Le document traite des lois numériques, notamment la loi de Bernoulli et la loi binomiale, à travers des exercices pratiques tels que la simulation de lancers de dés et l'analyse de données de spectateurs d'un événement. Il aborde également des concepts statistiques comme l'espérance et la variance, en utilisant des exemples concrets d'abonnements à une salle de spectacle et des calculs de probabilités liés à des performances sportives. Les étudiants apprennent à calculer des probabilités, des moyennes et des variances à l'aide de tableurs.

1. 131Séquence 5 – MA01
> Lois numériques
Lois de Bernoulli
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2. 133Sommaire séquence 5 – MA01
Lois numériques
Schéma de Bernoulli - Loi binomiale
Exercices d’apprentissage
AA
ABB
AC
Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................135
Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................155
Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................158
Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................153
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3. 135Séquence 5 – MA01
Cours
Lois numériquesA
ᕡ Étude de
3 exemples
Somme de deux dés
Énoncé
On va simuler sur un tableur
(Excel) 50 lancers de deux dés
cubiques, non pipés et numérotés
de 1 à 6.
À chaque lancer on associe la
somme des points inscrits sur les
faces supérieures de chacun des
deux dés. Désignons cette somme
par X.
³ Quelles sont les valeurs prises
par X ?
· Donner, d’après les résultats
donnés par le tableur, les effectifs
correspondant aux 11 valeurs pri-
ses par X.
Quelles sont les fréquences de
chacune des valeurs de X ?
(dans la suite on assimilera ces
fréquences à des probabilités).
lancer dé 1 dé 2 somme issue effectif fréquence
1 3 5 8 2 1 0,02
2 3 5 8 3 2 0,04
3 2 3 5 4 6 0,12
4 3 5 8 5 6 0,12
5 6 1 7 6 7 0,14
6 4 4 8 7 9 0,18
7 4 6 10 8 7 0,14
8 2 2 4 9 7 0,14
9 3 1 4 10 3 0,06
10 2 5 7 11 1 0,02
11 4 1 5 12 1 0,02
12 2 5 7
13 3 1 4 Total 50 1
14 3 6 9
15 1 5 6
16 6 6 12
17 1 5 6
18 5 1 6
19 6 1 7
20 2 6 8
21 3 1 4
22 3 3 6
23 1 5 6
24 4 5 9
25 2 4 6
26 6 1 7
27 1 1 2
28 2 2 4
29 4 3 7
30 3 4 7
31 3 3 6
32 5 6 11
33 1 3 4
34 2 3 5
35 6 3 9
36 4 3 7
37 2 1 3
38 5 5 10
39 4 1 5
40 1 4 5
41 5 4 9
42 1 2 3
43 2 5 7
44 4 5 9
45 3 2 5
46 5 4 9
47 5 3 8
48 5 5 10
49 3 5 8
50 6 3 9
Exemple ³
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4. Séquence 5 – MA01136
» Reproduire et compléter le tableau suivant :
Calculer la somme de toutes les sommes obtenues lors des 50 lancers. Quelle est, en moyenne, la
somme obtenue lors d’un lancer de deux dés ?
Comment pourrait-on encore calculer cette moyenne ?
La moyenne ainsi calculée s’appelle l’espérance mathématique de X et se note .
¿ Reproduire et compléter le tableau suivant :
Calculer le nombre, noté , défini par :
.
Le nombre est la variance de X.
Solution
³ La somme des points inscrits sur les deux dés est un nombre entier compris entre 2 et 12 (2 et 12
sont compris).
Les valeurs prises par X sont 2, 3, 4, ..., 11, 12.
· Le tableur nous donne, pour chaque valeur de X, les effectifs et les fréquences.
On a donc :
» En assimilant les fréquences aux probabilités, on obtient le tableau suivant :
Le total des sommes obtenues lors des 50 lancers est égal à :
.
Pour trouver la moyenne de la somme obtenue lors d’un lancer, on divise ce total par 50. On calcule
.
La somme obtenue lors d’un lancer est, en moyenne, égale à 6,78.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,02 0,02
0,04 0,24
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 144
0,02 0,02
0,08 2,88
valeur de X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
effectif 1 2 6 6 7 9 7 7 3 1 1
fréquence 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02
0,04 0,12 0,48 0,60 0,84 1,26 1,12 1,26 0,60 0,22 0,24
xi
pi p X xi=( )= pi∑ =
pixi
pixi∑ =
E X( )
xi
xi
2
pi
pixi
2 pixi
2
∑ =
V X( )
V X( ) pi xi( )2
∑ E X( )[ ]2–=
V X( )
Total 50=
Somme 1=
xi
pi p X xi=( )= pi∑ 1=
pixi
pixi∑ 6 78,=
1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) 6 5×( ) 7 6×( ) 9 7×( ) 7 8×( ) 7 9×( ) 3 10×( )+ + + + + + + +
1 11×( ) 1 12×( )+ 339=
339
50
-------- 6 78,=
Définition ³
Définition ·
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5. 137Séquence 5 – MA01
On peut aussi écrire :
.
.
.
¿ Le tableau complété est le suivant :
La variance est définie par :
.
D’où
.
La variance de X est égale à 4,851 6.
Prix de l’abonnement
Énoncé
Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles.
Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante :
̈ 43 % ont choisi l’abonnement 4 spectacles ;
̈ 34 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles ;
̈ le reste a choisi l’abonnement 6 spectacles.
L’abonnement pour 4 spectacles coûte 60 euros, celui pour 5 spectacles coûte 70 euros et celui pour
6 spectacles coûte 80 euros.
On interroge un abonné au hasard et on désigne par X la somme (en euros) dépensée par l’abonné
interrogé.
³ Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X (c’est-à-dire les pro-
babilités de chaque valeur ).
· On suppose maintenant qu’il y a 500 abonnés pour la saison 2000-2001.
Calculer la somme que la directrice de la salle de spectacle reçoit, en moyenne, pour un abonnement.
Proposer deux manières pour effectuer ce calcul.
» Calculer la variance de X.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02
0,08 0,36 1,92 3 5,04 8,82 8,96 11,34 6 2,42 2,88
60 70 80
1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) ... 1 11×( ) 1 12×( )+ + + + +
50
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 02, 2×( ) 0 04, 3×( ) 0 12, 4×( ) ...+ + +=
0 02, 11×( ) 0 02, 12×( )+ +
pixi∑=
1 2×( ) 2 3×( ) 6 4×( ) ... 1 11×( ) 1 12×( )+ + + + +
50
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6 78,=
xi
xi
2
pi
pixi
2 pixi
2
∑ 50 82,=
V X( )
V X( ) pi xi( )2
∑ E X( )[ ]2–=
V X( ) 50 82, 6 78,( )2–=
V X( ) 4 851 6,=
pi xi
xi
pi p X xi=( )= pi∑ =
pixi
pixi∑ =
Exemple ·
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6. Séquence 5 – MA01138
¿ a) Pour la saison 2001-2002, la directrice décide d’augmenter le prix de chaque abonnement de
5 euros. On suppose que la répartition des abonnés ne change pas. Quelle est alors la somme que la
directrice de la salle de spectacle reçoit, en moyenne, pour un abonnement ?
b) Si la directrice avait décidé d’augmenter, pour la saison 2001-2002, le prix de chaque abonne-
ment de 5 %, quelle somme aurait-elle reçue, en moyenne, pour un abonnement ?
Solution
³ Calculons le pourcentage d’abonnés qui ont choisi un abonnement 6 spectacles.
On a .
L’abonné étant choisi au hasard, on est en situation d’équiprobabilité.
Les pourcentages connus nous permettent de donner la loi de probabilité de X.
On a
.
On obtient alors le tableau suivant :
· On sait qu’il y a 500 abonnés pour la saison 2000-2001. Comme on connaît la répartition des
abonnés, on peut calculer combien il y a d’abonnés dans chacune des trois catégories.
On a
.
La somme totale payée par les abonnés est donc égale à :
.
Le prix total des abonnements est égal à 34 000 euros.
Comme il y a 500 abonnés, on peut calculer ce que coûte, en moyenne, un abonnement.
On calcule .
La directrice reçoit, en moyenne, 68 euros pour un abonnement.
Autre méthode
On peut écrire :
Ainsi le nombre obtenu dans le tableau indique le « prix moyen » d’un abonnement.
On peut dire que l’espérance mathématique de X est égale à 68.
Ainsi .
60 70 80
0,43 0,34 0,23
25,8 23,8 18,4
100 43 34+( )– 23=
p X 60=( ) 0 43,=
p X 70=( ) 0 34,=
p X 80=( ) 0 23,=
xi
pi p X xi=( )= pi∑ 1=
pixi
pixi∑ 68=
500
43
100
--------× 215=
500
34
100
--------× 170=
500
23
100
--------× 115=
215 60×( ) 170 70×( ) 115 80×( )+ + 34 000=
34 000
500
---------------- 68=
215 60× 170 70× 115 80×+ +
500
--------------------------------------------------------------------------- 0 43, 60× 0 34, 70× 0 23, 80×+ +=
pixi∑=
pixi∑ 68=
E X( ) 68=
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7. 139Séquence 5 – MA01
» Pour calculer la variance, on peut utiliser le tableau suivant :
La variance est définie par :
.
D’où .
.
La variance de X est égale à 62.
¿ a) On augmente tous les abonnements de 5 euros pour la saison 2001-2002.
On pourrait refaire un tableau comme celui de la question ᕡ en remplaçant 60, 70, 80 par 65, 75, 85.
On peut aussi se dire que, si tous les abonnements augmentent de 5 euros, cela revient à augmenter
aussi la moyenne de 5 euros.
En 2001-2002 la directrice recevrait, en moyenne, 73 euros pour un abonnement.
b) Si les prix des abonnements avaient augmenté de 5 %, la moyenne aurait subi la même augmen-
tation (en pourcentage).
Augmenter un prix de 5 % revient à le multiplier par 1,05.
La moyenne est donc multipliée par 1,05.
On calcule .
Si les prix des abonnements avaient augmenté de 5 % en 2001-2002, le « prix moyen » d’un
abonnement aurait été égal à 71,40 euros.
Le patineur
Énoncé
Un patineur participe à une compétition. Deux de ses sauts l’inquiètent. Il ne réussit le premier saut
que dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s’il ne réussit pas ce premier saut, il rate le deuxième
3 fois sur 10 ; sinon, si tout va bien lors du premier saut, il réussit le deuxième dans 90 % des cas.
Soit l’événement « le patineur réussit le premier saut ».
Soit l’événement « le patineur réussit le deuxième saut ».
³ a) Calculer la probabilité de l’événement .
b) Calculer la probabilité de l’événement sachant que est réalisé.
c) Calculer la probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé.
· Construire un arbre pondéré et déterminer la probabilité de l’événement : « le patineur réussit les
deux sauts ».
» a) Calculer la probabilité de l’événement .
b) Un spectateur, arrivé on retard, voit le patineur réussir le deuxième saut. Calculer la probabilité
qu’il ait aussi réussi le premier saut (on arrondira en donnant 3 décimales).
¿ Manquer le premier saut fait perdre 0,1 point, manquer le deuxième saut fait perdre 0,2 point ; le
règlement prévoit que les pénalités s’ajoutent.
On désigne par X le total des pénalités obtenues par ce patineur lors de la compétition.
a) Déterminer, à l’aide de l’arbre, la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X. Quelle interprétation peut-on en faire ?
60 70 80
3 600 4 900 6 400
0,43 0,34 0,23
1 548 1 666 1 472
xi
xi
2
pi
pixi
2 pixi
2
∑ 4 686=
V X( )
V X( ) pixi
2
∑ E X( )[ ]2–=
V X( ) 4 686= 682–
V X( ) 62=
68 1 05,× 71 4,=
R1
R2
R1
R2 R1
R2 R1
R2
Exemple »
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8. Séquence 5 – MA01140
Solution
³ Traduisons les pourcentages donnés dans l’énoncé en termes de probabilités.
On sait que : ; ; .
a) Ainsi la probabilité de l’événement est :
.
La probabilité de l’événement est 0,95.
b) La probabilité de l’événement sachant que est réalisé est :
.
La probabilité de l’événement sachant que est réalisé est 0,90.
c) La probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé est .
On a .
D’où .
.
La probabilité de l’événement sachant que n’est pas réalisé est 0,70.
· On peut construire un arbre pondéré décrivant la compétition.
La probabilité de l’événement « le patineur réussit les deux sauts »
est .
» a) Les événements et forment un système complet d’événements.
On a donc .
D’où .
.
La probabilité de l’événement est 0,89.
b) On cherche à calculer .
On a la formule car .
p R1( ) 0 95,= p
R1
R2( ) 0 30,= pR1
R2( ) 0 90,=
R1
p R1( ) 0 95,=
R1
R2 R1
pR1
R2( ) 0 90,=
R2 R1
R2 R1 p
R1
R2( )
p
R1
R2( ) p
R1
R2( )+ 1=
p
R1
R2( ) 1 0 30,–=
p
R1
R2( ) 0 70,=
R2 R1
R2
R2
R1
R1
R2
R2
p (R1∩ R2) = 0,95 ϫ 0,90
p (R1∩ R2) = 0,95 ϫ 0,10
p (R1∩ R2) = 0,05 ϫ 0,70
p (R1∩ R2) = 0,05 ϫ 0,30
0,95
0,05
0,90
0,10
0,70
0,30
0
valeurs de X
0,2
0,1
0,3
p R1 R2∩( ) 0 95, 0 90,× 0 855,= =
R1 R1
p R2( ) p R1 R2∩( ) p R1 R2∩( )+=
p R2( ) 0 95, 0 90 0 05, 0 70,×+,×=
p R2( ) 0 89,=
R2
PR2
R1( )
pR2
R1( )
p R1 R2∩( )
p R2( )
---------------------------= p R2( ) 0≠
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9. 141Séquence 5 – MA01
D’où
.
La probabilité d’avoir réussi le premier saut sachant que le second saut est réussi est environ
égale à 0,961.
¿ a) On cherche d’abord les valeurs prises par X.
X peut prendre 4 valeurs, suivant le nombre de sauts ratés. Les valeurs de X sont indiquées sur l’arbre
pondéré.
X prend les valeurs : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3.
L’événement « » est l’événement .
L’événement « » est l’événement .
L’événement « » est l’événement .
L’événement « » est l’événement .
On a donc : .
.
.
.
On peut résumer la loi de probabilité de X dans un tableau et le compléter pour trouver l’espérance
mathématique.
b) L’espérance mathématique est définie par :
.
D’où .
L’espérance mathématique est égale à 0,027.
Ce résultat signifie que sur un certain nombre de compétitions réalisées dans les mêmes
conditions, le patineur risque, en moyenne, une pénalité de 0,027 point par compétition.
Ainsi, par exemple, pour 20 compétitions, le patineur risque d’obtenir 0,54 point de pénalité en tout.
· Loi numérique
Soit Ω un univers sur lequel on réalise une expérience aléatoire.
Définir une loi numérique X sur Ω, c’est associer à chaque résultat de l’expérience un nombre réel,
positif ou négatif, que l’on peut noter .
Ainsi ̈ dans l’exemple ³, à chaque lancer de deux dés, le tableur associe la somme des points ;
̈ dans l’exemple ·, à chaque lecteur interrogé, on associe le prix de son abonnement ;
̈ dans l’exemple », à chaque compétition, on associe le total des pénalités obtenues par le
patineur.
On note l’événement constitué de tous les résultats pour lesquels X prend la valeur .
La probabilité de l’événement est la probabilité .
0 0,1 0,2 0,3
0,855 0,035 0,095 0,015
0 0,003 5 0,019 0,004 5
pR2
R1( )
0 855,
0 89,
------------- 0 960 67...,= =
pR2
R1( ) 0 961,≈
X 0= R1 R2∩
X 0 1,= R1 R2∩
X 0 2,= R1 R2∩
X 0 3,= R1 R2∩
p X 0=( ) 0 95, 0 90,× 0 855,= =
p X 0 1,=( ) 0 05, 0 70,× 0 035,= =
p X 0 2,=( ) 0 95, 0 10,× 0 095,= =
p X 0 3,=( ) 0 05, 0 30,× 0 015,= =
xi
pi p X xi=( )= pi∑ 1=
pixi
pixi∑ 0 027,=
E X( )
E X( ) pixi∑=
E X( ) 0 027,=
xi
X xi=( ) xi
X xi=( ) pi p X xi=( )=
Définition »
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10. Séquence 5 – MA01142
» Loi de probabilité
Soit X une loi numérique prenant n valeurs distinctes notées .
Déterminer la loi de probabilité de X, c’est calculer les probabilités des événements ,
, ... .
On note : ; ; ... ; .
Déterminer la loi de probabilité de X, c’est déterminer toutes les probabilités définies par
.
Notation
On écrit souvent la loi de probabilité de X dans un tableau comme le tableau suivant :
Penser toujours à vérifier que la somme de toutes les probabilités est bien égale à 1.
Ainsi .
ᕤ Espérance mathématique d’une loi numérique
Soit X une loi numérique définie par sa loi de probabilité pour .
On peut calculer la moyenne des valeurs prises par X, ces valeurs étant pondérées par leurs probabi-
lité respectives.
L’espérance mathématique d’une loi numérique X est le nombre défini par :
.
Dans la pratique, pour calculer , on peut rajouter au tableau donnant la loi de probabilité de X
une ligne donnant les valeurs pour (comme dans les exemples ³, · et »).
ᕥ Variance d’une loi numérique
L’espérance mathématique est un indicateur de position pour une loi numérique. Mais il arrive que
des lois numériques très différentes aient la même espérance mathématique.
On sait qu’en statistique la dispersion se mesure par la variance de la série statistique : cette variance
est la moyenne pondérée de la série .
De manière analogue, en probabilités, la variance d’une loi numérique est l’espérance mathématique
de .
Définition
La variance d’une loi numérique X est le nombre défini par :
.
D’où
Autre expression de la variance
Lorsque l’espérance mathématique n’est pas simple, et c’est souvent le cas, la formule donnant la
définition de la variance mène à des calculs assez compliqués.
... ...
... ...
x1 x2 ... xn, , ,
X x1=( )
X x2=( ) X xn=( )
p1 p X x1=( )= p2 p X x2=( )= pn p X xn=( )=
pi
pi p X xi=( )=
xi
x1 x2 xi xn
pi p X xi=( )= p1 p2 pi pn pi∑ 1=
pi
pi∑ p1 p2 ... pn+ + + 1= =
pi p X xi=( )= 1 i n≤ ≤
E X( )
E X( ) p1x1 p2x2 ... pnxn+ + + pixi
i
∑= =
E X( )
pixi 1 i n≤ ≤
xi x–( )2
X E X( )–[ ]2
V X( )
V X( ) E X E X( )–( )2[ ]=
V X( ) p1 x1 E X( )–( )2 p2 x2 E X( )–( )2 ... pn xn E X( )–( )2.+ + +=
V X( ) pi xi E X( )–( )2.
i
∑=
Définition ¿
Remarque
Définition ´
Définition ²
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11. 143Séquence 5 – MA01
On démontre que la variance d’une loi numérique X peut s’exprimer par une formule plus simple.
C’est essentiellement cette dernière formule qui est utilisée pour le calcul de la variance.
³ Étude de 2 exemples
Le basketteur
Énoncé
Le début de l’énoncé est celui de l’exercice µ de la séquence 4.
On a montré que la probabilité du succès lors d’une tentative est égale à 0,7.
On suppose que le joueur effectue quatre tentatives successives et indépendantes. Cela signifie qu’à
chaque tentative la probabilité du succès est égale à 0,7.
À chaque tentative on désignera par S le succès et par E l’échec.
³ Construire un arbre pondéré décrivant les quatre tentatives.
· Désignons par X la loi numérique indiquant le nombre de succès obtenus lors des quatre tentatives.
a) Calculer et .
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X.
d) Si le joueur effectue dix tentatives dans les mêmes conditions,combien de tentatives peut-il espérer réussir ?
Solution
Propriété ³
La variance d’une loi numérique X peut s’écrire sous la forme :
V X( ) p1x1
2 p2x2
2 ... pnxn
2 E X( )( )– 2.+ + +=
V X( ) pi xi( )2 E X( )( )– 2.
i
∑=
Schéma de Bernoulli - Loi binomialeB
p X 0=( ) p X 4=( )
S
S
S
S
E
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,7
E
E
E
E
E
0,3
valeurs de Xprobas
S
(0,7)4
(0,7)3
ϫ 0,3
(0,7)3 ϫ 0,3
(0,7)2
ϫ (0,3)2
(0,7)3
ϫ 0,3
(0,7)2 ϫ (0,3)2
(0,7)2
ϫ (0,3)2
0,7 ϫ (0,3)3
(0,7)3 ϫ 0,3
(0,7)2 ϫ (0,3)2
(0,7)2
ϫ (0,3)2
0,7 ϫ (0,3)3
(0,7)2
ϫ (0,3)2
0,7 ϫ (0,3)3
0,7 ϫ (0,3)3
(0,3)4
4
3
3
2
3
2
2
1
3
2
2
1
2
1
1
0
³
Remarque
Exemple ¿
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12. Séquence 5 – MA01144
Donnons quelques explications concernant cet arbre pondéré :
̈ à chaque nœud, il y a 2 branches qui partent ;
̈ les branches dirigées vers le haut correspondent toutes à des succès : elles sont en trait plein ;
̈ les branches dirigées vers le bas correspondent toutes à des échecs : elles sont en pointillé ;
̈ les probabilités portées par les branches partant d’un même nœud sont toujours 0,7 et 0,3 ;
̈ il n’est pas utile d’écrire les probabilités sur toutes les branches : ce qui est écrit doit être assez
explicite.
Dans un tel arbre, il est conseillé de différencier les branches menant au succès des branches menant
à l’échec : ceci peut se faire en choisissant une couleur pour le succès et une autre couleur pour
l’échec.
· Dans un arbre qui décrit des expériences indépendantes et réalisées dans les mêmes conditions, la
probabilité d’un chemin est égal au produit des probabilités portées par les branches qui mènent à ce
chemin.
a) L’événement « » est l’événement « EEEE ».
Les tentatives étant indépendantes, on a donc :
.
De même l’événement « » est l’événement « SSSS ».
On a .
b) La loi numérique X peut prendre cinq valeurs qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4.
̈ pour
On trouve 4 chemins qui mènent à 1 succès et 3 échecs.
Chacun de ces 4 chemins a pour probabilité .
Ces chemins sont incompatibles, ce qui fait que pour calculer on ajoute 4 fois la même
probabilité.
Ainsi : .
̈ pour
On trouve 6 chemins menant à 2 succès et 2 échecs.
Chacun de ces 6 chemins a pour probabilité .
̈ pour
On trouve 4 chemins menant à 3 succès et 1 échec.
Chacun de ces 4 chemins a pour probabilité .
D’où .
.
X 0=
p X 0=( ) p E( )( )4 0 3,( )4 0 008 1,= = =
X 4=
p X 4=( ) p S( )( )4 0 7,( )4 0 240 1,= = =
X 1=
0 7, 0 3,( )3×
p X 1=( )
p X 1=( ) 4 0 7, 0 3,( )3×× 0 075 6,= =
X 2=
0 7,( )2 0 3,( )2×
p X 2=( ) 6 0 7,( )2 0 3,( )2××=
p X 2=( ) 0 264 6,=
probabilité de l’échec
probabilité du succès
nombre
de
chemins
nombre d’échecs
nombre de succès
X 3=
0 7,( )3 0 3,×
p X 3=( ) 4 0 7,( )3 0 3,××=
p X 3=( ) 0 411 6,=
Remarque
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13. 145Séquence 5 – MA01
On rassemble tous ces résultats dans un tableau.
c) L’espérance mathématique de X est égale à 2,8.
.
d) Pour 4 tentatives, l’espérance mathématique est égale à 2,8.
Cela correspond en moyenne au nombre de tentatives réussies.
En faisant 40 tentatives, le basketteur peut espérer 28 succès.
En 10 tentatives le joueur peut espérer en réussir 7.
Le résultat trouvé n’est pas surprenant. À chaque tentative, la « chance » de réussir est égale à
.
Comme les tentatives sont indépendantes, avec toujours la même chance pour le succès, on peut
effectivement penser qu’en effectuant 10 tentatives on peut espérer en réussir 7.
Stage et randonnée
Énoncé
Une enquête est faite auprès des inscrits à un stage multi-activités (randonnée, natation, parapente, ...).
On note :
̈ F l’ensemble des femmes participant à ce stage ;
̈ R l’ensemble des stagiaires pratiquant la randonnée.
L’enquête révèle que :
̈ F représente 30 % de l’ensemble des stagiaires ;
̈ R représente 48 % de l’ensemble des stagiaires ;
̈ chez les stagiaires du groupe R, il y a deux fois plus d’hommes que de femmes.
³ On interroge un stagiaire au hasard.
a) Quelle est la probabilité que ce stagiaire pratique la randonnée ?
b) Quelle est la probabilité que ce stagiaire soit une femme pratiquant la randonnée ?
· On interroge au hasard une stagiaire femme. Quelle est la probabilité qu’elle pratique la
randonnée ?
» On interroge trois stagiaires au hasard, de manière indépendante.
Quelle est la probabilité que parmi ces trois stagiaires :
• aucun ne pratique la randonnée ?
• deux exactement pratiquent la randonnée ?
• au plus deux pratiquent la randonnée ?
Solution
Traduisons les données en termes de probabilités.
On sait que 30 % des stagiaires sont des femmes, d’où .
On sait que 48 % des stagiaires pratiquent la randonnée, d’où .
0 1 2 3 4
0,008 1 0,075 6 0,264 6 0,411 6 0,240 1
0 0,075 6 0,529 2 1,234 8 0,960 4
xi
pi p X xi=( )= pi∑ 1=
pixi
pixi∑ 2 8,=
E X( ) 2 8,=
0 7,
7
10
-----=
p F( ) 0 30,=
p R( ) 0 48,=
Remarque
Exemple ´
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14. Séquence 5 – MA01146
On sait que dans le groupe R, il y a deux fois plus d’hommes que de femmes,
d’où et .
³ a) On vient de voir que .
La probabilité que le stagiaire pratique la randonnée est égale à 0,48.
b) On veut calculer .
On a la formule
.
.
La probabilité que le stagiaire soit une femme pratiquant la randonnée est égale à 0,16.
· On interroge une stagiaire femme.
On veut calculer .
On a la formule car .
.
La probabilité que le stagiaire pratique la randonnée sachant que c’est une femme est envi-
ron égale à 0,533.
» On interroge trois stagiaires de manière indépendante.
Pour chaque stagiaire il y a deux « issues » :
• soit il pratique la randonnée avec une probabilité de 0,48 ;
• soit il ne pratique pas la randonnée avec une probabilité de 0,52.
On peut construire un arbre pondéré illustrant la situation.
Toutes les branches vers le haut représentent des randonneurs et les probabilités sont toujours égales
à 0,48 (ici en trait plein).
̈ Si aucun ne pratique la randonnée, on est dans la situation qui veut dire en fait .
Appelons X le nombre de randonneurs.
On a donc .
pR F( )
2
3
--= pR F( )
1
3
--=
p R( ) 0 48,=
p F R∩( )
p F R∩( ) p R( ) pR F( )×=
p F R∩( ) 0 48,
1
3
--×=
p F R∩( ) 0 16,=
pF R( )
pF R( )
p F R∩( )
p F( )
---------------------= p F( ) 0≠
pF R( )
0 16,
0 30,
---------- 0 533...,= =
pF R( )
8
15
-----=
R
R
probabilités
somme = 1
nombre de
randonneurs
(0,48)3
(0,48)2
ϫ 0,52
(0,48)2ϫ 0,52
0,48 ϫ (0,52)2
(0,48)2
ϫ 0,52
0,48 ϫ (0,52)2
0,48 ϫ (0,52)2
(0,52)3
3
2
2
1
2
1
1
0
R
R
R
R
R
R
RR
0,52
0,52
0,52
0,52
0,48
0,48
0,48
0,48
R
R
R
R
RRR R R R∩ ∩
p X 0=( ) 0 52,( )3 0 140 608,= =
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15. 147Séquence 5 – MA01
̈ Si deux exactement pratiquent la randonnée.
On observe trois chemins possibles de probabilité chacun.
D’où .
̈ Si au plus deux pratiquent la randonnée.
Au plus deux signifie : 0 ; 1 ou 2.
On peut passer par l’événement contraire qui est .
.
̈ On pouvait calculer la dernière probabilité d’une autre manière en calculant
.
̈ L’événement est aussi défini par :
.
· Épreuve de Bernoulli
Beaucoup de situations qui paraissent à priori bien différentes, comme celles du basketteur et des sta-
giaires, peuvent se traiter de la même manière car elles correspondent à un même type de schéma.
Ces situations sont celles qui admettent deux issues possibles, le plus souvent appelées « succès » et
« échec ».
Une expérience aléatoire qui ne présente que deux issues possibles (« succès » et « échec ») est
appelée épreuve de Bernoulli.
Donnons quelques situations qui sont des épreuves de Bernoulli :
• le jeu de pile ou face ;
• la naissance d’un enfant ;
• tirer une boule d’une urne qui ne contient que des boules de 2 couleurs ;
• le fait de passer un examen ;
• les jeux (loto, tiercé, ...).
Une situation qui correspond à une épreuve de Bernoulli peut être représentée par un arbre ou par un
tableau.
On désigne : « le succès » par S et sa probabilité par p ;
« l’échec » par E et sa probabilité par .
Conclusion
La probabilité pour que parmi les trois stagiaires :
• aucun ne pratique la randonnée est égale à 0,140 608 ;
• deux exactement pratiquent la randonnée est égale à 0,359 424 ;
• au plus deux pratiquent la randonnée est égale à 0,889 408.
événement S E
probabilité
p q
0 48,( )2 0 52,×
p X 2=( ) 3 0 48,( )2 0 52,×× 0 359 424,= =
X 3=
p X 2≤( ) 1 p X 3=( )–=
p X 2≤( ) 1 0 48,( )3–=
p X 2≤( ) 0 889 408,=
p X 0=( ) p X 1=( ) p X 2=( )+ +
p X 0=( ) p X 1=( ) p X 2=( )+ + 0 52,( )3 3 0 48, 0 52,( )2×× 3 0 48,( )2 0 52,××+ +=
0 889 408.,=
X 2≤( )
X 2≤( ) X 0=( ) X 1=( ) X 2=( )∪ ∪=
q 1 p–=
p
q
S
E
p q+ 1=
Remarques
Définition ¶
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16. Séquence 5 – MA01148
Énoncé
On lance une fois un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On appelle « succès » l’événement « obtenir un six » et « échec » l’événement « ne pas obtenir de six ».
Construire un arbre pondéré illustrant cette expérience aléatoire.
Solution
Appelons S le succès et E l’échec.
On a et .
On obtient l’arbre pondéré suivant :
» Schéma de Bernoulli
Supposons que l’on répète une même épreuve de Bernoulli n fois. On donne alors la définition suivante :
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques ; cela signifie
que la probabilité du succès reste la même d’une épreuve à l’autre.
Dans un schéma de Bernoulli, les n épreuves sont indépendantes les unes des autres.
Énoncé
On effectue trois lancers d’un dé cubique, non pipé, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Lors d’un lancer, on appelle succès l’événement « obtenir un six » et échec l’événement contraire.
Désignons par X la loi numérique égale au nombre de succès obtenus lors de ces trois lancers.
³ Faire un arbre pondéré décrivant les trois lancers.
· Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
Solution
³ En désignant par S le succès et E l’échec on a et .
On obtient l’arbre pondéré suivant :
p S( )
1
6
--= p E( )
5
6
--=
1
6 S
E5
6
p S( )
1
6
--= p E( )
5
6
--=
1
6
S
S
S
probabilités nombre de
succès
E
3
2
2
1
2
1
1
0
E
S
E
E
S
S
E
S
E
E
1
6
1
6 1
6
5
6
5
6
5
6
3
5
6
3
1
6
5
6
2
ϫ
1
6
5
6
2
ϫ
1
6
5
6
2
ϫ
1
6
5
6
2
ϫ
1
6
5
6
2
ϫ
1
6
5
6
2
ϫ
Exemple ¶
Définition º
Remarque
Exemple º
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17. 149Séquence 5 – MA01
· On peut obtenir 0, 1, 2 ou 3 succès lors des trois lancers.
L’arbre pondéré représente bien un schéma de Bernoulli car à chaque lancer il y a deux issues possi-
bles, les lancers étant indépendants les uns des autres.
D’après l’arbre on trouve :
; ; ; .
On peut présenter cette loi de probabilité dans un tableau.
L’espérance mathématique est .
L’espérance mathématique est .
¿ Arbre de probabilité
En considérant l’exemple précédent, on imagine comment construire un arbre pondéré illustrant un
schéma de Bernoulli.
Un tel arbre se caractérise ainsi :
̈ de chaque nœud partent 2 branches ;
̈ toutes les « branches succès » ont la même probabilité p ;
̈ toutes les « branches échecs » ont la même probabilité .
D’autre part, le nombre de chemins est toujours une puissance de 2.
En effet : pour , on a 2 chemins ;
pour , on a chemins ;
pour , on a chemins ;
pour , on a chemins ;
pour n épreuves, on a chemins.
´ Loi binomiale
On considère un schéma de Bernoulli constitué par la répétition de n épreuves de Bernoulli, identi-
ques et indépendantes.
La probabilité du succès S est égale à p et celle de l’échec E est égale à .
On désigne par X la loi numérique associant le nombre de succès obtenus lors de ces n épreuves.
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, ..., n.
Imaginons un arbre pondéré correspondant à n épreuves de Bernoulli.
Tous les chemins ont n branches. Si un chemin comporte k succès, il comporte aussi échecs.
Comme la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par toutes les branches de
ce chemin, la probabilité d’un chemin comportant k succès est .
Appelons le nombre de chemins comportant k succès (et donc échecs).
0 1 2 3
0
p X 0=( )
5
6
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
3
= p X 1=( ) 3
1
6
--
5
6
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2
××= p X 2=( ) 3
1
6
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
2 5
6
--××= p X 3=( )
1
6
--
⎝ ⎠
⎛ ⎞
3
=
xi
pi p X xi=( )=
125
63
--------
75
63
-----
15
63
-----
1
63
----- pi∑ 1=
pixi
75
216
--------
30
216
--------
3
216
-------- pixi∑
108
216
--------=
E X( ) pixi∑
108
216
--------
1
2
--= = =
E X( )
1
2
---=
q 1 p–=
n 1=
n 2= 22
n 3= 23
n 4= 24
2n
q 1 p–=
n k–( )
pk 1 p–( )n k–×
Nk n k–
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18. Séquence 5 – MA01150
On en déduit le résultat suivant :
Dans la pratique, on se limitera à des petites valeurs de n (en principe ).
Une loi numérique X ainsi définie porte un nom.
Soit X la loi numérique indiquant le nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli, la pro-
babilité du succès étant égale à p.
On dit que X est la loi binomiale de paramètres n et p.
Notation
On peut écrire : .
En regardant les différents arbres obtenus dans cette séquence, on peut donner, pour , le nom-
bre de chemins qui comportent k succès lors de n épreuves de Bernoulli.
Pour , l’arbre pondéré comporte chemins, soit 32 chemins.
Dans ce cas, les valeurs possibles de k sont 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
La construction d’un tel arbre, comportant un grand nombre de branches, ne sera pas en principe
demandé.
Néanmoins, on peut donner le nombre de chemins comportant k succès, pour .
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une
boule :
• si elle est rouge, il gagne 10 € ;
• si elle est jaune, il perd 5 € ;
• si elle est verte, il tire une seconde boule de l’urne sans avoir replacé la première boule tirée. Si
cette deuxième boule est rouge, il gagne 8 €, sinon il perd 4 €.
³ Construire un arbre pondéré représentant l’ensemble des éventualités de ce jeu.
· Calculer la probabilité de l’événement G : « le joueur est gagnant ».
» Soit X la loi numérique associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comp-
tée négativement).
a) Établir la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance de X.
n : nombre d’épreuves
k : nombre de succès
p : probabilité du succès
: nombre de chemins comportant k succès.
valeurs de n 1 2 3 4
valeurs de k
(nombres de succès)
0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4
nombres de chemins 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
n 5
k 0 1 2 3 4 5
nombre de chemins 1 5 10 10 5 1
p X k=( ) Nk pk 1 p–( )n k–××=
Nk
n 5<
X B n ; p( ) b n ; p( )= =
n 4≤
n 5= 25
0 k 5≤ ≤
Exercices d’apprentissageC
Définition ¾
Remarque
Exercice ³
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19. 151Séquence 5 – MA01
¿ Les conditions du jeu restent identiques.
Indiquer le montant du gain algébrique qu’il faut attribuer à un joueur lorsque la boule tirée au
second tirage est rouge, pour que l’espérance de X soit nulle.
Un panneau « stop » a été installé à un carrefour extrêmement dangereux où une petite route croise
une grande route très fréquentée. On a constaté que 20 % des automobilistes ne respectent pas le
panneau « stop » et que 30 % des automobilistes ne respectant pas le panneau « stop » ont un acci-
dent à ce carrefour. D’autre part, 95 % des automobilistes respectant le panneau « stop » n’ont pas
d’accident à ce carrefour. On considère un automobiliste au hasard passant par ce carrefour et on
définit les événements suivants :
R : « l’automobiliste a respecté le panneau stop » ;
A : « l’automobiliste a eu un accident au carrefour ».
³ a) Donner , , , et .
b) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
c) Calculer .
· On observe une série de 4 automobilistes passant par ce carrefour.
a) Quelle est la probabilité pour qu’au moins l’un d’eux ait eu un accident au carrefour ?
b) Soit X la loi numérique qui, à la série de 4 automobilistes, associe le nombre d’accidents survenus
au carrefour.
Établir la loi de probabilité de X (donner les résultats sous forme décimale).
c) Calculer l’espérance .
» On observe maintenant une série de 10 automobilistes passant par ce carrefour.
a) Calculer la probabilité pour qu’il y ait au moins un accident.
b) Calculer la probabilité pour qu’il y ait au plus un accident.
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, 5 rouges, 3 jaunes et 2 vertes.
On tire au hasard et successivement 3 boules de l’urne, sans jamais remettre dans l’urne les boules
déjà tirées.
On désigne par RJV l’événement : « la première boule tirée est rouge, la seconde est jaune et la troi-
sième est verte ».
³ a) Calculer la probabilité .
b) Montrer, en les énumérant, qu’il y a 6 manières d’obtenir des boules de trois couleurs.
c) On appelle C l’événement « les boules tirées sont de trois couleurs ». Montrer que .
· On appelle tirage le fait de tirer 3 boules dans les conditions précédentes. On effectue trois tirages
de 3 boules en ayant soin, après chaque tirage, de remettre dans l’urne les 3 boules qui ont été tirées.
Calculer la probabilité d’effectuer :
• 3 tirages tricolores ;
• 0 tirage tricolore ;
• 1 tirage tricolore ;
• 2 tirages tricolores.
» On effectue maintenant quarante tirages de 3 boules dans les conditions précédentes.
Combien de fois peut-on espérer voir se réaliser l’événement C ?
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
Un commerçant possède un lot de 500 pantalons de taille allant de 1 à 4 et de couleur rouge, bleue
ou noire.
Après l’inventaire de son lot, le commerçant constate que les tailles no
1 représentent 60 % du stock,
que les tailles no
2 en représentent 20 % et qu’il y a autant de tailles no
3 que de tailles no
4.
p R( ) p R( ) p
R
A( ) pR A( )
p A( )
E X( )
p RJV( )
p C( )
1
4
--=
Exercice ·
Exercice »
Exercice ¿
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20. Séquence 5 – MA01152
D’autre part, parmi les tailles no 1, 30 % des pantalons sont noirs et 50 % sont bleus. Enfin pour cha-
cune des tailles no 2, no 3 et no 4, 20 % des pantalons sont noirs et 40 % sont bleus.
³ Recopier et compléter le tableau suivant :
· Ce commerçant décide de vendre 30 euros chaque pantalon bleu de la taille no
1, ainsi que chaque
pantalon noir ou rouge des tailles no 2, no 3 et no 4. Les autres pantalons de la taille no 1 seront ven-
dus 40 euros l’unité, et les pantalons bleus des tailles no 2, no 3 et no 4, 15 euros l’unité.
Un client choisit un pantalon au hasard.
a) Déterminer la probabilité que ce pantalon soit bleu.
b) Sachant que ce pantalon coûte 30 euros, déterminer la probabilité qu’il soit bleu.
» On appelle Y la loi numérique qui, à chaque pantalon choisi, associe son prix.
Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique.
Taille
Couleur
no 1 no 2 no 3 no 4 Total
Rouge 20
Bleue
Noire
Total 500
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21. 153Séquence 5 – MA01
Synthèse
̈ Loi numérique
On définit une loi numérique X en associant à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre
réel, souvent noté .
̈ Loi de probabilité
Une loi de probabilité est déterminée par la connaissance des probabilités .
On représente souvent une loi de probabilité dans un tableau.
̈ Espérance mathématique
.
Le calcul de peut se faire en complétant le tableau donnant la loi de probabilité de X.
̈ Variance
Il existe deux formules donnant la variance de X.
• .
• .
̈ Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant 2 issues, l’une appelée « succès »,
l’autre appelée « échec ».
̈ Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter n épreuves de Bernoulli,
identiques et indépendantes.
valeurs de X ...
probabilités ...
à vérifier
xi
pi p X xi=( )=
xi x1 x2 xn
pi p X xi=( )= p1 p2 pn pi∑ 1=
E X( ) p1x1 p2x2 ... pnxn+ + + pixi
i
∑= =
E X( )
V X( ) pi xi E X( )–( )2
i
∑=
V X( ) pi xi
2( ) E X( )( )– 2
i
∑ p1x1
2 p2x2
2 ... pnxn
2 E X( )( )2–+ + += =
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22. Séquence 5 – MA01154
Un schéma de Bernoulli peut être illustré par un arbre.
Ci-dessous on donne l’arbre correspondant à .
̈ Loi binomiale
La loi numérique X donnant le nombre de succès lors de n épreuves de Bernoulli est la loi binomiale
de paramètres n et p.
La loi de probabilité de la loi binomiale est donnée par :
pour .
n 3=
p
p
p
p
p
p
p
S
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
E
q
q
q
q
q
q
q
probabilités
somme = 1
nombre de
succès
p3
p2
q
p2
q
pq2
p2q
pq2
pq2
q3
3
2
2
1
2
1
1
0
E
épreuve 3épreuve 2épreuve 1
p (succès) = p (S) = p
p (échec) = p (E) = q = 1–p
X b n p;( )=
p X k=( )
nombre de
façons
d′obtenir
k
succès
pk× 1 p–( )n k–×= 0 k n≤ ≤
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23. 155Séquence 5 – MA01
Exercices d’entraînement
Un groupe de 20 personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B.
Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B. Le deuxième
samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir
le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente.Après la deuxième séance, on interroge au hasard
une personne de ce groupe. On considère les événements suivants :
: « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ;
: « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ;
: « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ;
: « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».
³ a) Calculer les probabilités et .
b) Calculer les probabilités des événements suivants : ; ; .
c) Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d’interrogation
par la probabilité correspondante.Aucune justification n’est demandée pour cette question.
d) Retrouver à partir de l’arbre pondéré que .
· Le prix du billet est de 6 euros pour le film A et de 4 euros pour le film B.
Soit C la loi numérique égale au coût total, pour la personne interrogée, de deux séances de cinéma.
a) Déterminer la loi de probabilité de C.
b) Calculer l’espérance mathématique de C.
c) Calculer la variance de la loi C.
Un carrefour muni d’un feu tricolore est situé sur le trajet d’un automobiliste. La probabilité pour qu’il
rencontre le feu au vert est toujours égale à .
³ L’automobiliste passe 4 fois par jour par ce carrefour.
Calculer la probabilité pour que dans une journée il rencontre :
̈ 4 fois le feu au vert ;
̈ 1 fois exactement le feu au vert ;
̈ au moins une fois le feu au vert.
· L’automobiliste passe par ce carrefour le lundi et le mardi.
Calculer la probabilité pour que durant ces deux jours il rencontre :
̈ aucune fois le feu au vert ;
̈ au moins une fois le feu au vert ;
̈ au plus une fois le feu au vert.
A1
A2
B1
B2
p A1( ) p A2( )
pA1
A2( ) pB1
A2( ) p A1 A2∩( )
A2A1 ?
B2
A2
B2
B1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
p A2( )
7
10
-----=
2
3
--
Exercice ´
Exercice ²
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24. Séquence 5 – MA01156
Une usine fabrique des moteurs électriques pour l’industrie spatiale.
Ceux-ci doivent être très fiables et performants ; pour cela ils passent des contrôles très sévères.
Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Si le test est positif, le moteur est acheminé chez le
client ; si le test est négatif, le moteur retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si,
cette fois, le test est positif, le moteur part chez le client mais, si le test est négatif, le moteur est
définitivement écarté et détruit.
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 85 % des moteurs neufs sortis
directement des chaînes de fabrication mais que, parmi les moteurs révisés, seulement 65 % d’entre
eux passent le second test avec succès.
Sauf avis contraire, on donnera les valeurs décimales exactes des probabilités demandées.
³ On choisit un moteur au hasard dans la chaîne de fabrication.
a) Construire un arbre de probabilité illustrant les différents cas qui peuvent se présenter pour ce
moteur.
Faire apparaître sur chaque branche les probabilités correspondantes.
b) Donner la probabilité pour que le premier test en fin de fabrication soit positif pour ce moteur.
c) Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit ensuite acheminé chez le client.
d) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit finalement écarté et détruit.
e) Calculer la probabilité pour que ce moteur soit envoyé chez le client.
· La fabrication d’un moteur revient à 9 000 euros auxquels il faut ajouter 2 000 euros si le moteur
est révisé.
Un moteur est facturé au client la somme de t euros.
Soit X la loi numérique qui, à chaque moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif) que
réalise l’entreprise sur ce moteur.
a) Déterminer en fonction de t les trois valeurs que peut prendre X et déterminer la loi de probabilité
de X.
b) Calculer en fonction de t l’espérance mathématique de X et en déduire la valeur de t à partir de
laquelle l’entreprise fera un bénéfice positif en vendant un grand nombre de moteurs (arrondir à
l’euro près).
Les résultats seront donnés à près.
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses pro-
duits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.
Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4.
Sachant que le correspondant est présent, la probabilité qu’il accepte de répondre au questionnaire
est 0,2.
³ On note :
̈ l’événement « la personne est absente lors du premier appel » ;
̈ l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel ».
Quelle est la probabilité de ?
· Lorsqu’une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone une seconde fois, à une
heure différente et alors la probabilité qu’elle soit absente est 0,3. Et, sachant qu’elle est présente lors
du second appel, la probabilité pour qu’elle accepte de répondre au questionnaire est encore 0,2.
Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
̈ l’événement « la personne est absente lors du second appel » ;
̈ l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire après le second appel » ;
̈ R l’événement « la personne accepte de répondre au questionnaire ».
10 3–
A1
R1
R1
A2
R2
Exercice ¶
Exercice º
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25. 157Séquence 5 – MA01
Calculer, en utilisant un arbre pondéré, .
» On suppose les sondages auprès des personnes d’une même liste indépendants. Un enquêteur a
une liste de 20 personnes à contacter.
a) Calculer la probabilité pour qu’une personne de la liste et une seule accepte de répondre au ques-
tionnaire.
b) Calculer la probabilité pour qu’une au moins des 20 personnes de la liste accepte de répondre au
questionnaire.
Un jeu de société est composé d’un grand nombre de fiches qui proposent chacune trois questions
indépendantes : la première porte sur l’histoire, la seconde sur les sciences et la troisième sur les arts.
À tour de rôle, chaque joueur tire une fiche au hasard et doit répondre aux trois questions dans l’ordre
où elles sont proposées.
Le meneur de jeu remplit un bulletin réponse
dans lequel, pour chaque question, il reporte F si la réponse est fausse, J si elle est juste. Ainsi, si le
joueur a bien répondu aux questions sur les sciences et sur les arts, mais n’a pas trouvé la bonne
réponse à la question sur l’histoire, le bulletin réponse à cette fiche sera :
³ a) Donner la liste des huit résultats différents que l’on peut obtenir pour une fiche.
b) À chaque bulletin réponse est attribuée une note : une réponse juste J fait gagner 5 points ;
une réponse fausse F ou l’absence de réponse fait perdre 2 points.
Donner la liste des résultats attribuant 8 points en tout.
· La probabilité que Yuna donne la réponse juste à une question est toujours égale à 0,6.
Yuna tire une fiche et répond aux trois questions.
a) Quelle est la probabilité que Yuna obtienne le bulletin réponse cité en exemple ?
b) Montrer que la probabilité que son bulletin réponse conduise à un total de 8 points est 0,432.
» Soit X la loi numérique égale à la note obtenue par Yuna pour un bulletin réponse.
a) Préciser toutes les valeurs (positives ou non) prises par X.
b) Établir la loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique de X.
H S A
H S A
. Ce résultat sera noté FJJ.F J J
p R( )
Exercice ¾
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26. Aide
aux exercices d’entraînement
Séquence 5 – MA01158
³ a) est immédiat d’après l’énoncé.
On peut faire un tableau illustrant ce qui se passe chaque samedi.
Le second samedi, il y a deux catégories de personnes qui vont voir le film A.
b) Pour calculer , on peut chercher combien de personnes ont vu le film A le second samedi
parmi les personnes ayant déjà vu le film A le premier samedi.
Pour , on fait de même.
Pour , il suffit de bien lire l’énoncé.
c) Les résultats précédents permettent de construire l’arbre pondéré.
d) Penser à la formule des probabilités totales.
· Un arbre pondéré correct permet de répondre aux questions posées. Revoir la formule donnant la
variance.
³ Passer 4 fois dans le carrefour revient à un schéma de Bernoulli.
On effectue 4 épreuves, la probabilité du succès étant égale à à chaque épreuve.
· On a un schéma de Bernoulli qui comporte 8 épreuves au lieu de 4.
³ a) L’arbre pondéré est composé de 3 chemins.
b) Le résultat est dans l’énoncé.
c) On cherche une probabilité d’intersection : on trouve le bon chemin et on multiplie deux nombres
entre eux.
d) On calcule la probabilité d’une intersection.
e) Calculer la probabilité de l’événement contraire.
On peut aussi calculer directement.
· a) Le gain est égal au prix de vente diminué du prix de fabrication.
En écrivant les gains au bout de chaque chemin de l’arbre, on obtient rapidement la loi de probabilité de X.
b) On calcule en fonction de t et on résout .
³ est une probabilité conditionnelle.
· Il y a deux chemins qui mènent à R : l’un comporte 2 branches et l’autre 3 branches.
» a) On a un schéma de Bernoulli comprenant 20 épreuves.
La probabilité du succès est .
La personne qui accepte de répondre peut être n’importe laquelle des 20.
b) Penser à l’événement contraire, c’est ici la seule méthode.
³ a) Le plus simple est de tracer un arbre ayant 8 branches finales. On écrit les 8 résultats possibles
au bout des 8 branches.
b) On peut indiquer sur l’arbre le nombre de points acquis. Il y a 3 résultats qui donnent 8 points.
· a) L’événement FJJ correspond à un chemin : on fait le produit des probabilités inscrites sur les
branches.
b) Les 3 résultats qui donnent 8 points ont la même probabilité.
» a) b) On peut se servir de l’arbre pour trouver les valeurs prises par X et pour établir sa loi de
probabilité.
c) Une formule donne le calcul de l’espérance. ■
p A1( )
pA1
A2( )
pB1
A2( )
p A1 A2∩( )
2
3
--
E X( ) E X( ) 0>
p R1( )
p R( )
Exercice ´
Exercice ²
Exercice ¶
Exercice º
Exercice ¾
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