrie
Sommaire
1. Trigonométrie p.102
2. Géométrie dans l’espace p.112
3. Barycentres p.118
4. Produit scalaire dans le plan p.123
5. Translations et homothéties p.129
6. Exercices d’application p.133
7. Corrigés des exercices p.137
Séquence 3 101
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2. 1 Trigonométrie
A Repérage d’un point du cercle
trigonométrique
On considère un repère orthonormé ( O ; i , j ) et les points I et J tels que
OI = i et OJ = j .
Ꮿ B 1. Mesure d’un angle géométrique en radians
O
a Définition
A
Soient Ꮿ un cercle de centre O et de rayon 1 et A, B deux points de Ꮿ .
La mesure en radians de l’angle AOB est la longueur de l’arc AB .
Exemples La longueur d’un demi-cercle de centre O et de rayon 1 étant égale à π
(périmètre d’un cercle de centre O et de rayon 1 = 2π ), on en déduit que
la mesure en radians d’un angle plat est de π radians et de même celle
d’un angle droit (correspondant à la longueur d’un quart de cercle) est
π
de radians .
2
a Propriété
Les mesures d’un angle en degrés et en radians sont proportionnelles.
a Correspondances à connaître
Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 x
π π π π π
Mesure en radians 0 π ×x
6 4 3 2 180
2. Cercle trigonométrique et angles orientés
Un cercle trigonométrique est un cercle orienté de rayon 1.
Par convention, le sens direct (dit aussi positif) est le sens inverse des
aiguilles d’une montre. L’autre sens est dit indirect.
102 Séquence 3
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3. a Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique
+ En « enroulant » la droite des réels sur le cercle trigono-
métrique Ꮿ de centre O comme le suggère la figure ci-
π contre (dans le sens direct si x > 0 et dans le sens indirect
si x < 0 ), on associe à tout réel x un unique point M du
cercle.
x Exemple : Au réel 0, on associe le point I ; au réel π le
π π
point A, à le point J, à − le point C…
π 2 2
2
J a Définition
M
Si au nombre réel x, on associe le point M, on dit que x est
une mesure en radians de l’arc orienté IM ou de l’angle
I
A 0 orienté de vecteurs (OI ; OM).
O
C
a Ensemble des mesures d’un angle orienté
de vecteurs ; mesure principale
π ̈ Réciproquement, à un point M du cercle, est associée une
2 famille de réels.
π 3π
Au point J sont, par exemple, associés les réels , − …
2 2
Ces nombres réels sont définis « modulo 2π ». Cela
signifie que leurs différences sont des multiples entiers
π
de 2π (correspondant à des nombres de tours complets
du cercle dans le sens indirect ou direct).
Si x est un tel réel, on note :
(OI ; OM) = x + 2k π ( k ∈» ) ou (OI ; OM) = x (modulo 2π ).
̈ De même, si M et N sont deux points du cercle trigonométrique respec-
tivement associés aux réels x et y, les mesures en radians de l’angle
orienté (OM ; ON) sont les réels y − x + 2k π avec k ∈» .
̈ Parmi toutes les mesures d’un angle orienté ( OM ; ON) , une seule
appartient à l’intervalle ] − π ; π ] . On l’appelle la mesure principale de
l’angle ( OM ; ON) .
Exemple 1 On considère le cercle trigonométrique Ꮿ ci-contre et A, B, C trois points de Ꮿ .
Déterminer une mesure des angles de vecteurs : ( OI ; OB ),( OI ; OC ) ,
( OC ; OB ) .
Ꮿ +
Placer sur le cercle les points D et E tels que :
B
j
I −4 π 13 π
( OI ; OD ) = (2 π )et ( OI ; OE ) = (2 π ).
O 3 4
i Déterminer la mesure principale des angles
C
(OI ; OD ) et (OI ; OE ).
A
Séquence 3 103
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4. π
On a ( OI ; OB ) = π (2π ) (angle plat); ( OI ; OC ) = − (2π ) (C est sur la bis-
4
⎛ π ⎞ 5π 3π
sectrice de l’angle droit AOI ) et ( OC ; OB ) = π − ⎜ − ⎟ = =− (2π ).
⎝ 4⎠ 4 4
4π π
On peut placer D en utilisant le fait que − = −π −
D et que OBD est par suite équilatéral. 3 3
Ꮿ
4π 2π 2π 2π
π j De plus − + 2π = et ∈ ] − π ; π ] donc
3 3 3 3 3
I
B est la mesure principale de (OI ; OD)
O i
13π 16π 3π 3π 3π 3π
C = − = 4π − = 2 × 2π − =− (2π )
E 4 4 4 4 4 4
A avec
3π 3π
− ∈ ] − π ; π ] donc − est la mesure principale
4 4
de (OI ; OE) . De plus E est sur la bissectrice de AOB .
3. Angle orienté de deux vecteurs quelconques
a Définition
N Soient u et v deux vecteurs non nuls tels que u = OM
v et v = ON .
Ꮿ B On considère les points A et B points d’intersection
u M
A respectifs des demi-droites [OM) et [ON) avec le cer-
j cle trigonométrique de centre O.
O i Les mesures en radians de l’angle orienté de vecteurs
(u ; v ) sont les mesures en radians de (OA ; OB ).
a Propriétés
̈ Angles et colinéarité Soient u et v deux vecteurs non nuls.
u et v sont colinéaires de même sens si et seulement
si (u ; v ) = 0 (modulo 2π ).
u et v sont colinéaires de sens contraires si et
seulement si (u ; v ) = π (modulo 2π ).
̈ Relation de Chasles Pour tous vecteurs u , v , w non nuls, on a :
(u ; v ) + (v ; w ) = (u ; w ) (modulo 2π ).
104 Séquence 3
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5. ̈ Conséquences Pour tous vecteurs u , v non nuls, on a (modulo 2π) :
v ᕡ (v ; u ) = −(u ; v )
π
ᕢ ( −u ; −v ) = (u ; v )
–u
u
ᕣ ( −u ; v ) = (u ; v ) + π et (u ; −v ) = (u ; v ) + π
–v
4. Les méthodes
a Comment déterminer la mesure principale d’un angle
orienté
Pour calculer la mesure principale d’un angle orienté de mesure
(en radians) x, on décompose x sous la forme d’une somme de type
y + k × 2π avec y ∈] − π ; π ] et k ∈» alors y est la mesure principale
associée à x. On peut aussi si x est « grand » estimer « le nombre de
tours complets du cercle contenus dans cette mesure » puis ajouter ou
soustraire à x la mesure en radians de ce nombre de tours qui est donc
un multiple de 2π , afin d’obtenir un réel de ] − π ; π ].
Exemple 2 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est
431π
.
6 431π
On calcule 6 (pour estimer le nombre de tours complets) :
2π
431π
6 = 431 36 (on arrondit à l’entier le plus proche).
2π 12
431π 431π − 432π π π π
Puis − 36 × 2π = = − avec − ∈ ] − π ; π ] donc −
6 6 6 6 6
est la mesure principale demandée.
a Comment utiliser les règles opératoires sur les
angles orientés
On peut utiliser les propriétés du 3. pour montrer le parallélisme de deux
droites, l’alignement de trois points ou l’orthogonalité de deux droites.
Si A, B, C, D sont 4 points deux à deux distincts, on a en particulier :
( )
(AB) // (CD) ⇔ AB ; CD = 0 ( modulo π )
( )
A, B, C alignés ⇔ AB ; AC = 0 ( modulo π ).
Exemple 3 OnconsidèrelespointsA,B,C,DetEtelsque ( AB ; AE ),( AB ; AD ) et ( AD ; AC )
2 π 3π 5π
ont pour mesures respectives − , et − .
3 4 12
Démontrer que les points A, C et E sont alignés.
Séquence 3 105
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6. On calcule une mesure de l’angle orienté (AC ; AE).
On a d’après la relation de Chasles :
( AC ; AE ) =( AC ; AD )+( AD ; AB )+( AB ; AE )=−( AD ; AC ) − ( AB ; AD )+( AB ; AE )
5π 3π 2π −12π
soit ( AC ; AE ) = − − = = − π = π ( modulo 2π ).
12 4 3 12
Donc les vecteurs AC et AE sont colinéaires (de sens contraires) et les
points A, C, E sont bien alignés.
B Lignes trigonométriques
1. Les notions
a Définition
1
(O ; i , j ) est un repère orthonormé direct et Ꮿ est le cer-
M
sin x cle trigonométrique de centre O.
j x Soit x un réel et M le point de Ꮿ tel que ( i ; OM) = x (2π ).
P
–1 1
O i cos x
Alors, on a : cos x = abscisse de M et
sin x = ordonnée de M
–1 a Propriétés immédiates
ᕡ Pour tout k ∈»,
cos( x + 2kπ ) = cosx et sin( x + 2kπ ) = sinx . (car x et x + 2k π sont asso-
ciés au même point M de Ꮿ ).
ᕢ Pour tout réel x, on a : −1 ≤ cosx ≤ 1 et −1 ≤ sinx ≤ 1 .
ᕣ Pour tout réel x, on a : cos2 x + sin2 x = 1 . (théorème de Pythagore dans
OPM).
a Propriétés relatives aux angles associés
Pour tout réel x, on a :
M6 M5 ᕤ cos( − x ) = cosx et sin( − x ) = − sinx (point M2 )
x
M4 j M ᕥ cos( π + x ) = − cos x et sin( π + x ) = − sin x (point M3 )
x ᕦ cos( π − x ) = −cosx et sin( π − x ) = sin x (point M4 )
O i ⎛π ⎞ ⎛π ⎞
ᕧ cos
M3 M2 ⎜ 2 − x ⎟ = sin x et sin⎜ 2 − x ⎟ = cos x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(point M5 )
⎛π ⎞ ⎛π ⎞
ᕨ cos
⎜ 2 + x ⎟ = − sin x et sin⎜ 2 + x ⎟ = cos x (point M6)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
106 Séquence 3
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7. Remarque a Valeurs particulières (à connaître par
cœur)
En connaissant
⎛ π⎞ 1 π π π π
cos ⎜ ⎟ = , on x 0
⎝ 3⎠ 2 6 4 3 2
⎛ π⎞
retrouve sin ⎜ ⎟ .
⎝ 3⎠ 3 2 1
En effet, cos x 1 0
2 2 2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
sin2 ⎜ ⎟ = 1 − cos2 ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 1 2 3
1 3 sin x 0 1
= 1− = 2 2 2
4 4
⎛ π⎞
et comme sin ⎜ ⎟ > 0, a Formules d’addition
⎝ 3⎠
on en déduit que ᕩ cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b et
⎛ π⎞ 3 cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
sin ⎜ ⎟ = . µ sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a et
⎝ 3⎠ 2
sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a.
a Formules de duplication
¸ cos(2a ) = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
sin(2a ) = 2sina cosa .
2. Les méthodes
a Comment obtenir des valeurs remarquables asso-
ciées à une mesure
On utilise les valeurs particulières du tableau ci-dessus puis on utilise
les formules des angles associés.
Exemple 4 Compléter le tableau ci-dessous concernant les valeurs remarquables
π
des lignes trigonométriques associées à :
6
π π 7π 5π π 2π
x −
6 6 6 6 3 3
cos x
sin x
Séquence 3 107
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8. x π π 7π π 5π π π π π 2π π π π
− =π+ =π− = − = + =π−
6 6 6 6 6 6 3 2 6 3 2 6 3
cos x 1 1
3 3 3 3
− − −
2 2 2 2 2 2
sin x 1 1 1 1 3 3
− −
2 2 2 2 2 2
Explication Valeurs On uti- On utilise ᕥ On utilise Valeurs On utilise ᕨ ou ᕦ
connues lise les ᕦ connues et les valeurs de la
formu- ou ᕧ colonne précédente.
les ᕤ et les
valeurs
de la 1ère
colonne.
a Comment obtenir de nouvelles valeurs
̈ On exprime le réel donné comme somme ou différence de réels dont
les lignes trigonométriques sont connues ou comme double ou moitié
d’un réel dont les lignes trigonométriques sont connues.
̈ On utilise ensuite les formules d’addition ou de duplication.
π π
Exemple 5 Déterminer les lignes trigonométriques du réel et du réel .
12 8
π π π
̈ On a = − donc d’après ᕩ :
12 3 4
⎛ π⎞ π π π π 1 2 3 2 2+ 6
cos ⎜ ⎟ = cos cos + sin sin = × + × =
⎝ 12 ⎠ 3 4 3 4 2 2 2 2 4
On obtient de même en appliquant µ :
⎛ π⎞ π π π π 6− 2
sin⎜ ⎟ = sin cos − sin cos = .
⎝ 12 ⎠ 3 4 4 3 4
π π ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
̈ 2× = donc d’après ¸ : cos ⎜ ⎟ = 2cos2 ⎜ ⎟ − 1
8 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 2 ⎛ π⎞ 2 +2
soit 2cos2 ⎜ ⎟ = cos ⎜ ⎟ + 1 = + 1 donc cos2 ⎜ ⎟ = puis
⎝ 8⎠ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ 8⎠ 4
⎛ π⎞ 2 +2 2 +2 ⎛ π⎞
cos ⎜ ⎟ = = car cos ⎜ ⎟ > 0 .
⎝ 8⎠ 4 2 ⎝ 8⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞ 2− 2
De même, cos ⎜ ⎟ = 1 − 2sin2 ⎜ ⎟ d’où sin2 ⎜ ⎟ = puis
⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ 4
⎛ π⎞ 2− 2 ⎛ π⎞
sin⎜ ⎟ = car sin⎜ ⎟ > 0 .
⎝ 8⎠ 2 ⎝ 8⎠
108 Séquence 3
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9. a Comment utiliser les valeurs remarquables pour
construire le point associé à une mesure
Pour placer le point du cercle trigonométrique associé à une mesure x en
radians, on peut utiliser cos x ou sin x qui nous donnent l’abscisse ou
l’ordonnée du point M.
5π
Exemple 6 Construire (précisément) le point M associé à la mesure en radians .
6
⎛ 5π ⎞ 1
On utilise le fait que sin⎜ ⎟ = (voir ci-dessus avec les angles asso-
M5π ⎝ 6⎠ 2
6 1/2 i ⎛ 5π ⎞
ciés) et que cos ⎜ ⎟ < 0 donc M est le point du cercle trigonométrique
⎝ 6⎠
O 1
i tel que : x M < 0 et y M = .
2
a Comment résoudre des équations trigonométriques
M(a) ̈ Pour résoudre une équation trigonométrique du type cos x = k (avec
k ∈[ −1 ; 1] sinon l’équation n’a pas de solution), on cherche un réel a
cos a
O
tel que cos a = k puis on utilise :
⎧ x = a + 2k π
M’(–a) ⎪
cos x = cos a ⇔ ⎨ ou avec k ∈» .
⎪ x = −a + 2k π
⎩
̈ Pour résoudre une équation trigonométrique du type sin x = k (avec
M’(π–a) M(a) de même, k ∈[ −1 ; 1]), on cherche un réel a tel que sin a = k puis on
sin a
utilise :
O
⎧ x = a + 2k π
⎪
sin x = sin a ⇔ ⎨ ou avec k ∈».
⎪ x = π − a + 2k π
⎩
̈ Il faut aussi tenir compte de l’ensemble dans lequel on résout l’équa-
tion et bien utiliser le cercle trigonométrique.
3
Exemple 7 Résoudre l’équation cosx = − dans » puis dans ] − π ; π ] .
2
⎛ 5π ⎞ 3 ⎛ π⎞
On a cos ⎜ ⎟ = − (éventuellement passer par cos ⎜ ⎟ et s’aider du
5π ⎝ 6⎠ 2 ⎝ 6⎠
6 j cercle pour trouver cela). ⎧ 5π
i ⎪x= + 2k π
⎪ 6
3 3 ⎛ 5π ⎞
2 5π Donc cos x = − ⇔ cos x = cos ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ou k ∈».
6 2 ⎝ 6⎠ ⎪
⎪ x = − 5π + 2k π
⎪
⎩ 6
D’où l’ensemble des solutions de l’équation dans » est :
⎧ 5π ⎫
᏿ = ⎨ ± + 2k π ; k ∈» ⎬ (il y en a une infinité).
⎩ 6 ⎭
⎧ 5π ⎫
Dans ] − π ; π ] , ᏿ = ⎨ ± ⎬ (il y a exactement deux solutions).
⎩ 6⎭
Séquence 3 109
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10. C Coordonnées cartésiennes
et coordonnées polaires
1. Les notions
a Définition
+
y M Soit M un point du plan rapporté au repère orthonormé
r direct (O ; i , j ) .
j ο
Un couple de coordonnées polaires de M est un couple du
O x
i type (r ; θ ) tels que r = OM et (i ; OM ) = θ (2π ).
a Propriétés ; lien avec les coordonnées cartésiennes
Cartésiennes Polaires
Coordonnées de M (x ; y) (r ; θ )
r et θ réels : r > 0 ; r est unique.
Propriétés x et y sont des réels.
θ est défini à 2π près.
Relation entre ces x y
coordonnées
x = r cosθ et y = r sinθ . r = x 2 + y 2 ; cosθ = ; sinθ = .
r r
2. Méthode pour passer des coordonnées car-
tésiennes aux polaires et réciproquement
On utilise les propriétés ci-dessus. Si besoin, on utilise les touches
Arccos ( ou cos−1 ) et Arcsin ( ou sin−1 ) de la calculatrice pour obtenir une
valeur approchée de θ .
Exemple 8 Déterminer les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées
cartésiennes respectives (4 ; −4 ) et ( −6 ; 3 ) .
̈ A( 4 ; −4 ) : r = x 2 + y 2 = 42 + ( −4 )2 = 32 = 4 2
x 4 1 2
puis on cherche un réel θ tel que : cosθ = = = =
r 4 2 2 2
y −4 −1 − 2 π
et sinθ = = = = . θ = − convient (on utilise les lignes
r 4 2 2 2 4
π
trigonométriques associées à ).
4
Le point A a donc pour coordonnées polaires :
110 Séquence 3
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11. Remarques
⎛ π⎞
Attention ! On utilise ⎜ 4 2 ; − 4 ⎟ .
⎝ ⎠
les valeurs de cos et
de sin pour détermi-
ner une valeur de θ
(une fois trouvée la
valeur de cosθ , on a 2 1
besoin en particulier
du signe de sinθ ). j i 4
Dans cet exemple, on
0
pouvait aussi utiliser 3 –π
4
le fait que le point 4
A est sur la droite
d ’ é q u a t i o n y = −x –4 A
tout en étant dans le
y = –x
quart du plan ᕤ.
̈ B( −6 ; 3) : r = x 2 + y 2 = ( −6 )2 + 32 = 45 = 3 5
x −6 −2
puis θ est tel que : cosθ = = = et
y 3 1 r 3 5 5
sinθ = = = .
r 3 5 5
On ne peut pas obtenir la valeur exacte de θ. On se place en mode
« Radian » sur la calculatrice :
⎛ 2 ⎞
Arc cos ⎜ − ⎟ 2, 68 . Regardons si cette valeur convient pour sinθ .
⎝ 5⎠
⎡π ⎤
Comme 2,68 ∈ ⎢ ; π ⎥ , on a bien avec cette valeur sinθ > 0 (et cos θ < 0 )
⎣2 ⎦
donc B a pour coordonnées polaires : ( 3 5 ; θ ) avec θ 2, 68.
V Voir exercices 1 à 6.
Séquence 3 111
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12. Géométrie dans
2 l’espace
A Sections planes
1. Quelques propriétés utiles
̈ Trois points non alignés déterminent un plan.
̈ Deux plans distincts sont :
– soit sécants (leur intersection est une droite),
– soit strictement parallèles.
̈ Deux droites distinctes sont :
– soit non coplanaires,
– soit coplanaires (elles sont alors soit sécantes, soit strictement
parallèles).
̈ Une droite est :
– soit sécante à un plan (leur intersection est un point),
– soit parallèle à ce plan (elle est alors soit strictement parallèle au
plan, soit contenue dans le plan).
̈ Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe
l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
̈ Si deux plans sécants ᏼ et ᏼ' contiennent respectivement deux droi-
tes parallèles (d ) et (d' ), alors leur intersection est parallèle à ces deux
droites (théorème du toit).
̈ Si une droite (d ) est parallèle à un plan ᏼ tout plan ᏼ' contenant (d )
et coupant ᏼ, le coupe suivant une parallèle à (d ).
̈ Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors
elle est orthogonale à ce plan.
2. Méthodes
a Comment déterminer l’intersection de deux plans ᏼ et ᏼ'
̈ On cherche deux points A et B communs aux plans ᏼ et ᏼ' ; l’intersec-
tion de ᏼ et ᏼ' est alors la droite (AB).
̈ On cherche un point A commun aux deux plans et une droite (d ) de
l’un, parallèle à l’autre ; l’intersection de ᏼ et ᏼ' est alors la parallèle
à (d ) passant par A.
̈ On cherche un point A commun aux deux plans et on utilise un 3e plan
permettant d’appliquer la propriété : si deux plans sont parallèles,
alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersec-
tion sont parallèles.
112 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

13. Exemple 9 ABCDEFGH est un cube, I est le milieu de ⎡CD ⎤ . Déterminer l’intersection
⎣ ⎦
des plans (AGI) et (ABE).
Le point A est commun aux plans (AGI) et (ABE).
H G Les plans (ABE) et (CDH) sont parallèles car ABCDEFGH est
un cube. Or l’intersection des plans (AGI) et (CDH) est la
J F droite (GI) car G et I sont deux points communs à ces deux
E
plans, donc l’intersection des plans (AGI) et (ABE) est la
droite parallèle à (GI) passant par A.
D C
I C’est la droite (AJ) où J est le milieu de ⎡EF ⎤ .
⎣ ⎦
A B
a Comment déterminer l’intersection d’une droite (d ) et d’un plan ᏼ
̈ On cherche une droite (d' ) du plan ᏼ coplanaire sécante avec la droite
(d ). L’intersection de la droite (d ) et du plan ᏼ est alors le point d’in-
tersection des droites (d ) et (d' ).
̈ Méthode du plan auxiliaire : on cherche un plan ᏼ' contenant (d ) puis
( )
on détermine l’intersection, une droite Δ , des plans ᏼ et ᏼ'. L’in-
tersection de la droite (d ) et du plan ᏼ est alors le point d’intersec-
( )
tion des droites (d ) et Δ .
Exemple 10 On considère un cube ABCDEFGH. I est un point de la face BCGF et J est un
point de la face DCGH, la droite (IJ) n’étant pas parallèle au plan (ABC).
Construire l’intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC).
H G Dans le plan (BCG), notons I' le point d’intersection de
J la parallèle à (CG) passant par I et de la droite (BC).
F Dans le plan (DCG), notons J' le point d’intersection de
E I la parallèle à (CG) passant par J et de la droite (DC).
Les droites (II') et (JJ') sont parallèles car elles sont
C parallèles à la droite (CG).
D
J’ Les points I, I', J et J’ sont donc coplanaires et les droi-
I’ K tes (IJ) et (I'J') sont coplanaires sécantes (elles ne sont
pas coplanaires parallèles car (IJ) n’est pas parallèle à
A B (ABC)).
Notons K le point d’intersection des droites (IJ) et (I'J'). K appartient à (I'J')
qui est incluse dans le plan (ABC) donc K est un point du plan (ABC). De
plus, K appartient à (IJ). K est donc le point d’intersection de la droite (IJ)
et du plan (ABC).
a Comment déterminer la section d’un cube, d’un tétraèdre par
un plan ᏼ
On détermine les points d’intersection (s’ils existent) du plan ᏼ avec les
arêtes du polyèdre, en travaillant si nécessaire avec les droites portant
ces arêtes. La section du polyèdre par le plan ᏼ est alors le polygone
ayant pour sommets ces points d’intersection.
Séquence 3 113
Cned – Académie en ligne

14. Exemple 11 ABCDEFGH est un cube. I, J et K appartiennent respectivement aux arêtes
[GH], [GC] et [AD] comme sur la figure ci-dessous. Déterminer la section
du cube par le plan (IJK).
P
Les droites (IJ) et (CD) sont coplanaires sécantes
I G (incluses dans (CDG)). Notons M leur point d’inter-
( )
Q
H section. M ∈ IJK .
E Les droites (MK) et (BC) sont coplanaires sécantes (incluses
( )
F
J
dans (ABC)). Notons N leur point d’intersection. N ∈ IJK .
Les droites (IJ) et (DH) sont coplanaires sécantes (incluses
D C
( )
dans (DHG)). Notons P leur point d’intersection. P ∈ IJK .
Les droites (PK) et (EH) sont coplanaires sécantes (incluses
( )
M
K N dans (EHD)). Notons Q leur point d’intersection. Q ∈ IJK .
A B La section du cube par le plan (IJK) est le pentagone IJNKQ.
B Repérage
1. Vecteurs coplanaires
a Définition
Soient u , v et w trois vecteurs et A un point de l’es-
B
u pace.
A C Soient B, C et D les points tels que AB = u , AC = v et
w v AD = w .
D
On dit que les vecteurs u , v et w sont coplanaires
lorsque les points A, B, C et D sont coplanaires c’est-
à-dire qu’ils appartiennent à un même plan.
Remarques
̈ Les opérations sur les vecteurs du plan s’étendent à
l’espace (addition, relation de Chasles, multiplication
d’un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires).
̈ Lorsque u et v ne sont pas colinéaires, on a :
u, v et w sont coplanaires ⇔ il existe des réels a et
b tels que w = au + bv .
2. Repérage cartésien dans l’espace
̈ Une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace est un triplet (i , j ,k )
de vecteurs non coplanaires de l’espace.
̈ Un ( )
repère de l’espace est un quadruplet O ; i , j ,k où O est un point,
( )
origine du repère, et i , j ,k une base.
114 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

15. ⎛ x⎞
̈ u a pour coordonnées ⎜y ⎟
⎜ ⎟
⎜z⎟
dans la base (i , j ,k ) signifie
u = xi + y j + zk . ⎝ ⎠
̈ ( )
M a pour coordonnées x ; y ; z dans le repère O ; i , j ,k ( ) signifie
OM = xi + y j + zk .
⎛ x⎞ ⎛ x '⎞ ⎛ x + x '⎞ ⎛ λx ⎞
̈ Si u ⎜ y ⎟ et v ⎜ y '⎟ alors u + v ⎜ y + y ' ⎟ et λu ⎜ λy ⎟ , λ étant un réel.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠ ⎜ z '⎟
⎝ ⎠ ⎜ z + z '⎟
⎝ ⎠ ⎜ λz ⎟
⎝ ⎠
⎛ xB − x A ⎞
⎜ ⎟
̈ Le vecteur AB a pour coordonnées ⎜ y − y ⎟ .
B A
⎜ ⎟
⎝ zB − z A ⎠
̈ Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
⎛ x A + x B y A + y B z A + zB ⎞
⎜ ; ; ⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
̈ Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont
égales.
3. Distance entre deux points en repère ortho-
normal
Dans un repère orthonormé,
AB = AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 + (zB − z A )2
⎛ x⎞
et si u ⎜ y ⎟ , u = x 2 + y 2 + z 2 .
⎜ ⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
4. Équations de quelques objets de l’espace
̈ Équations des plans parallèles aux plans de coordonnées ( λ ∈» )
Plan (O ; i , j ) (O ; i ,k ) (O ; j ,k )
Équation z =0 y =0 x =0
Équation d’un plan parallèle z=λ y =λ x =λ
̈ Équation d’une sphère centrée à l’origine.
Dans un repère orthonormé (O ; i , j ,k ), la sphère ᏿ de cen-
Séquence 3 115
Cned – Académie en ligne

16. tre O et de rayon r a pour équation x 2 + y 2 + z 2 = r 2 car
( )
M x ; y ; z ∈᏿ ⇔ OM = r ⇔ OM2 = r 2 .
̈ Équation d’un cône de sommet l’origine et ayant pour axe un axe du
repère.
( )
Dans un repère orthonormé O ; i , j ,k , le cône C de sommet O,
P
k α
M ( ) ⎤ π⎡
d’axe O ; k et de demi-angle au sommet α, α ∈ ⎥0 ; ⎢ , a pour
⎦ 2⎣
2 2 2 2
équation x + y = az où a = tan α car P étant le projeté
i O j
( )
orthogonal de M ≠ O sur O ; k on a :
( )
M x ; y ; z ∈C ⇔ POM = α ⇔ tanPOM = tanα
Remarque
PM
⇔ = tanα ⇔ PM2 = PO2 × tan2 α.
Pour un cône d’axe PO
( )
O;i , y 2 + z 2 = ax 2 et Les coordonnées du point O vérifient aussi l’équation
pour un cône d’axe obtenue.
( )
O; j , x 2 + z 2 = ay 2 .
̈ Équation d’un cylindre ayant pour axe un axe du repère.
( )
z
Dans un repère orthonormé O ; i , j ,k , le cylindre Γ d’axe Oz et ( )
de rayon r a pour équation x 2 + y 2 = r 2 car H étant le projeté ortho-
( )
r
H M gonal de M sur Oz , M( x ; y ; z ) ∈Γ ⇔ MH = r ⇔ MH2 = r 2 .
O y
x
Remarque
2 2
( )
Pour un cylindre d’axe Ox y + z = r et
2
2 2
( )
pour un cône d’axe Oy , x + z = r .2
Exemple 12 On considère un cube ABCDEFGH. Les vecteurs AB , BD et EG sont-ils
coplanaires ?
E
H On conserve le vecteur AB.
F G On a BD = AC' , C' étant le symétrique de C par rapport
C’
à D.
On a EG = AC car ACGE est un rectangle.
A
D Les points A, B, C et C' appartiennent au même plan
(ABC).
Donc les vecteurs AB, BD et EG sont coplanaires.
B C
116 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

17. Exemple 13 Dans un repère de l’espace, on considère les points A −2 ; 3 ; 1 , ( )
( )
B(0 ; –3 ; 5) et C −5 ; 12 ; −5 .Montrer que A, B et C sont alignés.
Déterminons les coordonnées des vecteurs AB et AC (par exemple) :
⎛ xB − x A ⎞ ⎛ 0 − ( −2)⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ −3 − 3 ⎟ , AB ⎜ −6⎟ ;
AB ⎜ y B − y A ⎟ c’est-à-dire AB ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 5−1 ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ zB − z A ⎠ ⎛ −3⎞
de même : AC ⎜ 9 ⎟ .
⎜ ⎟
⎜ −6⎟
⎝ ⎠
Les coordonnées des vecteurs AB et AC sont proportionnelles. On a :
3
AC = − AB donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires, et par consé-
2
quent, les points A, B et C sont alignés.
Exemple 14 ( )
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i , j ,k . On considère
la sphère ᏿ de centre O et de rayon 4, et le plan ᏼ d’équation z = 3.
Déterminer l’intersection de ᏼ avec ᏿.
Une équation de la sphère ᏿ est x 2 + y 2 + z 2 = 42 = 16.
( )
M x ; y ; z appartient à l’intersection de ᏼ avec ᏿
⎧z = 3
⎪ ⎧z = 3
⎪ ⎧
⎪z = 3
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ .
2 2 2 2 2 2 2
⎩ x + y + z = 16 ⎩ x + y + 9 = 16 ⎩ x + y = 7
⎪ ⎪ ⎪
L’intersection de ᏼ avec ᏿ est donc le cercle de centre Ω 0 ; 0 ; 3 et ( )
de rayon 7 , tracé dans le plan ᏼ.
Exemple 15 ( )
L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; i , j ,k . Déterminer une
équation du cône (C) de révolution de sommet O, engendré par la rota-
( ) (
tion de la droite (OA) autour de l’axe O ; k , avec A 1 ; 2 ; 4 . )
Une équation de (C) est de la forme x 2 + y 2 = az 2 . La droite (OA) étant
( )
une génératrice du cône (C), A 1 ; 2 ; 4 est un point du cône donc on a :
5
x A2 + y A2 = az A2 c’est-à-dire 1 + 4 = a × 16 d’où a = . Une équation
16
5
du cône (C) est donc x 2 + y 2 = z 2 .
16
V Voir exercices 7 à 13.
Séquence 3 117
Cned – Académie en ligne

18. 3 Barycentres
Sauf mention contraire, les résultats de ce chapitre sont valables dans le
plan et dans l’espace.
A Définitions
1. Barycentre de deux points pondérés
Soient A et B deux points. Soient α et β deux réels tels que α + β ≠ 0.
Il existe un unique point G tel que αGA + βGB = 0.
( ) (
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés A ; α et B ; β . )
7
Exemple 16 A, B et C sont trois points du plan tels que AC =
AB .
4
Montrer que le point B est le barycentre des points A et C affectés de
coefficients que l’on déterminera.
On a : AC =
7
4
( )
AB donc 4 AC = 7AB d’où 4 AB + BC − 7AB = 0 d’après la
relation de Chasles.
On a donc : −3AB + 4BC = 0 c’est-à-dire 3BA + 4BC = 0. Par conséquent, B
( ) (
est le barycentre des points pondérés A ; 3 et C ; 4 . )
2. Barycentre de trois points pondérés
Soient A, B et C trois points. Soient α, β et γ trois réels tels que
α + β + γ ≠ 0.
Remarque Il existe un unique point G tel que
αGA + βGB + γ GC = 0.
La définition s’étend
au barycentre de n Ce point G est appelé barycentre des points pondérés
points pondérés où ( ) ( ) (
A ; α , B ; β et C ; γ . )
n ≥ 3.
On dit aussi que G est le barycentre du système pon-
{( ) ( ) ( )}
déré A ; α ; B ; β ; C ; γ .
118 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

19. 3. Isobarycentre
(
Le barycentre des n points pondérés A1 ; α , A2 ; α , …, An ; α , ) ( ) ( )
avec α réel non nul, est appelé isobarycentre des points A1, A2 , …,
An .
a Cas particuliers
̈ L’isobarycentre de deux points A et B distincts est le milieu du segment
⎡ AB ⎤ .
⎣ ⎦
̈ L’isobarycentre de trois points A, B et C distincts et non alignés est le
centre de gravité du triangle ABC.
B Propriétés
1. Homogénéité du barycentre
Soient α1, α2 , …, αn n réels tels que α1 + α2 + ... + αn ≠ 0.
Pour tout réel k non nul, le barycentre des n points pondérés A1; k α1 , ( )
( ) ( )
A2 ; k α2 , …, An ; k αn est le barycentre des n points pondérés
( ) ( ) (
A1 ; α1 , A2 ; α2 , …, An ; αn . )
2. Relation fondamentale
(
Soit G le barycentre des points pondérés A ; α et B ; β , α et β étant) ( )
deux réels tels que α + β ≠ 0.
(
Pour tout point M, on a : αMA + βMB = α + β MG et donc )
MG =
1
α +β
(
αMA + βMB . )
a Conséquences
̈ Le ( )
barycentre des points pondérés A ; α et B ; β , avec A et B dis- ( )
tincts, est sur la droite (AB).
̈ Coordonnées d’un barycentre :
( )
• Dans le plan muni d’un repère O ; i , j , les coordonnées du barycen-
αx + βxB
( ) (
tre G des points pondérés A ; α et B ; β sont : x G = A )
α +β
et
αy A + βy B
yG = (moyennes pondérées des coordonnées de A et B).
α +β
• Dans l’espace, la 3e coordonnée se calcule de la même façon.
Séquence 3 119
Cned – Académie en ligne

20. Remarque
Ces résultats s’étendent à n points pondérés, n étant un
entier naturel supérieur à 2.
Pour n = 3, on a MG =
1
α+β+γ
(
αMA + βMB + γ MC donc )
en particulier AG =
1
α+β+γ
(
β AB + γ AC . )
Le barycentre des points pondérés A ; α , B ; β et ( ) ( )
( )
C ; γ , avec A, B et C distincts et non alignés, appartient
au plan (ABC).
Exemple 17 Construction d’un barycentre
A, B et C étant trois points non alignés du plan, construire le barycentre
G du système {( A ; −2 ) ; (B ; 1) ; (C ; 4 )}.
Remarque
Pour tout point M, d’après la relation fondamentale,
( )
on a : −2MA + MB + 4MC = −2 + 1 + 4 MG = 3MG d’où
Si α1, α 2 , …, α n 2 1 4
MG = − MA + MB + MC.
sont n réels tels que 3 3 3
α1 + α 2 + ... + α n = 0, 1 4
En particulier pour M = A, on a : AG = AB + AC.
alors le vecteur 3 3
A
α1MA 1+ α 2 MA 2 +... + α n MA n
est un vecteur constant.
C
B
G
3. Associativité du barycentre ou théorème du
barycentre partiel
Remarque
Soient α, β et γ trois réels tels que α + β + γ ≠ 0.
Cette propriété s’étend Soit G le barycentre des points pondérés A ; α , ( )
à n points pondérés, n ( ) ( )
B ; β et C ; γ .
étant un entier naturel
Si α + β ≠ 0, alors G est le barycentre des points pon-
supérieur à 3.
( ) ( )
dérés H ; α + β et C ; γ , où H est le barycentre de
( ) (
A ; α et B ; β .)
120 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

21. C Trois utilisations des barycentres
1. Montrer l’alignement de points
Pour montrer que trois points sont alignés, on peut interpréter un des
points comme barycentre des deux autres points affectés de coeffi-
cients.
Exemple 18 On considère un triangle ABC ; I est le milieu du segment ⎡BC ⎤ , J est le
⎣ ⎦
1
milieu du segment ⎡ AI ⎤ et K est le point défini par AK = AC . Montrer
⎣ ⎦ 3
que les points B, J et K sont alignés.
I est le milieu de ⎡BC ⎤ d’où I est l’iso-
⎣ ⎦
A
barycentre de B et C donc le barycentre
( ) (
des points pondérés B ; 1 et C ; 1 . )
K J est le milieu de ⎡ AI⎤ d’où J est l’iso-
⎣ ⎦
barycentre de A et I donc le barycentre
J ( ) ( )
des points pondérés A ; 2 et I ; 2 .
D’après l’associativité du barycentre, J
est alors le barycentre des points pon-
( ) ( ) (
dérés A ; 2 , B ; 1 et C ; 1 . )
C
1
B I De plus, on a:AK = AC donc
3
3AK = AC d’où 3AK = AK + KC d’après
la relation de Chasles et donc : 2KA + KC = 0. Par conséquent, K est le
( ) ( )
barycentre des points pondérés A ; 2 et C ; 1 .
( ) ( ) ( )
J barycentre des points pondérés A ; 2 , B ; 1 et C ; 1 . est alors le
( ) ( )
barycentre des points pondérés K ; 3 et B ; 1 d’après le théorème du
barycentre partiel.
Les points B, J et K sont donc alignés.
2. Montrer que des droites sont concourantes
On montre que toutes ces droites passent par le barycentre d’un même
système pondéré ; ce barycentre est alors le point de concours des droi-
tes considérées.
Exemple 19 ABCD est un tétraèdre. Les points I, J, K, L, M et N sont les milieux res-
pectifs des arêtes [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD]. Les points A', B', C'
et D' sont les centres de gravité respectifs des triangles BCD, ACD, ABD
et ABC.
Montrer que les droites (IN), (JM), (KL), (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont
concourantes.
Séquence 3 121
Cned – Académie en ligne

22. A
I est le milieu de ⎡ AB ⎤ donc I est le
⎣ ⎦
K barycentre des points pondérés
( )
A ; 1 et B ; 1 ( ) .
D De même, J est le barycentre de
C’
I
B’
( ) ( )
A ; 1 et C ; 1 ; K est celui de
J
M ( ) ( )
A ; 1 et D ; 1 ; L est celui de
D’
A’
N ( ) ( )
B ; 1 et C ; 1 ; M est celui de
( ) ( )
B ; 1 et D ; 1 et N est le bary-
B (
centre de C ; 1 et D ; 1 . ) ( )
L Notons G le barycentre des points
C
( )(
pondérés A ; 1 , B ; 1 , C ; 1 et )( )
( )
D ; 1 .
D’après le théorème du barycentre partiel, G est aussi le barycentre de
( ) ( ) ( ) ( )
I ; 2 et N ; 2 mais aussi celui de J ; 2 et M ; 2 ainsi que celui de
( ) ( )
K ; 2 et L ; 2 . Le point G appartient donc aux droites (IN), (JM) et (KL).
A' est le centre de gravité du triangle BCD d’où A' est l’isobarycentre des points
( )( ) ( )
B, C et D donc le barycentre des points pondérés B ; 1 , C ; 1 et D ; 1 .
De même, B’ est le barycentre de ( A ; 1),(C ; 1) et (D ; 1) C'est celui de
( A ; 1), (B ; 1) et (D ; 1) et D' est le barycentre de ( A ; 1), (B ; 1) et (C ; 1).
D’après le théorème du barycentre partiel, G barycentre de ( A ; 1), (B ; 1),
(C ; 1) et (D ; 1) est aussi le barycentre de ( A ; 1) et ( A' ; 3), mais aussi celui
de (B ; 1) et (B' ; 3), celui de (C ; 1) et (C' ; 3), ainsi que celui de (D ; 1) et
(D' ; 3). Le point G appartient donc aux droites (AA'), (BB'), (CC') et (DD'). Les
droites (IN), (JM), (KL), (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont donc concourantes en G.
3. Déterminer un lieu géométrique
On introduit un barycentre, en vérifiant bien son existence, pour réduire
une somme de vecteurs à l’aide de la relation fondamentale.
Exemple 20 A, B, et C sont trois points distincts de l’espace. Déterminer l’ensemble Ᏹ
des points M de l’espace tels que 2MA − 3MB + 5MC = 3AB .
(
Soit G le barycentre des points pondérés A ; 2 , B ; −3 et C ; 5 . ) ( ) ( )
Le point G existe car 2 − 3 + 5 = 4 ≠ 0.
On a : 2MA − 3MB + 5MC = 3AB ⇔ 4MG = 3AB
3
⇔ 4MG = 3AB ⇔ GM =AB
4
donc 2MA − 3MB + 5MC = 3AB ⇔ M est sur la sphère de centre G et de
3
rayon AB.
4 3
L’ensemble Ᏹ est donc la sphère de centre G et de rayon AB.
4
V
Voir exercices 14 à 19.
122 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

23. Produit scalaire dans
4 le plan
A Définition
Le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre réel noté u ⋅v que
l’on peut définir des façons suivantes.
1. Avec une projection orthogonale
B
u ⋅v = OA ⋅ OB = OA ⋅ OH où OA = u , OB = v et H est le
projeté orthogonal de B sur la droite (OA).
O H A
2. Avec le cosinus
B Si u et v sont deux vecteurs non nuls, alors
u ⋅v = OA × OB × cos AOB = u × v × cosθ où θ est une
θ mesure de l’angle géométrique associé aux vecteurs
O
A u et v et OA = u , OB = v .
3. Avec la norme uniquement
1⎛ 2 2 2⎞
u ⋅v = ⎜ u + v − u − v ⎟
2⎝ ⎠
4. Expression analytique dans une base ortho-
normée i , j ( )
Dans une base orthonormée
u ⋅v = xx '+ yy '.
(i , j ), ⎛ x⎞
si u ⎜ ⎟
⎝y ⎠
⎛ x '⎞
et v ⎜ ⎟ ,
⎝ y '⎠
alors
5. Cas particuliers
̈ Si u et v sont colinéaires de même sens alors u ⋅v = u × v .
̈ Si u et v sont colinéaires de sens contraires, alors u ⋅v = − u × v .
̈ Si u = 0 ou v = 0, alors u ⋅v = 0.
2 2 2
̈ u ⋅u = u = carré scalaire de u = u ; AB ⋅ AB = AB = AB2 .
Séquence 3 123
Cned – Académie en ligne

24. B Propriétés
1. Norme d’un vecteur, distance entre deux points
dans un repère orthonormé
⎛ x⎞
Dans un repère orthonormé, u ⎜ ⎟ a pour norme u = x 2 + y 2 et
⎝y ⎠
AB = AB = ( xB − x A )2 + (yB − y A )2 .
2. Produit scalaire et orthogonalité
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v = 0.
3. Propriétés opératoires
Soient u , v et w trois vecteurs et k un réel.
̈ Propriété de symétrie : u ⋅v = v ⋅u .
̈ Propriété de linéarité : u ⋅ (v + w ) = u ⋅v + u ⋅w ( ) ( )
; u ⋅ kv = k × u ⋅v
2 2 2
̈ Egalités remarquables : u +v = u + 2u ⋅v + v
2 2 2
u −v = u − 2u ⋅v + v
(u + v ) ⋅(u − v ) = u
2 2
−v
C Applications du produit scalaire
1. Projeté orthogonal d’un vecteur sur un axe
v
La projection orthogonale d’un vec-
( )
teur v sur un axe Δ muni d’un vec-
teur unitaire u est le vecteur v ' défini
u v’
(Δ) ( )
par v ' = u ⋅v u .
124 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

25. 2. Équation d’une droite à l’aide d’un vecteur
normal dans un repère orthonormé
La droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur
⎛ −b ⎞ ⎛a⎞
u ⎜ ⎟ et pour vecteur normal n⎜ ⎟ .
⎝ a⎠ ⎝ b⎠
a Méthode
Comment obtenir, dans un repère orthonormé, une équation de la droite
( )
(d ) passant par A x A ; y A et de vecteur normal n a ; b ( )
On utilise le résultat suivant :
( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ AM et n sont orthogonaux ⇔ AM ⋅ n = 0
(puis calcul à l’aide des coordonnées).
Exemple 21 (
Dans un repère orthonormé, on considère les points A −1 ; 5 B −2 ; 1 ) ( )
(
et C 4 ; 3 )
Déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire (d) à (BC)
passant par A.
⎛x −x ⎞ ⎛ 6⎞
BC ⎜ C B ⎟ c’est-à-dire BC ⎜ ⎟ est un vecteur normal à (d ). De plus,
⎝ y C − yB ⎠ ⎝ 2⎠
⎛ x − xA ⎞ ⎛ x + 1⎞
AM ⎜ ⎟ c’est-à-dire AM ⎜ .
⎝y −yA ⎠ ⎝ y − 5⎟
⎠
On a : ( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ AM et BC sont orthogonaux
( ) ( )
⇔ AM ⋅ BC = 0 ⇔ x + 1 × 6 + y − 5 × 2 = 0
( ) ()
M x ; y ∈ d ⇔ 6x + 6 + 2y − 10 = 0 ⇔ 6x + 2y − 4 = 0 ⇔ 3x + y − 2 = 0.
Une équation cartésienne de la droite (d ) est donc 3x + y − 2 = 0.
Remarque
⎛ 6⎞
On peut aussi dire que BC ⎜ ⎟ étant normal à (d ), une
⎝ 2⎠
équation de (d ) est de la forme 6x + 2y + c = 0 ; on déter-
mine ensuite c en utilisant le fait que A appartienne à (d )
et donc que 6x A + 2y A + c = 0.
Séquence 3 125
Cned – Académie en ligne

26. 3. Équation d’un cercle Ꮿ …
a … défini par son centre Ω ( x Ω ; y Ω et de rayon r, dans
un repère orthonormé
( )
On utilise le résultat suivant : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ΩM = r ⇔ ΩM2 = r 2 .
Exemple 22 Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Déterminer une équation du cercle Ꮿ de centre Ω 4 ; −2 et de rayon ( )
r = 3.
⎛ x − xΩ ⎞
( )
On a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ΩM2 = r 2 et comme ΩM ⎜ ⎟ c’est-à-dire
⎝ y − yΩ ⎠
⎛ x − 4⎞
ΩM ⎜
⎝y +2⎠
( )
) ( )
2
(
2
⎟ , on a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ x − 4 + y + 2 = 9.
Une équation du cercle Ꮿ est donc ( x − 4 ) + (y + 2) = 9 soit, en déve-
2 2
loppant, x 2 + y 2 − 8x + 4y + 11 = 0.
Résultat général : dans un repère orthonormé, une équation du cercle Ꮿ
( )
de centre Ω x Ω ; y Ω et de rayon r est x − x Ω ( )2 + (y − y Ω )2 = r 2 .
a … défini par son diamètre ⎡ AB ⎤ , dans un repère ortho-
⎣ ⎦
normé
M On utilise le résultat suivant :
A M( x ; y ) ∈ Ꮿ ⇔ MA et MB sont orthogonaux
⇔ MA.MB = 0
B
Exemple 23 Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Déterminer une équation du cercle Ꮿ de diamètre ⎡ AB ⎤ avec A −3 ; 1
⎣ ⎦ ( )
(
et B 2 ; 5 )
( ) ( )( ) (
Ona : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ MA ⋅ MB = 0 ⇔ x A − x xB − x + y A − y y B − y = 0 )( )
( )
M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ( −3 − x )(2 − x ) + (1 − y )(5 − y ) = 0
⇔ x 2 + x − 6 + y 2 − 6y + 5 = 0 ⇔ x 2 + y 2 + x − 6y − 1 = 0
Une équation du cercle Ꮿ est donc x 2 + y 2 + x − 6y − 1 = 0.
126 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

27. A
4. Formule d’Al Kashi
c b Soit ABC un triangle avec a = BC, b = AC et c = AB.
On a alors : a2 = b2 + c 2 − 2bc cos A.
C
a
B De même, on a : b2 = a2 + c 2 − 2ac cosB et c 2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
Exemple 24 ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 7 et BAC = 50°. Calculer BC.
D’après la formule d’Al Kashi :
BC2 = AC2 + AB2 − 2AC × ABcos A = 49 + 25 − 70 × cos50° = 74 − 70cos50°
d’où BC = 74 − 70cos50° (BC 5, 39 ).
5. Théorème de la médiane
Soient ABC un triangle et I le milieu de ⎡BC ⎤ . On a alors :
⎣ ⎦
BC2
AB2 + AC2 = 2AI2 + .
2
Exemple 25 ABC est un triangle tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 11.
I étant le milieu de ⎡BC ⎤ , calculer AI.
⎣ ⎦
BC2
D’après le théorème de la médiane, on a : AB2 + AC2 = 2AI2 + donc
2
1 ⎛ BC2⎞
1⎛ 121⎞ 121 79
AI2 = ⎜ AB2 + AC2 − ⎟ = ⎜ 36 + 64 − ⎟ = 50 − 4 = 4 .
2⎜⎝ 2 ⎟ 2⎝
⎠ 2 ⎠
79 79
Par conséquent, on a : AI = = ( AI 4, 44 ).
4 2
6. Triangle : sinus des angles, côtés et aire
Pour tout triangle ABC, en posant a = BC, b = AC et c = AB, en notant S
son aire, on a :
a b c 1 1 1
= = et S = bc sin A = ac sinB = ab sinC.
sin A sinB sinC 2 2 2
Exemple 26 ABC est un triangle tel que AB = 8, ABC = 30° et ACB = 45°. Calculer AC
et BC.
On a : BAC = 180° − ( 30° + 45° ) = 105°.
BC AC AB
= = donc
sinBAC sin ABC sin ACB
Séquence 3 127
Cned – Académie en ligne

28. sin ABC × AB 0,5 × 8 4×2
AC = = = =4 2 (AC 5, 66 )
sin ACB 2 2
2
sinBAC × AB 8 sin105° 16 sin105°
BC = = =
sin ACB 2 2
2
= 8 2 × sin105°(BC 10, 93).
7. Recherche d’un lieu géométrique
Exemple 27 Deux points A et B sont tels que AB = 6. Déterminer l’ensemble Ᏹ des
points du plan tels que MA ⋅ MB = 10.
Soit I le milieu du segment ⎡ AB ⎤ .
⎣ ⎦
( )( )
On a : MA ⋅ MB = MI + IA ⋅ MI + IB d’après la relation de Chasles.
D’où MA ⋅ MB = MI + MI ⋅ (IB + IA ) + IA ⋅ IB = MI + MI ⋅ 0 − IA
2 2 2
car I est le
milieu de ⎡ AB ⎤ donc IA = −IB.
⎣ ⎦
AB
MA ⋅ MB = MI2 − IA2 = MI2 − 9 car IA = = 3.
2
Par conséquent, on a :
MA ⋅ MB = 10 ⇔ MI2 − 9 = 10 ⇔ MI2 = 19 ⇔ MI = 19 .
L’ensemble Ᏹ est donc le cercle de centre I et de rayon 19.
V Voir exercices 20 à 28.
128 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

29. Translations
5 et homothéties
Les définitions et propriétés sont valables dans le plan et l’espace.
A Les notions
1. Translations
a Définition
La translation de vecteur u , notée t , est la transformation qui
u
à tout point M associe le point M' tel que : MM' = u . On écrit
M' = t ( M) ou t : M M'.
u u
a Propriété
Si M et N ont pour images respectives M' et N' par t alors M'N' = MN.
u
2. Homothéties
a Définition
Soient O un point et k un réel non nul.
L’homothétie de centre O et de rapport k, notée hO,k est la transforma-
tion qui à tout point M associe le point M' tel que : OM ' = k OM .
On écrit M' = hO ,k ( M) ou hO ,k : M M'.
a Premières propriétés
ᕡ Le centre O d’une homothétie h, un point M et son image M' par h
sont alignés.
Si k > 0 , M et M' sont du même côté de O et si k < 0 , M et M' sont de
part et d’autre de O.
ᕢ Le centre O d’une homothétie h est invariant par h (c’est-à-dire
confondu avec son image) : h(O) = O.
C’est le seul point invariant par h lorsque k ≠ 1.
Séquence 3 129
Cned – Académie en ligne

30. a Propriété (Relation fondamentale)
Si M et N ont pour images respectives M' et N' par l’homothétie de cen-
tre O et de rapport k alors M'N' = k MN.
a Application
Soit h l’homothétie de centre O qui transforme A en A'.
Alors B ' = h (B) est l’intersection de (OB ) et de la droite parallèle à (AB )
passant par A'.
B Propriétés
Dans ce paragraphe, f désigne une translation ou une homothétie
1. Images de figures simples par f
Remarque ᕡ L’image d’une droite (d ) passant par un point A est
la droite (d ') parallèle à (d ) et passant par
Les formes des figu- A ' = f ( A ).
res sont donc conser- ᕢ L’image d’un segment [ AB ] est le segment [ A 'B']
vées mais par une où A ' = f ( A ) et B' = f (B ).
homothétie, elles
ᕣ L’image du cercle de centre Ω et de rayon R est le
sont agrandies ou
réduites.
cercle de centre Ω' = f ( Ω ) et de rayon :
R si f est une translation,
k × R si f est une homothétie de rapport k.
2. Éléments conservés
ᕡ Les translations et les homothéties conservent les directions, l’aligne-
ment, les mesures des angles orientés.
ᕢ Les translations et les homothéties conservent les milieux des seg-
ments et les barycentres des points pondérés :
Si G est le barycentre des points pondérés ( A ; α ) et (B ; β )
avec α+β ≠ 0 alors G ' = f (G ) est le barycentre des points pondérés
( A ' ; α ) et (B' ; β ) avec A ' = f ( A ) et B' = f (B ).
3. Action sur les longueurs, les aires et les volumes
ᕡ Une translation conserve les longueurs, les aires et les volumes.
ᕢ Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k , les aires
3
par k 2 et les volumes par k .
130 Séquence 3
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31. C Les méthodes
1. Comment construire l’image d’un point par
une homothétie
a Connaissant le centre et le rapport de h
Exemple 28 On considère un triangle ABC quelconque. Construire l’image E du point
B par l’homothétie de centre A et de rapport –2 et l’image F de C par l’ho-
2
mothétie de centre B et de rapport .
3
E A B
On utilise la définition : hA, −2(B ) = E donne
2
AE = −2 AB et h 2 ( C ) = F donne : BF = BC d’où la
B, 3
F 3
figure ci-contre.
C
a Connaissant deux points et leurs images
Exemple 29 On donne trois points non alignés A, B C A’
B et C et A', B' les images de A et B par
une homothétie h dont on ne connaît A
ni le centre, ni le rapport. Construire
l’image C' de C par h et le centre O de
h.
B’
B C A’ On utilise la relation fondamentale d’après laquelle
(AC)//(A'C') et de même (BC)//(B'C') pour construire C ' (on
A
vérifie d’ailleurs que l’on a bien aussi (AB)//(A'B')).
O
Pour obtenir O, on utilise le fait que : le centre O , M et
son image M' par h sont alignés.
C’ B’
2. Comment utiliser une homothétie pour prou-
ver l’alignement de trois points
On cherche à interpréter l’un de ces trois points comme étant l’image
d’un autre par une homothétie dont le centre est le troisième point.
Exemple 30 On considère ci-dessous un carré DEFG inscrit dans un triangle ABC et le
carré BCHI extérieur au triangle ABC. Montrer que les points A, G, I et A,
F, H sont respectivement alignés.
A,D, B étant alignés, on considère l’homothétie h de centre A qui trans-
forme D en B. Cherchons h(E) :
h :D B
E ?
Séquence 3 131
Cned – Académie en ligne

32. A On sait que l’image de E par h est l’intersection de (AE)
et de la parallèle à la droite (DE) passant par B qui est
E D
en fait la droite (BC). Donc h(E ) = ( AE ) ∩ (BC ) = C.
L’image du carré DEFG par h est donc le carré BCHI
(conservation des formes et h(D ) = B, h(E ) = C) et
C B
F G l’image de F par h est par suite H et celle de G par h
est I. Les points A, G, I sont donc alignés de même
que les points A, F, H (le centre, un point et son image
par h sont alignés).
HRemarques I
̈ On peut utiliser cet exemple pour résoudre un problème de construction
qui est de construire un carré inscrit dans un triangle ABC donné. On
commence par construire le carré BCHI extérieur au triangle ABC puis
les points G et F s’obtiennent comme points d’intersection respectifs de
(AI),(BC) (pour G) et (AH), (BC) (pour F). Les points D et E ne sont alors plus
difficiles à construire pour terminer le carré FGDE inscrit dans le triangle.
̈ On peut aussi sur le même procédé montrer que des droites sont concou-
rantes en utilisant une homothétie dont le centre est le point de concours
supposé.
3. Recherche d’un lieu géométrique
Exemple 31 On considère un tétraèdre ABCD ; I est le milieu de [CD], M est un point
de [AB]. On note N le milieu de [IM] et on cherche le lieu géométrique de
N lorsque M décrit [AB] (c’est-à-dire l’ensemble des positions prises par
N lorsque M décrit [AB]).
A On cherche à exprimer N comme image de M (qui
décrit [AB]) par une certaine transformation. Le lieu
de N sera alors l’image de [AB] par cette transforma-
1
M tion. N étant le milieu de [IM], on a toujours IN = IM
J 2
N est donc l’image de M par l’homothétie h de centre
1
N I et de rapport .
B D 2
Le lieu géométrique de N est donc l’image du segment
K
I
[AB] par h. On pose J = h(A) et K = h(B) (c’est-à-dire J
milieu de [AI] et K milieu de [BI]). Le lieu géométrique
C
de N est donc le segment [JK].
V Voir exercices 29 à 33
132 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

33. 6 Exercices d’application
Exercice 1 Déterminer les mesures principales associées aux mesures d’angles
17π 55π −2008π
orientés suivantes : − ; ; .
3 12 11
Exercice 2 On considère un hexagone régulier ABCDEF de sens direct de centre O.
Déterminer les mesures principales des angles orientés suivants :
(OA ; OC) ; (OA ; OE) ; (OA ; EO) ; (CO ; OA) ; (AB ; DE) ; (AF ; CF ) ; (AC ; FD).
D
Exercice 3 Simplifier la somme suivante :
⎛ π⎞ ⎛ 9π ⎞ ⎛ 15π ⎞ ⎛ 7π ⎞
S = sin⎜ ⎟ − sin⎜ ⎟ + sin⎜ ⎟ − sin⎜ 8 ⎟ .
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ ⎠
7π π
Exercice 4 Déterminer les lignes trigonométriques de à partir de celles de et
12 3
π 5π
. En déduire celles de .
4 12
Exercice 5 Résoudre les équations et inéquations trigonométriques suivantes dans
les intervalles considérés :
3 3
(E 1 ) sin x = − dans [0 ; 2π ] (I1 ) sin x > − dans [0 ; 2π ]
2 2
2
(E 2 ) cos(2x ) = dans ».
2
Exercice 6 ᕡ Calculer les coordonnées cartésiennes des points définis par leurs
coordonnées polaires :
⎛ 1 2π ⎞ ⎛ 5π ⎞
A ⎜ ; ⎟ ; B ⎜ 3 ; ⎟ . Construire ces points dans un repère orthonormé.
⎝2 3 ⎠ ⎝ 6⎠
ᕢ Calculer les coordonnées polaires des points définis par leurs coor-
données cartésiennes : C ( −5 ; 0 ) ; D( 3 ; −4 ) ; E ( −2 3 ; −2).
Exercice 7 On considère un tétraèdre ABCD, I est un point de la face ABC et J un
point de la face ACD, la droite (IJ) n’étant parallèle ni au plan (BCD) ni au
plan (ABD). Construire l’intersection de la droite (IJ) avec le plan (BCD),
puis l’intersection de (IJ) avec le plan (ABD).
Exercice 8 On considère un cube ABCDEFGH ; I, J et K sont trois points appartenant
respectivement aux arêtes [BC], [CD] et [EH].
Construire la section du cube par le plan (IJK).
Séquence 3 133
Cned – Académie en ligne

34. Exercice 9 On considère dans un repère (O ; i , j ,k ) de l’espace les vecteurs
u , v et w tels que : u = 2i − 3j + k , v = 3i − j + 4k et w = i − 3j − k .
Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?
Exercice 10 ( ) ( )
On considère A −5 ; 2 ; 3 et B 2 ; −1 ; 5 dans l’espace muni d’un repère
( )
O ; i , j ,k Déterminer l’abscisse et la cote du point C, aligné avec A et B,
et dont l’ordonnée est 4.
Exercice 11 (
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O ; i , j ,k , on considère )
( ) ( ) ( ) (
les points A 2 ; 1 ; −3 ; B 4 ; 0 ; −2 ; C 5 ; 1 ; −3 ; D 3 ; 2 ; −4 . )
Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Exercice 12 (
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i , j ,k . Déterminer la )
section de la sphère ᏿ de centre O et de rayon 5 avec le plan ᏼ d’équa-
tion x = 3.
Exercice 13 (
L’espace est rapporté à un repère orthonormal O ; i , j ,k . On considère )
( ) ( )
les points A 0 ; 0 ; −2 et B 0 ; 3 ; −2 . Déterminer une équation du
cylindre de révolution engendré par la rotation de la droite (AB) autour
( )
de l’axe O ; j .
Exercice 14 A, B et C sont trois points quelconques du plan. Construire le point G
barycentre du système pondéré {( ) (
A ; 1 ; B ; −3 ; C ; 4 ) (
de deux )}
manières différentes, l’une utilisant l’associativité du barycentre.
Exercice 15 On considère un triangle ABC, le point I barycentre du système pondéré
{( ) ( )}
B ; 2 ; C ; 1 , J barycentre de {( ) ( )}
A ; 1 ; I ; 3 et K barycentre de
{( ) ( )}
A ; 1 ; B ; 2 . Montrer que les points C, J et K sont alignés.
Exercice 16 On considère un triangle ABC et les points I, J et K respectivement définis
3 3 1
par BI = BC , AJ = AC et AK = AB. Montrer que les droites (AI), (BJ) et
4 5 3
(CK) sont concourantes.
Exercice 17 On considère un parallélogramme ABCD. Déterminer et construire l’en-
semble des points M du plan tels que 3MA − 2MB + MC = DB.
Exercice 18 (
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i , j , on considère les )
( ) (
points A 2 ; 3 , B −1 ; 4 ) ( )
et C 2, −3 . Déterminer l’ensemble Ᏹ des
points M du plan tels que MA + 2MB − 5MC = MA − MB .
134 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

35. Exercice 19 On considère un cube ABCDEFGH.
Montrer que le point C est le barycentre du système
{( ) ( ) ( ) ( )}
B ; 1 ; D ; 1 ; G ; 1 ; E ; −1 .
En déduire que le centre de gravité du triangle BDG est au tiers de la
diagonale [CE] en partant de C.
(
Pour les exercices 20 à 23, le plan est muni d’un repère orthonormé O ; i , j . )
Exercice 20 ( )
Déterminer une équation du cercle Ꮿ de centre Ω −3 ; 2 et de rayon 5.
Exercice 21 Déterminer une équation du cercle Ꮿ de diamètre [AB] avec A 4 ; −5 ( )
(
et B −2 ; 1 . )
Exercice 22 Déterminer une équation de la médiatrice (d) du segment [AB] avec
( ) (
A −4 ; 2 et B 2 ; 5 .)
⎛ 6⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2⎞
Exercice 23 On considère les vecteurs u ⎜ ⎟ ; v ⎜ ⎟ ; w ⎜ 1,5⎟ et t ⎜ −3⎟ .
⎝ −4⎠ ⎝ 4,5⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Etudier l’orthogonalité et la colinéarité de ces 4 vecteurs pris deux à
deux.
Exercice 24 A, B, C et D sont 4 points distincts du plans tels que les triangles ABC et
ABD sont équilatéraux de côté a cm.
Calculer les produits scalaires AC ⋅ AD , CA ⋅ CD et AB ⋅ CD.
Exercice 25 ABCD est un rectangle tel que AB = 5 et AD = 4. I est le point de [AB] tel
que AI = 2.
( )( )
ᕡ Développer le produit scalaire IA + AD ⋅ IB + BC . En déduire la valeur
de ID ⋅ IC.
ᕢ Calculer ID et IC. En déduire l’égalité cos CID =
5
.
5
Exercice 26 On considère un triangle ABC tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 11.
AB2 + AC2 − BC2
Montrer que AB ⋅ AC = puis calculer AB ⋅ AC.
2
Exercice 27 On considère un parallélogramme ABCD tel que AB = 5, AD = 4 et AC = 6.
Calculer BD.
Exercice 28 On considère deux points A et B tels que AB = 4.
Déterminer l’ensemble Ᏹ des points M du plan tels que
2 2
MA − MB = 12.
Séquence 3 135
Cned – Académie en ligne

36. Exercice 29 On considère un parallélogramme ABCD de centre O et le point G, centre
de gravité du triangle ABC.
ᕡ Déterminer le rapport de l’homothétie de centre D qui transforme B
en G.
ᕢ Construire les images de A et de C par cette homothétie.
Exercice 30 On considère un cube ABCDEFGH et les points I, J et K centres respectifs
des faces AEHD, ABFE et ABCD.
On note R le centre de gravité du triangle CFH et S celui de IJK.
Montrer que les points A, R, S sont alignés.
Exercice 31 On considère un cercle Ꮿ centre O et une corde [AB] de ce cercle. Soient
M un point de Ꮿ autre que A et B, et G le centre de gravité du triangle
MAB.
Déterminer le lieu géométrique du point G lorsque M décrit le cercle Ꮿ
privé de A et B.
Exercice 32 Soient A, B deux points fixes distincts et (d) une droite passant par A.
A tout point M de (d), on associe le point N tel que ABMN soit un paral-
lélogramme.
Déterminer le lieu géométrique de N lorsque M décrit (d).
Exercice 33 D et E sont 2 points du plan et Ꮿ , Ꮿ ' sont 2 cercles de centres respectifs
O et O'.
Construire F sur le cercle Ꮿ et G sur le cercle Ꮿ ' tels que le quadrilatère
DEGF soit un parallélogramme.
Dénombrer toutes les solutions et justifier la construction.
E
D
Ꮿ’
Ꮿ
O O’
136 Séquence 3
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37. 7 Corrigés des exercices
17π 18π π π π π
Exercice 1 ̈ On a − =− + = −6π + = − 3 × 2π . Comme ∈] − π ; π ],
3 3 3 3 3 3
17π π
on en déduit que la mesure principale associée à − est .
3 3
55π 48π 7π 7π 7π 7π
̈ On a = + = 4π + = + 2 × 2π . Comme ∈] − π ; π ],
12 12 12 12 12 12
55π 7π
on en déduit que la mesure principale associée à est .
12 12
2008π
−
2008π 11 :
̈ − étant une « grande » mesure, on calcule
11 2π
2008π
−
11 = − 2008 −91.
2π 22
2008π −2008π + 2002π 6π 6π
Puis − + 91 × 2π = =− avec − ∈ ] − π ; π ]
11 11 11 11
6π −2008π
donc − est la mesure principale associée à .
11 11
Exercice 2 Les angles au centre de l’hexagone (comme AOB, BOC,...) mesurent 60°
π
soit radians.
3
D’où les mesures principales suivantes :
A + ( ) ( )(
OA ; OC = OA ; OB + OB ; OC =
2π
3
)
B π
π
3
F ( ) ( )( )
OA ; OE = OA , OF + OF ; OE = −
2π
3
( ) ( ) ( )
3 π
OA ; EO = OA ; −OE = OA ; OE + π =
3
O ( ) ( ) π
CO ; OA = OF ; OA = car CO = OF
3
C E ( AB ; DE) = π car AB = −DE π
D
( AF ; CF ) = (CD ; CF ) = (CD ; CO) = 3 car AF = CD et
(
CO, CF sont colinéaires de même sens ; AC ; FD = 0 )
car (AC) // (DF) et AC,FD sont de même sens (propriété de l’hexagone).
Séquence 3 137
Cned – Académie en ligne

38. ⎛ π⎞ ⎛ 9π ⎞ ⎛ 15π ⎞ ⎛ 7π ⎞
Exercice 3 S = sin⎜ ⎟ − sin⎜ ⎟ + sin⎜
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎟ − sin⎜ 8 ⎟
⎝ ⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
= sin⎜ ⎟ − sin⎜ π + ⎟ + sin⎜ 2π − ⎟ − sin⎜ π − ⎟
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
donc S = sin⎜ ⎟ + sin⎜ ⎟ + sin⎜ − ⎟ − sin⎜ ⎟
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠
( ) ( )
car sin π + x = − sin x , sin(2π + x ) = sin( x ) et sin( π − x ) = sin( x ).
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
D’où, S = sin⎜ ⎟ − sin⎜ ⎟ = 0 car sin( − x ) = − sin( x ).
⎝ 8⎠ ⎝ 8⎠
7π 4π 3π π π
Exercice 4 On a = + = + donc en utilisant les formules d’addition,
12 12 12 3 4
7π ⎛ π π⎞ π π π π
cos = cos ⎜ + ⎟ = cos cos − sin sin
12 ⎝ 3 4⎠ 3 4 3 4
1 2 3 2 2− 6
= × − × =
2 2 2 2 4
7π ⎛ π π⎞ π π π π
et sin = sin⎜ + ⎟ = sin cos + sin cos
12 ⎝ 3 4⎠ 3 4 4 3
3 2 2 1 6+ 2
= × + × = .
2 2 2 2 4
⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 7π ⎞
Puis cos ⎜ ⎟ = cos ⎜ π − ⎟ = − cos ⎜ ⎟ car cos( π − x ) = − cos x soit
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠
⎛ 5π ⎞ 6− 2
cos ⎜ ⎟ =
⎝ 12 ⎠ 4
⎛ 5π ⎞ ⎛ 7π ⎞ ⎛ 7π ⎞
et sin⎜ ⎟ = sin⎜ π − ⎟ = sin⎜ ⎟ car sin( π − x ) = sin x soit
⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠
⎛ 5π ⎞ 6+ 2
sin⎜ ⎟ = .
⎝ 12 ⎠ 4
3
Exercice 5 (E 1 ) sin x = − dans [0 ; 2π ] :
2
⎛ π⎞ 3 ⎛ π⎞ 1
C On sait que sin⎜ ⎟ = (et cos ⎜ ⎟ = ) .
⎝ 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ 2
Il y a deux points images des solutions de l’équation
(E 1 ) sur le cercle trigonométrique (les deux points A
π 0 3
O 1 2π et B ayant pour ordonnée − ).
π 2 2
3
3
On cherche les mesures associées à ces deux points
2
4π A dans [0 ; 2π ].
B 5π
3 3
138 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

39. ⎧ 4π
⎪x = (mesure associée à A)
⎪ 3
3 ⎪
Donc sin x = − ⇔ ⎨ou
2 ⎪
⎪ x = 5π (mesure associée à B)
m
⎪
⎩ 3
D’où l’ensemble des solutions de l’équation dans [0 ; 2π ] est :
⎧ 4π 5π ⎫
᏿=⎨ ; ⎬.
⎩3 3⎭
⎧ 4π 5π ⎫
Remarque : Dans » , on aurait : ᏿ = ⎨ +2k π ; + 2k π avec k ∈» ⎬
⎩3 3 ⎭
3
(I1 ) sin x > − dans [0 ; 2π ] :
2
On utilise la figure précédente : cette fois, les solutions
de l’inéquation sont représentées par la « partie supé-
j
rieure » de l’arc AB c’est-à-dire par les points du cercle
0 3
O 2π dont l’ordonnée est strictement plus grande que −
π
i 2
3 . Il reste à lire les mesures associées à ces points dans
3
2 [0 ; 2π ]. D’où l’ensemble des solutions de l’équation
4π A B 5π ⎡ 4π ⎡ ⎤ 5π ⎤
3 3 dans [0 ; 2π ] est : ᏿ = ⎢0 ; ⎢ ∪ ⎥ ; 2π ⎥ .
⎣ 3 ⎣ ⎦3 ⎦
2
(E 2 ) cos(2x ) = dans » :
B 7π A 2
8 π ⎛ π⎞ 2
8 On sait que cos ⎜ ⎟ = . Donc
π ⎝ 4⎠ 2
⎧ π
O 8
⎪ 2x = + 2k π
C D ⎪ 4
⎛ π⎞ ⎪
(E 2 ) ⇔ cos(2x ) = cos ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ ou (k ∈ » )
⎝ 4⎠ ⎪ π
⎪2x = − + 2k π
⎪
⎩ 4
Remarque ⎧ π
π π ⎪ x = + k π (1)
(1) ⇔ x = + 2k π ou x = + π + 2k π ⎪ 8
8 8 ⎪
⇔⎨ ou (k ∈» ).
π 9π ⎪ π
⇔ x = (2π ) ou x = (2π ) ⎪ x = − + k π (2 )
8 8
⎪
⎩ 8
π 7π ⎧π π ⎫
⇔ x = (2π ) ou x = − (2π ) D’où ᏿ = ⎨ + k π ; − + k π , k ∈» ⎬ .
8 8 ⎩8 8 ⎭
L’ensemble solution de (E 2 ) dans » s’écrit aussi :
π
et (2) ⇔ x = − + 2k π ⎧π π 7π 7π ⎫
8 ᏿ = ⎨ + 2k π ; − + 2k π ; + 2k π ; − + 2k π , k ∈» ⎬ .
π ⎩8 8 8 8 ⎭
ou x = − + π + 2k π Les points A, B, C, D correspondent aux points images
8 des solutions (voir remarque).
Séquence 3 139
Cned – Académie en ligne

40. 1 ⎛ 2π ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1
Exercice 6 ᕡ x A = r cos θ = cos ⎜ = × − =−
2 ⎝ 3 ⎟ 2 ⎜ 2⎟
⎠ ⎝ ⎠ 4
1 ⎛ 2π ⎞ 1 3 3
et y A = r sinθ = sin⎜ ⎟ = × =
2 ⎝ 3⎠ 2 2 4
⎛ 1 3⎞
donc A ⎜ − ; ⎟ .
⎝ 4 4 ⎠ cart
⎛ 5π ⎞ ⎛ 3⎞ 3 3 ⎛ 5π ⎞ 1 3
xB = 3cos ⎜ ⎟ = 3 × ⎜ − ⎟ = − et yB = 3sin⎜ ⎟ = 3 × =
⎝ 6⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 6⎠ 2 2
⎛ 3 3 3⎞
d’où B ⎜ − ; ⎟ .
⎝ 2 2 ⎠ cart .
1
Pour construire A, on utilise le fait que OA = r = : A
2
1
est donc sur le cercle de centre O, de rayon et que
2
2π
B 3/2 (i ; OA ) = (2π ): on utilise le cercle trigonométrique
1 3
A j en utilisant la valeur du cosinus de l’angle.
1 O 1 Pour construire B, on utilise de même le fait que
2 i
3
OB = 3 et par exemple, le fait que y B = et xB < 0
2
5π
(ou bien on utilise l’angle (i ; OB ) = (2π ) et la
6
valeur du sinus de cet angle).
ᕢ C : L’ordonnée de C est nulle et −5 < 0 donc r = OC = 5 et
θ = (u ; OC ) = π (2π ) donc C(5 ; π )pol .
x 3
D : r = xD2 + y D2 = 9 + 16 = 25 = 5 et cosθ = = : ce n’est pas une
r 5
⎛ 3⎞
valeur remarquable donc on utilise la calculatrice. Arccos ⎜ ⎟ 0, 93
⎝ 5⎠
mais comme y D < 0 (ou car sinθ < 0 ), cette mesure ne convient pas
π
( 0 < 0, 93 < ). On choisit donc θ −0, 93 (le cosinus reste le même et le
2
sinus est bien négatif). D’où D(5; θ )pol avec θ −0,93.
E : r = ( −2 3 )2 + ( −2)2 = 16 = 4 ; on cherche θ tel que
x −2 3 3 y −2 1
cosθ = = =− et sinθ = = =− .
r 4 2 r 4 2
5π π
θ=− convient (on utilise les lignes trigonométriques associées à ).
6 6
⎛ 5π ⎞
D’où E ⎜ 4 ; − ⎟ .
⎝ 6 ⎠ pol
140 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

41. Exercice 7 Considérons le plan auxiliaire (AIJ). L’intersection des plans (AIJ) et (BCD)
est la droite (I'J'), I' étant le point d’intersection des droites (AI) et (BC) et
J' celui des droites (AJ) et (CD). L’intersection de la droite (IJ) avec le plan
(BCD) est alors le point K intersection des droites (IJ) et (I'J').
Dans (ABC), notons I'' le point d’intersection de la parallèle à (AC) pas-
sant par I et de la droite (AB).
A
Dans (ACD), notons J'' le point d’in-
tersection de la parallèle à (AC)
L I” J”
passant par J et de la droite (AD).
La droite (I''J'') est donc une droite
I
J du plan (ABD).
D De plus, les droites (II'') et (JJ'')
B K sont parallèles car elles sont tou-
J’
I’ tes les deux parallèles à la droite
C (AC).
Les points I, I'', J et J'' sont donc
coplanaires et les droites (IJ) et (I''J'') sont coplanaires sécantes (elles
ne sont pas coplanaires parallèles car la droite (IJ) n’est pas parallèle au
plan (ABD)).
Notons L le point d’intersection des droites (IJ) et (I''J''). L est alors le
point d’intersection de la droite (IJ) et du plan (ABD) car (I''J'') est une
droite du plan (ABD).
Exercice 8 (IJ) coupe respectivement les droites (AB) et (AD) en L et M.
(MK) coupe (AE) en N et [DH] en P.
N (LN) coupe [BF] en R et [EF] en Q.
La section du cube par le plan (IJK) est donc l’hexa-
E K H gone IJPKQR.
Q
F G
Remarque : (KQ) est parallèle à(IJ) car il s’agit des
P droites d’intersection du plan (IJK) avec respective-
ment les plans (EFH) et (ABD) qui sont parallèles.
R D
A M
J
B
L I C
⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞
Exercice 9 ⎜ −3⎟ et v ⎜ −1⎟ ne sont pas colinéaires et on a : w ⎜ −3⎟ .
Les vecteurs u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠
Existe-t-il deux réels a et b tels que w = au + bv ? ⎧ 8
⎪a =
On a : ⎧1 = 2a + 3b ⎧1 = 2a + 3b ⎧−7a = −8 ⎪ 7
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −3
w = au + bv ⇔ ⎨−3 = −3a − b ⇔ ⎨−9 = −9a − 3b ⇔ ⎨b = −3a + 3 ⇔ ⎨b = .
⎪−1 = a + 4b ⎪−1 = a + 4b ⎪−1 = a + 4b ⎪ 7
⎩ ⎩ ⎩ ⎪−1 = a + 4b
⎪
8 −3 −4 ⎩
Or + 4 × = ≠ −1 donc le système n’a pas de solution. Par consé-
7 7 7
quent, les vecteurs u , v et w ne sont pas coplanaires.
Séquence 3 141
Cned – Académie en ligne

42. Exercice 10 Les points A, B et C sont alignés donc les vecteurs AB et AC sont coli-
néaires et par conséquent, il existe un réel k tel que AC = k AB. On a :
⎛ xB − x A ⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ x + 5⎞
⎜ ⎟
AB ⎜ y B − y A ⎟ c’est-à-dire AB ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( )
⎜ −3⎟ et AC ⎜ 2 ⎟ avec C x ; 4, z .
⎜ ⎟ ⎜ 2⎟
⎝ ⎠ ⎜ z − 3⎟
⎝ ⎠
⎝ zB − z A ⎠
⎧ −2
⎪k =
⎧ x + 5 = 7k ⎪ 3
⎪ ⎪ −14 −29
AC = k AB donc ⎨2 = −3k d’où ⎨ x = 7k − 5 = −5 = .
⎪z − 3 = 2k ⎪ 3 3
⎩ ⎪ −4 5
⎪z = 2k + 3 = 3 + 3 = 3
⎩
⎛ −29 5⎞
On a donc : C ⎜ ; 4 ; ⎟ .
⎝ 3 3⎠
⎛ xB − x A ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ x C − xD ⎞
Exercice 11
⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ , et DC ⎜ y − y ⎟ c’est-à-dire
On a : AB ⎜ y B − y A ⎟ c’est-à-dire AB ⎜ ⎟ ⎜ C D⎟
⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞ ⎝ zB − z A ⎠ ⎝ z C − zD ⎠
DC ⎜ −1⎟ .
⎜ ⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
Par conséquent, AB = DC et donc ABCD est un parallélogramme.
⎛ 3⎞ ⎛ −1⎞
⎜ 0⎟ donc AC = 32 + 02 + 02 = 3 et BD ⎜ 2⎟ donc
De plus, on a : AC ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎜ −2⎟
⎝ ⎠
BD = ( −1)2 + 22 + ( −2)2 = 9 = 3.
AC = BD donc le parallélogramme ABCD est un rectangle car ses diagona-
les ont même longueur.
Remarque : On peut aussi montrer que ABCD est un parallélogramme ayant un angle
droit, en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
Exercice 12 Une équation de la sphère ᏿ est x 2 + y 2 + z 2 = 25. On a :
( )
M x ; y ; z appartient à l’intersection de ᏿ avec ᏼ
⎧x = 3
⎪ ⎧x = 3
⎪ ⎧x = 3
⎪
⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ .
2 2 2 2 2 2 2
⎪ x + y + z = 25 ⎪9 + y + z = 25 ⎪y + z = 16
⎩ ⎩ ⎩
La section de la sphère ᏿ avec le plan ᏼ est donc le cercle de centre
( )
Ω 3 ; 0 ; 0 et de rayon 4, tracé dans le plan ᏼ
142 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

43. Exercice 13 ( )
Une équation d’un cylindre de révolution d’axe O ; j est de la forme
x 2 + z2 = r 2.
( )
La droite (AB) est une génératrice du cylindre ; le point A 0 ; 0 ; −2 appar-
tient au cylindre donc on a : x A2 + z A2 = r 2 c’est-à-dire 4 = r 2 . Une équa-
tion du cylindre est donc x 2 + z 2 = 4. Il s’agit d’un cylindre de rayon 2.
Exercice 14 ̈ D’après la propriété fondamentale du barycentre, pour tout point M du
( )
plan, on a : MA − 3MB + 4MC = 1 − 3 + 4 MG = 2MG. En prenant M en
1
B, on a en particulier : BA + 4BC = 2BG d’où BG = BA + 2BC.
2
{(
̈ Soit H le barycentre du système pondéré B ; −3 ; C ; 4 ) ( )}
; H existe
car −3 + 4 = 1 ≠ 0.
A Pour tout point M du plan, on a : −3MB + 4MC = MH et
en particulier, pour M = B, on a : BH = 4BC.
G
G barycentre du système pondéré
{( ) ( ) ( )}
A ; 1 ; B ; −3 ; C ; 4 est alors le barycentre du
{( ) ( )}
H
C
système pondéré A ; 1 ; H ; 1 d’après l’associativité
du barycentre. G est donc le milieu du segment ⎡ AH⎤ .
B
⎣ ⎦
Exercice 15 Utilisons l’associativité du barycentre : J est le barycentre de
{( A ; 1) ; (I ; 3)} donc le barycentre de {( A ; 1) ; (B ; 2) ; (C ; 1)} car I est
le barycentre de {(B ; 2) ; (C ; 1)}. J est donc aussi le barycentre de
{(K ; 3) ; (C ; 1)} car K est le barycentre de {( A ; 1) ; (B ; 2)}. J étant le
barycentre de {(K ; 3) ; (C ; 1)}, il est sur la droite (KC). Les points C, J et
K sont donc alignés.
Remarque : On peut aussi montrer que les vecteurs CJ et CK sont colinéaires (en
les exprimant en fonction des vecteurs CA et CB grâce à la propriété
fondamentale des barycentres).
3
Exercice 16 ̈ BI = BC donc 4BI = 3BC d’où 4BI = 3BI + 3IC d’après la relation de
4
Chasles et donc IB + 3IC = 0. Par conséquent, I est le barycentre du
{( ) ( )}
système pondéré B ; 1 ; C ; 3 .
3
̈ AJ = AC donc 5AJ = 3AC ; 5AJ = 3AJ + 3JC ; 2JA + 3JC = 0 ; J est le bary-
{( )}
5
) (
centre de A ; 2 ; C ; 3 .
1
̈ AK = AB donc 3AK = AB ; 3AK = AK + KB ; 2KA + KB = 0 ; K est le bary-
{( )}
3
) (
centre de A ; 2 ; B ; 1 .
̈ {( ) (
Soit G le barycentre du système pondéré A ; 2 ; B ; 1 ; C ; 3 .) ( )}
D’après l’associativité du barycentre, G est le barycentre de
{( ) ( )}
K ; 3 ; C ; 3 , celui de {( ) ( )}
J ; 5 ; B ; 1 mais aussi celui de
{( ) ( )}
A ; 2 ; I ; 4 . Donc G appartient aux droites (KC), (BJ) et (AI) Les droi-
tes (AI), (BJ) et (CK) sont donc concourantes en G. (G est plus précisément
le milieu du segment ⎡KC ⎤ ).
⎣ ⎦
Séquence 3 143
Cned – Académie en ligne

44. Exercice 17 {( ) (
Soit G le barycentre du système pondéré A ; 3 ; B ; −2 ; C ; 1 ; G ) ( )}
existe car 3 − 2 + 1 = 2 ≠ 0.
On a alors : 3MA − 2MB + MC = DB ⇔ 2MG = DB d’après la propriété fon-
1
damentale du barycentre et donc : 3MA − 2MB + MC = DB ⇔ GM = BD. Il
2
existe donc un unique point M tel que 3MA − 2MB + MC = DB.
Pour construire ce point M,
M D
on construit d’abord le point
C
G : on place H barycentre de
G
{( ) (
A ; 3 ; B ; −2 )}
en utilisant
l’égalité vectorielle BH = 3BA,
A B G est alors le barycentre de
{( ) ( )}
H ; 1 ; C ; 1 c’est-à-dire le
milieu de ⎡HC ⎤ .
⎣ ⎦
1
On place ensuite le point M en utilisant l’égalité vectorielle GM = BD.
2
Exercice 18 Considérons le barycentre G des points pondérés A ; 1 , B ; 2 et ( ) ( )
( )
C ; −5 ; G existe car 1 + 2 − 5 = −2 ≠ 0.
Comme 1 − 1 = 0, le vecteur MA − MB est un vecteur constant :
MA − MB = BA.
On a : MA + 2MB − 5MC = MA − MB ⇔ −2MG = BA
1
⇔ 2MG = BA ⇔ GM = BA.
2
1
L’ensemble Ᏹ est donc le cercle de centre G et de rayon BA.
2
( ) ( ) ( )
A 2 ; 3 , B −1 ; 4 , C 2 ; −3 et G est le barycentre des points pon-
x + 2xB − 5x C
dérés ( A ; 1), (B ; 2) et (C ; −5) donc on a : x G = A
−2
= 5 et
y + 2y B − 5y C
yG = A = −13.
−2
( 2
) (2
On a aussi : BA = x A − xB + y A − y B = 9 + 1 = 10.)
(
L’ensemble Ᏹ est donc le cercle de centre G 5 ; −13 et de rayon )
10
2
.
Exercice 19 ̈ On a : CB + CD + CG − CE = CB + BA + AE + EC = CC = 0 donc C est le bary-
{( ) ( ) ( ) (
centre du système B ; 1 ; D ; 1 ; G ; 1 ; E ; −1 . )}
E H ̈ Soit I le centre de gravité du triangle BDG.
I est l’isobarycentre des points B, D et G donc le bary-
F G
centre du système {( ) ( ) ( )}
B ; 1 ; D ; 1 ; G ; 1 D’après
l’associativité du barycentre, C est alors le barycentre
I
{( ) ( )}
de I ; 3 ; E ; −1 et par définition du barycentre,
on a :
A D 1
3CI − CE = 0 d’où CI = CE. I est donc au tiers de [CE]
en partant de C. 3
B C
144 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

45. Exercice 20 ( )
On a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ ΩM = 5 ⇔ ΩM2 = 25 ⇔ x − x Ω ( )2 + (y − y Ω )2 = 25
M( x ; y ) ∈ Ꮿ ⇔ ( x + 3) + (y − 2) = 25.
2 2
(
Une équation de Ꮿ est donc x + 3 + y − 2 )2 ( )2 = 25 soit en développant
x 2 + y 2 + 6x − 4y − 12 = 0.
Exercice 21 ( ) ( )( ) (
On a : M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ MA ⋅ MB = 0 ⇔ 4 − x −2 − x + −5 − y 1 − y = 0 )( )
⎛4− x ⎞ ⎛ −2 − x ⎞
car MA ⎜ ⎟ et MB ⎜ 1 − y ⎟
⎝ −5 − y ⎠ ⎝ ⎠
( )
M x ; y ∈ Ꮿ ⇔ −8 − 4 x + 2x + x 2 − 5 + 5y − y + y 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − 2x + 4y − 13 = 0.
Une équation du cercle Ꮿ est donc x 2 + y 2 − 2x + 4y − 13 = 0.
Remarque : ( )2 ( )2
x 2 + y 2 − 2x + 4y − 13 = 0 ⇔ x − 1 − 1 + y + 2 − 4 − 13 = 0
⇔ ( x − 1) + (y + 2) = 18
2 2
Ꮿ est donc le cercle de centre Ω (1 ; −2) et de rayon
− 18 = 3 2.
Exercice 22 La médiatrice (d ) de [AB] est perpendiculaire à [AB] et passe par son
milieu I.
x +x −4 + 2
Les coordonnées de I sont : xI = A B = = −1 et
2 2
y +y 2+5 7
yI = A B = = .
2 2 2
( ) ()
On a : M x ; y ∈ d ⇔ IM ⋅ AB = 0.
⎛ x − xI ⎞ ⎛ x +1⎞ ⎛ xB − x A ⎞ ⎛ 6⎞
Or IM ⎜ ⎟ , IM ⎜ 7 ⎟ et AB ⎜ ⎟ , AB ⎜ ⎟
⎝ y − yI ⎠ ⎜y − ⎟ ⎝ yB − y A ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 2⎠
⎛ 7⎞
( ) () ( )
donc M x ; y ∈ d ⇔ x + 1 × 6 + ⎜ y − ⎟ × 3 = 0
⎝ 2⎠
9
⇔ 6x + 3y − = 0 ⇔ 4 x + 2y − 3 = 0.
2
Une équation cartésienne de (d ) est donc 4 x + 2y − 3 = 0.
3
Son équation réduite est y = −2x + .
2
Exercice 23 On a : u ⋅v = 6 × 3 + ( −4 ) × 4,5 = 0 ; u ⋅w = −6 − 6 = −12 ≠ 0 ;
u ⋅t = −12 + 12 = 0 ;
Séquence 3 145
Cned – Académie en ligne

46. v ⋅w = −3 + 6, 75 = 3, 75 ≠ 0 ; v ⋅t = −6 − 13,5 = −19,5 ≠ 0 ;
w ⋅t = 2 − 4,5 = −2,5 ≠ 0.
u et v sont donc orthogonaux, ainsi que u et t . Les autres ne sont pas
orthogonaux. ⎛ x⎞ ⎛ x '⎞
Pour la colinéarité, on utilise le résultat suivant : u ⎜ ⎟ et v ⎜ ⎟ coli-
⎝y ⎠ ⎝ y '⎠
néaires ⇔ xy '− yx ' = 0 (coordonnées proportionnelles). u et v ne sont
pas colinéaires ainsi que u et t car ce sont des vecteurs orthogonaux.
( )
Pour u et w : 6 × 1,5 − −4 × ( −1) = 5 ≠ 0 donc u et w ne sont pas coli-
néaires.
Pour v et w : 3 × 1,5 − 4,5 × ( −1) = 9 ≠ 0 donc v et w ne sont pas coli-
néaires.
Pour v et t : 3 × ( −3) − 4,5 × ( −2) = 0 donc v et t sont colinéaires.
Pour w et t : −1 × ( −3) − 1,5 × ( −2) = 6 ≠ 0 donc w et t ne sont pas coli-
néaires.
Exercice 24 ABC et ABD sont équilatéraux de côté a cm.
⎛ 2π ⎞ a2
On a : AC ⋅ AD = AC × AD × cosDAC = a × a × cos ⎜ ⎟ = −
⎝ 3⎠ 2
A
π
D ( )
CA ⋅ CD = CA ⋅ CB + BD = CA ⋅ CB + CA ⋅ BD
a2 2
π
3
or CA ⋅ CB = CA × CB × cos ACB =et CA ⋅ BD = CA = a2
3
I 2
car CA = BD (CADB est un losange)
a2 2 3a2
donc CA ⋅ CD = +a = ;
2 2
C
B
AB ⋅ CD = 0 car AB et CD sont orthogonaux ([AB] et
[CD] sont les diagonales du losange).
Remarque : Pour calculer CA ⋅ CD, on peut aussi utiliser le projeté orthogonal I de A
sur (CD) (I est en fait le milieu de [CD], et aussi celui de [AB]) :
CA ⋅ CD = CI ⋅ CD = CI × CD car CI et CD sont colinéaires de même sens
2
⎛a 3⎞ 3a2
CA ⋅ CD = 2CI2 = 2 × ⎜ ⎟ = (la hauteur d’un triangle équilatéral
⎝ 2 ⎠ 2
a 3
de côté a mesure ).
2
Exercice 25 ( )( )
ᕡ On a : IA + AD ⋅ IB + BC = IA ⋅ IB + IA ⋅ BC + AD ⋅ IB + AD ⋅ BC.
Or IA et IB sont colinéaires de sens contraires donc
IA ⋅ IB = −IA × IB = −2 × 3 = −6
146 Séquence 3
Cned – Académie en ligne

47. D 5 C
IA et BC sont orthogonaux donc IA ⋅ BC = 0 ;
AD et IB sont orthogonaux donc AD ⋅ IB = 0
AD et BC sont colinéaires de même sens donc
AD ⋅ BC = AD × BC = 16.
4
Par conséquent, on a :
(IA + AD) ⋅(IB + BC) = −6 + 0 + 0 + 16 = 10.
D’autre part, d’après la relation de Chasles, on a :
A 2 I 3 B
IA + AD = ID et IB + BC = IC donc ID ⋅ IC = 10.
ᕢ Dans le triangle IDA rectangle en A, on a : ID2 = AD2 + AI2 d’après le
théorème de Pythagore. D’où ID = AD2 + AI2 = 16 + 4 = 20 = 2 5.
En travaillant de la même façon dans ICB rectangle en B, on obtient :
IC = 5. Comme ID ⋅ IC = ID × IC × cos CID, on a :
ID ⋅ IC 10 1 5
cos CID = = = = .
ID × IC 2 5 × 5 5 5
Exercice 26 On a : AB ⋅ AC = AB × AC × cos CAB. Or d’après la formule d’Al Kashi,
BC2 = AB2 + AC2 − 2AB × AC cos CAB
AB2 + AC2 − BC2
donc cosCAB = d’où
2AB × AC
AB2 + AC2 − BC2 AB2 + AC2 − BC2
AB ⋅ AC = AB × AC × =
2AB × AC 2
( )
2 2
(Remarque : On peut aussi développer CB = AB − AC )
AB2 + AC2 − BC2 36 + 64 − 121 −21
On a : AB ⋅ AC = = = .
2 2 2
Exercice 27 Soit I le centre du parallélogramme ABCD.
AC
I est donc le milieu de [AC] et [BD] d’où AI = = 3.
2
BD2
Dans le triangle ABD, on a : AB2 + AD2 = 2AI2 +
2
d’après le théorème de la médiane.
( ) (
D’où : BD2 = 2 AB2 + AD2 − 2AI2 = 2 25 + 16 − 18 = 46 )
et donc BD = 46.
Séquence 3 147
Cned – Académie en ligne

48. Exercice 28 ( )(
On a : M ∈ Ᏹ ⇔ MA2 − MB2 = 12 ⇔ MA + MB ⋅ MA − MB = 12 )
⇔ (MA + MB) ⋅ (BM + MA ) = 12 ⇔ (MA + MB) ⋅ BA = 12.
Notons G l’isobarycentre des points A et B c’est-à-
dire le milieu du segment [AB]. D’après la relation fon-
damentale, on a alors pour tout point M du plan :
A G H B MA + MB = 2MG.
D’où : M ∈ Ᏹ ⇔ 2MG ⋅ BA = 12 ⇔ MG ⋅ BA = 6.
Notons H le projeté orthogonal de M sur la droite
(AB). On a alors : M ∈ Ᏹ ⇔ HG ⋅ BA = 6 ⇔ HG × BA = 6
(d) et HG et BA de même sens donc :
6 3
M ∈ Ᏹ ⇔ GH = = et HG et BA de même sens.
BA 2
L’ensemble Ᏹ est donc la droite (d) passant par le point H défini par
3
GH = AB, et perpendiculaire à (AB).
8
Exercice 29 ᕡ On cherche une égalité du type DG = k DB .
2
On a déjà BG = BO car G est le centre de gravité de ABC et que
3 1
O est le milieu de [AC]. Puis BO = BD car O milieu de [BD] donc
2
2 ⎛1 ⎞ 1 1 2 2
BG = × ⎜ BD⎟ = BD soit BD + DG = BD et DG = − BD = DB . Le rap-
3 ⎝2 ⎠ 3 3 3 3
2
port de l’homothétie h de centre D qui transforme B en G est donc .
3
ᕢ Pour construire les images de A et C, on utilise le
A B
fait que l’image A' de A par h est l’intersection de (DA)
A’ G et de la parallèle à la droite (BA) passant par h(B) = G
O et de même que l’image C' de C par h est l’intersec-
tion de (DC) et de la parallèle à la droite (BC) passant
D C’ C
par G.
Exercice 30 On va montrer que S est l’image de R par l’homothétie
1
E H h de centre A et de rapport . En effet, on a K milieu
1 2
G
de [AC] donc AK = AC soit h( C ) = K. De même J est
F
2
le milieu de [AF] et I celui de [AH] donc h(F ) = J et
R
J
I
h(H) = I. D’où : h : C K .
S F J
H I
A D L’image du centre de gravité R de CFH est donc le
K
centre de gravité de KJI soit h(R) = S (conservation du
B C
barycentre). Le point R, l’image S de R par h et le cen-
tre A de h sont donc alignés.
148 Séquence 3
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49. Exercice 31 On cherche à écrire G comme image du point M par une certaine trans-
formation.
Soit I le milieu de [AB]. G étant le centre de gravité du
M
1
triangle MAB, on a : IG = IM. G est donc l’image du
Ꮿ 3
point M par l’homothétie h de centre I et de rapport
1
. Or M décrit le cercle Ꮿ de centre O, de rayon r,
O 3
privé des points A et B donc G décrit l’image du cercle
G
O’ Ꮿ par h privé des points A' = h( A ) et B' = h(B ). Donc
B
A’ I B’ par propriété, le lieu géométrique du point G est le
A
Ꮿ’ 1
cercle Ꮿ' de centre O' = h( O) de rayon r, privé des
3
points A' et B'.
Exercice 32 On cherche à écrire N comme image du point M par une certaine trans-
formation.
ABMN parallélogrammme ⇔ BA = MN ⇔ t (M ) = N.
BA
B
Comme M décrit la droite (d ), N
M3 décrit l’image de la droite (d ) par
A
M4 N3 la translation de vecteur BA. Le
M1 lieu géométrique du point N est
A’
M2
N4 donc la droite (d ') parallèle à (d )
(d) N1
passant par A ' = t ( A ).
BA
N2
(d’)
Exercice 33 On a trois contraintes à respecter : F ∈Ꮿ , G ∈Ꮿ' et DEGF parallélo-
gramme. On peut en premier lieu faire un « abandon de contrainte » et
« oublier » le fait que G ∈Ꮿ' .
En plaçant quelques points F sur Ꮿ (f1,f2 ,f3 ,...) et en construisant les
points G associés ( g1, g2 , g3 ,...) tels que DEGF est un parallélogramme,
E
D on remarque que les points g1, g2 , g3 ,... sont sur un
g1 G1
f1 F1 g2 Ꮿ’
cercle qui semble être l’image de Ꮿ par une translation.
Ꮿ Raisonnons par analyse-synthèse :
g6 f2
f6 O”
O O’
g5 ̈ Analyse : On cherche des conditions nécessaires
f5
à l’élaboration de la construction. DEGF parallélo-
Ꮿ”
g4 G2 gramme se traduit par : t (F ) = G. Comme on veut
DE
f4 g3
F2 f3 que F ∈Ꮿ cela implique que G ∈ t ( Ꮿ) .
DE
Séquence 3 149
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50. Or l’image du cercle Ꮿ par la translation de vecteur DE est le cercle Ꮿ''
de centre O'' = t ( O) et de même rayon que Ꮿ .
DE
Comme on veut que G ∈Ꮿ' , les points éventuels G solutions sont les
points d’intersection de Ꮿ' et de Ꮿ'' . Ici, il y a deux points d’intersection
G1 et G2 .
̈ Synthèse : Vérifions que les points trouvés conviennent.
Soient G1 et G2 les points d’intersection de Ꮿ' et de Ꮿ'' = t
DE ( Ꮿ) (ces
points existent si O'O'' < r + r ' avec r rayon de Ꮿ et r ' rayon de Ꮿ' ce
qui est le cas sur la figure).
On utilise la transformation réciproque t de t : on a t ( Ꮿ'') = Ꮿ et
ED DE ED
on introduit F1 = t ( G1 ) et F2 = t ( G2 ) .
ED ED
Comme G1 et G2 sont sur Ꮿ'' , F1 et F2 sont sur Ꮿ ; de plus
DEG1F1 et DEG2F2 sont des parallélogrammes et G1,G2 sont sur Ꮿ' .
Toutes les conditions sont bien remplies.
̈ Conclusion : Il y a exactement deux solutions au problème avec F1, G1
d’une part et F2 , G2 d’autre part.
Remarque : Si O'O'' > r + r ', Ꮿ''∩ Ꮿ' = ∅ et le problème n’aurait pas de solution.
Si O'O" = r + r ', Ꮿ"et Ꮿ' seraient tangents et le problème n’aurait qu’une
solution.
150 Séquence 3
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