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Séquence 4
     Statistique
     et probabilités
Sommaire

1. Statistique p.152
2. Probabilités p.158
3. Exercices d’application p.166
4. Corrigés des exercices p.169




                                   Séquence 4   151



                                           Cned – Académie en ligne
1 Statistique
                            A        Moyenne et écart-type
                                     On dispose de la série statistique suivante, le caractère étudié étant un
                                     caractère quantitatif discret :

                                      Valeurs x i         x1        x2        x3      …       xp


                                      Effectifs ni        n1       n2         n3      …      np

                                                                                                             p
                                     L’effectif total de cette série est : n = n1 + n2 + n3 + ... + np = ∑ ni .
                                                                                                            i =1

                                     1. Moyenne
                                     a   Définition
                       Remarque                           La moyenne de cette série statistique est le nombre
                                                          réel x défini par :
                            La   moyenne    est
                            le réel qui mini-
                                                                    p
                            mise   la
                                   1 p
                                       fonction
                                                                   ∑ ni × xi       n1 × x1 + n2 × x2 + ... + np × x p
                                         (
                                     ∑n x − x .  )
                                              2
                             x
                                   n i =1 i i
                                                               x = i =1        =
                                                                          n                        n



                                     2. Variance et écart-type
                                     a   Définitions
                                     ̈ La    variance de cette série statistique est le nombre réel V défini par
                                                  p
                                                     (     )
                                              1             2
                                         V=      ∑ ni xi − x .
                                              n i =1
                                         C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

                                     ̈ L’écart-type de cette série est le nombre réel s défini par         s= V .
                                         L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.



               152    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
a   Propriété
                    La variance est aussi égale à la moyenne des carrés moins le carré de la
                                          p
                                     1            2
                    moyenne V =         ∑ n x2 − x .
                                     n i =1 i i


Exemple 1           On s’intéresse au temps total de transport des employés d’une usine
                    pendant une semaine. Voici les résultats obtenus :

                     Temps en heures                      1    2    3        4     5     6       7       8
                     Effectifs                            2    3    6        8     10    15      24     16

                    Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série, en arrondissant les
                    résultats à 0,1.
                            2 × 1 + 3 × 2 + 6 × 3 + 8 × 4 + 10 × 5 + 15 × 6 + 24 × 7 + 16 × 8 494 247
                    ̈ x=                                                                     =   =    5, 9.
                                            2 + 3 + 6 + 8 + 10 + 15 + 24 + 16                  84 42

                        La durée hebdomadaire moyenne de transport est d’environ 5,9 heu-
                        res soit 5 heures 54 minutes.
                    ̈ Pour le calcul de l’écart-type, on commence par calculer la variance en
                        utilisant éventuellement un tableau :


Valeurs x i         1       2         3               4        5        6         7          8        Total

Effectifs ni        2       3         6               8       10        15        24      16           84

 ni x i 2           2       12       54           128         250   540          1 176   1 024        3 186

                                              2
                          3 186 ⎛ 247 ⎞   531 61 009 5 897
                    V=         −⎜     ⎟ = 14 − 1 764 = 1 764 3, 3 et
                           84   ⎝ 42 ⎠
                                 5 897
                    s= V =                    1, 8.
                                 1 764


   Remarque

            Dans le cas d’un
                                              Avec une calculatrice, on se met en mode statistique ;
            caractère quantita-
                                              on entre les valeurs dans la liste L1 et les effectifs dans
            tif continu, on prend
                                              la liste L2 , puis on fait afficher les résultats numéri-
            pour valeurs les cen-
            tres des classes.                 ques avec Calc 1-Var stats L1,L2 . On lit : x 5, 9 ;
                                               ∑ x = 494 ; ∑ x 2 = 3186 ; σx 1,8 et n = 84.



                                                                                          Séquence 4          153



                                                                                                         Cned – Académie en ligne
B      Médiane et écart interquartile

                                   On considère une série statistique dont les n termes a1,a2 , ... ,an sont
                                   rangés par ordre croissant, chaque valeur figurant autant de fois que
                                   son effectif. n est donc l’effectif total.


                                   1. Médiane
                                   a   Définition

                                   ̈ Si   n est impair (c’est-à-dire n = 2p + 1, p ∈»), la médiane Me est le
                                       terme situé « au milieu » :

                                            a1                       ap           ap+2                 a2p+1

                                                     p termes             Me = ap+1       p termes
                                                                                                      Me = ap +1 .
                                   ̈ Si n est pair (c’est-à-dire     n = 2p, p ∈»*), la médiane Me est le centre
                                       de l’intervalle ⎡ap  ; ap +1 ⎤ :
                                                       ⎣            ⎦

                                            a1                       ap           ap+1                  a2p
                                       .
                                                     p termes                Me          p termes                  .
                                                                                                      ap + ap +1
                                                                                               Me =
                                                                                                          2
                                        Remarque

                                                 Au moins 50 % des termes de la série sont inférieurs ou
                                                 égaux à la médiane et au moins 50 % des termes de la
                                                 série sont supérieurs ou égaux à la médiane.




                                   2. Quartiles, déciles
                                   a   Définitions
                                   ̈ Le 1er quartile, noté Q1, est la plus petite valeur des termes de la série
                                       telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales.




               154    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
̈ Le 3e quartile, noté
                                       Q3 , est la plus petite valeur des termes de la série
 Remarques
                  telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales.
                                  ̈ L’intervalle interquartile est l’intervalle ⎡Q  ; Q ⎤ .
                                                                                 ⎣ 1 3⎦
       L’écart interquartile         L’écart interquartile est le réel Q3 − Q1.
                                   ̈ Le 1 décile, noté d , est la plus petite valeur des
                                           er
       est une mesure de                                    1
       dispersion associée            termes de la série telle qu’au moins 10 % des don-
       à la médiane pour              nées lui soient inférieures ou égales.
                                  ̈ Le 9e décile, noté d , est la plus petite valeur des
       résumer     la    série                              9
       statistique. Ce cou-          termes de la série telle qu’au moins 90 % des don-
       ple (médiane ; écart          nées lui soient inférieures ou égales.
                                  ̈ L’intervalle interdécile est l’intervalle ⎡d  ; d ⎤ .
       interquartile)    n’est                                                   ⎣ 1 9⎦
       pas     sensible   aux        L’écart interdécile est le réel d9 − d1.
        valeurs      extrêmes.
        L’intervalle      inter-
        quartile contient la
        médiane et au moins              3. Diagramme en boîte ou boîte à
        50 % des données.                   moustaches due au statisticien
                                            John W. Tuckey (1915-2000)
                   C’est un outil graphique permettant d’étudier la répartition des valeurs
                   d’une série.
                   On y fait figurer les valeurs extrêmes x min et x max , la médiane Me, les
                   1er et 3e quartiles Q1 et Q3 , et les 1er et 9e déciles d1 et d9 :
                            Q1       Me           Q3
xmin          d1                                                  d9              xmax


                                                                                           axe
                                                                                         gradué
                   Ces diagrammes peuvent être utilisés pour comparer le même caractère
                   pour deux populations différentes.

Exemple 2          La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt.
                   Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau
                   suivant :
Température (en °C)         14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5
Nombre de fois où cette
                              5      7      10   12    15   10   11    9    7      7      4
température a été relevée
                   Construire le diagramme en boîte de cette série statistique, les extrémi-
                   tés du diagramme correspondant aux premier et neuvième déciles.
                   On vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il est inté-
                   ressant, pour faire les différents calculs nécessaires à la réalisation du
                   diagramme, de travailler avec les effectifs cumulés croissants.
Température (en °C)          14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5
Nombre de fois où cette
                                 5   7      10   12    15   10   11     9    7      7      4
température a été relevée



                                                                                Séquence 4        155



                                                                                           Cned – Académie en ligne
Effectifs cumulés croissants         5           12    22           34     49      59   70    79      86     93       97
                                                                                                 97 = 2 × 48 + 1 donc
                                         ̈ Calcul de la médiane : l’effectif total 97 est impair :
                                           la médiane est le 49e terme de la série c’est-à-dire 16,5.
                                                                         25         97
                                                                    1 100 × 97 = 4 = 24,25 donc Q1 est le 25
                                         ̈ Calcul du 1er quartile Q :                                               e


                                           terme de la série (25 est le plus petit entier supérieur ou égal à 24,25)
                                           c’est-à-dire 16.
                                                                                          75       3
                                         ̈ Calcul du 3e quartile             Q3 :            × 97 = × 97 = 72, 75 donc Q3 est le 73e
                                                                                         100       4
                                           terme c’est-à-dire 18.
                                                                                        10        97
                                         ̈ Calcul du 1er décile             d1 :           × 97 =    = 9, 7 donc d1 est le 10e terme
                                                                                       100        10
                                           c’est-à-dire 15.
                                                                     90         9
                                         ̈ Calcul du 9e décile d9 :     × 97 =    × 97 = 87, 3 donc d9 est le 88e
                                                                    100        10
                                           terme c’est-à-dire 19.

                                                                      Q1 Me Q3
                                                                 d1              d9
                                                          xmin                                (forêt)
                                                                                      xmax


                                                              14,5                19,5
                                                     13          15 16      18 19                                  31 32

                                                                                                                        (champ)


                            Remarque
                                                                               Le 2e diagramme en boîte corres-
                                   La boîte est un rectangle qui va du
                                                                               pond à une série de températu-
                                   premier au troisième quartile et on
                                                                               res relevées de la même manière
                                   y fait figurer la médiane. Pour les
                                                                               et aux mêmes instants dans un
                                   moustaches, on peut trouver diffé-
                                                                               champ à l’extérieur de la forêt. Il
                                   rents modèles (les extrémités des
                                                                               est réalisé avec le même axe que
                                   pattes peuvent par exemple corres-
                                                                               l’autre diagramme. Cela permet
                                   pondre aux maximum et minimum).
                                                                               de comparer la température dans
                                                                               la forêt et dans le champ : les tem-
                                                                               pératures sont beaucoup plus dis-
                                         persées dans le champ que dans la forêt ; dans la forêt, les températures
                                         sont plus fraîches (influence des arbres).



                               C        Influence d’une transformation
                                        affine…
                                        Soient ( xi  ; ni ) une série statistique, x sa moyenne, V sa variance, s son
                                         écart-type, Q1 son 1er quartile et Q3 son 3e quartile.
                                                                                                             ( )
                                         Soit f une fonction affine définie sur » par f x = ax + b . En posant pour
                                                    ( )
                                         tout i, f xi = y i , on obtient une nouvelle série statistique y i  ; ni . Les      (         )
                                         valeurs ont été transformées mais les effectifs sont conservés.


               156    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
1. … sur l’intervalle interquartile
                                                               (        )
            Si a > 0, pour la nouvelle série statistique y i  ; ni , le 1er quartile est
            Q1 ' = aQ1 + b et le 3e quartile est Q3 ' = aQ3 + b.

            L’intervalle interquartile est donc ⎡aQ1 + b  ; aQ3 + b ⎤ et l’écart interquar-
                                                ⎣                   ⎦
                                  (        )
            tile est Q3 '− Q1 ' = a Q3 − Q1 .
            La médiane est Me ' = aMe + b.

            2. … sur l’écart-type
                                                   (     )
            Pour la nouvelle série statistique y i  ; ni :
               – la moyenne est y = ax + b
               – la variance est multipliée par a2 : V ' = a2 × V
               – l’écart-type est multiplié par a : s ' = a × s .

Exemple 3                             (        )
            Une série statistique xi  ; ni a pour quartiles Q1 = 6 et Q3 = 10, pour
            moyenne x = 7,5 et pour écart-type s = 2, 8. On considère la fonction f
            définie sur » par f ( x ) = 0,5x + 3. En posant pour tout i, y i = f ( xi ), on
            obtient une nouvelle série statistique. Calculer les paramètres de cette
                  (       )
            série y i  ; ni .
            La fonction f est bien une fonction affine (à vérifier car les résultats
            énoncés ne sont pas valables pour les autres fonctions) et le coefficient
            de x est 0,5 qui est strictement positif.
                      (       )
            La série y i  ; ni a donc pour quartiles :
            Q1 ' = f (Q1 ) = 0,5Q1 + 3 = 0,5 × 6 + 3 = 6 et Q3 ' = f (Q3 ) = 0,5 × 10 + 3 = 8.

                      (       )
            La série y i  ; ni a pour moyenne y = f ( x ) = 0,5x + 3 = 0,5 × 7,5 + 3 = 6, 75
            et pour écart-type s ' = 0,5s = 0,5 × 2, 8 = 1, 4.


                                                                   V Voir exercices 1 à 5.




                                                                             Séquence 4          157



                                                                                          Cned – Académie en ligne
2 Probabilités
                            A      Vocabulaire
                                   ᕡ Une expérience aléatoire est une épreuve dont l’issue ne peut être
                                       connue à l’avance.
                                 Lors d’une expérience aléatoire, on appelle :
                                 ᕢ Univers : l’ensemble Ω de toutes les éventualités (issues, résultats
                                   possibles) de l’expérience aléatoire réalisée.
                                 ᕣ Evénement : une partie de Ω .
                                 ᕤ Evénement élémentaire : un événement formé d’une seule éventualité.
                                 ᕥ Ω est appelé l’événement certain (qui se produit à coup sûr).
                              Ω                     ᕦ ∅ est l’événement impossible (qui ne peut pas se
                                            A∪B       produire).
                                                    ᕧ La réunion des événements A et B est l’événement :
                                                       A ∪ B et il est formé de toutes les éventualités qui
                                                      appartiennent à A ou à B (et peuvent donc appar-
                                                      tenir à A et à B).
                                                    ᕨ L’intersection des événements A et B est l’événe-
                             A∩B      B               ment A ∩ B et il est formé de toutes les éventuali-
                       A
                                        Ω             tés qui appartiennent à la fois à A et à B.
                                                       ᕩ L’événement contraire de A est noté A et il est
                                                         formé de toutes les éventualités de Ω qui ne sont
                                                         pas dans A. On a : A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅.
                                   A          A
                                                       µ A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ .

                                       Remarque

                                             Le nombre d’éventualités d’un événement A est appelé
                                             cardinal de A et se note card A.



                     Exemple 4     On lance un dé non pipé à six faces et on s’intéresse au numéro de la
                                   face supérieure.
                                   ᕡ Décrire l’univers lié à cette expérience puis donner les éventualités
                                      qui composent les événements suivants :
                                      A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir 4 » ; C : « obtenir un nom-
                                      bre supérieur ou égal à 3 ».
                                   ᕢ Décrire par une phrase les événements suivants et déterminer les
                                      éventualités qui les composent : A ∪ C , A ∩ C , A , C .
                                     Que peut-on dire des événements B et A ?


               158    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
ᕡ On a Ω = {1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6.
              A = {2 ; 4 ; 6 } ; card A = 3. B = {4 }.C’est un événement élémentaire.
              De même, C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} .
            ᕢ A ∪ C : « obtenir un nombre pair ou supérieur ou égal à 3 » ;
            A∪C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et A ∩ C : « obtenir un nombre pair et supérieur
            ou égal à 3 » ; A ∩ C = {4 ; 6}. De plus A : « obtenir un nombre impair » ;
            A = {1 ; 3 ; 5} et C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 » ;
            C = {1 ; 2}.
              Les événements B et A sont incompatibles car A ∩ B = ∅.



      B     Loi de probabilité

            1. Loi des grands nombres
            Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la
            fréquence de réalisation d’un événement A tend vers une valeur « idéale »
            qui est la probabilité de l’événement A : c’est la « loi des grands nombres ».
Exemple     Si on lance un grand nombre de fois un dé non truqué à 6 faces, on
                                                                          1
            remarque que la fréquence moyenne d’apparition du 2 tend vers   qui
                                                                          6
            est la probabilité de l’événement « obtenir 2 ».


            2. Définition
            Définir une probabilité sur un univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en } lié à une expé-
            rience aléatoire, c’est associer à toute éventualité ei de Ω un nombre
             pi appelé probabilité de l’événement élémentaire { ei } tel que :
                                                                       n
            pour tout i ∈{1,…,n }, 0 ≤ p ≤ 1 et p1 + p2 + ... + pn = ∑ pi = 1 .
                                        i
                                                                      i=1

Exemple 5   Un dé est truqué. On le lance un grand nombre de fois. On s’aperçoit que :
            – le 6 tombe environ 3 fois plus que le 1
            – le 4 et le 5 tombent chacun deux fois plus que le 1
            – le 2 et le 3 tombent chacun autant de fois que le 1.
            Proposer un modèle de loi de probabilité pour cette expérience.
            On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4  ; 5 ; 6}.
            On note pi = p({i }). D’après l’énoncé, on a : p6 = 3p1 ; p4 = p5 = 2p1 et
            p2 = p3 = p1 .
                        6
                                                               1
            De plus,   ∑ pi = 1 donne : 10p1 = 1 soit p1 = 10 .
                       i =1
            La loi de probabilité peut donc être résumée par le tableau suivant :



                                                                             Séquence 4          159



                                                                                          Cned – Académie en ligne
i     1        2        3      4         5         6

                                                1         1        1    2 1       2 1        3
                                          pi                             =         =
                                               10        10       10   10 5      10 5       10


                       Remarques                              3. Probabilité d’un événement

                             p( ∅ ) = 0 ; p( Ω ) = 1 ;        a   Définition
                             pour tout événement              La probabilité d’un événement est la somme des
                             A, 0 ≤ p( A ) ≤ 1 .              probabilités des événements élémentaires qu’il
                                                              contient.


                     Exemple 6        On reprend l’exemple 5. Calculer la probabilité de l’événement A : « obte-
                                      nir un nombre pair ».
                                      On a A = {2 ; 4 ; 6} donc :
                                                                            1 2 3    6 3
                                       p( A ) = p({2}) + p({4}) + p({6}) =   + +   =   = .
                                                                           10 10 10 10 5

                                      a   Propriétés
                                      ᕡ Si A et B sont 2 événements quelconques, on a :
                                           p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ) − p( A ∩ B ).
                                          Cas particulier : Si A et B sont deux événements incompatibles,
                                          p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ).
                                      ᕢ Si A est un événement, on a : p( A )=1 − p(A ).

                     Exemple 7        On reprend l’exemple 5. Déterminer la probabilité de B : « obtenir un
                                      nombre au moins égal à 2 » .
                                      Comme B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, on peut utiliser
                                                               9
                                      p(B ) = p2 + ... + p6 =    ou bien considérer l’événement contraire :
                                                              10
                                                                           1                          9
                                      B :"obtenir 1" = {1} ; p(B ) = p1 =    donc p(B ) = 1 − p(B ) = .
                                                                          10                         10

                                      4. Equiprobabilité
                                      On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a
                                      la même probabilité. On parle de loi équirépartie.

                     Exemples         Lancer d’un dé non truqué , d’une pièce équilibrée ; un tirage au
                                      hasard.

                                      a   Propriété
                                      Soit une expérience aléatoire avec Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en }.




               160    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
S’il y a équiprobabilité alors : p ei  ({ }) = n pour tout i de {1 ; 2 ;  ... ; n}et
                                                                  1


                              nombre de cas favorables à A card A
                   p( A ) =                               =        .
                                nombre de cas possibles     card Ω

Exemple 8          On lance un dé non pipé à 6 faces et on s’intéresse au numéro de la face
                   supérieure.
                   Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir un multiple de 3 ».
                   On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. De plus, A = {3 ; 6} ; card A = 2.
                   On est en situation d’équiprobabilité (dé non pipé) donc
                            nombre de cas favorables à A 2 1
                   p( A ) =                                   = = .
                              nombre de cas possibles           6 3


                   5. Espérance et variance d’une loi de probabilité
                   Ces paramètres ne se calculent que lorsque les issues ei d’une expé-
                   rience aléatoire sont des réels.

               …
                                 ̈ L’espérance   mathématique μ de la loi de probabilité est
ei   e1   e2          en                              n
                                   définie par : μ = ∑ pi ei .
pi   p1   p2 …        pn                             i =1
                                 ̈ La   variance V de la loi de probabilité est définie par :
                                         n                   n
                                   V = ∑ pi (ei − μ )2 = ∑ pi ei 2 − μ2 .
                                        i =1                i =1
                   ̈ L’écart-type σ de la loi de probabilité est défini par : σ = V .
                   (analogues à la moyenne, la variance et l’écart –type en statistique)



          C        Exemples-type
                   ̈ Si on est en situation d’équiprobabilité : pour calculer la probabilité
                     d’un événement A, on utilise la formule vue au B)4, en dénombrant les
                     nombres de cas possibles (card Ω ) et de cas favorables à A (card A).
                   ̈ Sinon, on utilise la définition et les propriétés sur la probabilité d’un
                     événement (vues au B)3.).
                   ̈ Pour dénombrer, on peut procéder « à la main » ou bien utiliser des
                     représentations : un arbre, un tableau double entrée (pour le lancer de
                     deux dés par exemple), un diagramme…
                   ̈ On peut faire appel à l’événement contraire quand cela s’avère plus
                     économique, notamment quand l’événement est décrit avec les locu-
                     tions « au moins » ou « au plus » . Il faut savoir dans ce cas prendre la
                     négation d’une phrase.



                                                                                       Séquence 4         161



                                                                                                    Cned – Académie en ligne
Exemple 9             On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. Calculer la probabilité des
                                           événements suivants :
                                           A : « obtenir le roi de trèfle » ; B : « obtenir un roi » ; C : « obtenir un trè-
                                           fle » ; D : « obtenir un cœur ou un carreau » ; E : « obtenir un roi ou un
                                           trèfle ».
                                           Il y a 32 éventualités possibles (card Ω = 32 ) et on est en situation d’équi-
                                           probabilité (tirage au hasard d’une carte).
                                           ̈ Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu donc
                                                        nombre de cas favorables à A         1
                                             p( A ) =                                   =      (card A = 1).
                                                          nombre de cas possibles           32
                                                                                                                    4 1
                                           ̈ Il y a de même 4 rois, 8 trèfles dans le jeu donc : p(B ) =              =
                                                                  8 1                                               32 8
                                             (card B=4); p( C ) =    = (card C=8).
                                                                 32 4
                                              D = D1 ∪ D2 où D1 : « obtenir un cœur » et D2 : « obtenir un carreau ».
                           Attention                            Comme D1 et D2 sont incompatibles,
                                                                                        8 8 16 1
                                                               p(D ) = p(D1 ) + p(D2 ) = + =       = .
                                  En faisant p(B) + p(C),                               32 32 32 2
                                  on compte deux fois le      ̈ On a E = B ∪ C donc p(E ) = p(B ) + p( C ) − p(B ∩ C )
                                  roi de trèfle ! Ne pas                                       4 8 1 11
                                  oublier de retirer une           avec B ∩ C = A donc p(E ) =   + −       =    .
                                                                                               32 32 32 32
                                 fois l’intersection.


                     Exemple 10            On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On obtient
                                           ainsi une suite de 3 résultats.
                                           ᕡ Écrire toutes les éventualités correspondant à cette expérience aléa-
                                              toire.
                                           ᕢ Calculer P(A) où A : « les 3 résultats sont identiques ».
                                           ᕣ Calculer P(B) où B : « la suite des 3 résultats commence par Pile ».
                                           ᕤ Calculer P(C) où C : « la suite de résultats comporte au moins un
                                              pile ».
                                           ᕡ Pour écrire toutes les éventualités, on peut faire un arbre (ou les
                                              dénombrer « à la main ») :
                                                                 1er lancer    2e lancer          3e lancer    Eventualité
                                                                                                       P         PPP
                                                                                    P
                                                                                                      F          PPF
                                                                   P                                  P          PFP
                                                                                    F
                                                                                                      F          PFF

                                                                                                      P          FPP
                                                                                    P
                                                                   F                                  F          FPF

                                                                                                      P          FFP
                                                                                    F
                                                                                                      F          FFF




               162    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
Il y a donc : 2 × 2 × 2 = 8 éventualités possibles. On est de plus en situa-
     tion d’équiprobabilité (pièce équilibrée).
                                                  2 1
    ᕢ A ={PPP ; FFF} donc card A = 2 et p( A ) = = .
                                                  8 4
    ᕣ Les éventualités de l’événement B sont marquées en gras dans l’ar-
      bre : il y en a 4.
                     1
     Donc p(B ) = . (remarque : cohérent car il y a autant de résultats com-
                     2
     mençant par F que de résultats commençant par P).
    ᕤ C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ».On peut consi-
       dérer l’événement contraire C : « la suite de résultats ne comporte
                                           1                        7
       aucun Pile ». C ={FFF} d’où p( C ) = et p( C ) = 1 − p( C ) = .
                                           8                        8


D   Variable aléatoire

    1. Définitions
    On réalise une expérience aléatoire avec pour univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en }
    et on y définit une probabilité p.
    ̈ Une variable   aléatoire est une fonction de Ω dans » . On la note sou-
      vent X . X : Ω → » .
                  ei    xi
    ̈ Soient    X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et
               {                            }
      X ( Ω ) = x1  ;  x2  ; ... ;  xm l’ensemble des valeurs prises par X.
     On note p 'i la probabilité de l’événement « X prend la valeur xi », évé-
     nement noté ( X = xi ).
     La loi de probabilité de X est alors définie par la liste des probabilités
     p 'i et est représentée par le tableau :
                            xi                     x1   x2     …   xm

                            p 'i = p ( X = x i )   p '1 p '2   …   p 'm

                     m
    Ceci implique    ∑p'         i
                                     = 1.
                     i =1




    2. Paramètres d’une variable aléatoire
    ̈ L’espérance    mathématique E(X) de la variable aléatoire X est définie
                     m
      par : E ( X ) = ∑ p 'i xi .
                     i =1



                                                                          Séquence 4    163



                                                                                  Cned – Académie en ligne
̈ La variance        V de la variable aléatoire X est définie par :
                                                                    m                         m
                                                          V ( X ) = ∑ p 'i ( xi − E ( X ))2 = ∑ p 'i xi 2 − (E ( X ))2 .
                                                                    i =1                     i =1

                                                       ̈ L’écart-type       σ de la variable aléatoire X est défini par : σ( X ) = V ( X ) .

                     Exemple 11                        On lance deux dés non pipés(l’un rouge, l’autre bleu) et on s’intéresse
                                                       à la somme des faces supérieures. On gagne 7 € si la somme est supé-
                                                       rieure ou égale à 10 ; on perd 2 € si la somme est inférieure ou égale à 4
                                                       et 1€ dans les autres cas.
                                                       X désigne la variable aléatoire prenant comme valeur le gain algébrique
                                                       (positif si on gagne, négatif si on perd) lors d’un lancer.
                                                       ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X.
                                                       ᕢ Calculer E(X), V(X) et σ( X ) .

                        rouge                                                                            ᕡ • L’univers lié à l’expérience
                     bleu         1               2         3           4         5         6
                                                                                                         réalisée peut être résumé par le
                                (1 ; 1)      (2 ; 1)      (3 ; 1)    (4 ; 1)    (5 ; 1)   (6 ; 1)        tableau à double entrée ci-contre.
                        1
                                S=2          S=3          S=4         S=5        S=6       S=7
                                                                                                         L’univers Ω est composé de 36
                                (1 ; 2)      (2 ; 2)      (3 ; 2)    (4 ; 2)    (5 ; 2)   (6 ; 2)        éventualités qui sont les 36 cou-
                        2
                                S=3          S=4           S=5        S=6        S=7       S=8           ples (i ; j) où i et j sont dans {1 ; 2 ;
                                (1 ; 3) (2 ; 3)           (3 ; 3)    (4 ; 3)    (5 ; 3)   (6 ; 3)        3 ; 4 ; 5 ; 6}. Avec l’univers choisi,
                        3
                                S=4 S=5                    S=6        S=7        S=8       S=9           on est en situation d’équiprobabi-
                                (1 ; 4) (2 ; 4)           (3 ; 4)    (4 ; 4)    (5 ; 4)   (6 ; 4)        lité (chaque événement élémen-
                        4                                                                                                               1
                                 S=5 S=6                   S=7        S=8        S=9      S = 10         taire a une probabilité de        ).
                                (1 ; 5) (2 ; 5)           (3 ; 5)    (4 ; 5)   (5 ; 5)    (6 ; 5)                                      36
                        5
                                 S=6 S=7                   S=8        S=9      S = 10     S = 11         • L’ensemble des valeurs prises
                        6
                                (1 ; 6) (2 ; 6)           (3 ; 6)   (4 ; 6)    (5 ; 6)    (6 ; 6)                                 {
                                                                                                           par X est : X ( Ω ) = −2 ;  −1 ; 7 .}
                                 S=7 S=8                   S=9      S = 10       • ( X = 7 ) = « obtenir une somme
                                                                               S = 11     S = 12
                                                                                   supérieure ou égale à 10 ». Cet
                            Remarque
                                                                                   événement comporte d’après
                                  Si on choisit comme univers l’ensemble           le tableau 6 éventualités (mar-
                                  des 11 sommes possibles, on ne peut              quées en bleu) et on peut uti-
                                  pas utiliser la loi équirépartie.                liser la loi équirépartie donc
                                                                                                 6 1
                                                                                    p( X = 7 ) =   = .
                                                                                                 36 6
                                            De même, l’événement ( X = −2) = « obtenir une somme inférieure
                                            ou égale à 4 » comporte 6 éventualités (marquées en gras) donc :
                                                         1                     24 2
                                            p( X = −2) = . Enfin, p( X = −1) =   = .
                            Remarque                     6                     36 3
                                                                                 La loi de probabilité de X est donc représentée par :
                                      On              vérifie       que
                                      3
                                                                                                        xi            –1 –2           7
                                      ∑p'     i
                                                  = 1.
                                                                                                                      2       1       1
                                      i =1
                                                                                                p 'i = p( X = x i )
                                                                                                                      3       6       6
                                                                                                3
                                                                                                             2            1           1    1
                                                                                ᕢ E(X ) =    ∑ p 'i xi = 3 × ( −1) + 6 × ( −2) + 6 × 7 = 6 .
                                                                                             i =1
               164      Séquence 4



Cned – Académie en ligne
Remarque

     Pour     calculer     la
     variance, on peut          Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espé-
     éventuellement ajou-       rer gagner en moyenne un sixième d’euro.
     ter une ligne don-
     nant les x i 2 dans le                 3
     tableau.                   V ( X ) = ∑ p 'i xi 2 − (E ( X ))2
     Comme en statis-                      i =1
     tique,     l’écart-type                                                      2
                                        2          1          1       ⎛ 1⎞  57 1
     mesure la disper-                 = × ( −1)2 + × ( −2)2 + × 72 − ⎜ ⎟ =   −
     sion des valeurs de                3          6          6       ⎝ 6⎠   6 36
      X autour de l’espé-                  341
                                       =
     rance.                                36

                                                          341   341
                                et σ( X ) = V ( X ) =         =     3, 08.
                                                          36    6



                                                                     V Voir exercices 6 à 11.




                                                                                Séquence 4      165



                                                                                          Cned – Académie en ligne
3 Exercices d’application
                     Exercice 1          La liste ci-dessous donne les poids de naissance de nouveaux nés (arron-
                                         dis à 10 g près) dans une maternité :
                                         3 240 ; 3 350 ; 3 640 ; 3 120 ; 3 640 ; 2 960 ; 2 880 ; 3 400 ; 3 030 ;
                                         2 980 ; 3 850 ; 3 670 ; 2 990 ; 3 020 ; 3 380 ; 3 420 ; 3 320 ; 3 240 ;
                                         3 650 ; 3 010 ; 3 170 ; 2 830 ; 3 400 ; 3 260 ; 3 080 ; 2 950 ; 3 070 ;
                                         3 120 ; 3 350 ; 3 470.
                                         ᕡ Déterminer la médiane, les quartiles Q et Q , et les déciles d et d
                                                                                 1    3                  1     9
                                           de cette série statistique.
                                         ᕢ Réaliser un diagramme en boîte de cette série statistique, en prenant
                                           les déciles pour extrémités.
                     Exercice 2          On a demandé leur salaire mensuel aux employés d’une entreprise.
                                         Les résultats de l’enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous, les
                                         salaires étant indiqués en milliers d’euros.

                           Salaire          ⎡1 ; 1,2⎡
                                            ⎣       ⎣       ⎡1,2 ; 1, 4 ⎡ ⎡1, 4  ; 1, 6 ⎡
                                                            ⎣           ⎣ ⎣             ⎣   ⎡1, 6 ; 2⎡
                                                                                            ⎣        ⎣        ⎡2 ; 3⎡
                                                                                                              ⎣     ⎣        Total
                     Effectifs hommes            125            75               38            26              12            276
                      Effectifs femmes           25             60               82            34               8            209
                                         Déterminer le salaire mensuel moyen masculin, le salaire mensuel moyen
                                         féminin et en déduire le salaire mensuel moyen dans l’entreprise. Arron-
                                         dir ces moyennes à 1 euro près.
                     Exercice 3          Le directeur d’une grande école de journalisme cherche à comparer deux
                                         promotions d’élèves lors de leur entrée dans l’école. Il a relevé dans les
                                         dossiers les notes de français des 33 élèves de chaque promotion pour
                                         dresser les tableaux d’effectifs reproduits ci-dessous.
                                                                Promotion 2 003

                       Notes         6       7          8         9        10         11      12         13     14      15      16
                      Effectifs      1       2          3         4         4         5       4          4       3      2        1

                                                                             Promotion 2 004

                                            Notes           7         8      9        10      11         12     13      14      15
                                          Effectifs         1         2      4        6        7         6       4      2        1

                                         Pour chaque promotion, calculer la moyenne et l’écart-type arrondi au
                                         dixième de la série de notes de français.
                                         Comparer les deux promotions.



               166    Séquence 4



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Exercice 4                                                                  (
             Le diagramme ci-dessous représente une série statistique xi  ; ni :  )


                                   35                       40



             On considère la fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8. On pose
             y i = f ( xi ) pour tout i.
                                                                 (     )
             Déterminer les quartiles de la série statistique y i  ; ni .

Exercice 5   En relevant les abscisses de différents points placés sur une droite gra-
             duée d’origine O et d’unité de longueur OI, on a obtenu une série statis-
                   (       )
             tique xi  ; ni de moyenne x = 5, 7 et d’écart-type s = 2, 3.
             On ne déplace pas les points placés sur cette droite mais on change de
                                                                                     1
             repère : l’origine est maintenant le point I et l’unité de longueur est OI.
                                                 (      )
             On obtient une série statistique y i  ; ni en relevant les abscisses des
                                                                                     2

             points avec ce nouveau repère.
             Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette nouvelle série statistique.

Exercice 6   Dans une classe de 20 élèves, 6 élèves déclarent avoir une télé dans leur
             chambre, 12 avoir un ordinateur et 4 élèves n’avoir ni télé ni ordinateur
             dans leur chambre. On interroge un élève de cette classe au hasard.
             ᕡ Quelle est la probabilité qu’il ait une télé ou un ordinateur dans sa
               chambre ?
             ᕢ Quelle est la probabilité qu’il ait à la fois télé et ordinateur dans sa
               chambre ?
             ᕣ Quelle est la probabilité qu’il n’ait que la télé dans sa chambre ?

Exercice 7   La fermeture de sécurité d’un cartable est assurée par la composition
             d’un code de trois chiffres obtenu en faisant tourner trois mollettes por-
             tant les chiffres de 0 à 9. Une personne compose au hasard un code.
             Déterminer p(A), p(B) et p(C) où A, B, C désignent les événements :
             A : « le code est le bon »,
             B : « le code est formé de trois chiffres distincts »,
             C : « le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement ».

Exercice 8   On interroge au hasard une mère de trois enfants et on appelle X la
             variable aléatoire égale au nombre de filles parmi ses trois enfants ; on
             suppose que lors d’une naissance, l’arrivée d’une fille et l’arrivée d’un
             garçon sont équiprobables.
             Choisir un univers adapté à cette expérience. Déterminer la loi de proba-
             bilité de X puis p( X ≥ 2) et p( X < 2).
Exercice 9   Dans une école maternelle, l’enseignante demande à chaque enfant de
             choisir chaque matin 2 jouets parmi 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleu. Tous



                                                                            Séquence 4     167



                                                                                      Cned – Académie en ligne
ces jouets se trouvent mélangés dans une caisse.
                                   L’enseignante s’intéresse plus particulièrement à Samuel qui choisit
                                   chaque matin les 2 jouets au hasard. On suppose que tous les choix de
                                   2 jouets sont équiprobables.
                                   ᕡ Combien y a-t-il de choix possibles de 2 jouets ?
                                   ᕢ Déterminer la probabilité des événements A, B, C et D suivants :
                                      A : « Samuel choisit un jouet rouge et un jouet jaune »
                                      B : « Samuel choisit exactement un jouet rouge »
                                      C : « Samuel choisit au moins un jouet rouge »
                                      D : « Samuel choisit 2 jouets de la même couleur ».

                   Exercice 10     Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher (deux blanches
                                   numérotées 1 et 2 et trois noires numérotées 1, 2 et 3).
                                   On tire une première boule, on note sa couleur et son numéro puis on tire
                                   une deuxième boule sans remettre la première dans l’urne.
                                   Calculer les probabilités des événements :
                                   A : « les deux boules tirées ont la même couleur »
                                   et C : « les deux boules tirées ont le même numéro ».

                   Exercice 11     Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une
                                   fléchette dans une cible ayant la forme suivante :
                     B B B B B B B B B J        J   J   V V R R V V J          J   J     B B B B B B B B B

                                   La fléchette atteint toujours une case et une seule.
                                   Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont
                                   toutes la même probabilité d’être atteintes.
                                   Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 €.
                                   Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 €.
                                   Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd
                                   rien.
                                   Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a € où a est un
                                   réel strictement positif.
                                   On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du
                                   joueur.
                                   ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X .
                                   ᕢ Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espé-
                                      rance E ( X ) soit nulle.
                                   ᕣ Dans le cas où a = 1, calculer V ( X ) et σ( X ).




               168    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
4 Corrigés des exercices
Exercice 1         ᕡ Ordonnons dans l’ordre croissant les termes de la série statistique :
                   2 830 ; 2 880 ; 2 950 ; 2 960 ; 2 980 ; 2 990 ; 3 010 ; 3 020 ; 3 030 ;
                   3 070 ; 3 080 ; 3 120 ; 3 120 ; 3 170 ; 3 240 ; 3 240 ; 3 260 ; 3 320 ;
                   3 350 ; 3 350 ; 3 380 ; 3 400 ; 3 400 ; 3 420 ; 3 470 ; 3 640 ; 3 640 ;
                   3 650 ; 3 670 ; 3 850.
                   • L’effectif total, 30, est pair : 30 = 2 × 15 ; donc
                         15e terme + 16e terme 3 240 + 3 240
                   Me =                       =              = 3 240.
                                                                    0
                                    2                2
                      25         30
                   •     × 30 = = 7,5 donc Q1 est le 8e terme c’est-à-dire Q1 = 3 020.
                     100         4
                      75         3
                   •     × 30 = × 30 = 22,5 donc Q3 est le 23e terme c’est-à-dire
                     100         4
                     Q3 = 3 400.
                      10        30
                   •     × 30 = = 3 donc d1 est le 3e terme c’est-à-dire d1 = 2 950.
                     100        10
                      90
                   •     × 30 = 27 donc d9 est le 27e terme c’est-à-dire d9 = 3 640.
                     100

                   ᕢ Diagramme en boîte :
                                         Q1             Me            Q3
                       xmin         d1                                                 d9               xmax




                   2800 2900 3000                       3240          3400             3640             3900

Exercice 2         Il s’agit ici d’un caractère quantitatif continu ; on utilise donc le centre
                   des classes.
Salaire                   [1 ; 1,2[       [1,2 ; 1,4[   [1,4 ; 1,6[        [1,6 ; 2[    [2 ; 3[       Total
Centre                        1,1             1,3            1,5             1,8         2,5
Effectifs hommes              125             75             38              26          12            276
Effectifs femmes              25              60             82              34             8          209
                   • Salaire mensuel moyen masculin :
                         125 × 1,1 + 75 × 1, 3 + 38 × 1,5 + 26 × 1, 8 + 12 × 2,5 368, 8
                   xm =                                                         =       1, 336
                                                  276                             276
                   Le salaire mensuel moyen masculin est donc d’environ 1 336 euros (ne
                   pas oublier l’unité donnée dans l’énoncé : milliers d’euros, et l’arrondi
                   demandé : à 1 euro).



                                                                                                  Séquence 4      169



                                                                                                              Cned – Académie en ligne
• Salaire mensuel moyen féminin :
                                                   25 × 1,1 + 60 × 1, 3 + 82 × 1,5 + 34 × 1, 8 + 8 × 2,5 309, 7
                                            xf =                                                        =       1, 482
                                                                           209                            209

                                            Le salaire mensuel moyen féminin est donc d’environ 1 482 euros.
                                            • Déduction du salaire mensuel moyen dans l’entreprise :
                                                276 × 1, 336 + 209 × 1, 482 678, 474
                                             x=                            =         1, 399
                                                         276 + 209            485
                                            Le salaire mensuel moyen dans l’entreprise est d’environ 1 399 euros.

                     Exercice 3             • Promotion 2003 :
                                                       1 × 6 + 2 × 7 + 3 × 8 + ... + 3 × 14 + 2 × 15 + 1 × 16 363
                                            x2003 =                                                          =    = 11
                                                                                 33                            33

                     Notes x i                         6     7      8      9      10   11        12   13   14      15     16

                     Effectifs ni                      1     2      3      4      4     5        4    4     3       2     1

                     ni × x i2                         36    98    192 324 400 605 576 676 588 450 256


                                  1 11                 36 + 98 + 192 + 324 + 400 + 605 + 576 + 676 + 588 + 450 + 256
                      v 2003 =       ∑ n × xi2 − x 2 =
                                 33 i =1 i                                          33
                                                                                                                     −

                                                       4 201         208                         208
                                            v 2003 =         − 121 =     et donc s2003 = V2003 =                  2,5.
                                                        33            33                          33

                                            • Promotion 2004 :
                                                        1 × 7 + 2 × 8 + 4 × 9 + ... + 4 × 13 + 2 × 14 + 1 × 15 363
                                             x2004 =                                                          =    = 11
                                                                                  33                            33

                                                        (        )2 (          )2 (         )2        (
                                               7 − 11 + 2 8 − 11 + 4 9 − 11 + ... + 2 14 − 11 + 15 − 11         )2 (       )2
                            1 9
                                        (          )
                                            2
                  v 2004 =     ∑ ni × xi − x =
                           33 i =1                                        33

                                                       16 + 18 + 16 + 6 + 0 + 6 + 16 + 18 + 16 112
                                            v 2004 =                                          =    et donc
                                                                         33                     33
                                                                   112
                                            s2004 = V2004 =               1, 8.
                                                                    33
                                            • Comparaison des deux promotions : les deux promotions ont la même
                                              moyenne de français mais l’écart-type de la promotion 2004 (1,8) est
                                              inférieur à celui de la promotion 2003 (2,5) : les notes sont plus dis-
                                              persées autour de la moyenne pour la promotion 2003. La promotion
                                              2004 est plus homogène (en français) que la promotion 2003.




               170    Séquence 4



Cned – Académie en ligne
Exercice 4   Le diagramme nous donne les 1er et 3e quartile de la série xi  ; ni :       (          )
              Q1 = 34, 3 et Q3 = 40, 7 (ce sont les bornes de la boîte).
              La fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8 est une fonction affine
              et le coefficient de x est 1,5 qui est strictement positif.
                                                         (        )
              Les quartiles de la série statistique y i  ; ni sont donc :
               Q1 ' = f (Q1 ) = 1,5 × 34, 3 − 0, 8 = 50, 65 et Q3 ' = 1,5 × 40, 7 − 0, 8 = 60,25.


 Exercice 5                                                                 (    )
               xi est l’abscisse d’un point Ai dans le repère O ; OI sur la droite, et
                                                                ⎛ 1 ⎞
               y i est l’abscisse du même point dans le repère ⎜ I ;  OI⎟ . On a donc
                                                                ⎝ 2 ⎠
                       (        )
               y i = 2 xi − 1 = 2xi − 2.

                           A2           0                I                       A1

                           –1           0               1                        2,5
                           –4                           0        1                3

                                                                      ( )
              Soit f la fonction affine définie sur » par f x = 2x − 2. On a y i = f ( xi )
              pour tout i.
              Par conséquent, la série statistique                (yi  ; ni )   a pour moyenne

                    ()
               y = f x = 2 × 5, 7 − 2 = 9, 4 et pour écart-type s ' = 2s = 2 × 2, 3 = 4, 6 car
               a = 2 = 2.

 Exercice 6   On peut résumer les données dans le diagramme ci-dessous :
              T désigne l’événement : « l’élève a une télé dans sa chambre » ;
              card(T) = 6. O désigne l’événement : « l’élève a un ordinateur dans sa
              chambre » ; card(O) =12.
         Ω (20)                                       L’univers Ω est l’ ensemble des
                                                      20 élèves de la classe.
                          4                           On est en situation d’équiprobabi-
                                                                          6           12
                                                      lité donc p( T ) =    et p( O) = .
T (6)                 2                                                  20           20
              4             10
                                                      ᕡ La probabilité demandée est
                                                       p(T ∪ O). T ∪ O : « l ‘élève a une
                                                      télé ou un ordinateur dans sa
                                 O (12)               chambre »et l’événement contraire
                                                      est T ∪ O : « l’élève n’a ni télé ni
                   ∩
                   ∩
                :T O
                                                      ordinateur dans sa chambre ».

                            (
              Comme p T ∪ O =
                                 4
                                20
                                    )                        (
                                    , p(T ∪ O) = 1 − p T ∪ O =
                                                                16 4
                                                                20 5
                                                                     )
                                                                    = .
              La probabilité que l’élève ait une télé ou un ordinateur dans sa cham-
                              4
              bre est donc de .
                              5




                                                                                      Séquence 4         171



                                                                                                    Cned – Académie en ligne
ᕢ La probabilité demandée est p(T ∩ O).
                                                                          6 12 16 2           1
                                       p(T ∩ O) = p(T) + p(O) − p(T ∪ O) = + −        =    = .
                                                                         20 20 20 20 10
                                      La probabilité que l’élève ait à la fois télé et ordinateur dans sa cham-
                                                           1
                                      bre est donc de        .

                                                                                   (        )
                                                          10
                                      ᕣ La probabilité demandée est en fait p T ∩ O .
                                      Or       cet      événement    comporte      d’après      le   diagramme
                                                                     (
                                      ( 6 − 2 ) soit 4 issues donc p T ∩ O =   )
                                                                              4 1
                                                                             20 5
                                                                                 = .


                                                       (     )
                                      (Remarque : p T ∩ O = p( T ) − p( T ∩ O)).
                                                                                                                   1
                                      La probabilité que l’élève n’ait que la télé dans sa chambre est donc de       .
                                                                                                                   5
                     Exercice 7       Déterminons d’abord le nombre d’éléments de l’univers Ω c’est-à-dire
                                      le nombre de codes possibles.
                                      Pour cela, on peut utiliser l’arbre suivant :
                                   1er chiffre             2ème chiffre                3ème chiffre

                                       0                         0                          0
                                       1                         1                          1
                                       2                         2                          2
                                       .                         .                          .         (arbre incomplet)
                                       .                         .                          .
                                       .                         .                          .
                                                 ...                     ...
                                       9                         9                          9

                                      Pour chaque chiffre, on a 10 choix : 0 ; 1 ; 2 ; ... ou 9.
                                      Il y a donc 10 × 10 × 10 soit 1000 codes différents donc card Ω =1000.
                                      • A : Il n’y a qu’un seul bon code et on est en situation d’équiprobabilité
                                                       cardA      1
                                        donc p( A ) =         =       .
                                                       cardΩ 1000
                                      • B : Cette fois, le 2e chiffre est différent du premier et le troisième des
                                        deux premiers : on a 10 façons de choisir le 1er chiffre puis pour chacun
                                        de ces choix, on n’a que 9 façons de choisir le 2e et pour chacun des
                                        choix des deux premiers, on n’a plus que 8 façons de choisir le 3e chif-
                                        fre (on peut refaire un arbre avec ces modifications).
                                        Il y a donc 10 × 9 × 8 soit 720 codes avec trois chiffres distincts et
                                                   720 18
                                         p( B ) =      = .
                                                  1000 25
                                      • 1ère méthode :
                                      On peut considérer l’événement contraire C : « le code comporte soit
                                      trois chiffres distincts soit trois chiffres identiques ».
                                      On sait déjà qu’il y a 720 codes avec trois chiffres tous distincts.
                                      Les codes avec 3 chiffres identiques sont : 000 ; 111 ; 222 ; ... ; 999. Il
                                      y en a 10.



               172    Séquence 4



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Ces deux ensembles étant bien disjoints, on a
                                                             730   73
                  card C = 720 +10 = 730 puis p( C ) =           =    .
                                                            1000 100
                                                  73   27
                  Donc p( C ) = 1 − p( C ) = 1 −     =    .
                                                 100 100
                  • 2e méthode : ex de code :112.
                  Commençons par dénombrer les codes avec deux 1 et un 2 : il y en a 3
                  à savoir 112 ; 121 et 211(autant que de façons de placer le chiffre 2).
                  Il faut ensuite dénombrer les façons de choisir le chiffre qui apparaîtra
                  deux fois dans le code et celui qui n’apparaîtra qu’une fois. Il y a 10
                  façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois et pour chacune de
                  ces façons, il y a 9 (on ne peut pas reprendre le même) façons de choisir
                  celui qui apparaîtra une fois. Il y a donc 90 façons de choisir cette paire
Remarque :
                  de nombres.
La     première   Chaque façon de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et
méthode est       celui qui n’apparaîtra qu’une fois engendre 3 codes différents donc il y a
sans doute ici    en tout 90 × 3 soit 270 codes avec deux chiffres identiques exactement.
plus simple.      On retrouve bien p(C) = 0,27.

 Exercice 8       On peut décrire l’univers en utilisant l’arbre ci-dessous :
                        1er             2ème        3ème
                       enfant          enfant      enfant         Issue       xi

                                                       G          GGG         0
                                        G              F          GGF         1
                          G                            G          GFG         1
                                        F              F          GFF         2
                                                       G          FGG         1
                                        G              F          FGF         2
                          F                            G          FFG         2
                                        F              F          FFF         3
                  Il y a donc 2 × 2 × 2 soit 8 issues possibles dans l’univers Ω.
                  Ensemble des valeurs prises par X :
                                                                                   {
                  X désigne le nombre de filles parmi les 3 enfants donc X ( Ω ) = 0 ; 1 ; 2 ; 3}.
                  Probabilités des ( X = xi ) :
                  (X = 0) = « avoir 0 fille sur les 3 enfants »= {GGG} ;
                  (X =1) = {FGG ; GFG ; GGF} ; (X =2) = {FFG ; GFF ; FGF} et (X =3) = {FFF}
                  donc comme on est en situation d’équiprobabilité :
                                           1                          3
                   p( X = 0 ) = p( X = 3) = et p( X = 1) = p( X = 2) = .
                                           8                          8
                  La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau :

                          xi                0      1          2           3

                                            1      3        3         1
                   pi = p( X = x i )                          = p2      = p3
                                            8      8        8         8




                                                                                   Séquence 4        173



                                                                                               Cned – Académie en ligne
4 1
                                          Puis p( X ≥ 2) = p2 + p3 =     = et ( X < 2) étant l’événement contraire de
                                                                       8 2
                                                                                     1
                                          ( X ≥ 2) , on a p( X < 2) = 1 − p( X ≥ 2) = .
                                                                                     2
                      Exercice 9          ᕡ Il y a 6 jouets en tout. On note R , R , R les jouets rouges, J , J les
                                                                              1   2   3                    1 2
                                             jouets jaunes et B le jouet bleu.
                                             Les choix possibles de deux jouets sont (l’ordre entre les deux jouets
                                             n’est pas important) :
                                             { R1 ; R2 }, { R1 ; R3 }, { R1 ; J1 }, { R1 ; J2 }, { R1 ;B }, { R2 ; R3 }, { R2 ; J1 },
                                             { R2 ; J2 }, { R2 ;B }, { R3 ; J1 }, { R3 ; J2 }, { R3 ;B }, { J1 ; J2 }, { J1 ;B },{ J2 ; B }.
                                             Il y a donc en tout 15 choix possibles.
                                          ᕢ On est ici en situation d’équiprobabilité. L’univers Ω est l’ensemble
                                              des choix de deux jouets donc card Ω =15.
                                           a) On dénombre alors les choix de deux jouets avec 1 jouet rouge et un
                                              jouet jaune :
                                              1re méthode : « à la main ».
                                              On note 6 choix possibles (voir dans la liste ci-dessus) avec 1 jouet
                                              rouge et un jouet jaune donc card A = 6.
                                                               2e méthode : on utilise le principe multiplicatif.
                                     jouet           jouet     Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour cha-
                                    rouge            jaune
                                                               cune de ces façons, on a 2 façons de choisir un jouet
                                                       J1      jaune soit 3 × 2 = 6 façons de choisir un jouet rouge et
                                      R1               J2      un jouet jaune.
                                                       J1                             cardA 6 2
                                      R2               J2      On a ensuite p( A ) =        =    = .
                                                                                      cardΩ 15 5
                                                        J1
                                     R3
                                                        J2       b) 1re méthode (à la main) : on dénombre alors 9 choix
                                                                     possibles (les 6 précédents plus 3 choix avec 1
                                                                     rouge et 1 bleu).
                                            2e méthode : Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour chacune
                                            de ces façons, on a 3 façons de choisir un jouet jaune ou bleu soit
                                            3 × 3 = 9 façons de choisir exactement un jouet rouge.
                                                                               9 3
                                            Donc card B = 9 et p(B ) =            = .
                                                                              15 5
                                             ère
                                         c) 1 méthode : on fait une disjonction des cas :
                                            • SOIT Samuel choisit exactement un jouet rouge : on a trouvé 9 choix
                                              possibles.
                                            • SOIT Samuel choisit deux jouets rouges : il y a 3 choix possibles
                                              ({ R1 ; R2 }, { R1 ; R3 } et { R2 ; R3 }). Il y a donc (9 +3)=12 choix avec au
                                                                                         12 4
                                              moins un jouet rouge d’où p( C ) =              = .
                                                                                         15 5
                                                                   e
                     ̈ Attention lors du raisonnement            2 méthode : on dénombre l’événement contraire de
                     à ne pas compter plusieurs fois le          C. Ici, C : « Samuel ne choisit aucun jouet rouge ».
                     même choix.                                 Il y a 3 choix possibles avec aucun jouet rouge :
                                                                 { J1 ; J2 }, { J1 ; B} et { J2 ; B}.
                                                                                   3 1
                                                                 Donc p( C ) =        = et p(C ) = 1 − p(C ) = 1 − 1 = 4 .
                                                                                  15 5                             5 5


               174     Séquence 4



Cned – Académie en ligne
d) SOIT les deux jouets choisis sont rouges : on a trouvé 3 choix au c).
                     SOIT les deux jouets sont jaunes : il n’y a qu’un
                     choix : { J1 ; J2 }.
                     De plus les deux jouets ne peuvent pas être tous les deux bleus car il
                     n’y a qu’un jouet bleu.
                                                      4
                     D’où card D = 3+1 = 4 et p(D ) = .
                                                     15
Exercice 10       • On commence par dénombrer l’univers : on a 5 choix pour la première
                    boule puis pour chacun de ces choix, on a 4 choix pour la deuxième
                    boule (car on ne remet pas la première) ce qui peut se voir sur l’arbre
                    ci-dessous :

             1ère boule               2ère boule             Donc card Ω = 5 × 4 = 20 et on est
                                                               en situation d’équiprobabilité .
                 B1                           B2             • L’événement A : «les deux bou-
                 B2                           N1               les tirées ont la même couleur »
                 N1     ...                   N2               est la réunion des 2 événements
                 N2                           N3               incompatibles A1 : « tirer 2 blan-
                 N3                                            ches » et A2 : « tirer 2 noires »
                                                               donc p( A ) = p( A1 ) + p( A2 ) .

                   Or card A1 = 2 ( A1 = { (B1, B2 ) ; (B2 , B1 )}) et card A2 = 3 × 2 = 6 d’où
                             2 6    8 2
                   p( A ) =   +  =     = .
                            20 20 20 5
                                       • C = C1 ∪ C2 avec C1 : « les deux boules tirées
                                        portent le numéro 1 » et C2 : « les deux bou-
                                        les tirées portent le numéro 2 ». Comme C1 et
̈ (Onne peut pas tirer deux bou-         C2 sont incompatibles, p(C)= p(C1) + p(C2).
 les numéro 3 car il n’y en a            C1 = {(B1, N1 ) ; (N1, B1 )} e t C2 = {(B2 , N2 ) ; (N2 , B2 )}
 qu’une et que l’on fait un tirage                                 2      1                  2 1
 sans remise)                           d’où p( C1 ) = p( C2 ) =      =     puis p( C ) =       = .
                                                                  20 10                     10 5
Exercice 11       Ici , l’univers Ω est composé de 30 événements élémentaires équipro-
                  bables (représentés par les 30 cases).
                  ᕡ X ( Ω ) = {8 ; 5 ; 0 ;  −a } (ensemble des valeurs prises par X ).
                      ( X = 8 ) = « la fléchette atteint une case rouge ». Il y a deux cases rou-
                                                       2    1                           4   2
                      ges sur 30 donc p( X = 8 ) =       = . De même, p( X = 5) =         =    (il
                                                      30 15                            30 15
                                                          6    3 1
                      y a 4 cases vertes) ; p( X = 0 ) =    =    = (il y a 6 cases jaunes)
                                        18 9 3           30 15 5
                      Et p( X = −a ) =     =    = (il reste 18 cases blanches).
                                        30 15 5
                      La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau :
                                      xi            −a         0         5          8

                                                     9         3          2         1
                                pi = p( X = xi )
                                                    15        15         15        15




                                                                                        Séquence 4         175



                                                                                                   Cned – Académie en ligne
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                                                                                                          8
                                        ᕢ E(X ) =   ∑ pi xi = 15 × ( −a ) + 15 × 0 + 15 × 5 + 15 × 8 =     15
                                                                                                                 .
                                                    i =1

                                       D’où E ( X ) = 0 ⇔ 18 − 9a = 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable quand
                                       a = 2.
                                     ᕣ Quand a = 1, E ( X ) =
                                                              18 − 9 9 3
                                                                    =    = = 0, 6 et on a :
                                                               15     15 5
                                                         (le joueur peut espérer gagner en moyenne 0,6 €)
                       xi     –1   0    5     8
                                                                        4                                               2
                                                                                                                 ⎛ 3⎞
                      pi
                               9    3       2        1
                                                                                  (
                                                            V ( X ) = ∑ pi xi 2 − E ( X ) =)
                                                                                           2    9 2       1
                                                                                                 + × 25 + × 64 − ⎜ ⎟
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                              15   15      15       15                 i =1
                                                                       123 9 588 196
                       xi 2                                        =      − =   =
                                                                       15 25 75   25

                                                                                       196 14
                                                               et σ( X ) = V ( X ) =       =   = 2, 8 (€). ■
                                                                                        25   5




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  • 1. Séquence 4 Statistique et probabilités Sommaire 1. Statistique p.152 2. Probabilités p.158 3. Exercices d’application p.166 4. Corrigés des exercices p.169 Séquence 4 151 Cned – Académie en ligne
  • 2. 1 Statistique A Moyenne et écart-type On dispose de la série statistique suivante, le caractère étudié étant un caractère quantitatif discret : Valeurs x i x1 x2 x3 … xp Effectifs ni n1 n2 n3 … np p L’effectif total de cette série est : n = n1 + n2 + n3 + ... + np = ∑ ni . i =1 1. Moyenne a Définition Remarque La moyenne de cette série statistique est le nombre réel x défini par : La moyenne est le réel qui mini- p mise la 1 p fonction ∑ ni × xi n1 × x1 + n2 × x2 + ... + np × x p ( ∑n x − x . ) 2 x n i =1 i i x = i =1 = n n 2. Variance et écart-type a Définitions ̈ La variance de cette série statistique est le nombre réel V défini par p ( ) 1 2 V= ∑ ni xi − x . n i =1 C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. ̈ L’écart-type de cette série est le nombre réel s défini par s= V . L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. 152 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 3. a Propriété La variance est aussi égale à la moyenne des carrés moins le carré de la p 1 2 moyenne V = ∑ n x2 − x . n i =1 i i Exemple 1 On s’intéresse au temps total de transport des employés d’une usine pendant une semaine. Voici les résultats obtenus : Temps en heures 1 2 3 4 5 6 7 8 Effectifs 2 3 6 8 10 15 24 16 Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série, en arrondissant les résultats à 0,1. 2 × 1 + 3 × 2 + 6 × 3 + 8 × 4 + 10 × 5 + 15 × 6 + 24 × 7 + 16 × 8 494 247 ̈ x= = = 5, 9. 2 + 3 + 6 + 8 + 10 + 15 + 24 + 16 84 42 La durée hebdomadaire moyenne de transport est d’environ 5,9 heu- res soit 5 heures 54 minutes. ̈ Pour le calcul de l’écart-type, on commence par calculer la variance en utilisant éventuellement un tableau : Valeurs x i 1 2 3 4 5 6 7 8 Total Effectifs ni 2 3 6 8 10 15 24 16 84 ni x i 2 2 12 54 128 250 540 1 176 1 024 3 186 2 3 186 ⎛ 247 ⎞ 531 61 009 5 897 V= −⎜ ⎟ = 14 − 1 764 = 1 764 3, 3 et 84 ⎝ 42 ⎠ 5 897 s= V = 1, 8. 1 764 Remarque Dans le cas d’un Avec une calculatrice, on se met en mode statistique ; caractère quantita- on entre les valeurs dans la liste L1 et les effectifs dans tif continu, on prend la liste L2 , puis on fait afficher les résultats numéri- pour valeurs les cen- tres des classes. ques avec Calc 1-Var stats L1,L2 . On lit : x 5, 9 ; ∑ x = 494 ; ∑ x 2 = 3186 ; σx 1,8 et n = 84. Séquence 4 153 Cned – Académie en ligne
  • 4. B Médiane et écart interquartile On considère une série statistique dont les n termes a1,a2 , ... ,an sont rangés par ordre croissant, chaque valeur figurant autant de fois que son effectif. n est donc l’effectif total. 1. Médiane a Définition ̈ Si n est impair (c’est-à-dire n = 2p + 1, p ∈»), la médiane Me est le terme situé « au milieu » : a1 ap ap+2 a2p+1 p termes Me = ap+1 p termes Me = ap +1 . ̈ Si n est pair (c’est-à-dire n = 2p, p ∈»*), la médiane Me est le centre de l’intervalle ⎡ap  ; ap +1 ⎤ : ⎣ ⎦ a1 ap ap+1 a2p . p termes Me p termes . ap + ap +1 Me = 2 Remarque Au moins 50 % des termes de la série sont inférieurs ou égaux à la médiane et au moins 50 % des termes de la série sont supérieurs ou égaux à la médiane. 2. Quartiles, déciles a Définitions ̈ Le 1er quartile, noté Q1, est la plus petite valeur des termes de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales. 154 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 5. ̈ Le 3e quartile, noté Q3 , est la plus petite valeur des termes de la série Remarques telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales. ̈ L’intervalle interquartile est l’intervalle ⎡Q  ; Q ⎤ . ⎣ 1 3⎦ L’écart interquartile L’écart interquartile est le réel Q3 − Q1. ̈ Le 1 décile, noté d , est la plus petite valeur des er est une mesure de 1 dispersion associée termes de la série telle qu’au moins 10 % des don- à la médiane pour nées lui soient inférieures ou égales. ̈ Le 9e décile, noté d , est la plus petite valeur des résumer la série 9 statistique. Ce cou- termes de la série telle qu’au moins 90 % des don- ple (médiane ; écart nées lui soient inférieures ou égales. ̈ L’intervalle interdécile est l’intervalle ⎡d  ; d ⎤ . interquartile) n’est ⎣ 1 9⎦ pas sensible aux L’écart interdécile est le réel d9 − d1. valeurs extrêmes. L’intervalle inter- quartile contient la médiane et au moins 3. Diagramme en boîte ou boîte à 50 % des données. moustaches due au statisticien John W. Tuckey (1915-2000) C’est un outil graphique permettant d’étudier la répartition des valeurs d’une série. On y fait figurer les valeurs extrêmes x min et x max , la médiane Me, les 1er et 3e quartiles Q1 et Q3 , et les 1er et 9e déciles d1 et d9 : Q1 Me Q3 xmin d1 d9 xmax axe gradué Ces diagrammes peuvent être utilisés pour comparer le même caractère pour deux populations différentes. Exemple 2 La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant : Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5 Nombre de fois où cette 5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4 température a été relevée Construire le diagramme en boîte de cette série statistique, les extrémi- tés du diagramme correspondant aux premier et neuvième déciles. On vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il est inté- ressant, pour faire les différents calculs nécessaires à la réalisation du diagramme, de travailler avec les effectifs cumulés croissants. Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5 Nombre de fois où cette 5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4 température a été relevée Séquence 4 155 Cned – Académie en ligne
  • 6. Effectifs cumulés croissants 5 12 22 34 49 59 70 79 86 93 97 97 = 2 × 48 + 1 donc ̈ Calcul de la médiane : l’effectif total 97 est impair : la médiane est le 49e terme de la série c’est-à-dire 16,5. 25 97 1 100 × 97 = 4 = 24,25 donc Q1 est le 25 ̈ Calcul du 1er quartile Q : e terme de la série (25 est le plus petit entier supérieur ou égal à 24,25) c’est-à-dire 16. 75 3 ̈ Calcul du 3e quartile Q3 : × 97 = × 97 = 72, 75 donc Q3 est le 73e 100 4 terme c’est-à-dire 18. 10 97 ̈ Calcul du 1er décile d1 : × 97 = = 9, 7 donc d1 est le 10e terme 100 10 c’est-à-dire 15. 90 9 ̈ Calcul du 9e décile d9 : × 97 = × 97 = 87, 3 donc d9 est le 88e 100 10 terme c’est-à-dire 19. Q1 Me Q3 d1 d9 xmin (forêt) xmax 14,5 19,5 13 15 16 18 19 31 32 (champ) Remarque Le 2e diagramme en boîte corres- La boîte est un rectangle qui va du pond à une série de températu- premier au troisième quartile et on res relevées de la même manière y fait figurer la médiane. Pour les et aux mêmes instants dans un moustaches, on peut trouver diffé- champ à l’extérieur de la forêt. Il rents modèles (les extrémités des est réalisé avec le même axe que pattes peuvent par exemple corres- l’autre diagramme. Cela permet pondre aux maximum et minimum). de comparer la température dans la forêt et dans le champ : les tem- pératures sont beaucoup plus dis- persées dans le champ que dans la forêt ; dans la forêt, les températures sont plus fraîches (influence des arbres). C Influence d’une transformation affine… Soient ( xi  ; ni ) une série statistique, x sa moyenne, V sa variance, s son écart-type, Q1 son 1er quartile et Q3 son 3e quartile. ( ) Soit f une fonction affine définie sur » par f x = ax + b . En posant pour ( ) tout i, f xi = y i , on obtient une nouvelle série statistique y i  ; ni . Les ( ) valeurs ont été transformées mais les effectifs sont conservés. 156 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 7. 1. … sur l’intervalle interquartile ( ) Si a > 0, pour la nouvelle série statistique y i  ; ni , le 1er quartile est Q1 ' = aQ1 + b et le 3e quartile est Q3 ' = aQ3 + b. L’intervalle interquartile est donc ⎡aQ1 + b  ; aQ3 + b ⎤ et l’écart interquar- ⎣ ⎦ ( ) tile est Q3 '− Q1 ' = a Q3 − Q1 . La médiane est Me ' = aMe + b. 2. … sur l’écart-type ( ) Pour la nouvelle série statistique y i  ; ni : – la moyenne est y = ax + b – la variance est multipliée par a2 : V ' = a2 × V – l’écart-type est multiplié par a : s ' = a × s . Exemple 3 ( ) Une série statistique xi  ; ni a pour quartiles Q1 = 6 et Q3 = 10, pour moyenne x = 7,5 et pour écart-type s = 2, 8. On considère la fonction f définie sur » par f ( x ) = 0,5x + 3. En posant pour tout i, y i = f ( xi ), on obtient une nouvelle série statistique. Calculer les paramètres de cette ( ) série y i  ; ni . La fonction f est bien une fonction affine (à vérifier car les résultats énoncés ne sont pas valables pour les autres fonctions) et le coefficient de x est 0,5 qui est strictement positif. ( ) La série y i  ; ni a donc pour quartiles : Q1 ' = f (Q1 ) = 0,5Q1 + 3 = 0,5 × 6 + 3 = 6 et Q3 ' = f (Q3 ) = 0,5 × 10 + 3 = 8. ( ) La série y i  ; ni a pour moyenne y = f ( x ) = 0,5x + 3 = 0,5 × 7,5 + 3 = 6, 75 et pour écart-type s ' = 0,5s = 0,5 × 2, 8 = 1, 4. V Voir exercices 1 à 5. Séquence 4 157 Cned – Académie en ligne
  • 8. 2 Probabilités A Vocabulaire ᕡ Une expérience aléatoire est une épreuve dont l’issue ne peut être connue à l’avance. Lors d’une expérience aléatoire, on appelle : ᕢ Univers : l’ensemble Ω de toutes les éventualités (issues, résultats possibles) de l’expérience aléatoire réalisée. ᕣ Evénement : une partie de Ω . ᕤ Evénement élémentaire : un événement formé d’une seule éventualité. ᕥ Ω est appelé l’événement certain (qui se produit à coup sûr). Ω ᕦ ∅ est l’événement impossible (qui ne peut pas se A∪B produire). ᕧ La réunion des événements A et B est l’événement : A ∪ B et il est formé de toutes les éventualités qui appartiennent à A ou à B (et peuvent donc appar- tenir à A et à B). ᕨ L’intersection des événements A et B est l’événe- A∩B B ment A ∩ B et il est formé de toutes les éventuali- A Ω tés qui appartiennent à la fois à A et à B. ᕩ L’événement contraire de A est noté A et il est formé de toutes les éventualités de Ω qui ne sont pas dans A. On a : A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅. A A µ A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ . Remarque Le nombre d’éventualités d’un événement A est appelé cardinal de A et se note card A. Exemple 4 On lance un dé non pipé à six faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure. ᕡ Décrire l’univers lié à cette expérience puis donner les éventualités qui composent les événements suivants : A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir 4 » ; C : « obtenir un nom- bre supérieur ou égal à 3 ». ᕢ Décrire par une phrase les événements suivants et déterminer les éventualités qui les composent : A ∪ C , A ∩ C , A , C . Que peut-on dire des événements B et A ? 158 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 9. ᕡ On a Ω = {1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. A = {2 ; 4 ; 6 } ; card A = 3. B = {4 }.C’est un événement élémentaire. De même, C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} . ᕢ A ∪ C : « obtenir un nombre pair ou supérieur ou égal à 3 » ; A∪C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et A ∩ C : « obtenir un nombre pair et supérieur ou égal à 3 » ; A ∩ C = {4 ; 6}. De plus A : « obtenir un nombre impair » ; A = {1 ; 3 ; 5} et C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 » ; C = {1 ; 2}. Les événements B et A sont incompatibles car A ∩ B = ∅. B Loi de probabilité 1. Loi des grands nombres Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement A tend vers une valeur « idéale » qui est la probabilité de l’événement A : c’est la « loi des grands nombres ». Exemple Si on lance un grand nombre de fois un dé non truqué à 6 faces, on 1 remarque que la fréquence moyenne d’apparition du 2 tend vers qui 6 est la probabilité de l’événement « obtenir 2 ». 2. Définition Définir une probabilité sur un univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en } lié à une expé- rience aléatoire, c’est associer à toute éventualité ei de Ω un nombre pi appelé probabilité de l’événement élémentaire { ei } tel que : n pour tout i ∈{1,…,n }, 0 ≤ p ≤ 1 et p1 + p2 + ... + pn = ∑ pi = 1 . i i=1 Exemple 5 Un dé est truqué. On le lance un grand nombre de fois. On s’aperçoit que : – le 6 tombe environ 3 fois plus que le 1 – le 4 et le 5 tombent chacun deux fois plus que le 1 – le 2 et le 3 tombent chacun autant de fois que le 1. Proposer un modèle de loi de probabilité pour cette expérience. On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4  ; 5 ; 6}. On note pi = p({i }). D’après l’énoncé, on a : p6 = 3p1 ; p4 = p5 = 2p1 et p2 = p3 = p1 . 6 1 De plus, ∑ pi = 1 donne : 10p1 = 1 soit p1 = 10 . i =1 La loi de probabilité peut donc être résumée par le tableau suivant : Séquence 4 159 Cned – Académie en ligne
  • 10. i 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 2 1 3 pi = = 10 10 10 10 5 10 5 10 Remarques 3. Probabilité d’un événement p( ∅ ) = 0 ; p( Ω ) = 1 ; a Définition pour tout événement La probabilité d’un événement est la somme des A, 0 ≤ p( A ) ≤ 1 . probabilités des événements élémentaires qu’il contient. Exemple 6 On reprend l’exemple 5. Calculer la probabilité de l’événement A : « obte- nir un nombre pair ». On a A = {2 ; 4 ; 6} donc : 1 2 3 6 3 p( A ) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = + + = = . 10 10 10 10 5 a Propriétés ᕡ Si A et B sont 2 événements quelconques, on a : p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ) − p( A ∩ B ). Cas particulier : Si A et B sont deux événements incompatibles, p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ). ᕢ Si A est un événement, on a : p( A )=1 − p(A ). Exemple 7 On reprend l’exemple 5. Déterminer la probabilité de B : « obtenir un nombre au moins égal à 2 » . Comme B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, on peut utiliser 9 p(B ) = p2 + ... + p6 = ou bien considérer l’événement contraire : 10 1 9 B :"obtenir 1" = {1} ; p(B ) = p1 = donc p(B ) = 1 − p(B ) = . 10 10 4. Equiprobabilité On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité. On parle de loi équirépartie. Exemples Lancer d’un dé non truqué , d’une pièce équilibrée ; un tirage au hasard. a Propriété Soit une expérience aléatoire avec Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en }. 160 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 11. S’il y a équiprobabilité alors : p ei ({ }) = n pour tout i de {1 ; 2 ;  ... ; n}et 1 nombre de cas favorables à A card A p( A ) = = . nombre de cas possibles card Ω Exemple 8 On lance un dé non pipé à 6 faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure. Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir un multiple de 3 ». On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. De plus, A = {3 ; 6} ; card A = 2. On est en situation d’équiprobabilité (dé non pipé) donc nombre de cas favorables à A 2 1 p( A ) = = = . nombre de cas possibles 6 3 5. Espérance et variance d’une loi de probabilité Ces paramètres ne se calculent que lorsque les issues ei d’une expé- rience aléatoire sont des réels. … ̈ L’espérance mathématique μ de la loi de probabilité est ei e1 e2 en n définie par : μ = ∑ pi ei . pi p1 p2 … pn i =1 ̈ La variance V de la loi de probabilité est définie par : n n V = ∑ pi (ei − μ )2 = ∑ pi ei 2 − μ2 . i =1 i =1 ̈ L’écart-type σ de la loi de probabilité est défini par : σ = V . (analogues à la moyenne, la variance et l’écart –type en statistique) C Exemples-type ̈ Si on est en situation d’équiprobabilité : pour calculer la probabilité d’un événement A, on utilise la formule vue au B)4, en dénombrant les nombres de cas possibles (card Ω ) et de cas favorables à A (card A). ̈ Sinon, on utilise la définition et les propriétés sur la probabilité d’un événement (vues au B)3.). ̈ Pour dénombrer, on peut procéder « à la main » ou bien utiliser des représentations : un arbre, un tableau double entrée (pour le lancer de deux dés par exemple), un diagramme… ̈ On peut faire appel à l’événement contraire quand cela s’avère plus économique, notamment quand l’événement est décrit avec les locu- tions « au moins » ou « au plus » . Il faut savoir dans ce cas prendre la négation d’une phrase. Séquence 4 161 Cned – Académie en ligne
  • 12. Exemple 9 On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « obtenir le roi de trèfle » ; B : « obtenir un roi » ; C : « obtenir un trè- fle » ; D : « obtenir un cœur ou un carreau » ; E : « obtenir un roi ou un trèfle ». Il y a 32 éventualités possibles (card Ω = 32 ) et on est en situation d’équi- probabilité (tirage au hasard d’une carte). ̈ Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu donc nombre de cas favorables à A 1 p( A ) = = (card A = 1). nombre de cas possibles 32 4 1 ̈ Il y a de même 4 rois, 8 trèfles dans le jeu donc : p(B ) = = 8 1 32 8 (card B=4); p( C ) = = (card C=8). 32 4 D = D1 ∪ D2 où D1 : « obtenir un cœur » et D2 : « obtenir un carreau ». Attention Comme D1 et D2 sont incompatibles, 8 8 16 1 p(D ) = p(D1 ) + p(D2 ) = + = = . En faisant p(B) + p(C), 32 32 32 2 on compte deux fois le ̈ On a E = B ∪ C donc p(E ) = p(B ) + p( C ) − p(B ∩ C ) roi de trèfle ! Ne pas 4 8 1 11 oublier de retirer une avec B ∩ C = A donc p(E ) = + − = . 32 32 32 32 fois l’intersection. Exemple 10 On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On obtient ainsi une suite de 3 résultats. ᕡ Écrire toutes les éventualités correspondant à cette expérience aléa- toire. ᕢ Calculer P(A) où A : « les 3 résultats sont identiques ». ᕣ Calculer P(B) où B : « la suite des 3 résultats commence par Pile ». ᕤ Calculer P(C) où C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ». ᕡ Pour écrire toutes les éventualités, on peut faire un arbre (ou les dénombrer « à la main ») : 1er lancer 2e lancer 3e lancer Eventualité P PPP P F PPF P P PFP F F PFF P FPP P F F FPF P FFP F F FFF 162 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 13. Il y a donc : 2 × 2 × 2 = 8 éventualités possibles. On est de plus en situa- tion d’équiprobabilité (pièce équilibrée). 2 1 ᕢ A ={PPP ; FFF} donc card A = 2 et p( A ) = = . 8 4 ᕣ Les éventualités de l’événement B sont marquées en gras dans l’ar- bre : il y en a 4. 1 Donc p(B ) = . (remarque : cohérent car il y a autant de résultats com- 2 mençant par F que de résultats commençant par P). ᕤ C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ».On peut consi- dérer l’événement contraire C : « la suite de résultats ne comporte 1 7 aucun Pile ». C ={FFF} d’où p( C ) = et p( C ) = 1 − p( C ) = . 8 8 D Variable aléatoire 1. Définitions On réalise une expérience aléatoire avec pour univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en } et on y définit une probabilité p. ̈ Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans » . On la note sou- vent X . X : Ω → » . ei xi ̈ Soient X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et { } X ( Ω ) = x1  ;  x2  ; ... ;  xm l’ensemble des valeurs prises par X. On note p 'i la probabilité de l’événement « X prend la valeur xi », évé- nement noté ( X = xi ). La loi de probabilité de X est alors définie par la liste des probabilités p 'i et est représentée par le tableau : xi x1 x2 … xm p 'i = p ( X = x i ) p '1 p '2 … p 'm m Ceci implique ∑p' i = 1. i =1 2. Paramètres d’une variable aléatoire ̈ L’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est définie m par : E ( X ) = ∑ p 'i xi . i =1 Séquence 4 163 Cned – Académie en ligne
  • 14. ̈ La variance V de la variable aléatoire X est définie par : m m V ( X ) = ∑ p 'i ( xi − E ( X ))2 = ∑ p 'i xi 2 − (E ( X ))2 . i =1 i =1 ̈ L’écart-type σ de la variable aléatoire X est défini par : σ( X ) = V ( X ) . Exemple 11 On lance deux dés non pipés(l’un rouge, l’autre bleu) et on s’intéresse à la somme des faces supérieures. On gagne 7 € si la somme est supé- rieure ou égale à 10 ; on perd 2 € si la somme est inférieure ou égale à 4 et 1€ dans les autres cas. X désigne la variable aléatoire prenant comme valeur le gain algébrique (positif si on gagne, négatif si on perd) lors d’un lancer. ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X. ᕢ Calculer E(X), V(X) et σ( X ) . rouge ᕡ • L’univers lié à l’expérience bleu 1 2 3 4 5 6 réalisée peut être résumé par le (1 ; 1) (2 ; 1) (3 ; 1) (4 ; 1) (5 ; 1) (6 ; 1) tableau à double entrée ci-contre. 1 S=2 S=3 S=4 S=5 S=6 S=7 L’univers Ω est composé de 36 (1 ; 2) (2 ; 2) (3 ; 2) (4 ; 2) (5 ; 2) (6 ; 2) éventualités qui sont les 36 cou- 2 S=3 S=4 S=5 S=6 S=7 S=8 ples (i ; j) où i et j sont dans {1 ; 2 ; (1 ; 3) (2 ; 3) (3 ; 3) (4 ; 3) (5 ; 3) (6 ; 3) 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Avec l’univers choisi, 3 S=4 S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 on est en situation d’équiprobabi- (1 ; 4) (2 ; 4) (3 ; 4) (4 ; 4) (5 ; 4) (6 ; 4) lité (chaque événement élémen- 4 1 S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 S = 10 taire a une probabilité de ). (1 ; 5) (2 ; 5) (3 ; 5) (4 ; 5) (5 ; 5) (6 ; 5) 36 5 S=6 S=7 S=8 S=9 S = 10 S = 11 • L’ensemble des valeurs prises 6 (1 ; 6) (2 ; 6) (3 ; 6) (4 ; 6) (5 ; 6) (6 ; 6) { par X est : X ( Ω ) = −2 ;  −1 ; 7 .} S=7 S=8 S=9 S = 10 • ( X = 7 ) = « obtenir une somme S = 11 S = 12 supérieure ou égale à 10 ». Cet Remarque événement comporte d’après Si on choisit comme univers l’ensemble le tableau 6 éventualités (mar- des 11 sommes possibles, on ne peut quées en bleu) et on peut uti- pas utiliser la loi équirépartie. liser la loi équirépartie donc 6 1 p( X = 7 ) = = . 36 6 De même, l’événement ( X = −2) = « obtenir une somme inférieure ou égale à 4 » comporte 6 éventualités (marquées en gras) donc : 1 24 2 p( X = −2) = . Enfin, p( X = −1) = = . Remarque 6 36 3 La loi de probabilité de X est donc représentée par : On vérifie que 3 xi –1 –2 7 ∑p' i = 1. 2 1 1 i =1 p 'i = p( X = x i ) 3 6 6 3 2 1 1 1 ᕢ E(X ) = ∑ p 'i xi = 3 × ( −1) + 6 × ( −2) + 6 × 7 = 6 . i =1 164 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 15. Remarque Pour calculer la variance, on peut Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espé- éventuellement ajou- rer gagner en moyenne un sixième d’euro. ter une ligne don- nant les x i 2 dans le 3 tableau. V ( X ) = ∑ p 'i xi 2 − (E ( X ))2 Comme en statis- i =1 tique, l’écart-type 2 2 1 1 ⎛ 1⎞ 57 1 mesure la disper- = × ( −1)2 + × ( −2)2 + × 72 − ⎜ ⎟ = − sion des valeurs de 3 6 6 ⎝ 6⎠ 6 36 X autour de l’espé- 341 = rance. 36 341 341 et σ( X ) = V ( X ) = = 3, 08. 36 6 V Voir exercices 6 à 11. Séquence 4 165 Cned – Académie en ligne
  • 16. 3 Exercices d’application Exercice 1 La liste ci-dessous donne les poids de naissance de nouveaux nés (arron- dis à 10 g près) dans une maternité : 3 240 ; 3 350 ; 3 640 ; 3 120 ; 3 640 ; 2 960 ; 2 880 ; 3 400 ; 3 030 ; 2 980 ; 3 850 ; 3 670 ; 2 990 ; 3 020 ; 3 380 ; 3 420 ; 3 320 ; 3 240 ; 3 650 ; 3 010 ; 3 170 ; 2 830 ; 3 400 ; 3 260 ; 3 080 ; 2 950 ; 3 070 ; 3 120 ; 3 350 ; 3 470. ᕡ Déterminer la médiane, les quartiles Q et Q , et les déciles d et d 1 3 1 9 de cette série statistique. ᕢ Réaliser un diagramme en boîte de cette série statistique, en prenant les déciles pour extrémités. Exercice 2 On a demandé leur salaire mensuel aux employés d’une entreprise. Les résultats de l’enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous, les salaires étant indiqués en milliers d’euros. Salaire ⎡1 ; 1,2⎡ ⎣ ⎣ ⎡1,2 ; 1, 4 ⎡ ⎡1, 4  ; 1, 6 ⎡ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎡1, 6 ; 2⎡ ⎣ ⎣ ⎡2 ; 3⎡ ⎣ ⎣ Total Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276 Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209 Déterminer le salaire mensuel moyen masculin, le salaire mensuel moyen féminin et en déduire le salaire mensuel moyen dans l’entreprise. Arron- dir ces moyennes à 1 euro près. Exercice 3 Le directeur d’une grande école de journalisme cherche à comparer deux promotions d’élèves lors de leur entrée dans l’école. Il a relevé dans les dossiers les notes de français des 33 élèves de chaque promotion pour dresser les tableaux d’effectifs reproduits ci-dessous. Promotion 2 003 Notes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Effectifs 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1 Promotion 2 004 Notes 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Effectifs 1 2 4 6 7 6 4 2 1 Pour chaque promotion, calculer la moyenne et l’écart-type arrondi au dixième de la série de notes de français. Comparer les deux promotions. 166 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 17. Exercice 4 ( Le diagramme ci-dessous représente une série statistique xi  ; ni : ) 35 40 On considère la fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8. On pose y i = f ( xi ) pour tout i. ( ) Déterminer les quartiles de la série statistique y i  ; ni . Exercice 5 En relevant les abscisses de différents points placés sur une droite gra- duée d’origine O et d’unité de longueur OI, on a obtenu une série statis- ( ) tique xi  ; ni de moyenne x = 5, 7 et d’écart-type s = 2, 3. On ne déplace pas les points placés sur cette droite mais on change de 1 repère : l’origine est maintenant le point I et l’unité de longueur est OI. ( ) On obtient une série statistique y i  ; ni en relevant les abscisses des 2 points avec ce nouveau repère. Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette nouvelle série statistique. Exercice 6 Dans une classe de 20 élèves, 6 élèves déclarent avoir une télé dans leur chambre, 12 avoir un ordinateur et 4 élèves n’avoir ni télé ni ordinateur dans leur chambre. On interroge un élève de cette classe au hasard. ᕡ Quelle est la probabilité qu’il ait une télé ou un ordinateur dans sa chambre ? ᕢ Quelle est la probabilité qu’il ait à la fois télé et ordinateur dans sa chambre ? ᕣ Quelle est la probabilité qu’il n’ait que la télé dans sa chambre ? Exercice 7 La fermeture de sécurité d’un cartable est assurée par la composition d’un code de trois chiffres obtenu en faisant tourner trois mollettes por- tant les chiffres de 0 à 9. Une personne compose au hasard un code. Déterminer p(A), p(B) et p(C) où A, B, C désignent les événements : A : « le code est le bon », B : « le code est formé de trois chiffres distincts », C : « le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement ». Exercice 8 On interroge au hasard une mère de trois enfants et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de filles parmi ses trois enfants ; on suppose que lors d’une naissance, l’arrivée d’une fille et l’arrivée d’un garçon sont équiprobables. Choisir un univers adapté à cette expérience. Déterminer la loi de proba- bilité de X puis p( X ≥ 2) et p( X < 2). Exercice 9 Dans une école maternelle, l’enseignante demande à chaque enfant de choisir chaque matin 2 jouets parmi 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleu. Tous Séquence 4 167 Cned – Académie en ligne
  • 18. ces jouets se trouvent mélangés dans une caisse. L’enseignante s’intéresse plus particulièrement à Samuel qui choisit chaque matin les 2 jouets au hasard. On suppose que tous les choix de 2 jouets sont équiprobables. ᕡ Combien y a-t-il de choix possibles de 2 jouets ? ᕢ Déterminer la probabilité des événements A, B, C et D suivants : A : « Samuel choisit un jouet rouge et un jouet jaune » B : « Samuel choisit exactement un jouet rouge » C : « Samuel choisit au moins un jouet rouge » D : « Samuel choisit 2 jouets de la même couleur ». Exercice 10 Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher (deux blanches numérotées 1 et 2 et trois noires numérotées 1, 2 et 3). On tire une première boule, on note sa couleur et son numéro puis on tire une deuxième boule sans remettre la première dans l’urne. Calculer les probabilités des événements : A : « les deux boules tirées ont la même couleur » et C : « les deux boules tirées ont le même numéro ». Exercice 11 Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes. Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 €. Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 €. Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a € où a est un réel strictement positif. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X . ᕢ Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espé- rance E ( X ) soit nulle. ᕣ Dans le cas où a = 1, calculer V ( X ) et σ( X ). 168 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 19. 4 Corrigés des exercices Exercice 1 ᕡ Ordonnons dans l’ordre croissant les termes de la série statistique : 2 830 ; 2 880 ; 2 950 ; 2 960 ; 2 980 ; 2 990 ; 3 010 ; 3 020 ; 3 030 ; 3 070 ; 3 080 ; 3 120 ; 3 120 ; 3 170 ; 3 240 ; 3 240 ; 3 260 ; 3 320 ; 3 350 ; 3 350 ; 3 380 ; 3 400 ; 3 400 ; 3 420 ; 3 470 ; 3 640 ; 3 640 ; 3 650 ; 3 670 ; 3 850. • L’effectif total, 30, est pair : 30 = 2 × 15 ; donc 15e terme + 16e terme 3 240 + 3 240 Me = = = 3 240. 0 2 2 25 30 • × 30 = = 7,5 donc Q1 est le 8e terme c’est-à-dire Q1 = 3 020. 100 4 75 3 • × 30 = × 30 = 22,5 donc Q3 est le 23e terme c’est-à-dire 100 4 Q3 = 3 400. 10 30 • × 30 = = 3 donc d1 est le 3e terme c’est-à-dire d1 = 2 950. 100 10 90 • × 30 = 27 donc d9 est le 27e terme c’est-à-dire d9 = 3 640. 100 ᕢ Diagramme en boîte : Q1 Me Q3 xmin d1 d9 xmax 2800 2900 3000 3240 3400 3640 3900 Exercice 2 Il s’agit ici d’un caractère quantitatif continu ; on utilise donc le centre des classes. Salaire [1 ; 1,2[ [1,2 ; 1,4[ [1,4 ; 1,6[ [1,6 ; 2[ [2 ; 3[ Total Centre 1,1 1,3 1,5 1,8 2,5 Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276 Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209 • Salaire mensuel moyen masculin : 125 × 1,1 + 75 × 1, 3 + 38 × 1,5 + 26 × 1, 8 + 12 × 2,5 368, 8 xm = = 1, 336 276 276 Le salaire mensuel moyen masculin est donc d’environ 1 336 euros (ne pas oublier l’unité donnée dans l’énoncé : milliers d’euros, et l’arrondi demandé : à 1 euro). Séquence 4 169 Cned – Académie en ligne
  • 20. • Salaire mensuel moyen féminin : 25 × 1,1 + 60 × 1, 3 + 82 × 1,5 + 34 × 1, 8 + 8 × 2,5 309, 7 xf = = 1, 482 209 209 Le salaire mensuel moyen féminin est donc d’environ 1 482 euros. • Déduction du salaire mensuel moyen dans l’entreprise : 276 × 1, 336 + 209 × 1, 482 678, 474 x= = 1, 399 276 + 209 485 Le salaire mensuel moyen dans l’entreprise est d’environ 1 399 euros. Exercice 3 • Promotion 2003 : 1 × 6 + 2 × 7 + 3 × 8 + ... + 3 × 14 + 2 × 15 + 1 × 16 363 x2003 = = = 11 33 33 Notes x i 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Effectifs ni 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1 ni × x i2 36 98 192 324 400 605 576 676 588 450 256 1 11 36 + 98 + 192 + 324 + 400 + 605 + 576 + 676 + 588 + 450 + 256 v 2003 = ∑ n × xi2 − x 2 = 33 i =1 i 33 − 4 201 208 208 v 2003 = − 121 = et donc s2003 = V2003 = 2,5. 33 33 33 • Promotion 2004 : 1 × 7 + 2 × 8 + 4 × 9 + ... + 4 × 13 + 2 × 14 + 1 × 15 363 x2004 = = = 11 33 33 ( )2 ( )2 ( )2 ( 7 − 11 + 2 8 − 11 + 4 9 − 11 + ... + 2 14 − 11 + 15 − 11 )2 ( )2 1 9 ( ) 2 v 2004 = ∑ ni × xi − x = 33 i =1 33 16 + 18 + 16 + 6 + 0 + 6 + 16 + 18 + 16 112 v 2004 = = et donc 33 33 112 s2004 = V2004 = 1, 8. 33 • Comparaison des deux promotions : les deux promotions ont la même moyenne de français mais l’écart-type de la promotion 2004 (1,8) est inférieur à celui de la promotion 2003 (2,5) : les notes sont plus dis- persées autour de la moyenne pour la promotion 2003. La promotion 2004 est plus homogène (en français) que la promotion 2003. 170 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 21. Exercice 4 Le diagramme nous donne les 1er et 3e quartile de la série xi  ; ni : ( ) Q1 = 34, 3 et Q3 = 40, 7 (ce sont les bornes de la boîte). La fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8 est une fonction affine et le coefficient de x est 1,5 qui est strictement positif. ( ) Les quartiles de la série statistique y i  ; ni sont donc : Q1 ' = f (Q1 ) = 1,5 × 34, 3 − 0, 8 = 50, 65 et Q3 ' = 1,5 × 40, 7 − 0, 8 = 60,25. Exercice 5 ( ) xi est l’abscisse d’un point Ai dans le repère O ; OI sur la droite, et ⎛ 1 ⎞ y i est l’abscisse du même point dans le repère ⎜ I ;  OI⎟ . On a donc ⎝ 2 ⎠ ( ) y i = 2 xi − 1 = 2xi − 2. A2 0 I A1 –1 0 1 2,5 –4 0 1 3 ( ) Soit f la fonction affine définie sur » par f x = 2x − 2. On a y i = f ( xi ) pour tout i. Par conséquent, la série statistique (yi  ; ni ) a pour moyenne () y = f x = 2 × 5, 7 − 2 = 9, 4 et pour écart-type s ' = 2s = 2 × 2, 3 = 4, 6 car a = 2 = 2. Exercice 6 On peut résumer les données dans le diagramme ci-dessous : T désigne l’événement : « l’élève a une télé dans sa chambre » ; card(T) = 6. O désigne l’événement : « l’élève a un ordinateur dans sa chambre » ; card(O) =12. Ω (20) L’univers Ω est l’ ensemble des 20 élèves de la classe. 4 On est en situation d’équiprobabi- 6 12 lité donc p( T ) = et p( O) = . T (6) 2 20 20 4 10 ᕡ La probabilité demandée est p(T ∪ O). T ∪ O : « l ‘élève a une télé ou un ordinateur dans sa O (12) chambre »et l’événement contraire est T ∪ O : « l’élève n’a ni télé ni ∩ ∩ :T O ordinateur dans sa chambre ». ( Comme p T ∪ O = 4 20 ) ( , p(T ∪ O) = 1 − p T ∪ O = 16 4 20 5 ) = . La probabilité que l’élève ait une télé ou un ordinateur dans sa cham- 4 bre est donc de . 5 Séquence 4 171 Cned – Académie en ligne
  • 22. ᕢ La probabilité demandée est p(T ∩ O). 6 12 16 2 1 p(T ∩ O) = p(T) + p(O) − p(T ∪ O) = + − = = . 20 20 20 20 10 La probabilité que l’élève ait à la fois télé et ordinateur dans sa cham- 1 bre est donc de . ( ) 10 ᕣ La probabilité demandée est en fait p T ∩ O . Or cet événement comporte d’après le diagramme ( ( 6 − 2 ) soit 4 issues donc p T ∩ O = ) 4 1 20 5 = . ( ) (Remarque : p T ∩ O = p( T ) − p( T ∩ O)). 1 La probabilité que l’élève n’ait que la télé dans sa chambre est donc de . 5 Exercice 7 Déterminons d’abord le nombre d’éléments de l’univers Ω c’est-à-dire le nombre de codes possibles. Pour cela, on peut utiliser l’arbre suivant : 1er chiffre 2ème chiffre 3ème chiffre 0 0 0 1 1 1 2 2 2 . . . (arbre incomplet) . . . . . . ... ... 9 9 9 Pour chaque chiffre, on a 10 choix : 0 ; 1 ; 2 ; ... ou 9. Il y a donc 10 × 10 × 10 soit 1000 codes différents donc card Ω =1000. • A : Il n’y a qu’un seul bon code et on est en situation d’équiprobabilité cardA 1 donc p( A ) = = . cardΩ 1000 • B : Cette fois, le 2e chiffre est différent du premier et le troisième des deux premiers : on a 10 façons de choisir le 1er chiffre puis pour chacun de ces choix, on n’a que 9 façons de choisir le 2e et pour chacun des choix des deux premiers, on n’a plus que 8 façons de choisir le 3e chif- fre (on peut refaire un arbre avec ces modifications). Il y a donc 10 × 9 × 8 soit 720 codes avec trois chiffres distincts et 720 18 p( B ) = = . 1000 25 • 1ère méthode : On peut considérer l’événement contraire C : « le code comporte soit trois chiffres distincts soit trois chiffres identiques ». On sait déjà qu’il y a 720 codes avec trois chiffres tous distincts. Les codes avec 3 chiffres identiques sont : 000 ; 111 ; 222 ; ... ; 999. Il y en a 10. 172 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 23. Ces deux ensembles étant bien disjoints, on a 730 73 card C = 720 +10 = 730 puis p( C ) = = . 1000 100 73 27 Donc p( C ) = 1 − p( C ) = 1 − = . 100 100 • 2e méthode : ex de code :112. Commençons par dénombrer les codes avec deux 1 et un 2 : il y en a 3 à savoir 112 ; 121 et 211(autant que de façons de placer le chiffre 2). Il faut ensuite dénombrer les façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et celui qui n’apparaîtra qu’une fois. Il y a 10 façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois et pour chacune de ces façons, il y a 9 (on ne peut pas reprendre le même) façons de choisir celui qui apparaîtra une fois. Il y a donc 90 façons de choisir cette paire Remarque : de nombres. La première Chaque façon de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et méthode est celui qui n’apparaîtra qu’une fois engendre 3 codes différents donc il y a sans doute ici en tout 90 × 3 soit 270 codes avec deux chiffres identiques exactement. plus simple. On retrouve bien p(C) = 0,27. Exercice 8 On peut décrire l’univers en utilisant l’arbre ci-dessous : 1er 2ème 3ème enfant enfant enfant Issue xi G GGG 0 G F GGF 1 G G GFG 1 F F GFF 2 G FGG 1 G F FGF 2 F G FFG 2 F F FFF 3 Il y a donc 2 × 2 × 2 soit 8 issues possibles dans l’univers Ω. Ensemble des valeurs prises par X : { X désigne le nombre de filles parmi les 3 enfants donc X ( Ω ) = 0 ; 1 ; 2 ; 3}. Probabilités des ( X = xi ) : (X = 0) = « avoir 0 fille sur les 3 enfants »= {GGG} ; (X =1) = {FGG ; GFG ; GGF} ; (X =2) = {FFG ; GFF ; FGF} et (X =3) = {FFF} donc comme on est en situation d’équiprobabilité : 1 3 p( X = 0 ) = p( X = 3) = et p( X = 1) = p( X = 2) = . 8 8 La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau : xi 0 1 2 3 1 3 3 1 pi = p( X = x i ) = p2 = p3 8 8 8 8 Séquence 4 173 Cned – Académie en ligne
  • 24. 4 1 Puis p( X ≥ 2) = p2 + p3 = = et ( X < 2) étant l’événement contraire de 8 2 1 ( X ≥ 2) , on a p( X < 2) = 1 − p( X ≥ 2) = . 2 Exercice 9 ᕡ Il y a 6 jouets en tout. On note R , R , R les jouets rouges, J , J les 1 2 3 1 2 jouets jaunes et B le jouet bleu. Les choix possibles de deux jouets sont (l’ordre entre les deux jouets n’est pas important) : { R1 ; R2 }, { R1 ; R3 }, { R1 ; J1 }, { R1 ; J2 }, { R1 ;B }, { R2 ; R3 }, { R2 ; J1 }, { R2 ; J2 }, { R2 ;B }, { R3 ; J1 }, { R3 ; J2 }, { R3 ;B }, { J1 ; J2 }, { J1 ;B },{ J2 ; B }. Il y a donc en tout 15 choix possibles. ᕢ On est ici en situation d’équiprobabilité. L’univers Ω est l’ensemble des choix de deux jouets donc card Ω =15. a) On dénombre alors les choix de deux jouets avec 1 jouet rouge et un jouet jaune : 1re méthode : « à la main ». On note 6 choix possibles (voir dans la liste ci-dessus) avec 1 jouet rouge et un jouet jaune donc card A = 6. 2e méthode : on utilise le principe multiplicatif. jouet jouet Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour cha- rouge jaune cune de ces façons, on a 2 façons de choisir un jouet J1 jaune soit 3 × 2 = 6 façons de choisir un jouet rouge et R1 J2 un jouet jaune. J1 cardA 6 2 R2 J2 On a ensuite p( A ) = = = . cardΩ 15 5 J1 R3 J2 b) 1re méthode (à la main) : on dénombre alors 9 choix possibles (les 6 précédents plus 3 choix avec 1 rouge et 1 bleu). 2e méthode : Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour chacune de ces façons, on a 3 façons de choisir un jouet jaune ou bleu soit 3 × 3 = 9 façons de choisir exactement un jouet rouge. 9 3 Donc card B = 9 et p(B ) = = . 15 5 ère c) 1 méthode : on fait une disjonction des cas : • SOIT Samuel choisit exactement un jouet rouge : on a trouvé 9 choix possibles. • SOIT Samuel choisit deux jouets rouges : il y a 3 choix possibles ({ R1 ; R2 }, { R1 ; R3 } et { R2 ; R3 }). Il y a donc (9 +3)=12 choix avec au 12 4 moins un jouet rouge d’où p( C ) = = . 15 5 e ̈ Attention lors du raisonnement 2 méthode : on dénombre l’événement contraire de à ne pas compter plusieurs fois le C. Ici, C : « Samuel ne choisit aucun jouet rouge ». même choix. Il y a 3 choix possibles avec aucun jouet rouge : { J1 ; J2 }, { J1 ; B} et { J2 ; B}. 3 1 Donc p( C ) = = et p(C ) = 1 − p(C ) = 1 − 1 = 4 . 15 5 5 5 174 Séquence 4 Cned – Académie en ligne
  • 25. d) SOIT les deux jouets choisis sont rouges : on a trouvé 3 choix au c). SOIT les deux jouets sont jaunes : il n’y a qu’un choix : { J1 ; J2 }. De plus les deux jouets ne peuvent pas être tous les deux bleus car il n’y a qu’un jouet bleu. 4 D’où card D = 3+1 = 4 et p(D ) = . 15 Exercice 10 • On commence par dénombrer l’univers : on a 5 choix pour la première boule puis pour chacun de ces choix, on a 4 choix pour la deuxième boule (car on ne remet pas la première) ce qui peut se voir sur l’arbre ci-dessous : 1ère boule 2ère boule Donc card Ω = 5 × 4 = 20 et on est en situation d’équiprobabilité . B1 B2 • L’événement A : «les deux bou- B2 N1 les tirées ont la même couleur » N1 ... N2 est la réunion des 2 événements N2 N3 incompatibles A1 : « tirer 2 blan- N3 ches » et A2 : « tirer 2 noires » donc p( A ) = p( A1 ) + p( A2 ) . Or card A1 = 2 ( A1 = { (B1, B2 ) ; (B2 , B1 )}) et card A2 = 3 × 2 = 6 d’où 2 6 8 2 p( A ) = + = = . 20 20 20 5 • C = C1 ∪ C2 avec C1 : « les deux boules tirées portent le numéro 1 » et C2 : « les deux bou- les tirées portent le numéro 2 ». Comme C1 et ̈ (Onne peut pas tirer deux bou- C2 sont incompatibles, p(C)= p(C1) + p(C2). les numéro 3 car il n’y en a C1 = {(B1, N1 ) ; (N1, B1 )} e t C2 = {(B2 , N2 ) ; (N2 , B2 )} qu’une et que l’on fait un tirage 2 1 2 1 sans remise) d’où p( C1 ) = p( C2 ) = = puis p( C ) = = . 20 10 10 5 Exercice 11 Ici , l’univers Ω est composé de 30 événements élémentaires équipro- bables (représentés par les 30 cases). ᕡ X ( Ω ) = {8 ; 5 ; 0 ;  −a } (ensemble des valeurs prises par X ). ( X = 8 ) = « la fléchette atteint une case rouge ». Il y a deux cases rou- 2 1 4 2 ges sur 30 donc p( X = 8 ) = = . De même, p( X = 5) = = (il 30 15 30 15 6 3 1 y a 4 cases vertes) ; p( X = 0 ) = = = (il y a 6 cases jaunes) 18 9 3 30 15 5 Et p( X = −a ) = = = (il reste 18 cases blanches). 30 15 5 La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau : xi −a 0 5 8 9 3 2 1 pi = p( X = xi ) 15 15 15 15 Séquence 4 175 Cned – Académie en ligne
  • 26. 4 9 3 2 1 18 − 9a 8 ᕢ E(X ) = ∑ pi xi = 15 × ( −a ) + 15 × 0 + 15 × 5 + 15 × 8 = 15 . i =1 D’où E ( X ) = 0 ⇔ 18 − 9a = 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable quand a = 2. ᕣ Quand a = 1, E ( X ) = 18 − 9 9 3 = = = 0, 6 et on a : 15 15 5 (le joueur peut espérer gagner en moyenne 0,6 €) xi –1 0 5 8 4 2 ⎛ 3⎞ pi 9 3 2 1 ( V ( X ) = ∑ pi xi 2 − E ( X ) =) 2 9 2 1 + × 25 + × 64 − ⎜ ⎟ 15 15 15 ⎝ 5⎠ 15 15 15 15 i =1 123 9 588 196 xi 2 = − = = 15 25 75 25 196 14 et σ( X ) = V ( X ) = = = 2, 8 (€). ■ 25 5 176 Séquence 4 Cned – Académie en ligne