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Mathématiques 6e
Livret de cours
Rédaction :
Claudine Albin-Vuarand
Nicole Cantelou
Marie-Jo Quéffelec
Marie-France Lefèvre
Marc Le Crozler
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que
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ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits.
©Cned-2009
© Cned – Académie en ligne

©Cned-2009
Sommaire
Séquence 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Règle, équerre, compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Séquence 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Séquence 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Séquence 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Multiplication de nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Séquence 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Symétrie axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Séquence 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
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©Cned-2009
Sommaire
Séquence 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Séquence 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Division décimale, écritures fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Séquence 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Séquence 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Périmètres, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Séquence 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Gestion de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Séquence 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Parallélépipèdes rectangles. Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
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conseils
Bienvenue au Cned, en classe de 6e
! Avant toute chose, commence par lire soigneusement ces deux
pages de conseils :
Je possède le bon matériel
une règle graduée
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100
une équerre
un compas un rapporteur
90
90
une calculatrice
Casio fx-92 Collège 2D TICollège

et du papier ...
- papier millimétré
- papier calque
- papier blanc
(c’est-à-dire sans lignes ni car-
reaux)
- un cahier de brouillon
Je m’organise en mathématiques
1- Le cours
Le cours est divisé en 12 chapitres que nous appellons « séquence ». Chaque séquence est
composée d’un certain nombre de séances que tu dois faire en une heure chacune.
une séance, c’est 1 h de travail.
— © Cned, Mathématiques 6e

2- Les commentaires du cours
Tout au long de ce cours, tu peux lire du texte comme ceci et du texte comme cela. Le texte
comme ceci représente les conseils à suivre au fil du cours, c’est en fait « la voix de ton professeur » qui
te suit et te guide au fil de ton cours.
3- Les exercices
Il existe trois niveaux de difficulté pour les exercices :
• Aucune étoile Exercice 1 C’est un exercice que tu dois savoir faire.
• Une étoile Exercice 11 C’est un exercice plus difficile, mais que tu dois savoir faire.
• Deux étoiles Exercice 29 C’est un exercice difficile !
Ne te décourage pas si tu rencontres des difficultés.
© Cned, Mathématiques 6e —

Sommaire de la séquence 1
Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Je redécouvre ce qu’est une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Je retiens le vocabulaire des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Je découvre la demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Je découvre le segment. Je différencie droite, demi-droite et segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Je découvre le milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
J’étudie les positions de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
J’étudie la médiatrice et les positions de droites - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
J’étudie les positions de droites - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Je redécouvre le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
J’apprends à reporter des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Objectifs
 Savoir tracer une droite, une demi-droite, un segment et un cercle.
 Être capable de tracer des droites parallèles, des droites perpendiculaires.
 Savoir déterminer le milieu d’un segment.
 Apprendre à utiliser le compas pour reporter des longueurs.
 Apprendre à effectuer des démonstrations.






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
©Cned-2009

Séquence 1séance 1 —
Séance 1
Je redécouvre ce qu’est une droite
Avant de commencer, lis à voix haute les objectifs de cette séquence : ce sont les compétences que tu
vas acquérir tout au long de la première séquence de l’année. Cette séquence comporte dix séances
d’environ une heure.
Maintenant, effectue le test ci-dessous. Il te permettra de faire le point sur des connaissances de
l’école primaire qui te seront utiles. Prends ton cahier d’exercices à la première page blanche et
écris le numéro et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 1 : RÈGLE, ÉQUERRE, COMPAS ».
Écris ensuite juste en dessous : « JE RÉVISE LES ACQUIS DE L’ÉCOLE ». Tu noteras les réponses
aux cinq questions du test. Une fois le test fini, reporte-toi à la partie « corrigés » afin d’étudier ce
que l’on attendait de toi ainsi que les remarques, observations et conseils du professeur.
Avant de commencer, je te rappelle qu’une figure, en mathématiques, est ce que tu dessines avec
(ou même sans) tes instruments de géométrie (par exemple des droites, des cercles, etc.).
je révise les acquis de l’école
1- La figure ci-dessous représente :
a) une droite
b) une courbe
c) un cercle
d) un segment
2- Quelle figure représente deux droites qui
semblent perpendiculaires ?
a) b)
c) d)
3- Quelle figure représente deux droites
qui semblent parallèles ?
a) b)
c) d)
4- Pour vérifier que deux droites sont
perpendiculaires, j’utilise :
a) un disque
b) un rapporteur
c) une équerre
d) un compas
5- Voici un segment. Le point représenté par le trait rouge représente :
2 cm 2 cm a) la moitié du segment b) le centre du segment
c) le milieu du segment d) une extrémité

Séquence 1 — séance 1
Voici maintenant l’activité que tu vas effectuer tout au long de la première séquence : tu auras à
compléter progressivement la carte afin d’arriver à trouver l’emplacement d’un trésor.

Exercice 1 La Carte au trésor
Autrefois, un pirate redoutable et cruel, mais féru de mathématiques, est venu se réfugier
sur une île perdue au milieu de l’océan : l’île de Mathie. Son fabuleux trésor y est caché et
personne ne l’a encore découvert malgré la carte que l’on retrouva des siècles plus tard.
Sauras-tu le localiser ? À toi de jouer !
Tu compléteras la carte de la page précédente à l’aide des indications du pirate au fur et à
mesure que tu avanceras dans la séquence.
Indication du pirate : « Les pistes rouge et bleue se rejoignent. »
Les pistes rouge et bleue, parfaitement rectilignes à l’époque, ont partiellement disparu.
Elles représentent deux droites.
• Trace ces deux droites à la règle à l’aide d’un crayon à papier bien taillé.
Elles se coupent en un point. Nomme ce point par la lettre K.
Une fois que tu as terminé l’exercice 1, lis son corrigé : pour cela, prends ton livret de corrigés à la
page 2.
Représenter une figure demande de la précision. Les traits doivent être fins. Pour cela, tu dois avoir
du matériel adapté : un crayon à papier bien taillé, une règle en bon état.
Avant de poursuivre la recherche du trésor, tu vas devoir approfondir tes connaissances sur les
points et les droites.
Tu viens de voir qu’un point s’obtenait naturellement comme étant le lieu où se « coupent deux
droites », mais un point peut aussi se représenter « tout seul ».
Écris « exercice 2 » dans ton cahier d’exercices puis effectue-le.
Exercice 2
1- Place un point A sur ton cahier (Indication : un point se représente par une petite croix)
2- Recopie et complète :
Pour tracer une droite, j’utilise .......................................................... .
3- Trace trois droites passant par A. Nomme-les (d),(d’) et (d’’).
Remarques : (d’) se lit « d prime » et (d’’) se lit « d seconde ».
4- Combien peut-on tracer de droites passant par A ?
a) 1 000 b) 1 000 000 c) plus que n’importe quel nombre : une infinité
Tu as terminé l’exercice 2 ? Lis son corrigé dans ton livret de corrigés.
Lis ensuite attentivement le paragraphe ci-dessous :
Un point se représente de trois façons différentes :
le point A est
sur une droite
le point A est là
où se coupent
deux droites
le point A se
trouve ici
le point A se
trouve ici
le point A se
trouve ici
le point A est
quelconque
A A
A
je retiens

Remarque : Pourquoi, dans le corrigé de la question 3) de l’exercice 2, le point A qui se trouve à
l’endroit où se coupent des droites est-il quand même représenté par une croix ?
Voici ce qu’il faut faire :
- si l’on te demande d’abord de placer un point, tu dois dessiner une croix. Si ensuite tu traces
des droites passant par ce point, tu n’effaces pas la croix.
- si l’on te demande de tracer deux droites qui se coupent en un point, tu n’as pas à dessiner de
croix : le point se trouve à l’endroit où elles se coupent.
Enfin, pour terminer cette séance, je te propose de réviser tes tables d’addition. Si possible, fais-toi
interroger par quelqu’un de ton entourage.
Séance 2
Je retiens le vocabulaire des droites
Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 3 La Carte au trésor — suite —
Le Phare du Vent est représenté par un point que l’on appelle V.
• Note la lettre V sur la carte. La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par le
point V ?
Entoure la bonne réponse OUI - NON
L’Épave de William est représentée par un point que l’on appelle W.
• Marque la lettre W sur la carte. La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par le
point W ?
Prends ton cahier de cours à la première page blanche et note en rouge le numéro et le titre de la
séquence : « SÉQUENCE 1 : DROITE, RÈGLE, ÉQUERRE ». Recopie le paragraphe ci-dessous
sur ton cahier :
LES BASES
Droite :
Une droite est une ligne droite illimitée « des deux côtés ».
On la représente par un trait droit.
)(d
On peut la nommer à l’aide d’une lettre écrite entre parenthèses.
Ci-contre, on a par exemple tracé la droite (d).
je retiens
— © Cned, Mathématiques 6e10

Droite et point :
On a représenté ci-dessous deux droites (Δ) et (Δ’). Le symbole Δ se prononce « delta » ,
c’est la lettre D écrite en grec.
A
(∆) ∆( )
B
‘
La droite (Δ) passe par le point A.
On peut également dire et écrire :
« A est un point de la droite (Δ) ».
« Le point A appartient à la droite (Δ) ».
La droite (Δ’) ne passe pas par le point B.
On peut également dire et écrire :
« B n’est pas un point de la droite (Δ’) ».
« Le point B n’appartient pas à la droite (Δ’) ».
On écrit : A ∈ (Δ)
↑
symbole mathématique
signifiant « appartient à »
On écrit : B ∉ (Δ’)
↑
symbole mathématique
signifiant « n’appartient pas à »
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret:
Exercice 4 La Carte au trésor – suite –
• Nomme respectivement (Δ) et (Δ’) les droites rouge et bleue à l’aide de ton crayon à
papier.
« respectivement » signifie que la première droite, (Δ), est celle tracée en rouge et que la seconde
droite, (Δ’), est celle tracée en bleu. Retiens bien cet adverbe : il sera souvent employé en
mathématiques.
Indication du pirate : « La première piste secrète est rectiligne. Elle passe par l’Arbre
Millénaire et l’Ancienne tour Fortifiée » .
• Nomme M le point représentant l’Arbre Millénaire et F celui qui représente l’Ancienne
tour Fortifiée. Trace une droite passant par ces deux points M et F.
• Peux-tu tracer une autre droite que la précédente, passant également par M et par F ?
On note cette droite la droite (MF).
Lis attentivement ce qui suit :
Propriété :
Par deux points distincts (c’est-à-dire différents) A et B, il ne
passe qu’une seule droite. On note cette droite (AB) ou (BA).

A
B
je retiens
© Cned, Mathématiques 6e — 11

Effectue l’exercice 5 directement sur ton livret:
Exercice 5
Voici quatre point E, F, G et H.
1- Trace toutes les droites passant par deux de ces points.
E
F
GH
2- Nomme ces droites de deux manières différentes :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 6 » et effectue l’exercice suivant :
Exercice 6
On considère trois points A , B et C. Combien y a-t-il de droites passant par deux de ces
points ?
Effectue ensuite l’exercice 7 directement sur ton livret.
Tu écriras tes réponses au crayon à papier et tu corrigeras (si c’est nécessaire) une fois que tu auras
lu le corrigé.
Exercice 7
1- Les points M, O et P semblent-ils alignés ?
2- Les points M, N, Q et R sont-ils alignés ?
P
O
M
Q
N
R
Cherche dans le dictionnaire la signification du mot « définition ». Prends ton cahier de cours et
recopie le paragraphe ci-dessous.
Définition de points alignés :
Reconnaître que trois points (ou plus) sont alignés revient à reconnaître que ces points
appartiennent à une même droite.
je retiens

Prends ton cahier d’exercices, note « Exercice 8 » et effectue l’exercice suivant :
Exercice 8
Place trois points alignés X, Y et Z et trace la droite (XY). La droite (XY) peut se nommer de
plusieurs façons. Donne-les toutes.
Effectue ensuite l’exercice 9 directement sur ton livret.
Exercice 9
1- Place S tel que K, N, S d’une part et L, M, S K
L
M
N
d’autre part soient alignés.
2- Place T tel que K, L, T d’une part et M, N, T
d’autre part soient alignés.
Effectue l’exercice10 directement sur ton livret:
Exercice 10 La Carte au trésor – suite–
Place le point B tel que :
• M, F et B soient alignés
• B ∈ (Δ).
Enfin, pour terminer cette séance, tu vas faire un peu de calcul mental :
Complète chacune des suites de nombres suivantes :
33 36 39 42 .... .... .... .... ....
23 28 38 43 53 58 68 .... .... .... ....
Réponse:
333639424548515457
2328384353586873838898
Séance 3
Je découvre la demi-droite
Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.
Indication du pirate : « Pour trouver le trésor, tu vas maintenant devoir marcher. Pars du
Dolmen du couchant, tourne-lui le dos, rejoins la Source éternelle et poursuis ton chemin
(pendant tout le trajet, marche toujours tout droit). »
Cette indication doit t’amener à tracer une demi-droite.

• Nomme D le point représentant le Dolmen du couchant et S celui de la Source éternelle.
• Trace la demi-droite nommée [DS). C’est la portion de la droite (DS) qui est limitée au point D,
qui passe par S et qui se prolonge au-delà de S.
Tu viens de découvrir la notion de demi-droite. Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le
paragraphe ci-dessous.
Demi-droite :
Une demi-droite est une ligne droite limitée « d’un côté »
et illimitée « de l’autre ».
Une demi-droite d’origine A est une demi-droite limitée
par le point A. On peut la noter [Ax).
A
x
La demi-droite d’origine A passant par le point B se note [AB). A
B
je retiens
Remarque : lorsqu’on nomme une demi-droite, on commence par citer son origine.
Dans la notation [AB), le crochet tourné vers A rappelle que la demi-droite est limitée par son
origine A et que A est un point de [AB). La parenthèse rappelle que la demi-droite est illimitée du
« côté » de B.
Effectue l’exercice d’application suivant directement sur le livret.
Exercice 12
1- A
B
On a représenté en bleu la demi-droite d’origine
.............. passant par ..............
On la note ..............
2-
C
D
On a représenté en bleu la demi-droite d’origine
............... passant par ..............
On la note ..............
3-
E
F
G 1ère
possibilité : On a représenté en bleu la demi-
droite d’origine .............. passant par ..............
On la note ..............
2ème
possibilité : On a représenté en bleu la
demi-droite d’origine .............. passant par
.............. On la note ..............
4-
H
I
Trace la demi-droite d’origine H passant par I.
On la note ..............
5-
J
K
L
J, K et L sont des points alignés.
Trace la demi-droite d’origine L passant par J.
On la note .............. ou ..............
Effectue les trois exercices suivants sur le livret. Utilise des crayons de couleur pour tracer les demi-
droites.

Exercice 13
Les trois points A, B et C sont alignés.
A
B
C
a) Trace en bleu la demi-droite d’origine B passant par A.
b) Trace en vert la demi-droite d’origine B passant par C
c) Ces deux demi-droites ont-elles des points en commun ?
Si oui, lesquels ? ..............................................................
d) Que représente la partie coloriée en vert ou en bleu ?
........................................................................................
Exercice 14
a) Trace en bleu la demi-droite d’origine K passant par L.
M
K
L
b) Trace en vert la demi-droite [LM).
c) Trace en jaune la demi-droite [MK).
d) Trace en rouge la demi-droite [ML).
e) Que représente la partie coloriée en vert ou en rouge ?
........................................................................................
Le symbole ∈ qui signifie « appartient à », que tu as vu pour un point appartenant à une droite
s’utilise également avec les demi-droites et les segments. Il en est de même pour le symbole ∉.
Exercice 15
Complète les pointillés par ∈ ou ∉ :
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
M .............. [AB)
M .............. [Ar)
M .............. [As)
C .............. [Bt)
C .............. [NB)
C .............. [Cw)
B .............. [CB)
Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 16 » et effectue-le.
Exercice 16
Trace une demi-droite [Ex).
1- Place un point M tel que : M ∉ [Ex).
2- Place un point N tel que : N ∈ [Ex).
3- Place un point O qui appartient à la droite (Ex) et qui n’appartient pas à la demi-droite
[Ex).
4- Trace la demi-droite [Mt) telle que O appartienne à cette demi-droite.
5- Nomme une demi-droite déjà tracée dont l’origine est le point N et
telle que O n’appartienne pas à cette demi-droite.

Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental :
Ajouter 24, c’est ajouter 20 puis 4. Ajouter 36 c’est ajouter 30 puis 6.
Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous :
123 + 24 = ............. 53 + 36 = ............. 432 + 63 = ............. 215 + 81 = ..............
Réponse:
123+24=14753+36=89432+63=495215+81=296
Séance 4
Je découvre le segment.
Je différencie droite, demi-droite et segment.
Pour commencer cette séance, tu vas continuer la recherche du trésor.
Exercice 17 La Carte au Trésor – suite –
Indication du pirate : « Tu as été trop loin : il faut revenir sur tes pas. Pour poursuivre ta
recherche, tu dois rejoindre le Ravin qui se trouve à la croisée de deux pistes » :
• celle sur laquelle tu te trouves
• la piste rectiligne limitée par l’Ours pétrifié et l’Arbre à thé.
• Note O le point représentant l’Ours Pétrifié et A celui de l’Arbre à Thé.
• Représente la piste rectiligne partant de O et allant jusqu’au point A. Tu viens de tracer
un segment.
On le note [OA] ou [AO] car un segment n’a pas « de sens ».
• Le segment [OA] et la demi-droite [DS) se coupent en R, le point recherché qui
représente le Ravin. Marque le point R.
Nous nous rendons alors au point R pour poursuivre notre recherche.
Tu viens de re-découvrir la notion de segment. Recopie sa définition sur ton cahier de cours à la
suite de ce qui était écrit précédemment :
Segment :
La partie de la droite (AB) comprise entre les points A
B
A et B est appelé le segment d’extrémités A et B. A ∈ [AB] B ∈ [AB]
On le note [AB] ou [BA].
On mesure la longueur d’un segment avec une règle graduée.
On note AB ou BA la longueur du segment [AB].
Les phrases suivantes ont la même signification :
« Le segment [AB] mesure 4 cm. »
ou « La longueur du segment [AB] est égale à 4 cm. »
ou « AB = 4 cm. »
Attention : il ne faut pas confondre [AB] qui désigne un segment et AB qui désigne un nombre
(puisque c’est une longueur).
Remarque : On utilise deux crochets lorsqu’on nomme un segment afin de rappeler qu’un segment
est limité à ses deux extrémités et que les deux extrémités appartiennent au segment.
je retiens

Effectue directement ci-dessous l’exercice d’application suivant :
Exercice 18
1-
A B
On a représenté le segment d’extrémités
.............. et ............... .
On le note .............. ou ...............
AB = .............. cm.
2- C
D
On a représenté le segment d’extrémités ....
et ............... .
On le note .............. ou ..............
.............. = .............. cm.
3-
E
F On a représenté le segment d’extrémités ....
.............. et ............... .
On le note .............. ou ..............
.............. = .............. cm.
4-
G H I Trace en bleu le segment [GH].
GH = .......... cm.
5-
J
K L
Trace en bleu le segment [KL].
KL = .......... cm.
Effectue l’exercice 19 ci-dessous directement sur le livret.
Exercice 19
Sur cette figure sont représentés :
CD
E
• la droite .................................
• la demi-droite ........................
• le segment ..............................
Prends maintenant ton cahier d’exercices, note « exercice 20 », et effectue-le.
Exercice 20
Place deux points R et S. Trace en bleu la demi-droite [RS). Trace en vert la demi-droite
[SR).
a) Que représente la partie coloriée en bleu ou en vert ?
b) Que représente la partie coloriée à la fois en bleu et en vert ?
Effectue l’exercice 21 suivant directement sur le livret.

Exercice 21
On a représenté quatre points P, Q, R et S.
P
Q
R
S
Trace et nomme tous les segments ayant
pour extrémités deux de ces points.
Effectue l’exercice suivant directement sur le livret.
Exercice 22
Observe la figure ci-contre puis complète en remplaçant
B
A
C
D
F
E
les pointillés par ∈ ou ∉.
E ..............[AB] E ............. [AB) E ............. (AB)
F ..............[BC] F ............. [BC) F ............. (BC)
D .............[AC] D ........... [AC) D............. (AC)
A .............[CA]
Prends ton cahier d’exercices, note « exercice 23 » et effectue l’exercice ci-dessous :
Exercice 23
Place trois points A, B et C.
1- Trace un point M tel que : M ∉ [AB] et M ∈ [AB).
2- Trace un point N tel que : N ∈ [BC].
3- Trace un point P tel que P appartienne à [NB) et P n’appartienne pas à [BN].
4- Trace (MN), [NA] et [PM).
Nous allons maintenant apprendre ensemble à tracer un segment dont on connaît la longueur.
Lis attentivement la méthode commentée ci-dessous.
je comprends la méthode
Tracer un segment [AB] tel que AB = 5 cm
1ère
étape : On prend une règle graduée et on trace un trait allant de la graduation 0 à la graduation 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2ème
étape : On trace deux petits « traits » aux extrémités et on note le nom des points : A et B. On
peut enfin noter la longueur « au-dessus du segment », soit ici 5 cm ou bien seulement 5 (si l’unité est
le centimètre). Tu n’es pas obligé de représenter un segment horizontal : tu peux le tracer où tu veux, et
dans n’importe quelle direction.
A B5 cm

Maintenant que tu sais représenter un segment dont on connaît la longueur, entraîne-toi en
effectuant l’exercice 24 sur ton cahier d’exercices. N’oublie pas avant de commencer par écrire
« Exercice 24 ».
Exercice 24
a) Trace un segment [EF] tel que EF = 7 cm.
b) Trace un segment [EG] tel que EG = 3 cm.
c) Trace un segment [FH] tel que FH = 4,5 cm
Enfin, pour terminer cette séance, voici un peu de calcul mental :
Ajouter 19, c’est ajouter 20 puis retrancher 1. Ajouter 29, c’est ajouter 30 puis retrancher 1.
Utilise cette méthode pour trouver mentalement les réponses ci-dessous.
64 + 19 =................... 67 + 29 =................... 137 + 49 =................. 248 + 39 =.................
Réponse:
64+19=8367+29=96137+49=186248+39=287
Séance 5
Je découvre le milieu d’un segment
Exercice 25
a) Trace un segment [CD] tel que CD = 8 cm.
b) Place sur ce segment le point I tel que CI = 4 cm.
c) Détermine la longueur DI (déterminer veut dire calculer).
d) Que peux-tu dire des longueurs CI et DI ?
Recopie sur ton cahier de cours, à la suite de ce que tu as déjà écrit :
Définition du milieu d’un segment :
Le milieu I du segment [AB] est le seul point du segment [AB] tel que IA = IB.
A
B
I
Les deux petits traits bleus sur le segment [AI] et sur le segment [IB]
signifient que les segments [AI] et [IB] ont la même longueur. On les
appelle « un codage ». Ils permettent de visualiser l’égalité de longueur
sur la figure. On peut utiliser de nombreux codages différents (deux
traits, trois traits, une croix, un petit cercle...) pour signifier que des
segments sont de même longueur.
Remarque : cette définition signifie que le milieu d’un segment est l’unique point
(c’est-à-dire qu’il n’y en a pas d’autre) qui vérifie à la fois les deux conditions suivantes :
• I est un point du segment [AB] (c’est-à-dire « I ∈ [AB] »)
• I est à la même distance de A que de B (c’est-à-dire « IA = IB »).
je retiens

Effectue maintenant les exercices d’application ci-dessous sur ton livret.
Exercice 26
1- Place les milieux I, J et K respectifs
F
C
A
D
B
Edes segments [AB], [CD] et [EF] et
code les segments de même longueur.
2- Que peux-tu dire des points I, J et K ?
.....................................................................
.....................................................................
Exercice 27
1- Place les milieux I, J et K respectifs
L
M
Ndes segments [NL], [MN] et [ML] et
code les segments de même longueur.
2- Trace les droites (IM), puis (JL) et
enfin (KN).
3- Que remarques-tu ? ..............................
................................................................
................................................................
Rappel : Tu te trouves au Ravin représenté par le point R.
Indication du pirate : « Marche maintenant tout droit jusqu’au milieu de la piste rectiligne
limitée par le Ravin et la Pyramide de Mathie. »
• Nomme P le point représentant la Pyramide de Mathie.
• Trace le segment [RP].
• Place le milieu U du segment [RP]. Pour cela, mesure la longueur de ce segment.
Rejoignons maintenant le point U pour poursuivre notre recherche.
Exercice 29
Dans la figure ci-contre :
A
B
C
D
F
E
• AB = BC = CD = DA
• CE = CF
• C ∉ [AF]

1- Code les segments de même longueur.
2- On suppose de plus que C est le milieu de [AE].
Explique pourquoi : CA = CF.
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
3- Pourquoi C n’est-il pas le milieu du segment [AF] ?
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Exercice 30
Dans la figure ci-contre, on a :
B
A
D
E
F
C
B ∈ [AC] et F ∈ [AE]. On sait également que CD
n’est pas égal à BC.
a) B est-il le milieu de [AC] ?
Explique ta réponse.
............................................................................................
............................................................................................
b) F est- il le milieu de [AE] ?
............................................................................................
............................................................................................
Prends ton cahier d’exercices, note « Exercice 31 » et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 31
1- Trace :
a) un segment [AB] de 5 cm b) le point D tel que B soit le milieu de [AD].
c) le point E de [DB) tel que : DE = 8 cm d) le point F de [BD] tel que : BF = 3 cm
2- Calcule AD, AE, EB.
3- Que représente B pour le segment [EF] ? Justifie ta réponse
Finissons cette séance par un peu de calcul mental :
Complète les cases ci-dessous :
16 77
+5 +14 +29 +13 +39
Réponse:
1621356477
+5+14+29+13+39
116

séance 6
J’étudie les positions de droites
Effectue l’exercice ci-dessous :
(d1)
(d2)
(d3)
(d4)
(d5)
Exercice 32
On a représenté 5 droites.
1- Cite deux droites qui semblent ne jamais se
couper ................................................................
2- Cite deux droites qui se coupent, puis deux autres,
puis deux autres. .................................................
3- Cite deux droites qui semblent se couper
en formant un angle droit ....................................
Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :
LES DROITES
Définition de deux droites sécantes :
On dit que deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun et un seul.
(d')
(d)
I
Exemple :
Ci-contre, (d) et (d’) sont sécantes.
I est le point d’intersection des droites (d) et (d’).
I ∈ (d) et I ∈ (d’).
On dit également : les droites (d) et (d’) sont sécantes en I.
Définition de deux droites perpendiculaires :
Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont appelées des droites
perpendiculaires.
(d')
(d)
I

Exemple :
Pour exprimer qu’une droite est perpendiculaire à une autre,
on utilise le symbole « ⊥ ». On écrit : (d) ⊥ (d’)
Le symbole ⊥ signifie : « est perpendiculaire à ».
Pour coder l’angle droit sur la figure, on représente un petit
carré (un seul carré suffit).
Remarque : Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes
particulières
Définition de deux droites parallèles :
Deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées des droites parallèles.
(d')
(d)

Exemple :
Pour exprimer qu’une droite est parallèle à une autre, on utilise
le symbole « // ». On écrit : (d) // (d’).
Le symbole // signifie : « est parallèle à ».
je retiens

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :
Exercice 33
Indique, en complétant les pointillés, si les droites « semblent perpendiculaires » ou « ne
sont pas perpendiculaires ».
1- Les droites
...............................
perpendiculaires.
2- Les droites
...............................
perpendiculaires.
3- Les droites
...............................
perpendiculaires.
4- Les droites
...............................
perpendiculaires.
Exercice 34
Indique, en complétant les pointillés, si les droites semblent ou ne sont pas parallèles.
1- Les droites
...............................
parallèles.
2- Les droites
...............................
parallèles.
3- Les droites
...............................
parallèles.
4- Les droites
...............................
parallèles.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants :
Exercice 35
1- Trace une droite (d) perpendiculaire à (Δ).
(∆)
Trace une autre droite (d’) perpendiculaire
à (Δ). Trace une nouvelle autre droite (d’’)
perpendiculaire à (Δ).
2- Combien de droites perpendiculaires à (Δ)
peux-tu tracer ? Coche la bonne réponse.
a) Je peux tracer une seule droite perpendiculaire à (Δ).
b) Je peux tracer beaucoup de droites perpendiculaires
à (Δ) mais « au bout d’un moment », je ne peux plus.
c) Je peux tracer une infinité de droites perpendiculaires à (Δ).

Exercice 36
1- Trace une droite perpendiculaire à (d)
(d)
C
K
passant par le point C.
2- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire
à (d) passant par le point C ?
Entoure la bonne réponse : OUI – NON
3- Trace une droite perpendiculaire à (d)
passant par le point K.
4- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire
à (d) passant par le point K ?
Entoure la bonne réponse : OUI – NON
Lis l’encadré ci-dessous :
Propriété :
Soit une droite (d) et un point A. Il existe une seule
(d)
A
(d)
A
droite passant par A et perpendiculaire à (d).
je retiens
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Tu devras l’appliquer dans les prochains exercices.
Tracer la perpendiculaire (d’) à la droite (d) passant par le point A A
(d)
1- On place un côté de
l‘angle droit de l’équerre
le long de la droite, on
fait glisser l’équerre
le long de la droite
jusqu’à ce que le point
A se trouve sur l’autre
côté de l’angle droit de
l’équerre.
2- On trace la droite passant
par A et « longeant »
le côté de l’angle droit
passant par A.
3- On prolonge le trait à
l’aide d’une règle et
on code l’angle droit :
on place un petit carré
à l’intersection des deux
droites. On écrit (d’) le
nom de la droite.
A
(d)
(d)
A
A
(d)
(d')
Applique la méthode précédente dans l’exercice qui suit.

Exercice 37
Dans les différents cas suivants, construis la droite (Δ) passant par M et perpendiculaire à (d).
M
(d)
M
(d)
M
(d) M
(d)
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :
Exercice 38
1- Trace : E
F G
• la droite (d1
) passant par E et
perpendiculaire à (FG)
• la droite (d2
) passant par F et
perpendiculaire à (EG)
• la droite (d3
) passant par G et
perpendiculaire à (EF).
2- Que peux-tu dire des droites (d1
),(d2
) et (d3
) ?
Rappel : Tu es sur la piste reliant le Ravin au point U. Tu te trouves au point P.
Indication du pirate : « Repère la piste perpendiculaire à la tienne et suis-la sur 10 km
(tu n’auras pas à nager !). »
• Trace la perpendiculaire au segment [RP] passant par le point U. Nomme-la (d).
• Place le point X tel que :
X est sur la droite (d)
X est à 10 km de U
X se trouve sur l’île.
Nous marchons jusqu’au point X. Nous nous rapprochons du trésor ...

Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, à la suite :
Définitions de droites concourantes :
Dire que trois droites ou plus sont concourantes, c’est dire que ces droites ont un point
commun et un seul.
Exemple : les droites (d), (d’) et (d’’) sont concourantes en I.
(d')
(d)
(d'')
I
I est le point commun aux droites (d), (d’) et (d’’).
On dit aussi : I est le point de concours des droites (d), (d’)
et (d’’).
I ∈ (d) I ∈ (d’) I ∈ (d’’)
je retiens
Effectue enfin les deux exercices ci-dessous sur ton livret :
Exercice 40
AB
F
G
M
Construis le point K tel que l’on ait à la fois :
• les points F, G et K alignés
• (MK) ⊥ (AB).
Exercice 41
Observe bien la figure qui suit. Essaie de comprendre la méthode de construction et
continue la figure jusqu’à ce qu’un des points entre dans la case « cible ». Tu obtiendras
alors une figure appelée : « l’escargot de Pythagore ».

2
cible
point de départ
Indication : la figure doit ressembler à ceci :
Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par
2, 3 et 4 et fais-toi interroger si tu le peux.

Séance 7
J’étudie les positions de droites - suite -
Recopie sur ton cahier de cours et à la suite :
Définition de la médiatrice :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire
A
B
(d)
I
à ce segment en son milieu.
Remarque : cette définition signifie que la médiatrice
d’un segment est la seule droite qui
• est perpendiculaire au segment
• le coupe en son milieu. (d) est la médiatrice de [AB] :
(d) ⊥ (AB)
et I est le milieu de [AB]
je retiens
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :
Exercice 42
Précise, en justifiant ta réponse, si la droite (d) est la médiatrice du segment [MN] dans les
différents cas suivants :
a)
M
N
(d)
b)
M
N
(d)
c)
M
N
(d)
Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.
Exercice 43
Trace la médiatrice (d) du segment [GH] et la médiatrice (Δ) du segment [CB].
G
H

C
B

Exercice 44
O
P
Q
1- Trace les médiatrices (d1
), (d2
) et (d3
)
respectives des segments [OP], [PQ]
et [QO].
), (d2
)
et (d3
) ?
........................................................
........................................................
........................................................
Remarque : (d1
), (d2
) et (d3
) se lisent « dé un », « dé deux » et « dé trois ».
Exercice 45
(d1
)
Trace une droite (d2
) perpendiculaire à la droite (d1
)
puis une droite (d3
) perpendiculaire à (d1
).
Que peut-on dire des droites (d2
) et (d3
) ?
........................................................
........................................................
........................................................
Tu viens de voir que deux droites perpendiculaires toutes les deux à une même troisième droite
semblent parallèles. En fait, ce résultat est toujours vrai. À partir de maintenant, on considèrera
que ce résultat est toujours vrai : ce résultat s’appelle une propriété.
Recopie sur ton cahier de cours et à la suite la propriété suivante :
Propriété 1 :
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite,
(d2 )
(d3
)
(d1
)
alors elles sont parallèles.
Ceci s’écrit également :
Si (d2
) ⊥ (d1
) et (d3
) ⊥ (d1
) alors (d2
) // (d3
)
je retiens
En mathématiques, on ne peut affirmer un résultat que si on l’a prouvé (on dit démontré).
Cette année, tu vas apprendre à démontrer des résultats (c’est-à-dire faire des démonstrations).
Pour cela, on ne peut utiliser que ce que l’on sait d’après l’énoncé et le cours.
Ce que l’on sait d’après l’énoncé (et éventuellement une question précédente) s’appelle les
données.
Une propriété, comme celle que nous venons de voir précédemment, est un outil important pour
faire des démonstrations.

Nous allons commencer par apprendre à faire un plan de démonstration. Etudions ce que nous
appelons un plan de démonstration sur un exemple :
Effectuer un plan de démonstration permettant de démontrer que (d’) et (d’’) sont parallèles
(d’)
(d)
(d”)
1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d).
2- On sait que : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième droite, alors elles sont parallèles » .
3- On rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :
On sait que :
(d’) ⊥ (d) et (d’’) ⊥ (d)

On applique la propriété : « Si deux droites sont
perpendiculaires à une même troisième droite, alors
elles sont parallèles.»

On déduit que :
(d’) // (d’’)
Remplis les deux plans de démonstration suivants :
Exercice 46
a)
On sait que :
.............................................................
(d)
(d1)
(∆)

On applique la propriété : .........................................
.................................................................................
.................................................................................
On déduit que :
.............................................................
b)
On sait que :
.............................................................

(d1)
(d2)
(d3
)

On applique la propriété : .........................................
.................................................................................
.................................................................................

On déduit que :
.............................................................

Effectue les trois exercices suivants :
Exercice 47
Complète les deux plans de démonstration ci-dessous :
1-
On sait que :
(d) ⊥ (Δ) et (Δ’) ⊥ (Δ)

On applique la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires
à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»

On déduit que :
...................................
2-
On sait que :
............ et (d) ⊥ (d’)

On applique la propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires
à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.»
On déduit que :
(d) // (Δ)
Exercice 48
1- Démontre que (d1
) et (d3
) sont parallèles.
J
K
L
(d1)
(d2)
(d3
)
(d4
)
Tu feras un plan de démonstration.
) et (d4
) ?
Figure à main levée
Exercice 49
On considère trois points A, B et C alignés dans cet ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm.
1- Trace la droite (d) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB).
2- Trace la médiatrice (∆) du segment [AB].
3- Démontre que les droites (∆) et (AB) sont perpendiculaires.
4- Que peux-tu dire des droites (∆) et (d) ?

Rends-toi à la page des tables à la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 5,
6 et 7 puis fais-toi interroger si tu le peux.
Séance 8
J’étudie les positions de droites - fin -
Effectue l’exercice ci-dessous :
Exercice 50
(d)
A
1- Trace la droite (∆) perpendiculaire à (d)
et passant par A.
2- Comment tracer une droite (d’) parallèle à (d)
et passant par A ?
............
............
............
3- Combien selon toi peut-on tracer de droites
parallèles à (d) et passant par A ?
............
............
............
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
Propriété :
Soit une droite (d) et un point A. Il existe une seule droite (d’)
(d)
(d')
A
passant par A et parallèle à (d).
(d’) // (d)
A ∈ (d’)
je retiens

On peut tracer (d’) en traçant la droite représentée dans le « je retiens » en pointillés.
Cependant, je te conseille d’apprendre à tracer (d’) sans faire ce tracé intermédiaire.
Pour cela, lis attentivement l’encadré suivant :

(d)
ATracer (d’) la parallèle à une droite (d) passant par le point A
1- On place un côté de l‘angle droit de
l’équerre le long de la droite, on fait
glisser l’équerre le long de la droite
jusqu’à ce que le point A se trouve sur
l’autre côté de l’angle droit de l’équerre.
2- Ensuite, on place la règle le long du bord
de l’équerre qui est perpendiculaire à la
droite (d).
(d)
A
(d)
A
3- On fait glisser l’équerre le long de la
règle jusqu’à ce que le point A se trouve
sur l’autre côté de l’angle droit de
l’équerre. On trace la droite passant par
A et qui longe ce côté.
4- On nomme (d’) la droite tracée.
(d)
A
(d)
(d')
A
Entraîne-toi en effectuant les exercices ci-après directement sur ton livret.

Exercice 51
Dans chacun des cas suivants trace la parallèle (d’) à la droite (d) passant par A.
a)
(d)
A
b)
(d)
A
Exercice 52

Construis le point D tel que (BD)
A
B
C
soit perpendiculaire à (AC) et
(CD) soit parallèle à (AB).
Exercice 53 La Carte au trésor – suite–
Rappel : Tu te trouves au point X.
Indication du pirate : « Repère la piste passant par l’endroit où tu te trouves et qui est
parallèle à la piste passant par le Ravin et la Source éternelle »
• Trace la parallèle à la droite (RS) passant par le point X. Nomme-la (d’).
Nous marcherons dans cette direction au prochain épisode.
Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant :
Exercice 54
1- Trace trois droites (d1
), (d2
) et (d3
) telles que : (d1
) // (d2
) et (d1
) ⊥ (d3
).
) et (d3
) ?
Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous :
Propriété 2 :
Soient deux droites parallèles.
(d1)
(d2)
(d3
)
Si une troisième droite est perpendiculaire à l’une
de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Si (d1
) // (d2
) et (d3
) ⊥ (d1
) alors (d3
) ⊥ (d2
).
je retiens

Nous allons apprendre à utiliser la propriété précédente pour faire des démonstrations :
Effectuer un plan de démonstration permettant
de démontrer que (d1
) et (d2
) sont perpendiculaires
(d1)
(d2)
(d3)
1- Voici les données (ce que l’on sait) : (d2
) // (d3
) et (d1
) ⊥ (d3
).
2- On connaît la propriété : « Soient deux droites parallèles. Si une
troisième droite est perpendiculaire à l’une de ces deux droites, alors elle
est perpendiculaire à l’autre ».
3- On rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :
On sait que :
(d2
) // (d3
) et (d1
) ⊥ (d3
)
On applique la propriété : « Soient deux droites
parallèles. Si une troisième droite est
perpendiculaire à l’une de ces deux droites,
alors elle est perpendiculaire à l’autre.»

On déduit que :
(d1
) ⊥ (d2
)
Remplis les deux plans de démonstration suivants :
Exercice 55 (d')
(Δ) (d)
a)
On sait que :
.............................................................
On applique la propriété : ....................................
............................................................................
............................................................................

On déduit que :
............................................................. (d’) // (Δ)
b)

On sait que :
.............................................................
(d1
)
(d2)
(d3)

On applique la propriété : ....................................
............................................................................
............................................................................

On déduit que :
.............................................................

Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous :
Exercice 56
On considère la figure à main levée ci-contre.
(d1)
(d2 )
(d4)
(d3)
Les droites (d1
) et (d3
) sont parallèles.
) est perpendiculaire à (d3
).
) et (d4
) sont parallèles.
Exercice 57
1- Dans la figure ci-contre on a :
(d1)
(d3)
(d2)
(d1
)//(d2
) et (d3
)//(d2
).
Trace une droite (∆) perpendiculaire à (d2
)
directement sur la figure de ton livret.
Réponds aux questions suivantes sur ton cahier.
2- Que peut-on dire de (d1
) et (∆) ?
) et (∆) ?
) et (d3
) ?
5- Quelle propriété vient-on de démontrer dans cet exercice ?
Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous :
Propriété 3 :
Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, (d1)
(d3)
(d2)
alors elles sont parallèles entre elles.
Si (d1
) // (d2
) et (d1
) //(d3
) alors (d2
) // (d3
)
je retiens

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous :
Exercice 58
1- Trace la droite (d) passant par B et
C
B
A
D
E
perpendiculaire à (AD)
puis la droite (d’) passant par C et
perpendiculaire à (d) et
enfin la droite (d’’) passant par E et
parallèle à (d’).
2- Démontre que : (AD) // (d’).
3- Que peut-on dire des droites (AD) et (d’’) ?
Rends-toi à la page des tables, à la fin de ton livret. Revois les tables de multiplication par 8
et 9, puis fais-toi interroger si possible.
Séance 9
Je redécouvre le cercle
Voici un exercice qui va te faire découvrir ce qu’est un cercle.
Exercice 59
Effectue la première partie de cet exercice sur
ton livret de cours :
Première partie :
1- On a placé les points A, B, C, D, E
et F sur un cercle C .
Complète après avoir effectué une mesure :
OA = .............. cm OB =.............. cm
OC = ............. cm OD =.............. cm
OE = ............. cm OF =.............. cm
Que remarques-tu ?
............................................................
............................................................
............................................................
2- Place trois points J, K et L tels que :
OJ = 1 cm, OK = 2,5 cm , OL = 3 cm.
Les points situés à moins de 4 cm du point O semblent se trouver ......................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
O
B
D
F
E
A
C
C

3- Place trois points M, N et P tels que OM = 4,5 cm, ON = 5 cm, OP = 6 cm. Les points
situés à plus de 4 cm du point O semblent se trouver .........................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Écris « Exercice 59 » sur ton cahier d’exercices et effectue la deuxième partie de cet exercice :
Deuxième partie :
Place un point O au milieu de ta feuille puis place six points G, H , I, J, K et L tels que :
OG = OH = OI = OJ = OK = OL = 3 cm.
Que remarques-tu ?..........................................................................................................
..........................................................................................................................................
Prends ton cahier de synthèse et écris le paragraphe ci-dessous.
Définition du CERCLE
Le cercleC de centre O et de rayon 2 cm est l’ensemble
O
C M
2 cm
de tous les points situés à 2 cm du point O.
Autrement dit :
Si M ∈C alors OM = 2 cm.
Si OM = 2 cm alors M ∈ C .
Remarque : le centre O du cercle n’est pas un point
du cercle.
je retiens
Maintenant que tu as vu ce qu’était un cercle, effectue cet exercice d’application directement sur le
livret.
Exercice 60
1- Le centre du cercle passant par ...........
H
B
D
F
E
A
C
G
H, E et C est un des points de la figure.
À l’aide d’une règle graduée,
trouve-le. ...........................................
2- Le centre du cercle passant par
B, D et F est un des points de la figure.
trouve-le. ...........................................
3- Le cercle de centre G passant
par le point C passe
par un des points de la figure.
trouve-le. ...........................................
Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après. Le vocabulaire concernant
le cercle est à apprendre et à retenir.

Vocabulaire :
Soit un cercle C de centre O et
de rayon 2,5 cm.
O
C
K
L
A B
AB
C
• Un rayon est un segment
dont les extrémités sont
un point du cercle et
le centre O du cercle.
Exemples : [OC], [OL], [OK]
Le rayon est la longueur
de chaque rayon soit ici 2,5 cm.
• Une corde est un segment
dont les extrémités
sont deux points du cercle.
Exemple : [AB]
• Un diamètre est une corde qui passe
par le centre O du cercle.
Exemple : [KL]
Le diamètre est la longueur de chaque diamètre soit ici 2 x 2,5 soit 5 cm.
• L’arc AB est la plus petite portion de cercle comprise entre les points A et B.
je retiens
Les cercles sont des formes que l’on retrouve souvent dans la
nature. En voici un exemple : des cercles obtenus en lançant
une pierre à la surface d’un lac. Ces cercles ont tous le même
centre : on dit alors qu’ils sont concentriques.
© Cned
Exerce-toi maintenant à tracer des cercles en faisant l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 61
1- Trace un cercle de centre Y et
de rayon 3 cm.
C
B
A
2- Trace un cercle de centre Z et
de diamètre 4 cm.
(Effectue la suite de l’exercice sur ton livret)
3- a) Trace le cercle C 1
de centre A
et passant par C.
b) Trace le cercle C 2
de centre B
et passant par C.
c) Trace le cercle C 3
de centre C
et passant par B.
Tu as vu comment tracer un cercle de diamètre 4 cm. Lis attentivement l’encadré ci-après,
il t’apprendra à tracer un cercle dont on connaît un diamètre (et non le diamètre : ce n’est pas
la même chose ! ).

Tracer le cercle de diamètre [EF]
1- On veut tracer le cercle
de diamètre [EF].
2- On mesure [EF].
On trouve 6 cm.
On place alors le milieu de
[EF] à 3 cm de E sur [EF].
3- On pointe le compas sur
le milieu du segment, on
prend pour écartement
la distance entre ce point
et F (3 cm) et on trace le
cercle.
E
F E
F
0 1 2 3 4 5 6 7
E
F
Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 62
1- Trace un segment [CD] de 7 cm.
2- On considère le cercle C de diamètre [CD]. Place O le centre du cercle C .
3- Trace le cercle C de diamètre [CD].
4- Trace une corde [CE] telle que CE = 4 cm.
5- Représente en vert l’arc DE.
Exercice 63
Trace un segment [EF] de 3 cm. Quels sont les points situés à la fois à 4 cm de E et à 5 cm
de F ?
Exercice 64
1- Trace deux points K et L tels que : KL = 6 cm.
2- Trace le cercle C de centre K et de rayon 4 cm puis le cercle C ‘ de centre L et de rayon
3 cm.
3- Hachure en vert la zone où les points sont situés à moins de 4 cm de K.
4- Hachure en bleu la zone où les points sont situés à moins de 3 cm de L.
5- Quelle est la zone où sont situés les points à moins de 4 cm de K et à moins de 3 cm de L ?

Rappel : Tu te trouves au point X.
Indication du pirate : « Le point Y où tu dois aller se trouve sur la piste représentée
par la droite (d’). Il se trouve à 6 km du Gué du diable et il doit te rapprocher de l’arbre
Millénaire ».
• Note G le Gué du diable.
• Trace l’ensemble des points situés à 6 km du point G.
• Le point Y se trouve à 6 km du point G sur (d’) et il doit être en sorte que l’on se
« rapproche de M ». Place le point Y sur la carte.
Nous marchons jusqu’au point Y. Il ne reste plus qu’une étape à franchir avant de trouver le trésor !
Effectue maintenant l’exercice suivant directement sur ton cours.
Exercice 66

Construis le point A tel que A appartienne au cercle
M
O
N
de diamètre [MN] et (AN) // ( MO).
Exercice 67

Construis un point B tel que
• d’une part, B appartienne au cercle
L K
P R
de centre K passant par L.
• d’autre part : (BP) ⊥ (KR).
Complète les pointillés :
4 x ............... = 24 6 x .............. = 36 5 x .................= 45 6 x ................ = 54
Réponse:
4x6=246x6=365x9=456x9=54

séance 10
J’apprends à reporter des longueurs
Nous allons commencer cette séance par des exercices de reproduction de figures mathématiques.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les exercices suivants :
Exercice 68
La figure ci-contre est représentée à
A I B
C
D
5,5 cm
4 cm
main levée. Reproduis-la à l’aide
d’une règle graduée
et d’une équerre.
I ∈ [AB]
Exercice 69

Reproduis la figure ci-contre.
3 cm 3 cm
Nous allons maintenant apprendre, à partir d’une figure, à écrire une consigne (un petit texte)
permettant à quelqu’un qui ne verrait pas la figure de pouvoir la tracer. Lis attentivement le
paragraphe ci-après :

Écrire un texte permettant de reproduire la figure ci-dessous
A B
C
D
C (d) Il s’agit de repérer les caractéristiques de
la figure pour permettre à quelqu’un qui
n’aurait pas vu la figure de pouvoir la
reproduire.
• On trace un triangle ABC.
• On trace le cercle C dont [AC] est
un diamètre .
• D est le centre du cercle C .
• On trace le segment [BD].
• La droite (d) est la droite perpendiculaire
à (AB) passant par le point B.
Attention : Quand on dit « reproduire une figure », on ne veut pas dire
A
D
C
C
B
(d)
« reproduire à l’identique », comme on pourrait le faire avec un papier calque,
mais reproduire une figure qui possède les mêmes propriétés mathématiques,
comme par exemple ici la figure ci-contre.
Entraîne-toi en effectuant sur ton cahier d’exercices, l’exercice suivant :
Exercice 70

Écris un texte permettant de reproduire cette figure.
B
C
A
I
C
D
5 cm

Nous allons maintenant découvrir l’utilisation du compas pour reporter des longueurs, qui est une
méthode que l’on utilise constamment en géométrie :
Étant donné un segment [AB] et un point C, tracer un point D tel que : CD = AB
1- Je trace une demi-droite d’origine C.
2- Je prends comme écartement de compas
la longueur du segment [AB].
A B
C
x
A B
C
x
3- Je trace le cercle de centre C avec
l’écartement précédent du compas.
4- Le cercle coupe la demi-droite au point D.
x
C
C
D
x
Entraîne-toi en effectuant les quatre exercices suivants :
Exercice 71
a) Trace le point Z sur la demi-droite [Dw)
tel que : DZ = AB
b) Trace deux points X et Y sur la droite
(d) tels que : AX = AY = JK
A
B
D
w
J
A
(d)
K

Exercice 72

Construis un point Y sur la demi-droite [Fx)
x
A
B
C
D
Ftel que :
FY = AB + CD.
Exercice 73

Sans utiliser une règle, compare AY et
I
M
A
Y
N
J
K
L
KL + MN + IJ.
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Exercice 74

1- Trace sans utiliser de règle graduée le cercle C
L
K
I
J
Hde centre L et de rayon HI.
2- Trace un diamètre [AB] de ce cercle.
3- Trace une corde [BC] telle que : BC = KJ.

Exercice 75 La Carte au trésor – suite et fin
Rappel : Tu te trouves au point Y.
Indication du pirate : « Le trésor se trouve sur la piste rectiligne passant par le Dolmen du
couchant et le point où tu te trouves. La distance qui te sépare du trésor est la même que
celle qui sépare les deux pyramides. Parmi les deux possibilités, une seule est la bonne, car
le trésor ne se trouve pas sur une plage ».
• Trace la droite (DY).
• Nomme L la pyramide du levant.
• À l’aide de ton compas, reporte la distance LP à partir du point Y sur la droite (DY).
• Tu as obtenu deux points. Quel est celui qui correspond à la dernière indication du
pirate. Nomme ce point T.
Voilà ! Tu as gagné : tu as retrouvé l’emplacement du Trésor !
Ce Trésor, le voici :
Tevoilariche,àprésent,denouvelles
connaissancesetdenouvellesméthodes,
quiteseronttrèsutilesenmathématiques.
Àtoi,maintenant,denepaslesoublier.
Boncourage!
Un petit conseil : place-toi face à un miroir pour lire !
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement les questions et coche
directement la ou les réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux
corrigés et entoure en rouge les bonnes réponses.
Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses proposées sont justes.

je m’évalue
1- Combien y a t il de droites passant par
deux points distincts ?
® aucune droite
® une droite
® deux droites
® une infinité
2- Les points suivants :
A
C
B
® sont alignés
® semblent alignés
® ne semblent pas alignés
® semblent confondus
3- La demi-droite d’origine D et passant par
E se note :
® (DE)
® (DE]
® [DE)
® [DE]
4- Dans cette figure :
F G
H
I
® H est le milieu de [FG]
® I est le milieu de [FG]
® FH = GH
® FI + IG = FG
5- Dans la figure ci-contre, les droites :
® sont parallèles
® sont sécantes
® sont perpendiculaires
® sont confondues
6- Dans la figure ci-contre, les droites :
® sont parallèles
® sont sécantes
® sont confondues
7- Dans la figure ci-contre, les droites
(d1
) et (d2
) :
(d1)
(d2)
® sont parallèles
® sont sécantes
® sont confondues
8- Dans la figure ci-contre, les droites
(d1
) et (d2
) :
(d1)
(d3)
(d2)
(d2)//(d3)
® sont parallèles
® sont sécantes
® sont confondues
9- Un cercle a pour diamètre 10 cm.
La longueur de n’importe quelle corde
de ce cercle :
® est égale à 10 cm
® est supérieure à 10 cm
® est inférieure ou égale à 10 cm
10- Dans la figure suivante qui représente un
cercle de centre I :
I
A
B
C
® [AB] est un diamètre
® [AB] est une corde
® [BC] est un rayon
® [BC] est une corde

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
J’utilise les nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Je redécouvre les fractions décimales et les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
J’écris un nombre décimale de plusieurs façons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Je redécouvre la demi-droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
J’apprends à tronquer un nombre et à en donner des valeurs approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Je donne un arrondi d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
J’ajoute et je soustrais des nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
J’apprends le vocabulaire de l’addition et de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
J’apprends à calculer des ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Objectifs
 Connaître les nombres décimaux.
 Être capable d’effectuer des calculs de durées.
 Apprendre à résoudre des problèmes faisant intervenir des nombres décimaux.











©Cned-2009

Séance 1
J’utilise les nombres entiers
Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 2. Effectue ensuite
le test ci-dessous directement sur ton livret.
1- Écris en chiffres le nombre suivant : trente mille quatre-vingt-dix-huit.
........................................................................................................................................
2- Écris en toutes lettres le nombre 10 637.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
3- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des unités ?
........................................................................................................................................
4- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des unités de mille ?
........................................................................................................................................
5- Le nombre « quatre centièmes » peut s’écrire :
a) 400 b) 40 c) 0,4 d) 0,04
6- Le nombre 4,3 peut s’écrire :
a) 3
4
10
+ b) 4
3
10
+ c) 3
40
d) 4
30
Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de la deuxième séquence.
Elle s’intitule : « la petite histoire des nombres ». Effectue l’exercice suivant sur ton livret.
Exercice 1 : la petite histoire des nombres
Nous comptons en permanence. Chaque jour, nous effectuons plusieurs calculs sans même
nous en rendre compte... Réfléchis bien ! Tu as certainement compté depuis ce matin !
L’action de compter nous semble naturelle et pourtant l’être humain n’a pas compté de
cette manière dès son apparition sur Terre. Auparavant, l’Homme mémorisait les individus
de sa tribu. Il savait en les regardant s’il en manquait un ou bien si un nouvel individu s’était
joint à son groupe.
La nécessité de compter est apparue lorsque l’Homme s’est mis à posséder des objets en
quantité telle qu’il avait peur d’en perdre ou de s’en faire voler ; l’homme comptait, par
exemple, le nombre de moutons de son troupeau.
Question 1 : Cherche dans ton dictionnaire l’origine latine du verbe « calculer » et réponds
ci-dessous.
...........................................................................................................................................
Le principe d’associer à chaque mouton un caillou est vite devenu
insuffisant lorsqu’il a fallu compter des objets en plus grand
nombre : le sac de cailloux devenait lourd et encombrant.


Le calcul écrit est alors apparu. L’Homme s’est rendu compte qu’il était plus simple d’écrire
un symbole qui représentait le nombre d’objets, plutôt que de transporter un sac de
cailloux. Le « nombre » était né.
Les systèmes de numération sont apparus. Regardons de plus près l’un d’entre eux : celui
des Égyptiens. Autrefois, ce peuple utilisait des symboles différents pour désigner une
dizaine, une centaine, ...
234 3 400
25 300 1 200 000
Question 2
1- Dessine le symbole utilisé par les Égyptiens pour représenter :
a) une unité ............................... e) une dizaine de mille ................................
b) une dizaine ............................ f) une centaine de mille ..............................
c) une centaine .......................... g) un million ..............................................
d) mille ......................................
2- Indique sous chaque pierre le nombre correspondant :
...................................................... ......................................................
.............................
Règle de calcul : Pour écrire n’importe quel nombre, les Égyptiens répétaient au plus neuf
fois un même symbole. Ils commençaient par écrire de gauche à droite les plus grands
nombres, puis les plus petits.

3- Écris toi-même, comme l’aurait fait un Égyptien, les nombres :
• 15.............................................................................................................................
• 231...........................................................................................................................
• 2 304........................................................................................................................
• 103 020....................................................................................................................
• 1 000 001..................................................................................................................
4- Les Égyptiens ne disposaient que des sept symboles suivants pour écrire les nombres :
le bâton l’anse du panier la spirale la fleur de lotus l’index recourbé le têtard le dieu accroupi
Peux-tu écrire 1 000 000 000 à l’aide de la numération Égyptienne ? OUI NON
Quel était le plus grand entier qu’ils pouvaient écrire ?
.....................................................................................................................................
Notre numération actuelle est décimale : elle utilise dix symboles appelés « chiffres ».
Question 3 : Quels sont les dix chiffres que nous utilisons pour compter ?
...........................................................................................................................
Avec ces dix chiffres, nous formons les nombres. Ainsi, le chiffre (qui est un symbole)
permet d’écrire les nombres. Un nombre s’écrit avec des « chiffres » comme un mot s’écrit
avec des « lettres ». Exemple : 473 est un nombre de trois chiffres.
Attention de ne pas confondre « nombre » et « chiffre » !
Effectue maintenant sur ton livret l’exercice ci-dessous.
Exercice 2
Voici trois nombres : 824, 284 et 428.
Ces trois nombres sont écrits avec les mêmes chiffres : un « 2 », un « 8 » et un « 4 ».
Pourtant, ils ne représentent pas du tout la même quantité ! La différence provient de la
place des chiffres dans l’écriture des nombres : elle détermine leur rôle.
824 se lit « huit cent vingt-quatre ». Il représente huit centaines, deux dizaines et quatre
unités.
284 se lit « ..................................................................................................................... ».
Il représente ............................... centaines, huit ....................... et .......................... unités.
428 se lit « ..................................................................................................................... ».
Il représente quatre .......................... , ........................ dizaines et huit ............................... .

Les nombres entiers et décimaux : écriture et comparaison
Écriture des nombres entiers :
Pour écrire un nombre entier, on utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Suivant sa position dans un nombre, un chiffre peut indiquer :
les unités, les dizaines, les centaines, les unités de mille, les dizaines de mille, les
centaines de mille, les unités de millions . . .
Exemple :
MILLIARDS MILLIONS MILLIERS
Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités
1 3 5 7 0 8 0 2 7 9 4
Dans le nombre 13 570 802 794 :
- le chiffre 9 est le chiffre des dizaines.
- le chiffre 8 est le chiffre des centaines de mille
- le chiffre 3 est le chiffre des unités de milliards
- le chiffre 7 est le chiffre des centaines et aussi celui des dizaines de millions.
13 570 802 794 se lit : « treize milliards cinq cent soixante-dix millions huit cent deux
mille sept cent quatre-vingt-quatorze ».
je retiens
Effectue sur ton livret les deux exercices ci-dessous.
Exercice 3
Place dans le tableau ci-dessous les nombres suivants :
528 ; 5 028 ; 500 208 ; 500 020 008 ; 50 002 800 000.
MILLIARDS MILLIONS MILLIERS

Exercice 4
1- Le chiffre des dizaines de 824 458 est .............................................................................
2- Le chiffre des dizaines de mille de 123 456 789 est ..........................................................
3- Le chiffre des unités de millions de 589 023 570 001 est .................................................
4- Le chiffre des dizaines de millions de 3 562 001 est ........................................................
Prends maintenant ton cahier d’exercices. Écris sur une nouvelle page : « SÉQUENCE 2 :
Nombres décimaux. Écris ensuite « Exercice 5 » et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 5
1- Les écritures suivantes : 23456789 , 23 456 7 89 , 234 567 89 sont-elles correctes ?
2- Comment proposes-tu d’écrire ce nombre ?
Lorsqu’on écrit un nombre entier en chiffres, il faut grouper les chiffres par trois de la
droite vers la gauche. Il faut séparer chaque groupe de 3 chiffres en laissant un espace.
123 456 7 n’est pas bien écrit. Ce nombre s’écrit correctement 1 234 567.
je retiens
Exercice 6
Certains des nombres suivants sont mal écrits. À toi de les corriger !
A = 759 789 2 A =......................................................................................................
B = 3 125 228 B = .....................................................................................................
C = 358 62 C = .....................................................................................................
D = 32 34 42 28 D = .....................................................................................................
Règle de suppression des « 0 inutiles » :
Si dans l’écriture en chiffres d’un nombre entier, le premier chiffre « en partant de la
gauche » est 0, alors on doit supprimer ce chiffre 0 inutile.
Exemple : 0 137 doit s’écrire 137
je retiens
Écris ensuite « Exercice 7 » sur ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.

Exercice 7
Écris les nombres suivants sans les 0 inutiles :
a) 050 235 b) 06 032 c) 235 100 d) 005 205 780
Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.
Exercice 8
Écris en chiffres les nombres suivants :
a) dix mille vingt-huit ..........................................................................................................
b) sept cent un mille cent sept.............................................................................................
c) soixante-dix-huit millions cinquante-cinq mille vingt-deux ................................................
d) cinq cent trente-neuf milliards mille un............................................................................
Lis attentivement le paragraphe suivant.
Règles d’orthographe :
- Milliards, millions, milliers sont des noms communs qui s’accordent. Par contre,
mille est invariable.
Exemples : trois mille ; deux milliards.
- Suivi d’un nombre, cent est invariable (sinon, il s’accorde).
Exemples : deux cent vingt-quatre ; quatre cents ; trois cent mille.
- Vingt suit la même règle que cent.
Exemples : quatre-vingts ; quatre-vingt-cinq.
- Pour tout nombre entier de deux chiffres s’écrivant avec au moins deux mots, on doit
séparer les mots par un trait d’union (sauf pour les cas comme vingt et un, trente et
un, quarante et un... ).
Exemples : dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt, vingt et un, vingt-deux, vingt-trois, vingt-
quatre, ... vingt-neuf, trente, trente et un, trente-deux, ... trente-neuf, quarante,
quarante et un, quarante-deux..., quarante-neuf, cinquante, cinquante et un, cinquante-
deux, ...quatre-vingt-dix-huit, quatre-vingt-dix-neuf.
je retiens
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 9
1- Écris les nombres suivants en toutes lettres :
a) 280 b) 3 907 c) 4 000 483 d) 20 601 094 400.
2- Précise, pour chacun des nombres de la première question s’il est pair ou impair.

Les entiers impairs sont ceux dont le chiffre des unités est 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.
Exemples : 27, 419, 8 243
Les entiers pairs sont ceux dont le chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Exemples : 32, 948, 7 356
je retiens
S’il te reste du temps, effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 10
Pour numéroter les pages d’un livre de un à soixante-deux,
a) combien de chiffres écrit-on ?
b) combien de fois utilise-t-on le chiffre 5 ?
Exercice 11
Marc est étourdi. Il oublie toujours le code confidentiel à quatre chiffres de sa carte
bancaire. Il se souvient juste que c’est un nombre impair.
u est le chiffre des unités, d est le chiffre des dizaines, c est le chiffre des centaines et m est le
chiffre des milliers de ce code.
Pour retrouver son code, Marc a écrit sur un morceau de papier qu’il garde soigneusement
dans son portefeuille, le texte suivant :
• m = 4 • c + u = 2 • d est le double de m
Détermine le code de la carte bancaire de Marc.
séance 2
Je redécouvre les fractions décimales et les nombres décimaux
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Lis bien les consignes !
Exercice 12 : La petite histoire des nombres – suite –
Bien avant l’existence du mètre, l’homme mesurait des longueurs à l’aide d’objets comme,
par exemple, un bâton. L’instrument qui va te permettre de mesurer sera le bâton
ci-dessous.

L’objectif ici est de déterminer la longueur des objets photographiés page suivante : le
poisson, l’hippocampe et le biface.
Le poisson
Pour effectuer une première mesure, reporte-toi à la page « découpage » à la fin de ton
livret et découpe avec des ciseaux le bâton et reporte-le à l’emplacement prévu au-dessus du
poisson. Combien de fois faut-il reporter le bâton pour mesurer ce poisson ?
le poisson mesure .................. bâtons.
L’hippocampe
La longueur en bâtons de l’hippocampe est-elle un nombre entier ? OUI NON
L’hippocampe mesure entre .................. et .................. bâtons.
Cette réponse n’est pas satisfaisante parce qu’elle n’est pas précise. Pour obtenir une mesure plus
précise, l’Homme eut l’idée de prendre une unité de mesure plus petite : il trouva dix
« petits bâtons » de la même longueur qui, mis bout à bout, égalaient la longueur du bâton.
On dit qu’un « petit bâton » représente un dixième de bâton.
Découpe maintenant le bâton partagé en dix parties de même mesure de la page
« découpage » de ton livret.
L’hippocampe mesure ............ bâton et ............ petits bâtons.
Autrement dit :
L’hippocampe mesure ............ bâton et ............ dixièmes de bâton.
On écrit également : ............ + .......
10
.
Le biface
Peut-on mesurer exactement le biface à l’aide de bâtons et de petits bâtons ? OUI NON
Le biface mesure entre ............ bâton et ............ petits bâtons et ............ bâton et ............
petits bâtons.
Cette réponse n’est pas encore satisfaisante ! Pour obtenir une mesure plus précise, l’Homme eut l’idée
de prendre une unité de mesure encore plus petite : il trouva de nouveau dix « tout petits bâtons » de la
même longueur qui, mis bout à bout, égalaient la longueur du « petit bâton ». Il fallait donc en mettre
100 bout à bout pour obtenir la longueur du bâton.
Découpe maintenant le bâton partagé en cent parties de même longueur de la page
« découpage » de ton livret.
Le biface mesure ............ bâton, ............ petits bâtons et ............ tout petits bâtons.
Autrement dit :
Le biface mesure ............ bâton, ............ dixièmes de bâton et ............centièmes de bâton.
On écrit également : ........ ......
+ +
10 100
......

Ë POISSON
Cepoissonest
unbar(appelé
égalementloupde
mer).
Ë HIPPOCAMPE
Leshippocampes
sontdespoissons
quel’ontrouve
dansleseaux
tempéréeset
tropicales
Ë BIFACE
Outilde
pierretaillée
caractéristiquedes
périodesanciennes
delaPréhistoire.

Prends ton cahier de cours, écris sur une nouvelle page : « SÉQUENCE 2 : Nombres décimaux. ».
Recopie ensuite sur ton cahier le paragraphe ci-dessous (tu tireras les traits des fractions sur la ligne
d’écriture, en t’appliquant).
Les bases
Les nombres décimaux
Il existe d’autres nombres que les entiers, par exemple : 1
4
10
7
100
+ + .
1
4
10
7
100
+ + est un nombre décimal.
4
10
correspond à 4 dixièmes,
7
100
correspond à 7 centièmes.
1
4
10
7
100
+ + correspond donc à une unité, quatre dixièmes et sept centièmes.
Les écritures du type
...
10
,
...
100
,
...
1 000
,
...
10 000
etc. où les pointillés remplacent des
nombres entiers sont appelées fractions décimales.
L’écriture décimale
1 +
4
10
+
7
100
,1= 4 7
unités dixièmes centièmes unités dixièmes centièmes
écriture à virgule
ou
écriture décimale
Pour écrire plus rapidement les nombres décimaux,
on utilise leur écriture à virgule que l’on appellera
« écriture décimale » :
Exemples :
• Le nombre 7
4
10
3
100
1
1 000
+ + + a pour écriture à virgule 7, 431.
Il se lit 7 unités, 4 dixièmes, 3 centièmes et 1 millième.
• Le nombre 6
9
1000
+ a pour écriture à virgule 6,009. Il se lit 6 unités et 9 millièmes.
Remarque : Les nombres entiers sont des nombres décimaux particuliers.
3 correspond à 3 unités et 0 dixième soit 3,0. Il a donc bien la forme d’un nombre décimal.
je retiens
Exercice 13
Décompose chacun des nombres suivants de trois façons comme dans cet exemple :
45,127 = 45
1
10
2
100
7
1 000
+ + +
45,127 = 45 + 0,1 + 0,02 + 0,007
45,127 = 45 + 1 x 0,1 + 2 x 0,01 + 7 x 0,001
a) 456,5 b) 145 789,88 c) 7,476 d) 0,14 e) 31,101 f) 26,007

Exercice 14
Écris en toutes lettres les six nombres de l’exercice précédent comme dans cet exemple :
45,127 s’écrit quarante-cinq unités, un dixième, deux centièmes et sept millièmes.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous :
Écriture décimale d’un nombre décimal :
Pour écrire un nombre décimal, on utilise dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et
une virgule pour séparer la partie entière (à gauche de la virgule) de la partie décimale
(à droite de la virgule).
Exemple : , 69
partie
entière
partie
décimale
47 853
{
{
Suivant sa position dans la partie décimale d’un nombre décimal, un chiffre peut
indiquer :
les dixièmes, les centièmes, les millièmes, les dix-millièmes, les cent-millièmes. . .
PARTIE ENTIÈRE PARTIE DÉCIMALE
Centaines
de mille
Dizaines `
de mille
Unités
de mille
Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes
Dix-
millièmes
Cent-
millièmes
Millionièmes
4 7 8 5 3 6 9
Exemples :
6 est le chiffre des dixièmes de 47 853,69.
9 est le chiffre des centièmes de 47 853,69.
47 853,69 peut se lire « quarante-sept mille huit cent cinquante-trois unités, six
dixièmes et neuf centièmes » ou « quarante-sept mille huit cent cinquante-trois virgule
soixante-neuf ».
Remarque : on étend la règle de groupement par trois, mais cette fois de gauche à droite, pour les
chiffres de la partie décimale.
Exemple : 123456,7892 s’écrit correctement : 123 456,789 2
je retiens
Entraîne-toi en effectuant les trois exercices ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 15
a) Place dans le tableau les nombres suivants :
a) 123, 010 23 b) 100, 000 1 c) 0,935 021
d) 100 001,2 e) 978, 700 008 f) 45,249 5
PARTIE ENTIÈRE PARTIE DÉCIMALE
Centaines
de mille
Dizaines
de mille
Unités
de mille
Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes
Dix-
millièmes
Cent-
millièmes
Millionièmes

Exercice 16
a) Quelle est la partie décimale de 139,125 ? ...........................................
b) Quelle est la partie entière de 1 790, 236 ? ...........................................
c) Quelle est la partie entière de 0,589 ? ...........................................
d) Quelle est la partie décimale de 0,589 ? ...........................................
e) Quel est le chiffre des dixièmes de 589,23 ? ...........................................
f) Quel est le chiffre des millièmes de 17 897,150 9 ? ...........................................
g) Quel est le chiffre des dizaines de 1 256,123 ? ...........................................
h) Quel est le chiffre des cent-millièmes de 23,123 456 78 ? ...........................................
Exercice 17
Écris les nombres suivants sans les 0 inutiles :
a) 0 520,120 .................................... b) 201, 532 00 ...........................................
c) 450,506 4 .................................... d) 002 236,120 00 ...........................................
Séance 3
J’écris un nombre décimal de plusieurs façons
Effectue sur ton livret l’exercice ci-dessous.
Exercice 18

• Découpage de l’unité
une unité
un dixième
Une unité, c’est ....................... dixièmes.
un centième
C’est également ................... centièmes.

un millième
observe à
la loupe
C’est également ...................... millièmes.

Une unité, c’est encore .......................... dix-millièmes, .......................... cent-millièmes, etc.
On peut donc écrire : 1
10 100 1 000 10 000
= = = =
..... ..... ........ ......... etc.
• Découpage du dixième
Un dixième, c’est .......................... centièmes. C’est également .......................... millièmes.
On peut donc écrire : 1
10 100 1 000
= =
..... .......... etc.
• Découpage du centième
Un centième, c’est .......................... millièmes. On peut écrire :
1
100 1000
=
.....
. Etc.
Appliquons le principe que nous venons de découvrir pour écrire le nombre 12,789 de plusieurs
façons. Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 19
Cherchons à écrire 12,789 uniquement avec des unités et des millièmes :
12,789 représente 12 unités, 7 dixièmes, 8 centièmes et 9 millièmes.
12,789 représente donc 12 unités, 700 ..................., 80 .................... .. et 9....................... .
12,789 représente donc 12 unités et ................... millièmes. On écrit : 12,789 = ....... +
.....
1000
Cherchons à écrire 12,789 uniquement avec des millièmes :
12,789 représente 12 unités, et 789 millièmes.
Comme 12 unités représentent ................... millièmes,
12,789 représente donc 12 000 ................... et 789 ....................
12,789 représente donc ................... millièmes. On écrit : 12,789 =
.....
1000
.
Remarque :
12,789 =
12 789
1 000
3 chiffres après
la virgule
le nombre précédent
sans la virgule
3 zéros
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Lis attentivement l’écriture en toutes lettres des nombres
proposés.
Exercice 20
Donne l’écriture fractionnaire puis l’écriture à virgule des nombres décimaux suivants :
a) Mille neuf cent trente-six millièmes .................................................................................
b) Vingt-huit mille neuf cent douze dix-millièmes ................................................................
c) Quatre cents dixièmes....................................................................................................

d) Cent millièmes...............................................................................................................
e) Treize mille centièmes ....................................................................................................
Indication : Tu peux t’aider du tableau de la séance 2 sur ton cahier de brouillon.
Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-dessous.
Exercice 21
Décompose les nombres suivants comme dans cet exemple :
45,127 = 45 + 127
1 000
a) 450, 2 b) 5,024 c) 105 644,28 d) 569, 001 9
e) 12, 304 f) 105, 040 7
Exercice 22
Donne l’écriture à virgule des nombres décimaux suivants :
a) 12
123
10 000
+ b) 256 + 0,020 5
c) 2 x 100 000 + 5 x 1 000 + 7 x 0,1 + 1 x 0,000 1 d) 125
5
10
8
10 000
+ +
e) 5 + 0,03 + 0,007 f) 5 100 5 1 1
1
100
6
1
1 000000
× + × + × + ×
Exercice 23
Donne l’écriture à virgule des fractions décimales suivantes :
a) 123
100
b)
5339
1 000
c)
632
10 000
d)
14686
1 000
e)
9450
1 000
Indication : Tu peux t’aider du tableau de la séance 2 sur ton cahier de brouillon.
Exercice 24
Parmi les écritures suivantes reconnais celles qui représentent le même nombre décimal.
a) 20
123
1000
+ b) 2× + × + × + ×1000 1 01 2 0 100 3 0 001, , ,
c) 20,012 3 d)
2 123
1 000
e) 20 + 0,102 3 f)
20 123
1 000
g) 2 10 1
1
10
2
1
100
3
1
1000
× + × + × + ×

Séance 4
Je redécouvre la demi-droite graduée.
Cet exercice va te permettre de redécouvrir ce qu’est une demi-droite graduée. Tu devras retenir ce
que sont l’unité de longueur et l’origine d’une demi-droite graduée, ainsi que l’abscisse d’un point
d’une droite graduée. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 25
Nous allons dans cet exercice construire une graduation sur une demi-droite, c’est-à-dire
associer à tout point de la demi-droite un nombre et à tout nombre un point de la demi-
droite.
1- À l’aide de ton compas, reporte sur [Ax) la longueur AI et complète la phrase : à partir
du point I tu obtiens le point B, à partir du point B tu obtiens le point C, à partir du
point C tu obtiens le point D, à partir du point D tu obtiens le point E, à partir du point
E tu obtiens le point ..... .
A I
x
0 1
Y F
2- Nous allons associer à chaque point de la demi-droite un unique nombre de la façon
suivante :
Au point A nous associons le nombre 0. Au point I nous associons le nombre 1.
AB = 2 x AI donc nous associons au point B le nombre ..... On écrit alors ce nombre au-dessous de la
demi-droite.
AC = 3 x AI donc nous associons au point C le nombre ..... On écrit alors ce nombre au-dessous de
la demi-droite.
AD = .... x AI donc nous associons au point D le nombre ..... .
AE = ..... x AI donc nous associons au point E le nombre ..... .
3- L’unité de longueur de notre graduation est la longueur AI. L’unité de longueur est ici
...... cm.
Pour graduer une demi-droite, il faut commencer par choisir une unité de longueur.
AI étant prise comme unité de longueur, à chaque point de la demi-droite on associe le
nombre d’unités qui le sépare du point A. Ce nombre est appelé « abscisse » du point.
Par exemple, 2 est l’abscisse du point B.
4- L’abscisse du point F est ............. . L’abscisse du point Y est .............
5- L’origine de la demi-droite graduée est le point qui a pour abscisse .......... .
Prends ton cahier de cours et recopie à la suite le paragraphe ci-après.

DEMI-DROITE GRADUÉE
Graduer une demi-droite consiste à :
- choisir un point appelé « origine » auquel on associe le nombre 0
- choisir une unité de longueur.
On repère alors tout point de la demi-droite par son abscisse.
Voici deux exemples :
L’origine de la demi-droite est A. L’unité de longueur est 1 cm :A x
0 1
B
2
C
A x
0
B
1
C
4,5
D
2,25
D
5
10
AB = 1 cm et le point B a pour abscisse 1.
On dit que (A,B) est un repère de la demi-droite graduée.
Ici, l’abscisse de C est 2 ; celle de D est 4,5.
L’origine de la demi-droite est A. L’unité de longueur est 2 cm :
AC = 2 cm et le point C a pour abscisse 1.
(A,C) est un autre repère de la demi-droite graduée.
Ici, l’abscisse de B est 0,5 ; celle de D est 2,25.
Remarque : on dit une abscisse.
je retiens
Entraîne-toi en effectuant les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 26
Place sur la demi-droite ci-dessous, comme pour l’exemple 4
10
, les points d’abscisses
respectives :
8
10
1
3
10
+
14
10
2
10
4
100
+
53
100
1
1
10
8
100
+ +
0 10,4
4
10
Exercice 27
Place sur la demi-droite ci-dessous les points d’abscisses respectives :
62
9
10
+ 62
2
10
+ 63
1
10
1
100
+ +
6 244
100
62 63

Exercice 28
Place sur la demi-droite ci-dessous les points d’abscisses respectives :
62
3
10
7
100
+ + 62
3
10
2
100
+ + 62
3
10
4
100
3
1 000
+ + +
62 418
1 000
62,3
62 + 3
10
4
10
62 +
62,4
Effectue ensuite l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 29
Représente sur du papier millimétré une demi-droite graduée d’unité de longueur 10 cm.
Place les points d’abscisses respectives :
7
3
10
+
78
10
754
100
709
100
Nous allons maintenant étudier la comparaison de deux nombres : cela consiste à dire lequel des
deux est le plus petit. Commençons par un exercice avec des entiers.
Exercice 30
Voici six entiers naturels :
19 022 91 022 101 011 109 021 100 022 1 022
1- range-les dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) en utilisant le symbole qui
convient.
2- range-les dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit) en utilisant le symbole
qui convient.
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.
Comparer deux nombres, c’est dire lequel des deux est le plus petit.
Le symbole « » se lit « est plus petit que » ou « est inférieur à ».
Exemples :
17 18 0 23 999 997 1 000 000
Le symbole « » se lit « est plus grand que » ou « est supérieur à ».
Exemples :
18 17 23 0 1 000 000 999 997
« 17 18 » ou « 1 000 000 999 997 » sont deux inégalités.
je retiens

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 31
1- Comparer deux nombres décimaux qui n’ont pas la même partie entière, c’est facile !
Un livre coûte 36,78 � chez le libraire M. Dubois et 37,90 � chez M. Dupont. Où est-il le
moins cher ?
.....................................................................................................................................
2- Voici deux nombres : 3
7
100
+ et 3
4
10
+ .
a) Place ces deux nombres sur la demi-droite graduée ci-dessous :
3 4
b) Complète les pointillés à l’aide du symbole ou : 3
7
100
+ ........ 3
4
10
+ .
c) Écris l’inégalité précédente en utilisant l’écriture à virgule des deux nombres.
.....................................................................................................................................
• Comparer 37,6 et 36,98
Dans un premier temps, on compare les parties entières des deux nombres : le plus
grand des deux est celui qui a la plus grande partie entière.
La partie entière de 37,6 est 37 et celle de 36,98 est 36 :
37 36 donc 37,6 36,98.
• Comparer 4,139 et 4,17
Dans un premier temps, on compare les parties entières des deux nombres : 4,139 et
4,17 ont la même partie entière 4. On ne peut donc rien conclure directement. On a
alors deux méthodes possibles :
1e
méthode :
On écrit les deux nombres avec le même nombre de chiffres dans la partie décimale et
on compare leurs parties décimales.
4,139 et 4,17 s’écrivent respectivement 4,139 et 4,170.
139 170 donc 4,139 4,170. On a donc : 4,139 4,17.
2e
méthode :
On compare, en partant de la gauche, chiffre à chiffre, les parties décimales.
4,139 et 4,17 ont le même chiffre des dixièmes.
On compare alors leurs chiffres des centièmes : 3 7 donc 4,139 4,17.
Entraîne-toi en effectuant sur ton livret l’exercice ci-dessous.

Exercice 32
Recopie puis complète à l’aide de l’un des symboles = , ou :
a) 57,3 .......................... 55,71 b) 124,7 .................... 124,69
c) 5,45 ......................... 5,462 d) 7,42 ....................... 7,420
e) 7,42 .......................... 7,042 f) 42,0135 .................. 42,13
Comparaison des nombres décimaux :
- Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant, c’est les écrire du plus petit au
plus grand.
- Ranger des nombres décimaux dans l’ordre décroissant, c’est les écrire du plus grand
au plus petit.
Exemples :
Les nombres suivants sont rangés dans l’ordre croissant : 15,32 15,4 34,11 40,05.
Les nombres suivants sont rangés dans l’ordre décroissant : 142,2 139 89,78 3,999.
je retiens
Exercice 33
1- Range dans l’ordre décroissant les nombres suivants :
23,3 24,4 23,4 23,089 24
.....................................................................................................................................
2- Range dans l’ordre croissant les nombres suivants :
5 5,05 55,05 50,05 0,555 55,5 5,005 5.
.....................................................................................................................................
Pour terminer cette séance, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 34
Dans l’inégalité suivante, « ® » représente un chiffre. Détermine tous les chiffres possibles.
2,34 2,3®

Séance 5
J’apprends à tronquer un nombre et
à en donner des valeurs approchées
Nous allons dans un premier temps aborder la notion de « troncature » d’un nombre décimal.
Malgré les apparences, c’est une notion simple : souviens-toi bien que « tronquer » veut dire
« couper ».
Exercice 35
Un supermarché affiche la publicité suivante : « Cette semaine, on supprime les centimes ! ».
Kévin et Ludivine sont à la caisse de ce supermarché.
Kévin a dans les mains un article dont l’étiquette affiche le prix 5,95 €.
Combien va-t-il réellement payer ? ......................................................................................
Ludivine a dans les mains un article dont l’étiquette affiche le prix 8,10 €.
Combien va-t-elle réellement payer ? ..................................................................................
Qui de Ludivine et de Kévin aura le plus bénéficié de cette promotion ? ...............................
Troncature d’un nombre décimal :
Lorsqu’on supprime tous les chiffres situés à droite du chiffre
56,498 7des unités de 56,498 7 on obtient 56.
56 est la troncature à l’unité de 56,498 7.
56,498 7des dixièmes de 56,498 7 on obtient 56,4.
56,4 est la troncature au dixième de 56,498 7.
56,498 7des centièmes de 56,498 7 on obtient 56,49.
56,49 est la troncature au centième de 56,498 7.
Règle générale :
La troncature au dixième (à l’unité, au centième) d’un nombre est le nombre obtenu en
supprimant les chiffres situés à droite du chiffre des dixièmes (des unités, des centièmes).
je retiens
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice d’application suivant.

Exercice 36
a) Détermine la troncature au dixième de 101,786.
b) Détermine la troncature au centième de 4 568,987.
c) Détermine la troncature au dixième de 400
5
100
6
1 000
+ +
d) Détermine la troncature à l’unité de 78,896.
Nous allons maintenant aborder la notion « d’encadrement ». Lis attentivement le paragraphe
ci-dessous.
Encadrer des nombres décimaux :
Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre qui est plus petit que lui et un nombre
qui est plus grand que lui.
Exemple : encadrons 24,78
24 2524,78
24 24,78 25 est un encadrement de 24,78 par des nombres entiers.
je retiens
Parmi les différentes façons d’encadrer un nombre décimal, nous allons nous intéresser à
l’encadrement d’un nombre par deux entiers naturels « consécutifs » (c’est-à-dire « qui se suivent »,
comme par exemple 24 et 25). Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 37

3 4
1- a) 3 21 3
10 100
,
..... .....
= + + .
b) Place 3,21 sur la demi-droite graduée ci-dessus.
c) Encadre 3,21 par deux nombres entiers consécutifs : ................... 3,21 .............. .
2- Encadre 4,28 par deux nombres décimaux s’écrivant avec une seule décimale (c’est-à-dire
avec un seul chiffre après la virgule) : .................... 4,28 .............. .
Intéressons-nous maintenant aux encadrements par des nombres décimaux à un chiffre après la
virgule « consécutifs », comme par exemple 12,3 et 12,4 ou encore 45,7 et 45,8. Lis attentivement
le paragraphe ci-dessous.

Encadre 145,356 par deux nombres décimaux « consécutifs » s’écrivant avec un seul
chiffre après la virgule.
145,3 + 0,1
145,3 145,356 145,4
Valeur tronquée
au dixième
de 145,356
Ceci se visualise facilement sur une demi-droite graduée :
145,3 145,4145,356
Encadre 19,542 par deux nombres décimaux « consécutifs » s’écrivant avec deux chiffres
après la virgule.
19,54 + 0,01
19,54 19,542 19,55
Valeur tronquée
au centième
de 19,542
Ceci se visualise également sur une demi-droite graduée :
19,54 19,5519,542
Prends ton cahier d’exercices et effectue les trois exercices ci-dessous.
Exercice 38
1- Encadre 15,12 par deux entiers consécutifs. On dit aussi « encadrer à l’unité près ».
2- Encadre 23,859 8 et 12,001 par deux nombres décimaux à un seul chiffre après la virgule
« consécutifs ». On dit aussi « encadrer au dixième près ».
3- Encadre 5,634 8 et 458,500 2 par deux nombres décimaux s’écrivant avec deux chiffres
après la virgule « consécutifs ». On dit aussi « encadrer au centième près ».
4- Encadre 4,91 par deux nombres décimaux à un seul chiffre après la virgule « consécutifs ».
Encadre 9,194 par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule « consécutifs ».
Exercice 39
Dans cet exercice tu peux t’aider en dessinant une partie de demi-droite graduée.
1- Détermine tous les nombres entiers compris entre 4,8 et 7,9.
2- Détermine tous les nombres à un chiffre après la virgule compris entre 2,83 et 3,51.
3- Détermine tous les nombres à deux chiffres après la virgule compris entre 2,856 et 2,931.

Exercice 40
Le symbole « ® » représente un chiffre. Détermine toutes les solutions possibles pour ®
dans le cas suivant :
1,915 1,9® 1,936 9
Valeurs approchées d’un nombre décimal :
Pour connaître les valeurs 45 45,789 46
valeur approchée par défaut
à l’unité près
ou : troncature à l’unité
valeur approchée par excès
à l’unité près
46 = 45 + 1
approchées de 45,789
par défaut et par excès
à l’unité près, on encadre
ce nombre à l’unité près :

Pour connaître les valeurs
45,8 = 45,7 + 0,1
45,7 45,789 45,8
valeur approchée par défaut
au dixième près
ou : troncature au dixième
valeur approchée par excès
au dixième près
approchées de 45,789
par défaut et par excès
au dixième près, on encadre
ce nombre au dixième près :

Remarque : on dit « par défaut » parce qu’il « en manque » et « par excès » parce
qu’ « il y en a trop ».
je retiens
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-dessous.
Exercice 41
1- Détermine la valeur approchée par défaut à l’unité près des nombres suivants :
a) 78,96 b) 101,3 c) 0,707 895
2- Détermine la valeur approchée par excès à l’unité près des nombres suivants :
a) 45,69 b) 99,4 c) 0,01
3- Détermine la valeur approchée par défaut au dixième près des nombres suivants :
a) 6,457 b) 78,026 9 c) 187
954
1 000
+
4- Détermine la valeur approchée par excès au centième près des nombres suivants :
a) 78,424 8 b) 56,192 c) 236
9
10
9
100
7
10 000
+ + +
Exercice 42
Détermine un nombre décimal avec trois chiffres après la virgule tel que sa valeur approchée
par défaut au centième près est 4,56 et son chiffre des millièmes est égal à celui des unités.

Séance 6
Je donne un arrondi d’un nombre décimal
Nous allons maintenant apprendre à intercaler un nombre entre deux décimaux, c’est-à-dire à
trouver un nombre compris entre ces deux décimaux. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
Intercaler un nombre décimal entre 12,8 et 13,2
Intercaler un nombre décimal entre 12,8 et 13,2 veut dire trouver un nombre décimal
compris entre 12,8 et 13,2.
Pour s’aider, on trace une partie de demi-droite graduée où l’on représente les points
d’abscisses respectives 12,8 et 13,2.
12,8 13,2
Il y a une infinité de nombres qui répondent à la question : toutes les abscisses des points
du segment tracé en rouge.
On peut par exemple intercaler 13 entre 12,8 et 13,2 car 12,8 13 13,2.
On peut aussi intercaler 13,1 entre 12,8 et 13,2 car 12,8 13,1 13,2.
On pouvait également intercaler 12,87 ; 13,069 ; 13,168 1 ; 13,168 15 ...
Exercice 43
Complète les pointillés par un nombre qui convient :
a) 5,8 .............................. 5,9
b) 2,54 .............................. 2,53
c) 0 .............................. 1
d) 0,21 .............................. 0,2
e) 3,69 .............................. 3,7
f) 1 000 000 .............................. 100 000
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret. Le but de cet exercice est de te faire remarquer qu’il
existe des nombres décimaux « très très près de 2 ».
Exercice 44
Complète les pointillés par un nombre qui convient
2 ........ 3 2 ........ 2,1 2 ........ 2,01 2 ................ 2,001

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 45
1- Quel est le plus petit nombre entier que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 ?
......................................................
2- Quel est le plus grand nombre entier que l’on peut intercaler entre 45,001 et 59,999 ?
......................................................
3- Quel est le plus grand nombre avec un seul chiffre après la virgule que l’on peut intercaler
entre 45,001 et 59,999 ?
......................................................
Exercice 46
On a représenté ci-dessous une partie de demi-droite graduée :
12,8 12,912,8612,82
1- Pour chacune des phrases suivantes, précise si le nombre proposé est l’abscisse d’un
point du segment bleu ou rouge, et si ce nombre est plus proche de 12,8 ou 12,9 :
12,86 est l’abscisse d’un point du segment ................. Ce nombre est plus proche de ...........
12,851 est l’abscisse d’un point du segment ................. Ce nombre est plus proche de............
12,850 1 est l’abscisse d’un point du segment .................Ce nombre est plus proche de ..........
2- Quel est le seul nombre aussi proche de 12,8 que de 12,9 ? .............................................
Le but de l’exercice précédent était de te faire découvrir la notion d’arrondi. Tous les nombres
appartenant au segment rouge ont pour arrondi au dixième le nombre 12,8. Tous ceux
appartenant au segment bleu ont pour arrondi au dixième le nombre 12,9. Lis attentivement le
paragraphe suivant.

Arrondi d’un nombre décimal :
L’arrondi d’un nombre décimal au dixième est le nombre décimal à un chiffre après la
virgule le plus proche.
Pour le trouver facilement, on regarde le chiffre des centièmes :
• si ce chiffre est égal à 0, 1, 2, 3 ou 4, l’arrondi est la valeur approchée par défaut au
dixième.
Exemples : - l’arrondi au dixième de 12,81 est 12,8 car le chiffre des centièmes est 1.
- l’arrondi au dixième de 78,346 est 78,3 car le chiffre des centièmes est 4.
• si ce chiffre est égal à 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi est la valeur approchée par excès au
dixième.
Exemples : - l’arrondi au dixième de 12,88 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 8.
- l’arrondi au dixième de 12,851 est 12,9 car le chiffre des centièmes est 5.
Remarque :
Pour te souvenir que l’on prend la valeur approchée par excès dès que le chiffre
atteint 5, pense bien que 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 sont deux groupes de
cinq chiffres chacun.
Pour trouver l’arrondi à l’unité, on regarde (à sa droite) le chiffre des dixièmes, pour
arrondir au centième, on regarde à sa droite le chiffre des millièmes, etc.
je retiens
Exerce-toi en effectuant les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 47

1- L’arrondi à l’unité de : 2- L’arrondi au dixième de : 3- L’arrondi au centième de :
7,844 est ...........................
9,1 est ...............................
99,5 est .............................
45,76 est............................
36,21 est ...........................
55,55 est ...........................
78,97 est ...........................
1,167 est ............................
33,191est ...........................
33,196 est ..........................
Exercice 48
Zoé achète un lot de deux stylos à 4,45 e. Elle veut en fait partager avec son amie Julie : elle
va lui donner un stylo et Julie va lui rendre la moitié de 4,45 soit ..................................... e.
Comme le nombre trouvé possède trois chiffres après la virgule, Zoé va l’arrondir au centime
d’euros près. Julie lui donnera donc ........................... e pour le stylo.
Voici un exercice plus difficile pour terminer cette séance. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.
Exercice 49
Détermine un encadrement au dixième près du nombre noté B tel que :
• B possède deux chiffres après la virgule
• la valeur approchée de B au dixième par excès est égale à 5,2

Séance 7
J’ajoute et je soustrais des nombres décimaux
Effectue les trois petits problèmes ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 50
1- Sophie a 38 ans de plus que son fils Émile qui a 9 ans. Quel est l’âge de Sophie ?
............................................. . Sophie a ...................... ans.
2- Mathieu mesure 176 cm. Il mesure 5 cm de plus que son père. Quelle est la taille du père
de Mathieu ?
............................................. . Le père de Mathieu mesure ........................... cm.
3- Pour la fête des mères, Julien achète un bouquet de fleurs à 13,60 � pour sa maman et
paie avec un billet de 20 �. Combien d’euros, le fleuriste doit-il rendre à Julien ?
............................................. . Le fleuriste doit rendre à Julien ....................... �.
Effectue maintenant l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 51 : La petite histoire des nombres – suite –
1- Les siècles passèrent, et l’homme a continué à compter
et à faire des calculs. Au XVIème
siècle, il fallut 296 blocs
de pierre pour construire une chapelle et 857 pour
construire le muret qui l’entoure. Un mathématicien
a mis au point une méthode pour calculer le nombre
total de blocs de pierre nécessaires :
2 9 6
8 5 7+
1 3
1 4
01
On ajoute les unités entre elles.
Il y a 6 + 7 soit 13 unités
On ajoute les dizaines entre elles.
Il y a 9 + 5 soit 14 dizaines
On ajoute les centaines entre elles.
Il y a 8 + 2 soit 10 centaines

Conclusion :
Il fallut au total .................
blocs de pierres pour construire
la chapelle et son muret.
Cette technique est toute à fait juste, mais tu en connais
+
7
6
5
9
8
2
une autre plus rapide, à l’aide des retenues.

2- Les siècles passèrent à nouveau, et l’homme continue encore maintenant à compter et à
faire des calculs. Léo achète une pochette de stickers pour sa collection. Elle coûte
2,96 �. Il achète aussi un album de BD à 8,57 �. Quel est le montant de sa dépense totale ?

+ Conclusion : Léo a dépensé au total .............................�.
Prends maintenant ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. N’oublie pas de poser
proprement tes additions et de tracer les traits à la règle.
Exercice 52
Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Pose les additions.
A = 118,46 + 725,87
B = 95,3 + 45,27
C = 3,947 + 7,9
D = 8 + 1,82 + 2,391
Dans certains cas plus simples, il n’est pas nécessaire de poser l’opération. On utilise la même
méthode, mais en conservant l’écriture en ligne. En voici quelques exemples. Tu effectueras
l’exercice suivant directement sur ton livret.
Exercice 53
Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Effectue les calculs en ligne.
A = 24,56 + 11,3 ............................................................. .......................................
B = 102,62 + 32 ,37 ............................................................. .......................................
C = 4 299 + 0,429 9 ............................................................. .......................................
D = 547 + 12,3 + 4,005 ............................................................. .......................................
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous : il te rappelle la technique de la soustraction.
Poser la soustraction suivante : 897,59 – 128,376
Quand on pose une soustraction, on commence par écrire la virgule sous la virgule,
le chiffre des unités sous le chiffres des unités, etc.
-
967
8
7
2
9
1
8
3
5
7
9,
, 6
0
11
, 412
11
on complète par un 0 Voici la méthode : « 0 moins 6 est impossible,
on effectue 10 moins 6 et on pose une retenue.
10 moins 6 égal 4.
9 moins (7 + 1) égal 1.
5 moins 3 égal 2.
7 moins 8 est impossible, on effectue 17 moins 8
et on pose une retenue.17 moins 8 est égal à 9.
9 moins (2 + 1) est égal à 6.
8 moins 1 est égal à 7.»

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Pose proprement
tes soustractions et trace les traits à la règle.
Exercice 54
Calcule les nombres A, B, C et D suivants. Pose les soustractions.
A = 56,78 – 45,3
B = 84,35 – 17,8
C = 1,11 – 0,789
D = 10 – 0,469
Effectue pour terminer sur ton cahier d’exercices ce petit problème.
Exercice 55
Le niveau de l’eau d’un port de pêche est de 16,43 mètres à 8 h du matin.
À 9 h, ce niveau a augmenté de 1,9 mètres. À 10 h, ce niveau a baissé de 0,57 mètre.
Quel est le niveau de l’eau dans le port de pêche à 10 h ?
Séance 8
J’apprends le vocabulaire de l’addition et de la soustraction.
Commençons par quelques additions et soustractions « à trous ». Effectue l’exercice ci-dessous
directement sur ton livret.
Exercice 56
Complète les opérations suivantes en retrouvant les chiffres manquants :
Indication : il n’y a pas de cases pour les retenues.
+
4 , 6
+
,6 0
,8 1
06 , 2
2
3
5
+
, 1
+
,8 4
,9
7 , 0 9
9
3
5
-
9
12
2
,
,
, 70
-
9
93 ,
,
, 3
0 6
1

Addition et soustraction de décimaux
Vocabulaire
Le résultat d’une addition s’appelle une somme.
Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence.
Les nombres utilisés s’appellent des termes.
Exemples :
25,7 est la somme de 14,2 et 11,5 car 14,2 + 11,5 = 25,7.
14,2 et 11,5 sont les termes de la somme 14,2 + 11,5.
8,3 est la différence de 45,8 et 37,5 car 45,8 – 37,5 = 8,3.
45,8 et 37,5 sont les termes de la différence 45,8 – 37,5.
je retiens
Effectue les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 57
1- a) Calcule la somme de 25,8 et de 3,2. ...........................................
b) Calcule la différence de 10 et 2,7 ...........................................
c) Calcule la somme de 45 et de la différence de 25 et 19. ...........................................
2- Écris une phrase en français en utilisant les mots « somme » et « différence » pour
traduire les écritures suivantes (n’effectue pas les opérations) :
a) 4,5 – 0,4
.....................................................................................................................................
b) 45 + 56 + 302 + 1 024
.....................................................................................................................................
c) 89 – (5 + 12)
.....................................................................................................................................
Exercice 58
1- Calcule la somme dont le premier terme est 789, le deuxième est la différence entre
129 et 58 et le troisième 321.
.....................................................................................................................................
2- Calcule la différence dont le premier terme est la somme de 452 et 87 et le second terme
est la différence de 189 et 65.
.....................................................................................................................................
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après.

Ordre et calcul :
Dans le calcul d’une somme de plusieurs termes, on peut :
• changer l’ordre des termes
Exemple : 2,3 + 7 = 9,3 et 7 + 2,3 = 9,3
• regrouper différemment les termes.
Exemple : 7 + 2,5 + 13 = 2,5 + (7 + 13) = 2,5 + 20
On change le 7 de place et on le groupe avec 13 car (7 + 13) est un calcul facile de tête.
Remarque importante :
Dans le calcul d’une différence, on n’a pas le droit de changer l’ordre des termes.
On soustrait le plus petit au plus grand.
je retiens
Exercice 59
Effectue les calculs suivants de manière astucieuse :
A = 7,6 + 48 + 2,4 + 12 .......................................................................................
B = 4,45 + 57 + 23 + 8,55 .......................................................................................
C = 47,3 + 21,1 + 22,9 +12,7 .......................................................................................
D = 9,6 + 43,2 + 11,4 + 9 + 6,8 .......................................................................................
Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat en heures, minutes et secondes :
a) 1 h 37 min + 2 h 45 min b) 3 h 28 min 14 s – 1 h 12 min 48 s
Remarque : min est le symbole de « minute »
Important : Il faut se souvenir de ces trois égalités : 1 j = 24 h , 1 h = 60 min
et 1 min = 60 s
a)
+
h
h1
45
min82
min
3
37
h2
min
On convertit 82 min en heures et en minutes : 82 min = 60 min + 22 min = 1 h + 22 min
D’où : 3 h 82 min = 3 h + 1 h + 22 min = 4 h 22 min.
Conclusion : 1 h 37 min + 2 h 45 min = 4 h 22 min.
b)
On ne peut pas soustraire 48 s à 14 s.
28 min et 14 s représentent (27 min + 1 min) et 14 s.
Comme 1 min = 60 s, on remplace 28 min 14 s
par 27 min et (60 + 14) s soit 27 min 74 s.
Conclusion : 3 h 28 min 14 s – 1 h 12 min 48 s = 2 h 15 min 26 s.

Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 60
Calcule les durées suivantes :
a) 10 h 15 min 45 s + 5 h 49 min 38 s
b) 1 j 21 h 31 min 39 s + 4 h 12 min 34 s
c) 2 h 24 min 23 s – 38 min 48 s
d) 20 h 3 min 7 s – 18 h 27 min 45 s
Exercice 61
Le train de Sophie est parti à 16 h 48 min et son voyage a duré 2 h 22 min. Son père, qui
devait venir la chercher à la gare est arrivé en retard, à 19 h 27. Combien de temps Sophie
a-t-elle dû attendre son père ?
Séance 9
J’apprends à calculer des ordres de grandeur
Nous allons apprendre à calculer des ordres de grandeur de nombres. Cela te sera très utile pour
vérifier rapidement la cohérence d’un résultat (c’est-à-dire pour vérifier rapidement si le résultat
d’un calcul est beaucoup trop grand ou beaucoup trop petit, par exemple).
Pour cela, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 62
Les coureurs cyclistes qui participent à une course en quatre étapes doivent parcourir
une première étape de 119 km, une deuxième de 282 km, une troisième de 179 km et une
quatrième de 32 km.
François calcule à la main la distance totale parcourue par les coureurs. Il trouve 7 002 km.
Marc fait rapidement le calcul mental suivant : « 100 pour la première étape, plus 300 pour
la deuxième étape ... » et affirme que François s’est trompé.
« Calcul mental » signifie « calcul de tête ».
1- Écris le calcul mental complet fait par Marc qui lui permet d’affirmer que François s’est
trompé.
.....................................................................................................................................
2- Calcule en utilisant une calculatrice la distance totale exacte en km parcourue par
les coureurs.
.....................................................................................................................................

Ordre de grandeur :
Lorsqu’on veut vérifier rapidement que le résultat d’un calcul est plausible, c’est-à-
dire qu’il a des chances d’être juste, on remplace chaque nombre par son ordre de
grandeur.
Méthode :
On remplace chaque nombre par un arrondi à l’unité, ou à la dizaine, ou à la centaine,
... de la façon suivante :
• 119 a pour ordre de grandeur 100 (on choisit par exemple son arrondi à la centaine)
• 1 438 a pour ordre de grandeur 1 000 (on choisit par exemple son arrondi au millier)
• 2,13 a pour ordre de grandeur 2 (on choisit par exemple son arrondi à l’unité)
• 18,3 a pour ordre de grandeur 20 (on choisit par exemple son arrondi à la dizaine)
je retiens
Exerce-toi en effectuant les deux exercices ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 63
1- Propose un ordre de grandeur des expressions suivantes :
a) 4 318 + 5 896 + 758 + 256 ..................................................................
b) 78 956 – 36 987 ..................................................................
c) 758, 589 + 278,045 + 725,99 + 150,01 ..................................................................
d) 456,025 1 – 349,999 ..................................................................
2- Effectue ces calculs avec ta calculatrice :
a) 4 318 + 5 896 + 758 + 256 ................................................................. .
b) 78 956 – 36 987 ..................................................................
c) 758, 589 + 278,045 + 725,99 + 150,01 ..................................................................
d) 456,025 1 – 349,999 ..................................................................
Exercice 64
Dans la colonne de gauche figurent des calculs. Dans la colonne de droite figurent les
résultats exacts de ces calculs. Sans faire de calculs exacts, relie chaque calcul à son résultat.
1 028,235 – 789, 104 778,951
127, 279 + 1 025, 012 651,161
589, 151 + 784, 5 + 6 239,131
4 568, 025 6 – 3 789, 074 6 1 152,291
589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01 1 379,651

Nous allons maintenant effectuer quelques exercices sur des nombres inconnus. Le premier exercice
est à faire sur ton livret.
Exercice 65
1- Chaque égalité traduit exactement son énoncé. Relie par un trait chaque énoncé à
l’égalité correspondante (les symboles Δ, ◊ et ® représentent les nombres cherchés).

1er
cas
Pauline a économisé
20 €. Elle achète
un puzzle.
Il lui reste 7,65 €.
Quel est le prix
du puzzle ?

2ème
cas
Eloïse a retiré
20 dL d’eau d’un
récipient. Il en reste
à présent 7,65 dL.
Quel volume
d’eau contenait
le récipient ?

3ème
cas
On a donné 7,65 €
à Théo ; il a alors
20 € d’économies
au total. On cherche
la somme que Théo
avait avant qu’on
lui donne 7,65 €.

1ère
égalité
7,65 + Δ = 20

2ème
égalité
20 – ◊ = 7,65

3ème
égalité
® – 20 = 7,65
2- Complète :
Δ = ...................... ◊ = ...................... ® = ......................
Exercice 66
Complète avec les nombres manquants :
a) 45 + 32 = ........... c) ........... = 45 – 32 e) 45 = ............ + 32
b) 45 = ........... – 32 d) 32 = 45 – ........... f) 32 = ........... – 45
Séance 10
J’effectue des exercices de synthèse
Voici deux exercices que tu vas faire sur ton cahier d’exercices. Rédige-les soigneusement et avec
rigueur : c’est ce que l’on attend de toi dans les devoirs.

Exercice 67
Léo fait des courses au supermarché. Il achète du jambon pour 4,78 €, un DVD à
12,99 €, un paquet de 12 yaourts à 2,59 €, un pain de mie à 1,19 €, un pack de bouteilles
d’eau minérale à 2,74 € et des bananes pour 1,34 €. Il compte utiliser le bon d’achat de
7,68 € qui figure sur sa carte de fidélité du supermarché.
1- Calcule un ordre de grandeur du prix que Léo va payer.
2- Léo pourra- t-il payer ses courses avec un billet de 20 € ? Justifie ta réponse.
Exercice 68
Voici les temps mis par le coureur cycliste américain Bobby Julich lors des différentes étapes
de l’édition 2005 de la course Paris-Nice dont il est le vainqueur.
1e
étape : 5 min 22 s
2e
étape : 4 h 19 min 56 s
3e
étape : 53 min 34 s
4e
5e
6e
7e
8e
Quel est le temps total mis par le coureur américain à la fin de l’épreuve ? (Tu pourras faire
les calculs à l’aide d’une calculatrice).
directement la ou les bonnes réponses sur ton livret. Une fois les 10 questions traitées, reporte-toi
aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

je m’évalue
1- 56
2
100
3
1 000
+ + a pour partie entière :
® 5 623
® 560
® 56
® 562
2- Le chiffre des centièmes de 89,746 3 est :
® 8
® 4
® 6
® 3
3- deux mille quatre cent vingt et un
centièmes a pour écriture décimale :
® 24,21
® 2 421
® 2,421
® 242,1
4- Quel(s) nombre(s) est (sont) inférieur(s)
à 2,03 ?
® 2,003
® 2,3
® 2,01
® 2,033
5- L’arrondi de 45,897 au centième est :
® 45,89
® 46
® 45,8
® 45,9
6- La troncature de 45,746 au dixième est :
® 45,8
® 45,7
® 45
® 45,74
7- La valeur approchée par excès à l’unité
près de 78,1 est :
® 79
® 78
® 78,5
® 80
8- La somme de 14,156 et de 5,88 est :
® 20,036
® 19,846
® 21,106
® 20,003
9-La différence de 4,11 et de 2,98 est :
® 1,03
® 2,13
® 2,33
® 1,13
10- On ajoute 1,33 à un nombre,
on obtient 5. Quel est ce nombre ?
® 3,66
® 6,33
® 3,67
® 3,77

le coin des curieux
Pour finir cette séquence, voici deux photographies qui illustrent le travail que tu as fait
sur la numération égyptienne :
Voici un mur d’une construction
à Karnak (Égypte), datant environ
de 1500 avant environ Jésus-Christ,
sur lequel on voit des hiéroglyphes
qui représentent :
une unité
une dizaine
une centaine.
Voilà un fragment d’une stèle provenant de
Gizeh (près du Caire), datant environ de 2600
avant Jésus-Christ, où l’on peut voir les symbol-
les qui représentent :
une centaine.
un millier.

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Je découvre les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
J’apprends à me servir d’un rapporteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Je trace un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Je découvre la bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Je raisonne avec les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Je redécouvre les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Je redécouvre les triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Je construis des triangles particuliers au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Je démontre que des triangles sont particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Objectifs
 Savoir manipuler un rapporteur.
 Être capable de raisonner avec des angles.
 Savoir tracer différents types de triangles.
 Être capable de démontrer que des triangles sont particuliers.










Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droits
©Cned-2009

Séance 1
Je découvre les angles
Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 3.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.
1- Quel instrument peux-tu utiliser pour
savoir si un angle est droit ?
a) une règle
b) un compas
c) une équerre
d) un crayon
2- L’angle ci-dessous est-il un angle droit ?
a) oui
b) non
3- L’angle ci-dessous semble-t-il être
un angle droit ?
a) oui
b) non
4- L’angle ci-dessous est-il un angle droit ?
a) oui
b) non
Nous allons, dans ce début de séquence, redécouvrir ce qu’est un angle.
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et note « SÉQUENCE 3 : Angles »
À la suite, recopie l’encadré « JE RETIENS » ci-après.

ANGLES
Notion d’angle :
Un angle se note généralement à l’aide de trois lettres : il correspond à l’écartement
existant entre deux demi-droites de même origine.
O
A
B
x
y
L’angle ci-contre se note AOB
〈
ou BOA∑ . Le sommet de
l’angle est O. Les cotés de l’angle sont les demi-droites
[OA) et [OB).
Cet angle se note également xOy∑ ou yOx∑ . Ses côtés
sont les demi-droites [Ox) et [Oy).
Exemples : Voici en vert l’angle NPQ∑ et en bleu l’angle KLM∑ .
NP
Q

KL
M
je retiens
Apprends à situer des angles sur une figure en faisant l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 1
On a colorié en bleu l’angle FAD∑ sur la figure.
A
E
B
x
D
F yC
1- Colorie en rouge l’angle DBx∑ .
2- Colorie en vert l’angle DEB∑ .
3- Colorie en jaune l’angle yFB∑ .
4- Colorie en noir l’angle AFE∑.
Les point A, E et D sont alignés
Les point F, E et B sont alignés
Les point F, D et C sont alignés
5- Colorie en violet l’angle AEF∑.
6- De quelle couleur est l’angle EAF∑ ? .........................................................
7- De quelle couleur est l’angle BFD∑ ? .........................................................
8- De quelle couleur est l’angle DFE∑ ? ........................................................

Exercice 2
Sans faire de figure, réponds aux questions suivantes :
1- Quel est le sommet de l’angle KFT∑ ? ........... Quels sont ses côtés ? .................................
Comment peut-on nommer autrement cet angle ?.......................................
2- Quel est le sommet de l’angle NTO∑ ? ............ Quels sont ses côtés ? ................................
Comment peut-on nommer autrement cet angle ? ......................................
3- Quel est le sommet de l’angle sLt∂ ? ............... Quels sont ses côtés ? ..............................
Comment peut-on nommer autrement cet angle ? ......................................
4- Un angle a pour sommet D et pour côtés [Dz) et [DT).
Comment se nomme-t-il ? .............................................................................................
Un angle peut parfois s’écrire de nombreuses façons. Tu vas t’en rendre compte en effectuant
l’exercice ci-dessous.
Exercice 3
1- Colorie en bleu l’angle AOP∑ .
L
A
M
NO
P
Donne 7 autres façons de noter cet angle.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
2- Colorie en vert l’angle ANM∑.
Donne 7 autres façons de noter cet angle.
.....................................................................
.....................................................................
Les points L, P et O sont alignés
Les points L, M et N sont alignés
Les points O, A et M sont alignés
Les points P, A et N sont alignés
.....................................................................

Nous allons maintenant apprendre à comparer des angles (en fait, on compare leurs mesures) :
cela consiste à savoir celui qui a l’écartement le plus grand. Une première méthode pour les
comparer consiste à utiliser du papier calque.

Comparer à l’aide d’un calque les angles AOB∑ et NPQ∑
O
A
B

NP
Q

O
B
A
1- On reproduit l’angle AOB∑ sur un papier calque par
transparence (on trace ses côtés en rouge).
2- On place ensuite ce papier calque sur l’angle NPQ∑
de telle sorte que :
• les sommets des deux angles se superposent
N
P
Q
O
A
B
• un côté de l’angle AOB∑ reproduit sur le calque
se superpose à un côté de l’angle NPQ∑ .
3- On compare les « écartements » des deux côtés
de AOB∑ et de ceux de NPQ∑ .
Conclusion : on dit que l’angle AOB∑ est plus petit que l’angle NPQ∑ .
Attention ! On ne compare pas des longueurs, mais « l’écartement » des côtés.
Applique la méthode précédente en effectuant sur ton livret l’exercice ci-dessous.
Exercice 4
C
D
E F
G
H
I
J
K
M
L
N
R
P
Q
U
T
S
W
V
X
Z
A
B


a) Les angles égaux à DCE∑ sont : .......................................................................................
b) Les angles plus petits que DCE∑ sont : .............................................................................
c) Les angles plus grands que DCE∑ sont : ..........................................................................
L’activité de cette séquence porte sur un jeu appelé le Tangram. Voici la première étape de cette
activité.
Exercice 5 Activité : Le Tangram
Le Tangram est un jeu chinois ancien. Il consiste
à reconstituer des silhouettes imposées à partir
de formes géométriques simples.
Cet exercice se découpe en plusieurs étapes que
tu franchiras au fur et à mesure que tu progresseras
dans cette séquence.
Voici un angle xOy∑ de mesure 135 °.
1- Pose une feuille de papier calque sur cet angle,
O x
y
reproduis-le par transparence avec ta règle et
ton crayon à papier bien taillé pour que
ton dessin soit très soigné puis reporte-toi
à la page de découpages appelée « Tangram »
à la fin de ton livret.
2- Utilise ce modèle pour trouver la figure
qui comporte un angle identique.
3- Entoure cette figure.
Enfin, pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :
Combien de jours s’écoulent du 1er
mars au 16 mai ?
Réponse:
77
Séance 2
J’apprends à me servir d’un rapporteur
Nous allons apprendre dans cette leçon à nous servir d’un outil de mesure d’angle appelé
rapporteur. Commençons par découvrir ce nouvel instrument : effectue l’exercice
ci-dessous sur ton livret.

Exercice 6
Il existe une unité de mesure pour les angles qui s’appelle le degré et se note « ° ».
1- Cet angle mesure 1°.
2- Cet angle est constitué de
............... angles de 1°
mis « côte à côte » : on dit
qu’ils sont adjacents. Cet
angle mesure ............... .
............... angles adjacents
de 1°. Cet angle mesure
...............
............... .
...............
Reconnais-tu cet angle ?
(tu peux utiliser une équerre)
.........................................
.........................................
de 1° .
Cet angle mesure ..............
Reconnais-tu cet angle ?
(tu peux utiliser une règle non
graduée)
.........................................
.........................................
On se servira ensuite de l’angle de 180° régulièrement gradué en degrés comme
ci-dessus pour mesurer les angles. Cet instrument s’appelle un rapporteur.

De même que l’Homme a inventé une unité pour mesurer les longueurs, il a inventé une
unité pour mesurer les angles. L’unité s’appelle le degré (elle n’a rien à voir avec le degré
des températures). Elle se note « ° ». L’instrument qui permet de mesurer les angles
s’appelle un rapporteur.
Instrument de
mesure
unité notation exemple
longueurs règle graduée centimètre cm AB = 3 cm
angles rapporteur degré ° AOB∑ = 50º
Voici un angle AOB∑ de 50° mesuré à l’aide d’un rapporteur :
On écrit : AOB∑ = °50 .
01020
30
40
50
60
70
90 80
100110
120
130
140
150
160
170
180
O
A
B
on lit le nombre
de graduations :
on trouve 50.
je retiens
Exerce-toi en effectuant l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 7
Mesure les angles suivants en lisant directement sur les graduations et complète les pointillés :
01020
30
40
50
60
70
90 80
100110
120
130
140
150
160
170
180
B
A
C
ABC∑ = ..................
0
10
20
30
40506070
90
80
100
110
120
130140150
160
170
180
O
M
R
MOR∑ = ..................

0
10
20
304050
60
70
90
80
100
110
120130140
150
160
170
180
R
y
t
tRy∂ = ..................
0102030
40
50
60
70
90
80
100 110 120
130
140
150
160
170
180
K
y
x
xKy∑ = ..................
Vocabulaire
Il existe quatre types d’angles :
Les angles aigus L’angle droit Les angles obtus L’angle plat
leur mesure est
inférieure à 90°
sa mesure est
90°
leur mesure est
comprise entre
90° et 180°
sa mesure est 180°
je retiens
Exercice 8
Sans utiliser d’instrument de mesure, écris sur ton livret l’adjectif qui te semble
correspondre à chacun des angles ci-dessous :
a)

b)

c)

......................................... ......................................... .........................................


d) e) f)

......................................... ......................................... .........................................
g) h) i)
......................................... ......................................... .........................................
Mesurer l’angle AOB∑
1- On visualise le
sommet O de l’angle
AOB∑.
2- On place le centre du rapporteur
exactement sur le sommet de
l’angle.
3- On fait pivoter le rapporteur pour
qu’un des côtés de l’angle coïncide
exactement avec la graduation 0
du rapporteur. On regarde alors la
graduation par laquelle passe l’autre
côté de l’angle.
O
A
B
130140150
160
170
180
O
A
B
0
10
20
30405060
70
90
80
100
110
120
O
A
B
01020
30
40
50
60
70
90 80
100110
120
130
140
150
160
170
180
on lit 36°
L’angle AOB∑ mesure 36°.
On écrit : AOB∑ = °36 .
Exerce-toi en effectuant l’exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 9
Mesure les angles suivants avec ton rapporteur et complète : (n’hésite pas à prolonger les tracés
des côtés pour lire les graduations).
A
B
C
ABC∑ = ..................
I J
K
JIK∑ = ..................
M
x
y
xMy∑ = ..................
T
R
S
RST∑ = ..................
Remarque :
Il existe des rapporteurs de tailles
différentes, cela évidemment ne
change rien aux mesures des angles
effectuées.
Pour bien le remarquer, on a
représenté ci-contre un angle xOy∑
de 55° mesuré par deux rapporteurs
de tailles différentes :
la mesure est bien la même.
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
x
y
O
Lis attentivement le paragraphe suivant. Tu feras très attention à bien repérer si ton rapporteur
possède une double graduation comme celui représenté ci-dessous. S’il n’en possède pas, ce n’est
pas grave, tu peux quand même faire les exercices qui suivent.

Attention : de nombreux rapporteurs
possèdent une double graduation.
Elle permet de mesurer certains angles
sans avoir à trop tourner le rapporteur.
Il faut faire attention, car si tu utilises
le 0 bleu comme référence, il faut
mesurer à l’aide de la graduation bleue.
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
90 100 110120
130
150
140
160170180
80
60
70
40
50
30
20
10
0
Exemple :
0
10
20
30
40
506070
90
80
100
110
120
130
140150160
170
180
90
100 110 120 130
150
140
160
170
180
80
60
70
40
50
3020
100
O
y
x

010
20
30
40 50
60
70
9080 100
110
120
130
140
150
160
170180
90100110120130
150
140
160170180
80
60
70
40
50
30
20
10
0
O
y
x
En utilisant la graduation bleue : En utilisant la graduation noire :
On a fait coïncider le côté [Oy) avec le zéro On a fait coïncider le côté [Ox) avec le zéro de la
de la graduation bleue. On lit donc la mesure graduation noire. On lit donc la mesure de l’angle
de l’angle en regardant la graduation bleue en regardant la graduation noire : on trouve 30°.
qui coïncide avec le côté [Ox) : on trouve 30°.
Dans les deux cas, on lit : xOy∑
= 30°.
je retiens

Exercice 10
Mesure les angles suivants avec ton rapporteur et complète :

K
M
L P
v
u
L
V
F
LK M∑ = .................. uPv∑ = .................. VLF∑ = ..................


T
x
y
J
H
K
xTy∑ = .................. HJK∑ = ..................
Pour finir cette séance, effectue la suite de l’activité sur les Tangrams.
Exercice 11 : Le Tangram – suite –
Les figures 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 et 10 ne sont pas entourées.
1- Quelles sont les figures non entourées de la page « Tangram » qui comportent au moins
un angle de 45° ?
.....................................................................................................................................
2- Parmi ces figures, quelles sont celles qui ont, en plus, un seul côté mesurant 6 cm ?
.....................................................................................................................................
Entoure cette (ou ces) figure(s).
3- Quelles sont les figures non entourées qui possèdent un angle droit ?
.....................................................................................................................................
4- Parmi ces figures, quelles sont celles qui possèdent deux côtés seulement de même
longueur ?
.....................................................................................................................................
5- Parmi ces figures, quelles sont celles qui ont de plus un côté mesurant 12 cm ?
.....................................................................................................................................
Entoure cette (ou ces) figure(s).
Le train de Margaux devait arriver à 13 h 47 min. Il a une demi-heure de retard.
À quelle heure va-t-il arriver ?
Réponse:
14h17

Séance 3
Je trace un angle
Commençons par effectuer un exercice de mesure d’angles. Tu rempliras les pointillés directement
sur ton livret.
Exercice 12
Mesure tous les angles de cette figure et complète les pointillés.
C
A
B
D
E
F
BAF∑ = ............ AFB∑ = ............ ABF∑ = ............ CBE∑ = ............
BED∑ = ............ EDC∑ = ............ DCB∑ = ............ ABC∑ = ............
FBE∑ = ............
Nous allons maintenant apprendre à tracer des angles dont on donne la mesure. Pour cela,
commence par étudier attentivement la méthode décrite ci-dessous.
Tracer un angle xOy∑ de 65 °
1- On trace une demi-
droite [Ox).
2- On place le centre du rapporteur
sur le point O et on fait coïncider la
demi-droite [Ox) avec la graduation
0. On repère la graduation 65°
et on la marque au crayon
3- On trace la demi-
droite d’origine O qui
passe par la marque
de la graduation 65°
du rapporteur.
O x
O x
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
x
y
O

Prends une feuille de papier calque. Écris en haut « Exercice 13 » et trace les figures demandées.
Tu pourras ensuite vérifier tes figures en superposant le calque avec la figure corrigée.
Tu feras de même pour les exercices 13, 14, 15, 16 et 17. Une fois le travail fini, tu colleras la
feuille de papier calque dans ton cahier d’exercices. N’oublie pas d’écrire les numéros des exercices.
Exercice 13
Trace un angle xAy∑ de 25°, un angle zBt∂ de 75°, un angle uOv∑ de 120° et un angle eDf∑ de
164°.
Tu commenceras par décalquer les débuts de figures proposés ci-dessous.
Exercice 14
a) Construis un point D tel que FED∑ = 45º . b) Construis un point M tel que KLM∑ =135º

E F

K
L
Effectue ensuite les trois exercices ci-dessous.
Exercice 15
a) Trace un angle CKL∑ de 92°.
b) Trace un angle GRM∑ de 68°.
Exercice 16
Construis la figure à main levée ci-contre à l’aide
A B
40°
10 cm
8
cm
C
d’une règle graduée et de ton rapporteur.
Exercice 17
1- Trace un segment [OA] tel que OA = 5 cm.
2- Place un point B tel que AOB∑ = 20° et OB = 7 cm.
3- Place un point C tel que OBC∑ =120° et BC = 6 cm.
4- Place un point D tel que BCD∑ = 70° et CD = 10 cm.
Indication :
A
O
C
D
B
tu dois obtenir une figure de ce type :
— © Cned, Mathématiques 6e, 2008100

ANGLES ÉGAUX
Lorsque deux angles ont même mesure,
on dit qu’ils sont égaux.
Par exemple, les angles ci-contre sont égaux.
On écrit : AOB C MD∑ ∑= .
O
A
B
M
C
D
Comme pour les longueurs, on code sur la figure
les angles qui sont égaux.
Il existe plusieurs façons de coder des angles égaux. Par exemple :
1ère
façon 2ème
façon 3ème
façon 4ème
façon 5ème
façon
je retiens
Exercice 18
Voici les mesures des angles de la figure ci-contre :
E F
I
G
H
EHI∑ = °27 HEI∑ = °63 HIE∑ = °90
HIG∑ = °90 GHI∑ = °27 HGI∑ = °63
IEF∑ = °51 EIF∑ = °90 EFI∑ = °39
GIF∑ = °90 IGF∑ = °51 IF G∑ = °39
Code sur la figure à main levée les angles égaux. E, I, G alignés ainsi que H, I, F
Une voiture consomme 8 L d’essence aux 100 km.
Combien puis-je parcourir avec 4 L d’essence ? avec 12 L ?
Réponse:
50km;150km

Séance 4
Je découvre la bissectrice d’un angle
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Il te rappelle ce que sont deux angles adjacents.
Définition de deux angles adjacents :
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet,
un côté en commun et s’ils sont situés de part et
d’autre de ce côté commun.
Ci-contre, les angles TOS∑ et SOR∑ sont adjacents.
O R
T
S
je retiens
Tu vas maintenant découvrir ce qu’est la bissectrice d’un angle. Effectue l’exercice ci-dessous
Exercice 19
1- Mesure l’angle CBA∑ .
CBA∑ = ............
2- Trace la demi-droite [BD) qui partage CBA∑
en deux angles adjacents égaux.
3- Trace la demi-droite [BD) en rouge.
Cette demi-droite s’appelle la bissectrice de l’angle CBA∑ .
B A
C
Définition de la bissectrice d’un angle :
La bissectrice d’un angle est la demi-droite
qui le partage en deux angles adjacents égaux.
Ci-contre, [OS) est la bissectrice de l’angle TOR∑ .

O R
T
S
je retiens

Exercice 20
À l’aide de ton rapporteur, réponds par « oui » ou « non » aux questions suivantes :
a) la demi-droite [OC) est-elle la bissectrice de l’angle AOB∑ ?
A
O B
C
...............................................
b) la demi-droite [LN) est-elle la bissectrice de l’angle KL M∑ ?
K
L
M
N
...............................................
c) la demi-droite [TR) est-elle la bissectrice de l’angle UTS∑ ?
U
R
S
T
...............................................
d) la demi-droite [XV) est-elle la bissectrice de l’angle YXW∑ ?
Y
V W
X
...............................................
Si c’est le cas, code-le sur la figure.
Tu vas maintenant apprendre à tracer la bissectrice d’un angle à l’aide d’un rapporteur. Tu verras
plus tard une autre méthode plus efficace à l’aide du compas. Lis attentivement le paragraphe
ci-dessous.

Tracer la bissectrice de l’angle AOB∑ à l’aide d’un rapporteur
1- On place le centre du
rapporteur sur le sommet
O de l’angle.
2- On mesure l’angle AOB∑ : on
trouve 120°. La moitié est 60°.
On fait une marque en face de la
graduation 60°.
3- On trace la demi-droite
d’origine O passant par cette
marque.
A
O B
O B
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
A
O B
A
Prends une feuille de papier calque et reproduis les angles ci-dessous. Effectue ensuite l’exercice sur
ton papier calque. Une fois l’exercice terminé, tu pourras vérifier tes tracés en superposant
ton calque au corrigé.
Exercice 21
Trace les bissectrices des angles ci-dessous :

O A
B

C D
E
J
I
K
F
y
x

Prends le papier calque qui t’a servi pour faire l’exercice précédent et reproduis le triangle
ci-dessous. Effectue l’exercice proposé sur le calque. Une fois terminé et corrigé, colle ton papier
calque dans ton cahier d’exercices.
Exercice 22
1- Trace les bissectrices [Ax), [By) et [Cz)
des trois angles du triangle ABC.
2- Que remarques-tu ?
On note I le point de concours des trois demi-droites
(c’est un point où se coupent trois droites ou
trois demi-droites).
3- Trace la droite (d), perpendiculaire à (AB)
et passant par le point I. La droite
(d) coupe la droite (AB) en J.
4- Trace le cercle C de centre I
passant par le point J.
Que remarques-tu ?
A
C
B
Exercice 23

figure 1 figure 2 figure 3

O x
y
20°
33°
A
t
z
7°
14°
B
e
25°
f
g
eBg∑ = °75
xOy∑ = ................... zAt∂ = ................... eBf∑ = ...................
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.

Exercice 24
La figure ci-contre est tracée à main levée.
La demi-droite [Oy) est la bissectrice de l’angle xOz∑.
On sait de plus que xOz∑ = °110 .
Méline dit : « L’angle yOt∑ semble être un angle droit ».
Jules dit : « Mais non ! l’angle yOt∑ n’est pas droit ! »
O
x
y
z
t
25°
Qui des deux élèves a raison ? Prouve-le !
Effectue la suite de l’activité sur les Tangrams.
Les figures 1, 2, 4, 6, 7 et 9 ne sont pas entourées.
1- Construis avec ton rapporteur les bissectrices des angles de chacune des six figures
restantes de la page « Tangram ».
2- Il y a deux figures pour lesquelles chaque bissectrice passe par un autre sommet de la
figure. Ce sont les figures ..............................................................................................
3- Parmi ces deux figures, trouve celle dont les côtés ont des mesures qui ne sont pas des
nombres entiers. C’est la figure ......................................................................................
Entoure cette figure.
Amaury a 92 billes. Il en a 48 de plus que Paul. Combien Paul a-t-il de billes ?
Réponse:
44

Séance 5
Je raisonne avec les angles
Nous allons dans cette séance effectuer des démonstrations utilisant les angles. Prends ton cahier
d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 26
Les points A, B et C sont-ils alignés ? Tu démontreras
ta réponse.
B A
x
y
C
84°
66°
31°
POINTS ALIGNÉS
Dire que le point A est un point du segment [BC], ou que « B, A et C sont alignés dans
cet ordre » revient à dire que l’angle BAC∑ est plat.
B A C
Si l’angle BAC∑ est plat, alors A est un point du segment [BC].
Ceci s’écrit également : Si BAC∑ = °180 alors A ∈ [BC].
Si A est un point du segment [BC], alors l’angle BAC∑ est plat.
Ceci s’écrit également : Si A ∈ [BC] alors BAC∑ = °180 .
je retiens
Entraîne-toi à utiliser la propriété ci-dessus en effectuant les trois exercices suivants sur ton cahier
d’exercices.
Exercice 27

Démontre que le point C est sur le segment [EF].
E F
x
C
45°
y

Exercice 28
Les points K, L et M sont alignés dans cet ordre.
M
K
x
L
58°
y32°
Démontre que l’angle yLM∑ est droit.
Exercice 29

Les points E, F et G sont alignés dans cet ordre.
E
x
z
36° F
G
y
72°
Que peux-tu dire de la demi-droite [Fx) ?
Démontre ta réponse.
Jennifer part au marché avec 75 € dans son porte-monnaie. À son retour, il lui reste 49 €.
Combien a-t-elle dépensé ?
Réponse:
26€

Séance 6
Je redécouvre les triangles
Nous allons commencer par revoir ce qu’est un triangle et préciser le vocabulaire.
Recopie sur ton cahier de cours le paragraphe ci-dessous.
TriangleS
Le cas général :
Un triangle est une figure fermée à 3 côtés et 3 angles.
Le triangle représenté ci-contre se note ABC
A
B C
(ou ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).
Les points A, B et C sont les trois sommets du triangle.
Les segments [AB], [AC] et [BC] sont ses trois côtés.
BAC∑ , ABC∑ et BCA∑ sont ses trois angles.
je retiens
Exercice 30
Sur cette figure, 4 triangles sont tracés. Lesquels ?
A
B D
E
C
.................................................................................
.................................................................................
B, C et D sont alignés
Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous. Tu vérifieras ta construction
par transparence en plaçant cette feuille sur le corrigé. Tu découperas ensuite la figure tracée et la
colleras dans ton cahier d’exercices.
Exercice 31
Construis un triangle ABC tel que BC = 8 cm, CBA∑ = °50 et BCA∑ = °60 .
Tu commenceras par représenter une figure à main levée sur laquelle tu noteras les données de l’énoncé.

Prends à nouveau une feuille de papier calque. Lis bien la consigne car tu vas effectuer l’exercice 32
de la façon suivante :
Pour chacune des figures ci-dessous, tu vas tracer à main levée la figure dans le cadre de gauche,
puis la figure à l’aide de tes instruments de géométrie sur ta feuille de papier calque.
Une fois les trois figures à main levée tracées et les trois figures tracées sur la feuille de papier
calque, tu vas vérifier tes constructions sur le corrigé.
Enfin, tu corrigeras si tu as commis des erreurs, puis tu découperas ta feuille de papier calque en
trois petites vignettes, que tu colleras dans ton livret, au dessous de l’endroit où est écrit « papier
calque ».
Exercice 32
Construis les figures suivantes :
1- un triangle ABC tel que BC = 4 cm, ACB∑ = °60 et ABC∑ = °80 .
Figure à main levée papier calque :
.....................................................................................................................................
2- un triangle RST tel que RS = 4,5 cm, RT = 4 cm et SRT∑ = °50 .
.....................................................................................................................................

3- un triangle KLM tel que KL = 6 cm, KM = 4 cm et KLM∑ = °40 .
Exercice 33
Le but de cet exercice est de tracer un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7 cm et BC = 9 cm.
1- Trace un segment [BC] de 9 cm.
2- On cherche à placer le point A.
Le point A se trouve à ............ cm du point B. Le point A se trouve donc sur le .................
de centre ........ et de rayon ................. Trace ce cercle et nomme le C 1
.
Le point A se trouve à ............ cm du point C. Le point A se trouve donc sur le .................
de centre ........ et de rayon ................. Trace ce cercle et nomme le C 2
.
3- Où se trouve le point A ? ................................................................................................
4- Place le point A et trace le triangle ABC.
Tu viens de découvrir une méthode permettant de construire un triangle dont on connaît
les longueurs des côtés. Cette méthode est détaillée ci-dessous : lis attentivement le paragraphe
qui suit.

Tracer un triangle EGH tel que EG = 4 cm , HG = 3,5 cm et EH = 6 cm
1- On commence par faire une figure à main levée.
E
G
4 cm 3,5cm
H6cm
2- On trace un côté, par exemple [EH].
Il mesure 6 cm.
3- Comme EG = 4 cm, on trace un arc de cercle de centre E
et de rayon 4 cm.
HE 6 cm HE 6 cm
4- Comme HG = 3,5 cm, on trace un arc de cercle de centre
H et de rayon 3,5 cm (assez grand pour couper
le premier).
5- Les deux arcs se coupent en G.
On trace les segments [EG] et [HG].
On n’écrit pas les longueurs sur la
figure.
HE 6 cm
E
G
H

Effectue l’exercice ci-dessous ; tu utiliseras un papier calque comme pour l’exercice 28.
Exercice 34
1- un triangle ABC tel que AB = 7 cm , AC = 10 cm et BC = 12 cm

.....................................................................................................................................
2- Un triangle KLM tel que KL = 3 cm , KM = 8 cm et LM= 9,5 cm.

3- Un triangle CDE tel que CD = 5 cm , CE = 7 cm et DE = 12 cm.

Que remarques-tu ? ........................................................
.......................................................................................

4- Essaie de tracer un triangle IJK tel que IJ = 4 cm, JK = 6 cm et IK = 12 cm.

Que remarques-tu ? ........................................................
.......................................................................................
Téo pensait arriver au collège à 8 h 15 min. Il est en fait arrivé avec 22 minutes d’avance !
À quelle heure est-il arrivé ?
Réponse:
7h53min
Séance 7
Je redécouvre les triangles particuliers
Nous allons commencer cette séance par apprendre à reproduire exactement un triangle déjà tracé
à l’aide d’un compas. Effectue l’exercice ci-dessous sur un papier calque que tu colleras dans ton
cahier d’exercices après l’avoir corrigé.
Exercice 35
Voici un triangle KGH.
a) Reproduis ce triangle avec ton compas et
K
G
H
une règle non graduée sans mesurer aucun des côtés.

b) Reproduis sur ton cahier, avec ton compas et
K
x
y
une règle non graduée, l’angle xKy∑ ci contre.
En apprenant à reproduire un triangle, tu as également appris à reproduire un angle.
Voici la méthode détaillée ci-dessous. Lis attentivement ce paragraphe :
Construire à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée
k
C l
un angle uIv∂ de même mesure que l’angle kCl∂ ci-contre
1- On place sur le
livret un point D
sur [Cl) et on trace
un arc de cercle de
centre C qui coupe
[Ck) en E.
2- On trace une demi-droite
[Iu). On prend comme
écartement de compas
CD. On trace un grand
arc de cercle de centre I
et de rayon CD qui coupe
[IU) en M.
3- On prend comme écartement de
compas la longueur DE.
k
C lD
E
I uM
k
C lD
E
4- On trace un arc de cercle de
centre M et de rayon DE.
Cet arc coupe le premier au
point K.
5- On trace la demi-droite [IK) et on marque la lettre v.
I uM
K
I uM
K v

Effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 36
Reproduis sur ton cahier les angles ci-dessous :
A x
y

B y
z
C
k
l
Nous allons maintenant revenir sur la construction de triangles afin d’étudier certains triangles
particuliers ... Effectue l’exercice ci-dessous sur du papier calque, et colle-le une fois que tu auras
corrigé.
Exercice 37
1- Trace les triangles ci-dessous.
a) un triangle ABC tel que AB = 7 cm , AC = 7 cm et BC = 7 cm.
b) un triangle KLM tel que KL = 8 cm , LM = 6 cm et KM = 10 cm.
c) un triangle CDE tel que CD = 9 cm , CE = 9 cm et DE = 6 cm.
2- a) Quelle est la particularité du triangle ABC ?
b) Quelle est la particularité du triangle KLM ?
c) Quelle est la particularité du triangle CDE ?
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-après.

TRIANGLES PARTICULIERS
Il existe plusieurs triangles particuliers. Voici leurs définitions :
Définition du triangle rectangle :
Un triangle est rectangle lorsqu’il a un angle droit.
Ci-contre, le triangle ABC est rectangle en A
A
B C(ceci signifie que l’angle qui a pour sommet le point A est un angle droit).
Définition du triangle isocèle :
Un triangle est isocèle lorsqu’il a au moins deux côtés
de la même longueur.
Ci-contre, le triangle ABC est isocèle en A
A
B
C
(ceci signifie que les côtés [AB] et [AC] ont la même longueur, soit AB = AC).
• Le point A s’appelle le sommet principal du triangle isocèle ABC.
• Le côté [BC] s’appelle la base du triangle isocèle ABC.
Définition du triangle équilatéral :
Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés
ont la même longueur.
Ci-contre, le triangle ABC est équilatéral. On a AB = AC = BC.
Remarques :
A
B C
• Un triangle équilatéral ABC est isocèle en A, en B et en C.
C’est donc un triangle isocèle particulier.
• Un triangle qui n’est pas particulier est dit « quelconque ».
• Un triangle à la fois rectangle et isocèle (cela est possible)
est un « triangle rectangle isocèle ».
je retiens
Voici un exercice de recherche de triangles particuliers. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.
N’oublie pas de justifier chaque ligne.
Exercice 38
Complète la liste ci-dessous :
A
B
C
D
E
F G
H
I
J
K
Sur la figure ci-contre :
• le triangle DKB est rectangle en B car DBK∑ = °90 .
• ...
les points K, I et H sont alignés
les points D, F, G et I sont alignés

Pour finir cette séance, voici un exercice de construction de triangles rectangles. Tu effectueras les
constructions à main levée directement sur ton livret, et les « vraies constructions » directement sur
du papier calque que tu colleras sur ton livret une fois corrigées. La dernière construction est un peu
plus difficile...
Exercice 39
1- un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 4 cm.
.....................................................................................................................................
2- un triangle EFG rectangle en F tel que EF = 2 cm et EG = 4,5 cm.
.....................................................................................................................................
3- un triangle KLM rectangle en K tel que KL = 4 cm et KLM∑ = °45 .
.....................................................................................................................................

4- un triangle ABC rectangle en B tel que AC = 6 cm et BCA∑ = °30 .
Effectue la suite de l’activité sur les Tangrams. La question 3 est une sorte d’énigme. N’hésite pas à
demander de l’aide !
Les figures 1, 4, 6, 7 et 9 ne sont pas entourées.
1- Parmi les figures non entourées, quelles sont celles qui représentent un triangle rectangle
isocèle ? .........................................................................................................................
2- Parmi ces figures, trouve celle dont la mesure du côté le plus long a pour arrondi au
dixième de centimètre le nombre 8,5 et entoure-la.
Te voilà en possession des sept figures de base du Tangram : ce sont les figures que tu as entourées.
Il ne te reste plus qu’à les découper.
3- Positionne judicieusement les sept figures du Tangram pour former le carré ci-dessous.

Complète mentalement cette étoile magique sachant que la somme des nombres sur
chacune de six lignes est la même.
98
16
15
7 13
1114
Réponse:
ilfallaitcommencerparcalculerlasommeeneffectuant8+9+14+11=42.
Onpouvaitalorstrouver6,ou12,puis10et5.
9 8
16
15
713
11 14
6
10
5
12
Séance 8
Je construis des triangles particuliers au compas
Nous allons commencer cette séance par revoir comment tracer un triangle isocèle à l’aide d’un
compas. Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 41
Construis un triangle ABC isocèle en A tel que BC = 7 cm et AB = 5 cm. Commence par faire
une figure codée à main levée.
Lis attentivement la méthode décrite ci-après.

Construire un triangle EFG isocèle en E tel que EF = 4 cm et FG = 3 cm
1- On commence par faire une figure codée
à main levée.
2- On trace un segment [FG] de 3 cm.
On prend comme écartement de
compas 4 cm. On trace un arc
de cercle de centre F
E
F
G
4 cm 4 cm
3 cm F G
3- On garde le même écartement de 4 cm et
on trace un arc de cercle de centre G qui
coupe l’autre arc.
Les deux arcs se coupent en E.
4- On trace les segments [EF] et [EG] et
on code la figure.
F G
E
F G
E
Effectue l’exercice suivant. Tu effectueras les constructions à main levée directement sur ton livret,
et les « vraies constructions » directement sur du papier calque que tu colleras sur ton livret après la
correction.
Exercice 42
1- un triangle RST isocèle en R tel que RS = 6 cm et ST = 4 cm.


2- un triangle KLM isocèle en K tel que KL = 4 cm et LK M∑ = °45 .
.....................................................................................................................................
3- un triangle ABC isocèle en B tel que AB = 3 cm et BAC∑ = °70 .
.....................................................................................................................................
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu traceras la figure sur un calque
que tu colleras sur ton cahier après la correction.
Exercice 43
Construis un triangle KLM équilatéral de côté 4 cm.
Effectue également l’exercice ci-dessous sur ton cahier, mais trace la figure sur du papier calque
(afin de pouvoir comparer au corrigé), puis colle-la sur ton cahier.
Exercice 44
1- Reproduis la figure ci-contre à l’aide de tes instruments
de géométrie.
2- Rédige les consignes à donner à quelqu’un pour qu’il puisse
reproduire cette figure sans la voir.
E
2,5
cm
3 cm
I
G
J
F
H
2cm
4 cm
5cm

Nous avons jusqu’à présent construit des triangles particuliers. Nous allons maintenant apprendre
à raisonner avec des triangles particuliers. Effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.
Exercice 45
1- Trace un cercle C de centre E et de rayon 3 cm.
2- Place sur le cercle C deux points F et G tel que E, F et G ne soient pas alignés.
Trace le triangle EFG.
3- Démontre que ce triangle est isocèle en E.
Effectue-les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 46
1- Place un point E tel que le triangle CDE soit isocèle en C.
Place un point E’ tel que le triangle CDE’ soit isocèle en C.
Place à nouveau un point E’’ tel que le triangle CDE’’
soit isocèle en C.
2- On pourrait continuer comme on l’a fait dans la question
précédente et placer des points E’’’, E ’’’’... tels que CDE’’’,
CDE’’’’ ... soient isocèle en C.
Où sont placés tous ces points E, E’, E’’, E’’’ ? ...................
........................................................................................
Trace ce « lieu » sur la figure.
C
D
Pour t’aider, n’hésite pas à placer de nombreux points E’’, E’’’,... et tu verras apparaître le lieu
recherché ...
Exercice 47
Place un point K sur la droite (d) tel que
le triangle IJK soit isocèle en I.
Combien y-a-t-il de points possibles au total ?
I
J
(d)
...............................................................
...............................................................
Pour finir cette séance, effectue la suite de l’activité sur les Tangrams.

Positionne judicieusement les sept figures du Tangram pour former le triangle ci-dessous.
Dans un carré magique, le somme des nombres sur chaque ligne, chaque colonne et
chacune des deux diagonales est la même. Complète ce carré magique :
18
11
8 15 13
4
16
39
7

Réponse:
Onconnaîtlasommedesnombresd’unediagonale:
18+7+4+3=42.Onpouvaitalorstrouver6,parexemple,puislesautres
nombres...
18
11
81513
4
16
3 9
7
12
514
17
6
10
Séance 9
Je démontre que des triangles sont particuliers
Nous allons terminer cette séquence par quelques exercices de démonstration. Effectue-les sur ton
cahier d’exercices.
Exercice 49
Les droites (d) et (EC) sont parallèles.
Démontre que le triangle EBC est rectangle en E.
E
C
B
(d)
Exercice 50
Le cercle C de centre O a pour rayon 4 cm.
O
A
B
4cm
C
Les points A et B sont sur le cercle C .
Démontre que le triangle OAB est équilatéral.

Exercice 51
Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre et EB = 9 cm.
Démontre que le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
C
E
A
D
3 cm
78°
12°
B
6cm
S’il te reste du temps, tu peux essayer de faire ce dernier exercice sur les Tangrams.
Exercice 52 : Le Tangram – fin –
Chacune de ces trois figures : le canard, le coureur à pied et le chat, peut être reconstituée à
l’aide des sept pièces du Tangram.
Es-tu capable de les reconstituer ? (Ils ne sont pas représentés en vraie grandeur).

Lis attentivement les questions et coche directement sur ton livret. Une fois les
10 questions traitées, reporte-toi aux corrigés et entoure en rouge les bonnes réponses.
Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses sont bonnes et donc à cocher.

je m’évalue
1- L’angle DFE∑ a pour sommet :
® D
® F
® E
® [DF)
2- L’angle KLM∑ a pour côté(s) :
® [LM)
® [LM]
® [LK)
® [KM)
3- La mesure d’une angle droit, en degrés,
est :
® 45°
® 100°
® 180°
® 90°
4- L’angle ci-contre est :
N
P
Q
® aigu
® droit
® obtus
® plat
5- La bissectrice d’un angle de 106°
le coupe en deux angles adjacents de :
® 106°
® 58°
® 53°
® 212°
6- L’angle JDL∑ est plat. Les points J, L et D :
® sont alignés
® sont confondus
® sur une même droite
® ne sont pas toujours alignés
7-Le triangle DEF est isocèle en D.
On a donc :
® DE = EF
® DF = EF
® DE = DF
® DE = EF = DF
8- Le triangle KLM est rectangle en M.
® les droites (KM) et (ML) sont
perpendiculaires
® l’angle KL M∑ est droit
® l’angle KML∑ est droit
® l’angle MKL∑ est droit
9-Le triangle CVR est rectangle isocèle en V.
On a :
® CVR∑ = °90
® CR = RV
® RV = CV
® CRV∑ = °90
10- Un cercle de centre O passe par les
points H et K.
® [HK] est une corde de ce cercle
® [HK] est un diamètre de ce cercle
® le triangle OHK est équilatéral
® le triangle OHK est isocèle en O

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Je redécouvre la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Je redécouvre la multiplication - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Je multiplie les nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
J’apprends à évaluer si un produit est juste ou non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Je multiplie par un dixième, un centième, un millième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Je résous des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Je résous des problèmes - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
J’utilise un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
J’effectue des exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Objectifs
 Être capable d’effectuer le produit de deux nombres décimaux.
 Connaître le vocabulaire de la multiplication.
 Savoir résoudre des problèmes à l’aide de multiplications.










©Cned-2009

Séance 1
Je redécouvre la multiplication
Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la SÉQUENCE N° 4.
1- Paul achète 7 bonbons à 8 centimes
d’euros l’unité. Il dépense :
a) 15 centimes d’euros
b) 63 centimes d’euros
c) 56 centimes d’euros
d) 72 centimes d’euros
2- Coline possède 3 jeux de 54 cartes
et il lui reste 15 cartes d’un vieux jeu.
Combien a-t-elle de cartes au total ?
a) 177
b) 175
c) 173
d) 179
3- Sébastien a gagné 7 billes, puis 9 billes
et enfin 13 billes. Combien en a-t-il
gagné au total ?
a) 63
b) 91
c) 117
d) 29
4- Lors d’un tournoi de football, il a été
vendu 100 sandwichs à 1,5 euro pièce.
Quelle somme cela représente-t-il ?
a) 15 euros
b) 101,5 euros
c) 150 euros
d) 1,500 euro
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, et écris : « SÉQUENCE 4 : MULTIPLICATION
DE NOMBRES DECIMAUX ». Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de
cette séquence, qui s’intitule : « le nom secret d’un personnage célèbre ». Effectue l’exercice
ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 1 : le nom secret d’un personnage célèbre
Le but de l’activité « le nom secret », qui se poursuit
tout au long de la séquence, est de trouver le nom
caché d’un mathématicien célèbre.
Dans cette activité, on va te proposer des petits calculs.
Tu devras associer à certains résultats une lettre
de l’alphabet de la façon suivante :
1 Ë A 2 Ë B 3 Ë C 4 Ë D ...

Commençons :
Un vendeur de consoles de jeux a vendu 29 consoles à 317 € depuis le début de la semaine.
Combien cela lui-a-t-il rapporté ?
Conclusion : ................................................................. Pose l’opération
.....................................................................................
Quel est le chiffre des centaines du résultat ? .................
Quelle est la lettre de l’alphabet associée au chiffre
des centaines du résultat ? ............................................
Reporte la lettre trouvée dans la 1ère
case. Tu complèteras la suite de ce nom dans les
prochains exercices.
Exercice
11
Exercice
1
Exercice
11
Exercice
23
Exercice
35
Exercice
40
Exercice
40
Exercice
41
Exercice
46
Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 2
Laquelle de ces deux lignes est la plus longue : la rouge ou la verte ? Justifie ta réponse par
un calcul à la main, c’est-à-dire sans utiliser la calculatrice.
6,2 cm
73,5 mm
Exercice 3

Combien de menus différents comprenant
une entrée et un plat peut-on composer
avec la carte ci-contre (ne les écris pas) ?
Justifie ta réponse.

Restaurant «Les délices du terroir»
Le chef vous propose
Entrées
Crudités
ou Pâté maison
ou Bouquet à la mayonnaise
ou Melon au porto
Plat principal
Bifteack frites
ou Thon à la provençale
ou Moules frites

Exercice 4
En sortant de la boutique du charcutier, Madame Martin remarque qu’il reste 14,92 € dans
son porte-monnaie.
Calcule combien elle possédait auparavant, sachant qu’elle a acheté :
• 6 coquilles St-Jacques à 2,85 € pièce
• un chapon de 2,75 kg coûtant 33 € le kilogramme.
Effectue maintenant l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 5
Calcule sans la calculatrice :
a) 232,57 x 10 = ................. b) 13,48 x 100 =.................. c) 1 212,3 x 1 000 = ............
Lis attentivement ce paragraphe ci-dessous.
Multiplier par 10, 100, 1 000
Pour multiplier un décimal par 10, 100, 1 000, on déplace la virgule de un, deux,
trois rangs vers la droite en complétant par des zéros si nécessaire.
Exemples :
• 27,657 x 100 = 2 765,7
• 182,4 x 1 000 = 182 400 (Ne pas oublier que 182,4 = 182,400)
• 32 x 10 = 320 (cas où le décimal est entier. Ne pas oublier que 32 = 32,0)
Remarque : Multiplier un décimal par 10, 100, 1 000 « l’agrandit ».
je retiens
Effectue directement les deux exercices d’application suivants sur ton livret.
Exercice 6
a) Combien coûtent 10 timbres à 0,53 € ?
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
b) 100 sacs de sucre pesant chacun 25,43 kg sont empilés. Quelle est leur masse totale ?
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
c) À l’occasion d’une fête, mille billets de tombola ont été vendus. Quelle est la recette
totale, sachant que chaque billet coûtait 1,50 €.
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

Exercice 7
1) 1,956 7 x .................... = 19,567 2) 26,18 x ....................... = 26 180
3) .................... x 100 = 1 600 4) .................... x 10 = 84,423
5) .................... x 1 000 = 14 920 6) .................... x 100 = 1,278
7) .................... x 1 000 = 4,76 8) .................... x 100 = 1
Enfin, pour terminer cette séance, s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 8
Les méthodes pour effectuer des multiplications ont évolué au cours des siècles.
Voici un exemple de multiplication de deux nombres entiers, d’après une disposition utilisée
par les mathématiciens arabes au 15ème
siècle :
Calcul de 843 x 76 : 843 x 76 = 664 068
5
4
6
2
8
2
1
84
2
8 4 3
7
6
8
1
60
84
6
Observe cette technique et utilise-la pour calculer 954 x 78
Séance 2
Je redécouvre la multiplication - fin -
Commence par prendre une nouvelle page de ton cahier de cours, et recopie le paragraphe
ci-dessous.
Notion de facteur, de produit :
24 x 2 = 48
les facteurs
du produit
le produit
de 24 par 2
Exemple :
Dans une multiplication :
• Les facteurs sont les nombres que l’on multiplie.
• Le produit est le résultat de la multiplication.
je retiens

Exercice 9
1- Calcule le produit de 976 par 608 sans utiliser ta calculatrice. Utilise-la ensuite pour
vérifier ton résultat.
2- a) Écris 72 comme produit de deux entiers consécutifs.
b) Écris 700 comme produit de trois facteurs entiers, deux étant impairs.
Exercice 10
1- Calcule sans poser d’opération et sans utiliser la calculatrice :
a) 9 x 0,7 x 6 b) 0,7 x (6 x 9)
2- Que remarques-tu ? Une règle, vue en CM2, permettait-t-elle de le prévoir ?
Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous sur ton cahier.
Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut :
• changer l’ordre des facteurs
• grouper les facteurs comme on veut.
Exemple : calcul de 5 x 7 x 6 de deux façons différentes :
1ère
façon 2ème
façon
5 x 7 x 6 = 35 x 6 = 210 5 x 7 x 6 = 7 x (5 x 6) = 7 x 30 = 210
je retiens
Exercice 11 : le nom secret d’un personnage célèbre - suite -
1- Calcule les produits suivants aussi simplement que possible (tu indiqueras toutes les étapes
de calcul) :
a) 5 x 1,8 x 2 =...............................................................................................................
b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 =......................................................................................
2- Place :
a) dans la deuxième case « du nom secret » la lettre de l’alphabet associée au résultat du
1) a).
b) dans la troisième case « du nom secret » la lettre de l’alphabet associée au résultat du
1) b).
Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices suivants.

Exercice 12
a) 4 x 25 = .......................................... b) 8 x 125 = ...................................................
2- Utilise les résultats du 1- pour calculer les produits :
a) 4 x 0,25 = ....................................... b) 0,8 x 125 = ................................................
Exercice 13
Calcule les produits K, L et M suivants en ligne (tu indiqueras toutes les étapes de ton
calcul) :
1- K = 9 x 25 x 8,1 x 4 2- L = 3 x 1,25 x 96 x 8 3- M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25
Exercice 14
1- Calcule à la main le double de 7,9 puis le triple de 6,84
2- a) Calcule à la main le triple du double de 9,6 puis le double du triple de 9,6.
b) Que remarques-tu ?
c) Pouvais-tu prévoir ce résultat ? Justifie ta réponse.
Exercice 15
Complète :
98 700 x 650 = (987 x ................. ) x (................. x 65)
98 700 x 650 = (987 x 65) x (................. x .................)
98 700 x 650 = (987 x 65 ) x .................
Pour calculer 98 700 x 650, il suffit de calculer 987 x 65 puis de placer ................. zéros à
droite du résultat.
Pour multiplier deux entiers dont l’un au moins se termine par un ou des zéros :
• On commence par encadrer
9 8 7 0 0
x 6 5
5
5
394
•2
5
2
1
9
4
5
6
0
0 0 0
on commence par 5 x 7, ...
on commence par 6 x 7, ...
les zéros qui interviennent
à la fin de l’écriture
des deux nombres.
• On effectue la multiplication
sans tenir compte
des zéros encadrés.
• On place à droite du résultat autant de
zéros qu’on en a encadrés.
je retiens

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 16
Calcule à la main le produit de 7 920 par 6 800.
Exercice 17
1- Calcule à la main : 143 x 14
2- Dans cette question, aucun calcul ne devra être posé. La calculatrice n’est pas autorisée, et tu
justifieras tes réponses :
Déduis du 1) le résultat des calculs suivants :
a) 14 300 x 1,40 b) 286 x 28
Pour terminer cette séance, et s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier
d’exercices.
Exercice 18 : méfie-toi des cas particuliers !
1- a) Calcule à la main le produit de 43 et de 68.
b) 43 s’écrit « à l’envers » 34. Recopie et complète : 68 s’écrit « à l’envers » .................... .
Calcule le produit des deux nombres obtenus en écrivant 43 et 68 « à l’envers ».
c) Vérifie tes calculs du a) et b) à la calculatrice. Compare ensuite le produit obtenu dans
la question a) et celui obtenu dans la question b).
2- a) Calcule à la main le produit de 32 et de 69.
b) Recopie et complète : 32 s’écrit « à l’envers » ............. et
69 s’écrit « à l’envers » ............. .
Calcule le produit de ces deux nombres écrits à l’envers.
c) Vérifie tes calculs du a) et b) à la calculatrice. Compare ensuite le produit obtenu dans
la question a) et celui obtenu dans la question b).
3- Fais le même travail que dans les questions 1) et 2) avec les nombres 26 et 31.
4- Sony et Ritchie ont répondu aux trois questions précédentes.
Sony dit à Ritchie : « Tu vois, le produit de deux entiers ne change pas si on écrit
« à l’envers chacun des entiers ».
Ritchie lui répond : « Tu te trompes ! et je peux le prouver ! ».
Saurais-tu, toi aussi, prouver à Sony qu’il se trompe ? Justifie ta réponse.
Séance 3
Je multiplie des nombres décimaux
Commence par effectuer l’exercice ci-dessous sur ton livret :

Exercice 19 : un point de vue géométrique
Tu as vu, à l’école primaire, que l’aire d’un carré est le produit de la longueur de son côté
par elle-même. Par exemple, l’aire d’un carré de 3 cm de côté est 3 x 3 soit 9 cm2
.
Observe bien la figure ci-dessous :
A B
D C
1
a) AB = AD = .........................
L’aire du « grand » carré ABCD est donc :
........... x .......... = ..........
b) • La longueur d’un côté d’un petit carré est le nombre ?
tel que : 10 x ? = 1,
c’est-à-dire le nombre 0,1.
de la même manière :
• Puisque le « grand » carré ABCD a pour aire ...............
et est composé de ............. petits carrés de même aire,
l’aire d’un petit carré est donc le nombre ?
tel que : 100 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre .................... .
c) Conclusion
L’aire d’un petit carré est ...................., son côté est .................... .
On a donc : 0,1 x 0,1 = .................... .
Tu viens de voir dans l’exercice précédent que le produit d’un dixième par un dixième était égal à
un centième. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 20
Adèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 € le mètre. Elle décide d’en acheter
3,2 m.
1- Adèle réfléchit
Pour calculer le montant en € de son achat, elle doit multiplier le prix d’un
.................... de ruban par le .................... de mètres achetés.
Elle doit donc effectuer le calcul suivant : .................................................................... .
2- Adèle utilise sa calculatrice
Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice :
1,42 x 3,2 = ....................
En voulant vérifier à nouveau son calcul, Adèle se trompe et tape 142 x 32.
Elle obtient .................... .
Adèle souhaite alors faire « le lien » entre ces deux résultats.
Elle fait l’observation suivante :
1,42 3,2 4,544
Nombre de chiffres
après la virgule
............................ ............................ ............................
Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s’obtient en ............................
le nombre de chiffres après la virgule de 1,42 et celui de 3,2.

3- Adèle voudrait obtenir le résultat 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice
142 x 32 = (1,42 x ……..) x (3,2 x ……..) donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2 ) x (…….. x ……..)
Or 142 x 32 = ................ Pose ton opération
D’où :................................ = (1,42 x 3,2) x 1 000
Or le nombre qui multiplié par 1 000
est égal à 4 544 est ................................ .
Ainsi : 1,42 x 3,2 = ................................ .
Prends ton cahier de cours. Recopie soigneusement le paragraphe suivant et retiens bien la méthode
expliquée pour placer correctement la virgule.
Pour effectuer à la main la multiplication de
deux nombres décimaux (par exemple 1,42 et 3,2) :
• On pose la multiplication avec les virgules
On compte le
nombre total de
chiffres après la
virgule (ici 3)
On met autant de
chiffres après la
virgule dans le
résultat
1,4 2
x 3,
,
4
4
82
•624
2
5 4 4
mais on l’effectue sans tenir compte des virgules.
• On place la virgule du résultat comme indiqué ci-contre.
je retiens
Exercice 21
Pose puis effectue les produits suivants :
a) 86,5 x 9,8 b) 3,420 x 0,65 c) 70,7 x 39,6
Exercice 22
On sait que : 347 x 849 = 294 603
Utilise le résultat précédent pour calculer rapidement chacun des produits suivants :
a) A = 34,7 x 8,49 b) B = 0,347 x 849
c) C = 0,347 x 8 490 d) D = 3,47 x 84,9
e) E = 3 470 x 0,849 f) F = 3,47 x 0,849

Sachant que 23 x 341 = 7 843, on peut facilement déduire des produits comme :
2, 3 x 34, 1 78, 43
3, 41 7, 843
=
1 décimale 1 décimale 1 + 1 = 2
2 décimales
2, 3 x =
1 décimale 2 décimales 2 + 1 = 3
3 décimales
je retiens
1- Complète les multiplications à trous suivantes (pense à placer les virgules) :
a)
,
,x
2
87
2
1
0
4 b)
,
,
x
3
8
6
4
9
c) ,
,
x
2 8
7
7
8
3
2- Quel est le chiffre des dixièmes du résultat de la multiplication à trous b) de la question
précédente ? ................
Place dans la quatrième case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au chiffre
obtenu.
Enfin, pour finir cette séance, s’il te reste du temps, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier
d’exercices.
Exercice 24
Peut-on obtenir un nombre entier en multipliant deux décimaux non entiers ?
Justifie ta réponse.

Séance 4
J’apprends à évaluer si un produit est juste ou non
Effectue les cinq exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices :
Exercice 25
Moïra a calculé 21,17 x 9,53. Elle a trouvé 28,549 1. Que penses-tu de ce résultat ?
Justifie ta réponse sans calculer le produit.
Exercice 26
Sandra travaille ses mathématiques sur son ordinateur. Elle doit calculer 42 x 53.
Avant de commencer, elle cherche un ordre de grandeur du résultat. Elle dit :
« 42 est proche de 40, 53 est proche de 50, donc 42 x 53 est proche de 40 x 50,
c’est-à-dire 2 000. »
Elle pose l’opération au brouillon et tape sur l’ordinateur sa réponse : 1 966.
Immédiatement, il s’affiche « faux ». Explique pourquoi sans effectuer l’opération proposée.
Exercice 27
Calcule un ordre de grandeur
Eloïse Cécile Manon
6,3 x 2,13 13,419 8,219 9,139
6 x 12,28 142,68 60,68 73,68
325,7 x 11,8 218,86 469,36 3 843, 26
de chacun des produits ci-contre,
puis entoure la bonne réponse
parmi celles proposées par Eloïse,
Cécile et Manon.
Exercice 28
La mère de Sandra achète 2,1 kg de poisson
à 11,6 € le kilo. Sans poser d’opération et
sans utiliser la calculatrice, réponds
aux questions suivantes :
a) Pourra-t-elle payer à l’aide d’un billet de 20 € ?
2,1 KG
DE POISSON
À 11,60 �
b) Pourra-t-elle payer à l’aide d’un billet de 50 € ?
Tu justifieras tes réponses.

Exercice 29
Le professeur vient juste d’écrire au tableau la consigne suivante :
Trois élèves s’empressent de donner leurs réponses :
- Mareb : « Ça fait 418,82 ! »
- Ludivine : « Ça fait 419,878 ! »
- Amaury : « Ça fait 425,88 ! »
Léon, qui n’a pas terminé son calcul, lève le nez et dit : « Mais non ! Vous avez tous faux ! »
Comment a-t-il procédé pour s’en apercevoir si vite ? Justifie ta réponse.
Pour contrôler la vraisemblance du résultat d’une multiplication, on peut par exemple :
- contrôler le nombre de chiffres après la virgule
- contrôler le dernier chiffre à droite
- calculer un ordre de grandeur du résultat.
je retiens
Effectue maintenant l’exercice suivant sur ton livret.
Exercice 30 : les pêches ont du succès !
Un marchand vend des pêches à 2,30 € le kg.
Exercice 30 : les pêches ont du succès !Exercice 30 : les pêches ont du succès !
Ritchie en a acheté 3,200 kg, Sony 0,800 kg,
Pascal 2,600 kg et Jade 0,650 kg.
1- Indique pour chacune des personnes le calcul
qui permet de déterminer la somme en euros
qu’elle doit au marchand.
Ritchie : ................................................. Sony : ....................................................
Pascal : ................................................... Jade : .....................................................
2- a) Qui a payé moins de 2,30 € ? Plus de 2,30 € ?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

b) Complète par ou :
2,3 x 3,2 ................... 2,3 2,3 x 0,8 ................... 2,3
2,3 x 2,6.................... 2,3 2,3 x 0,65 ................. 2,3
3- Complète :
Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus
............................ que 2,3.
Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on obtient un nombre plus
............................ que 2,3.
Prends ton cahier de cours puis recopie le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu attentivement.
e retiens
Attention ! La multiplication n’agrandit pas toujours.
Le produit de deux nombres peut être inférieur à l’un des deux facteurs.
2,3 x 0,8 2,3
1,84
Lorsqu’on multiplie un nombre par un autre nombre plus petit que 1, on obtient un
nombre plus petit que celui du départ.
j
Pour terminer cette séance, effectue l’exercice suivant sur ton cahier.
Exercice 31
Est-il vrai que 4 729 x 0,999 96 est plus grand que 4 729 ?
Justifie sans effectuer d’opération.
S’il te reste du temps, effectue l’exercice suivant sur ton cahier.
Exercice 32 : Peut-on toujours se fier à la calculatrice ?
Effectue chacun des calculs suivants avec une calculatrice. Affiche-t-elle la valeur exacte de
ces produits ? (Tu justifieras tes réponses).
a) A = 295 687,5 x 19 577
b) B = 22,557 8 x 3,468 9
c) C = 217,753 x 46 271,6
d) D = 86,5 x 545,866

Séance 5
Je multiplie par un dixième, un centième, un millième
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret :
Exercice 33
1- Calcule les produits
a) 39,4 x 0,1 b) 115,86 x 0,01 c) 564,3 x 0,001
2- Complète :
Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule vers la .....................................
de ............... rang.
Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule vers la ...................................
de .............. rangs.
Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa virgule vers la .................................
de ............... rangs.
Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours.
Pour multiplier un décimal par 10, 100, 1 000, on déplace sa virgule vers la droite de
1, 2, 3 rangs et on complète par des zéros à droite si nécessaire.
Exemples :
• 104,58 x 10 = 1 045,8 • 1,22 x 1 000 = 1 220
• 18 x 100 = 1 800 (cas où le décimal est entier. N’oublie pas que 18 = 18,0.)
Pour multiplier un décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, on déplace sa virgule vers la gauche
de 1, 2, 3 rangs et on complète par des zéros à gauche si nécessaire.
• 297,4 x 0,1 = 29,74 • 16,5 x 0,001 = 0,016 5
• 18 x 0,1 = 1,8 (cas où le décimal est entier) • 18 x 0,01 = 0,18 (cas où le décimal est entier)
je retiens
Effectue sur ton livret les deux exercices d’application suivants.
Exercice 34
Complète le parcours suivant :
101
x 0,1 x 100 x 0,01 x 0,01- 1 + 20,1 - 0,001

On calcule le produit de 57 par 0,01. On ajoute ensuite 8,43. On obtient .......................... .
Place dans la cinquième case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au nombre
obtenu.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices suivants.
Exercice 36
Calcule les produits A, B et C suivants :
A = 0,1 x 0,1 B = 0,1 x 0,01 C = 0,01 x 0,01
Exercice 37
Calcule les produits D, E et F suivants :
D = 10 x 0,1 E = 100 x 0,1 F = 1 000 x 0,001
Peut-être que tu hésites lorsqu’il faut déplacer la virgule vers la droite ou vers la gauche ?
Lis attentivement et retiens le paragraphe ci-dessous :
e retiens
• Quand on déplace la virgule d’un
nombre vers la gauche,
on « diminue ce nombre ».
• Quand on déplace la virgule d’un
nombre vers la droite, on « agrandit »
ce nombre.
• Multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01
ou 0,001 « diminue » ce nombre.
• Multiplier un nombre par 10 ou 100 ou
1 000 « agrandit » ce nombre
j
Exemple :
DIMINUER
x 0,1x 0,01x 0,001 x 1 000x 100x 10
AGRANDIR
Effectue sur ton livret l’exercice suivant.
Exercice 38
Calcule le nombre manquant dans chacune des égalités suivantes :
a) 86 x ...................... = 8,6 b) 16,4 x ................... = 0,164 c) 940 x 0,001 = .................
d) 9 400 x ................. = 9,4 e) ................... x 100 = 1 820 f) 0,000 3 x 0,001 = .................
g) 100 x .................... = 0,1 h) 0,001 x ................. = 4,34

Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant.
Exercice 39
a) Compare les deux produits suivants : 100 x 71,63 et 10 x 7,15.
b) Range les trois produits suivants par ordre croissant :
1 000 x 0,981 8 0,1 x 9 818,7 10 x 98,175
Effectue sur ton livret l’exercice suivant.
1- Calcule astucieusement sans utiliser la calculatrice et sans poser d’opération le produit
suivant. Tu indiqueras les étapes de ton calcul :
0,01 x 134 x 100 x 0,1 = .................................................................................................
Quelle est la partie entière de ce nombre ? .....................................................................
Place dans la 6e
case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au dernier nombre
obtenu.
2- Calcule astucieusement sans utiliser la calculatrice et sans poser d’opération le produit
suivant. Tu indiqueras ta méthode :
1 000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01 = ........................................................................................
Place dans la 7e
case du nom secret la lettre de l’alphabet associée au dernier nombre
obtenu.
Séance 6
Je résous des problèmes
Effectue les cinq problèmes ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Lis attentivement la consigne de
chaque exercice avant de commencer à répondre et essaie de bien rédiger tes réponses, c’est-à-dire
d’expliquer ce que tu fais en écrivant des phrases claires et précises.
Ydriss habite à 2,4 km de son collège. Il s’y rend à bicyclette tous les jours sauf le samedi et
le dimanche. Les jours de classe, il mange à la cantine.
Sachant que l’année scolaire compte 36 semaines de classe, calcule le nombre de kilomètres
que parcourra Ydriss cette année scolaire en allant au collège.
Place dans la 8e
case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée au chiffre des unités
du nombre de kilomètres parcourus par Ydriss.

Exercice 42
Combien de tours effectue l’aiguille des secondes d’une pendule en une année de 365 jours ?
Exercice 43
Aujourd’hui, à la séance de 15 h, au cinéma de Pluiville, il y avait 459 personnes.
1- Le cinéma compte 36 rangées de 18 fauteuils. Combien y avait-il de places libres ?
2- Le prix normal d’une place est de 6,40 €. Cependant, 271 personnes ont bénéficié du
tarif réduit, qui est de 5,60 €. Quelle a été la recette de cette séance ?
3- Les tickets d’entrée sont numérotés. Aujourd’hui, le premier ticket qui a été vendu portait
le numéro 187, le dernier portait le numéro 973. Combien de tickets ont été vendus dans
la journée ?
Exercice 44
Un train de voyageurs comprend 13 wagons de première classe et 24 wagons de seconde classe.
2 12
Dans chaque wagon de première classe, il y a 105 places. Dans chaque wagon de seconde
classe, il y a 6 compartiments de 10 places. 1 512 personnes prennent place à bord du train.
Combien reste-t-il de places libres ?
Exercice 45
Monsieur et Madame holidays sont arrivés en voiture,
CAMPING
avec leur tente, au camping de Bellevue, le 17 juillet, à 16 h.
Ils sont repartis le 29 juillet à 9 h. Ils étaient
accompagnés de leurs trois enfants
(âgés respectivement de 13 ans, de 11 ans et 8 ans)
et de leur chien Mouska.
Voici le tarif au camping pour 1 nuitée (c’est-à-dire de 12 h 00 à 12 h 00 le jour suivant).
personnes
adultes 4,80 €
enfants de moins de 10 ans 2,50 €
emplacement
voiture 1,90 €
tente 2,30 €
animaux 0,61 € par animal
Parmi les étiquettes ci-dessous, laquelle indique la somme en euros qu’ont dû payer les
holidays en quittant le camping ? (Tu justifieras ta réponse)
318,12 300,24 291,61

Séance 7
Je résous des problèmes - fin -
Effectue les six exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien rédiger
tes solutions.
Exercice 46 : le nom secret d’un personnage célèbre - fin -
D’un côté d’une avenue,
il y a 105 arbres (il y a
un arbre à chaque extrémité).
Les arbres sont régulièrement
5,10 m5,10 m
début de
l'avenue
fin de
l'avenue
................
espacés de 5,10 m.
Calcule la longueur de
cette avenue.
Quel est le chiffre des
centaines du résultat obtenu ?
...........................................
Place dans la 9e
case du « nom secret » la lettre de l’alphabet associée à ce chiffre.
Voilà ! Tu dois avoir trouvé le nom du personnage illustre caché derrière ces cases.
Qui était-il ? Reporte-toi au corrigé pour le découvrir !
Exercice 47
Pour ses 30 ans, Pierre-Yves est allé en Tunisie. Il en a profité pour acheter un beau tapis de
2 m de long. Il l’a payé 357,10 dinars (c’est la monnaie utilisée là-bas). Sachant qu’un dinar
vaut 0,630 07 €, combien coûte le tapis en euros ? (Tu donneras l’arrondi au centième du
prix).
Exercice 48
Écris un texte de problème où l’opération à effectuer est : 5 - (1,60 x 2,100).
Exercice 49
Léopoldine achète :
• une limande de 350 g à 9,8 € le kg.
• 290 g de crevettes roses à 21 € le kg.
• un pot de mayonnaise.
• deux bocaux de soupe de poisson à 2,34 € le bocal.

Elle donne un billet de 20 € au commerçant. Ce dernier lui rend 5,18 €.
1- Calcule le prix du pot de mayonnaise.
2- Au moment de quitter le magasin, Léopoldine remarque 2 belles tranches de saumon à
14,50 € le kg qui lui font très envie. Quel est leur prix ?
Exercice 50
Pour parcourir les 860 kilomètres qui séparent
VACANCES
Jolyvillage de Belleface, monsieur Durand
a mis 13 h 25 min.
a) Sachant qu’il est parti à 7 h 50 min,
à quelle heure est-il arrivé à Belleface ?
b) Monsieur Durand n’a pas eu de chance :
il est tombé en panne 3 h après son départ
et la voiture a été immobilisée 2 h 25 min.
À quelle heure serait-il arrivé s’il n’avait pas
eu de panne ?
c) Monsieur Durand fait ses comptes. Pour faire le trajet, sa voiture a consommé 64,5 L
d’essence. Un litre d’essence coûte 1,18 €. La réparation en cours de route a coûté
240 €. Combien Monsieur Durand a-t-il dépensé pour faire son voyage ?
Exercice 51
Monsieur Champêtre a clôturé sa propriété en forme
1,3 m
de carré en plantant des piquets tous les 1,3 mètres.
Il a utilisé 268 piquets. Entre chaque piquet,
il a accroché deux rangées de fil métallique.
1- Quelle longueur de fil métallique a utilisé Monsieur Champêtre ?
2- Un mètre de fil coûte 1,96 €. Calcule le prix total du fil (tu arrondiras le résultat au
centième).
Séance 8
J’utilise un tableur
Tu ne peux faire cette séance que si tu possèdes un ordinateur et un logiciel appelé tableur,
comme par exemple Microsoft Excel ou le logiciel Calc d’Openoffice (qui est gratuit et librement
téléchargeable sur le site openoffice.org). Tu es devant ton ordinateur ? Lance alors le logiciel
en cliquant deux fois sur son icone ou en allant dans le menu « tous les programmes » du menu
démarrer.

Exercice 52
Une grande feuille quadrillée apparaît.
Cellule A1
Cellule D3
Chaque « case » s’appelle une cellule.
Les lignes sont numérotées : 1, 2, 3, 4, ...
Les colonnes sont repérées par une lettre :
A, B, C…
On donne à chaque cellule un nom
comme on le fait dans « la bataille navale » :
on parlera des cellules A1, B2 ou encore D3.
Tape dans la cellule A1 : « Prix d’un mètre de tissu en euros : » puis appuie sur la touche Entrée.
Tape dans la cellule A2 : « Longueur de tissu achetée en m : » puis appuie sur la touche Entrée.
Tape dans la cellule A3 : « Prix total en euros : » puis appuie sur la touche Entrée.
L’exercice suivant est la suite du précédent. Effectue-le à la fois sur l’ordinateur et le livret.
Exercice 53
1- En procédant comme précédemment,
complète le tableau afin d’obtenir
ce qui figure ci-contre.
2- Sans utiliser l’ordinateur,
calcule le prix total du tissu :
..........................................................
..........................................................
..........................................................
3- Tu vas demander à l’ordinateur de faire ce calcul, c’est-à-dire de multiplier le nombre qui
est dans la cellule B1 par celui qui se trouve dans la cellule ............................ .
a) Mets le curseur sur la case B3. Tape sur la touche « = » du clavier. Clique alors sur
la case B1. Tape sur le symbole multiplié du clavier «*». Clique sur la case B2 et
enfin tape sur la touche « Entrée ».
Le résultat de 4 x 2 s’affiche alors dans la cellule B3.
b) Remplace 4 par 10 dans la cellule B1. Remplace 2 par 5,25 dans la cellule B2.
Que remarques-tu ?
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
Effectue maintenant l’exercice suivant : c’est un nouvel exemple de situation où le tableur permet
de faire rapidement et automatiquement de nombreux calculs.

Exercice 54
Pour louer une voiture Monsieur et Madame Saroume doivent payer :
• 30 € pour la location de la voiture
• 0,40 € par kilomètre parcouru.
Afin d’étudier le montant de la dépense selon le nombre de kilomètres parcourus, ils
décident d’utiliser un tableur.
1- Comme eux, ouvre un nouveau document du tableur et tape ce qui suit :
(les prix sont en euros)
2- a) Quel calcul faut-il effectuer pour obtenir le total à payer ?
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
b) Pour faire faire ce calcul au tableur, on doit donc écrire que :
B6 = ................. * ................. + ................. .
c) Utilise la méthode vue dans l’exercice précédent pour faire calculer le total à payer au
tableur. On trouve ................. €.
3- À l’aide du tableur, complète le tableau qui suit :
Distance parcourue
(en km)
100 200 300 400 500
Total à payer
(en €)
............. ............. ............. ............. .............
4- Monsieur et Madame Saroume ne veulent pas dépenser plus de 200 €. Quel nombre
de kilomètres ne devront-ils pas dépasser ? (Tu détermineras ce nombre en tâtonnant,
c’est-à-dire en faisant des essais à l’aide du tableur). Essaie d’être méthodique dans
ta recherche !

Séance 9
J’effectue des exercices de révision
Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 55
Un instituteur achète 19 gommes à 0,97 €. Pourra-t-il payer avec un billet de 20 € ?
(Montre comment tu peux répondre à cette question mentalement).
Exercice 56
Madame Durand achète un câble informatique de 4,95 m qui coûte 11,80 € le mètre.
La commerçante lui réclame 62,41 €. Madame Durand lui rétorque immédiatement qu’il y
a une erreur.
Comment, mentalement, pouvait-on déceler une erreur ?
Exercice 57
Madame Smith habite à 0,850 mile de l’école. Exprime cette distance en km.
On donne : 1 mile = 1 609 m.
Exercice 58
Peut-on mettre 24 cartons contenant chacun 12 packs d’eau dans une camionnette dont le
chargement ne peut dépasser 2 500 kg ? Justifie ta réponse.
1 pack d’eau contient 6 bouteilles d’eau de 1,5 L.
1 L d’eau pèse 1 kg.
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un test. Lis attentivement chaque question et coche
directement la réponse exacte sur ton livret.
Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigés, lis-les attentivement puis entoure en rouge
les bonnes réponses.

je m’évalue
1- Pose l’opération : 469 x 78.
Tu trouves :
® 36 672
® 36 582
® 7 035
® 36 772
2- Le produit 0,81 x 10 est égal à
® 0,810
® 81
® 0,081
® 8,1
3- Le double de 0,67 est :
® 1,24
® 6,7
® 0,134
® 1,34
4- Pose l’opération : 19,4 x 50,8.
Tu trouves :
® 752,48
® 985,52
® 1 001,52
® 985,55
5- Au marché, 3,150 kg de saumon coûtent
69,30 €. Combien coûtent 315 kg de
saumon ?
® 6 930 €
® 693 €
® 69,30 €
® 6,930 €
6- Le produit 75,248 x 0,1 est égal à :
® 752,48
® 7,524 8
® 0,752 48
® 75, 248
® 94 210
® 0,009 421
® 0,094 21
® 0,000 942 1
® 0,001
® 1
® 10
® 0,000 1
9- Le produit 295,4 x 32,81 est proche de :
® 6 000
® 9 000
® 12 000
® 15 000
10- Un seul de ces nombres est égal à
12,6 x 27,3. Mentalement, on voit
qu’il s’agit de :
® 3 439,8
® 343,86
® 343,98
® 34,98

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Je découvre la symétrie axiale par l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Je trace le symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Je construis la figure symétrique d’une figure simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Je construis la figure symétrique d’une figure plus complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Je reconnais les axes de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
J’utilise les propriétés de la médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
J’étudie les axes de symétrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Je redécouvre la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Je découvre les propriétés du triangle équilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Objectifs
 Être capable de déterminer si une figure possède des axes de symétrie.
 Savoir tracer le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un angle, d’un cercle.
 Être capable de tracer la médiatrice d’un segment et la bissectrice d’un angle uniquement à l’aide
d’un compas et d’une droite non graduée.
 Connaître les propriétés d’un triangle isocèle, d’un triangle équilatéral.










©Cned-2009

Séance 1
Je découvre la symétrie axiale par l’expérience
Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n°5. Effectue ensuite
le test ci-dessous directement sur ton livret.
1- Les deux poissons sont-ils symétriques ?
(d)
a) oui
b) non
2- Les deux requins sont-ils symétriques ?
(d)
a) oui
b) non
3- La fourmi ci-dessous possède-t-elle un
axe de symétrie ?
a) oui
b) non
4- Le trombone ci-dessous possède-t-il
un axe de symétrie ?
a) oui
b) non
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : « SÉQUENCE 5 : Symétrie axiale ».
Prends ensuite une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous sur
ton cahier d’exercices.
Exercice 1
Dans chacun des trois cas suivants, pose une feuille de papier calque et reproduis
exactement les tracés par transparence (n’oublie pas la droite bleue). Ensuite, en pliant
chaque feuille de papier calque le long de la droite bleue, tu dois remarquer que sur les trois
cas, deux ont quelque chose de particulier. Quelles sont les cas qui ont une particularité ?
Qu’ont-ils de particulier ?

cas 1 cas 2 cas 3
Exercice 2
Trace la figure symétrique du bateau par rapport à la droite (d) sur un calque.
Pour cela, suis la méthode :
1- On place une feuille de
papier calque de telle
façon qu’un de ses bords
« bien droit » suive la
droite. On colle deux
morceaux de papier
adhésif comme
ci-dessous.
2- On repasse les traits
du bateau à l’aide d’un
crayon (et d’une règle).
3- On fait tourner le calque
autour de la droite.
(d) (d) (d)
(d)

Exercice 3 : Méline, Jade et Jules
Si on plie la page le long de la droite (d),
feuille 1
feuille 2
(d)
les tracés des deux feuilles se superposent
exactement.
- Jade dit : « La feuille 1 est le symétrique de la feuille 2
par rapport à la droite (d) ».
- Méline dit : « La feuille 2 est le symétrique de la feuille 1
- Jules dit : « les deux feuilles sont symétriques
Qui a raison ? Ne justifie pas ta réponse.
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous. Tu peux décalquer les deux poissons
puis coller le papier calque dans ton cahier de cours. Si cela te paraît trop difficile, ne reproduis pas
la figure sur ton cahier de cours.
LES BASES
Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si, lorsqu’on plie le long
de cette droite (d), elles se superposent exactement.
Ici :
les deux poissons sont symétriques par rapport
à la droite (d).
On dit également que :
le poisson 1 est le symétrique du poisson 2
par rapport à la droite (d).
Le poisson 2 est le symétrique du poisson 1
Remarque : Une figure et sa figure symétrique ont donc les mêmes dimensions.
je retiens
La notion de symétrie par rapport à une droite
s’appelle également la symétrie orthogonale
ou encore la réflexion.
Pourquoi la réflexion ?
Regarde la photo ci-contre : la figure 2 est
le symétrique de la figure 1 par rapport
à la droite (d).
D’une certaine façon, on voit que la figure 2
est le reflet (d’où le mot « réflexion ») de la figure 1.
Il y a dans la nature de nombreux cas
de symétrie par rapport à une droite :
pense déjà à toi-même lorsque tu te regardes
dans un miroir !
poisson 1
poisson 2
(d)

Entraîne-toi en effectuant l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 4
Dans chaque cas, les deux figures ci-dessous sont-elles symétriques par rapport à la droite
(d) ?
a) .............................................................
(d)
b) .............................................................
(d)
c) .............................................................
(d)
d) .............................................................
(d)
Nous allons maintenant effectuer des constructions.
Sur ton livret, et avec ton crayon à papier, effectue les deux exercices ci-dessous
(n’oublie pas la couleur).

Exercice 5
Construis la figure symétrique de la figure proposée dans chacun des six cas.
a)
(d1 )
b)
(d2)
c)
(d3
)
d)
(d4)
Pour bien visualiser les deux derniers symétriques, « repasse » leurs tracés en rouge
après correction.
e)
(d5
)
f)
(d6
)

Exercice 6
1- Construis la figure symétrique de la figure
proposée.
(d)
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
.........................................................................
Nous venons de voir ce qu’est le symétrique d’une figure. Voyons maintenant ce qu’est un axe de
symétrie.
Axe de symétrie :
On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure
lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport
à la droite (d).
Ici, le symétrique du papillon par rapport à la droite (d)
est lui-même. Chaque « demi-papillon » est le symétrique
de l’autre.
je retiens
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
- Jade dit : « (d) est un axe de symétrie de cette figure ».
(d)
- Méline dit : « Je dirais plutôt que la figure est symétrique
- Jules dit : « Ni l’un ni l’autre : cette figure n’est pas
symétrique par rapport à la droite (d), et (d)
n’est donc pas un axe de symétrie de cette figure.
Qui a raison ? Justifie ta réponse.
(d)

Enfin pour terminer cette séance, je te propose un petit exercice de calcul mental :
Sachant que multiplier par 4 revient à multiplier par 2 puis encore par 2,
calcule mentalement :
54 x 4 32 x 4 23 x 4
Réponse:
54x4=216 32x4=128 23x4=92
Séance 2
Je trace le symétrique d’un point
Nous allons commencer par étudier ce qu’est le symétrique d’un point sur un quadrillage. Effectue
l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 8
1- Construis la figure symétrique du chat
A
C
B
(d)
2- Marque le point A’ « qui correspond
par symétrie par rapport à la droite (d) »
au point A. Marque de même le point B’
« qui correspond par symétrie au point B ».
Marque enfin le point C’
« qui correspond par symétrie au point C ».
On dit que A’, B’ et C’ sont les symétriques
des points A, B et C par rapport à la droite (d).
Effectue ensuite les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 9
1- Construis les points A’, B’, C’, D’ et E’ A
C
D
E
B
(d)
symétriques des points A, B, C, D et E
2- Que peux-tu dire des symétriques
des points situés sur (d) ?
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................

Exercice 10
1- Construis les points A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’
A
B
C
D
E
G
F
(d)
symétriques des points A, B, C, D, E, F et G
2- Que peux-tu dire des points D et G ?
...............................................................
...............................................................
...............................................................
Nous allons maintenant travailler sans quadrillage. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 11
On cherche à trouver une méthode géométrique
A
E
F
B
B'
A'
(d)
permettant de construire le symétrique d’un point.
1- Prends une équerre et utilise-la...
Comment sont le segment [AA’]
et la droite (d) ? le segment [BB’]
et la droite (d) ?
.........................................................
.........................................................
.........................................................
2- Prends un compas (ou une règle graduée)
et utilise-la...
Que remarques-tu à propos de AE et EA’ ?
de BF et FB’ ?
.........................................................
.........................................................
.........................................................
3- Que semble représenter la droite (d)
pour les segment [AA’] et [BB’] ?
.........................................................
.........................................................
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous et recopie-le sur ton cahier de cours.

SYMÉTRIQUES DE FIGURES
Symétrique d’un point
Dire que A’ est le symétrique de A par rapport à (d) signifie que :
la droite (AA’) est perpendiculaire à (d)
A
(d)
B
et la droite (d) coupe [AA’] en son milieu.
Ceci revient à dire que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].
je retiens
Lis attentivemment ce qui suit et retiens bien cette méthode :
Tracer à l’aide d’une équerre le point A’, symétrique du point A par rapport à la droite (d)
A
(d)
1- On trace (d’) la
perpendiculaire à (d)
passant par A. Les droites
(d) et (d’) se coupent en I.
2- On prend la longueur AI
comme écartement de
compas et on trace un arc
de cercle coupant (d’) de
l’autre côté de I.
3- On code la figure.
(d)
(d')I
A
I
A
(d)
(d')
A
A'
(d)
Remarque : le point A est lui aussi le symétrique du point A’ par rapport à la droite (d).
Effectue les trois exercices ci-après sur ton cahier. Tu utiliseras du papier calque pour reproduire par
transparence les figures et effectueras ensuite l’exercice sur ton papier calque (sans le plier).
Tu colleras après avoir corrigé par transparence, le papier calque dans ton cahier.

Exercice 12 A
B
C
(d)

Construis les symétriques de A, B, et C
Exercice 13
A
B
(d1
)
(d2
)

Construis le symétrique A’ du point A
par rapport à la droite (d1
).
Construire le symétrique B’ du point B
).
Exercice 14
A
B
C

Construis A’ le symétrique du point A
par rapport à la droite (BC), puis B’
le symétrique de B par rapport à (AC),
puis C’ le symétrique de C par rapport
à (AB).
34 x 20 43 x 20 18 x 20
Réponse:
34x20=680 43x20=860 18x20=360

Séance 3
Je construis la figure symétrique d’une figure simple
Nous allons commencer par étudier ce qu’est le symétrique d’une droite.
Exercice 15
1- Place quatre points A, B, C et D sur (d).
2- Construis A’, B’ et C’ et D’ les symétriques de A, B, C et D par rapport à (Δ). Que
remarques-tu ?
......................................................................................................................................
3- Trace (d’) la droite passant par A’, B’, C’ et D’.
I
(d)
(∆)
Symétrique d’une droite
Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques
sont alignés.
Ici, les point M, N et K de la droite (d) ont pour symétriques
les points M’, N’ et K’ par rapport à la droite delta.
Le symétrique d’une droite est une droite.
(d)
(d')
M
M'N
N'
K'
K
∆( )
Ici, la droite (d’) est le symétrique de la droite (d)
par rapport à la droite (Δ).
je retiens
Effectue les trois exercices suivants sur du papier calque que tu colleras dans ton cahier d’exercices
après avoir corrigé. Commence par reproduire la figure du livret avant de la compléter.
Tu pourras alors corriger ta construction en la superposant à celle du corrigé.

Exercice 16

1- Construis le symétrique de la droite (AB)
par rapport à (∆).
A
B
2- Construis le symétrique (d’)
de la droite (d) par rapport à (∆).
(d)
Exercice 17
Construis dans les trois cas ci-dessous le symétrique (d’) de la droite (d).
1- (d)
∆
2- (d)
∆
3-
(d) ∆//
(d)
∆
Exercice 18

En t’aidant d’un seul point autre que A,
construis le symétrique (d’)
(d)
A
(∆)
de la droite (d) par rapport à (∆).

Tu sais maintenant ce qu’est le symétrique d’une droite et comment le construire.
Nous allons maintenant étudier le symétrique d’un segment.
Exercice 19
1- Construis A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’
les symétriques de A, B, C, D, E et F
par rapport à (D).
Trace la droite (AB) et la droite (A’B’).
A
C
D E
F
G
B
(∆)
2- Complète par ∈ ou ∉ :
C ............... [AB] C’ .............. [A’B’]
D ............... [AB] D’ ............. [A’B’]
E ................ [AB] E’ .............. [A’B’]
F ................ [AB] F’ .............. [A’B’]
G ............... [AB] G’.............. [A’B’]
3- Si un point M est sur le segment [AB], alors son symétrique M’ .......................................
......................................................................................................................................
4- Marque un point K sur le segment [A’B’] puis construis son symétrique N par rapport à
(D). Que remarques-tu ?
......................................................................................................................................
Symétrique d’un segment A
A'
B'
B
∆( )
Le symétrique d’un segment est un segment.
Ici, le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (Δ)
est le segment [A’B’].
Remarque : Le symétrique de tout point du segment [AB]
est donc sur le segment [A’B’].
je retiens
Exercice 20
A
B
C
D
E
F
1- Trace les symétriques respectifs
des segments [AB], [CD] et [EF]
par rapport à la droite (D).
2- Mesure et compare les
longueurs AB et A’B’,
CD et C’D’, EF et E’F’.
Que remarques-tu ?
.......................................
.......................................
......................................
......................................
......................................

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-après.
Propriété
Si deux segments sont symétriques l’un de l’autre,
A
A'
B'
B
(∆)
alors ils ont la même longueur.
Ici :
A’ et B’ sont les symétriques
respectifs de A et B par rapport à la droite (D)
donc : AB = A’B’
je retiens
Ernest affirme que deux segments de même longueur sont nécessairement symétriques.
- Jade dit : « C’est vrai. »
- Méline dit : « C’est faux. »
- Jules dit : « C’est parfois vrai et parfois faux. »
Exercice 22
Le point I est le milieu du segment [AB].
A
B
I
1- Trace le symétrique [A’B’] du segment [AB]
2- Construis I’ le symétrique du point I
3- Nous allons démontrer que I’ est le milieu de [A’B’].
a) On sait que : .................................................
D’après la propriété : .....................................
......................................................................
......................................................................
On conclut : I’ ∈ [A’B’].
b) Le symétrique du segment [AI] est ..........., donc : .............. = ..............
Le symétrique du segment [IB] est ..........., donc : .............. = ..............
Or I est ....................................... donc : AI =.........................................
On a :............. =............... , .................................... et ..............................................
donc A’ I’ =.........................................
Comme ............................. et que :.........................., le point I’ est le milieu de [A’B’].

Si deux segments sont symétriques l’un de l’autre,
S
S
(∆)
A
A'
I'
B'
B
I
alors leurs milieux respectifs sont également symétriques.
Ici :
Les segments [AB] et [A’B’] sont symétriques
par rapport à la droite (D) donc leurs milieux
respectifs I et I’ sont symétriques par rapport à la droite (D) .
je retiens
Exercice 23
Sur le bout de papier ci-contre, A’ est le symétrique A'
B
(d)
de A par rapport à la droite (d). Sans faire de tracé
en dehors de ta feuille, trouve une valeur approchée
de la longueur AB.
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
3,8 x 20 24,7 x 20 12,3 x 20
Réponse:
3,8x20=76 24,7x20=494 12,3x20=246
Séance 4
Je construis la figure symétrique d’une figure plus complexe
Nous avons vu dans les séances précédentes comment construire le symétrique d’un point, puis
d’un segment, sans quadrillage. Nous allons maintenant construire les symétriques de figures
plus complexes sans quadrillage : des triangles, ... . La méthode est la même que celle utilisée
précédemment, pense que les figures suivantes ne sont que des « ensembles de segments ».
Effectue les deux exercices ci-après sur ton livret.

Exercice 24
Construis les symétriques des figures suivantes :
A
B
C
D
E
F
K
L
M
(∆)
N
O P
Q R
ST
U
X
Y
Z
Exercice 25
1- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

y
B

x
A

b) Recopie et complète la conjecture suivante : Le symétrique d’une demi-droite est
............................................................................................................................... .
Une conjecture est une supposition, autrement dit, quelquechose qui te semble vrai.
2- a) Construis les symétriques des figures suivantes :

x y
B

s
t
C
b) Recopie et complète la conjecture suivante :
Le symétrique d’un angle est un ................................. de même ...........................
On admet que les deux conjectures ci-dessus sont toujours vérifiées. Prends ton cahier de cours et
recopie le paragraphe ci-dessous.
Symétrique d’un angle
Le symérique d’un angle est un angle de même mesure.

(∆)
x
x'
y'
y
A
A'
Ici :
Les angles xAy∑ et x Ay' '
∑ sont symétriques par rapport
à la droite (Δ) donc xA y x A y∑ ∑= ' ' '
je retiens
Nous allons maintenant étudier ce que peut-être le symétrique d’un cercle.
Exercice 26
1- Construis A’, B’, C’, D’, E’ et F’ les symétriques de A, B, C, D, E et F par rapport à (D).
2- Les points A’, B’, C’, D’, E’ et F’ semblent appartenir à un ...............................................
.....................................................................................................................................

3- Construis O’ le symétrique de O par rapport à (D).
A
B
C
D
E
F
C
O’A’ = ...................... car les segments .....................
et ..................... sont symétriques.
4- Trace C ’ le cercle de centre O’ qui passe par A’.
5- Conjecture : le symétrique du cercle C est
le cercle ............................ de centre
............................ et de même .............................
Prends ton cahier d’exercices et recopie le paragraphe ci-dessous.
Symétrique d’un cercle
∆( )O
O'
A
A'
C
C '
r
r
Le symérique d’un cercle est un cercle de même rayon.
Son centre est le symétrique du centre du cercle initial.
Ici :
Le cercle C ’de centre O’ et de rayon O’A’ est le symétrique
par rapport à la droite (∆), du cercle C de centre O et
de rayon OA. On a donc : O’A’ = OA.
je retiens
Exercice 27
Construis les symétriques des figures suivantes :
a)
∆( )
b)
∆( )


c)
∆( )
d)
∆( )
3,6 x 30 5,2 x 30 4,1 x 30
Réponse:
3,6x30=108 5,2x30=156 4,1x30=123
Séance 5
Je reconnais des axes de symétrie
Nous allons commencer par rappeler la notion d’axe de symétrie vue à la fin
(d)de la séance 1. On dit qu’une droite (d) est un axe de symétrie d’une figure
lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport à la droite (d).
Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :
Exercice 28
Les figures suivantes admettent parfois plusieurs axes de symétrie (parfois aucun).
Trace-les tous !

Exercice 29
Les figures suivantes admettent des axes de symétrie. Trace-les tous !
Nous allons étudier la médiatrice d’un segment du point de vue de la symétrie axiale.
Commence par faire l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 30
1- Trace A’ le symétrique du point A par rapport à la droite (d).
A(d)
2- Justifie pourquoi (d) est la médiatrice de [AA’].
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
3- Quels sont les deux axes de symétrie du segment [AA’] ?
..........................................................................................
4- Trace ces axes de couleurs différentes.

MÉDIATRICE
A
(d)
B
Axes de symétrie d’un segment
Un segment [AB] possède deux axes de symétrie :
• la droite (AB) elle-même
et
• la médiatrice du segment [AB].
je retiens
Nous allons maintenant aborder une propriété très importante de la médiatrice.
Exercice 31
La droite (d) désignant la médiatrice d’un segment [AB], nous cherchons à répondre à la
question suivante : « Si l’on place un point n’importe où sur (d), sa distance à A est-elle toujours
égale à sa distance à B ? ».
1- Place sur la droite (d) un point I qui n’appartient pas à [AB].
A
B
(d)
2- Quel est le symétrique du point I par rapport à (d) ? Pourquoi ?
..........................................................................................
3- Quel est le symétrique du segment [AI] ?
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
4- Compare AI et BI. Justifie ta réponse.
..........................................................................................
..........................................................................................
5- Place un point J sur (d) qui n’appartient pas à [AB].
Compare AJ et BJ. Justifie ta réponse.
..........................................................................................
..........................................................................................
6- Tu viens de montrer que si M ∈ (d) alors : ............... = ............... .

Exercice 32
Nous cherchons à répondre à la question suivante :
A
B
M
N
si l’on place un point à égale distance de A et de B,
se trouve-t-il sur la médiatrice de [AB] ?
On a pris un écartement de compas au hasard
et on a tracé un arc de cercle de centre A,
puis sans changer d’écartement, un arc de cercle
de centre B (tracé bleu).
Les deux arcs se coupent en un point M.
On a ensuite changé d’écartement de compas.
On a enfin tracé avec ce nouvel écartement un arc de cercle
de centre A puis un arc de cercle de centre B (tracé vert).
Les deux arcs se coupent en un point N.
1- Trace la droite (MN). Que remarques-tu concernant (MN) ?
2- Place sur la figure à l’aide d’un compas un point O à égale distance de A et de B.
Que remarques-tu ?
3- Conjecture : Si un point K est tel que KA = KB, alors K est ..............................................
........................................................ du segment ......................................................... .
Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
Propriété caractéristique de la médiatrice
A
B
M
N
• Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB],
alors on a : MA = MB.
ou encore :
Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB],
alors M est équidistant de A et de B.
• Si un point M vérifie : MA = MB, alors M est sur la médiatrice du segment [AB].
ou encore :
Si un point M est équidistant de A et de B, alors M est sur la médiatrice d’un segment
[AB].
Remarque : « équidistant » veut dire « à la même distance »
je retiens
Voici un énoncé d’exercice : « Trois points K , A et R sont tels que KA = KR. Que peux-tu
en conclure ? »
- Jade dit : « C’est facile ! Cela signifie que le point K est le milieu du segment [AR]. »
- Méline dit : « Mais non ! Cela signifie que le triangle KAR est isocèle en K. »
- Jules dit : « Cela signifie tout simplement que le point K est sur la médiatrice du segment
[AR]. »
Qui a raison ? Justifie ta réponse.

Voici la méthode géométrique permettant de tracer la médiatrice d’un segment au compas.
Cette méthode découle de la propriété précédente. Cette construction est plus précise que celle
utilisant l’équerre : dorénavant tu devras l’utiliser. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous
et retiens-le.
Construire avec un compas la médiatrice (d) du segment [AB]
A
B
1-On choisit un écartement
de compas quelconque
et on trace deux arcs de
cercle de même rayon,
l’un de centre A et l’autre
de centre B.
2- On fait à nouveau ce
que l’on a déja fait dans
l’étape précédente. Tu
peux garder le même
écartement de compas.
3- On trace la droite passant
par les deux points, on la
nomme (d) , et on code la
figure.
A
B
A
B
A
B
(d)
Effectue cet exercice sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie les
figures par transparence. Une fois la figure corrigée, tu colleras la vignette de papier calque dans
ton cahier.
Exercice 34
Trace les médiatrices des trois segments ci-dessous.
A B
C
D
E
F
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et recopie
la figure par transparence. Tu colleras cette vignette de papier calque à côté de tes réponses une fois
que tu auras corrigé.

Exercice 35
1- Trace (d) la médiatrice du segment [AB].
A
B
C
2- Trace (d’) la médiatrice du segment [BC].
3- On nomme I le point d’intersection de (d)
et de (d’).
a) Démontre que IA = IB en recopiant le texte
ci-dessous et en complétant les pointillés :
On sait que : la droite (d)
est la .........................................................
du segment .............................................. .
Comme le point I est sur (d), on a :.................... .
b) Démontre que IB = IC en rédigeant comme précédemment.
c) Trace le cercle de centre I passant par A. Que remarques-tu ? Prouve-le.
Sachant que multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis diviser par 2,
16 x 5 22 x 5 8,6 x 5
Réponse:
16x5=80 22x5=110 8,6x5=43
Séance 6
J’utilise les propriétés de la médiatrice
Nous allons durant cette séance apprendre à utiliser les propriétés de la médiatrice.
Commence par effectuer l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 36
On cherche à placer un point X tel que :
E
F
B
• X est équidistant de E et de F
• X est à 2,5 cm de B.
1- X est équidistant de E et de F donc X se trouve
sur ................................................................
Trace-la.
2- X est à 2,5 cm de B donc X se trouve
sur ................................................................
3- Combien y-a-t-il de solution(s) au problème ? Place-les sur la figure.

Exercice 37
Trace un cercle C de centre I et de rayon 3 cm. Place deux points K et L sur le cercle et trace
la corde [KL]. Trace le triangle KLM isocèle en M et tel que ML = 7 cm.
Nous cherchons à démontrer que la droite (IM) est la médiatrice du segment [KL].
1- Compare IK et IL.
2- Compare MK et ML.
3- Recopie le texte ci-dessous et complète les pointillés :
Comme les longueurs IK et IL sont ............................ , le point I est donc sur .....................
...........................................................................................................................................
Comme les longueurs MK et ML sont ............................ , le point M est donc sur ...............
......................................................................................................................................... .
La droite ............................ est donc la médiatrice de............................ .
Tu vas découvrir dans cet exercice une méthode géométrique permettant de placer le milieu de
n’importe quel segment. Il faudra retenir cette méthode et l’appliquer dorénavant lorsqu’on te
demandera de placer le milieu d’un segment.
Exercice 38
1- Trace la médiatrice du segment [AB].
A
C
D
B
2- Place le milieu I du segment [AB].
Tu viens de découvrir une méthode permettant
de placer le milieu d’un segment sans avoir à le mesurer.
3- Applique cette méthode pour placer le milieu J
du segment [CD] ci-contre.
Rédige le programme de ta construction.
Prends ton cahier d’exercices. Prends une feuille de papier calque et reproduis la figure proposée.
Effectue tes constructions sur le papier et calque. Corrige ensuite ta figure en la superposant au
corrigé puis colle-la dans ton cahier d’exercices.
Exercice 39
1- Construis au compas le milieu I du segment [EF].
E
F
G
2- Construis au compas le milieu J du segment [EG].
3- Que remarques-tu à propos de la droite (IJ) ?

Tu vas maintenant découvrir une autre méthode, basée sur la médiatrice, qui permet de construire
le symétrique d’un point uniquement à l’aide d’un compas. Effectue l’exercice ci-dessous sur
ton livret.
Exercice 40
dans cet exercice nous allons apprendre une méthode permettant de construire
le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas.
1- Place deux points E et F sur la droite (d).
(Indication : E et F doivent être suffisamment éloignés l’un de l’autre pour la précision de
ta construction).
2- A et A’ doivent être symétriques par rapport
à la droite (d). (d) est donc
la ………….........…...… du …………....…........ [AA’].
3- E est sur la médiatrice du segment [AA’].
A
(d)
On a donc : …………......... = ………….........…...… .
Trace le cercle C de centre E et de rayon EA.
On a : A’…………..C .
4- F est sur la médiatrice du segment [AA’].
On a donc : …………......... = ………….........…...… .
Trace le cercle C ’de centre F et de rayon FA.
On a : A’…………..C ’.
5- Comme : A’…………..C et A’…………..C ’, A’ est le deuxième point d’intersection
de ........................ et ............................
Construire le symétrique A’ d’un point A uniquement au compas
A
(d)
1- On choisit un écartement de
compas quelconque et on trace
un arc de cercle qui coupe la
droite (d) en deux points.
2- On pointe le compas
sur un des deux points
d’intersection de l’arc et
de la droite. On trace un
nouvel arc de cercle
(il faut conserver le
même écartement)
3- On pointe le compas sur
l’autre point d’intersection de
l’arc et de la droite. On trace
un nouvel arc de cercle
(on garde le même écartement)
A
(d)
A
(d)
A
(d)

4- Le point A’, symétrique de A par rapport à
la droite (d) est le point d’intersection des
deux arcs.
A
A'
(d)
1- Reproduis la figure sur du papier
A
(d2
)
(d1
)
calque puis construis au compas
le symétrique B du point A
).
Construis ensuite au compas
le symétrique C du point B
).
Construis ensuite au compas
le symétrique D du point C
).
Construis enfin au compas
le symétrique E du point D
).
2-
- Jade dit : « Les points E et A semblent confondus ».
- Méline dit : « Non ! Les points E et A ne sont pas confondus ».
- Jules dit « On ne peut pas construire le point E ».
Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.
Voici pour finir cette séance un exercice plus difficile. Prends ton cahier d’exercices et effectue-le.
Exercice 42
1- a) Démontre que : IA = IC.
A
D
B
C
I
J
(d) (d')
b) Démontre que : IB = IC.
c) À l’aide des deux questions précédentes,
compare IA et IB.
2- À l’aide d’un raisonnement similaire
à celui de la question 1-, compare JA et JB
3- Démontre que la droite (IJ) est perpendiculaire à (AB).

Sachant que multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2,
28 x 50 64 x 50 2,4 x 50
Réponse:
28x50=1400 64x50=3200 2,4x50=120
Séance 7
J’étudie les axes de symétrie des triangles
Exercice 43
Indique sous chaque figure combien elle a d’axes de symétrie.
Lorsqu’elle en a, trace-les tous.
A
B
C
D
E
F G
H
I
KJ = JL = KL
J
K
L
M
N O
Nous allons maintenant approfondir l’étude des axes de symétrie du triangle isocèle.
Effectue l’exercice suivant sur ton livret.

Exercice 44
Le triangle ABC est isocèle en A. Code la figure.
B C
A
1- Trace (d) la médiatrice de [BC]. Que remarques-tu ?
..........................................................................................
2- AB = ........... car le triangle ABC est ...................... en ...........
3- Comme ............... = ................, le point A est sur ..................
...................................................................
Note I le milieu de [BC].
4- • le symétrique de B par rapport à la droite (d) est ................. .
• le symétrique de A par rapport à la droite (d) est ................. .
• le symétrique de I par rapport à la droite (d) est .................. .
Le symétrique de l’angle BAI∑ est donc l’angle.............................. .
Comme un angle et son symétrique ont ........................................................................ ,
on a : .......................................... . Code la figure.
Par suite, (d) est .............................................................de BAC∑.
5- De même, le symétrique de l’angle ABC∑ est l’angle ................... .
Comme un angle et son symétrique ont ........................................................................ ,
on a : ................................ . Code la figure.
TRIANGLE ISOCÈLE
Propriété 1
Si un triangle ABC est isocèle en A, alors :
B
C
A
• on a : ABC ACB∑ ∑=
• la médiatrice du côté [BC] est un axe de symétrie du triangle.
C’est également la bissectrice de l’angle BAC∑.
Vocabulaire :
Dans le triangle ABC isocèle en A :
• le point A est appelé sommet principal
• le côté [BC] s’appelle la base
• les angles ABC∑ etABC ACB∑ ∑= s’appellent les angles à la base : ils sont égaux.
je retiens
Prends ton cahier d’exercices et effectue les deux exercices ci-après.

Exercice 45
Trace un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Place deux points A et B sur ce cercle
tels que OAB∑ = 40° et trace la corde [AB].
1- Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie ta réponse.
2- Détermine OBA∑ . Justifie ta réponse. Vérifie ensuite ta réponse en mesurant sur ta figure.
Il faut tracer un triangle ABC isocèle en A tel que ABC∑ = °52 et BC = 5,2 cm.
1- Trace uniquement une figure à main levée et code-la.
- Jade dit : « C’est impossible parce nous n’avons pas les mesures des côtés [AB] et
[AC]. »
- Méline dit : « Mais si, c’est possible ! »
- Jules dit : « Ce n’est pas à cause des mesures des côtés que c’est impossible,
c’est à cause des mesures des angles. »
2- Construis un triangle ABC répondant à l’énoncé avec tes instruments de géométrie.
Exercice 47

On a représenté ci-contre un triangle ABC
B
C
isocèle en A sur un petit papier qui
malheureusement s’est déchiré.
Trace la bissectrice de l’angle BAC∑
(sans compléter le tracé du triangle).
Justifie ta construction.
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier.
1- Trace avec tes instruments le triangle EDF tel que :
FED FD E∑ ∑= = °54 et DE = 4,6 cm.
2-
- Jade dit : « Le triangle EDF est isocèle en E. »
- Méline dit : « Non ! Il est isocèle en D. »
- Jules dit : « Mais non ! Il est isocèle en F. »
Qui te semble avoir raison ? Ne justifie pas ta réponse.

Enfin, voici une dernière propriété que nous allons admettre. Elle permet de démontrer qu’un
triangle est isocèle à l’aide de ses angles. Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
Propriété 2
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
je retiens
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.
Exercice 49

Les points A, B et C sont alignés.
B CA
E
40˚
140˚Démontre que le triangle EBC est isocèle.
Sachant que multiplier par 500 revient à multiplier par 1 000 puis diviser par 2,
32 x 500 88 x 500 7,8 x 500
Réponse:
32x500=16000 88x500=44000 7,8x500=3900
Séance 8
Je redécouvre la bissectrice
Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 50
1- À l’aide d’un papier calque, reproduis par transparence
O
x
y
l’angle ci-contre. Plie ensuite cette feuille de papier calque
de telle sorte que les demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident
exactement.

y
O
x

O
x
O
xy
OOO

2- Déplie le papier calque, trace le « trait de pliage ».
3- Que représente ce trait pour xOy∑ ?
BISSECTRICE
Axe de symétrie d’un angle
L’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice.
O
x
y
(d)
Remarque : Jusqu’à maintenant, la bissectrice avait désigné
une demi-droite. En fait, le terme de bissectrice peut désigner
également une droite : c’est le cas ici.
Ici :
L’axe de symétrie de l’angle xOy∑ est la droite (d), sa bissectrice.
je retiens
Exercice 51
1- Place un point A sur la demi-droite [Ox)
O
x
y
et un point B sur la demi-droite [Oy)
tels que : OA = OB.
2- Trace le segment [AB]. Que peux-tu dire du triangle OAB ?
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
3- Trace la médiatrice du segment [AB].
Que sais-tu également de cette médiatrice ? Justifie.
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

Trace la bissectrice de l’angle xOy∑ à l’aide d’un compas
O
x
y
1- On prend un écartement de compas
quelconque et on trace un arc de cercle
de centre O qui coupe les deux demi-
droites [Ox) et [Oy) en deux points
2- On prend un nouvel écartement de
compas (mais on peut aussi garder
le même) et on trace un arc de cercle
de centre A.
O
x
y
A
B
O
x
y
A
B
3- On garde le même écartement que
précédemment et on trace un arc
de cercle de centre B qui coupe le
précédent.
4- On trace la droite passant par O et
le point d’intersection des deux arcs :
c’est la bissectrice de l’angle xOy∑ .
On code la figure.
Justifications : dans le triangle AOB
isocèle en O, la droite (d) est la
médiatrice du segment [AB]. C’est aussi
la bissectrice de l’angle AOB∑ .
O
x
yB
A
O
x
y
(d)
B
A
Remarque : pour construire (d), il est inutile de nommer A et B sur la figure
(ici, ils sont nommés uniquement pour que tu comprennes mieux les explications).
Dorénavant, tu utiliseras toujours cette méthode pour construire une bissectrice. Prends une feuille
de papier calque, reproduis par transparence les angles ci-dessous et effectue l’exercice.

Exercice 52
Trace la bissectrice de chacun des trois angles ci-dessous.
A
x
t
sy
B
C
D
E
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice suivant.
Exercice 53
1- Trace un triangle EFG tel que : EF = 11 cm ; EG = 7 cm et GF = 5 cm.
2- Trace la bissectrice (d1
) de l’angle EG F∑, la bissectrice (d2
) de l’angle EFG∑
et la bissectrice (d3
) de l’angle FEG∑.
Sachant que multiplier par 0,5 revient à diviser par 2, calcule mentalement :
46 x 0,5 64 x 0,5 98 x 0,5
Réponse:
46x0,5=23 64x0,5=32 98x0,5=49
Séance 9
Je découvre les propriétés du triangle équilatéral
Commençons par rappeler qu’un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont
la même longueur. Nous allons dans cette séance étudier de plus près les triangles équilatéraux.

Exercice 54
Ci-dessous, le même triangle équilatéral ABC est représenté 3 fois.
1 2
B C
A
B C
A
3
B C
A
1- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en A. Par suite, ABC∑
= ......... .
Trace sur la figure 1 l’axe de symétrie passant par A en rouge. On sait que cette droite est
aussi la bissectrice de l’angle .................... . Code-le sur la figure.
2- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en B. Par suite, ACB∑
= ......... .
Trace sur la figure 2 l’axe de symétrie passant par B en rouge. On sait que cette droite est
aussi la bissectrice de l’angle ............... . Code-le sur la figure.
3- Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l’axe de
symétrie passant par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice
de l’angle ..................... Code-le sur la figure.
4- D’après le1) et le 2), on a : ABC∑
= ......... et ACB∑
= ......... .
Par suite, ............ = ...............= ................ les angles .................... , ....................
et .................... du triangle équilatéral ont même mesure.
Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles ....................
chacun des trois angles, les six angles codés dans les figures 1,2 et 3 ont tous ..................
.......................
5- Trace maintenant sur la figure ci-dessous les axes de symétrie et code les angles égaux.
B C
A

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL
Propriété
Si un triangle ABC est équilatéral, alors :
B C
A
B C
A
• Ses trois angles sont égaux. • Les médiatrices des trois côtés
sont les trois axes de symétrie du
triangle. Ce sont également les
bissectrices des trois angles.
je retiens
Exercice 55
1- Trace un cercle de centre O et de diamètre [EF] tel que EF = 6 cm.
2- Trace la médiatrice (d) du segment [EF].
3- Construis un point M sur (d) tel que EM = EF.
4- Démontre que : EMF MEF MFE∑ ∑ ∑
= =
Sachant que multiplier par 11 revient à multiplier par 10 et à ajouter le nombre que l’on
multiplie, calcule mentalement :
12 x 11 2,8 x 11 26 x 11
Réponse:
12x11=132 2,8x11=30,8 26x11=286
directement la ou les réponses justes sur ton livret. Une fois le test effectué, reporte-toi aux corrigés,
lis-les attentivement puis entoure en rouge les bonnes réponses.

je m’évalue
1- Les deux figures
ci-dessous (d)
semblent-elles
symétriques
par rapport
à la droite (d) ?
® OUI
® NON
2- Les deux figures ci-dessous sont-elles
symétriques par rapport à la droite (d) ?
(d)
® OUI
® NON
3- Dire que B’ est le symétrique de B par
rapport à la droite (d) revient à dire que :
® B et B’ sont symétriques par rapport
à la droite (d)
® (d) est la médiatrice du segment
[BB’]
® B et B’ sont sur la droite (d)
® B est le symétrique de B’ par rapport
à la droite (d)
4- Le symétrique d’un angle est :
® un angle
® un triangle
® un angle de mesure différente
® un angle de même mesure
5- Combien la figure ci-dessous a-t-elle
d’axes de symétrie ?
® 6
® 12
® 4
® aucun
6- Le point M est sur la médiatrice du
segment [KL], on a donc :
® KM = KL
® KM = ML
® MK = ML
® LM = KL
7- On a LH = LR. Le point L est donc :
® sur le segment [HR]
® sur le cercle de centre H passant par R
® sur le cercle de centre R passant par H
® sur la médiatrice du segment [HR]
8- L’axe de symétrie d’un triangle FJI
isocèle en F est :
® la bissectrice de l’angle FI J∑
® la bissectrice de l’angle FJI∑
® la médiatrice du segment [IJ]
® la bissectrice de l’angle IF J∑
9-Le triangle HER possède deux angles
égaux. Ce triangle est donc :
® rectangle en H
® rectangle isocèle
® équilatéral
® isocèle
10- Un angle admet un axe de symétrie qui
est :
® parallèle à un de ses côtés
® perpendiculaire à un de ses côtés
® sa bissectrice
® confondu avec un de ses côtés

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Je résous des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
J’effectue des divisions euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
J’effectue des petits problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Je découvre la divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Je découvre les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
J’utilise les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Je travaille avec les durées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
J’effectue des problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Objectifs
 Connaître le vocabulaire de la division euclidienne.
 Savoir effectuer une division euclidienne.
 Connaître parfaitement les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, et 9.
 Savoir résoudre des problèmes à l’aide de divisions euclidiennes.









©Cned-2009

Séance 1
Je résous des problèmes
Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 6.
1- Hugo possède 25 billes. Il veut les
partager équitablement entre ses quatre
amis. Combien de billes va-t-il donner à
chacun ?
a) 5
b) 1
c) 4
d) 6
2- Combien de billes reste-t-il à Hugo
après avoir partagé ses 25 billes
entre ses quatre amis ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
3- Parmi les nombres suivants, lequel est
un multiple de 5 ?
a) 23
b) 30
c) 24
d) 501
4- La semaine dernière, le prix du baril
de pétrole était de 50 euros. Depuis,
il a augmenté de 5 euros puis baissé de
3 euros. Quel est son nouveau prix ?
a) 13 euros
b) 52 euros
c) 15 euros
d) 10 euros
Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier
de cours et écris : « SÉQUENCE 6 : DIVISION EUCLIDIENNE » . Il existe deux types de
divisions : la division décimale (ou encore division à virgule) et la division euclidienne.
Nous allons dans cette séquence étudier la division euclidienne ; la division décimale sera vue plus
tard dans l’année. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 1 : « Combien de fois … ? »
a) Un album de BD coûte 8 €. Caroline en achète un par semaine. Combien en a-t-elle
acheté lorsqu’elle constate qu’elle a déjà dépensé 56 € ?
.....................................................................................................................................
b) Le chemin qui entoure le hameau où vit Charlotte est long de 9 km.
À la fin de la semaine, elle a parcouru, au total, 63 km. Combien de fois a-t-elle fait
le tour du hameau ?
.....................................................................................................................................

Prends ton cahier de cours et écris soigneusement le paragraphe suivant.
LES BASES
La notion de multiple :
56 s’écrit 7 x 8. On dit que 56 est un multiple de 7.
Remarques :
• Comme 56 s’écrit 8 x 7, on peut aussi dire que 56 est un multiple de 8.
• Les multiples de 7 s’écrivent 7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ; ...
(c’est « la table de 7 »).
je retiens
Le fleuriste, Alfred, compose des bouquets de 7 roses.
Nous cherchons à savoir le nombre maximum de bouquets qu’il pourra confectionner avec 60 roses.
1- Écris les 11 premiers multiples de 7 ................................................................................
.....................................................................................................................................
2- On cherche à « approcher sans dépasser » 60 par le plus grand multiple de 7.
Complète si tu le peux les 10 égalités ci-dessous :
60 = (7 x 1) + .............................. 60 = (7 x 6) + ..............................
60 = (7 x 2) + .............................. 60 = (7 x 7) + ..............................
60 = (7 x 3) + .............................. 60 = (7 x 8) + ..............................
60 = (7 x 4) + .............................. 60 = (7 x 9) + ..............................
60 = (7 x 5) + .............................. 60 = (7 x 10) + ............................
3- Quel nombre de bouquets Alfred peut-il confectionner avec 60 roses ? ............................
Entoure l’égalité te permettant de répondre à cette question.
En utilisant une méthode similaire à celle vue dans l’exercice précédent,
réponds aux questions suivantes :
a) On range les 39 enfants d’une colonie de vacances par groupes de 4.
• Combien peut-il y avoir de groupes au maximum ? .....................................................
• Comme dans le 3) de l’exercice 2, écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :
..................................................................................................................................
b) • Quel nombre maximun de douzaines d’huîtres peut constituer un pêcheur ayant pêché
90 huîtres ?(une douzaine, c’est douze huîtres) ........................................................................
• Comme dans le a), écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :
.................................................................................................................................

c) Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par paquets de 17.
Aujourd’hui, elle a produit 664 bougies. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle
peut vendre ? Utilise ta calculatrice !..............................................................................................
• Comme dans le a), écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :
..................................................................................................................................
Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous.
La division euclidienne :
l’égalité suivante traduit la division euclidienne de 60 par 7 :
60 = 7 x 8 + 4
dividende diviseur quotient
euclidien
resresesteeeee
( )
Important : le reste est toujours plus petit que le diviseur (ici : 4 7 ).
je retiens
Effectue sur ton livret les 3 exercices ci-dessous.
Exercice 4
a) Complète avec les mots « petit », « quotient euclidien », « dividende », « diviseur »
et « reste » :
............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................
où le reste est plus ............................. que le diviseur.
b) Une division euclidienne a pour diviseur 5, pour quotient euclidien 7 et pour reste 4.
Complète :
............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................
Son dividende est ............................. .
c) Une division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9 et pour quotient
euclidien 7. Complète :
............................. = ( ............................. x ............................. ) + ......................
Son reste est ............................. .
Exercice 5
Une division euclidienne a pour diviseur 4. Quels sont les restes possibles ?
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Exercice 6
Voici une égalité : 375 = ( 21 x 17 ) + 18
Sans faire aucun calcul, réponds aux deux questions suivantes :
1- Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21?
.....................................................................................................................................
2- a) Est-ce que 18 est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ?
.....................................................................................................................................
b) Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ?
.....................................................................................................................................
Voici pour finir cette séance un exercice que tu vas effectuer directement sur ton livret.
Pour confectionner les costumes de ses élèves pour un gala de danse, Éléonore a commandé
98 m de tissu indien bleu. Pour chaque costume, il faut 3 m.
Combien de costumes pourra-t-elle coudre ?....................................
a) Un des amis d’Eléonore, Jules, propose de chercher en faisant uniquement des
multiplications et des additions (comme dans l’exercice 2).
Combien de costumes pourra-t-elle coudre ?
Écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :
............................. = ( ............................. x .............................) + .........................
.
b) Une autre amie, Ludivine, pose une division.
Pose la division
Ludivine trouve ............................ costumes.
Il restera alors ................................. de tissu.
c) Quelle est la méthode qui te paraît la plus rapide et la plus efficace ?
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................

Séance 2
J’effectue des divisions euclidiennes
Commençons par définir ce que veut dire : « effectuer une division euclidienne ».
Effectuer une division euclidienne :
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier par un entier (différent de 0), c’est
trouver deux nombres appelés « reste » et « diviseur » tels que :
dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur.
La meilleure méthode pour les déterminer est de poser et d’effectuer la division
euclidienne.
je retiens
C’est depuis le milieu du XXe
siècle, qu’en l’honneur du grand mathématicien grec Euclide,
on a décidé d’appeler «division euclidienne» une division dont le dividende, le diviseur, le quotient
et le reste sont des entiers.
Euclide a vécu au IIIe
siècle avant Jésus-Christ. Il est surtout célèbre pour ses travaux en géométrie.
Voici comment on pose une division euclidienne. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.
Poser et effectuer la division euclidienne de 598 par 7
1-
5 9 8 7 diviseur
quotient
euclidien
resresesteeeee
?
?
dividende 2-
5
5
9
6
8 7
8
3-
5
5-
9
6
3 8
8 7
8
4-
5
5-
9
6
3
3
8
5
8 7
8 5
Je pose la division
Comme 7 est plus grand
que 5, je me pose la
question : « En 59, combien
a-t-on de fois 7 ?
Réponse : 8 fois car
8 x 7 = 56 et 8 x 8 = 64
J’écris 56.
J’effectue 59 moins 56.
Il reste 3.
J’« abaisse » le 8.
Je me pose la question :
« En 38 combien
a-t-on de fois 7 ? »
Réponse : 5 fois car
5 x 7 = 35 et 6 x 7 = 42.
J’écris 35.
5- 5
5-
-
9
6
3
3
8
5
3
8 7
8 5
6- 5
5-
-
9
6
3
3
8
5
3
8 7
8 5
quotient
euclidien
resteeeee
7- Vérification :
5 93 8=( )7 x +8 5 5 9 5 + 3 =
Cette égalité est ce que l’on appelle
l’écriture en ligne de la division euclidienne.
J’effectue 38 moins 35.
Il reste 3. Il n’y a plus
de chiffre de 598 à abaisser.
on « arrête » la division.
J’ai donc trouvé :
• le quotient : 85
• le reste : 3.
Je calcule (7 x 85 )+ 3
Je vérifie que : (7 x 85 )+ 3 = 598

Exercice 8
Effectue les divisions ci-dessous en remplissant chaque case par un chiffre.
8
-
-
-
0 7
7
5
5
9 3
-
-
-
6 3
3
5
5
4 5
-
-
-
1 4
4
7
7
21
Exercice 9
Effectue les divisions euclidiennes suivantes :
a) 726 par 31 b) 937 par 45 c) 4 017 par 13 d) 3 095 par 19
Écris la preuve.Vérifie cette preuve à l’aide de la calculatrice.
Dorénavant, tu n’écriras plus les soustractions intermédiaires de tes divisions, comme cela est fait
dans l’exercice suivant. Effectue-le sur ton cahier d’exercices.
Exercice 10
Effectue la division euclidienne de 1 335 par 16 (n’écris plus les soustractions intermédiaires !).
Exercice 11
opération de Ludivine
457
43
61
5
5
3
4 1 8
1 8
opération de Pauline
443
40
11
5
5
2 2
1 7
opération de Léonie
108
122
8
1
1
5
5
1
2 7 6
2 9

1- Écris les preuves des trois divisions ci-dessous. Écris « faux » sous les divisions fausses.
......................................... ......................................... .........................................
2- Corrige en rouge sur ton livret la (ou les) divisions fausses.
Certaines calculatrices permettent d’obtenir directement le quotient et le reste d’une division
euclidienne. Reporte-toi aux pages calculatrices en fin de livret.
Pour finir cette deuxième séance, effectue l’exercice ci-après sur ton livret.
Exercice 12
Effectue les divisions « à trous » suivantes :
a) 4
4
9 7
6
b) 4
4
7
8
Séance 3
J’effectue des petits problèmes
Effectue les cinq problèmes ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 13
Lors du tournoi de football du collège, on répartit l’ensemble des 6e, soit 124 élèves,
en équipes de 7 élèves.
Combien y aura-t-il d’équipes ? Combien d’élèves seront des « remplaçants » ?
Monsieur Ketch doit transporter une cargaison de 1 235 kg de tomates au marché !
En un trajet, il ne peut transporter que 28 kg de tomates car il n’a pas beaucoup de place
dans sa camionnette. Combien va-t-il faire de trajets au total ? Quelle masse de tomates
tranportera-t-il lors de son dernier trajet ?

Exercice 15
Les bouteilles d’eau d’une certaine marque se vendent par pack de 6. L’entreprise qui
vend ces packs a produit aujourd’hui 4 578 bouteilles. Combien de packs d’eau peut-elle
constituer ? Combien restera-t-il de bouteilles d’eau ?
Exercice 16
Louis voudrait graver sur des CD audio les 180 morceaux
de musique stockés sur son ordinateur. Le temps de musique
à enregistrer est donné par son logiciel : 922 minutes !
Sachant qu’un CD audio permet d’enregistrer 79 minutes
de musique, combien de CD audio vierges Louis devra-t-il acheter ?
Quel temps de musique sera enregistré sur son dernier CD ?
Exercice 17
Aujourd’hui, nous sommes un mercredi. Quel jour serons-nous dans 1 000 jours ?
Séance 4
Je découvre la divisibilité
Exercice 18
1- Quel est le reste de la division euclidienne de 564 par 12 ?
Dans ce cas, on dit que :
• 564 est un multiple de 12
• 12 est un diviseur de 564
• 564 est divisible par 12
2- Effectue 94 x 6, puis déduis de ton calcul deux diviseurs de 564.
3- a) Effectue la division euclidienne de 564 par 23.
b) Quel est le diviseur de cette division euclidienne ?
c) 23 est-il un diviseur de 564 ? Justifie ta réponse.

Tu viens de voir sur un exemple la notion de diviseur et celle de nombre « divisible par ».
Recopie le paragraphe ci-dessous.
DIVISIBILITE
La notion de divisibilité :
1
4
8 9
9
0
7
2 7
On effectue la division euclidienne de 189 par 7.
Le reste de la division euclidienne de 189 par 7 est égal à 0.
Dans ce cas on dit que :
• 189 est un multiple de 7
• 189 est divisible par 7
• 7 est un diviseur de 189
je retiens
Attention !
Comme tu l’as vu dans l’exercice 18, il ne faut pas confondre un diviseur d’un nombre et le diviseur
d’une division euclidienne.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices suivants.
Exercice 19
1- Effectue les divisions euclidiennes suivantes :
a) 396 par 6 b) 102 par 17 c) 713 par 31
2- Recopie et complète les phrases suivantes par « multiple » ou « diviseur »
a) 102 est un ................................. de 6.
b) 31 est un ................................... de 713.
c) 6 est un ..................................... de 396 et de 102.
d) 66 est un ................................... de 396.
e) 713 est un ................................. de 23 et 31.
Exercice 20
1- Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont multiples de 6 ?
12 45 54 61 6 666
2- 56 est-il divisible par 7 ; 9 ; 28 ou 112 ?
3- Parmi les nombres suivants lesquels admettent 7 comme diviseur :
57 63 707 73 140

Exercice 21
1- a) Écris les onze premiers multiples de 12 (n’oublie pas 0 !).
b) Comment passe-t-on d’un multiple de 12 à son suivant ?
2- Écris tous les multiples de 17 compris entre 101 et 174.
Tu justifieras chacune de tes réponses.
Exercice 22
1- Détermine les quinze premiers multiples de 6.
2- Détermine les dix premiers multiples de 15.
3- Détermine le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0.
Séance 5
Je découvre les critères de divisibilité
Exercice 23
1- Pour une kermesse, un premier chocolatier dispose de 970 chocolats et les place dans
le maximum de petits sacs contenant chacun deux chocolats. Une fois qu’il les aura tous
répartis, lui restera-t-il un chocolat ?
2- Un deuxième chocolatier dispose également de 970 chocolats et les place dans
le maximum de petits sacs contenant chacun cinq chocolats. Une fois qu’ils les aura
tous répartis, combien lui restera-t-il de chocolats ?
Prends ton cahier de cours et note ce qui suit à la suite.
Critères de divisibilité
• Un nombre entier est divisible par 2 (on dit encore : « pair ») si son chiffre des unités
est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Exemples : 21 976 est divisible par 2, mais 793 ne l’est pas.
Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs.
Ainsi, 0, 2, 4, 6, 8 … sont pairs et 1, 3, 5, 7 … sont impairs.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Exemples : 390 est divisible par 5, mais 1 983 ne l’est pas.
je retiens
Effectue sur ton cahier d’exercices les quatre exercices ci-après.

Exercice 24
Parmi les entiers : 26 ; 35 ; 144 ; 120 ; 1 002 ; 2 025 ; 18 280 ; 55 558.
Quels sont ceux qui sont divisibles par 2 ? par 5 ?
Exercice 25
Trouve tous les entiers de trois chiffres divisibles par 2 s’écrivant avec les chiffres 4, 9 et 8
(aucun chiffre n’est répété).
Exercice 26
Détermine le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5.
Exercice 27
Le nombre de quatre chiffres ®31® est pair et divisible par 5. Déterminer toutes les valeurs
possibles de cet entier.
Peut-être te demandes-tu s’il existe d’autres critères de divisibilité, que ceux que nous venons de
rappeler ? Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 28
1- Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, 1 300 bonbons en quatre parts égales ?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
2- a) Amaury doit partager 636 bonbons en quatre parts égales. Il a l’idée de séparer
ses bonbons en deux paquets : un paquet de 600 bonbons et un paquet de
36 bonbons.
Amaury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre parts égales. Combien
met-il de bonbons dans chaque part ? ......................................................................
Amaury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre parts égales. Combien
met-il de plus de bonbons dans chaque part ?............................................................
Amaury peut-il partager en quatre parts égales les 636 bonbons ? .............................
b) En utilisant la méthode d’Amaury, détermine si on peut partager en quatre parts
égales 1 348 puis 618 bonbons.
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
c) Recopie et complète la conjecture :
Un entier est divisible par 4 si ....................................................................................
.................................................................................................................................
Avant de continuer, note sur ton cahier de cours, à la suite, l’encadré ci-après.

• Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers
chiffres est divisible par 4.
Exemples :
111 328 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4.
Par contre, 97 013 n’est pas divisible par 4 car 13 n’est pas divisible par 4.
je retiens
Effectue sur ton cahier d’exercices les deux exercices ci-dessous.
Exercice 29
1- Détermine, parmi les entiers suivants, ceux qui sont divisibles par 4 :
9 534 ; 1 028 ; 77 588 ; 4 442 ; 756 ; 756 123 411.
2- Chacun des entiers que tu as déterminés précédemment est-il pair ?
Exercice 30
Indique, en justifiant ta réponse, si l’affirmation suivante est vraie :
Si un entier est divisible par 2, alors il est divisible par 4.
Remarque : Un entier divisible par 4 est divisible par 2.
je retiens
Effectue sur ton cahier d’exercices les trois exercices ci-dessous.
Exercice 31
Mentalement, saurais-tu dire si l’on peut répartir 3 946 pommes dans des emballages en
contenant 4 ?
Exercice 32
Détermine, lorsque cela est possible, les chiffres manquants pour que les nombres suivants
soient divisibles par 4 :
a) 79®6 b) 4®®3 (S’il y a plusieurs possibilités, donne-les toutes)
Exercice 33
Trouve tous les entiers de la forme 17®® qui sont à la fois divisibles par 4 et par 5.

Séance 6
J’utilise les critères de divisibilité
Effectue l’exercice ci-après sur ton livret.
Exercice 34
1- Détermine parmi les entiers suivants ceux qui sont divisibles par 3 :
801 ; 532 ; 783 ; 683 ; 4 782 ; 6 894
2- Recopie et complète le tableau suivant :
nombre Est-il divisible par 3 ?
Somme des « chiffres »
du nombre
La somme des
« chiffres » est-elle
divisible par 3 ?
801
532
783
683
4 782
6 894
3- Recopie et complète la conjecture suivante :
Un entier est divisible par 3 si .........................................................................................
......................................................................................................................................
Avant de continuer, note à la suite sur ton cahier de cours l’encadré ci-dessous :
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Ainsi, 141 015 est divisible par 3, car 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 5 = 12 et 12 est divisible par 3.
Par contre, 77 003 n’est pas divisible par 3, car 7 + 7 + 0 + 0 + 3 = 17 et 17 n’est pas divisible
par 3.
je retiens
Effectue sur ton cahier d’exercices les quatre exercices suivants.

Exercice 35
Voici quelques entiers : 14 424 ; 12 270 ; 67 275 ; 541 ; 63 180.
Détermine aussi simplement que possible ceux qui sont divisibles par 3.
Exercice 36
a) Trouve tous les entiers de la forme 1®1 divisibles par 3.
b) Trouve tous les entiers de la forme 1 23® à la fois divisibles par 2 et par 3.
Exercice 37
Trouve tous les entiers de la forme ®1® divisibles à la fois par 3 et 4.
Exercice 38
1- Détermine parmi les nombres suivants ceux qui sont divisibles par 9 :
504 ; 732 ; 747 ; 593 ; 5 881 ; 4 698
2- Recopie et complète le tableau suivant :
Somme des « chiffres »
du nombre
La somme des
divisible par 9 ?
504
732
747
593
5 881
4 698
3- Recopie et complète la conjecture suivante :
Un entier est divisible par 9 si .........................................................................................
......................................................................................................................................
Avant de continuer, note sur ton cahier de cours, à la suite, l’encadré ci-dessous :
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Ainsi, 415 602 est divisible par 9, car 4 + 1 + 5 + 6 + 0 + 2 = 18 et 18 est divisible par 9.
Par contre, 97 003 n’est pas divisible par 9, car 9 + 7 + 0 + 0 + 3 = 19 et 19 n’est pas divisible
par 9.
je retiens

Effectue sur ton cahier d’exercices l’exercice suivant.
Exercice 39
Voici quelques entiers :
4 158 ; 13 036 ; 25 011 ; 4 109 ; 496 272 ; 57 933.
1- Détermine aussi simplement que possible
a) ceux qui sont divisibles par 9
b) ceux qui sont divisibles par 3.
Remarque : Un entier divisible par 9 est divisible par 3.
je retiens
Effectue sur ton cahier les deux exercices suivants.
Exercice 40
Indique, en justifiant ta réponse, si l’affirmation suivante est vraie :
Si un entier est divisible par 3 alors il est divisible par 9.
Exercice 41
Détermine le plus petit entier de 3 chiffres divisible par 9.
Exercice 42
Le code d’un coffre-fort est un entier de 3 chiffres divisible par 5 et par 9.
Le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités. Détermine ce code.
Séance 7
Je travaille avec des durées
Effectue les deux exercices ci-après sur ton livret.
Exercice 43
Combien y-a-t-il de secondes dans 1 heure ?
® 1 000 ® 1 600 ® 2 600 ® 3 600
Justifie ta réponse ..............................................................................................................
..........................................................................................................................................

Exercice 44
Une équipe de sauveteurs a mis 3 jours et 8 heures pour retrouver deux alpinistes.
Exprime cette durée en heures.
.........................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe suivant :
UNITÉS DE TEMPS
1 j = 24 h un jour, c’est 24 heures
1 h = 60 min une heure, c’est 60 minutes
1 min = 60 s une minute, c’est 60 secondes
Remarque :
On a donc : 1 h = 3 600 s
je retiens
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret :
Exercice 45
Convertis dans l’unité demandée :
4 h 17 min = .................................... min
24 min 15 s = .................................... s
6 h 13 min 9 s = .................................... s
3 j 5 h = .................................... h
Lis attentivement le paragraphe suivant :
Convertir en secondes 4 h 18 min 3 s
1 h = 3 600 s donc 4 h = 4 x 3600 s soit 4 h = 14 400 s
1 min = 60 s donc 18 min = 18 x 60 s soit 18 min = 1 080 s
Conclusion :
4 h 18 min 3 s = 14 400 s + 1 080 s + 3 s = 15 483 s

Exercice 46
Un journaliste dispose de 1 h 51 min pour son émission. Il veut accorder à chacun de ses
trois invités un temps de parole équivalent. De combien de temps disposera chacun des
invités ?
Exercice 47
a) Convertis en minutes et en secondes : 182 s 397 s
b) Convertis en heures et en minutes : 998 min 695 min
Exercice 48
Peut-on enregistrer sur un CD où il ne reste que 20 minutes d’enregistrement trois chansons
dont les durées sont : 6 min 52 s , 5 min 49 s et 7 min 57 s ?
Exercice 49
Clémence a remarqué qu’elle mettait régulièrement 13 min pour parcourir un kilomètre.
À cette allure, quel temps mettrait-elle (en heures et en minutes) pour parcourir 15 km.
Exercice 50
Il a fallu 678 h de travail pour réaliser une maquette d’avion. Exprime cette durée en jours
et en heures.
Lis attentivement le paragraphe suivant :
Convertir 8 037 s en heures, minutes et secondes
• Cherchons combien il y a de minutes dans 8 037 s :
0
0
8
2
2
3
3
3
5
7
7
7
6 0
1 3 3
8 037 s = (133 x 60 s) + 57 s
donc : 8 037 s = 133 min 57 s.
• Cherchons combien il y a d’heures dans 133 min :
1
1
3
3
3 6 0
2
133 min = (2 x 60 min) + 13 min
donc : 133 min = 2 h 13 min
• Conclusion : 8 037 s = 2 h 13 min 57 s.
Exercice 51
Convertis en heures, minutes et secondes : a) 9 892 s b) 8 762 s

Séance 8
J’effectue des problèmes de synthèse
Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien rédiger
tes réponses et à bien justifier.
Exercice 52
Mélanie se fabrique un collier de perles. Elle enfile une perle verte, deux perles jaunes, une
perle rouge, trois perles jaunes et ainsi de suite. Quelle est la couleur de la 109e
perle ?
Exercice 53
Un autobus peut prendre 37 personnes à la fois. Il vient juste de partir ! En plus, il passe
toutes les 23 minutes ! À l’arrêt de bus, 112 personnes attendent devant moi. Dans combien
de temps vais-je partir (tu exprimeras ce temps en heures et en minutes) ?
Exercice 54
Un champ rectangulaire de 207 m de long
5m 5m
5m6m
207m
166m 13m
13m
6m5met de 166 m de large est planté de pommiers
régulièrement espacés comme indiqué
sur le dessin ci-contre.
1- Combien y a-t-il de pommiers dans
le champ ?
2- Chaque arbre produit 45 kg de pommes.
Combien de kilos de pommes va-t-on
récolter ?
3- On range les pommes dans des caisses
pouvant contenir 38 kg de fruits.
Combien devra-t-on prévoir de caisses ?

je m’évalue
1- Parmi les quatre égalités suivantes,
laquelle traduit la division euclidienne
de 854 par 38 ?
® 854 = (38 x 22) + 18
® 854 = (38 x 21) + 56
® 854 = (38 x 20) + 94
® 854 = (38 x 23) - 20
2- L’égalité 594 = (25 x 23) + 19 traduit-
elle la division euclidienne de :
® 594 par 25 ?
® 594 par 23 ?
® 594 par 19 ?
® 594 par 2 523 ?
3- Quel est le reste de la division
euclidienne de 548 par 75 ?
® 23
® 21
® 19
® 17
4-Par quel chiffre vas-tu compléter la case
manquante de cette division ?
® 7
1
9
9
9
5
3
3 3
3
1 4
3 6
® 9
® 8
® 6
5- Joris a effectué la division euclidienne
de 4 127 par 9. Il a trouvé 458 comme
quotient et 6 comme reste. Joris s’est-il
trompé ?
® oui
® non
6- Le nombre 4 127 est-il divisible par 9 ?
® oui
® non
7- Le nombre 4 190 est divisible par
® 2
® 5
® 3
® 9
8- Le nombre 1 782 est divisible par :
® 2
® 3
® 4
® 9
9- La durée 2 h 43 min s’écrit également
® 173 min
® 163 min
® 9 780 s
® 9 870 s
10- La durée 789 min s’écrit également ;
® 2 j 8 min
® 8 h 29 min
® 13 h 9 min
® 78 h 9 min

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Je découvre les quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Je découvre le cerf-volant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
J’étudie le losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
J’étudie le rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Je redécouvre le carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Je reconnais des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Je construis des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Je rédige des démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251









©Cned-2009
Objectifs
 Connaître le vocabulaire des quadrilatères : la notion de sommet, d’angles, ...
 Connaître les quatre quadrilatères suivants : le cerf-volant, le losange, le rectangle, le carré.
 Savoir manier des définitions, des propriétés et des méthodes pour reconnaître certains
quadrilatères.


Séance 1
Je découvre les quadrilatères
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 7. L’activité de
la séquence s’appelle « Ma Boîte à Outils » : elle consiste à remplir progressivement les cartes
des pages de découpages intitulées « Ma Boîte à Outils » qui se trouvent à la fin de ce livret.
Commence simplement par les regarder. Tu les complèteras plus tard, au fur et à mesure.
Tu les découperas et les colleras lorsque je te le dirai.
Maintenant, effectue le test ci-dessous.
1- Sur la figure ci-dessous, un carré est
représenté en :
® orange
® vert
® jaune
® bleu
2- Combien de carrés comptes-tu
ci-dessous ?
® 1
® 2
® 3
® 4
3- Sur la figure ci-dessous, un rectangle
est représenté en :
® vert
® bleu
® orange
® rose
4- Deux rectangles sont représentés
ci-dessous :
® vrai
® faux

Exercice 1
figure 1 figure 2
figure 3 figure 4
figure 5 figure 6
figure 8figure 7
Parmi les huit figures ci-dessus, lesquelles ont à la fois quatre côtés, quatre sommets et
quatre angles ?
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

Exercice 2
Complète les phrases suivantes :
K
M
R
A
1- Les sommets du quadrilatère sont les points
....... , ....... , ....... et ....... .
2- Ses côtés sont les segments .............. ,
.............. , .............. et .............. .
3- Ses angles sont .............. , .............. ,
.............. et ..............
e retiens
Définition : un quadrilatère est une figure fermée à
quatre côtés, quatre sommets, et quatre angles.
Ici : A
B
C
D
Les quatre sommets sont les points A, B, C et D.
les quatre côtés sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les côtés [AB] et [CD] sont opposés.
Les côtés [BC] et [DA] sont opposés.
Les angles sont ABC
∑
, BCD
∑
, CDA
∑
et DAB
∑
.
Les angles ABC
∑
et CDA
∑
sont opposés.
Les angles BCD
∑
et DAB
∑
sont opposés.
j
Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 3

K
R E
G T
O
U
V
1- Colorie les côtés [KG] et [TO] en bleu.
Le côté opposé à [KG] est ................ . Le côté opposé à [TO] est ................
Colorie-les en vert.
2- Colorie les angles KRE
∑
et OUV
∑
en orange.
L’angle opposé à KRE
∑
est ................ . L’angle opposé à OUV
∑
est ................ .
Colorie-les en rouge.
Exercice 4

P
V
R
KVoici un jardin dont les bordures constituent un quadrilatère.
Une coccinelle souhaite faire le tour de ce jardin.
1- Elle part du point K. Elle parcourt le segment [KV].
Arrivée au point V, elle continue son parcours
exactement sur les segments [VR] puis [RP], puis [PK].
On peut résumer son chemin de la façon suivante :
K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë K
Si elle avait fait le tour toujours en partant de K
mais dans l’autre sens, son chemin aurait été :
K Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë K
2- Quelles sont les six autres façons possibles de faire le tour de ce jardin ?
..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....
..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....
..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë ..... ...... Ë ..... Ë ..... Ë ..... Ë .....
3- Les trajets suivants permettent-ils de faire le tour du jardin ? (OUI ou NON)
K Ë R Ë V Ë P Ë K .....................
K Ë P Ë V Ë R Ë K .....................
4- Pour conclure, combien y a-t-il au total de façons différentes permettant de faire le tour
de ce jardin ? ................................ .
Lis attentivement le paragraphe ci-après.

e retiens

A
B
C
DUn quadrilatère peut se nommer de plusieurs façons :
Ici, le quadrilatère se nomme ABCD ou encore BCDA
ou CDAB ou DABC ou ADCB ou DCBA ou CBAD
ou BADC.
Les sommets A et B, par exemple, qui sont les extrémités
d’un même côté, sont consécutifs.
Les sommets A et C, par exemple, ne sont pas consécutifs.
Lorsque des sommets ne sont pas consécutifs,
on dit qu’ils sont opposés.
A et C sont donc opposés.
j
Exercice 5

K M
R
A
Écris tous les noms possibles du quadrilatère ci-dessous :
.........................................
.........................................
.........................................
.........................................
.........................................
.........................................
Avant d’effectuer l’exercice ci-dessous, rappelons que les diagonales d’un quadrilatère sont les
segments qui joignent deux sommets opposés.
[KM] et [RA] sont donc les diagonales du quadrilatère AKRM précédent. (Trace-les.)

Exercice 6

Tracer les diagonales des deux quadrilatères ci-dessous.
K M
R
T
S
Q
L
A
e retiens

A
C
D
B
Définition : les diagonales d’un quadrilatère sont les
deux segments dont les extrémités sont deux sommets
non consécutifs.
Ici, les deux diagonales du quadrilatère ABCD sont
les segments [AC] et [BD].
Remarque : Parfois, on appelle aussi diagonales du quadrilatère
ABCD les droites (AC) et (BD).
j
Séance 2
Je découvre le cerf-volant
Nous allons maintenant découvrir un type de quadrilatère un peu particulier. Effectue l’exercice
ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 7

Construis un quadrilatère A’B’C’D’ de mêmes
A’
x
mesures que ABCD, mais tel que :
B'A'D'
∑
= 30°. A
B
C
D
2,1
cm
4,4cm
e retiens

Définition d’un cerf-volant : un cerf-volant est un quadrilatère dont deux côtés
consécutifs ont la même longueur ainsi que les deux autres côtés.
E
DF
G
Ici, le quadrilatère EDFG est un cerf-volant : les côtés
consécutifs [ED] et [EG] ont la même longueur ainsi
que les côtés [FG] et [FD].
Le quadrilatère E’D’F’G’ est
E'
D'
F'
G'
aussi un cerf-volant : les côtés
consécutifs [E’D’] et [F’D’]
ont la même longueur ainsi
que les côtés [F’G’] et [G’E’].
j
Effectue l’exercice ci-après.

Exercice 8 Ma boîte à outils

Rends-toi à la fin de ton livret aux pages intitulées « Ma Boîte à Outils ». Retrouve la carte
qui correspond à la définition du cerf-volant et complète-la. Tu coderas également la figure
de la carte.
Exercice 9

Voici ci-contre un cerf-volant KLMN tel que :
KL = KN et ML = MN.
1- Place les sommets K, L, M et N sur la figure.
Code l’égalité de longueur KL = KN en vert sur la figure.
Code l’égalité de longueur ML = MN en bleu sur la figure.
2- Complète :
Comme ........ = ........ , le point K est sur ............................................... du segment [LN].
Comme ........ = ........ , le point M est sur ............................................... du segment [LN].
La droite (KM) est donc la médiatrice du segment ..................
Trace le segment [LN] et la droite (KM).
3- Soit I le point d’intersection des diagonales (KM) et (LN) du cerf-volant.
Comme la droite (KM) est la médiatrice du segment .................. ,
la diagonale (KM) coupe la diagonale [LN] en son ....................... , et les diagonales
sont ....................... .
Code sur la figure ce que tu viens de démontrer.
4- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :
• K a pour symétrique .........
• M a pour symétrique .........
• L a pour symétrique .........
• N a pour symétrique .........
La droite (KM) est donc un ........................................ du cerf-volant KLMN.
5- Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :
L’angle KLM
∑
a pour symétrique ................... .
Les angles ................ et ................ sont donc égaux.
Code-le sur la figure.

e retiens
Propriétés d’un cerf-volant :
Si un quadrilatère est un cerf-volant, alors :
• une de ses diagonales est la médiatrice de l’autre
• il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la médiatrice de l’autre.
• il possède deux angles opposés de même mesure.
j
Exercice 10 Ma Boîte à Outils – suite –

1- Retrouve la carte qui correspond à la propriété des diagonales du cerf-volant, complète-
la et code la figure.
2- Retrouve la carte qui correspond à l’axe de symétrie du cerf-volant, complète-la,
trace l’axe et code la figure.
3- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un cerf-volant, complète-la et
code la figure.
Exercice 11

A
B
C
D
ELe quadrilatère ABCD est un cerf-volant.
Démontre que le triangle ADE est équilatéral.

Exercice 12

1- Trace un segment [AB] de 4 cm. Trace la droite (d), médiatrice du segment [AB].
La droite (d) coupe le segment [AB] au point K. Marque un point E sur la droite (d).
a) Marque un point F de la droite (d) qui n’appartient pas à la demi-droite [KE).
b) Marque un autre point de la demi-droite [KE) et nomme-le G.
2- Démontre que EA = EB.
3- Démontre que FA = FB.
4- Démontre que GA = GB.
5- Quelle est la nature du quadrilatère AFBE ? Justifie ta réponse.
Quelle est la nature du quadrilatère AGBE ? Justifie ta réponse.
e retiens
Je reconnais un cerf-volant
A
D
C
BPropriété : si un quadrilatère a une diagonale
qui est la médiatrice de l’autre diagonale,
alors ce quadrilatère est un cerf-volant.
Ici, la diagonale (AC) est la médiatrice de
la diagonale [BD] donc on peut en déduire que
ABCD est un cerf-volant.
j

Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un cerf-volant, complète-la et
code la figure.
Exercice 14

K
J
L
M
On se propose dans cet exercice de déterminer la nature
du quadrilatère JKLM de la figure codée ci-contre.
Tu justifieras soigneusement toutes tes réponses.
1- Que représente la droite (KM) pour le segment [JL] ?
2- Quelle est la nature du quadrilatère JKLM ?

Séance 3
J’étudie le losange
Exercice 15

1- Trace sur du papier calque un segment [AB] de 6,5 cm de longueur. Trace le cercle Ω de
centre A et de rayon 4 cm. Trace le cercle Ω’ de centre B et de rayon 4 cm.
La lettre grecque Ω se lit « oméga ».
2- Les deux cercles se coupent aux points M et N. Trace le quadrilatère AMBN.
Démontre que ce quadrilatère est un cerf-volant.
3- a) Quelle est la particularité de ce cerf-volant ?
b) Te souviens-tu de son nom ?
e retiens
Définition d’un losange : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont
la même longueur.
Ici, ABCD et A’B’C’D’ sont deux losanges : leurs quatre côtés mesurent tous 3 cm.
On a : AB = BC = CD = DA = 3 cm A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ = 3 cm
A
B
C
D

B'
A'
C'
D'
On remarque ci-dessus que des losanges peuvent avoir des côtés de même longueur et ne pas être
superposables.
j

Retrouve la carte qui correspond à la définition du losange, complète-la et code-la.
Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 17

1- Clément affirme : « Un losange est un cerf-volant ». A-t-il raison ? Justifie ta réponse.
2- Samia affirme : « un cerf-volant est un losange ». A-t-elle raison ?
(réponds uniquement « Oui Samia a raison » ou bien « Non, Samia a tort » mais justifie ta réponse
en traçant une figure).
Tu traceras les figures demandées dans les exercices 18 et 19 suivants sur une feuille de papier
calque. Après les avoir corrigées par superposition sur le corrigé, tu les colleras dans ton cahier
d’exercices.
Exercice 18

Construis un losange RSTU tel que RT = 6 cm et RS = 5 cm.
Commence par tracer au brouillon une figure à main levée codée.
Exercice 19

1- Trace un triangle DEF équilatéral de 4 cm de côté.
2- Construis ensuite le point G tel le triangle FEG soit également équilatéral.
3- Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? Justifie ta réponse.
Exercice 20

E
D
F
G
1- Trace les diagonales (EF) et (GD) du losange EDFG ci-contre
respectivement en noir et en bleu.


2- Complète les phrases suivantes :
Comme EG = ED et que FG = FD
on déduit que EDFG est un ......................
Comme GE = GF et que DE = DF on en
déduit que EDFG est un ......................
donc
donc
• (EF) est un axe de ................... • (GD) est un ...... de ...............
• Les angles ..................... EDF
∑
et EGF
∑
sont ..................
• Les angles opposés .........
∑ et .........
∑
sont égaux.
• La diagonale (EF) est la ........................
de la diagonale [GD],
c’est-à-dire : la diagonale (EF) coupe
la ............... [GD] en son ............ et
perpendiculairement.
Code l’angle droit et les distances égales.
• La .................. (GD) est la ..................
de la ..................EF],
c’est-à-dire : la .................. (GD) coupe la
diagonale [.......] en son ...........................
et ...............................
Code les distances égales.
• Si un quadrilatère est un .......................
....................... alors ses diagonales sont
......................
• Si un quadrilatère est un losange alors ses
..................... ont le même ....................
e retiens
Propriétés :
Si un quadrilatère est un losange alors :
D
A
B
C
• il admet deux axes de symétrie : ses diagonales
• ses diagonales sont perpendiculaires
• ses diagonales ont le même milieu
• chaque diagonale est la médiatrice de l’autre
• ses angles opposés sont égaux.
j


1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du losange, complète-la et code-la.
2- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un losange,
complète-les et code-les.
3- Retrouve la carte qui correspond aux angles opposés d’un losange, complète-la et
code-la.
Exercice 22

Figure 1 Figure 2
Figure 3 Figure 4
Figure 5


1- Romain affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires alors ce quadrilatère est
un losange ».
Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire
que Romain a ................... (tort / raison).
2- Damien affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est
un losange ».
Es-tu d’accord ? ................... (oui / non). En effet, la figure n° ............. permet de dire
que Damien a ................... (tort / raison).
3- Maxime pense que Romain et Damien devraient s’associer et réfléchir ensemble pour
trouver dans quel cas on est sûr d’obtenir un losange.
Es-tu d’accord avec Maxime ? ................... (oui / non). En effet, d’après les figures
n°.......... et n° .......... on constate que : « dès que les diagonales sont ............................
et ont le même ......................, le quadrilatère est un ........................... . »
On admettra cette propriété (elle est vraie mais on ne le démontrera pas ici).
e retiens
Je reconnais un losange
D
A
B
C
Propriété :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui :
• ont le même milieu
et
• sont perpendiculaires,
alors ce quadrilatère est un losange.
Ici, d’après le codage, les diagonales [AC] et [BD]
sont perpendiculaires et leur point commun est
le milieu de chacune d’elles, donc on peut en déduire
que ABCD est un losange.
j

Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un losange, complète-la
et code-la.
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-après.

Exercice 24
Les segments [AB] et [CD] sont les diagonales d’un losange.
On a : AB = 5 cm et BAC
∑
= 48 °.
1- Trace une figure à main levée.
2- Le programme de construction ci dessous est dans le désordre. Dans quel ordre faut-il
écrire les étiquettes pour pouvoir construire le losange ?
Étiquette 1 Je trace (d) la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par M.
Étiquette 2 Je place le milieu M du segment [AB] à 2,5 cm de A sur le segment [AB].
Étiquette 3 Je construis l’angle BAx∑ de mesure 48°.
Étiquette 4 Je justifie que j’obtiens un losange : comme les diagonales [AB]
et [CD] sont perpendiculaire et ont le même milieu, je peux affirmer
que le quadrilatère ACBD est un losange.
Étiquette 5 Le point C est le point d’intersection de [Ax) et de (d).
Étiquette 6 Je trace un segment [AB] de 5 cm de longueur.
Étiquette 7 Je reporte à l’aide d’un compas un arc de cercle de centre M et de rayon
MC. Cet arc coupe la droite (d) en D.
3- Construis ce losange sur une feuille de papier calque que tu colleras dans ton cahier
d’exercices après avoir corrigé par superposition sur le corrigé.
Séance 4
J’étudie le rectangle
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous. Tu construiras la figure sur du papier
calque et tu la colleras sur ton cahier d’exercice une fois que tu l’auras vérifiée.
Exercice 25

Reproduis le quadrilatère CVBN représenté ci-contre à main levée. C N
V B
5 cm
3 cm

e retiens
A
D
B
C
Définition d’un rectangle : un rectangle est
un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Ici, ABCD est un rectangle :
∑
= 90°.ABC = BCD = CDA = DAB
∑ ∑∑
j

Retrouve la carte qui correspond à la définition du rectangle, complète-la puis code-la.
Exercice 27
D H
F G
Voici un quadrilatère DFGH qui possède trois angles droits.
1- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (DF).
D H
F G
Les droites (DH) et (FG) sont toutes les deux ............................
à la droite (DF). Les droites (DH) et (FG) sont donc
................................ .
2- Trace en bleu ci-contre les droites (DH) et (FG). Trace en rouge la droite (HG).
On vient de démontrer que les droites (DH) et (FG) D H
F G
sont ................................ .
La droite (GH) est ......................... à la droite (DH),
elle est donc ......................... à la droite (FG). Code la figure.
3- Le quadrilatère DFGH possède donc en fait ........ angles droits.
Par définition, c’est donc un ................................................. .
4- On a démontré dans le 2- que ses côtés opposés [DH] et [FG] sont .............................. .
De même, les côtés opposés [DF] et [HG] sont ...................................... parce qu’ils sont
tous les deux ...................................... au côté [DH].

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis effectue l’exercice suivant.
e retiens
Je reconnais un rectangle
Propriété :
Si un quadrilatère possède trois angles droits
alors c’est un rectangle.
Ici : ∑
= 90°.DAB = ABC = BCD
∑ ∑
On peut donc déduire que ABCD est un rectangle.
Par conséquent : ∑
= 90°.ADC
j
Exercice 28
Retrouve la carte qui correspond à cette façon de reconnaître un rectangle. Complète-la et
code-la.
Prends une feuille de papier calque et effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.
Exercice 29

K
(d)
(d')
N
L M
Reproduis sur une feuille de papier calque la figure précédente et plie le papier calque
suivant la droite (d) puis recommence suivant (d’), puis suivant (LN), puis (KM).
Parmi les droites (d), (d’), (KM) et (LN), lesquelles sont des axes de symétrie du rectangle ?
(On ne demande pas de justifier)
e retiens
Axes de symétrie d’un rectangle
Propriété :
Si un quadrilatère est un rectangle, alors il possède
deux axes de symétrie : les médiatrices de deux
côtés consécutifs.
j
B
C
D
A


Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du rectangle, complète-la
puis code-la.
Exercice 31

A
I
B C
D
(d)
(d')
La figure ci-contre représente un rectangle ABCD
avec ses deux axes de symétrie (d) et (d’).
I est le point d’intersection de (d) et (d’).
1- a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la droite (d) ? .....................
Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AD] et [BC] ?
...............................................................
b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d’) ? .....................
Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AB] et [DC] ?
...............................................................
c) Quelle propriété viens-tu de démontrer ?
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
2- Trace les diagonales du rectangle ABCD.
a) Quel est le point d’intersection de ces diagonales ? (On ne demande pas de le justifier, on
l’admettra) .....................
b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la droite (d’) ? .....................
Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AC] et [BD] ?
...........................................
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
3- a) En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IA et ID :
...........................................
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances ID et IC :
...........................................
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les distances IC et IB :
...........................................
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les distances IB et IA :
...........................................


b) Compare IA et IC : ................................ puis IB et ID : .............................................
Le point I est le ................................ des diagonales [AC] et [BD]
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
e retiens
Propriétés d’un rectangle
A
B
C
D
Si un quadrilatère est un rectangle, alors :
• ses diagonales ont la même longueur
• ses diagonales ont le même milieu
• ses côtés opposés sont parallèles
• ses côtés opposés ont la même longueur.
j
1- Retrouve la carte qui correspond aux propriétés des diagonales d’un rectangle, complète-
la et code-la.
2- Retrouve les cartes qui correspondent aux propriétés des côtés opposés d’un rectangle,
complète-les. Code la figure de la carte concernant les longueurs. Colorie les côtés
parallèles de l’autre carte.
Exercice 33
Trace un rectangle ABCD dont les diagonales se coupent en O puis le cercle Ω de diamètre
[AC]. Pourquoi le cercle Ω passe-t-il par les points B et D ?
Exercice 34
1- Trace un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, et qui n’est pas
un rectangle.
2- Trace un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur, et qui n’est pas
un rectangle.
3- Essaie de tracer un quadrilatère qui n’est pas un rectangle dont les diagonales sont de
même longueur et se coupent en leur milieu. Y arrives-tu ?

e retiens
Je reconnais un rectangle
A
B
C
D
Propriété : Si un quadrilatère a ses diagonales
• le même milieu

et
• la même longueur,
alors ce quadrilatère est un rectangle.
Ci-contre, les diagonales [AC] et [BD] du
quadrilatère ABCD ont le même milieu et
la même longueur. On peut donc déduire que ABCD est un rectangle.
j

Retrouve la carte qui correspond à la façon de reconnaître un rectangle, complète-la et
code-la.
Exercice 36
Les segments [RT] et [US] sont les diagonales d’un rectangle RSTU.
Ces diagonales se coupent en V et l’on a : RT = 6 cm et TVU∑ = °53 .
1- Construis ce rectangle sur une feuille de papier calque tu colleras dans ton cahier après
avoir vérifié la construction sur le corrigé.
(commence par réfléchir sur une figure à main levée au brouillon).
2- Rédige le programme de ta construction.
(aide : essaie de t’inspirer des étiquettes de l’exercice 24)
3- Justifie pourquoi ce programme de construction donne un rectangle.
Séance 5
Je redécouvre le carré
Nous allons découvrir ensemble une définition du carré. Effectue l’exercice suivant directement sur
ton livret.

Exercice 37

1- Complète chacune des huit cases vides par OUI ou NON.
la figure 1 ... la figure 2 ... la figure 3 ... la figure 4 ...
... est un
losange ?
... est un
rectangle ?
2- Reconnais-tu la nature de la figure 3 ? ................................................. .
e retiens
définition du carré : un carré est un quadrilatère
A
B
C
D
qui est à la fois un losange et un rectangle.
Autrement dit, un carré est un quadrilatère
qui a quatre angles droits et quatre côtés
de même longueur.
Ici, AB = BC = CD = DA (donc ABCD est un losange)
∑
= 90°.ABC = BCD = CDA = DAB
∑ ∑∑ (donc ABCD est un rectangle)
Par conséquent, ABCD est un carré.
j

Retrouve la carte qui correspond à la définition du carré, complète-la et code-la.
Maintenant, (re)découvrons ensemble les propriétés du carré. Effectue les exercices suivants

Exercice 39
M
A
T
H
Voici un carré MATH :
1- Complète :
Un carré est à la fois un ..............................
et un .............................., il a donc ............. axes de symétrie
qui sont ses .............................. et les ..............................
de deux côtés consécutifs.
2- Trace ces axes.
3- Le carré est un losange, donc ses diagonales sont .......................................
et elles ont le même .............................. .
4- Le carré est un .............................. , donc ses diagonales ont la même longueur et
ses côtés opposés sont .............................. et ont la même .................................... .
e retiens
Propriétés :
Si un quadrilatère est un carré alors il possède
toutes les propriétés du losange et aussi toutes les propriétés
du rectangle. Autrement dit :
• Si un quadrilatère est un carré alors il possède quatre axes
de symétrie : ses deux diagonales et les médiatrices de deux
côtés consécutifs.
• Si un quadrilatère est un carré alors ses côtés opposés
sont parallèles et ont la même longueur.
• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales sont
perpendiculaires.
• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont
le même milieu.
• Si un quadrilatère est un carré alors ses diagonales ont
la même longueur.
j

1- Retrouve la carte qui correspond aux axes de symétrie du carré, complète-la et code-la.
2- Retrouve les deux cartes qui correspondent aux propriétés des diagonales d’un carré,
complète-les et code-les.
3- Retrouve la carte qui correspond aux angles d’un carré, complète-la et code-la.
4- Retrouve la carte qui correspond aux quatre côtés d’un carré, complète-la et code-la.

Nous allons découvrir ensemble des propriétés qui permettent de reconnaître un carré.
Exercice 41

1- Construis un losange ABCD de 4,5 cm de coté tel que ABC
∑
= 90°
2- Reconnais-tu la nature de ce losange ? ..........................................................
(On ne demande pas de démontrer.)
e retiens
Première façon de reconnaître un carré
A
B
C
D
Propriété : si un losange possède un angle droit
alors c’est un carré.
Ici, d’après le codage, ABCD est un losange et l’angle
∑
BAD
mesure 90° donc on peut en déduire que ABCD est un carré.
j

Retrouve la carte qui correspond à cette première façon de reconnaître un carré, complète-
la et code-la.
Exercice 43

1- Construis un rectangle EFGH tel que EF = 6,2 cm et EH = 6,2 cm.
2- Reconnais-tu la nature de ce rectangle ? .......................................................
Démontre ce que tu affirmes.
e retiens
Deuxième façon de reconnaître un carré
A
D
C
B
Propriété : si un rectangle possède deux côtés consécutifs
de la même longueur alors c’est un carré.
Ici, d’après le codage, ABCD est un rectangle et les côtés
consécutifs [AB] et [AD] ont la même longueur donc
on peut en déduire que ABCD est un carré.
j


Retrouve la carte qui correspond à la deuxième façon de reconnaître un carré, complète-la
et code-la.
Exercice 45

E
F
G
H
Complète :
Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et
ont le même milieu. D’après la propriété : « si les diagonales
d’un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu,
alors ce quadrilatère est un ........................ », on déduit que
EFGH est un ................................ .
Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus la même longueur.
D’après la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère ont
la même longueur et ont le même milieu, alors ce quadrilatère
est un ........................ », on déduit que EFGH est un ................................ .
Ce quadrilatère est donc un ..................... et un ..........................
D’après la définition : « un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est
un ....................... », on peut affirmer que EFGH est un ................................... .
e retiens
Troisième façon de reconnaître un carré
A
D
C
B
Si un quadrilatère a ses diagonales qui :
• sont perpendiculaires
• ont le même milieu
• et ont la même longueur
alors ce quadrilatère est un carré.
Ici, les diagonales [AC] et [BD] sont telles que :
• (AC) ⊥ (BD) ,
• AC = BD
• les segments [AC] et [BD] ont le même milieu,
donc on peut en déduire que ABCD est un carré.
j

Retrouve la carte qui correspond à la troisième façon de reconnaître un carré, complète-la
et code-la.

Exercice 47

Tu dois construire un carré EFGH tel que EG = 5 cm. Fais d’abord une figure à main levée.
1- Construis ensuite la figure avec tes instruments de géométrie.
2- Rédige le programme de ta construction en justifiant pourquoi tu obtiens un carré.
Si tu ne sais pas comment t’y prendre, voici de l’aide : n’oublie pas que le carré est à la fois un losange et
un rectangle.
Séance 6
Je reconnais des quadrilatères
Maintenant que ta Boîte à Outils est complète, découpe les pages où elle se trouve, soigneusement
sur les pointillés, puis prends une nouvelle page de ton cahier de cours, écris en rouge le numéro
et le titre de la séquence : « SÉQUENCE 7 : LES QUADRILATÈRES. » puis colle ces pages en
t’appliquant et en tenant compte du numéro des cartes. Il ne te reste plus qu’à apprendre et retenir
ces définitions et propriétés. Tu en auras besoin dans les séances suivantes.
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 48

A B
C
G
H
D I
E
FEn observant la figure ci-contre, nomme
en justifiant tes réponses :
1- Un rectangle
2- Un carré
3- Un cerf-volant
4- Un losange

Exercice 49
A
B
C
D
Voici un quadrilatère ABCD :
1- Quelle la nature précise du triangle ABD ? Justifie.
2- Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie.
Exercice 50

A
O
B
C
D
E
C
Dans la figure ci-contre le point O est le centre du
cercle C et A, C et E sont des points du cercle C .
1- Détermine la nature du quadrilatère OCDE .
2- Détermine la nature du quadrilatère ABCO .
Tu justifieras chacune de tes réponses.
Exercice 51

On considère un rectangle BEAU dont le côté [BE] est plus long que le côté [BU].
Le cercle Ω de centre B et de rayon BU coupe le segment [BE] au point M.
La droite passant par M et perpendiculaire à (BE) coupe [UA] au point N.
1- Trace la figure en vraie grandeur avec tes instruments.
2- Détermine la nature du quadrilatère BMNU. Justifie ta réponse.

Exercice 52

Le triangle ABC isocèle en B est tel que : AB = 4 cm et ABC
∑
= 65°.
1- Construis le triangle ABC sur du papier calque puis colle la figure sur ton cahier après
l’avoir vérifiée sur le corrigé.
2- Trace ensuite le cercle C de centre A et de rayon 4 cm puis le cercle C ’ de centre C et de
rayon 4 cm.
3- Démontre que : B ∈ C et que : B ∈ C ’.
4- Nomme D l’autre point commun aux deux cercles. Détermine la nature du quadrilatère
ABCD en justifiant.
Séance 7
Je construis des quadrilatères
Dans cette séance, tu vas t’entraîner à construire des quadrilatères en utilisant les définitions et les
propriétés que tu as apprises.
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu utiliseras du papier calque pour tracer
les figures et tu colleras ensuite chaque construction dans ton cahier une fois que tu l’auras vérifiée
sur le corrigé.
Exercice 53

E
F
G
H
3 cm 4 cm
On souhaite construire un cerf- volant EFGH tel que :
EF = 3 cm, EH = 4 cm et FGH∑ = 130˚.
1- Sachant que le quadrilatère EFGH est un cerf-volant,
complète le codage de la figure à main levée ci-contre
(directement sur ton livret).
2- Construis la figure.
Exercice 54

1- Construis un cerf-volant IJKL tel que : IJ = 2,5 cm, JL = 5 cm et LI = 3,5 cm.
2- Rédige un programme de cette construction.

Exercice 55

1- Construis un losange dont les diagonales mesurent respectivement 7 cm et 5,4 cm.
2- On cherche à construire un losange ABCD de 3 cm de côté tel que : ADB
∑
= 40° .
a) Dessine une figure codée à main levée
b) Recopie et complète :
ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un ................................
de ce quadrilatère.
(BD) est donc la ................................. de l’angle CDA
∑ . ADC
∑ = .......... .
c) Construis le losange ABCD.
Exercice 56

1- Construis le rectangle QRST tel que : RQS
∑
= 35° et QR = 6 cm.
2- Construis un rectangle EFGH tel que : EF = 4 cm et EG = 5 cm. Tu n’utiliseras pas l’équerre
dans cette question.
Exercice 57

Construis un carré IJKL tel que : IJ = 4 cm.
Exercice 58

1- Construis un rectangle JKLM dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un rectangle
EFGH dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux rectangles sont-ils toujours
superposables ? (OUI / NON)
2- Construis un carré ABCD dont une diagonale mesure 6 cm. Construis un carré RSTU
dont une diagonale mesure 6 cm. Les deux carrés sont-ils toujours superposables ?
(OUI / NON)
Dans l’exercice suivant, tu commenceras par reproduire par transparence la figure proposée sur une
feuille de papier calque.

Exercice 59

E
(d)
(d')
Reproduis la figure ci-contre et termine
la construction du rectangle dont l’un
des sommets est le point E et dont les axes
de symétrie sont les droites (d) et (d’).
Séance 8
Je rédige des démonstrations
Dans cette séance, tu vas t’entraîner à rédiger des démonstrations avec des quadrilatères
(à l’aide des définitions et des propriétés que tu as apprises).
Exercice 60

A
B
1- Dans le cadre ci-dessous, trace au compas la médiatrice
(Δ) du segment [AB]. Elle coupe le segment [AB] au point
M. Trace ensuite le cercle Ω de diamètre [AB]. La droite
(Δ) et le cercle Ω se coupent aux points E et F.
2- Trace en vert le quadrilatère AEBF et
trace en rouge ses diagonales.
3- a) Henri a conclu : « AEBF est un losange. ».
Victor a conclu : « AEBF est un rectangle. ».
Lou-Ann affirme qu’ils ont raison tous les deux mais
Astrid dit que ce n’est pas possible.

D’après toi, qui a raison :
Henri ? Victor ? Lou-Ann ? Astrid ?
C’est ...................... (complète).
b) Complète les cases suivantes avec les mots :
– médiatrice – diamètre(s) – centre – diagonale(s) – longueur – alignés – cercle –
perpendiculaires – milieu – ou avec les lettres A – B – E – F – Ω – de l’énoncé
puis code la figure au fur et à mesure :
Maillon 1
Comme la droite (Δ) est la
..................... du segment ........,
d’après la définition de la .....................
....... , (Δ) coupe [AB] en son ..............
Le point ...... est donc le milieu de [AB]
et c’est le ................... du cercle Ω
Maillon 2
Les points E, M et F sont alignés et les
points E et F sont sur le ....................
de centre ......... donc :
• le segment [EF] est un ...................
du cercle Ω.
• le point M est le ..................
du segment [EF].
Maillon 3
Comme les segments [EF] et [AB] sont
deux ........................ du cercle Ω , ils
ont la même ........................... .
Maillon 4
Comme (Δ) est la ..................... du
segment ........ , d’après la définition de
la ............., on a (EF) ........ (AB).
Maillon 5
Comme les diagonales du quadrilatère
............... sont ..............................
et ont le même ................. M, je peux
conclure que AEBF est un losange.
Maillon 6
Comme les diagonales du quadrilatère
AEBF ont le même ................. M et ont
la même ................, je peux conclure
que AEBF est un rectangle.
c) Reconstitue la démonstration de Henri en écrivant simplement les numéros des
maillons dans l’ordre où ils se succèdent dans sa démonstration :
1 - ................................................................................
d) De la même manière, reconstitue la démonstration de Victor :
1 - ................................................................................
e) En conclusion, AEBF est un .................... et un ......................... donc c’est un
.................
Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices. Tu traceras les constructions sur
du papier calque puis tu les colleras dans les exercices de ton cahier au fur et à mesure que tu
les auras vérifiées sur les corrigés.
Exercice 61

1- Trace un cercle Ω de centre I et de rayon 3 cm. Trace en rouge un diamètre [EF]
de ce cercle.
2- Trace ensuite le cercle Ω’ de même centre I et de rayon 4,5 cm. Trace en bleu un diamètre
[AB] de ce cercle tel que : (AB) ⊥ (EF).
3- Quelle est la nature du quadrilatère AEBF ?

Exercice 62

Les phrases ci-dessous sont-elles vraies ? (écris « OUI » ou « NON » selon le cas)
a) « Un carré est un losange » ..................
« Un losange est un carré » ..................
b) « Un carré est un rectangle » ..................
« Un rectangle est un carré » ..................
c) « Un carré est un cerf-volant » ..................
« Un cerf-volant est un carré » ..................
d) « Les côtés opposés d’un losange ont la même longueur » ..................
« Les côtés opposés d’un cerf-volant ont la même longueur » ..................
Exercice 63
H
I
J
L
K
Voici une figure codée où HKJI est un losange
1- Compare les angles KHL
∑
et KJI
∂ .
2- Quelle est la nature exacte du triangle HKL ?
Exercice 64

1- Construis un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm.
2- Construis le symétrique B’ du point B par rapport à la droite (AC).
3- Trace en vert le quadrilatère AB’CB. Donne la nature du quadrilatère AB’CB en justifiant
ta réponse.
Exercice 65

1- Le triangle EAU est rectangle en A, AEU
∑
= 45° et EA = 4 cm.
Construis la figure et complète-la au fur et à mesure.
2- Construis le symétrique S du point A par rapport à la droite (EU).


3- a) Trace en vert le quadrilatère SEAU.
b) Démontre que l’angle SEA
∑
est droit.
c) Démontre que l’angle ESU
∑
est également droit.
d) Démontre que le quadrilatère SEAU est un rectangle.
e) Compare EA et ES.
f) Quelle est la nature précise du quadrilatère SEAU ?
Séance 9
Effectue les trois exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 66

Trace un quadrilatère ABCD dont les diagonales sont perpendiculaires. Quelle est la nature
de ce quadrilatère ? Ne justifie pas ta réponse.
Exercice 67

Construis le losange RSTU dont les côtés [RS] et [TU] mesurent respectivement 3 cm et
4 cm.

Exercice 68
1- Observe la figure à main levée codée ci-dessous :
A B
C
40°
50°
D E
FGH
3 cm
5 cm
a) Détermine l’angle HGB
∑ .
b) Détermine l’angle BGD
∑ .
c) Détermine l’angle DGE
∑
.
d) Démontre que les points H , G et E sont alignés dans cet ordre.
2- Construis la figure avec tes instruments de géométrie.
Enfin, nous allons terminer cette séquence par un petit test. Effectue-le directement sur ton livret.

je m’évalue
1-La figure à main levée codée ci-dessous
est :
® un cerf-volant
A
B C
D
® un carré
® un rectangle
® un losange
2- La figure à main levée codée ci-dessous
est un :
E
F
G
H
® un cerf-volant
® un carré
® un rectangle
® un losange
3- La figure à main levée codée ci-dessous
représente :
K
L
M
N

® un cerf-volant
® un carré
® un rectangle
® un losange
4- Coche les phrases vraies :
® « Si un quadrilatère possède deux angles
droits alors c’est un rectangle. »
® « Si une diagonale d’un quadrilatère est
la médiatrice de l’autre alors ce quadril-
latère est un cerf-volant. »
® « Si une diagonale d’un quadrilatère est
la médiatrice de l’autre alors ce quadril-
latère est un losange. »
® « Si un quadrilatère possède deux côtés
consécutifs de même longueur alors
c’est un carré.»
5- Coche les phrases fausses :
® « Un carré est un cerf-volant. »
® « Un carré est un rectangle. »
® « Un carré est un losange. »
® « Un losange est un cerf-volant. »
6- Coche les phrases vraies :
® « Un rectangle est un carré. »
® « Un losange est un carré. »
® « Un cerf-volant est un losange. »
® « Les diagonales d’un cerf-volant se
coupent en leur milieu. »
7- Que peux-tu affirmer sur les côtés
opposés d’un carré ?
® ils sont parallèles
® ils sont perpendiculaires
® ils ont la même longueur
® ils ont le même milieu
8- Que peux-tu affirmer sur les diagonales
d’un carré ?
® elles sont perpendiculaires
® elles ont le même milieu
® elles ont la même longueur
® l’une est la médiatrice de l’autre
9- ABCD est un losange tel que les
triangles ABD et BDC sont équilatéraux.
Coche les égalités vraies :
® AB = BC
® AB = DC
® AB = BD
® AC = BD
10- Dans quel cas les triangles ABC et BCD
sont-ils isocèles et superposables ?
® quand ABDC est un losange
® quand ABCD est un losange
® quand ABCD est un carré
® quand ABCD est un rectangle

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Je découvre la division décimale d’un nombre entier par un nombre entier - suite - . . . . . 260
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Je découvre la division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier . . . . . . . . . . . . 262
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Je redécouvre la notion de fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Je redécouvre la notion de fraction - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
J’étudie les fractions égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
J’étudie les fractions égales - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Je calcule la fraction d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Je calcule la fraction d’un nombre - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279









©Cned-2009
Objectifs
 Savoir résoudre un problème à l’aide d’une division décimale.
 Connaître la définition et le vocabulaire associé aux écritures fractionnaires.
 être capable de manipuler des fractions égales.
 Savoir prendre la fraction d’une quantité.


Séance 1
Je découvre la division décimale d’un nombre entier
par un nombre entier
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 8. Maintenant,
effectue le test ci-dessous.
1- Sur la figure ci-dessous, quelle fraction
du disque la partie coloriée en vert
représente-t-elle ?
®
1
5

®
2
12
®
1
6
®
3
4
2-Sur une horloge ancienne, la grande
aiguille a décrit, depuis que je l’observe,
un angle droit. Combien de temps s’est
écoulé ?
® 25 min
® un quart d’heure
® 30 min
® 15 min
3- Dans une classe de sixième de
24 élèves, un tiers des élèves portent
un appareil dentaire.
Combien d’élèves cela représente-t-il ?
® 3 élèves
® 7 élèves
® 1 élève
® 8 élèves
4- Antoine et Ella partent en vacances.
Antoine conduit durant le premier
quart du parcourt. Ella conduit ensuite
pendant la moitié du trajet. Quelle
fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?
® un quart
® un tiers
®
1
4
® on ne peut pas savoir
Exercice 1
Complète :
................. x 10 = 7 ................. x 100 = 72,6
................. x 5 = 40 ................. x 3 = 12

En effectuant les multiplications à trous de l’exercice précédent, tu viens de calculer des quotients.
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, écris en rouge le numéro et le titre
de la séquence : « SÉQUENCE 8 : DIVISION DÉCIMALE, ÉCRITURES FRACTIONNAIRES ».
Recopie ensuite soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens
LA DIVISION DÉCIMALE
Définitions : lorsqu’on cherche le nombre ® tel que : ® x 4 = 7, on effectue
la division décimale de 7 par 4.
Le nombre qui, multiplié par 4 donne 7, est appelé le quotient de 7 par 4.
Le quotient de 7 par 4 s’écrit 7 ÷ 4 ou
7
4
.
j
Effectue ensuite les deux exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 2
Complète :
a) ........ x 2 = 9 donc 9
2
= ........ b) ........ x 4 = 10 donc
10
4
= ........
c) ........ x 2 = 7 donc 7 ÷ 2 = ........ d) 0,4 x 5 = ........ donc
.......
5
= 0,4
e) ........ x 0 = 3 Combien y-a-t-il de solutions ? Justifie ...................................................
......................................................................................................................................
L’activité de découverte de cette séquence s’intitule «Maxence, un garçon équitable». Au fur et
à mesure que tu progresseras dans l’étude de cette séquence, Maxence t’accompagnera dans la
réflexion.
Exercice 3 Maxence, un garçon équitable
Problème : Maxence possède 7 € en poche. Il voudrait partager cette somme en quatre
parts égales pour ses amis Lydie, Téo, Noémie et Pierre.
1- Maxence pense effectuer une division. Effectue la division euclidienne de 7 par 4 dans
le cadre ci-dessous.
Que peux-tu en conclure ? Maxence donne à chacun
....................................... et il lui reste ............. .

2- Maxence n’est pas satisfait ! Il ne veut pas garder d’argent, il veut tout partager entre
Lydie, Téo, Noémie et Pierre. Il demande alors à son grand frère qui lui explique une
méthode.
Le grand frère lui dit : « Que veux-tu savoir ? Le nombre qui multiplié par 4 donne 7 ?
Regarde comment je fais : »
7 0
3 0
2 0
0
0 4
1 7 5
,
,
Je divise d’abord 7 unités par 4.
En 7, combien de fois 4 ?
Ë ........... fois, il reste ........... unités.
3 unités, c’est 30 dixièmes.
Ë ........... fois, il reste ........... dixièmes.
2 dixièmes, c’est 20 centièmes.
Ë ........... fois, il ne reste rien.
D’après son grand frère, Maxence devra donner ................................... à chacun de ses
quatre amis.
3- Maxime voudrait être sûr qu’il a bien partagé ses sept euros en quatre parts égales.
Pour cela, il calcule : 4 x 1,75. Pose la multiplication dans le cadre ci-dessous :
Conclusion :
Pour partager équitablement 7 € entre 4 personnes,
Maxence doit donner ...................................
à chacune de ces quatre personnes.
Voici la technique de la division décimale détaillée. Lis attentivement ce paragraphe.

Recherche du nombre décimal ® tel que : ® x 12 = 15
1-
51 1 2
dividende
diviseur
?
2-
5
3
1 1 2
1
n'est pas égal à 0
3-
5
3
1 0
0
,
,
1 2
1
Je pose la division
de 15 par 12.
Réponse : 1 fois. Il reste 3.
Le reste n’est pas égal à 0,
je continue la division.
J’écris une virgule puis un 0
à droite de 15 et j’écris une
virgule après 1 au quotient.
5-
5
3
1 0
0
6
,
,
1 2
1 2
n'est pas égal à 0
6-
5
3
1 0
0
6
,
,
0
0
1 2
1 2
7-
5
3
1 0
0
6
,
,
0
0
0
1 2
1 2 5
Je n’ai pas trouvé 0 donc
je continue la division.
J’écris un 0 à droite de 6.
La division est terminée
Je vérifie la division :
1,25 x 12 = 15
Le nombre qui multiplié par 12 donne 15 est 1,25.
Le quotient de 15 par 12 est 1,25.
On a : 15 ÷ 12 = = 1,25
15
12
Prends une nouvelle page de ton cahier d’exercices, écris en rouge le numéro et le titre de la
séquence : « SÉQUENCE 8 : DIVISION DÉCIMALE, ÉCRITURE FRACTIONNAIRE ».
Effectue sur ce cahier les deux exercices ci-dessous.
Exercice 4
1- Effectue la division décimale de 853 par 5.
2- Détermine 912
15
.
3- Détermine le quotient de 18 par 24.

Exercice 5 Maxence, un garçon équitable
Problème : On répartit 35 L de peinture en huit pots. Quel volume de peinture y aura-t-il
dans chaque pot ?
Réponse de Maxence :
Que penses-tu de la réponse de Maxence ?
Voici pour terminer cette séance quelques problèmes. Effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 6
Complète ce tableau :
problème
Quatre plumes pèsent
173 grammes.
Combien pèse une plume ?
Deux groupes de 98 et
55 touristes se rejoignent à
un embarcadère.
Des bateaux vont leur
permettre de traverser le
fleuve : chaque bateau
peut contenir 36 touristes.
Combien de touristes
y aura-t-il dans le dernier
bateau ?
Six randonneurs ont
emporté 231 litres d’eau
pour leur périple dans
le désert. Sachant qu’ils
ont réparti équitablement
les charges entre eux, quel
volume d’eau chacun
doit-il transporter ?
opérationconclusion
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
Je calcule 35 ÷ 8 5
3
3 0
0
6
,
,
0
0
8
4 3 7
Dans chaque pot, il y aura 4,37 L de peinture.

Séance 2
Je découvre la division décimale d’un nombre entier
par un nombre entier – suite –
Exercice 7
Un lot de 16 DVD coûte 93 euros. Quel est le prix exact d’un DVD de ce lot ? Est-ce que ce
type de prix existe dans la vie de tous les jours ?
Exercice 8

Adèle, Idir et Yasmina achètent un ruban de 16 cm de long. Idir pense
qu’on peut partager équitablement la totalité de 16 cm de ruban en
trois morceaux. Adèle n’est pas d’accord et Yasmina trouve que cette
question est compliquée. Quel est ton avis ? Tu poseras une opération
et justifieras ta réponse.
e retiens
Propriété : lorsqu’une division décimale « ne se termine pas », le quotient n’est pas
un nombre décimal.
On peut alors utiliser une troncature ou un arrondi pour répondre à un problème
concret.
exemple : quotient de 14 par 11
4
3
1 0
0
3 0
3 0
8
,
,
0 0 0 0
0
8 0
1 1
1 2 7 2 7
...
...
...

La division ne se termine pas. La seule écriture
exacte du quotient est 14
11
.
14
11
n’est pas un nombre décimal.

• 1,272 7 est une valeur approchée par défaut de 14
11
.
• 1,2 est la troncature au dixième de 14
11
.
• 1,3 est l’arrondi au dixième de 14
11
.
j

Donner l’arrondi au dixième du quotient de 23 par 7
1-
32 7
2-
3
2
2 0
0
6
,
,
0
0
4
7
3 2 8
3-
L’arrondi au dixième du
quotient de 23 par 7 est 3,3.
Je pose la division décimale
de 23 par 7.
Je cherche l’arrondi au dixième
donc je continue la division
jusqu’au centième.
Ensuite, même si la division
n’est pas terminée, je
m’arrête.
Je cherche l’arrondi au dixième de
3,28. C’est 3,3. Je conclus :
Attention !
3,3 n’est pas le quotient de 23 par
7, c’est une valeur approchée de ce
quotient.
Remarque : On peut se rendre compte facilement que 3,3 n’est pas égal à 23
7
:
3,3 x 7 = 23,1 On ne trouve pas 23.
Exercice 9
a) Donne l’arrondi au dixième du quotient de 92 par 7.
b) Donne la troncature au dixième de
35
8
.
c) Donne l’arrondi au centième de
91
6
.
Les calculatrices permettent d’obtenir rapidement le quotient ou une valeur approchée du quotient.
Pour le voir sur un exemple, reporte-toi à la page calculatrice à la fin de ce livret.

Exercice 10 Maxence, un garçon équitable — suite —

Pour trouver la solution d’un problème, Maxence veut utiliser sa calculatrice. Il cherche le
quotient de 25 par 6. Il tape 25 ÷ 6 sur sa calculatrice qui affiche :
Il conclut son exercice par :
« Le quotient de 25 par 6 est 4,166 666 667. »
Que penses-tu de la réponse de Maxence ?
Exercice 11
Pour son anniversaire, Eloïse prépare un cocktail de fruits : elle met dans un grand saladier
le contenu de deux bouteilles de 25 cL de jus de pêche, quatre bouteilles de 12,5 cL de jus de
fraise et 57 cL de jus d’orange.
Elle partage ensuite équitablement son cocktail en 13 verres. Quelle quantité de liquide y
aura-t-il dans chaque verre ? (Tu donneras l’arrondi au dixième de cL).
Séance 3
Je découvre la division décimale d’un nombre décimal
par un nombre entier
Exercice 12 Maxence, un garçon équitable — suite —
Problème : Maxence et ses quatre amis veulent acheter ensemble un cadeau pour un autre
de leurs amis : Armand. Ils ont trouvé un CD qui va lui plaire. Ce CD coûte 18,45 €.
Maxence et ses quatre amis essaient de diviser 18,45 par 5 mais ne savent pas comment
faire. Lydie propose :
8,
,
3
1 4
4
4
5
5
0
5
3 6 9
Ë ........... fois, il reste ........... unités.
3 unités et 4 dixièmes, c’est 34 dixièmes.
Ë ........... fois, il reste ........... dixièmes.
4 dixièmes et 5 centièmes, c’est 45 centièmes.
Ë ........... fois, il ne reste rien.
Maxence et ses quatre amis vont payer chacun ............................. pour offrir le CD à
Armand.

Effectuer la division décimale de 58,32 par 8
1-
85 3, 2 8
2-
8
2
5 3, 2 8
7
3-
8
2
5 3
3
,
,
2 8
7
Je pose la division puis
je commence par diviser la partie
entière de 58,32 (soit 58) par 8.
J’abaisse le 3 qui se trouve après
la virgule, j’écris une virgule
après le 7.
5-
8
2
5 3
3
7
,
,
2 8
7 2
6-
8
2
5 3
3
7
,
,
2
2
0
8
7 2 9
7-
Je vérifie la division :
7,29 x 8 = 58,32
Le nombre qui multiplié par 8
donne 58,32 est 7,29.
On a : 58,32 ÷ 8 =
58,32
8
= 7,29
Exercice 13
1- Effectue la division décimale de 276,56 par 4.
2- Détermine 261 3
6
, .
3- Détermine 95,49 ÷ 12.
Exercice 14
Un lot de 8 pots de peinture de 3 L chacun coûte 125,6 €.
1- Combien coûte un pot de peinture ?
2- Combien coûte 1 L de peinture ? Tu donneras l’arrondi au centième d’euro.
Exercice 15
1- Donne la troncature au millième de
2512
7
,
.
2- Donne l’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6.

Exercice 16
1- calcule sans utiliser ta calculatrice :
a)
10
168,2
b)
4 5
100
,
c)
916
1000
,
2- Complète en utilisant ce qui précède :
a) Diviser 168,2 par 10 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rang,
c’est-à-dire à multiplier par ............. .
b) Diviser 4,5 par 100 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rangs,
c’est-à-dire à multiplier par ............. .
c) Diviser 91,6 par 1 000 revient à déplacer sa virgule vers la ........................ de ....... rangs,
c’est-à-dire à la multiplier par ............. .
e retiens
DIVISION PAR 10, 100, 1 000
Propriétés :
• Diviser un nombre décimal par 10 revient à le multiplier par 0,1 : on déplace
sa virgule vers la gauche de 1 rang et on complète par un zéro à gauche si nécessaire.
Exemples : 15,3 ÷ 10 = 15,3 x 0,1= 1,53 0,8 ÷ 10 = 0,8 x 0,1 = 0,08
• Diviser un nombre décimal par 100 revient à le multiplier par 0,01 : on déplace
sa virgule vers la gauche de 2 rangs et on complète par des zéros à gauche si
nécessaire.
Exemple : 7,3 ÷ 100 = 7,3 x 0,01= 0,073
• Diviser un nombre décimal par 1 000 revient à le multiplier par 0,001 : on déplace
sa virgule vers la gauche de 3 rangs et on complète par des zéros à gauche si
nécessaire.
Exemple : 17,4 ÷ 1 000 = 17,4 x 0,001= 0,017 4
j
Exercice 17
7 1
10
,
= .................................
888 46
100
,
= ............................ 0 15
1000
,
= ...............................
4
100
= ................................. 4 999
10
,
= ............................. 90 1
1000
, = ...............................

Exercice 18
Deux vendeurs de peluches sont face à face dans un marché.
Le vendeur A vend 10 peluches pour 45,60 €.
Le vendeur B vend 3 peluches pour 13,70 €.
Quel vendeur est le moins cher ? (Tu calculeras le prix exact d’une peluche chez le vendeur A, et
l’arrondi au centime d’euro près du prix d’une peluche chez le vendeur B)
Séance 4
Je redécouvre la notion de fraction
e retiens
ÉCRITURES FRACTIONNAIRES
Définition : une écriture fractionnaire est une écriture de la forme 7,5
4,89
.
7,5
4
numérateur
barre de
fraction dénominateur,89
Exemples : 2
3
; 2 5
8 6
,
,
; 72
4 78,
; 4 75
10
, .
j
Exercice 19
On considère les écritures fractionnaires ci-dessous :
2
3
0,14
7,2
9
13
7,5
4,89
9,5
12
5
7,6
7,2
15

1- Quel est le dénominateur de l’écriture fractionnaire qui a 5 pour numérateur ?
...............
2- Quel est le numérateur de l’écriture fractionnaire qui a 7,2 pour dénominateur ?
...............
3- Quelle écriture fractionnaire a le plus grand dénominateur ? ...............
e retiens
FRACTIONS
Définition : une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et
le dénominateur sont des entiers.
Exemples :
2
3
; 9
145
; 1 284
73
sont des fractions.
9 1
47
, n’est pas une fraction.
j
Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 20
À l’école primaire, tu as vu qu’à une fraction correspondait à un partage. Dans chaque cas,
indique quelle fraction de la figure est coloriée en bleu.
..................... ..................... .....................
Exercice 21
Écris sous forme de fraction :
Trois quarts ............... Quinze tiers ...............
Sept demis ...............
Neuf
douzièmes
...............

Exercice 22
Écris chaque fraction suivante en toutes lettres :
2
3
..........................................................................................................
7
4
..........................................................................................................
33
7
..........................................................................................................
17
11
..........................................................................................................
Exercice 23
À l’aide d’un calcul de tête, complète les égalités suivantes :
35
7
= ..................................
9
9
= .................................. 13
1
= ..................................
48
6
= .................................. 56
7
= .................................. 4
4
= ..................................
72
1
= .................................. 77
11
= .................................. 37
37
= ..................................
e retiens
Propriétés :
• Si a est un nombre quelconque : a
a
1
=
Exemples : 103
1
103= 5 8
1
5 8
,
,=
• Si a est un nombre quelconque différent de 0 : a
a
=1
Exemples :
2 087
2 087
1=
j
Exercice 24
1- On a partagé un segment [OI] d’une unité en quatre segments superposables.
Écris dans les cases du dessous les écritures décimales, et complète les quatre fractions.
0
O I
1
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........

2- On a partagé un segment [OI] d’une unité en cinq segments superposables.
Complète comme tu l’as fait dans la question précédente.
0
O I
1
.........
.........
.........
.........
0,2
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
Exercice 25
On considère les nombres :
9
7
;
5
7
;
14
13
;
8
8
;
13
14
;
2
3
;
47
47
;
3
2
1- Complète le tableau
nombres plus petits que 1 nombres égaux à 1 nombres plus grands que 1
........................................ ........................................ ........................................
2- Comment, sans calcul, reconnais-tu une fraction supérieure à 1 ? inférieure à 1 ?
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
e retiens
COMPARER UNE FRACTION À 1.
Si a et b sont des entiers quelconques, et que b est différent de 0 :
• la fraction
a
b
est inférieure à 1 si a b
• la fraction
a
b
est supérieure à 1 si a b
j
Exercice 26
Parmi les six fractions ci-dessous, quelles sont celles qui représentent un nombre décimal ?
Pour les autres, tu donneras la troncature au centième du nombre représenté.
a)
7
4
b)
2
3
c)
3
2
d)
11
12
e)
7
2

Séance 5
Je redécouvre la notion de fraction – suite –
Avant d’effectuer l’exercice ci-dessous, nous allons découvrir un nouveau symbole, qui se lit
« est environ égal à » et qui se note « ≈ ». Ce symbole veut dire « est à peu près égal à » et il se
note « ≈ ».
Utilisons-le sur un exemple : on a vu que
2
3
avait pour arrondi au millième 0,667. On peut donc
dire que
2
3
est à peu près égal à 0,667 et on note : 2
3
≈ 0 667, .
Comme
2
3
a pour arrondi au centième 0,67 , on peut aussi écrire : 2
3
≈ 0 67, .
Effectue maintenant les quatre exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 27
Sans utiliser la calculatrice, complète par le signe « = » ou « ≈ » :
a)
27
5
......... 5,4 b)
41
6
......... 6,833
c)
31
8
......... 3,875 d) 22
7
......... 3,142 85
Exercice 28
Dans chaque cas, écris sous chacun des points A, B et C son abscisse sous forme de
fraction.
1-
1 20
A B C
2-
1 2 30
A B C
Exercice 29
Place sur la demi-droite ci-dessous :
a) A d’abscisse
2
3
b) B d’abscisse
7
3
c) C d’abscisse
9
3
d) D d’abscisse 14
3
0 1 2 3 4 5

Exercice 30
Place les nombres suivants sur la demi-droite graduée ci-dessous :
a) 2
1
3
+ b) 4
2
3
− c) 4
2
3
+
2 3 4
Nous allons maintenant voir dans les deux exercices ci-dessous une méthode qui te permettra de
placer plus rapidement et plus facilement des fractions sur des demi-droites graduées.
Exercice 31
« Sept quarts, c’est quatre quarts plus trois quarts »
Ainsi : 7
4
4
4
3
4
1
3
4
= + = +
1
7
4
20 3
4
Sur le même modèle, écris les fractions suivantes puis place-les sur les demi-droites :
6
5
...................................................................
0 1
5
4
...................................................................
0 1 2
11
6
...................................................................
0 1 2
10
7
...................................................................
0 1
Exercice 32
19
7
14
7
5
7
2
5
7
= + = +
plus grand multiple
de 7 inférieur à 19

Voici un exemple :
On peut donc écrire
19
7
sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite
que 1.
Sur le même modèle, écris les fractions suivantes :
18
5
...................................................................
35
4
...................................................................
31
14
...................................................................

Effectue pour finir cette séance l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 33
Place sur la demi-droite graduée ci-dessous les points A, B, C, D et E d’abscisses respectives
3
2
,
3
4
,
5
8
,
29
8
et
11
4
.
0 1 2 3 4
Séance 6
J’étudie les fractions égales
Exercice 34
1- Écris sous chaque point des cinq demi-droites graduées la fraction correspondante.
Le document se trouve page suivant.
2- a) À l’aide des demi-droites graduées, complète :

1
2 3 4 5 10
= = = = =
....... ....... ....... ....... .......

2
2 3 4 5 10
= = = = =
....... ....... ....... ....... .......

3
2 3 4 5 10
= = = = =
....... ....... ....... ....... .......
b) À l’aide des demi-droites graduées, complète :
3
2 4
=
....... 3
2 10
=
....... 6
5 10
=
.......
c) D’après la question précédente, il semble que :
« Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même nombre,
............................................................................................................................... »

1230
0
0
0
0
0

e retiens
ÉCRITURES FRACTIONNNAIRES ÉGALES
Propriétés : exemple :
• Lorsqu’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une
105
3
=
x 2
x 2
6
écriture fractionnaire par un même nombre non nul,
on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.
exemple :
• Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur d’une
39
12
=
÷ 3
÷ 3
4
écriture fractionnaire par un même nombre non nul,
on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.
j
Exercice 35
Recopie et complète :
a)

105
16
=
b)
15
4
3
=
c)
12
217
=
d)
8
16
2
=
e)

333
5
=
f)
24
6
4
=
g)
16
7
8
=
h)
39
262
=
Exercice 36
a)
7
5 15
14
20
42
= = = =
.......
.......
.......
.......
b) 30
9 3 6
60
12
= = = =
....... .......
.......
.......
c) 20
12
40
6 30
25
= = = =
.......
....... .......
.......

Exercice 37
a) Écris la fraction égale à
7
2
dont le dénominateur est 10.
b) Écris la fraction égale à
9
4
dont le dénominateur est 100.
c) Existe-t-il une fraction égale à
7
8
dont le dénominateur est 1 000 ?
d) Existe-t-il une fraction égale à
11
3
dont le dénominateur est 10 ?
e retiens
SIMPLIFIER UNE FRACTION
Définition : simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale qui s’écrit avec
un numérateur et un dénominateur plus petits.
Exemple : 15
18
5
6
3
3
=
×
×
=
5
6
On dit que l’on a simplifié par 3.
j
Exercice 38
Simplifie les fractions suivantes :
a)
6
4
b)
102
87
c)
15
40
d)
8
12
e)
108
45
Simplifier la fraction
30
421e
méthode :
• On cherche un entier qui divise 30 et 42.
On utilise le critère de divisibilité par 3 : la somme des chiffres de 30 et 42 est divisible par 3.
30
42
10
14
10
14
3
3
=
×
×
=
• On cherche à simplifier de nouveau la fraction 10
14
.
On utilise le critère de divisibilité par 2 : 10 et 14 sont pairs.
10
14
5
7
5
7
2
2
=
×
×
=
• On ne peut plus simplifier de nouveau
5
7
. On peut donc conclure : 30
42
5
7
=
Remarques :
• On pouvait également simplifier directement la fraction de la façon suivante :
30
42
5
7
5
7
6
6
=
×
×
=
• Lorsqu’on simplifie une fraction, on doit essayer d’obtenir une fraction égale
dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles.

Exercice 39
Simplifie les fractions suivantes autant que tu le peux :
a)
42
66
b)
30
165
c)
315
90
d)
210
36
Séance 7
J’étudie les fractions égales – suite –
Exercice 40
Écris les nombres suivants sous forme de fraction simplifiée :
a) 0,4 b) 0,24 c) 1,3 d) 0,42
Exercice 41
Parmi les nombres suivants, un seul n’est pas égal aux autres. Lequel ?
a)
27
45
b) 0,6 c)
3
5
d)
12
20
e)
36
33
f)
6
10
Exercice 42
Complète :
a)
3 2
1 7 17
,
,
.......
= b)
26
3 85 385,
.......
= c) 0 05
1 006 1006
,
,
.......
=
d)
6 07
4 1
60 7,
,
,
.......
= e)
3
0 06
300
, .......
= f)
0 001
0 27 27
,
,
.......
=
Exercice 43
Parmi les écritures fractionnaires ci-dessous, lesquelles ne sont pas des fractions ?
Détermine pour chacune d’elles une fraction qui lui est égale.
a)
2
3 6,
b)
2 12
2
,
c)
3
4
d)
4 1
3
,
e)
0 06
12
,

Exercice 44
Écris chaque écriture fractionnaire ci-dessous sous forme de fraction et simplifie-la
au maximum.
a)
1 5
10 5
,
,
b)
1 35
0 27
,
,
c)
4 5
9 9
,
,
d)
8 4
4 8
,
,
e)
5 2
0 4
,
,
Séance 8
Je calcule une fraction d’un nombre
Exercice 45 Maxence, un garçon équitable — fin —
1- Maxence partage son gâteau d’anniversaire en 4 parts égales. Lui et ses deux amis Léo et
Amaury mangent chacun une part. Le gâteau pèse 800 g. On veut déterminer quelle masse
de gâteau Maxence et ses deux amis ont mangée.
a) Maxence effectue le raisonnement suivant :
800
4
=.................... donc une part de gâteau pèse ...................... g.
Trois parts de gâteau pèsent donc ......... x ......... soit ..................... g.
Il trouve 600 g.
Il a donc effectué : 3 x ( 800 ÷ 4 )
b) Léo ne procède de la même façon. Voici comment il procède :
Maxence et ses deux amis ont mangé les trois quarts du gâteau de 800 g.
Par définition, trois quarts de 800, c’est :
3
4
800×
Trois quarts est un quotient. Il s’écrit 3 ÷ 4. 3 ÷ 4 = 0,75.
Trois quarts de 800, c’est donc : 0,75 x 800. 0,75 x 800 = 600.
L’ami de Maxence trouve également 600 g.
Il a en fait effectué : (....... ÷ ....... ) x .......
Retiens :
4
3 800x
800trois quarts de
Prendre les trois quarts de 800, c’est calculer
3
4
800× .
c) Amaury procède encore différemment :
1 2
4
3
3 gâteaux
À l’aide d’un schéma, il montre que prendre les trois
quarts de 800 g, c’est prendre le quart de (3 x 800 g).
Il effectue : 3 x 800 = 2 400 puis 2 400 : 4 = 600.
L’autre ami de Maxence retrouve également 600 g.
Il a en fait effectué : (....... x ....... ) ÷ .......

2- Applique ces trois méthodes pour calculer les deux cinquièmes de 600 g.
On cherche à calculer .......
.......
.......× .
• Méthode de Maxence :
..................................................................................................................................
• Méthode de Léo :
..................................................................................................................................
• Méthode d’Amaury :
..................................................................................................................................
e retiens
FRACTION D’UN NOMBRE
Définition : calculer une fraction d’un nombre, c’est multiplier la fraction par
le nombre.
Exemple : deux cinquièmes de 600 s’écrit :
2
5
600× .
j
Exercice 46
Trois quarts de 733 s’écrit : ...............................
Onze tiers de 408 s’écrit : ..................................
1
10
950× s’écrit en toutes lettres : ............................... .........................................................
13
12
27× s’écrit en toutes lettres : ............................... ...........................................................
e retiens
Propriété : trois méthodes permettent de calculer
3
4
16× :
1e
méthode (Léo) 2e
méthode (Amaury) 3e
méthode (Maxence)
On divise 3 par 4
puis on multiplie par 16
(3 ÷ 4) x 16 = 0,75 x 16 = 12
On multiplie 3 par 16
puis on divise par 4.
(3 x 16) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12
On divise 16 par 4. On multip-
plie 3 par le résultat obtenu.
3 x (16 ÷ 4) = 3 x 4 = 12
j

Exercice 47
Calcule : a)
5
4
24× b) 6
10
50× c) 2
5
30× d)
28
4
5×
Exercice 48
Calcule : a)
2 6
2
10
,
× b)
1
3
12× c)
3
7
35×
Calculer en utilisant la meilleure méthode 35
11
7
×
35
11
7
× s’écrit également
11
7
35× .
1e
méthode 2e
méthode 3e
méthode
Calculer
11
7
n’est pas
intéressant car
11
7
n’est
pas un nombre décimal.
Calculer 11 x 35 puis
diviser par 7 est possible
mais complexe, alors que
l’on voit que 35 est divisible
par 7, c’est-à-dire que la
3e
méthode va être adaptée.
11 x (35 ÷ 7) = 11 x 5 = 55
La 3e
méthode est la
meilleure.
Exercice 49
Calcule de tête :
a)
3
7
14× b)
8
5
15× c) 6
11
2
× d) 0 09
100
3
, ×
Exercice 50
Calcule à l’aide de la meilleure méthode :
a)
2
3
18× b)
28
7
3 5× , c) 8 000
0 001
2
×
,
d)
11
7
28×

Exprimer sous la forme d’une fraction
5
6
4× puis, à l’aide de la calculatrice, donner
l’arrondi au centième du résultat.
1- Je constate que les divisions de 5 par 6 et de 4 par 6 ne « s’arrêtent jamais ».
Je ne peux donc pas utiliser les méthodes 1 et 3. J’utilise donc la méthode 2.
2- Une fois obtenue la fraction
5 4
6
×
, je ne me précipite pas sur les calculs.
Je regarde si je peux simplifier la fraction.

5
6
× 4 =
5×4
6
=
5×2 × 2
2×3
=
10
3
on a simplifié par 2
10
3
3 33≈ , donc 5
6
4 333× ≈ ,
Exercice 51
Exprime sous la forme d’une fraction puis, à l’aide de la calculatrice, donne l’arrondi au
centième des expressions ci-dessous :
a)
2
33
21× b)
5
21
28× c) 3 6
10
7
, ×
Séance 9
Je calcule la fraction d’un nombre – suite –
Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 52
Un cycliste parcourt les deux septièmes d’un parcourt de 280 km. Il s’arrête pour déjeuner.
Quelle distance lui reste-t-il à parcourir ?
Exercice 53
La superficie de la France est 552 000 km2
. La superficie de la Corse représente
les 15,5 millièmes de la superficie de la France. Quelle est la superficie de la Corse ?
Tu n’utiliseras ta calculatrice que pour effectuer une multiplication.

Exercice 54
Romain a 42 € en poche et va s’acheter diverses choses...
1- Il commence par acheter un ballon de football. Il dépense alors les deux tiers de son
argent
a) Quelle somme a-t-il dépensée ?
b) Quelle somme lui reste-t-il ?
2- Romain dépense ensuite trois septièmes de l’argent qui lui reste : il achète un livre de
poche.
a) Quelle somme a-t-il dépensée lors de son deuxième achat ?
b) Quelle somme lui reste-t-il après ses deux premiers achats ?

je m’évalue
1- le quotient de 42 par 7 est :
® 6
® 8
® 7
® 42
2- Le quotient 342 ÷ 50 est égal à :
® 6,83
® 6
® 8,64
® 6,84
3- La fraction 58
9
:
® est un nombre décimal ?
® n’est pas un nombre décimal ?
4- L’écriture fractionnaire 8 2
5
, est égale à :
® 1,5
® 1,61
® 1,64
® 1,642
5- La fraction
17
12
s’écrit également :
® 12
5
12
+
® 5
1
12
+
® 1
5
12
+
® 17
1
12
+
6- La fraction
68
7
® 9
5
7
+
® 9
4
7
+
® 9
3
7
+
® 9
6
7
+
7- La fraction
4
3
®
8
6
® 8
3

®
12
9
®
20
15
8- L’écriture fractionnaire
2 6
4 2
,
,
s’écrit
également :
®
13
21
®
84
52
® 52
84
®
26
42
9- L’expression
7 4
2
10
,
× est égale à
® 30
® 27
® 28
® 37
10- L’arrondi au centième de six septièmes
de 26 est
® 22,29
® 22,28
® 22,3
® 22

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Je redécouvre la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Je raisonne dans des situations de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Je raisonne dans des situations de proportionnalité - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Je raisonne dans des situations de proportionnalité - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Je découvre la notion d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Je découvre la notion d’échelle - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
J’applique un taux de pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
J’applique un taux de pourcentage - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301









©Cned-2009
Objectifs
 être capable de déterminer si une situation est une situation de proportionnalité.
 Savoir raisonner dans des situations de proportionnalité.
 Maîtriser la notion d’échelle.
 Savoir appliquer un taux de pourcentage.


Séance 1
Je redécouvre la proportionnalité
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 9. Prends une
nouvelle page de ton cahier de cours et écris en rouge le numéro et le titre de la séquence :
« SÉQUENCE 9 : PROPORTIONNALITÉ ». Fais de même avec ton cahier d’exercices.
1- Dans la recette d’un cocktail de fruit,
il est noté que pour
50 ml de jus d’orange,
il faut 25 ml
de jus d’ananas.
Dans un grand verre,
on a déjà versé 150 ml
de jus d’orange.
Pour respecter la recette,
il faut verser :
® 25 ml de jus d’ananas
2- Une voiture roule à la vitesse de
110 km par heure. En quatre heures,
elle aura parcouru :
® 400 km
® 330 km
® 310 km
® 440 km
3- 10 avions en papier pèsent 45 g.
Combien pèse un avion en papier ?
® 10 fois moins
® 3 g
® 15 g
® 4,5 g
4- Un magasin propose 30 % de réduction
sur un parapluie qui coûte 20 €.
Cela représente
une réduction de :
® 6 €
® 30 €
® 60 €
® 5 €

Exercice 1 La proportionalité … au quotidien
Recopie et complète les phrases suivantes :
• Une semaine est constituée de .............. jours, donc
• dans 4 semaines, il y a ............................ jours,
• dans 11 semaines, il y a ........................... jours,
• dans 52 semaines, il y a ........................... jours.
• Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés, donc
• 2 octogones possèdent au total ........................... côtés,
• 3 octogones possèdent au total ........................... côtés,
• 50 octogones possèdent au total ........................... côtés.
• Une glace coûte 1,5 €, donc
• 2 glaces coûtent donc .............. euros,
• 3 glaces coûtent donc .............. euros,
• 4 glaces coûtent .............. euros.
e retiens
PROPORTIONNALITÉ
Définition : Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs
d’une autre grandeur par un même nombre, alors on dit que les deux grandeurs
sont proportionnelles.
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l’on a une situation de
proportionnalité.
j
Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous (ne recopie pas les quatre illustrations).
e retiens
Exemple : Dans un magasin, tous les crayons sont à 1,3 €.
Le nombre de crayons achetés et le prix total sont des grandeurs proportionnelles.
1 crayon coûte : 1,3 �
3 crayons coûtent :
3 x 1,3 = 3,9 soit 3,9 �
2 x 1,3 = 2,6 soit 2,6 �
28 x 1,3 = 36,4 soit 36,4 �
On a donc une situation de proportionnalité.
On peut la représenter par le tableau :
prix total (en � ) 2,6 3,9 36,41,3
2 3 281nombre de crayons
x 1,3
j

Prends ton cahier d’exercices et effectue maintenant les trois exercices suivants :
Exercice 2

Un litre de peinture d’une certaine marque pèse 2,4 kg.
1- Combien pèsent 5 l ? 12 l ?
2- Une personne possède un bac rempli de 24 kg de cette peinture.
Combien de litres cela représente-t-il ?
Exercice 3
Deux clients arrivent dans une station essence dans laquelle un litre de carburant coûte
1,25 €.
1- Le premier client achète 30 l de carburant. Quelle somme va-t-il payer ?
2- Le deuxième client achète 46,6 l. Quelle somme va-t-il payer ?
Exercice 4 La proportionalité … méfions-nous !
Étudions la taille de Monsieur Grandbonhomme à différents moments de sa vie :
à 1 an : 80 cm
à 5 ans : 100 cm
à 10 ans : 138 cm
à 50 ans : 175 cm
Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Rédige minutieusement ta réponse.
e retiens
Remarque
Il existe de nombreuses situations qui ne sont pas des situations de proportionnalité
(on dit encore que ce sont des situations de non proportionnalité).
Par exemple, le poids ou la taille d’une personne à différents âges ne sont pas, en
général, des situations de proportionnalité.
j
Prends ton cahier d’exercices et effectue maintenant l’exercice ci-après.

Exercice 5
1
2
3
4
5
6
On a indiqué dans le tableau ci-dessous,
pour trois triangles équilatéraux :
• la mesure de chacun de ses côtés
• le périmètre (c’est-à-dire la longueur de son contour).
triangle 1 triangle 2 triangle 3
côté du triangle équilatéral
(en cm)
2 4 5,1 c
périmètre du triangle équilatéral
(en cm)
6 12 15,3 c x 3
Que peut-on dire des deux grandeurs « côté » et « périmètre » d’un triangle équilatéral ?
Justifie
Lis attentivement ce qui suit.
Prouver que deux grandeurs sont proportionnelles
Voici la distance parcourue par un scooter sur une piste :
distance parcourue (en m) 30 1,5 405
6 0,3 81temps (en s)
la distance parcourue par le scooter et le temps sont-elles des grandeurs proportionnels ?
5 = 1 x 5 30 = 6 x 5 1,5= 0,3 x 5 40 = 8 x 5
La distance parcourue en 1 s, 6 s , 0,3 s et 8 s s’obtient en multipliant la valeur du
temps par 5. La distance parcourue par le scooter et le temps sont donc des grandeurs
proportionnelles.
Les commentaires du professeur :
On a utilisé la définition de deux grandeurs proportionnelles :
Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en multipliant les valeurs d’une autre grandeur par un
même nombre, alors on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles.
Séance 2
Je raisonne dans des situations de proportionnalité
Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices :
Exercice 6
Chez un marchand de tissus, 3 mètres de ruban coûtent 10,5 euros.
1- Combien coûtent 6 m, 12 m et 15 m de ruban ?
2- Combien coûtent 1 m, 1,5 m, 0,3 m ?

e retiens
Méthode 1 : « la méthode de la multiplication et de la division »
Une fabrique vend du café.
prix du café (en �) 50,5
20020masse du paquet (en g)
x 10
x 10
20 g coûtent 0,5 € et le prix de ce café
est proportionnel à la masse achetée .
Calculons le prix de 200 g de café :
Le prix de 20 g de café est 0,5 €.
Comme 200 = 10 x 20, le prix de 200 g
de café est 10 x 0,5 soit 5 €.
Calculons le prix de 2 g de café :
prix du café (en �) 0,050,5
220masse du paquet (en g)
10
10
÷
÷
Le prix de 20 g de café est 0,5 €.
Comme 2 = 20 ÷ 10, le prix de 2 g
de café est 0,5 ÷ 10 soit 0,05 €.
j
Exercice 7
6 kg de charbon de bois de la marque « çabrûle » coûtent 4 €.
1- Combien coûtent 18 kg de charbon de bois ? 24 kg ? 3 kg ?
2- Une personne a acheté du charbon de bois pour une valeur de 20 €, une deuxième pour
une valeur de 22 €. Quelle masse de charbon ont-elles achetée ?
e retiens
Méthode 2 : « la méthode de l’addition »
Calculons le prix de 220 g de café.
prix du café (en �) 50,5 5,5
20020 220masse du paquet (en g)
+
+
Le prix de 20 g de café est 0,5 €,
le prix de 200 g de café est 5 €,
le prix de 220 g (20 g + 200 g) est
donc 0,5 + 5 soit 5,5 €.
j
Prends ton cahier d’exercices et effectue les trois exercices ci-après.

Exercice 8
Chez le fleuriste M. Héliotrope, 20 roses coûtent 13,6 €.
Combien coûtent 5 roses ? 25 roses ? 45 roses ?
Exercice 9
Le robinet d’une baignoire d’une salle de bain coule avec un débit de 5 litres
toutes les 3 minutes.
Combien de litres d’eau coulent en 1 heure ? en une demi-heure ? en 1 heure et 3 minutes ?
Exercice 10
Un motard roule à 120 km par heure sur une autoroute.
1- Combien de km le motard a-t-il parcourus au bout d’une demi-heure ?
d’un quart d’heure ? de trois quarts d’heure ?
2- En combien de temps parcourt-il 150 km ? 15 km ? Tu donneras le deuxième temps en
minutes et en secondes.
Séance 3
Je raisonne dans des situations de proportionnalité — suite —
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous :
Exercice 11
7 litres d’un soda coûtent 8,05 €.
1- Combien coûte 1 L de soda ?
2- Quel est le prix de 13 L de soda ? de 27 L de soda ?
e retiens
Méthode 3 : « le retour à l’unité »
Calculons le prix de 123,12 g de café.
Son principe est simple : elle consisteà calculer le prix d’1 g de café.
Il suffira ensuite de multiplier ce prix « à l’unité » par le nombre de grammes de café
pour obtenir le prix.
prix du café (en �) 3,0780,025
123,121masse du paquet (en g)
x0,025
Le prix de 20 g de café est 0,5 €,
donc 1 g coûte 0,5 : 20 soit 0,025 €.
Si l’on veut alors calculer le prix de
123,12 g de café, on effectue 123,12 x 0,025.
On trouve 3,078 €. 800 g de ce café coûtent donc 3,078 €, soit environ 3,08 €
(arrondi au centième).
Remarque : Le prix de l’unité (ici 0,025) est appelé « coefficient de proportionnalité ».
j

Effectue les quatre exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
Exercice 12
L’eau minérale contenue dans les 6 bouteilles de 1,5 litre d’un pack contient au total
4,32 grammes de calcium.
1- Quelle masse de calcium (en g) est présente dans un litre de cette eau ?
2- Quelle masse de calcium y a-t-il dans 15 L de cette eau ? dans 25 L ?
3- Dans quel volume d’eau (en L) y a-t-il 4,992 g de calcium ?
Exercice 13 La proportionalité … au service du consommateur !
Comparons les prix de deux barils de lessive :
Marque « kips » : 2,50 € le paquet de 4 kg.
Marque « erial » : 2,79 € le paquet de 4,5 kg.
Quelle est la marque la moins chère ?
Exercice 14
Une machine industrielle produit de façon constante 44 kg de crème glacée en 25 minutes.
1- Combien produit-elle de crème glacée en 1 min ?
2- Combien produit-elle de crème glacée en 32 min ? en 3 heures 27 min ?
3- Quel temps met-elle pour produire 172,48 kg de crème glacée ? 227,04 kg ?
Exercice 15
5 timbres coûtent 1,8 euro.
1- Combien coûtent 11 timbres ? 17 timbres ? 33 timbres ?
2- Combien de timbres peut-on acheter avec 2,52 euros ?
Séance 4
Je raisonne dans des situations de proportionnalité — suite —
Prends ton cahier d’exercices et effectue les cinq exercices ci-dessous :
Exercice 16 La proportionalité … vérifions !
Peut-on dire que la situation définie par le tableau ci-dessous est une situation de
proportionnalité ?
nombre de photographies développées 12 24 36
prix ( en €) 1,8 3,6 4,6

Exercice 17
Quand Budan avait 4 ans, Julie avait 30 ans. Quel âge aura Budan quand Julie aura 60 ans ?
Exercice 18
Le pied et le pouce sont des unités anglaises de longueur. Un pied vaut exactement
30,48 cm. Dans un pied, il y a 12 pouces.
1- À quelles longueurs (exprimées en cm) correspondent 17 pouces ? 19 pouces ?
21 pouces ? (qui sont les longueurs des diagonales des écrans d’ordinateurs les plus
courants)
2- Sans effectuer aucune multiplication, calcule à quelles longueurs en cm correspondent
36 pouces puis 40 pouces.
3- Quelle longueur, exprimée en pouces, est égale à 69,85 cm ?
Exercice 19
Arnaud a acheté un nouveau téléphone portable. Son forfait se paie au mois et lui donne
droit à 2 heures de communication (par mois). 7 mois de communication lui coûtent 115 €.
Combien coûtent 13 mois de communications ? 9 mois ?
Tu donneras des valeurs exactes puis des valeurs arrondies au dixième d’euro près.
Exercice 20
Une entreprise fabrique et vend du lait de coco (c’est le jus de la noix de coco).
Il faut 21 noix de coco pour obtenir 5 litres de lait de coco.
1- Combien de litres de lait de coco peut-on produire avec 13 noix de coco ?
2- Combien faut-il de noix de coco pour obtenir 16 L de lait de coco ?
Tu donneras des valeurs exactes puis des valeurs arrondies au dixième près.

Séance 5
Je découvre la notion d’échelle
Exercice 21
Afin de bien réfléchir au nouvel aménagement de sa salle de séjour, Steeven décide de faire
un plan de sa pièce. Pour commencer, il prend différentes mesures qu’il reporte sur un
schéma à main levée :
6,35 m
3,55 m
3,25 m
5,45 m
Steeven veut lui-même tracer un plan définitif très précis. Il décide que sur le plan définitif,
les dimensions en cm seront 50 fois plus petites que dans la réalité.
1- Afin d’aider Steeven à faire son plan, recopie et complète le tableau ci-dessous
(si possible sans utiliser la calculatrice et sans poser de calcul) :
distance réelle en cm .............. .............. .............. ..............
50÷
distance sur plan en cm .............. .............. .............. ..............
545 50
545
545÷ = = ×
.......
.......
.......
Diviser un nombre par 50 revient à le multiplier par
.......
.......
.
3- a) Les distances sur le plan de Steeven sont-elles proportionnelles aux distances réelles ?
Si oui, quel est le coefficient de proportionnalité ?
b) Quelle distance réelle représente 1 cm sur le plan ?
4- Fais le plan de la salle de séjour de Steeven.
5- Steeven a calculé qu’il devra tracer un cercle de 1,2 cm de rayon pour représenter sur son
plan sa table circulaire. Quel est le diamètre en m de la table dans la réalité ?
(ne reproduis pas le schéma).

e retiens
NOTION D’ÉCHELLE
Définition : lorsque les distances sur un plan sont proportionnelles aux distances
réelles, on dit que le plan est « à l’échelle ».
Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux
distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s’appelle l’échelle du plan.
Sur un plan à l’échelle
1
4
, les distances sont représentées 4 fois plus petites que dans
la réalité.
1 cm représente donc 4 cm.
plan à l'échelleréalité 1
4
j
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
Exercice 22
Une carte est à l’échelle
1
40000
.
a) Qu’est-ce que cela signifie ?
b) Sur cette carte, le village de Belvu et celui de Pentu sont distants de 7 cm.
Quelle est la distance réelle en km qui sépare les deux villages ?
c) À vol d’oiseau, il y a 5,2 km entre Toitu et Lunavrac.
Quelle distance sépare ces deux villes sur la carte ?
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Tu feras cependant la construction
géométrique demandée sur ton livret.

Exercice 23
C
G
L
G : gare C : collège L : lycée
Voici un plan du centre d’une ville
à l’échelle
1
8 000
.
1- Quelle est la distance réelle
entre la gare et le collège ?
entre la gare et le lycée ?
2- La piscine P se trouve à 200 m
du collège et à 552 m du lycée.
a) Sur le plan, à quelle
distance se trouve-t-elle
du collège ? du lycée ?
b) Place P sur le plan,
sachant qu’elle est
plus près de la gare que le collège.
Exercice 24
Sur une carte, on peut voir la légende suivante :
0 32 km
a) Quelle distance réelle est représentée par 1 cm sur cette carte ?
b) Quelle est l’échelle de cette carte ?
c) Quelle distance réelle en km sépare deux localités distantes sur le plan de 6 cm ?
de 3,7 cm ?
d) Combien de centimètres sur la carte séparent deux villes distantes de 40 km ? de 74 km ?
Exercice 25
Prêts à partir en promenade, Hervé et Christel hésitent entre deux cartes : l’une au
1
20000
,
l’autre au
1
30000
. Ils souhaitent emporter la plus détaillée. Laquelle doivent-ils prendre ?
Exercice 26
Le dessin ci-contre représente une figure à l’échelle
1
2
.
Dessine sur du papier à petits carreaux la figure en dimensions
réelles.

Séance 6
Je découvre la notion d’échelle — suite —
Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-dessous.
Exercice 27
Une paramécie est un minuscule animal unicellulaire.
La figure ci-contre représente une paramécie vue au travers
d’un microscope qui grossit 210 fois.
Détermine une valeur approchée de la longueur réelle de la paramécie
(Ne prends pas en compte la longueur des cils).
Exercice 28
Représente la figure ci-contre à l’échelle 3 sur du papier à petits
carreaux.
Exercice 29
Reproduis chacune de ces figures à l’échelle 1,5.
a) b)

A
B
C
DE
55° 55°
3 cm

A OB C D
AB = 1,2 cm BO = 2 cm

Exercice 30

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
π
•
St Denis
La Possession
St Paul
St Gilles
St Louis
St Pierre
St Joseph
Cilaos
Salazie
Ste Rose
St Benoît
St André
Piton de
la Fournaise
0 40 km
longueur ?
largeur ?
Dans cet exercice, tu effectueras
toutes tes mesures sur la carte en mm.
N’oublie pas que 1 cm = 10 mm.
1- Voici une carte de l’île de la Réunion
(une île française située à l’Est de l’Afrique) :
Détermine la largeur et la longueur
de l’île en km (arrondis tes résultats à l’unité).
2- Fais le même travail que précédemment pour la carte de la Corse, ci-dessous.
•
•
•
•
•
Bastia
Calvi
Corte
Ajaccio
Sartène
0 50 100 150
kilomètres
longueur ?
largeur ?
3- Laquelle des deux îles est la plus grande ?

Exercice 31
Voici une méthode pour agrandir un personnage.
• Voici le personnage : • On place le personnage sur un quadrillage :
• On prend un quadrillage à mailles plus grandes. Reproduis le personnage en t’aidant au
maximum de repères pris sur le premier quadrillage. Colorie ton personnage à ta guise.

Séance 7
J’applique un taux de pourcentage
Exercice 32 La proportionalité … et les pourcentages.
Sur l’emballage d’un petit pot de compote, on peut lire l’indication suivante :
« contient 45 % de pomme ».
a) Quelle est la masse de pommes contenue dans 100 g de cette compote ? dans 1 g ?
dans 20 g ? dans 40 g ?
b) Regroupe les données précédentes dans un tableau comme celui ci-dessous :
.....
100
masse de pomme (en g)
masse de compote (en g)
c) Par quel nombre multiplie-t-on la masse de pommes en g pour obtenir la masse de
compote obtenue en g ? Exprime ensuite ce nombre sous la forme d’une fraction dont le
dénominateur est 100.
e retiens
NOTION DE POURCENTAGE
La phrase : « 80 % des élèves du collège Marcel Pagnol sont demi-pensionnaires »
signifie que sur 100 élèves du collège, 80 élèves sont demi-pensionnaires ».
Le symbole % se lit « pour cent ».
80 % s’écrit sous forme fractionnaire
80
100
et sous forme décimale 0,8.
Ce collège comporte au total 260 élèves.
On peut calculer le nombre d’élèves demi-pensionnaires de la façon suivante :
80
260100
nombre d'élèves demi-pensionnaires
nombre d'élèves
x
100
80
260 = 0,8 x 260 = 208
100
80 x
j
Exercice 33
L’eau de mer contient 3 % de sel.
a) Quelle masse de sel (en g) y a-t-il dans 100 g d’eau de mer ?
b) Quelle masse de sel (en g) y a-t-il dans 17 g d’eau de mer ?

e retiens
Calculer un pourcentage d’un nombre.
Pour calculer 3 % d’un nombre, on multiplie
3
100
par ce nombre.
j
Calculer 20 % de 80 kg
1- Je traduis cette phrase :
Prendre 20 % de 80,
c’est calculer :
20
100
80×
2- Je multiplie la fraction par
le nombre :
20
100
80 0 2 80 16× = × =,
3- Je conclus :
20 % de 80 kg
représentent 16 kg.
Prends ton cahier d’exercices et effectue les 5 exercices ci-dessous.
Exercice 34
a) Calculer 16 % de 70 L. b) Calculer 84 % de 350 g. c) Calculer 160 % de 20 €.
Exercice 35
Exprimer sous forme de pourcentage :
a)
1
10
b)
3
10
c)
1
5
d)
1
4
Exercice 36
a)
7
20
b)
31
50
c)
38
40
d)
7
1000
Exercice 37
a) 0,2 b) 0,56 c) 0,07 d) 9

Exercice 38
a) Simplifie
50
100
puis recopie et complète :
Pour prendre 50 % d’un nombre, on divise ce nombre ..................................... .
b) Simplifie
25
100
Pour prendre 25 % d’un nombre, on divise ce nombre ..................................... .
c) Simplifie
10
100
Pour prendre 10 % d’un nombre, on divise ce nombre ...................................... .
Séance 8
J’applique un taux de pourcentage — suite —
Exercice 39
Construis trois disques de rayon 3 cm.
Sachant que l’angle qui correspond à un tour complet mesure 360°,
180°
180°
(180° + 180°) colorie dans chaque cas à l’aide de ton rapporteur :
a) 25 % du disque
b) 20 % du disque
c) 30 % du disque
Toujours sur ton cahier d’exercices, mais sans effectuer aucun calcul écrit, effectue les deux
exercices ci-dessous.
Exercice 40
Calculer mentalement :
a) 25 % de 400 b) 50 % de 70 c) 50 % de 0,62 d) 25 % de 42
e) 10 % de 20 f) 50 % de 3,2 g) 75 % de 160 h) 75 % de 32

Exercice 41
Calculer mentalement :
a) 125 % de 20 b) 150 % de 26 c) 110 % de 84 d) 200 % de 0,74
Effectue les exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices à l’aide de ta calculatrice.
Exercice 42
Arthur possède un disque dur de 200 Go (giga octets) rempli à 66 %.
Quelle mémoire libre lui reste-t-il sur ce disque ? Tu proposeras deux méthodes de calcul.
Exercice 43
Un magasin propose une réduction de 20 % sur les chemises et de 30 % sur les pulls.
Tom achète une chemise à 17,50 € et deux pulls à 21 € chacun (sans compter les
réductions).
Combien Tom va-t-il réellement payer au total ?
Exercice 44
Le hamburger très célèbre pèse 140 g. Il est constitué, en autres, de 26 % de protides
(protéines ...), 25,8 % de lipides (les graisses), 43,8 % de glucides (les sucres).
Calcule successivement la masse de protides, de lipides et de glucides contenue dans
ce hamburger.

Séance 9
Prends ton cahier d’exercices et effectue les quatre exercices ci-après.
Exercice 45
Les « bateaux mouches » parisiens sont des bateaux qui permettent de faire des promenades
sur la Seine et de voir des monuments parisiens. Ces bateaux sont souvent remplis de
touristes ; voici les différentes nationalités des touristes sur un de ces bateaux qui contient
200 personnes :
nationalité nombre
Italiens 46
Japonais 65
Anglais 28
Allemand 44
Français 17
1- Recopie et complète : 46
200
=
......
100
65
200
=
......
100
28
200
=
......
100

44
200
=
......
100

17
200
=
......
100
.
2- Quels sont les pourcentages d’Italiens, de Japonais, d’Anglais, d’Allemands et de Français
présents sur ce bateau ?
Exercice 46
Parmi les 25 enfants d’un centre aéré, il y a 10 filles.
1- Recopie et complète : 10
25
=
......
100
.
Quel est le pourcentage de filles dans le centre aéré ?
2- À l’aide d’une soustraction, détermine le pourcentage de garçons dans le centre aéré.

Exercice 47
La phrase : « le prix de cette voiture a augmenté de 10 % cette année » signifie que le
nouveau prix de la voiture est égal au prix de l’année dernière plus 10 % du prix de l’année
dernière.
a) Le prix d’une voiture A qui coûtait 12 000 € a augmenté de 10 %.
b) Le prix d’une voiture B qui coûtait 12 500 € a augmenté de 5 %.
Parmi les deux voitures, laquelle est la moins chère actuellement ?
Exercice 48
Un ordinateur portable coûtait 800 € il y a deux mois. Son prix a alors baissé de 5 %.
Le mois dernier son prix a cette fois augmenté de 5 %.
Quel est son prix aujourd’hui ? Attention, il y a un piège !

je m’évalue
1- Un litre et demi de soda coûte 0,60 €.
Combien coûtent 6 litres ?
® 2 €
® 3,6 €
® 2,6 €
® 2,4 €
2- Une longueur de 6 cm de fil d’or pèse
3,45 g. Combien pèsent 2 cm de ce fil
d’or ?
® 6,9 g
® 3,45 g
® 1,15 g
® 12 g
3- Un lot de 8 ballons de volley-ball pèse
1,4 kg. Trois ballons pèsent donc :
® 0,5 kg
® 0,525 kg
® 0,8 kg
® 5,7 kg
4- 5 kg de poires coûtent 11 € .
7 kg de poires coûtent :
®
77
5
€
®
5
77
€
® 15,4 €
® 7,5 €
5- La situation décrite par le tableau est-
elle une situation de proportionnalité ?
temps (en s) 3 5 10
distance (en m) 16,5 27,25 55
® OUI
® NON
6- La situation décrite par le tableau est-elle
une situation de proportionnalité ?
nombre 2 8 0,5
prix (en €) 10 40 2,5
® OUI
® NON
7- Une carte est à l’échelle
1
25000
.
Sur cette carte, deux maisons sont à
7,5 cm l’une de l’autre. À quelle distance
sont-elles dans la réalité ?
® 25 000 cm
® 75 000 cm
® 1 875 m
® 187 500 cm
8- Une très grande carte est à l’échelle 1
20000
.
Deux villes sont en réalité à une distance
de 10 km l’une de l’autre.
À quelle distance sont-elles sur la carte ?
® 0,5 cm
® 50 cm
® 2 cm
® 2 m
9- Les 18 % de 46 cm représentent :
® 8,28 cm
® 46,18 cm
® 828 cm
® 255,56 cm
10- La fraction
7
125
est égale à
® 56 %
® 5,6 %
® 560 %
® 7 %

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Je calcule la longueur d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Je calcule la longueur d’un cercle - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Je différencie aire et périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Je redécouvre les conversions de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Je mesure des surfaces. Je revois les unités d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Je calcule le périmètre et l’aire d’un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Je calcule le périmètre et l’aire d’un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Je calcule le périmètre et l’aire d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Je calcule l’aire de figures plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Séance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
J’effectue des exercices de révision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335










©Cned-2009
Objectifs
 Savoir calculer la longueur d’un cercle.
 Être capable de différencier les notions d’aire et de périmètre.
 Savoir utiliser les unités de longueur et d’aire.
 Savoir calculer le périmètre et l’aire de figures simples.


Séance 1
Je calcule la longueur d’un cercle
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence 10. Prends une
nouvelle page de ton cahier de cours et écris en rouge le numéro et le titre de la séquence :
« SÉQUENCE 10 : PÉRIMÈTRE, AIRES ». Fais de même avec ton cahier d’exercices.
1- La longueur de la courbe rouge est celle
d’un cercle de 7,5 cm de rayon
15 cm
® vrai
® faux
2- Les deux figures ci-dessous ont :
1 2
® des périmètres et des aires différents
® des périmètres égaux
® des aires égales
3- L’aire de la figure 1 est :
figure 1 figure 2
® plus grande que celle de la figure 2
® égale à celle de la figure 2
® plus petite que celle de la figure 2
4- L’aire d’un rectangle de 8 cm de long et
de 4,3 cm de large est :
® 24,6 cm2
® 34,4 cm
® 34,4 cm2
® 24,6 cm
Effectue les deux exercices suivants sur ton livret.

Exercice 1
Procure-toi plusieurs objets à fond circulaire
(par exemple des boîtes de conserves,
un pot de confiture, ...).
1- Détermine le diamètre de chaque boîte ou pot.
2- À l’aide d’un mètre de couturière, trouve le périmètre du fond de chacun des objets.
3- Présente tes résultats dans le tableau suivant :
objet ................... ................... ................... ...................
diamètre D du fond ................... ................... ................... ...................
périmètre L du fond ................... ................... ................... ...................
L
D
................... ................... ................... ...................
4- Peut-on à partir de ce tableau, conclure que le périmètre du fond est proportionnel à son
diamètre ? Justifie.
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
Exercice 2
1- Complète :
longueur en cm du cercle
diamètre en cm du cercle
x ........
18 29 D
.......... x .......... .......... x .................... x ..........
2- L désigne la longueur d’un cercle, D son diamètre et R son rayon.
Complète en t’aidant de la question précédente :
L = .... x D = .... x (2 x ....) = 2 x .... x R

e retiens
Longueur d’un cercle
R
D
La longueur d’un cercle de diamètre D (ou de rayon R)
est donnée par la formule :
L = � x D c’est-à-dire L = 2 x � x R
Remarques :
• Pour valeur approchée de � on prend souvent 3,14.
• La touche � de la calculatrice donne une valeur
approchée plus précise : 3.141592654.
• L’égalité L = 2 x � x R met en évidence que la
longueur en cm du cercle
rayon en cm du cercle
x (2x�)
longueur d’un cercle est proportionnelle à son rayon :
j
le coin des curieux
Une phrase pour retenir les dix premières décimales de �
3,3
1 4 1
99 22 66
5
3
5
Que j’aime à faff irerr
cocc
no
naîtîî rt err un nombrerr utile auxu
sagaa
ese
.3,
1 4 1
5
9 2 6
5
3
5
Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.
Compte le nombre de lettres de chaque mot. Que remarques-tu ?
À l’aide de la touche � de la calculatrice, calculer la troncature
au dixième de la longueur en cm d’un cercle de 39 cm de diamètre
La longueur en cm d’un cercle de 39 cm de diamètre est : � x D = � x 39
La troncature au dixième de la longueur en cm de ce cercle est donc 122,5.
On a commencé par appliquer la formule permettant de calculer la longueur d’un cercle connaissant
son diamètre : L = � x D
On a tapé sur sa calculatrice : � x 3 9 EXE
Il s’est affiché 122•5221134. La troncature au dixième de ce nombre est 122,5.
Attention ! Pour répondre à la question posée, il ne fallait pas chercher la troncature au dixième de
3,14 x 39.
Comme 3,14 est une valeur approchée de � , la longueur en cm du cercle n’est pas 3,14 x 39.
3,14 x 39 = 122,46. La troncature au dixième de 3,14 x 39 est donc 122,4.

Effectue les six exercices ci-après sur ton cahier d’exercices.
Exercice 3
Des bonbons au miel sont vendus dans des boîtes circulaires de 6,2 cm de diamètre. Elles sont
fermées par un ruban adhésif qui fait exactement le tour de la boîte. Quelle longueur de ruban
(en cm) est nécessaire pour fermer une boîte ?
Tu donneras la valeur exacte du résultat ainsi que son arrondi au dixième.
Exercice 4 Un beau parc pour les enfants de la ville
La ville a choisi de réaliser un joli parc pour les enfants. À l’entrée, il y aura une fontaine
de 7,5 mètres de rayon.
Quelle distance parcourra un enfant qui en fera le tour ?
Tu donneras la valeur exacte en m du résultat ainsi que son arrondi au dixième.
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, trace en vraie grandeur la figure donnée, puis calcule la longueur
de la courbe bleue (ABCD est un carré).
1-

A B
CD
4,2 cm
2-

A
B C
D5 cm
3-

A
B C
D3,4 cm
Exercice 6

A BI
AB = 6 cm
On considère la figure ci-contre constituée de demi-cercles.
Des deux courbes (la grise et la bleue),
quelle est la plus longue ?
Tu justifieras soigneusement ta réponse.
Exercice 7
99 cm de ruban adhésif sont enroulés sur un rouleau de 2,4 cm de diamètre. Combien y a-t-il
environ de tours de ruban ? On admet que le diamètre ne varie pas au fur et à mesure qu’on enroule
le ruban.
Exercice 8 A
B C
D
Sachant que le périmètre du rectangle ci-contre
est égal à 9,6 cm, calcule la longueur de chacun des cercles.

Séance 2
Je calcule la longueur d’un cercle - suite -
Effectue les exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 9
A
B C
D

1- Reproduis la figure ci-contre en vraie grandeur
(ABCD est un carré de 3,2 cm de côté).
2- Calcule la longueur de la courbe bleue.
Exercice 10
1,8 cm

Calcule la longueur de la courbe bleue ci-contre.
Exercice 11 A B
D C0,25 m
0,25 m

Une table ronde a 1,20 m de diamètre.
À l’occasion d’une cérémonie, on la sépare en deux et
on place entre les deux parties deux rallonges rectangulaires
de 0,25 m de large.
Calcule l’arrondi au centième du périmètre en m de la table
munie de ses rallonges.
Exercice 12
Une piste circulaire a pour périmètre 130 m.
Calcule l’arrondi au dixième de son diamètre en m.
Exercice 13
Le périmètre d’un dessous-de-plat circulaire est égal à 53 cm.
calcule l’arrondi au dixième de son rayon en cm.

A
FE
D
C B
Exercice 14
La longueur exacte en cm de la courbe bleue est � x 15.
Calcule le périmètre du polygone ABCDEF.

Exercice 15
Un bac à sable circulaire est entouré d’une petite clôture placée à 0,50 m du bord.
1- Fais une figure à main levée représentant le bac.
2- La longueur de la clôture est 22 m.
Calcule une valeur approchée du périmètre du bac à sable.
Exercice 16 Un beau parc pour les enfants de la ville — suite —
Un bassin doit être aménagé dans le parc. Un premier projet a été déposé.
Bassin 1
7,5 m
Un petit muret borde le bassin. Calcule la longueur en m de ce muret.
Tu donneras la valeur approchée par excès à 0,01 près.
Aide : L’une des étiquettes ci-dessous indique le périmètre exact en m du muret.
(30 x �) + 97,5 (60 x �) + 90 (30 x �) + 105 (60 x �) + 105
La salle pi du Palais de la découverte à Paris où sont inscrites en spirale des centaines de décimales du nombre �

Séance 3
Je différencie aire et périmètre
Rends-toi à la fin de ton livret, à la page découpage : « Un beau parc pour les enfants de la ville ».
Découpe cette page puis effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.
Deux nouveaux projets de bassin ont déjà été déposés :
Bassin 2 Bassin 3
1- a) Découpe soigneusement le bassin 2 puis coupe-le en morceaux de façon qu’en assemblant
autrement ces morceaux tu puisses obtenir un rectangle. Colle ensuite le rectangle obtenu
dans ton cahier.
b) Effectue le même travail que précédemment pour le bassin 3.
2- Y a-t-il un bassin dans lequel les enfants auront plus de place pour jouer ?
3- Le tour de chaque bassin est constitué d’un muret.
Quel bassin est limité par le plus long muret ?
(Tu traceras à main levée la première figure).
e retiens

3 cm
2,6 cm
2,4 cm
1,8 cm
Périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
Le périmètre (en cm) de la figure ci-contre est :
1,8 + 3 + 2,6 + 1,8 + 2,4 + 3 = 14,6
Aire
Les deux surfaces ci-contre n’ont pas la même forme,
mais elles occupent autant de place.
On dit alors qu’elles ont la même aire.
j

Exercice 18
1- Compare les périmètres des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse.
On rappelle que comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus grand.
2- Compare les aires des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse.
Pour t’aider à justifier ta réponse, tu peux écrire sur les figures ci-dessous.
Exercice 19
1- Compare les périmètres des trois figures ci-dessous. Justifie ta réponse.
2- Compare les aires des trois figures ci-dessous. Ne justifie pas ta réponse.
(Tu ne recopieras pas la figure).
Remarque :
Attention ! Le périmètre et l’aire d’une figure
varient différemment.
Par exemple, deux figures peuvent avoir le même
périmètre et des aires différentes.
Effectue ensuite les deux exercices ci-après sur ton livret.

Exercice 20
Modèle :
On a reproduit et modifié la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus
grand périmètre et une aire plus grande.
012345678910001122334455667788991100
1- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus petit
périmètre et une aire plus grande.
2- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant le même
périmètre et une aire plus petite.
3- Reproduis et modifie la figure donnée de façon à obtenir une figure ayant un plus grand
périmètre et une aire plus petite.

Exercice 21
Voici deux triangles :
O x
A B
D
F
E
C
En utilisant uniquement ton compas et la demi-droite [Ox) donnée, trouve celui qui a
le plus grand périmètre, puis complète la phrase ci-dessous :
Des deux triangles, c’est le triangle ................... qui a le plus grand périmètre.
Pour terminer cette séance, effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 22
1- Trace un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que
• BC = 3,5 cm
• son périmètre est égal à 16,5 cm
2- Trace un triangle équilatéral DEF de même périmètre que le triangle ABC précédent.
Séance 4
Je redécouvre les conversions de longueur
Effectue les quatre exercices ci-après sur ton livret.
Exercice 23
Cite toutes les unités de longueur que tu connais (Pour chacune indique à côté,
entre parenthèses son abréviation).
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................

Exercice 24
1- Complète :
1 km = ....... m 1 hm = ....... m 1 dam = ....... m
1 dm =
1
....
m = .... m 1 cm =
1
....
m = .... m 1mm =
1
....
m = .... m
2- Complète :
1 cm = .... mm 1 hm = .... dam
Exercice 25
Associe à chaque préfixe sa signification.
déci • • x 100
hecto • • ÷ 1 000
centi • • ÷ 10
kilo • • ÷ 100
milli • • x 1 000
déca • • x 10
Exercice 26
Complète les pointillés par l’unité de longueur qui convient :
hauteur de la tour Eiffel 324 ....
taille de Marie 148 ....
longueur d’un pou 1,5 ....
longueur d’une façade de maison 1,6 ....
longueur de l’avenue des Champs Elysées 1,910 ....
longueur d’un champ 1,48 ....
longueur d’une règle graduée 2 ....
Prends ton cahier de cours et note à la suite le paragraphe ci-après.

e retiens
Unités de longueur
Les unités principales de longueur sont :
• le mètre (m),
• ses multiples : le décamètre (dam), l’hectomètre (hm), le kilomètre (km),
• ses sous-multiples : le décimètre (dm), le centimètre (cm), le millimètre (mm)
Chaque unité est 10 fois plus grande que celle de rang immédiatement inférieur.
1 cm = 10 mm 1 mm =
1
10
cm = 0,1 cm
1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1 cm 1 mm
x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10
1 km =1 000 m 1 hm =100 m 1 dam =10 m
1 dm =
1
10
m = 0,1 m 1 cm =
1
100
m = 0,01 m 1 mm =
1
1 000
m = 0,001 m
j
Exprime : 1) 9,6 km en hm 2) 951 mm en dm
1) 9,6 km = 96 hm 2) 951 mm = 95,1 cm = 9,51 dm
On a exprimé 1 km en hm, puis on a conclu.
1 km = 10 hm donc 9,6 km = 9,6 x 10 hm
Or, pour multiplier un décimal par 10,
on déplace sa virgule de 1 rang vers la droite.
Par conséquent : 9,6 km = 96 hm
On a converti successivement les millimètres en cm puis
en dm.
• Conversion en cm
1 mm =
1
10
cm= 0,1 cm
D’où : 951 mm = 951 x 0,1 cm
Pour multiplier un décimal par 0,1
on déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche :
951 mm = 95,1 cm
• Conversion en dm
1 cm =
1
10
dm = 0,1 dm
donc 95,1 cm = 95,1 x 0,1 dm = 9,51 dm
Fais les trois exercices suivants sur ton livret.

Exercice 27
1- Convertis 17,6 dam en dm :
17,6 dam = ....................................................................................................................
2- Convertis 19,3 dam en km :
19,3 dam = ....................................................................................................................
3- Convertis 91,5 m en cm :
91,5 m = ........................................................................................................................
4- Convertis 19,4 m en hm :
19,4 hm = ......................................................................................................................
5- Convertis 59,6 dm en dam :
59,6 dm = .....................................................................................................................
6- Convertis 1,25 m en mm :
1,25 m = .......................................................................................................................
7- Convertis 13,4 hm en dm :
13,4 hm = ......................................................................................................................
8- Convertis 15,2 cm en dam :
15,2 cm = ......................................................................................................................
Exercice 28
Complète les pointillés par l’unité qui convient.
1- 27,6 dm = 2 760 .... 3- 64,2 dam = 6 420 ....
2- 1,78 cm = 0,017 8 .... 4- 819,4 mm = 8,194 ....
Exercice 29
Change l’unité pour obtenir un nombre entier, le plus petit possible.
Exemple : 1,456 km = 1 456 m
1- 17,89 dam = ................... 3- 285,1 km = ...................
2- 7,599 hm = ................... 4- 0,089 km = ...................
Prends ton cahier d’exercices et fais les exercices suivants.
Exercice 30
58,3 m
D
A C
B
Le périmètre du triangle ABC est 1,6 hm. Celui du triangle ACD
est égal à 18,5 dam.
Calcule en mètres le périmètre du quadrilatère ABCD.

Exercice 31
325
mm
19,5cm
D H
A
C
B
0,26 m
• ABHD est un rectangle,
• D, H, C sont alignés
• Le périmètre de la figure bleue est égal à 1,17 m.
1- Calcule AB en cm.
2- Quelle est la nature du quadrilatère ABHD ?
Enfin, pour finir cette séance, voici un peu d’histoire. Lis la rubrique suivante.
le coin des curieux
L’histoire du mètre
Avant la révolution, les unités de mesure variaient d’une province à l’autre, mais aussi, bien
souvent, de ville à ville. Une règle longue d’un pied, par exemple, mesurait 24,8 cm à Avignon et
35,6 cm à Bordeaux !
Sous la révolution, il fut décidé qu’on utiliserait
un quart de méridien
équateur
les mêmes mesures partout en France. Ainsi est né le mètre.
Initialement, dans un souci d’égalité, on avait
défini le mètre à partir de la longueur d’un méridien
(chaque homme a un méridien sous ses pieds !).
On avait décidé qu’un mètre serait égal à
la dix millionième partie du quart d’un méridien.
Cette définition, en fait, manquait de précision
(Tous les méridiens n’ont pas exactement
la même longueur).
Depuis 1983, le mètre est défini
comme la longueur du trajet parcouru par
la lumière dans le vide pendant une durée de 1
299 792 458
seconde.

Séance 5
Je mesure des surfaces. Je revois les unités d’aire
Exceptionnellement, cette séance est plus longue. Effectue l’exercice ci-après sur ton livret.
Exercice 32 A B
CD
Léanne : L’aire du rectangle ABCD est 12.
Téo : Non ! Elle est égale à 6.
Qui a raison ? Pense à justifier ta réponse.
e retiens
Unité d’aire
Pour déterminer l’aire d’une surface, on choisit une unité d’aire.
j
Prends ton cahier d’exercices et effectue les cinq exercices ci-dessous.
Exercice 33
u1
u2
Exprime l’aire de chacune
des figures en utilisant :
a) l’aire u1
comme unité d’aire.
b) l’aire u2
comme unité d’aire.
Exercice 34
unité
figure 1
figure 2 figure 3
figure 4 figure 5
L’unité d’aire est le petit carré rouge.
En te servant de cette unité,
trouve l’aire des 5 figures.
Tu peux écrire des indications sur la figure
afin de t’aider dans tes justifications.


On prend comme unité d’aire la figure ci-contre.
Exprime l’aire du bassin 2 et du bassin 3 dans cette unité.
Tu peux faire un schéma pour t’aider à justifier.
Exercice 36
Ewan a fait une grosse tache de gras sur son cahier.
1- Combien de petits carrés :
a) sont totalement tachés ?
b) sont salis ?
2- Donne un encadrement de l’aire de la tache
en petits carrés.
Exercice 37
Donne un encadrement de l’aire de la tache. L’unité d’aire est celle du petit triangle vert.
unité
e retiens
Mesurer une surface
Après avoir choisi une unité d’aire, on peut calculer une aire ou en donner un
encadrement.
Exemples :
unité
En prenant pour unité
l’aire du petit rectangle rouge,
l’aire de la surface hachurée est 3,5.
unité
En prenant pour unité l’aire du triangle vert,
l’aire de la surface ocre est comprise
entre 4 et 22.
j

Prends ton cahier de cours et note le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu :
e retiens
Unité d’aire
Une unité d’aire usuelle est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
1 cm
Cette unité s’appelle le centimètre carré et est notée cm2
.
L’aire d’un carré de 1 mm de côté est 1 mm2
.
j
Exercice 38
1- Colorie 4 surfaces différentes d’aire 1 cm2
(dont au moins un triangle et un rectangle).
2- Si tu partages l’une de ces surfaces en deux pièces de même aire,
quelle est l’aire de chacune des pièces ?.............
3- De même, si tu partages l’une des surfaces de la première question en quatre pièces de
même aire, quelle est l’aire de chacune de ces pièces ? .............
4- Colorie quatre surfaces différentes d’aire 1
2
cm2
(dont au moins un triangle).
5- Colorie quatre surfaces différentes d’aire
1
4
cm2
(dont au moins un triangle).

Exercice 39
1- Combien de carrés de 1 mm de côté faut-il pour recouvrir un carré de 1 cm de côté ?
...............
Par conséquent : 1 cm2
= ........... mm2

1 mm2
=
1
......
cm2
= 1 ÷ ...... cm2
= ...... cm2
2- La figure ci-contre représente un carré ABCD de 1 dm de côté.
A B
CD
a) Combien faut-il de carrés de côté 1 cm pour recouvrir ce carré ? ................
b) L’aire d’un carré de 1 dm de côté est appelée un décimètre carré. Elle est notée 1 dm2
.
Complète :
• 1 dm2
= ........ cm2
• 1 cm2
= 1
......
dm2
= 1 ÷ ...... dm2
= ...... dm2
Prends ton cahier de cours et note ce qui suit.

e retiens
1 cm2
= 100 mm2 1 mm2
= 1
100
cm2
= 0,01 cm2
1 mm²
10 mm²
1 cm²
1 dm2
= 100 cm2 1 cm2
= 1
100
dm2
= 0,01 dm2
Pour les unités d’aire, chaque unité est 100 fois plus grande que celle de rang
immédiatement inférieur.
1 km² 1 hm² 1 dam² 1 m² 1 dm² 1 cm² 1 mm²
x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100
j
Exprimer : 1) 6,4 km2
en dam2
2) 762 cm2
en m2
1- 6,4 km2
= 640 hm2
= 64 000 dam2
2- 762 cm2
= 7,62 dm2
= 0,076 2 m2
On a converti successivement les kilomètres carrés en
hm2
, puis en dam2
.
• Conversion en hm2
1 km2
= 100 hm2
donc 6,4 km2
= 6,4 ×100hm2
Pour multiplier un décimal par 100,
on déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite.
Par conséquent : 6,4 km2
= 640 hm2
• Conversion en dam2
1 hm2
= 100 dam2
donc 640 hm2
= 640 x 100 dam2
soit 640 hm2
= 64 000 dam2
On a converti successivement les centimètres carrés en
dm2
, puis en m2
.
• Conversion en dm2
1 cm2
=
1
100
dm2
= 0,01 dm2
donc 762 cm2
= 762 ×0,01dm2
Pour multiplier un décimal par 0,01
on déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche.
Par conséquent : 762 cm2
= 7,62 dm2
• Conversion en m2
1 dm2
=
1
100
m2
= 0,01 m2
donc 7,62 dm2
= 7,62 x 0,01m2
= 0,076 2 m2
Effectue les trois exercices ci-dessous sur ton livret.
Exercice 40
Complète sur ton livret :
1- 195,6 m2
= .............. dm2
3- 76,1 dam2
= .............. hm2
2- 21,7 cm2
= .............. mm2
4- 2,9 mm2
= .............. cm2

Exercice 41
1- Convertis 143,52 hm2
en m2
:
143,52 hm2
= .....................................................................................
2- Convertis 92,7 km2
en dam2
:
92,7 km2
= ........................................................................................
3- Convertis 843,6 mm2
en dm2
:
84,6 mm2
= ........................................................................................
4- Convertis 49,3 dm2
en dam2
:
49,3 dm2
= ........................................................................................
Exercice 42
Complète sur ton livret :
1- 87,89 hm2
= 8 789 ....... 2- 45 789 dam2
= 4,578 9 .......
Prends ton cahier de cours et note ce qui suit après l’avoir lu :
e retiens
Dans l’agriculture, pour mesurer les surfaces, on n’utilise pas les unités d’aire usuelles.
On utilise :
• l’are noté a • l’hectare noté ha
Par définition :
• 1 a = 1 dam2
• 1 ha = 100 a
j
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
Exercice 43
a) Compare 1 ha et 1 hm2
. b) Exprime 1 ha en m2
.
Prends ton cahier de cours et note à la suite de ce que tu as déjà écrit :
e retiens
Remarque : 1 ha = 1 hm2
j

Exercice 44
1- 5,4 km2
= ........... ha 2- 4,3 ha = ............ m2
3- 19,4 a = ............ m2
4- 1 525 a = ............ ha
5- 8 ha 67 a = ............ ha 6- 5,75 ha = ............ a
7- 45 850 m2
= ............ ha 8- 13,272 ha = 132 720 .......
prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 45
1- Monsieur Martin possède trois parcelles ayant respectivement pour aires :
• 8,5 a • 352,5 m2
• 9,7 a
Exprime en m2
l’aire totale de ces terrains.
2- Monsieur Martin vend ces terrains en terrain à bâtir.
Sachant qu’un mètre carré coûte 110,4 €, combien reçoit-il ?
Séance 6
Je calcule le périmètre et l’aire d’un rectangle
Exercice 46
A B
CD
3,2 cm
2,4 cm

1- On se propose de calculer le périmètre en cm du rectangle
ABCD ci-contre.
a) Quel calcul doit-on effectuer ? Surligne la (les) réponse(s) possible(s).
• 3,2 x 2,4 • (2 x 3,2) + 2,4 • 3,2 + (2 x 2,4)
• (2 x 3,2) + (2 x 2,4) • 2 x (3,2 + 2,4) • 3,2 + 2,4 + 3,2 +2,4
b) Combien obtient-on ? Surligne la bonne réponse.
• 8,8 •11,2 • 10,7 • 7,68 • 5,6

2- L, l, P désignent respectivement la longueur L, la largeur l et
L
lle périmètre P d’un rectangle exprimés dans la même unité).
Cite 3 façons différentes de calculer P .
P = ................................ P = ................................ P = ................................

2,3 cm
3,1 cm
CD
A B
3- On se propose de calculer l’aire du rectangle ABCD
ci-contre, de dimensions 3,1 cm et 2,3 cm.
• Complète les pointillés :
3,1 cm = ......... mm 2,3 cm =......... mm
• Combien de petits carrés de 1 mm de côté contient
la bande verte ? ......
• Combien de petits carrés de 1 mm de côté sont contenus dans le rectangle ABCD ?
.................................
Indique l’opération que tu effectues, puis le résultat de ton calcul.
• Quelle est l’aire du rectangle ABCD ?................. mm2
• Convertis cette aire en cm2
: .......................................................................................
• Calcule 3,1 x 2,3 : ....................................................................................................
• Que remarques-tu ? ..................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
e retiens
Périmètre et aire d’un rectangle L
l
Le périmètre P d’un rectangle de longueur L et de largeur l
est : P = 2 x (L + l). Son aire A est L x l.
(Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
L’aire est exprimée dans l’unité d’aire correspondante.)
j

Exercice 47
Calcule le périmètre et l’aire de chacun des rectangles ci-dessous.
1-
2,5 m
1,6 m
2-
2,6 cm
18 mm
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
Effectue les six exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Les « carreaux » du papier pointé ont 7,5 m de côté.
Calcule l’aire en m2
et en ares des bassins 2 et 3.
Exercice 49
34,2 m
2 m
2 m
2 m2 m
A B
CD
E F
H G
17,2m
La figure ci-contre représente un jardin rectangulaire entouré
d’une allée de 2 m de large. Calcule l’aire de cette allée.
Exercice 50
Un rectangle a une longueur de 65 m. Son aire est égale à 871 m2
. Calcule sa largeur.
Exercice 51
La longueur d’un terrain rectangulaire est le triple de sa largeur.
Le périmètre du terrain est 104,4 m.
1- Fais un schéma à main levée illustrant les données.
2- Calcule les dimensions de ce rectangle.

Exercice 52
La différence entre la longueur et la largeur d’un rectangle est 5,6 cm.
Le périmètre du rectangle est égal à 88,4 cm.
Calcule ses dimensions.
Aide : Commence par faire un schéma à main levée illustrant les données.
Exercice 53
Selon Thibaut, si l’on double les dimensions d’un rectangle, son aire double.
Qu’en penses-tu ?
Tu justifieras soigneusement ta réponse.
Séance 7
Je calcule le périmètre et l’aire d’un carré.
Exercice 54

5,1 cm
A B
CD
1- Calcule le périmètre du carré ci-contre.
2- On se propose de calculer l’aire en cm2
de ABCD.
a) Léa dit : « C’est facile. On procède comme pour un rectangle.
On multiplie 5,1 par 5,1». Qu’en penses-tu ?
b) Calcule l’aire en cm2
du carré ABCD.
Exercice 55

c
1- Calcule le périmètre du carré ci-contre.
2- Calcule son aire.
e retiens
Périmètre et aire d’un carré
c
Le périmètre d’un carré de côté c c’est 4 x c.
Son aire est c x c (on la note c2
et on lit « c au carré »).
j

Effectue les six exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 56
En haut des murs d’une pièce à plafond carré, on place une frise.
(On met les deux extrémités bord à bord).
Sachant que le carré a 4,6 m de côté, calcule :
1- la longueur de la frise
2- l’aire du plafond
Exercice 57
Un carré a pour aire 64 cm2
. Calcule son périmètre.
Exercice 58
Un carré a 114,4 m de périmètre.
1- Calcule son aire en ares.
2- Un rectangle a le même périmètre que le carré.
Sachant que le rectangle a pour longueur 31,8 m, calcule :
a) sa largeur b) son aire (en ares).
Exercice 59
A E B
FH
D G C
ABCD est un carré d’aire 200 cm2
. Calcule le côté du carré EFGH.
F G
H
A
BC
DE
7,6 dam
2,2 dam
La figure ci-contre représente le terrain où va être construit le bassin.
• ABCD est un carré • EFGH est un rectangle
• E, D, A, H sont alignés
L’aire totale du terrain est égale à 175,36 a.
Calcule :
1- FG
2- GH
3- la longueur de clôture à acheter, sachant qu’on laisse libre
une ouverture de 5 m de large pour placer une porte.
Exercice 61
L’aire d’un carré est-elle proportionnelle à son côté ? Justifie.

Séance 8
Je calcule le périmètre et l’aire d’un triangle rectangle
A
B C4,8 cm
3,6 cm
6 cm
Exercice 62
1- Calcule le périmètre du triangle rectangle ci-contre.
................................................................................
................................................................................
2- On se propose de calculer l’aire en cm2
de ABC.
a) Construis le point D tel que ABCD soit un rectangle.
b) Calcule l’aire du triangle ABC.
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
Exercice 63 A
B Cb
c
aCalcule :
1- le périmètre du triangle rectangle ci-contre.
2- l’aire du triangle rectangle ci-contre.
e retiens
Périmètre et aire d’un triangle rectangle A
B Cb
c
a
Le périmètre du triangle rectangle ci-contre est : a + b + c
Son aire est a b
2
x .
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
L’aire est alors exprimée dans l’unité correspondante.
j

Effectue les cinq exercices suivants dans ton cahier d’exercices.
Exercice 64
Calcule l’aire du triangle EFG.
G
E F
2,4 cm
32 mm
Exercice 65
1- Construis un losange ABCD tel que : AC = 5 cm et BD = 3,4 cm.
2- Calcule l’aire de ABCD.
Exercice 66 G A
F
B
E
D
C
36 cm²
49 cm²
On considère la figure ci-contre où ABFG et BCDE
sont des carrés.
Calcule l’aire du triangle ABC.
Exercice 67
Un triangle ABC rectangle en A est tel que : AB = 5 cm. Son aire est égale à 12,5 cm2
.
1- Calcule AC.
2- Qu’en déduis-tu concernant la nature du triangle ABC ?
Exercice 68
B
D C
A
A,B,Esontalignés
E
On considère la figure à main levée ci-contre
où ABCD est un rectangle.
1- a) Que représente B pour le segment [AE] ?
b) Compare AE et AB.
2- Pour AB = 3 cm et AD = 5 cm,
calcule l’aire du rectangle ABCD ainsi que
celle du triangle ADE.
4- Penses-tu qu’on ferait la même remarque avec n’importe
quelles autres valeurs de AB et AD ? Justifie.

Prends ton cahier de cours puis recopie soigneusement le paragraphe suivant après l’avoir lu.
e retiens
Périmètre et aire d’un rectangle, d’un carré et d’un triangle rectangle
Rectangle Carré Triangle rectangle
L
l
c b
a c
Périmètre P P = 2 (l + L) P = 4 x c P = a + b + c
Aire A A = l x L A = c2
A=
a b×
2
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
L’aire est alors exprimée dans l’unité correspondante.
Longueur d’un cercle
La longueur d’un cercle de diamètre D (ou de rayon R) est :
R
D
L = π x D c’est-à-dire L = 2 x π x R
j
Séance 9
Je calcule l’aire de figures plus complexes
Fais l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.
Exercice 69
A B
CD
5,8 cm
8
cm
6,4cm
10,6 cm

Calcule l’aire de la figure représentée à main levée ci-contre.

e retiens
Remarque : Lorsqu’on ne dispose pas de formule pour calculer l’aire d’une surface S,
on peut par exemple essayer d’utiliser une (ou plusieurs) des méthodes suivantes :
• procéder par découpage et recollement
Exemple :
CD
A B
S
Aire S = aire ABCD
• décomposer la surface en surfaces dont on sait calculer l’aire
Exemple :
C
G F
ED
A B
S
Aire S = aire ABCD + aire GFEC
• compléter la figure donnée puis obtenir l’aire de S par soustraction
Exemple :
G F
ED
A B A'
S
Aire S = aire AA’ED – aire BA’FG
j
Fais les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.
Exercice 70
Calcule l’aire de la surface ci-contre en mm2
et en cm2
.
(Les carreaux ont 8 mm de côté.)

Exercice 71
A
E
F G
H
B
I
K
CL
MN
OD
8 mm
1,2 cm
3,2 cm
5,4 cm
J

Calcule l’aire de la surface représentée
à main levée ci-contre :
Exercice 72
Calcule l’aire de la surface ci-contre en mm2
et en cm2
(Les carreaux ont 8 mm de côté.)
Exercice 73
G
F
H D
E
C
A B
3,6 dm
5,1 dm
10,2 dm
6 dm

Calcule l’aire de la surface ci-contre sachant que :
• A ∈ [GB] • D ∈ [HC] • F ∈ [GH]

1- Calcule en m2
et en ares l’aire du bassin 1.
Bassin 1
7,5 m
2- La ville a décidé de choisir le bassin qui offrira le plus de place aux enfants pour jouer.
Elle attend encore des projets. Actuellement, parmi ceux qui sont connus, y en-a-t-il qui
n’ont plus aucune chance d’être choisis ?
Exercice 75 A E
G
B
H
CID
F

On considère la figure ci-contre :
Compare l’aire des rectangles EBHG et FGID.
E ∈ [AB] F ∈ [AD] I ∈ [DC] H ∈ [BC]
Séance 10
J’effectue des exercices de révision
Prends ton cahier d’exercices et cherche les exercices suivants :
Exercice 76 A B
D C
8,3 m
Calcule l’aire de la figure
représentée en gris bleu
ci-contre en m2
et en ares.

Exercice 77
E F B
G
H
CJD
A
K
L
I
La ligne bleue ci-contre représente un chemin de ronde
autour d’un château-fort, vu d’en haut.
AB = 135 m, BC = 105 m et FB = 30 m
1- Montre que la longueur exacte en m de cette ligne est
(180 x �) + 240.
2- Détermine l’arrondi au dixième de cette longueur.
Exercice 78
Terre
La figure ci-contre représente un satellite se déplaçant à altitude
constante autour de la Terre. Sa trajectoire est un cercle ayant
le même centre que la Terre.
Sachant que ce cercle a 42 410 km de long, détermine une valeur
approchée de l’altitude à laquelle se déplace le satellite.
On considèrera que la Terre a 12 800 km de diamètre.
Exercice 79
A
B C
D
E
F
35 m
7,8 m
2,46 dam
D ∈[EC] F ∈[AD]
13 mSachant que l’aire de la surface gris bleu ci-contre
est 677,56 m2
calcule :
1- l’aire en m2
du rectangle ABCD
2- le périmètre de la surface grisée.
Exercice 80 C
A B
F 1
F '2
F '1
F '3
F2
F 3
On considère la figure ci-contre.
F '1
est le symétrique de F 1
par rapport à (AB),
F '2
par rapport à (AC),
F '3
par rapport à (BC).
Sachant que AB = 2,7 m et AC = 3,4 m, calcule l’aire
de la surface verte.
Aide : Tu utiliseras le résultat suivant que tu admettras et retiendras :
Une figure et son symétrique ont la même aire.

je m’évalue
1- Les figures 1 et 2 ont le même
périmètre ?
1 2
® vrai
® faux
2- Les figures 1 et 2 ont la même aire ?
1 2
® vrai
® faux
3- 35,40 m sont égaux à
® 35,4 dm
® 0,354 km
® 3,54 dam
4- 3,6 m2
sont égaux à
® 36 dm2
® 0,036 dm2
® 360 dm2
5- Un carré a le même périmètre qu’un
rectangle de dimensions 4 m et 9 m.
Ses côtés mesurent :
® 3,25 m
® 6 m
® 6,5 m
6- L’aire de la surface bleue est :
A E B
F G
CD
7 m
9 m
3 m
® 20 m2
® 51 m2
® 54 m2
7- L’aire du triangle ABC est :

A
B C
7,5 cm
10 cm
12,5
cm
® 30 cm2
® 75 cm2
® 37,5 cm2
8- Deux rectangles ayant la même aire ont
nécessairement le même périmètre.
® vrai
® faux
9- Un ordre de grandeur en cm de la
longueur d’un cercle de 3,5 cm de rayon
est
® 11
® 21
® 28
10- Le périmètre du fond d’une casserole
est égal à 87,8 cm. L’arrondi au dixième
du diamètre en cm du fond de la casserole
est
® 27,8
® 27,9
® 28

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
J’étudie la demi-droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
J’étudie les tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
J’étudie les tableaux - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
J’étudie les diagrammes en bâtons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
J’étudie les diagrammes circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
J’étudie les diagrammes circulaires - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
J’étudie les graphiques cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
J’étudie les graphiques cartésiens - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362








©Cned-2009
Objectifs
 Savoir lire une demi-droite graduée.
 Être capable de lire et de dresser des tableaux.
 Savoir lire des diagrammes en bâtons, des diagrammes circulaires, et des graphiques cartésiens.


Séance 1
J’étudie la demi-droite graduée
Dans cette séquence, nous allons aborder différentes façons de classer et représenter des données.
Lis attentivement les objectifs de cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours
et écris en haut : « SÉQUENCE 11 : GESTION DE DONNÉES ». Effectue la même chose avec
ton cahier d’exercices. Effectue maintenant le test ci-dessous directement sur ton livret :
1- Voici ci-dessous les notes du dernier
contrôle de Français.
20
15
10
5
0
Kévin Céline Juline Arthur
notes de Français
élève
Combien a eu Céline ?
® 19
® 16
® 14
® 18
2- Les données sont les mêmes que
dans la question 1.
Qui a eu la deuxième meilleure
note ?
® Kévin
® Céline
® Juline
® Arthur
3- Voici les températures relevées cette
semaine.
10
5
0
15
mardilundi mercredi
jour
température
en ° C
jeudi vendredi
Quelle température a-t-il fait
mercredi ?
® 8°
® 9 °
® 10°
® 7°
4- Les données sont les mêmes que dans la
question 3.
Combien de jours la température
a-t-elle été de 10 ° ?
® un
® deux
® trois
® quatre

Exercice 1 Découverte de la Chine

La Chine est un pays qui se trouve bien
éloigné de la France, comme tu peux
le voir sur la carte ci-contre.
Au cours des exercices intitulés
« découverte de la Chine »,
tu vas découvrir l’histoire de ce pays,
et ce qu’il est actuellement : son climat,
sa population, etc.
Nous allons commencer par étudier de
grandes inventions chinoises sur la frise
chronologique ci-dessous :
0
papier
(utilisation
officielle)
xylographie :
ancêtre
de l'imprimerie
boussole
pour la navigation
poudre
à canon
1000
gouvernail
axial
1- Complète ce tableau :
distance en cm .......... cm 1 cm 1 mm
durée en années 1000 .......... ..........
2- Complète les pointillés.
a) Le papier a été utilisé de façon officielle en Chine en ............................ .
b) .......................................... a été inventé en 200.
c) La boussole de navigation a été inventée en ........................... .
d) .......................................... a été inventée en 800.
3- Place sur la frise précédente les deux événements suivants :
480 (en fait 476) : Chute de l’empire romain. Début du Moyen Age en France.
1490 (en fait 1492) : fin du Moyen Age.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.
e retiens
DEMI-DROITE GRADUÉE
0
naissance
de J.C.
début du
Moyen Age
couronnement de
Charlemagne
Christophe Colomb
découvre l'Amérique
100
Sur une demi-droite graduée,
durée en années
distance en cm à l’origine
x 100
1
100 500 800
5 8
les abscisses des points sont
proportionnelles à leurs
distances à l’origine.
Ici, 1 cm représente 100 ans.
D’où :
Naissance de JC : 0 Début du moyen Âge : 500
Couronnement de charlemagne : 800 Christophe Colomb découvre l’Amérique : 1492.
j

Exercice 2
On a représenté sur la demi-droite suivante les vitesses « de pointe » en km/h de différents
animaux :
0 60
araignée mouton loup dauphin
serpent
1- a) ............ cm représentent ................. km/h donc 1 cm représente ................. km/h.
b) 1 mm représente ................. km/h.
2- Remplis le tableau suivant :
Animal mouton araignée dauphin loup serpent
Vitesse en
km/h
........... ........... ........... ........... ...........
3- Place sur la demi-droite graduée :
• l’homme dont la vitesse maximale est 40 km/h
• le cerf dont la vitesse maximale est 76 km/h.
4- a) Le kangourou va plus vite que le dauphin, et il se place sur la demi-droite graduée
à 1,2 cm du dauphin.
• Place le kangourou sur la demi-droite graduée.
• 1,2 cm représente ............ km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h.
La vitesse du kangourou est donc : 60 km/h + ............km/h soit ............ km/h.
b) L’antilope va plus vite que le dauphin, et elle se place sur la demi-droite graduée
à 2,8 cm du dauphin.
• Place l’antilope sur la demi-droite graduée.
• 2,8 cm représentent ............ km/h . La vitesse du dauphin est 60 km/h.
La vitesse de l’antilope est donc : 60 km/h + ............ km/h soit ............ km/h.
c) • L’aigle doré va plus vite que le dauphin, il se place sur la demi-droite graduée
à 6 cm du dauphin. Sa vitesse est ............... km/h.
• Le guépard va moins vite que l’aigle doré, il se place sur la demi-droite graduée
à 1 cm de l’aigle doré. Sa vitesse est ............... km/h.
• Le lion va moins vite que le guépard, il se place sur la demi-droite graduée
à 3 cm du guépard. Sa vitesse est ............... km/h.
• Place l’aigle doré, le guépard et le lion sur la demi-droite graduée.
Exercice 3
Représente les données du tableau suivant sur une demi-droite graduée ayant pour unité :
5 cm pour 100 km.
Ville Angers Beauvais Tours Rouen Meaux Caen Le Havre
Distance à Paris
« à vol d’oiseau »
296 66 204 112 40 232 178

Exercice 4
Voici le nombre d’habitants en France depuis 1930 :
année nombre d’habitants
1930 41 340 000
1940 40 690 000
1950 41 647 258
1960 45 464 797
1970 50 528 219
1980 53 731 387
1990 56 577 000
2000 58 824 955
2005 60 702 284
Place les sur une demi-droite en partant de 1930 et en prenant pour unité :
1 cm représente 5 ans.
Séance 2
J’étudie les tableaux

Voici les dix plus grandes villes chinoises
(en nombre d’habitants) :

Ville HARBIN TIANJIN SHANGAI
HONG
KONG
XIAN SHENYANG CHONGQING SHANTOU PEKIN GUANGZHOU
Nombre
d’habitants
4 683 199 6 809 500 14 608 512 8 717 246 4 643 912 6 491 182 7 475 931 4 682 282 11 238 749 5 634 140
1- Quelle est la ville de Chine la plus peuplée ? ......................................
2- Classe les villes de ce tableau en ordre décroissant
(par rapport à leur nombre d’habitants) :
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

Tour
Nom
Empire
state
building
Central
Plaza
2
international
finance
center
Les tours
Petronas
Sears
tower
Jin Mao
CITIC
plaza
Shun
Hing
square
Taipei 101
Hauteur
(en m)
381 374 413 452 442 420 391 384 508
Pays USA Chine Chine Malaisie USA Chine Chine Chine Taiwan
1- Reporte dans un tableau à deux colonnes les hauteurs et les noms des 9 plus hautes
tours construites dans le monde. Tu rangeras les tours de la plus haute vers la moins
haute.
2- Combien de tours mesurent plus de 400 m ?
3- Parmi ces 9 tours, quel est le pays le plus représenté ?
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le dans ton cahier de cours.

e retiens
TABLEAUX À DEUX LIGNES. TABLEAUX À DEUX COLONNES
Voici les mêmes données représentées sous formes différentes :
Un tableau à deux lignes : un tableau à deux colonnes :
nom éléphant
tortue
géante
requin
blanc
nom Longévité (en années)
éléphant 57
Longévité
(en années)
57 176 28
tortue géante 176
requin blanc 28
j
Exercice 7
Voici le nombre d’inscrits en LV2 au Cned, en 4e
, dans l’ensemble des langues proposées :
Langue Anglais Arabe Allemand Chinois Espagnol Hébreu Portugais Russe Italien
Nombre d’élèves 233 303 275 240 1 430 23 53 108 262
1- Quel est le nombre total d’élèves inscrits au Cned en 4e
? ..........................
2- Quelle est la deuxième langue la plus choisie parmi les élèves de cette classe ?
......................................................................................................................................
Exercice 8
Voici la taille, en cm, des 30 nouveaux-nés qui ont vu le jour dans une maternité :
53 49 55 50 52 51 53 51 52 59
53 51 52 54 52 51 52 51 51 53
53 53 54 52 54 55 50 56 51 49
1- a) Reproduis sur ton cahier et complète le tableau suivant.
taille
(cm)
49
effectif 2
b) Quelle est la taille la plus fréquente chez ces nouveaux-nés ?
2- Combien de nouveaux-nés mesurent moins de 51 cm ?

À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous.
Exercice 9

Voici un premier tableau affichant les précipitations (en m)
tombées durant les douze mois de l’année dans la ville
américaine de San Francisco.
1- Comment calculer la somme de ces précipitations ?
On veut afficher la somme dans la case B14.
Pour cela :
• on double clique sur la case B14
• on écrit « =SOMME(B2 :B13) »
• on appuie sur la touche « Entrée ».
Combien obtient-on ? ...............................
2- En fait, le tableau était faux ! voici le vrai tableau :
Corrige les données dans ton tableau.
Le tableur recalcule automatiquement la nouvelle somme !
Combien obtient-on ? ...............................
3- Calcule la somme des précipitations tombées
à Washington la même année.
.........................................
4- Dans quelle ville est-il tombé le plus de précipitations en un an ? .........................

Séance 3
J’étudie les tableaux – suite –
Prends ton cahier d’exercices et effectue l’exercice ci-dessous
Densité de population
(nombre d’habitants
pour 1 km2
)
Âge de la population (en %)
Moins de 15 ans 15-65 ans Plus de 65 ans
France 110 18,7 65,3 16
Chine 133 24,8 68,3 6,9
Inde 310 33,5 61,5 5
1- Quelle est la densité de population de la Chine ? .......... De la France ? .......... .
De ces deux pays, lequel a la plus forte densité de population ? ................................
Des trois pays, lequel a la plus forte densité de population ? ................................
2- Des trois pays, lequel possède la plus grande proportion de personnes :
• de moins de 15 ans ? ........................................
• entre 15 et 65 ans ? ........................................
• de plus de 65 ans ? ........................................
Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.
e retiens
TABLEAUX À DOUBLE ENTRÉE
Voici un exemple :
Tous les élèves de 6e
d’un collège vont faire un voyage de découverte dans un pays.
Chaque élève doit choisir s’il veut partir en Angleterre, en Espagne, ou en Italie.
On répartit les données dans le tableau ci-dessous.
6e
A 6e
B 6e
C 6e
D
Angleterre 12 10 7 7
Espagne 7 4 9 8
Italie 3 10 4 6
Le nombre d’élèves de 6e
B à partir en Espagne est 4.
j

Exercice 11
Trois groupes d’enfants d’une colonie de vacances vont partir en randonnée.
Voici la composition des groupes :
Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3
filles 19 16 16
garçons 18 21 17
1- Reproduis le tableau ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
2- De combien d’enfants est constitué le groupe 1 ? le groupe 2 ? le groupe 3 ?
3- Dans quel(s) groupe(s) y a-t-il le plus de garçons ?
4- Combien y a-t-il de filles sur l’ensemble des trois groupes ? de garçons ?
Exercice 12
Complète le tableau de gestion d’un collège ci-dessous.
niveau externes demi-pensionnaires total
6e
99 74 ............
5e
106 ............ 183
4e
95 ............ ............
3e
............ ............ 182
total 402 302 ............
Effectue l’exercice ci-après sur ton cahier d’exercices.

Exercice 13
On effectue un sondage auprès d’adolescents de 14 à 17 ans afin de savoir le sport
individuel qu’ils pratiquent. Une personne va demander à des gens dans la rue et ramène les
données suivantes :
15 ans, tennis - 14 ans, danse - 14 ans, judo - 14 ans, danse - 14 danse, danse - 16 ans, tennis -
14 ans, danse - 14 ans, danse - 14 ans, natation - 15 ans, danse - 15 ans, danse -
15 ans, danse - 15 ans, danse - 15 ans, danse - 16 ans, danse -16 ans, danse - 16 ans, danse -
16 ans, danse - 16 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse -
17 ans, danse - 17 ans, danse - 17 ans, danse - 14 ans, tennis - 14 ans, tennis -
14 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 15 ans, tennis - 16 ans, tennis -
16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 16 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis -
17 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis - 17 ans, tennis -16 ans, judo - 16 ans, judo -
14 ans, danse - 17 ans, judo - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, danse -
14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation - 14 ans, natation -
15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation - 15 ans, natation -
14 ans, danse - 15 ans, natation - 16 ans, natation - 16 ans, natation - 16 ans, natation -
16 ans, natation - 17 ans, natation - 14 ans, danse - 16 ans, danse - 17 ans, natation -
16 ans, danse - 17 ans, natation -
1- Range toutes ces données dans un tableau.
2- Combien d’adolescents de 15 ans ont été questionnés ?
3- Combien d’adolescents font de la natation ?
4- Combien d’adolescents de 17 ans font de la danse ?
Séance 4
J’étudie les diagrammes en bâtons
Voici les températures moyennes annuelles
de cinq grandes villes chinoises.
1- Quelles sont ces cinq villes chinoises ?
..........................................................
..........................................................
..........................................................
..........................................................
..........................................................
24
26
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4 Shangai Hong-Kong Sanya Dalian Pékin
Température
en °
Ville

2- Quelles sont les températures moyennes annuelles de ces cinq villes ?
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
3- Quelle est la ville la plus chaude ?
...................................................................
4- Quel est l’écart entre la ville la plus chaude et la ville la plus froide ?
...................................................................
...................................................................
Recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous après l’avoir lu.
e retiens
DIAGRAMME EN BÂTONS.
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
France Allemagne Espagne Italie Royaume-Uni
Nombre d'habitants
en millions
Pays
2525
20
15
10
5
0
France Allemagne Espagne Italie Royaume-UniFrance Allemagne Espagne Italie Royaume-Uni
00
DIAGRAMME EN BARRES
Voici la population arrondie au million
de cinq pays européens
(en millions d’habitants) :
France 61
Allemagne 82
Espagne 43
Italie 58
Royaume-Uni 60
On peut représenter ces données
sous la forme du graphique ci-contre
appelé diagramme en bâtons
ou encore diagramme en barres.
j
Effectue les deux exercices ci-après sur ton cahier d’exercices.


24
26
28
30
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 janv fevr mars avril mai juin juil août sept octo nove dece
Température
en °
Mois
1- Voici les températures
moyennes mensuelles relevées
à Hongkong l’année dernière.
a) Quel(s) mois de l’année
a-t-il fait le plus chaud ?
Quelle température
a-t-il fait ?
b) Quel(s) mois de l’année
a-t-il fait le plus froid ?
Quelle température
a-t-il fait ?
Températures à Hongkong
2- Voici les températures
24
26
28
30
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 janv fevr mars avril mai juin juil août sept octo nove dece
Température
en °
Mois
moyennes mensuelles
relevées à Sanya
l’année dernière.
a) Quel(s) mois de l’année
a-t-il fait le plus chaud ?
Quelle température
a-t-il fait ?
b) Quel(s) mois de l’année
a-t-il fait le plus froid ?
Quelle température
a-t-il fait ?
3- Peux-tu dire facilement
quelle est la ville la plus froide
des deux ?
Températures à Sanya

Exercice 16

50
55
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
lundi mardi mercredi jeudi vendredi
nombre
d'employés
présents
jours de
la semaine
Entreprise A
Entreprise B
Le diagramme ci-contre représente
le nombre d’employés présents dans
deux entreprises les cinq jours
de la semaine (les employés sont
parfois partis en déplacement,
parfois ils prennent des récupérations,
donc le nombre de personnes
n’est pas le même tous les jours).
1- Combien de personnes ont travaillé
dans les entreprises A et B mardi ?
2- Durant une journée, 30 personnes
sont venues travailler.
Quel est ce jour et quelle est
l’entreprise concernée ?
3- Dresse un tableau dans lequel figurera l’ensemble des données de ce graphique.
À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.
Exercice 17

Sept amis jouent au bowling. Ils comptabilisent le nombre total
de quilles qu’ils ont faites tomber sur l’ensemble de la partie.
Les données sont les suivantes :
On voudrait obtenir le diagramme en bâtons correspondant.
Pour cela :
• on sélectionne le tableau

• on clique sur le bouton « graphiques »

• on clique trois fois sur « suivant »
puis sur « terminer ».
On obtient alors automatiquement le
diagramme en bâtons correspondant.
1- Utilise ton tableau pour obtenir le diagramme en bâtons correspondant aux résultats
de la partie de bowling.


Nolwenn 7
Zinédine 10
Léa 10
Maxence 17
Téo 14
Paul 13
Myriam 12
2- Les sept amis effectuent une deuxième partie.
Voici les nouveaux résultats ci-contre.
Remplace les anciennes données
de ton tableau par les nouvelles.
Que remarques-tu ?
Séance 5
J’étudie les diagrammes circulaires
Voici trois graphiques qui représentent la part de la production chinoise parmi la production
mondiale d’ordinateurs portables, de réfrigérateurs et de jouets.
1- Quel est le pourcentage d’ordinateurs
ordinateurs portables
produit par la Chine
produit par le reste du mondeportables produits par la chine ?
.........................................................
2- Quel est le pourcentage de réfrigérateurs
produit par le reste du monde
réfrigérateurs
produits par la chine ? ...................
.........................................................
3- On peut lire sur le graphique ci-contre
produit par le reste du monde
jouets
70 %
que la Chine produit 70 % de la production
mondiale de jouets.
a) Sur 100 jouets produits dans le monde,
combien sont produits en Chine ?
.........................................................
.........................................................
b) Sur 40 jouets produits dans le monde, combien sont produits en Chine ?
.........................................................
.........................................................

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous puis recopie-le soigneusement sur ton cahier de cours.
e retiens
DIAGRAMME CIRCULAIRE – DIAGRAMME SEMI-CIRCULAIRE
• Un diagramme circulaire est un disque divisé en portions
50 %
40 %
10 %
blé
maïs
orge
(appelées encore secteurs) dont les angles sont
proportionnels aux pourcentages qu’ils représentent.
Ici, on a représenté la production d’un agriculteur en
différentes céréales.
Si ce cultivateur produit 800 kg de céréales au total, il produit :
• 50 % de 800 kg de blé soit sa moitié, c’est-à-dire 400 kg de blé.
• 10 % de 800 kg d’orge soit 800 ÷ 10 kg c’est-à-dire 80 kg d’orge.
• 40 % de 800 kg de maïs.
40
100
800 40 800 100 40 8 320× = × ÷( )= × = soit 320 kg de maïs.
• Un diagramme semi-circulaire est un demi-disque divisé
50 %
blé
40 %
maïs
10 %
orgeen portions dont les angles sont proportionnels
aux pourcentages qu’ils représentent.
j
Exercice 19

Quel pourcentage correspond à chaque diagramme ci-dessous ?
50 % 30 % 5 % 80 % 20 % 10%
................ ................ ................
................ ................ ................

Exercice 20

30 %
OUI
NON
NE SE
PRONONCENT
PAS
On effectue un sondage sur 400 personnes .
On a posé la question suivante : « Allez-vous voter pour monsieur F. ? ».
On obtient alors les données représentées par le diagramme circulaire
ci-contre.
1- Quel est le pourcentage de personnes qui ont répondu « NON » ?
2- Quel est le pourcentage de personnes qui ont répondu « OUI » ?
3- Quel est le nombre de personnes
a) qui ont répondu « NON »
b) qui ont répondu « OUI »
c) qui ne se sont par prononcées ?
Exercice 21

On a interrogé les habitants d’une ville pour savoir
s’ils préfèrent que soit construite une piscine, une patinoire
ou une salle de spectacle.
50 % des gens ont dit qu’ils préféraient une piscine
et 30 % une salle de spectacle.
1- Quel pourcentage des personnes interrogées ont dit qu’ils préféraient une patinoire ?
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
2- Trouve une légende pour le diagramme semi-circulaire ci-contre.
À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 22

Voici la population française de 2006 répartie
en trois catégories d’âge : les « moins de 20 ans »,
« de 20 ans à 59 ans », et les « 60 ans ou plus».
On voudrait obtenir le diagramme circulaire correspondant.
Pour cela :
• on sélectionne le tableau • on clique sur le bouton « graphiques »
• on clique sur « Secteurs » puis on
clique trois fois sur « suivant » et
enfin sur « terminer ». On obtient
alors automatiquement le diagramme
circulaire correspondant.
1- Utilise ton tableur pour obtenir le diagramme circulaire correspondant à la population
française de 2006.
2- Représente à l’aide d’un tableur le diagramme circulaire correspondant à la même
répartition, cette fois-ci donnée en pourcentage, et correspondant à l’année 1950.
Moins de 20 ans 20 ans à 59 ans 60 ans ou plus
30,2 53,6 13,2
3- Compare rapidement la répartition de la France de 1950 et celle de 2006.

Séance 6
J’étudie les diagrammes circulaires – suite –
Exercice 23
On veut représenter un pourcentage de 40 élèves à l’aide de diagrammes circulaires.
a) b)
180°
mesure de
l'angle
360°
180°
2÷2÷
nombre
d'élèves
40
...........
une portion d’angle 360° correspond au
disque entier. 360° correspond donc à
40 élèves.
c)
90°
mesure de
l'angle
360°
90°
4÷4÷
nombre
d'élèves
40
...........
d)
mesure de
l'angle
360°
72°
....÷....÷
72°
nombre
d'élèves
40
.......
je retiens
La mesure de l’angle d’une portion de
diagramme circulaire et le nombre qu’il
représente sont proportionnels.
Ici, la mesure de l’angle de la portion et le nombre
de bonbons de cette portion sont proportionnels. Si
le disque entier représente 100 bonbons,
la portion ci-contre représente 12,5 bonbons.
mesure de
l'angle
nombre de
bonbons
360° 100
45°
8÷8÷
12,5
45°

Exercice 24
Léa possède sur son ordinateur un disque dur d’une capacité de 300 Go
(c’est-à-dire 300 Gigaoctets).
La capacité de ce disque est souvent représentée à l’aide d’un diagramme circulaire.
1- 360 ° représentent ............ Go.
180 ° représentent ..........÷.......... soit ............ Go.
60° représentent ..........÷.......... soit ............ Go.
2- Déterminons combien de Go représente 24 °.
a) 360 ° représentent ......... Go donc : 1 ° représente
......
......
Go.
b) Simplifions la fraction
300
360
:
300
360
30
36
5
6
=
×
×
=
×
×
..........
..........
..........
..........
==
..........
..........
c) 24° représentent 24 x 300
360
Go soit : 24 x
......
......
Go (utilise la question précédente !)

24
5
6
24 5 5× = ÷( )× = × =....... ....... .......
24 ° représentent donc ....................... .
Exercice 25

42°
aiment partir
en vacances
n'aiment
pas partir
en vacances
On a demandé à 240 personnes si elles préféraient
partir en vacances ou rester chez elles.
Les réponses sont représentées par le diagramme
circulaire ci-contre.
1- Combien de personnes, parmi les personnes
interrogées, n’aiment pas partir en vacances ?
2- Combien de personnes, parmi les personnes
interrogées, préfèrent partir en vacances ?
Exercice 26
sports
lecture
télévision
musique
Voici ci-contre les occupations des 200 élèves de 5e
le mercredi après-midi.
1- Mesure les angles et présente les données dans un tableau.
Avant d’effectuer la question suivante, tu peux aller regarder
le corrigé de la question 1.
2- Calcule le nombre (approximatif) d’élèves qui pratiquent chacune des occupations.

Exercice 27
Le diagramme circulaire ci-contre représente les dépenses d’une famille
35 %
40 %
au mois de juin. Elle a consacré 40 % de ses revenus pour se nourrir et
se vêtir, 35 % pour des travaux et le reste pour se loger.
1- Quel pourcentage représente la portion verte ?
2- Calcule les angles de chacune des portions du diagramme circulaire.
3- Reproduis ce diagramme circulaire sur ton cahier. Tu représenteras
un diagramme dont le rayon est 4 cm.
Exercice 28
Voici les répartitions hommes-femmes
de deux entreprises. Dans laquelle des deux
entreprises y a-t-il le plus d’hommes ?
Séance 7
J’étudie les graphiques cartésiens

Le graphique ci-dessous représente le nombre d’habitants en Chine en 1965, 1970, ..., 2000.
700 000 000
800 000 000
900 000 000
1 000 000 000
1 100 000 000
1 200 000 000
1 300 000 000
1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2 000
année
population
en nombre d'habitants
Entreprise A Entreprise B
FemmesHommes
60 %
Femmes
40 % 40 %
Hommes
60 %


1- Écris 900 000 000 en toutes lettres.................................................................................
.....................................................................................................................................
2- Combien d’habitants la Chine avait-elle en 1970 ? .........................................................
en 1980 ? ............................................ en 1990 ? ....................................................... .
3- En quelle année la population chinoise a atteint 1 300 000 000 habitants ?
.................................................................................................................................... ,
1 000 000 000 d’habitants ? ....................................................................................... .
e retiens
GRAPHIQUE CARTÉSIEN
0
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
0 1 2 3
heures
de vol
altitude
en m
4 5 6 7 8 9
Le graphique ci-contre est
un graphique cartésien. Il représente
l’altitude
d’un avion
au décollage, au bout d’une heure, ...
au bout de 9 heures.
Au bout de 7 h, l’avion se trouve
à une altitude
de 4 000 m.
j
Effectue les trois exercices ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
Exercice 30

0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
0 126 18
nombre de
tickets achetés
prix
en �
Des tickets pour aller aux manèges de fête foraine
se vendent par lots de 6. Les prix sont indiqués
dans le graphique cartésien ci-contre.
1- Dresse un tableau dans lequel tu vas faire figurer
les prix de chaque lot de tickets de manège (0, 6, 12, 18).
2- Que peux-tu dire du prix des tickets et de leur nombre ?
3- Comment la situation de proportionnalité se traduit-elle
sur ce graphique ?

Exercice 31

0
25
50
75
100
125
0 84 12
temps
s
vitesse
km/h
16 20
On effectue des essais de vitesse au démarrage d’une voiture.
On évalue sa vitesse au bout de 4, 8, 12, 16 et 20 secondes.
1- Dresse un tableau dans lequel tu vas faire figurer l’ensemble
des données de ce graphique cartésien.
2- La vitesse de la voiture et le temps sont-elles proportionnelles ?
Exercice 32

2
3
4
5
7
9
11
6
8
10
12
0 42 6
temps
h
hauteur d'eau
m
8 10 12 1614 18 20 22 24
Le graphique cartésien ci-contre
représente la hauteur d’eau dans
le port de Saint-Malo (en Bretagne)
une journée.
1- Quelle était la hauteur de la mer
à 10 h, à 20 h, à 22 h ?
2- À quelle heure la hauteur de
la mer a-t-elle été la plus haute ?
3- À quelle heure la hauteur de
la mer a-t-elle été de 3,5 m ?
À l’aide d’un ordinateur, lance ton application tableur et effectue l’exercice ci-après sur ton livret.
Exercice 33

A B
CD
Problème :
Monsieur Dujardin dispose de 40 m de clôture. Il voudrait clôturer un jardin
rectangulaire comme ci-contre. Monsieur Dujardin souhaite faire en sorte
que l’aire du rectangle ABCD soit la plus grande possible.
Quelle doit alors être la longueur de AB et celle de BC ?
1- Prenons une valeur « au hasard » pour AB, par exemple AB = 2 m. Que vaut BC ?
Le périmètre du rectangle est 40 m, donc on a : 2 x ( AB + BC ) = ...........
Le nombre AB + BC multiplié par deux donne 40, donc le nombre AB + BC est égal à 20.
Le nombre BC est donc égal à 20 moins le nombre AB, soit : BC = 20 – AB.
BC = 20 – ........... = ........... m.
L’aire du rectangle est alors : AB x BC = .......... x .......... = .......... .


2- Nous allons faire automatiquement les calculs pour d’autres valeurs par un tableur :
a) Commence par entrer les données dans ton tableur.
b) Double clique sur la case B2 et écris « =20-B1 ».
Une fois après avoir appuyé sur « Entrée »,
le résultat de 20 - 4, soit 16, s’affiche dans la case B2. C’est la valeur de BC.
c) Double clique sur la case B3 et écris « =B1*B2 ». Une fois après avoir appuyé sur
« Entrée », le résultat de 4 x 16, soit 64, s’affiche dans la case B3. C’est l’aire du
rectangle ABCD.
3- En changeant simplement la valeur de AB (soit la case B1 dans le tableur),
remplis le tableau suivant.
AB 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
BC 18 16 ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
aire 36 64 ......... ......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
Pour quelle valeur de AB l’aire semble-t-elle la plus grande ?
4- Recopie le tableau
ci-dessus dans le
tableur et
sélectionne la dernière ligne.
Clique sur l’icône « graphique », puis sur « courbes », puis clique
trois fois sur « suivant » puis sur « terminer ».
On obtient alors un graphique cartésien. La courbe qui nous intéresse
est la courbe bleue. D’après une lecture graphique, pour quelle valeur
de AB l’aire est-elle la plus grande ? ............................................
Quelle est alors la valeur de BC ? ......................
L’aire de ABCD ? ...................
Quelle est la forme du champ de monsieur Dujardin ?
.................................................................................
................................................................................ .

Séance 8
J’étudie les diagrammes cartésiens – suite –
Exercice 34

Voici quatre verres de formes différentes (et un peu rigolote !). Le diamètre de la surface de
l’eau est d et la hauteur du liquide est h.
d
d
d
h
h
h
h
verre 1 verre 2 verre 3 verre 4
d
1- Voici les quatre graphiques cartésiens (dans le désordre) correspondant au remplissage
des quatre verres. Écris le verre correspondant à chacun de ces diagrammes.
d
h
d
h
d
h
d
h
................................ .............................. ............................. .............................
2- Dessine la forme d’un verre qui correspondrait au graphique cartésien suivant :

d
h


Exercice 35

Voici les résultats des cinq sauts de deux athlètes en saut en hauteur, lors d’un meeting
d’athlétisme.
1,8
1,9
1,7
21 3
numéro
de saut
hauteur
m
4 5
athlète A athlète B
1- Quel athlète a sauté le plus haut lors du 1er
saut ? du 3ème
saut ? du 2ème
saut ?
2- Que peux-tu dire de l’ensemble des cinq sauts de l’athlète B en terme de progression ?
3- Dresse un tableau et places-y les hauteurs des sauts des deux athlètes.

je m’évalue
1- On repère la distance d’une ville à la
ville de Paris à l’aide de la demi-droite
graduée suivante. L’unité est le km.
À quelle distance se trouve la ville 1 de
Paris ?
0 100
ville 1Paris
® 200 km
® 125 km
® 150 km
® 110 km
2- L’unité est toujours le km. À quelle
distance se trouve la ville 2 de Paris ?
0 20
ville 2Paris
® 17,5 km
® 15 km
® 19 km
® 3,5 km
3- Voici les plus grands nombres de points
marqués en un match pendant toute la
saison de basket.
Joueur A Joueur B Joueur C Joueur D
48 52 49 53
Quelle joueur a marqué le plus de points ?
® le joueur A
® le joueur B
® le joueur C
® le joueur D
4- Quel est le nombre total d’élèves de ce
collège ?
niveau garçons filles total
6e
64 59 ?
5e
? 84 184
4e
? 92 188
3e
84 ? ?
total ? 321 ?
® 580
® 585
® 660
® 665
5- Le diagramme ci-dessous représente le
nombre de victoires de quatre équipes
pendant toute la saison de football.
Combien l’équipe 2 a-t-elle gagné de
matchs ?
20
15
10
5
0
équipe 1 équipe 2 équipe 3 équipe 4
nombre de victoires
équipe
® 12
® 13
® 14
® 15
6- Quelle est l’équipe qui a remporté
5 victoires ?
20
15
10
5
0
équipe 1 équipe 2 équipe 3 équipe 4
nombre de victoires
équipe
® l’équipe 1
® l’équipe 2
® l’équipe 3
® l’équipe 4

je m’évalue
7- Voici la décomposition d’un aliment en
glucides, lipides et protides.
Quel pourcentage de protides contient-il ?
29 %
62 %
lipides
glucides
protides
® 8 %
® 9 %
® 7 %
® 10 %
8- Quelqu’un mange 200 g de l’aliment
précédent.
Quelle masse de protides a-t-il mangé ?
® 18 g
® 9 g
® 20 g
® 120 g
9- Voici la température de l’eau d’un
aquarium. Quelle était la température
de l’eau mercredi ?
19
18
17
20
mardilundi0 mercredi
nombre
de jour
température
en degrés
jeudi vendredi
® 17,6°
® 18,3°
® 17,9°
® 18,9°
10- Les données sont celles de la question
précédente.
Quel jour la température de l’eau a-t-elle
été de 19,3 ° ?
® lundi
® mardi
® mercredi
® vendredi

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Je redécouvre le parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Je découvre la perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Je calcule des longueurs et des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Je dessine en perspective cavalière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Je construis un patron d’un parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
J’apprends à calculer le volume d’un parallélépipède rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
Je revois les unités de contenance. Je convertis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
J’effectue des problèmes sur les volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
J’effectue des problèmes de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386









©Cned-2009
Objectifs
 Savoir reconnaître un parallélépipède rectangle.
 Savoir représenter un parallélépipède rectangle en perspective cavalière.
 Savoir construire un parallélépipède rectangle.
 Savoir calculer le volume d’un parallélépipède rectangle.


Séance 1
Je redécouvre le parallélépipède rectangle
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SEQUENCE N° 12.
Voici un cube :
1- Le point représenté en rouge est appelé :
® un angle
® une arête
® un côté
® une face
® un sommet
2- Pour ce cube, le segment bleu est
appelé :
® un angle
® une arête
® un côté
® une face
® un sommet
3- La surface verte est appelée :
® un angle
® une arête
® un côté
® une face
® un sommet
4- Le nombre de faces d’un cube est :
® 4
® 6
® 8
® 12
5- Le nombre de sommets d’un cube est :
® 4
® 6
® 8
® 12
6- Le nombre d’arêtes d’un cube est :
® 4
® 6
® 8
® 12

Voici maintenant une activité que tu vas effectuer tout au long de cette séquence 12.
Elle s’intitule « Julie et les volumes ». Effectue l’exercice ci-dessous directement sur ton livret.
Exercice 1 « Julie et les volumes »
Voici neuf emballages que l’on trouve dans la « poubelle jaune » de tri sélectif de Julie.
Chaque emballage représente un solide.
1- Écris ci-dessous
les numéros des
emballages n’ayant
que des faces planes :
..............................
..............................
..............................
..............................
2- Écris ci-dessous
les numéros des
emballages n’ayant
que des faces
rectangulaires :
..............................
..............................
..............................
..............................
emballage 1 emballage 2 emballage 3
3- Complète le tableau suivant :
emballage nombre de sommets nombre de faces nombre d’arêtes
emballage 2
............ ............ ............
emballage 4
............ ............ ............
emballage 6
............ ............ ............
emballage 8
............ ............ ............

4- En utilisant le tableau précédent, écris ci-dessous ce que tu peux en conclure sur les
sommets, les faces et les arêtes des emballages n’ayant que des faces rectangulaires :
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
5- Comment appelle-t-on un solide dont toutes les faces sont des rectangles ?
.....................................................................................................................................
6- Comment appelle-t-on un solide dont toutes les faces sont des carrés ?
.....................................................................................................................................
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours, et écris en rouge :
« SÉQUENCE 12 : PARALLÉLÉPIPÈDES RECTANGLES. VOLUMES ».
Fais de même avec ton cahier d’exercices. Recopie ensuite le paragraphe suivant dans ton cahier
d’exercices.
e retiens
Le parallélépipède rectangle
Définition :
A B
CD
E F
GH
Un parallélépipède rectangle est un solide dont toutes les faces
sont des rectangles.
Ici :
• Les sommets sont les points A , B, C , D , E , F, G et H.
• Les faces du parallélépipède rectangle sont les rectangles ABCD, EFGH,
ABFE, BCGF, DCGH et ADHE.
• Une arête est un segment dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d’une face.
Les segments [AB], [BC] ou [BF] sont par exemple des arêtes. [BG] n’est pas une arête.
Définition :
Un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont
L K
JI
P O
NM
des carrés est appelé un cube.
Ici :
• Les sommets sont les points I, J, K, L, M, N, O et P.
• Les faces du cube sont les carrés IJKL, MNOP, IJNM, JKON, LKOP
et ILPM.
Propriété
Un parallélépipède rectangle a huit sommets, six faces et douze arêtes.
j
Lis attentivement ce qui suit et retiens la méthode.
Nommer le parallélépipède rectangle représenté ci-contre
A B
C
D
E F
GH
• On commence par nommer une face : par exemple ABCD.
• Avant de continuer à nommer le parallélépipède,
* on repère :
- la face parralèle à la première (ici, c’est EFGH).
A B
C
D
E
GH
F
- les arêtes qui « relient » les deux faces considérées
(ici : [AE], [BF], [CG], [DH])
* on pense : « à A correspond E,
à B correspond F… »
A B C D E F G H• On continue de nommer le parallélépipède considéré :

Effectue l‘exercice suivant directement sur ton livret.
Exercice 2

A
B C
D
E
F G
H
Complète les notations du parallélépipède rectangle représenté ci-contre :
a) ABCD ................
b) ADHE ................
c) AEHD ................
d) HDCG ................
e) CGF ................
Exercice 3 « Julie et les volumes » — suite —

Julie veut représenter sur une feuille de papier blanc une petite boîte
d’allumettes en forme de parallélépipède rectangle.
Parmi les quatre figures ci-dessous, laquelle te paraît la plus adaptée ?
coche la case correspondante.
® ®
® ®
Séance 2
Je découvre la perspective cavalière
Lis attentivement et recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.
e retiens
Représentation en perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle
• Les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] qui sont parallèles et
A B
CD
E F
GH
de même longueur dans la réalité, sont représentées ici
par des segments parallèles et de même longueur.
• Les arêtes [AD], [DH] et [DC] qui ne sont pas visibles
dans la réalité sont représentées en pointillés.
• La face ABFE en avant et la face DCGH en arrière sont
représentées en vraie grandeur.
• Les arêtes [EH], [FG], [BC] et [AD] qui « relient la face avant et la face arrrière »
sont dessinées plus petites que dans la réalité.
j

Exercice 4

A B
CD
E F
GH
1- a) Nomme toutes les faces « non visibles » de la représentation
en perspective cavalière du parallélépipède rectangle ABCDEFGH
dessinée ci-contre.
b) Nomme la face avant et la face arrière.
2- a) Nomme toutes les faces « non visibles » de la représentation
A B
CD
E F
GH
en perspective cavalière du parallélépipède rectangle ABCDEFGH
dessinée ci-contre.
b) Nomme la face avant et la face arrière.
Exercice 5

A B
CD
E
F
GH
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Précise si, dans la réalité,
les phrases suivantes sont justes ou fausses en justifiant tes réponses.
1- ADHE est un rectangle.
2- EABF n’est pas un carré.
3- EFGH est un carré.
4- BCG n’est pas un triangle rectangle.
5- AB = BC
Exercice 6

I J
KL
M N
OPOn considère le parallélépipède rectangle IJKLMNOP représenté ci-contre:
1- Nomme toutes les arêtes ayant pour extrémité le point P.
2- Nomme toutes les faces ayant le sommet L en commun
3- Nomme toutes les faces ayant pour côté l’arête [JK].
4- Quelles sont les faces parallèles à la face MNOP ?
5- Nomme toutes les arêtes parallèles à l’arête [NO].
6- Nomme toutes les arêtes perpendiculaires à l’arête [NO].
7- Nomme toutes les arêtes perpendiculaires à la face MPLI.
Exercice 7

A B
CD
E F
GH
6 cm
4 cm
5 cm
On a représenté ci-contre le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
Construis en vraie grandeur les faces DCGH, HGFE et CGFB.

Séance 3
Je calcule des longueurs et des aires
Effectue les quatre exercices suivants sur ton cahier d’exercices en justifiant bien tes réponses :
Exercice 8

A B
CD
E F
GH
6 cm
4 cm
5 cm
1- On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-contre.
a) Détermine la longueur totale l des arêtes de ABCDEFGH.
b) Détermine l’aire totale des faces de ABCDEFGH.
2- On considère un parallélépipède rectangle dont les dimensions
sont 1,2 dm ; 3,5 cm et 19 mm.
a) Détermine la longueur totale l' en cm des arêtes de ce parallélépipède rectangle.
b) Détermine l’aire totale des faces en cm2
de ce parallélépipède rectangle.
Exercice 9
1- Détermine la longueur totale des arêtes et l’aire totale des faces d’un cube d’arête 11 cm.
2- La longueur totale des arêtes d’un cube est 120 cm. Détermine l’aire totale des faces de ce
cube.
3- L’aire totale des faces d’un cube est 150 cm2
. Détermine la longueur totale des arêtes de
ce cube.
Exercice 10
Dans une pâtisserie, on utilise du ruban orange pour fermer les boîtes de gâteaux toutes
identiques et de forme parallélépipédique comme indiqué dans le schéma ci-dessous :
16 cm
16 cm8 cm
Sachant que l’on utilise 22 cm de ruban pour faire le nœud, quelle longueur de ruban est
nécessaire pour fermer un paquet ?

Exercice 11

4,8 m
3,5 m
6,2 m
Noé veut repeindre les faces
(sauf celle qui s’appuie sur le sol)
d’une cuve de gasoil de forme
parallélépipédique qui repose
à même le sol.
Un pot de peinture permet de
peindre 5 m2
et sachant que l’on
applique deux couches de peinture,
combien de pots de peinture Noé doit-il acheter ?
Séance 4
Je dessine en perspective cavalière
Effectue directement sur ton livret les trois exercices suivants :
Exercice 12

Colorie en vert la face avant de chacun de ces quatre cubes.
cube n° 1 cube n° 2
cube n° 3 cube n° 4

Exercice 13

Complète les figures ci-dessous afin d’obtenir la représentation en perspective cavalière d’un
parallélépipède rectangle
a) b)
Effectue sur ton cahier d’exercices l’exercice suivant :
Exercice 14
Représente en perspective cavalière un cube d’arête 4 cm.
Lis attentivement le paragraphe ci-dessous qui te présente une méthode permettant de « bien »
représenter un cube.
Représenter en perspective cavalière un cube d’arête 3 cm
1-
On commence par représenter la face avant en
vraie grandeur : un carré de côté 3 cm.
2-
45 °
45 °45 °
1,5
cm
1,5
cm
1,5
cm
On représente les arêtes oranges.
On peut choisir qu’elles fassent un angle de 45°.
On peut choisir qu’elles soient deux fois plus
petites que dans la réalité, c’est-à-dire qu’elles
mesurent ici 1,5 cm.
3-
On trace les deux dernières arêtes visibles.
4-
On trace les trois arêtes « cachées » en pointillés.

Remarque : pour représenter un parallélépipède dont on connaît les trois dimensions, on utlisera la
méthode vue dans le précédent « Je comprends la méthode »
Exercice 15
1- Représente en perspective cavalière un parallélépipède rectangle dont les dimensions
sont 6 ; 4 cm et 10 cm, la face avant choisie étant celle ayant la plus petite aire.
2- Représente en perspective cavalière un parallélépipède rectangle dont les dimensions
sont 5 cm ; 4,3 cm et 3 cm, la face avant choisie étant celle ayant la plus grande aire.
Exercice 16
Complète les quatre figures ci-dessous afin d’obtenir les représentations en perspective
cavalière de parallélépipèdes rectangles.
c) d)
e) f)
Séance 5
Je construis un patron d’un parallélépipède rectangle
Nous allons reprendre l’activité « Julie et les volumes ». Effectue les deux exercices ci-dessous
sur ton livret.

Les deux figures ci-dessous sont également représentées dans la dernière « page découpage »,
à la fin de ton livret. Reporte-toi à cette page et découpe soigneusement les deux figures
représentées.
Plie ensuite chacune des deux figures afin d’obtenir deux boîtes, (utilise du papier adhésif).
Quels solides obtiens-tu ?
Figure 1 : .........................................................................................
Figure 2 : .........................................................................................


A
E F
GH
B
CD
Julie voudrait fabriquer en carton cette petite boite de jus de fruit
ayant la forme d’un parallélépipède rectangle et représentée ci-contre.
Pour cela, elle découpe successivement avec une paire de ciseaux l’arête
[GH], l’arête [HE], l’arête [EF], l’arête [GC], l’arête [HD], l’arête [EA]
puis l’arête [FB].
Elle met à plat son découpage et elle obtient un patron de sa boite
de jus de fruit représenté ci-dessous :

patron On plie ... On obtient un
parallélépipède
rectangle
La figure ci-dessus est appelée « patron ». C’est une figure, qui, si elle est découpée et pliée
convenablement, va représenter le parallélépipède rectangle ci-dessus en réalité.
marque sur le patron ci-dessus les noms des sommets, numérote les faces parallèles par un
même chiffre puis code les segments de même longueur.
Remarque : pour nommer un point du solide, par exemple H, qui se retrouve en plusieurs lieux différents
sur le patron, nomme le second H’, le 3ème
H’’...
Exercice 19
Indique pourquoi les figures suivantes ne sont pas des patrons de parallélépipèdes rectangles.
a) b)
c) d)

Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.
Exercice 20
Complète les figures suivantes afin que chacune représente le patron d’un parallélépipède
rectangle.
a) b)
c) d)
Exercice 21
Complète la figure suivante en utilisant tes instruments de géométrie afin qu’elle représente
un patron de parallélépipède rectangle. Tu coderas les longueurs égales sur ton patron.


Exercice 22
1- Construis un patron du parallélépipède rectangle représenté ci-dessous :
A
E F
GH
B
CD
4 cm
2 cm
3,5 cm
2- Construis un patron d’un cube de 2,8 cm d’arête.
3- Construis un patron d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 5 cm,
2,5 cm et 1 cm.
Séance 6
J’apprends à calculer le volume
d’un parallélépipède rectangle
Lis attentivement et recopie à la suite sur ton cahier d’exercices le paragraphe suivant.
e retiens
UNITÉS DE VOLUMES
Définition : l’unité principale de mesure des volumes est le mètre cube, noté m3
et
on a les définitions suivantes :
1 m3
est le volume d’un cube de 1 m d’arête
1 dm3
est le volume d’un cube de 1 dm d’arête
1 cm3
est le volume d’un cube de 1 cm d’arête
j
Nous allons reprendre l’activité « Julie et les volumes ». Fais l’exercice suivant sur ton cahier
d’exercices.


A
E F
GH
B
CD
12 cm
6 cm
10 cm
Julie possède un petit aquarium
qui a la forme d’un parallélépipède
de dimensions : 12 cm, 10 cm
et 6 cm qui est représenté
ci-contre. Elle a à sa disposition
des cubes de 1 cm d’arête.
1- Combien de cubes de 1 cm
d’arête peut-elle disposer
le long de l’arête [AB]
puis le long de l’arête [BF] ?
d’arête peut-elle empiler
le long de l’arête [BC] ?
d’arête peut-elle disposer
au fond de son aquarium ?
4- Combien lui faut-il de cube de 1 cm d’arête pour remplir complètement son aquarium ?
Ce nombre est appelé le volume en cm3
de l’aquarium.
5- En utilisant la méthode des questions précédentes, quel est le volume d’un cube
d’arête 7 cm ?
Lis attentivement et recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.
e retiens
Volume d’un parallélépipède rectangle
Définition : le volume V d’un parallélépipède rectangle est le produit de ses
trois dimensions.
Attention ! Les dimensions doivent toutes être exprimées dans la même unité.
Au besoin, on les convertit dans la même unité.
a
b
c
a
V = a x b x c V = a x a x a
j
Exercice 24

Calcule le volume des solides suivants :
1- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 1,2 dm ; 2,5 dm et 3 dm.
2- Un cube d’arête 6 cm.
3- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 4 cm ; 1,6 dm et 2,5 cm.
4- Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont : 0,34 cm ; 5 mm et 3,6 mm.

Exercice 25
Les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont notés a, b et c et son volume V .
Complète le tableau suivant après l’avoir recopié :
a b c V
6 cm 5 cm 0,4 dm
2,5 cm 9 cm 90 cm3
5 m 14 m 49 m3
1,2 dm 6 cm 72 cm3
Exercice 26

On considère un cube vide de 1 dm d’arête que l’on remplit
avec des cubes de 1 cm d’arête.
1- Complète la phrase suivante :
Le cube vide de 1 dm d’arête contient ..........................
cubes de 1 cm d’arête.
Donc : 1 dm3
= ................ cm3
2- Complète les égalités suivantes :
1 m3
= ................ dm3
1 cm3
= ................ mm3
Lis attentivement le paragraphe suivant. Recopie-le ensuite sur ton cahier de cours.
e retiens
Correspondances entre les unités de volumes
1 m3
= 1 000 dm3
1 dm3
= 1 000 cm3
1 cm3
= 1 000 mm3
j
Exercice 27

Complète les égalités suivantes :
a) 1 cm3
= ................ mm3
b) 1 dm3
= ................ cm3
= ................ mm3
c) 1 m3
= ................ dm3
= ................ cm3
= ................ mm3
d) 1 dm3
= ................ m3
e) 1 cm3
= ................ dm3
= ................ m3
f) 1 mm3
= ................ cm3
= ................ dm3
= ................ m3

Nous allons apprendre à passer d’une unité de volume à une autre.
1) Convertis 0,12 m3
en dm3
2) Convertis 5 698 cm3
en dm3
On utilise : 1 m3
= 1 000 dm3
0,12 m3
=(0,12x1000)dm3
= 120 dm3
.
On utilise : 1 cm3
= 0,001 dm3
5 698 cm3
= (5 698 x 0,001) dm3
= 5,698 dm3
.
Effectue les deux exercices suivants directement sur le livret.
Exercice 28

Complète les égalités suivantes :
a) 12 m3
= ................ dm3
b) 12 dm3
= ................ m3
c) 145 dm3
= ................ mm3
d) 145 cm3
= ................ dm3
e) 5 125 dm3
= ................ m3
f) 9,82 cm3
= ................ mm3
g) 0,569 dm3
= ................ mm3
h) 21 732 cm3
= ................ m3
Exercice 29

Complète les égalités suivantes avec l’unité de volume qui convient.
a) 12,56 dm3
= 12 560...... b) 78 925 dm3
= 78,925......
c) 0,25 m3
= 250...... d) 7 900 mm3
= 7,9......
e) 0,003 dm3
= 3 000...... f) 44 568 cm3
= 0,044 568......
Séance 7
Je revois les unités de contenance. Je convertis
Lis attentivement le paragraphe suivant qui contient des rappels sur les unités de contenance que
tu as étudiées en CM2.
e retiens
Les unités de contenance
L’unité principale de contenance est le litre noté L.
Les autres unités sont :
• le décilitre noté dL 1 L = 10 dL et 1 dL = 0,1 L
• le centilitre noté cL 1 dL = 10 cL et 1 cL = 0,1 dL
• le millilitre noté mL 1 cL = 10 mL et 1 mL = 0,1 cL
• le décalitre noté daL 1 daL = 10 L et 1 L = 0,1 daL
• l’hectolitre noté hL 1hL = 10 daL et 1 daL = 0, 1 hL
j

Nous allons apprendre à passer d’une unité de contenance à une autre. Lis attentivement
le paragraphe ci-dessous.
1- Convertir 0,6 daL en dL 2- Convertir 635 cL en L
On utilise :
1 daL = 10 L = (10 x 10) dL = 100 dL
donc :
0,6 daL = (0,6 x 100) dL = 60 dL
On a : 1 L = 10 dL = 100 cL
d’où : 1 cL = 0,01 L.
On obtient donc :
635 cL = (635 x 0,01) L = 6,35 L
Effectue l’exercice suivant directement sur le livret.
Exercice 30

Complète les égalités suivantes directement sur le livret :
a) 48 dL = ................ L b) 16 hL = ................ L
c) 0, 23 L = ................ cL d) 45,9 L = ................ daL
e) 2,35 hL = ................ dL f) 2,35 hL = ................ daL
g) 47,31 cL = ................ daL h) 17 589 mL = ................ L
Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercice.
Exercice 31 « Julie et les volumes » — fin —

25 cm
10 cm
4 cm
Julie a mesuré les dimensions d’une boîte d’un litre de jus de fruit,
elle a trouvé 10 cm, 25 cm et 4 cm.
1- Détermine le volume en cm3
puis en dm3
de la boite
de jus de fruit.
2- Recopie et complète l’égalité : 1 L = ........... dm3
1 L = ........... mL et 1 dm3
= ........... cm3
donc 1mL = ........... cm3
Recopie le paragraphe suivant sur ton cahier de cours.
e retiens
Correspondance entre les unités de contenance et les unités de volumes
1 L = 1 dm3
1 mL = 1 cm3
j
Nous allons apprendre à passer d’une unité de contenance à une unité de volume et inversement.

1- Convertir 12 daL en cm3
2- Convertir 45 dm3
en hL
On commence par convertir 12 daL en L
soit en dm3
.
On obtient donc :
12 daL = 120 L = 120 dm3
.
De plus : 120 dm3
= 120 000 cm3
.
Finalement : 12 daL = 120 000 cm3
.
On utilise : 1 L = 1 dm3
et on obtient :
45 dm3
= 45 L = 0,45 hL.
Effectue les trois exercices suivants directement sur le livret. Cherche d’abord sur ton cahier de
brouillon.
Exercice 32
Complète les égalités suivantes l’unité de contenance qui convient.
a) 56,8 dL = 5 68...... b) 58 200 cL = 582......
c) 0,023 hL = 23...... d) 26,8 mL = 0,026 8......
Exercice 33
Complète les égalités suivantes.
a) 14,6 dm3
= ................ L b) 5 m3
= ................ L
c) 5,12 dm3
= ................ dL d) 45 dm3
= ................ daL
e) 124 cm3
= ................ cL f) 125,8 L = ................ dm3
g) 456 cL = ................ cm3
h) 1 589 mL = ................ mm3
i) 0,6 hL = ................ dam3
Tu pourras utiliser : 1 L = 1 dm3
.
Exercice 34
1- Complète les égalités suivantes avec l’unité de contenance qui convient.
a) 123 dm3
= 123...... b) 57,4 dm3
= 574......
c) 5 697dm3
= 56,97...... d) 1,89 m3
= 189 000......
2- Complète les égalités suivantes avec l’unité de volume qui convient .
a) 2,012 L = 2 012...... b) 456,23 L = 0,456 23......
c) 450 cL = 4 500...... d) 0,007 hL = 700......
Pense à utiliser : 1 L = 1 dm3
.

Exercice 35
Range dans l’ordre croissant les volumes suivants :
4,05 L ; 4 265 cm3
; 0,05 hL ; 390 cL ; 3,95 dm3
; 0,004 m3
.
Séance 8
J’effectue des problèmes sur les volumes
Effectue les quatre exercices ci-dessous sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien justifier
tes réponses.
Exercice 36
L’intérieur d’une jardinière a la forme d’un parallélépipède rectangle dont la base est
un carré de 90 cm de côté et dont la hauteur mesure 96 cm. On la remplit de terre aux trois
quarts de sa hauteur. Quel est le volume, en m3
,de la terre contenue dans la jardinière ?
Une jardinière est un récipient dans lequel on met des plantes.
Exercice 37
Une piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur 25 m, de largeur 15 m et
de profondeur 1,80 m. Calcule le volume d’eau en hL contenu dans la piscine.
Exercice 38

2 cm
2,5 cm1,8 cm
20 cm
5,4 cm 10 cm
La figure représente une boîte
de caramels et l’un de ses caramels.
1- Combien peut-on ranger au maximum
de caramels dans la boîte ?
2- Réponds à la question précédente
en utilisant une autre méthode
qui fait intervenir les volumes.

Exercice 39

70 cm
50 cm
35 cm
Un aquarium a la forme d’un parallélépipède
dont les dimensions sont 45 cm de longueur,
35 cm de largeur et 50 cm de hauteur.
On le remplit d’eau jusqu’à ce que le niveau d’eau
soit à 10 cm du bord supérieur.
1- Dessine à main levée une représentation de l’aquarium rempli d’eau, en perspective
cavalière et codée.
2- Quel est le volume d’eau en L ?
3- On dépose au fond de l’aquarium des objets décoratifs et le niveau de l’eau monte de
4 mm. Quel est le volume total de ces objet en cm3
?
S’il te reste du temps et si tu souhaites aller plus loin, je te propose d’effectuer les deux exercices
ci-dessous sur ton cahier d’exercices.
Exercice 40
Lorsque l’on congèle 1 L d’eau, on obtient 1,09 L de glace.
Un congélateur fabrique des glaçons dont la forme est un cube de 2 cm d’arête.
1- Quel est le volume en L d’un glaçon, de 100 glaçons ?
2- Quelle quantité d’eau arrondie au mL est utilisée par le congélateur pour fabriquer
100 glaçons ?
Exercice 41
Un parallélépipède rectangle a un volume de 28 cm3
. Ses dimensions sont des nombres
entiers de centimètres. Indique toutes les dimensions possibles de ce parallélépipède
rectangle.
Séance 9
J’effectue des problèmes de synthèse
Effectue les trois exercices ci-après sur ton cahier d’exercices. Applique-toi à bien justifier
tes réponses.

Exercice 42
Pour fermer un colis en carton de forme cubique, il a fallu recouvrir toutes ses arêtes avec
du papier adhésif. Pour cela on a utilisé 144 cm de papier adhésif.
1- Quelle est la longueur d’une arête de ce colis ?
2- Quel le volume en litre de ce colis ?
Exercice 43
1- Complète, après les avoir recopiées, les égalités suivantes :
1 x 1 x 1 = ....... 2 x 2 x 2 = ....... 3 x 3 x 3 = ....... 4 x 4 x 4 = ....... 5 x 5 x 5 = ....... 6 x 6 x 6 = .......
2- On dispose de 200 cubes de 1 dm d’arête. En les assemblant, on réalise le plus grand
cube possible.
a) Combien a-t-on utilisé de petits cubes ? Combien en reste-t-il ?
b) Quelle est l’arête du grand cube ?
Exercice 44
Le salon d’une maison est un parallélépipède rectangle. Les dimensions au sol sont 5,50 m
et 4,50 m, avec une hauteur est de 3 m. Afin de réduire les dépenses de chauffage, on décide
de diminuer le volume de la pièce en abaissant le plafond. Calcule la nouvelle distance h, du
sol au plafond, pour que le nouveau volume de la pièce représente 80 % du volume initial.
S’il te reste du temps alors cherche l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices :
Exercice 45
Essaie de trouver les onze patrons différents d’un cube de 2 cm d’arête. (Tu peux les tracer en
utilisant les carreaux de ta feuille si cela t’aide.)
Nous allons terminer cette séquence 12 par un test. Lis attentivement les questions et coche
Attention ! Pour certaines questions, plusieurs réponses sont justes.

je m’évalue
1- Les faces d’un parallélépipède rectangle
sont des :
® carrés
® losanges
® rectangles
® triangles
2- Le nombre d’arêtes d’un parallélépipède
rectangle est :
® 4
® 6
® 8
® 12
3- Dans la figure
A
E F
GH
B
CD
représentée en
perspective cavalière
ci-contre, les faces
ABCD et EFGH sont :
® parallèles.
® perpendiculaires.
® sécantes.
4- Dans la figure
A
E F
GH
B
CD
représentée en
perspective cavalière
ci-contre, les arêtes
[BC] et [CG] sont :
® parallèles.
® perpendiculaires.
® sécantes.
5- Parmi les figures suivantes, quelles sont
celles qui ne représentent pas le patron
d’un cube ?
® ®
® ®
6- Les dimensions d’un parallélépipède
rectangle sont 2 cm, 5 cm et 6 cm alors
son volume est :
® 42 cm
® 104 cm2
® 60 cm3
® 13 cm3
7- 1 540 cm3
sont égaux à :
® 1 540 dm3
® 1,54 dm3
® 1 540 000 dm3
® 0, 001 54 dm3
8- 25 L sont égaux à :
® 25 000 dL
® 250 dL
® 2 500 cL
® 2,5 daL
9- 25 L sont égaux à :
® 25 dm3
® 250 dm3
® 2,5 dm3
® 25 000 cm3
10- L’aire totale des faces d’un cube de
3 cm d’arête est :
® 36 cm2
® 36 cm3
® 54 cm2
® 54 cm3

Index
A Ë C
Notion .......................................... page
Aire............................................... 106
Carré............................................ 26
Cerf-volant.................................... 11
Cube............................................. 155
D Ë E
Demi-droite graduée...................... 126
Dénominateur............................... 51
Diagonale..................................... 10
Diagramme circulaire..................... 139
Diagramme en barres..................... 135
Diagramme en bâtons.................... 135
Diagramme semi-circulaire............. 139
Division décimale........................... 42
Échelle.......................................... 78
Écriture fractionnaire..................... 51
F Ë O
Fraction........................................ 52
Fraction d’un nombre.................... 63
Graphique cartésien....................... 145
Longueur d’un cercle...................... 93
Losange........................................ 15
Nombre pi..................................... 93
Numérateur................................... 51
Notion .......................................... page
P Ë R
Parallélépipède rectangle................ 155
Patron d’un parallélépipède
rectangle....................................... 163
Périmètre...................................... 116
Perspective cavalière....................... 156
Pourcentage................................... 83
Proportionnalité............................ 70
Quadrilatère.................................. 7
Quotient ...................................... 42
Rectangle...................................... 21
S Ë Z
Tableau à deux colonnes................. 130
Tableau à deux entrées................... 132
Tableau à deux lignes..................... 130
Volume d’un parallélépipède
rectangle ...................................... 166

cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned cned

Pagedécoupage:Maboîteàoutils

dd
dédéfinition
Uncerf-volantestun
………………..dontdeuxcôtés
……………….ontlamême
………………..ainsiqueles
deux………….côtés.
CERF-VOLANT1
dédéfinition
Unlosangeestun
...............................dontlesquatre
côtésontlamême
................................
LOSANGE2
dédéfinition
Unrectangleestun
........................................quiaquatre
angles..........................
RECTANGLE3
dédéfinition
définition
Uncarréestun
.......................................quiestàla
foisun.....................................etun
......................................
CARRE4
Maboîteàoutils
DÉFINiTIONS

dd
LOSANGE6
propriété
RECTANGLE7
Siunquadrilatèreestunlosange
alorsiladmet................axesde
symétrie:ses............................
propriété
propriété
CERF-VOLANT5
propriété
CARRE
Siunquadrilatèreestuncerf-
volantalorsiladmet.........axede
symétrie:ladiagonalequiestla
...........................del’autre.
8
propriété
p
propriété
Siunquadrilatèreestunrectan-
glealorsiladmet..............axesde
symétrie:les...........................de
deuxcôtésconsécutifs.
Siunquadrilatèreestuncarré
alorsiladmet...................axes
desymétrie:ses...........................
etles.......................................de
deuxcôtésconsécutifs.
PROPRIÉTÉS:
Axesdesymétrie

propriété
Siunquadrilatèreestun
losangealorssesangles
......................................sontégaux
LOSANGE10
volantalorsiladeuxangles
......................................égaux
CERF-VOLANT9
propriété
alorssesquatreanglessont
...................................................
CARRE11
propriété
alorssesquatrecôtésontla
même..................................................
CARRE14
propriété
propriété
glealorssescôtésopposéssont
.....................................
RECTANGLE13
propriété
propriété
glealorssescôtésopposésont
.....................................
........................................
RECTANGLE12
dd
PROPRIÉTÉS:
Lesangles


alorssesdiagonalesont..............
................................................................
LOSANGE16
propriété.....
oppop
propriété..
iété
......
étéé......................
........
......
........
alorssesdiagonalessont
...............................................................
LOSANGE17
propriété.....
oppop
propriété.
iété
son
étéé
s
..................
sont
......
sons
alorssesdiagonalesontle
même....................................etla
même........................................
CARRE19
propriété
a
.......
......
p
proppri....
riéétéon
.................etéle
é
éée
....................
...
.....
................
on
..e....
tlesl
caSiunquadrilatèreestuncarré
alorssesdiagonalessont
...............................................................
CARRE20
propriété
a
.....
p
propriététés
..
iétéson
é
éét
..................
es
......
sontnason
ca
glealorssesdiagonalesontle
même.....................................etla
même.......................................
RECTANGLE18
propriété
t
........
.......
proppri...
riéétéso
..................eténtl
é
éée
....................
...
....
.................
eso
...e....
ntleant
ct
propriété
volantalorsunedeses
....................................................estla
....................................................de
l'autre
CERF-VOLANT15
dd

PROPRIÉTÉS:
Lesdiagonales

reconnaître
Siunquadrilatèreasesdiagona-
lesquisont.........................................
etquiontlemême..........................
alorscequadrilatèreestun
....................................
LOSANGE22
CARRE25
Siunquadrilatèrea.......................
anglesdroitsalorsc'estun
...................................................
RECTANGLE23
Siunlosangeaun...........................
............................alorsc'estun
.........................................
CARRE26CARRE27
reconnaître
RECTANGLE24
Siunrectangleadeuxcôtés
consécutifsdelamême
........................................,alorsc'est
un...............................................
reconnaître
reconnaîtr.
trître
un
tre.......
unun
reconnaître
Siunquadrilatèreaune
...........................quiestla
médiatricedel'autrealors
cequadrilatèreestun
........................................................
CERF-VOLANT21
rreconnaître
reconnaître
reconnaîtretre
Siunquadrilatèreasesdiagonales
qui
•sont.........................................,
•ontlemême...............................
•etontlemême.....................
alorscequadrilatèreest
un..........................
reconnaîtretre
Siunquadrilatèreases
diagonalesquiontlemême
...........................etlamême
longueur........................alorsc'est
un..............................
dd

RECONNAÎTRE

dd
Page découpage
Bassin 2
Bassin 3

figure 1
figure 2
ddPage découpage

dd
Page calculatrice
Configurer une calculatrice en mode « normal »
On tape la séquence suivante sur la calculatrice :
CASIO Collège fx-92 2D TI-Collège
De façon à sélectionner le mode FLO.
Calculer le quotient de deux nombres
Exemple : calculer le quotient de 93 par 16
• On tape la séquence suivante sur la calculatrice :
CASIO Collège fx-92 2D
Il s’affiche :
On tape sur :
Il s’affiche : 5.8125
TI-Collège
Il s’affiche : 5.8125
• On conclut : le quotient de 93 par 16 est 5,812 5.

Index
A Ë C
Notion .......................................... page
Adjacent....................................... 102
Angle............................................ 88
Arc ............................................... 39
Arrondi......................................... 74
Axe de symétrie ............................. 158
Bissectrice..................................... 102, 184
Cercle........................................... 38
Comparer..................................... 65
Corde (d’un cercle)........................ 39
Côté (angle).................................. 88
Critère de divisibilité...................... 200
D Ë E
Décimal (nombre)......................... 58
Demi-droite.................................. 14
Démonstration.............................. 31
Diamètre (d’un cercle)................... 39
Dividende...................................... 193
Diviseur(d’une division)................. 193
Diviseur (d’un nombre).................. 199
Droite........................................... 11
Entier............................................ 52
Equilatéral (triangle)...................... 117
Extrémité...................................... 16
F Ë O
Facteur......................................... 132
Fraction décimale.......................... 58
Impair (nombre)........................... 55
Intersection (de deux droites)......... 22
Isocèle (triangle)............................ 117
Notion .......................................... page
Médiatrice (d’un segment)............. 28, 174
Milieu (d’un segment).................... 19
Multiple........................................ 199
Ordre de grandeur ........................ 81
Origine (d’une demi-droite)........... 14
P Ë R
Pair (nombre)............................... 55
Parallèles (droites)......................... 22
Partie décimale.............................. 59
Partie entière................................. 59
Perpendiculaire (droites)................ 22
Point............................................. 9
Produit......................................... 132
Quotient euclidien......................... 193
Rapporteur................................... 93
Rayon (d’un cercle)....................... 39
Reste............................................ 193
S Ë Z
Sécantes (droites).......................... 22
Segment........................................ 16
Sommet (angle)............................. 88
Symétrie........................................ 155
Tableur......................................... 147
Termes ......................................... 78
Triangle......................................... 109
Triangle rectangle ......................... 117
Troncature.................................... 68
Valeur approchée .......................... 71
ii

ddPage découpage
LA PETITE HISTOIRE DES NOMBRES
Le bâton :
Le bâton partagé en 10 parties de même mesure :
Le bâton partagé en 100 parties de même mesure :


dd
11
2
7
4
10
6
9
3
5
1
8

Page découpage
TANGRAMS

tt
Tables de calculs
À connaître par coeur !
Tables d’additions
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 21 3 4 5 6 7 8 9 10
0 10 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 42 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 63 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 84 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 105 11 12 13 14
6 7 8 9 106 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 127 13 14 15 16
8 9 10 11 128 13 14 15 16 17
9 10 11 12 13 149 15 16 17 18
+
Tables de multiplications
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 11 2 3 4 5 6 7 8 9
0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 42 6 8 10 12 14 16 18
0 3 6 93 12 15 18 21 24 27
0 4 8 12 164 20 24 28 32 36
0 5 10 15 20 255 30 35 40 45
0 6 12 18 246 30 36 42 48 54
0 7 14 21 28 357 42 49 56 63
0 8 16 24 328 40 48 56 64 72
0 9 18 27 36 459 54 63 72 81
x

Page calculatrice
Comment configurer la calculatrice CASIO fx-92 Collège 2D ?
Par défaut, cette calculatrice est configurée dans un mode un peu trop compliqué pour le
début de la 6e. Pour revenir à un mode « normal », tape :
2
Séquence 6 : Comment calculer le quotient et le reste d’une division euclidienne ?
Exemple : quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 598 par 7 ?
avec la TI-collège
On tape la séquence de touches :
2nde ENTER
=598 7
La calculatrice affiche :
85, R = 3
Le quotient est 85, le reste est 3.
avec la CASIO fx-92 Collège 2D
On tape la séquence de touches :
EXE598 7R
La calculatrice affiche :
85 3
Le quotient est 85, le reste est 3.
MRC M-
M+
7 8 9 % ÷4 5 6
-
×1 2 3
0 • +
=
√
ON
C
OFF

Mathématiques 6e
Livret de corrigés
Rédaction :
Claudine Albin-Vuarand
Nicole Cantelou
Marie-Jo Quéffelec
Marie-France Lefèvre
Marc Le Crozler
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
©Cned-2009

— © Cned, mathématiques 6e, 2008
cc Séquence 1
SÉQUENCE 1
Séance 1
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Je révise les acquis de l’école
1) d)
2) b)
3) d)
4) c)
5) c)
1)
La figure représentée est un ligne droite limitée
par deux points : c’est donc un segment (une
droite est une ligne droite illimitée des deux
« côtés » : on n’en représente évidemment
qu’une partie).
2)
Tu as vu au CM2 que deux droites sont
perpendiculaires si « elles se coupent en
formant un angle droit ».
3)
Tu as vu au CM2 que deux droites sont
parallèles si elles ne se coupent pas. Dans le a),
les deux droites se coupent : il suffit pour cela
de prolonger leur tracé.
4)
On utilise une équerre : cet instrument sert à
tracer des angles droits.
5)
Le point tracé en rouge est le milieu du
segment car il le partage en deux segments
dont la mesure est 2 cm.
Exercice 1
A l’aide d’une règle, on prolonge les deux traits
rouge et bleu.
On pense, lorsqu’on représente une droite :
• à tracer un trait qui soit le plus fin possible
• à tracer un trait jusqu’au bord des limites
de la figure (car une droite est illimitée, mais
en pratique, on doit bien « arrêter » son tracé
quelque part).
Nommer un point K, c’est écrire la lettre K sur
la figure près de l’endroit où le point se trouve.
Ici, on place la lettre K où l’on veut le plus près
du lieu où se coupent les deux droites
Remarque : sur une figure, il ne peut y avoir
qu’un seul point nommé K.
La suite de l’énigme de la carte au trésor sera à
faire dans la prochaine séance...

© Cned, Mathématiques 6e, 2008 —
ccSéquence 1
Exercice 2
1)
2) Pour tracer une droite, j’utilise une règle.
3)
A
(d)
(d')
(d'')
4) La bonne réponse est c), c’est-à-dire une infinité.
1) On peut placer le point n’importe où sur
la feuille. C’est « le centre de la croix » qui
représente le point.
A
2) Une règle non graduée suffit.
3) On place la règle de telle sorte qu’un de ses
bords passe par « le centre de la croix » :
A
On ne peut représenter sur une feuille qu’une
partie de chaque droite (car une droite est
illimitée c’est-à-dire qu’elle « ne s’arrête
jamais »).
Les droites doivent passer précisément par le
centre de la croix.
Le tracé d’une droite doit être le plus fin
possible car une droite n’a pas d’épaisseur.
On note une droite avec des parenthèses, par
exemple (d). La parenthèse de chaque côté
doit rappeler qu’une droite est illimitée «des
deux côtés».
4)
On ne peut pas représenter l’infinité de
droites qui passent par le point A, mais grâce
à la figure ci-dessous, on peut l’imaginer.

cc Séquence 1
Séance 2
Exercices 3 et 4
La droite représentée par la piste rouge passe-t-elle par
le point V ? NON
La droite représentée par la piste bleue passe-t-elle par
le point W ? OUI
Peux-tu tracer une autre droite que la précédente passant par
M et F ? NON
Toutes les nouvelles constructions sont
représentées en bleu.
Pour savoir si les droites passent ou ne passent
pas par les point V et W, il fallait prolonger
suffisamment leurs tracés. Seule la droite
prolongeant la piste bleue passe par le point
demandé, à savoir le point W.
On note ensuite respectivement (Δ) et (Δ’) les
droites « rouge et bleue ».
On note ensuite les points M et F et on trace
une droite passant par M et F. On se rend
alors compte qu’il en existe une seule, et par
conséquent, que : « par deux points différents,
il ne passe qu’une seule droite ».
« La » signifiant « l’unique », on dira toujours
à partir de maintenant : « la droite passant
par les deux points M et F ».
Exercices 5
1)
E
F
GH
Noms des droites cherchées :
(EF) ou (FE), (EG) ou (GE), (EH) ou (HE), (FG) ou (GF),
(FH) ou (HF), (GH) ou (HG).
Attention ! Il est essentiel de procéder avec
méthode afin de ne rien oublier.
Dans un premier temps, on trace par exemple
toutes les droites passant par E. On trace donc
(EF), (EG) et (EH).
Ensuite, on trace toutes les droites non encore
tracées passant par F. On trace donc (FG) et (FH).
Enfin, on trace toutes les droites non encore
tracées passant par G. On trace donc (GH).
Au total, on a tracé 6 droites.
Chacune d’entre elle s’écrit de deux façons différen-
tes, il y a donc 12écritures possibles au total.

ccSéquence 1
Exercice 6
1e situation : Le point C appartient à la droite (AB).
A B C
Il n’y a qu’une seule droite passant par deux de ces points : la
droite (AB).
2e situation : Le point C n’ appartient pas à la droite (AB)
A B
C
Il y a 3 droites passant par deux de ces points : (AB), (AC) et
(BC).
1ère situation :
On pouvait également écrire : C ∈ (AB).
La figure n’est qu’une possibilité parmi
d’autres cas de figures :
On dit, dans cette situation, que les points A,
B et C sont alignés (car ils appartiennent à
une même droite).
2ème situation :
On pouvait également écrire : C ∉ (AB).
On dit que dans cette situation que les
points A, B et C ne sont pas alignés car ils
n’appartiennent pas à une même droite.
Exercice 7
P
O
M
Q
N
R
1) Les points M, O et P semblent alignés.
2) Les points M, N, Q et R ne sont pas alignés.
1) On trace la droite (MO). Le point P
semble être sur cette droite. Les points M, P et
O semblent donc alignés.
Pourquoi utiliser le mot « semblent » ?
Tout simplement parce qu’une figure est
toujours plus ou moins précise. Ici, par
exemple, le point P est peut-être « très très
proche » de la droite (MO), sans être sur
celle-ci.
Remarque :
Je peux toujours tracer une droite passant par
deux points distincts.
Deux points quelconques et distincts sont
toujours alignés.
2) On trace la droite (MN). Le point R n’est
pas sur cette droite. Les points M,N, Q et R
ne sont donc pas alignés.
Remarque : les points M, Q et N semblent
être alignés.
Exercice 8
Y X Z
Les différentes façons de nommer la droite (XY) sont :
(XY), (YX), (XZ), (ZX), (YZ) et (ZY)
On trace une droite et on place sur cette droite
trois points X, Y et Z. Comme les points sont
alignés (cela est écrit dans la consigne), on
déduit que la droite (XY) est la même droite
que (XZ) et que (YZ). On exprime cela en
disant que ces trois droites sont confondues.

cc Séquence 1
Exercice 9
1) 2) et 3)
K
L
M
N
S
T
1)
K, N et S sont alignés donc S appartient à la
droite (KN).
M, L et S sont alignés donc S appartient à la
droite (ML).
On trace les droites (KN) et (ML).
Les droites (KN) et (ML) se coupent au point
S cherché.
2)
K, L et T sont alignés donc T appartient à la
droite (KL).
M, N et T sont alignés donc T appartient à la
droite (MN).
On trace les droites (KL) et (MN).
Les droites (KL) et (MN) se coupent au point
T cherché.
Exercice 10 La nouvelle construction est représentée en
bleu.
Le point B est tel que M, F et B soient alignés :
il est donc sur la droite (MF).
Le point B est également sur la droite (Δ).
Le point B est donc le point d’intersection de
la droite (MF) et de la droite (Δ). Il ne reste
plus qu’à le placer sur la carte.

ccSéquence 1
Séance 3
Exercice 11 La nouvelle construction est représentée en
bleu.
On nomme D le Dolmen du couchant et S la
Source éternelle. On trace un trait droit « qui
part de D, qui passe par S et on le prolonge
au maximum sur la feuille ». Tu viens alors de
tracer ce que l’on appelle : « la demi-droite
d’origine D passant par S ».
Exercice 12
1) On a représenté en bleu la demi-droite d’origine A passant
par B. On la note [AB).
2) On a représenté en bleu la demi-droite d’origine D passant
par C. On la note [DC).
3) Deux réponses sont possibles :
1e réponse :
On a représenté en bleu la demi-droite d’origine E passant par
F. On la note [EF).
2e réponse :
On a représenté en bleu la demi-droite d’origine E passant par
G. On la note [EG).
4)
H
I
On la note [HI).
5)
J
K
L
On la note [LJ) ou [LK).
1)
Cette demi-droite est limitée par le point A et
illimitée de l’autre côté.
A
B
2)
C
D
Cette demi-droite est limitée par le point D et
3)
Cette demi-droite est limitée par le point E et
E
F
G
Elle est à la fois la demi-droite d’origine E passant
par F et la demi-droite d’origine E passant par G.
On peut donc la noter [EF) ou [EG).
4) On place précisément la règle et on trace
finement, à l’aide d’un crayon à papier, un
« trait partant du point H et passant par le
point I ». On prolonge le trait au-delà du point
I « aussi loin que possible ».
H
I
5)
J
K
L

cc Séquence 1
Exercice 13
a) b)
A
B
C
c) Les deux demi-droites ont un point en commun : le point B.
d) La partie coloriée en vert ou en bleu est la droite (AB).
a) b)
On trace les deux demi-droites.
c) Le point B appartient à la fois à la demi-droite
[BA) et à la demi-droite [BC). C’est donc le seul
point commun aux deux demi-droites.
d) La partie coloriée en vert ou en bleu est
la droite (AB) toute entière. Cette droite se
nomme (AB) ou (AC) ou (BC). Les trois
réponses sont justes.
On dit que les deux demi-droites [BA) et
[BC) sont opposées.
Exercice 14
a), b), c) et d)
d) La partie coloriée en vert ou en rouge représente la droite
(LM).
M
K
L
Le dessin est un peu confus car la demi-droite
[ML) représentée en rouge et la demi-droite
[LM) représentée en vert se chevauchent entre
M et L. La partie coloriée en vert et en rouge
s’appelle un segment.
On entend par « partie coloriée en vert ou
en rouge » la partie coloriée soit en vert, soit
en rouge, soit en vert et en rouge. La partie
cherchée est donc la droite (LM).
Exercice 15
M ∈ [AB)
M ∉ [Ar)
M ∈ [As)
C ∉ [Bt)
C ∈ [NB)
C ∈ [Cw)
B ∈ [CB)
On représente en orange la demi-droite
considérée afin de bien visualiser si le point y
appartient ou non.
M ∈ [AB) M ∉ [Ar)
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
M ∈ [As) C ∉ [Bt)
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
C ∈ [NB) C ∈ [Cw)
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N
L’origine d’une demi-droite appartient à cette
demi-droite.
B ∈ [CB)
A
B
C
M
r
s t
u
v w
N

ccSéquence 1
Exercice 16
1) 2) 3) 4)
E
N
x
M
t
O
5) La demi-droite est [Nx).
1) 2)
On a représenté un exemple de figure qui
répond à la question.
E
N
x
M
Bien entendu, de nombreuses figures
différentes sont également justes. En voici un
exemple :
E
N
x M
3) Pour placer un point O qui convient, on
trace la droite (EN). On place ensuite O
n’importe où sur cette droite (EN) mais pas
sur la demi-droite [EN).
4) La demi-droite [Mt) a pour origine le point
M et passe par le point O.
5) Il existe une seule demi-droite répondant à
la question : la demi-droite [Nx).

cc Séquence 1
Séance 4
Exercice 17 Toutes les nouvelles constructions sont
représentées en bleu.
On note O le point représentant l’Ours
pétrifié.
On trace un trait droit « qui part de O et qui
s’arrête à A ». Tu viens de tracer ce que l’on
appelle le segment d’extrémités O et A, et que
l’on note [OA] ou [AO].
Ce segment coupe la demi-droite [DS) en
un point que l’on nomme R et qui représente
un ravin. C’est de là qu’il faudra partir pour
poursuivre notre recherche...
Exercice 18
1) On a représenté le segment d’extrémités A et B.
On le note [AB] ou [BA].
AB = 4 cm.
2) On a représenté le segment d’extrémités C et D.
On le note [CD] ou [DC].
DC = 6 cm.
3) On a représenté le segment d’extrémités E et F.
On le note [EF] ou [FE].
EF = 2 cm.
4) GH = 3,5 cm.
G H I
5) KL = 1,5 cm.
J
K L
1)
A B
0 1 2 3 4 5
On pouvait également écrire « le segment
d’extrémités B et A ».
2)
C
D
0
1
2
3
4
5
6
7
d’extrémités D et C ». Sa longueur peut
également s’écrire CD.
CD = DC = 6 cm.
Attention de ne pas écrire une égalité fausse
comme par exemple : [CD] = 6 cm
3)
E
F
0
1
2
3
d’extrémités F et E ». Sa longueur peut
également s’écrire FE.
FE = EF = 2 cm
Attention à ne pas confondre EF et [EF].
4)
G
H I
0 1 2 3 3,5
5)
J
K
L
0 1 21,5

© Cned, Mathématiques 6e, 2008 — 11
ccSéquence 1
Exercice 19
Sur cette figure sont représentés :
• la droite (CE).
• la demi-droite [CD).
• le segment [DE].
CD
E
Exercice 20
S
R
a) La partie en bleu ou en vert est la droite (RS)
b)La partie à la fois en bleu et en vert est le segment [RS].
On a tracé côte à côte les traits bleu et
vert entre R et S, mais normalement, ils se
superposent exactement. C’est juste pour bien
remarquer que la partie entre les point R et S
est la seule à être coloriée à la fois en bleu et
en vert : le segment [RS] est donc la réponse
de la question b).
Comme toute la droite a été coloriée, la partie
coloriée en bleu ou en vert (ou en bleu et en
vert) est donc la droite (RS).
Exercice 21
P
Q
R
S
On a tracé les 6 segments :
[PQ], [PR], [PS], [QR], [QS] et [RS].
On trace dans un premier temps tous les
segments qui ont pour extrémité le point P :
on trace les segments [PQ], [PR] et [PS].
On trace ensuite les segments d’extrémité le
point Q que l’on n’ a pas déjà tracés : on trace
[QR] et [QS].
Enfin, on trace le seul segment non déjà tracé
d’extrémité R qui est [RS].
Remarque : on pouvait bien sûr les nommer
[QP], [RP], [SP], [RQ], [SQ] et [SR].
Exercice 22
E ∈ [AB] E ∈ [AB) E ∈ (AB)
F ∉ [BC] F ∈ [BC) F ∈ (BC)
D ∉ [AC] D ∉ [AC) D ∈ (AC)
A ∈ [CA]
Pour s’aider, on a tracé en orange la demi-
droite [AC), en bleu [AB) et en vert [BC).
B
A
C
D
F
E
On a A ∈ [CA] car chaque extrémité d’un
segment lui appartient.

cc Séquence 1
Exercice 23
A
B
C
M
N
P
Ecrivons en toutes lettres ce que nous avons
tracé dans la partie gauche :
1) M n’appartient pas au segment
d’extrémités A et B et M appartient à la demi-
droite d’origine A passant par B.
2) N appartient au segment d’extrémités B
et C.
3) P appartient à la demi- droite [NB) et P
n’appartient pas au segment [BN].
4) On trace la droite qui passe par M et N.
On trace le segment d’extrémités N et A.
On trace la demi-droite d’origine P passant
par M.
Exercice 24
E F
G
H
7cm
4,5cm
3cm
On a représenté dans la partie gauche une
solution juste, mais il y en a bien d’autres :
on pouvait placer les segments dans n’importe
quelle position.
Voici comment on pouvait procéder :
• On trace un segment [EF] de 7 cm de
longueur.
E F7 cm
0
1
2
3
G
3 cm
On trace un segment [EG] de 3 cm de
longueur. Une de ses extrémités est E : « on
repart donc du point E ». On peut choisir
« n’importe quelle direction » pour ce segment .
• On trace un segment [FH] de 4,5 cm de
longueur. Une de ses extrémités est F : « on
repart donc du point F ». On peut choisir
également « n’importe quelle direction » pour
ce segment.
E F
G
H
7 cm
4,5
3 cm
0
1
2
3
4
5
4,5

ccSéquence 1
Séance 5
Exercice 25
a) b)
C
D
I4 cm
c) Comme I est sur le segment [CD], on a : DI = 8 – 4 = 4.
DI = 4 cm
d) CI = 4 cm DI = 4 cm.
Les longueurs CI et DI sont égales.
a) On dit « trace un segment [CD] » dans
l’énoncé car on peut le placer n’importe où.
Une fois tracé, on dira « le segment [CD] » car
alors il n’y en aura plus qu’un.
c) On pouvait écrire de façon plus abstraite que :
DI= DC—CI =8—4=4
lalongueurDCmoinslalongueurCI
Remarque importante :
On peut faire ce calcul car I est sur le segment
[CD]. Si le point n’est pas sur le segment,
comme le point J de la figure ci-dessous, on ne
peut pas calculer DJ en faisant CD - CJ :
C D
4
J
8
6
(la figure n’est pas à l’échelle)
d) On pouvait également écrire : CI = DI.
(ce qui veut dire que les longueurs CI et DI
sont égales).
Le point I du segment [CD] tel que
CI = DI est appelé « le milieu de [CD] ».
Exercice 26
1)
F
C
A
D
B
E
J
I
K
2) Les points I, J et K semblent alignés.
1)
• Tracé du milieu I de [AB] : on mesure le
segment [AB] avec la règle graduée, on obtient
4 cm. On trace le point I de [AB] tel que :
AI = 2 cm.
• Tracé du milieu J de [CD] :
DC = 3 cm donc on trace le point J de [CD] tel
que : DJ = 1,5 cm.
• Tracé du milieu K de [EF] :
EF = 5 cm donc on trace le point K de [EF] tel
que : EK = 2,5 cm.
2) Pour pouvoir affirmer que les points I, J et
K semblent alignés, on place une règle de telle
façon que I et J soient sur le bord. On se rend
alors compte que le point K semble également
être sur le bord de la règle.

cc Séquence 1
Exercice 27
1) 2)
L
M
N
I
K
J
3) On remarque que les trois droites tracées semblent passer
par le même point.
• Tracé du milieu I de [NL] :
On mesure le segment [NL] : NL= 4 cm.
On place le point I de [NL] tel que : LI = 2 cm.
• Tracé du milieu J de [MN] : MN = 5 cm.
OnplacelepointJde[MN]telque: NJ=2,5cm.
• Tracé du milieu K de [ML] : ML = 7 cm.
OnplacelepointKde[ML]telque: LK=3,5cm.
3) remarque :
Trois droites qui se coupent en un même point
sont dites « concourantes ».
Exercice 28 On note P le point représentant la Pyramide
de Mathie.
On trace le segment [RP].
On veut placer le milieu U de ce segment.
Pour cela, on commence par le mesurer.
• Le segment [RP] mesure 5 cm.
• La moitié de 5 cm est 2,5 cm.
• Le point U se trouve donc entre R et P et à
2,5 cm du point R.
• On prend alors une règle graduée, on
mesure 2,5 cm et on place le point U. On
n’oublie pas de coder la figure pour indiquer
que les deux longueurs RU et PU sont égales.
Exercice 29
1)
A B
CD
F E
2) D’après l’énoncé :
• C est le milieu de [AE] donc : CA = CE.
• CE = CF
CA = CE et CE = CF d’où CA = CF.
3) Le point C n’est pas le milieu du segment [AF] car il n’est
pas sur le segment [AF].
On pouvait bien sûr coder les segments par
d’autres signes : trois traits, quatre traits, ...
Le codage met en évidence l’égalité des
longueurs CA et CF.
Attention ! Si on a CA = CF, le point C
n’est pas nécessairement le milieu du
segment [AF].

ccSéquence 1
Exercice 30
a) Le point B appartient à [AC] et d’après le codage de la
figure AB = BC donc B est le milieu de [AC].
Il faut se méfier des impressions données
par une figure. Dans la figure il semble que
les segments [AF] et [FE] aient la même
longueur. En réalité la longueur FE est
légèrement plus petite que AF.
Remarque : il existe un symbole pour signifier
« n’est pas égal à » : le symbole « ≠ ».
On aurait pu écrire :
« AF ≠ FE donc F n’est pas le mileu de [AE] ».
Exercice 31
1) a) b) c) d)
A B DE F
5 cm 3 cm
8 cm
B est le milieu de [AD]
2)
Calcul de AD
B est le milieu de [AD] donc AD = 2 x AB soit AD = 10 cm.
Calcul de AE
AE = AD – DE. AE = 10 – 8 = 2 soit AE = 2 cm.
Calcul de EB
EB = AB – AE. EB = 5 – 2 = 3 soit EB = 3 cm.
3)
B est sur [EF] et l’on a : EB = BF = 3 cm.
Le point B est donc le milieu du segment [EF].
1) a) On trace un segment [AB] de 5 cm.
A B5 cm
b) Pour obtenir le point D, on trace la demi-droite
[AB), puis le point D de la demi-droite [AB)
différent du point A tel que BD = AB = 5 cm.
A B5 cm D
c) On place E sur [DB) tel que DE = 8 cm :
A B
ED = 8 cm
DE
d) On place F sur [BD] tel que BF = 3 cm :
A B
BF = 3 cm
DE F
Remarque :
Il est conseillé d’indiquer sur ta figure tout ce
que tu sais : cela t’aidera par la suite.
2)
On pouvait aussi écrire que AD = AB + BD.
Puis AD = 5 + 5 = 10 soit AD = 10 cm.
On a AE = AD – DE car E est sur le segment
[AD].
On a EB = AB – AE car E est sur le segment
[AB].
3) Il est très important de justifier sa réponse.
Il est évident, vu la construction, que B est sur
le segment [EF], mais il faut tout de même le
rappeler.

cc Séquence 1
Séance 6
Exercice 32
1) (d1
) et (d5
) semblent ne jamais se couper.
2) (d1
) et (d2
), (d1
) et (d3
), (d1
) et (d4
), (d2
) et (d3
), (d2
) et (d4
),
(d2
) et (d5
), (d3
) et (d4
), (d3
) et (d5
), (d4
) et (d5
) se coupent.
3) (d1
) et (d3
), (d2
) et (d4
), (d5
) et (d3
) semblent se couper en
formant un angle droit.
1) On utilise le mot « semble » car on n’est jamais
vraiment sûr : peut-être qu’en prolongeant les
tracés « très très loin », ces traits se coupent.
2) Il y avait de nombreuses possibilités. Il te
suffisait d’en donner une parmi celles proposées.
Dans ce cas, on est sûr que les droites se coupent.
3) Pour s’en convaincre, on utilise une équerre.
Etudions par exemple (d1
) et (d3
) :
Onutilise
(d1)
(d3)
leverbe«sembler»caronn’estjamaisvraimentsûrque
lesdroiteslongentexactementlesbordsdel’équerreetque
l’équerreestparfaitementjuste.
Exercice 33
1) Les droites ne sont pas perpendiculaires.
2) Les droites semblent perpendiculaires.
3) Les droites ne sont pas perpendiculaires.
4) Les droites semblent perpendiculaires.
1) Les droites ne forment pas un angle droit.
C’est tellement visible qu’on n’a même pas besoin
d’utiliser une équerre.
2) Les droites sont sécantes
et semblent former un angle droit.
3) Les droites ne forment pas
un angle droit.
4) Si on prolonge le tracé
desdroitesalorsellessemblentêtreperpendiculaires.
Exercice 34
1) Les droites ne sont pas parallèles.
2) Les droites semblent parallèles.
1) Si on prolonge les tracés des droites, alors
elles sont sécantes.
2) Les droites semblent ne jamais se couper :
elles semblent donc parallèles.
3) Les droites semblent perpendiculaires. Elles
sont sécantes ; elles ne sont donc pas parallèles.
4) Si on prolonge les tracés, ils se coupent. Les
droites ne sont donc pas parallèles.

ccSéquence 1
Exercice 35
1)
(∆)
(d'')
(d')
(d)
2) La bonne réponse est la réponse c)
Pour tracer
une droite(d)
perpendiculaire à
(Δ), on utilise l’angle
droit de l’équerre que
l’on place contre la
droite (Δ). (∆)
(d)
On procède de la
même façon pour
obtenir (d’)
(∆)
(d')
(d)
On utilise la
même méthode
pour tracer (d‘’).
(∆)
(d'')
(d')
(d)
Remarque : on pouvait placer les droites (d),
(d’) et (d’’) où l’on voulait. Dans chaque cas,
on n’oublie pas de placer le « petit carré », qui
veut dire que les droites sont perpendiculaires.
La droite (Δ) étant illimitée, on peut tracer
une infinité de droites perpendiculaires à (Δ).
En voici quelques-unes :
(∆)
Exercice 36
1) 3)
(d)
C
K
2) La bonne réponse est NON.
4) La bonne réponse est NON.
1)Onplacel’équerre
de sorte :
- qu’un des côtés
de l’angle droit
soit le long de la
droite (d)
- que C soit sur
l’autre côté de
l’angle droit.
(d)
C
2) On voit bien que la droite que tu as tracée
est la seule qui soit à la fois perpendiculaire à
(d) et passant par le point C.
3) On place
l’équerre de
sorte :
- qu’un des côtés
de l’angle droit
soit le long de la
droite (d)
- que le sommet
de l’angle droit
soit au point K.
(d)
C
K

cc Séquence 1
Exercice 37
1) 2)
M
(d)
(∆)
3) 4)
M
(d)
(∆)
1) On applique la méthode.
M
(d)
(∆)
2) Ce cas est particulier
M
(d)
(∆)
car le point M est sur la droite.
3) Il faut d’abord prolon-
M
(d)
(∆)
ger le tracé de (d) existant afin de placer
l’équerre.
4) Ce cas est classique :
M
(d)
(∆)
on applique la méthode.
Exercice 38
1)
E
F G
(d1)
(d2)
(d3)
2) Les droites (d1
), (d2
) et (d3
) semblent se couper en un même
point.
1) • On commence par tracer la droite (d1
).
Elle passe par E et elle est perpendiculaire à la
droite (FG).
E
F G
(d1)
• On trace ensuite de la même manière les
droites (d2
) et (d3
).
E
F G
(d1)
(d2)
(d3)
2) On dit que les droites (d1
), (d2
) et (d3
)
semblent concourantes.
M
(d)
(∆)
M
(d)
(∆)

ccSéquence 1
Exercice 39 On trace la perpendiculaire (d) au segment
[RP] passant par le point U. On note « (d) »
cette droite sur la carte.
On code ensuite l’angle droit.
Plaçons maintenant le point X :
Il se trouve à 10 km du point U sur la droite (d).
1 cm sur la carte représente 2 km en réalité.
10 km = 5 x 2 km.
10 km sont donc représentés par 5 x 1 cm sur
la carte, c’est-à-dire 5 cm.
Il y a donc deux possibilités. Voici la première :
La deuxième possibilité (dans l’autre sens),
fait que le point X est dans l’eau. Ce n’est
donc pas celle-là qu’il faut retenir.
Exercice 40
A
B
F
G
M
K
Les points F, G et K doivent être alignés. On
trace donc la droite (FG).
A
B
F
G
M
On doit avoir (MK) ⊥ (AB). On trace donc
la droite perpendiculaire à (AB) passant par
le point M.
A
B
F
G
M
K est le point d’intersection de cette
perpendiculaire et de la droite (FG).

cc Séquence 1
Exercice 41
2
cible

ccSéquence 1
Séance 7
Exercice 42
a) (d) n’est pas la médiatrice du segment [MN] car elle n’est
pas perpendiculaire au segment [MN].
b) (d) n’est pas la médiatrice du segment [MN] car elle ne
passe pas par le milieu du segment [MN].
c) (d) est la médiatrice du segment [MN] car elle passe par le
milieu de [MN] et elle est perpendiculaire au segment [MN].
a) Une droite passant par le milieu d’un
segment n’est pas forcément la médiatrice
du segment : il faut aussi qu’elle lui soit
perpendiculaire.
b) Une droite perpendiculaire à un segment
n’est pas forcément sa médiatrice : il faut aussi
qu’elle passe par le milieu du segment.
Exercice 43
G
H
(d)
C
B
(∆)
Voici une méthode te permettant de tracer la
médiatrice du segment [GH] :
On mesure le segment [GH]. On trouve 6 cm.
Le milieu de ce segment se trouve donc à trois
centimètres de G.
G
H0
1
2
3
4
5
6
7
On marque ensuite le milieu du segment et
on trace la perpendiculaire à la droite (GH)
passant par le milieu du segment. On utilise
pour cela l’équerre.
G
H
On prolonge enfin le trait tracé et on écrit les
codages : le « petit carré » pour indiquer l’angle
droit et, par exemple, des petits traits pour
signifier que la médiatrice coupe le segment
[GH] en deux segments de même longueur.
On fait de même pour la médiatrice du
segment [CB].
Remarque importante : une autre méthode
beaucoup plus précise te permettant de tracer
une médiatrice sera étudiée par la suite.
Exercice 44
O
P
Q(d2)
(d3)(d1)
Les droites (d1
), (d2
) et (d3
) semblent concourantes.
Pour tracer (d1
) médiatrice de [OP], on place
le milieu de [OP] et on trace la droite (d1
)
perpendiculaire à (OP) passant par ce milieu.
On pratique de même pour tracer (d2
) et (d3
).
Les droites (d1
), (d2
) et (d3
) semblent passer
par un même point.

cc Séquence 1
Exercice 45
(d1)
(d2)
(d3)
Les droites (d2
) et (d3
) semblent parallèles.
Attention : il faut faire très attention au mot
« semblent ». On a effectivement l’impression
que ces droites ne vont jamais se couper, mais
on n’en est pas sûr. Des illusions optiques nous
ont appris a être sur nos gardes. Qui croirait
par exemple que les segments blancs ci-dessous
sont parallèles ?
On aimerait bien pouvoir écrire que les droites
(d2
) et (d3
) sont parallèles. Alors comment
faire ?
On va apprendre à faire une démonstration :
C’est le seul procédé permettant de pouvoir
affirmer de façon certaine.
Rends-toi à la suite du cours pour apprendre à
effectuer des démonstrations.
Exercice 46
a)
(d) ⊥ (d1) et (∆) ⊥ (d1)
On sait que :
On déduit que :
(d) // (∆)
On applique la propriété : Si deux droites sont
elles sont parallèles.
b)
(d 1)⊥ (d 2) et (d3) ⊥ (d2)
On sait que :
On déduit que :
(d 1) // (d 3)
On applique la propriété :Si deux droites sont
(d)
(d1)
(∆)
(d1)
(d2)
(d3)

ccSéquence 1
Exercice 47
a)
(d) ⊥ ( (∆ ∆) et (∆´ ⊥ ))
On sait que :
On déduit que :
(d) // (∆ )
´
b)
(d ) (d)⊥(∆ et´ (d )´⊥)
On sait que :
On déduit que :
(d) // (∆ )
Exercice 48
1) a) Plan de la démonstration
(d 1) ⊥ (JL) et (d 3) ⊥ (JL)
On sait que :
On déduit que :
(d 1) // (d 3)
b) Rédaction de la démonstration
Les deux droites (d1
) et (d3
) sont toutes les deux
perpendiculaires à la droite (JL), elles sont donc parallèles.
On déduit donc que : (d1
) // (d3
).
2) Plan de la démonstration
(d 2) ⊥ (KL) et (d 4) ⊥ (KL)
On sait que :
On déduit que :
(d 2) // (d 4)
Rédaction de la démonstration
Les deux droites (d2
) et (d4
) sont toutes les deux
perpendiculaires à la droite (KL), elles sont donc parallèles.
On déduit donc que : (d2
) // (d4
).
1)
J
K
L
(d1)
(d3)
2) Ce n’est pas parce qu’il n’est pas précisé
dans la question «démontrer », qu’il ne faut
pas effectuer une démonstration.
J
K
L
(d2)
(d4)

cc Séquence 1
Exercice 49
1) et 2)
A
(d)
B
C
(∆)
(∆) est la médiatrice du segment [AB]
On sait que :
On applique la définition :La médiatrice d'un segment
est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe
On déduit que :
(∆)⊥(AB)
par son milieu
(Δ) est la médiatrice du segment [AB], elle est donc
perpendiculaire à la droite (AB). On déduit donc que :
(Δ) ⊥ (AB).
(∆) ⊥ (AB) et (d) ⊥ (AB)
On sait que :
On déduit que :
(∆) // (d)
Comme les deux droites (Δ) et (d) sont toutes les deux
perpendiculaires à la droite (AB), elles sont parallèles.
On déduit donc que : (Δ) // (d).
1) Les points A, B et C sont alignés dans cet
ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm, d’où :
A
B
C
3 cm
4 cm
On trace ensuite la droite (d) perpendiculaire
à la droite (AB) en C :
A
(d)
B
C
2) On trace ensuite la droite (Δ). C’est la
perpendiculaire à (AB) passant par le milieu
de [AB] :
A
(d)
B
C
(∆)
2 cm
2 cm
4) On peut remarquer que le résultat :
« (∆) est perpendiculaire à (AB) » obtenu
à la question 3) devient une donnée pour la
démonstration de la question 4).

ccSéquence 1
Séance 8
Exercice 50
1) et 2)
(d)
A
(∆)
(d')
Une fois (∆) tracée, on trace la droite (d’) perpendiculaire à
(∆) passant par A. On obtient alors deux droites (d) et (d’)
perpendiculaires à la même droite (∆). (d’) est donc parallèle à
(d).
3) Je pense qu’on ne peut tracer qu’une seule droite parallèle à
(d) passant par A.
1) On utilise l’équerre pour tracer la droite (∆).
(d)
A
(∆)
2) On utilise à nouveau l’équerre pour tracer
la droite (d’).
(d)
A
(∆)
(d')
On a découvert une méthode permettant de
tracer une parallèle à une droite passant par
un point.
Exercice 51
a)
(d)
A
(d')
b)
(d)
A
(d')
On utilise la méthode vue dans « Je comprends
la méthode » précédent.

cc Séquence 1
Exercice 52
A
B
C
D
• (BD) est perpendiculaire à (AC) donc on trace :
- la droite (AC)
- la droite (d1
) perpendiculaire à (AC) passant
par B.
D appartient à (d1
).
A
B
C
(d1)
• (CD) est parallèle à (AB) donc on trace :
- la droite (AB)
- la droite (d2
) parallèle à (AB) passant par C.
D appartient à (d2
).
A
B
C
D
(d1) (d2)
C
D est le point d’intersection de (d1
) et (d2
).

ccSéquence 1
Exercice 53
On applique la méthode de construction d’une
droite parallèle à une autre droite.
On obtient ainsi la droite (d’) parallèle à la
droite (RS) et passant par X.
Exercice 54
1)
(d2)
(d1)
(d3)
2) Les droites (d2
) et (d3
) semblent perpendiculaires.
2) On utilise le mot « semblent » car on ne
démontre pas que les droites (d2
) et (d3
) sont
perpendiculaires.

cc Séquence 1
Exercice 55
a)
(d')// (∆) et (d)⊥ (d')
On sait que :
On applique la propriété : Soient deux droites parallèles.
Si une troisième droite est perpendiculaire à l'une de
ces deux droites, alors elle est perpendiculaire à l'autre
On déduit que :
(d)⊥(∆)
b)
(d2)⊥(d1) et (d3 ⊥(d1)
On sait que :
On déduit que :
(d2)//(d3)
)
a) On utilise la méthode vue dans l’exercice
résolu précédent.
b) On sait que : (d2
) ⊥ (d1
) et (d3
) ⊥ (d1
).
On ne peut donc pas utiliser la méthode que
l’on vient de voir.
Cette fois, les données permettent d’appliquer
la propriété 1 vue en séance 7.
Appliquons donc ce que nous avons vu dans la
séance 7.
Exercice 56
1)
(d1) //(d3) et (d2)⊥ (d1)
On sait que :
On déduit que :
(d2)⊥ (d3)
2)
(d2)⊥(d3) et (d4 ⊥(d3)
On sait que :
On déduit que :
(d2)//(d4)
)
1)
(d1)
(d2)
(d4)
(d3)
Une fois (d2
) ⊥ (d3
) démontré, indique-le en
rouge sur la figure.
2)
(d1)
(d2)
(d4)
(d3)

ccSéquence 1
Exercice 57
1)
(d1)
(d3)
(d2)
(∆)
2)
(d1)//(d2) et (∆)⊥ (d2)
On sait que :
On déduit que :
(∆)⊥(d1)
3)
(d3)//(d2) et (∆)⊥ (d2)
On sait que :
On déduit que :
(∆)⊥(d3)
4)
(∆)⊥(d1) et (∆)⊥(d3)
On sait que :
On déduit que :
(d1)//(d3)
perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles
sont parallèles.
5) On vient de démontrer la propriété suivante : « Si deux
droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles
sont parallèles ».
1) Afin de bien visualiser ce que l’on sait
d’après l’énoncé, je te conseille de tracer
d’une même couleur les droites parallèles (d1
)
et (d2
), puis d’une autre couleur les droites
parallèles (d3
) et (d2
).
2)
(d1)
(d3)
(d2)
(∆)
Une fois (Δ)⊥(d1
3)
(d1)
(d3)
(d2)
(∆)
Une fois (Δ)⊥(d3
Attention :
il n’aurait pas fallu écrire (d1
)//(d3
) dans
le rectangle « on sait que », à la place de
(d3
)//(d2
). En effet, on ne sait, ni d’après
l’énoncé, ni d’après la question précédente,
que (d1
) et (d3
) sont parallèles.
4)
(d1)
(d3)
(d2)
(∆)

cc Séquence 1
Exercice 58
1)
C
B
A
D
E
(d)
(d')
(d)
(d')
(d'')
2)
(AD) ⊥(d) et (d')⊥(d)
On sait que :
perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles
sont parallèles.
On déduit que :
(AD)//(d')
3)
(AD) (d') et (d') (d)
On sait que :
parallèles à une même troisième ; alors elles sont
parallèles entre elles.
On déduit que :
(AD)//(d)
// //
• Tracé de (d)
Pour tracer (d), il est nécessaire de tracer la
droite (AD).
C
B
A
D
E
(d)
• Tracé de (d’)
C
B
A
D
E
(d)
(d')
• Tracé de (d’’)
On place la règle et l’équerre comme ci-
dessous :
C
B
A
D
E
(d)
(d')
(d)
(d')
C
E
On fait glisser l’équerre le long de la règle
comme ci-dessous. On trace la droite (d’’).
C
B
A
D
E
(d)
(d')
(d'')
C
E

ccSéquence 1
Séance 9
Exercice 59
1) OA = 4 cm OB = 4 cm
OC = 4 cm OD = 4 cm
OE = 4 cm OF = 4 cm
Les points A, B, C, D, E et F placés sur le cercle sont tous
situés à 4 cm du point O.
2)
O
B
D
F
E
A
C
J
K
L
M
N
P
Les points situés à moins de 4 cm du point O semblent se
trouver « à l’intérieur du cercle C ».
3) Les points situés à plus de 4 cm du point O semblent se
trouver « à l’extérieur du cercle C ».
4) Les points G, H, I , J, K et L semblent tous situés sur un
même cercle de centre O.
O
G
H
I
J
K
L
Cette première question nous mène à la
réflexion suivante : tous les points d’un cercle
semblent être à la même distance du centre du
cercle.
Si tu n’en es pas convaincu, place d’autres
points à 3 cm de O. Tu remarqueras qu’ils
semblent tous se trouver sur ce même cercle.

cc Séquence 1
Exercice 60
1) A
2) E
3) B
1) Prenons une règle graduée.
- Cherchons par exemple si B est le centre du cercle passant par H, C
et E. Sur le dessin, cela paraît faux mais nous allons le vérifier de façon
mathématique :
Si les trois longueurs HB, CB et EB ne sont pas égales, le point B
n’est pas le centre du cercle. On les mesure : elles sont toutes les
trois différentes. B n’est donc pas le centre du cercle recherché.
- Cherchons par exemple si A est le centre du cercle. On mesure
HA, CA, EA et on trouve : HA = CA = EA = 2 cm.
Le centre du cercle cherché est A.
2) On procède de la même façon que précédemment pour
déterminer le centre du cercle passant par B, D et F. On effectue
des mesures et on trouve : BE = DE = FE = 4 cm.
Le centre du cercle passant par B, D et F est donc le point E.
3) On mesure le rayon du cercle de centre G passant par C. On
trouve 4 cm. On cherche alors parmi les longueurs GH, GD, GA et
GB celle égale à 4 cm. En effectuant des mesures, on trouve GB =
4 cm. Le point de la figure qui est sur le cercle est donc B.
Exercice 61
1)
Y
2)
Z
1) On place un point Y.
On prend un écartement de compas de 3 cm.
0 1 2 3 4 5
On pointe alors le compas en Y tout en
gardant l’écartement et on trace le cercle.
Y
2) Le diamètre d’un cercle est le double de son
rayon. Le diamètre du cercle est 4 cm donc son
rayon est 2 cm.
On place un point Z.
On prend un écartement de compas de 2 cm
et on trace le cercle.
H
B
D
F
E
A
C
G
4 cm
4 cm
H
E
A
C
2 cm
2 cm
2 cm
B
D
F
E
4 cm
4 cm
4 cm

ccSéquence 1
3) a) b) c) Comment tracer le cercle de centre A passant
par C ?
C’est simple : « on pointe le compas en A et
on prend pour écartement AC ». On trace
alors le cercle.
On applique la même méthode pour les deux
autres cercles.
Exercice 62
1) 2) 3) 4) et 5)
C D
C
O
E
4 cm
DE
2) Le centre O du cercle dont [CD] est un
diamètre est le milieu de [CD] (en effet, O est
sur le segment [CD] car [CD] est un diamètre
et OC = OD = 3,5 cm)
3) On trace le cercle en utilisant la méthode
vue précédemment.
4) Comme CE = 4 cm, le point E appartient
au cercle de centre C et de rayon 4 cm. On
trace donc ce second cercle, qui coupe le cercle
C en deux points.
Le point E est un de ces points (on choisit où
l’on place la lettre E).
C
B
A
C 1
C 2
C 3

cc Séquence 1
Exercice 63
Les points N et M sont les seuls points situés à 4 cm de E et à 5 cm de F.
• L’ensemble de tous les points situés à 4 cm de E est le cercle de centre E et de rayon 4 cm. Appelons C ce cercle et traçons-le :
E
C
F
4 cm
• L’ensemble de tous les points situés à 5 cm de F est le cercle de centre F et de rayon 5 cm. Appelons C ’ ce cercle et traçons-le.
E
C
F
4 cm
C '
5 cm
• Les points situés à la fois à 4 cm de E et à 5 cm de F sont les points situés à la fois sur le cercle C et le cercle C ’ : ce sont les
points d’intersection de ces deux cercles. Appelons-les N et M.
E
C
F
4 cm
C '
5 cm4 cm
5 cm
M
N
E
C
F
M
N
C '

ccSéquence 1
Exercice 64
1) 2) 3) 4)
K L
C
C '
5) La zone où sont situés les points à moins de 4 cm de K et à moins de 3 cm de L est la zone hachurée
en bleu et en vert.

cc Séquence 1
Exercice 65
On note G le point représentant le Gué du
diable.
L’ensemble de tous les points situés à 6 km du
point G est le cercle de centre G et de rayon
6 km.
1 cm sur la carte représente 2 km en réalité.
6 km = 3 x 2 km.
6 km sont donc représentés par
3 x 1 cm soit 3 cm.
On trace le cercle de centre G et de rayon
3 cm. Il coupe la droite (d’) en deux points.
Un seul de ces deux points nous rapproche de
l’arbre Millénaire : le point Y. On note Y sur
la carte.
Le trésor n’est plus très loin ...
Exercice 66
M
O
N
A
1) Le point A est sur le cercle de diamètre
[MN]. Traçons ce cercle :
M
O
N
On doit aussi avoir (AN) // (MO).
On trace la droite (MO). Le point A est sur
la parallèle à la droite (MO) passant par N.
Traçons cette droite :
M
O
N
A
Le point A est un point d’intersection du cercle
et de cette droite. Ce n’est pas le point N, c’est
donc l’autre point d’intersection.

ccSéquence 1
Exercice 67
L K
P
R
B
B'
• Le point B est sur le cercle de centre K
passant par L. Traçons ce cercle :
L K
P
• Le point B est tel que : (BP) ⊥ (KR).
On trace la droite (KR). On trace ensuite la
droite perpendiculaire à (KR) passant par le
point P.
B appartient à cette droite.
L K
P
R
B
B'
Il y a en fait deux points possibles : B et B’. Ce
sont les points d’intersection du cercle et de la
droite tracée.

cc Séquence 1
Séance 10
Exercice 68
A I B
C
D
5,5 cm
4 cm
On peut commencer par tracer le segment [AB].
D’après l’énoncé, on a : I ∈ [AB].
D’après les codages on a : IA = IB.
I est donc le milieu de [AB].
Comme AI = 4 cm, on a : AB = 8 cm.
On trace donc un segment [AB] et on place
son milieu I.
A I B
On trace ensuite deux segments perpendiculaires
à [AB] :
• [AD] de longueur 5,5 cm
• [BC] de longueur 4 cm
A I B
C
D
5,5 cm
4 cm
Il ne reste plus alors qu’à tracer le segment [DC].
Exercice 69
3 cm3 cm
On commence par remarquer que cette figure
est composée de 3 demi-cercles : deux de
diamètre 3 cm et un de diamètre 6 cm.
3 cm 3 cm
On trace un segment [AB] de 6 cm et son
milieu I.
3 cm 3 cmA I B
AI = IB = 3 cm. On trace ensuite un demi-
cercle de diamètre [AI], puis, du même côté,
un demi-cercle de diamètre [IB].
3 cm 3 cmA I B
On trace enfin « de l’autre côté » de (AB) un
demi-cercle de diamètre [AB].
3 cm 3 cmA I B

ccSéquence 1
Exercice 70
On trace un segment [AB] de longueur 5 cm et le cercle C de
diamètre [AB].
On trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par A puis
un point C sur cette droite tel que : AC = AB = 5 cm.
On place le point D de la demi droite [AC) tel que :
• A, C, D soient alignés dans cet ordre
• CD = AB = 5 cm.
On trace le segment [CB], la demi-droite [DB) et on place I
le point d’intersection de C et [DB), distinct de B.
BA
C
5 cm
BA
C
5 cm
C
BA
C
5 cm
C
D
BA
C
5 cm
C
D
I
Exercice 71
a) A
B
D
w
Z
b)
J
A
(d)
K
X
Y
On applique la méthode vue précédemment : on
prend pour écartement de compas la longueur AB.
On pointe le compas en D et on trace un arc de
cercle qui coupe la demi-droite [Dw) au point Z.
On prend pour écartement de compas la longueur
JK, on pointe le compas en A et on trace deux arcs
de cercles qui coupent la droite (d) aux points X et
Y.

cc Séquence 1
Exercice 72
x
A
B
C
D
F
Y
On prend comme écartement de compas
la longueur du segment [AB], on pointe le
compas en F et on trace un arc de cercle qui
coupe la demi-droite [Fx).
x
A
B
C
D
F
On prend pour écartement de compas la
longueur de [CD], on pointe le compas au point
obtenu précédemment et on trace un autre arc
de cercle qui coupe la demi-droite [Fx).
x
A
B
C
D
F
Y
Exercice 73
On construit un point Z tel que AZ = KL + MN + IJ.
I
M
A
Y
N
J
K
L
Z
F
E
EF = MN
FZ = IJ
AZ est supérieur à AY donc KL + MN + IJ est supérieur à AY.
En procédant comme dans l’exercice
précédent, on cherche à placer le point Z de
[AY) tel que :
AZ = KL + MN + IJ.
Pour cela, on reporte sur la demi-droite [AY)
la longueur KL à partir de A, puis la longueur
MN « à la suite », puis la longueur IJ « à la
suite ». On obtient ainsi le point Z.
Comparer AY et KL+MN+IJ, c’est comparer
les longueurs AY et AZ, soit dire laquelle des
deux est la plus grande. D’après la figure, la
longueur AZ est plus grande que la longueur
AY.
En conclusion, KL + MN + IJ est supérieur à
AY.
On écrit : KL + MN + IJ AY

ccSéquence 1
Exercice 74
L
K
I
J
H
A
B
C
C
L
K
I
J
H
1) On trace le cercle de centre L avec comme
écartement de compas la longueur HI.
2) On trace un diamètre [AB] de ce cercle (on
le choisit comme on veut).
3) Pour tracer une corde [BC] telle que
BC = KJ, il suffit de placer un point C sur le
cercle de diamètre [AB] tel que BC = KJ.
On trace pour cela un cercle de centre B et de
rayon KJ. Ce cercle coupe le cercle de diamètre
[AB] en deux points. N’importe lequel des
deux points répond à la question.
L
K
I
J
H
A
B
C

cc Séquence 1
Exercice 75 On trace la droite (DY).
Que veut dire la phrase : « la distance qui
te sépare du trésor est la même que celle qui
sépare les deux pyramides » ?
Si T représente l’emplacement du trésor, la
distance qui nous sépare du trésor est YT
(nous ne la connaissons pas pour l’instant).
La distance qui sépare les deux pyramides est
LP.
La phrase que nous cherchons à comprendre se
traduit donc par l’égalité :
YT = LP
On prend comme écartement de compas la
longueur LP. On reporte donc la longueur LP
à partir du point Y sur la droite (DY). Nous
obtenons alors deux points.
Le trésor est un de ces deux points. Lequel ?
D’après l’indication du pirate, le trésor ne se
situe pas sur une plage.
Le seul point qui ne se trouve pas sur une
plage est celui « du dessous » : c’est donc
ce dernier qui représente l’emplacement du
Trésor !
Il ne reste plus qu’à nommer T ce point.

ccSéquence 1
Exercice Je m’évalue
1) Combien y a t il de droites passant par deux points distincts ?
® aucune droite
˝ une droite
® deux droites
® une infinité
2) Les points suivants :
® sont alignés
˝ semblent alignés
® ne semblent pas alignés
® semblent confondus
3) La demi-droite d’origine D et passant par E se note :
® (DE)
® (DE]
˝ [DE)
® [DE]
4) Dans cette figure :
® H est le milieu de [FG]
® I est le milieu de [FG]
˝ FH = GH
˝ FI + IG = FG
5) Dans la figure ci-contre, les droites :
® sont parallèles
˝ sont sécantes
® sont confondues
6) Dans la figure ci-contre, les droites :
® sont parallèles
˝ sont sécantes
˝ sont perpendiculaires
® sont confondues
7) Dans la figure ci-contre, les droites (d1
) et (d2
) :
˝ sont parallèles
® sont sécantes
® sont confondues
8) Dans la figure ci-contre, les droites (d1
) et (d2
) :
® sont parallèles
˝ sont sécantes
˝ sont perpendiculaires
® sont confondues
9) Un cercle a pour diamètre 10 cm. La longueur de n’importe
quelle corde de ce cercle :
® est supérieure à 10 cm
˝ est inférieure ou égale à 10 cm
10) Dans la figure suivante qui représente un cercle de centre I
˝ [AB] est un diamètre
˝ [AB] est une corde
® [BC] est un rayon
˝ [BC] est une corde
2) On ne peut pas démontrer la réponse, c’est
pourquoi on utilise le mot « « semblent ».
4) H n’ est pas le milieu de [FG] car H n’est
pas un point de [FG].
Les distances IG et IF ne sont pas égales donc I
n’est pas le milieu de [FG].
I est un point de [FG] donc FI + IG = FG.
5) Si on prolonge les tracés des droites, alors
ils se coupent.
6) Les droites se coupent en formant un angle
droit.
7) Les droites (d1
) et (d2
) sont
perpendiculaires à une même droite donc elles
sont parallèles (on peut l’affirmer car on sait
le démontrer).
8) (d2
) et (d3
) sont parallèles et (d1
)
est perpendiculaire à (d3
) donc (d1
) est
perpendiculaire à (d2
).
9) Une corde est la plus longue lorsqu’elle
est un diamètre. Tous les diamètres du cercle
mesurent 10 cm.
10) A ,B et C sont des points du cercle donc
[AB]et [BC] sont des cordes. De plus, [AB]
contient le centre I du cercle, d’où [AB] est
aussi un diamètre.

cc Séquence 2
SÉQUENCE 2
Séance 1
1) 30 098
2) dix mille six cent trente-sept
3) 9 est le chiffre des unités
4) 6 est le chiffre des unités de mille
5) La bonne réponse est la réponse d)
6) La bonne réponse est la réponse b)
1) Il faut penser à grouper les chiffres par 3 à
partir de la droite en laissant un espace entre
les groupes.
2) Attention : mille est invariable ; cent ne
prend pas de « s » au pluriel lorsqu’il est suivi
d’un nombre.
3) Le chiffre des unités d’un nombre entier est
le chiffre le plus à droite.
4) On dit aussi que 6 est le chiffre des milliers.
5) Il ne faut pas confondre :
4 centaines (400) et 4 centièmes (0,04).
6) Le nombre 4,3 se lit quatre unités et trois
dixièmes.
Exercice 1
Question 1
On disait « calculare ». Ce verbe vient du nom « calculus » qui
signifiait « caillou ».
Question 2
1) a) b) c)
d) e) f)
g)
2)
1 303
20 121
Question 1
Le mot calcul vient donc du mot « cailloux » !
Pour représenter le nombre de chèvres de
son troupeau, l’homme a eu l’idée d’utiliser
ce qu’il avait à portée de la main : des petits
cailloux. Chaque caillou correspondait alors à
une chèvre.
Question 2
1) En observant la première pierre, on constate
que :
représente une centaine,
représente une dizaine,
représente une unité.
En observant la deuxième pierre, on constate que
représente mille.
En observant la troisième pierre, on déduit
de ce qui précède que l’index recourbé
représente 10 000.
En observant la quatrième pierre, on constate que :
représente 1 000 000,
représente 100 000.
2) Dans chaque cas, pour lire le symbole
indiqué, on ajoute les valeurs des symboles.
Un représente 1 000.
Trois représentent 3 x 100 soit 300.
Trois représentent 3 x 1 soit 3.
Le nombre indiqué sur la 1ère pierre est donc :
1 000 + 300 + 3 soit 1 303.
Le nombre indiqué sur la 2ème pierre est :
20 000 + 100 + 20 + 1 soit 20 121.

ccSéquence 2
1 302 010
3)
15 s’écrit
231 s’écrit
2 304 s’écrit
103 020 s’écrit
1 000 001 s’écrit
4) Peux-tu écrire 1 000 000 000 à l’aide de la numération Égyp-
tienne ? NON
Dans ce système de numération, on répétait au maximum neuf
fois le même symbole. Les Égyptiens ne pouvaient donc pas
écrire de plus grand entier que celui qui s’écrivait avec neuf
symboles de chaque sorte, c’est-à-dire 9 999 999.
Question 3
Les dix chiffres sont :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.
Le nombre indiqué sur la 3ème pierre est :
1 000 000 + 300 000 + 2 000 + 10 soit
1 302 010.
4)
Remarque :
Dans notre système, un entier de 6 chiffres est
plus grand qu’un entier de 2 chiffres. Dans
le système Égyptien, ce n’était pas le cas : 15
s’écrit avec six symboles et 1 000 001 avec
deux symboles.
Neuf symboles représentent 9 000 000,
neuf symboles représentent 900 000,
etc ...
9 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 +
900 + 90 + 9 est égal à 9 999 999.
Nous utilisons dix chiffres parce que nous
avons dix doigts et que l’Homme a commencé
à compter en utilisant ses doigts. L’Homme a
ensuite fait des « paquets » de dix unités (c’est
ainsi qu’est née la dizaine), puis des paquets
de dix dizaines pour constituer la centaine,
etc...
Exercice 2
284 se lit « deux cent quatre-vingt-quatre ». Il représente deux
centaines, huit dizaines et quatre unités.
428 se lit « quatre cent vingt-huit ». Il représente quatre
centaines, deux dizaines et huit unités.
Attention aux règles d’orthographe : cent
et vingt ne prennent pas de « s » au pluriel
lorsqu’ils sont suivis d’un nombre.
Il faut mettre un trait d’union pour écrire en
lettres un entier de deux chiffres qui s’écrit à
l’aide de deux ou plusieurs mots (sauf s’il y a
la conjonction « et ») :
dix-sept, dix-huit, dix-neuf, ... quatre-vingt-
dix-neuf, deux cent trente-quatre, ....
Exercice 3
Milliards Millions Milliers
5 2 8
5 0 2 8
5 0 0 2 0 8
5 0 0 0 2 0 0 0 8
5 0 0 0 2 8 0 0 0 0 0

cc Séquence 2
Exercice 4
1) Le chiffre des dizaines de 824 458 est le chiffre 5.
2) Le chiffre des dizaines de mille de 123 456 789 est le chiffre 5.
3) Le chiffre des unités de millions de 589 023 570 001 est le
chiffre 3.
4) Le chiffre des dizaines de millions n’est pas visible dans
l’écriture 3 562 001.
En fait, il est égal à 0.
Si tu rencontres des difficultés, dessine
le tableau de l’exercice précédent au
brouillon et place les chiffres des nombres.
Progressivement, il faudra cependant que tu
apprennes à t’en passer.
3 562 001 est égal à 03 562 001 ; le chiffre
des dizaines de millions est donc bien 0.
Cependant, on n’écrit jamais ce 0 car il est
inutile.
Exercice 5
1) Ces écritures ne sont pas correctes parce que les chiffres ne
sont pas groupés par trois, à partir de la droite, en laissant un
espace entre les groupes.
2) 23 456 789.
2) Comment bien écrire le nombre 23456789 ?
On écrit tout à droite le 9, puis le 8 à sa
gauche, puis le 7 à la gauche du 8. On laisse
un espace avant d’écrire les chiffres de la classe
des milliers. On écrit ensuite le 6 à sa gauche,
le 5, et à sa gauche le 4. Ensuite, on laisse
encore un espace avant d’écrire les chiffres de
la classe des millions. Enfin, on écrit le 3, puis
le 2.
On obtient : 23 456 789.
Cette convention d’écriture a été imposée pour
que la lecture des grands nombres soit plus
facile et plus rapide. Tu dois la respecter.
Exercice 6
A = 7 597 892
B = 3 125 228
C = 35 862
D = 32 344 228
Le nombre B était déjà écrit correctement.
Exercice 7
1) 50 235
2) 6 032
3) 235 100
4) 5 205 780
On pouvait barrer au crayon à papier les zéros
inutiles sur le livret avant d’écrire sur le cahier.
1) Ø50 235
2) Ø 6 032
3) 235 100 : il n’y a rien à barrer.
4) ØØ5 205 780 : on applique deux fois la règle.
Exercice 8
a) 10 028
b) 701 107
c) 78 055 022
d) 539 000 001 001
Si tu rencontres des difficultés, dessine le
tableau des milliards, millions, milliers,
centaines, dizaines et unités sur ton cahier de
brouillon et places-y les nombres.
N’oublie pas d’écrire correctement les nombres
(par groupes de 3 chiffres, en partant de la
droite vers la gauche).

ccSéquence 2
Exercice 9
1)
a) deux cent quatre-vingts
b) trois mille neuf cent sept
c) quatre millions quatre cent quatre-vingt-trois
d) vingt milliards six cent un millions quatre-vingt-quatorze
mille quatre cents.
2) Les nombres pairs de la première question sont 280 et
20 601 094 400.
Les nombres impairs sont 3 907 et 4 000 483
a) Vingt s’accorde car il n’y a pas de nombre
après.
b) Mille est invariable. Cent ne s’accorde pas
car il est suivi d’un nombre.
c) Millions s’accorde au pluriel. Cent et vingt
ne s’accordent pas car ils sont suivis d’un
nombre.
d) Milliard s’accorde au pluriel. Le deuxième
cent s’accorde car il n’est suivi d’aucun nombre
Rappel : Les entiers pairs sont ceux dont le
chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Les entiers impairs sont ceux dont le chiffre
des unités est 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.
Exercice 10
a) Pour numéroter les pages d’un livre de 1 à 62, on utilise 62
nombres :
• des nombres de 1 chiffre (9 au total)
• des nombres de 2 chiffres (62 – 9 soit 53 au total)
Le nombre de chiffres utilisés est donc :
9 + (2 x 53) = 9 + 106 = 115
b) Lorsqu’on numérote les pages d’un livre de 1 à 62, on utilise :
• 6 fois le chiffre 5 comme chiffre des unités
• 10 fois le chiffre 5 comme chiffre des dizaines
Le nombre de fois où on utilise le chiffre 5 est donc :
6 + 10 = 16
a) Dans ce type d’exercice, on attend des
justifications : il faut que tu apprennes à
répondre à la question posée en expliquant
ce que tu fais. Un résultat seul, même s’il est
juste, n’est pas suffisant.
Réfléchis... On écrit des nombres de 1 chiffre
(de 1 à 9) et des nombres de deux chiffres (de
10 à 62).
Pour répondre à la question posée, il suffit
que tu saches combien on a écrit d’entiers de
1 chiffre et d’entiers de 2 chiffres.
En effet,
• on écrit un nombre par page,
• on numérote 62 pages.
Il fallait bien lire la consigne : on cherchait
combien de chiffres (et non de nombres !) il
fallait pour numéroter les 62 pages d’un livre.
b) On utilise le chiffre 5 :
• Pour écrire 5, 15, 25, 35, 45, 55
• Pour écrire 50, 51, 52, ...... 59
Le corrigé proposé n’est qu’une suggestion : il y
avait d’autres façons de justifier la réponse.
Rédiger une réponse est quelque chose d’assez
difficile. Ce n’est pas grave si tu as des
difficultés au départ.
Ce qui est important est que tu apprennes
progressivement, cette année, à savoir le faire.

cc Séquence 2
Exercice 11
Ce nombre s’écrit « mcdu ».
On sait que m est égal à 4 et que d est le double de m donc le
code cherché s’écrit « 4c8u ».
c et u sont tels que : c + u = 2.
On a donc :
u = 0 et c = 2
ou
u = 1 et c = 1
ou
u = 2 et c = 0
Comme le code de la carte de Marc est un nombre impair, on
déduit de ce qui précède que : u = 1.
On a donc :
c = 1.
Le code de la carte bancaire de Marc est donc 4 181.
On attend également ici des justifications.
On lit attentivement l’énoncé : il comporte
quatre indications :
• le nombre est impair
• m est égal à 4
• c + u = 2
• d est le double de m.
On cherche ce qu’on peut déduire de ces
indications.
Le nombre est impair ; u ne peut donc être
égal ni à 0 ni à 2.

ccSéquence 2
Séance 2
Exercice 12
Le poisson
Le poisson mesure deux bâtons.
L’hippocampe
La longueur en bâtons de l’hippocampe est-elle un nombre
entier ? NON
L’hippocampe mesure entre 1 et 2 bâtons.
L’hippocampe mesure 1 bâton et 3 dixièmes de bâton. On écrit
également : 1+
3
10
.
Le biface
Peut-on mesurer exactement le biface à l’aide de bâtons et de
petits bâtons ? NON
Le biface mesure entre 1 bâton et 4 petits bâtons et 1 bâton et
5 petits bâtons.
Le biface mesure 1 bâton, 4 petits bâtons et 7 tout petits bâtons.
Autrement dit :
Le biface mesure 1 bâton, 4 dixièmes de bâton et 7 centièmes
de bâton.
On écrit également : 1+
4
10
+
7
100
.
On peut également écrire ce nombre à l’aide de
l’écriture à virgule. 1+
3
10
= 1,3 .
On peut également écrire ce nombre à l’aide de
l’écriture à virgule. 1+
4
10
+
7
100
= 1,47 .
Exercice 13
a)
456,5=456+
5
10
456,5 = 456 + 0,5
456,5 = 456 + 5 x 0,1
b)
145789,88=145789+
8
10
+
8
100
145 789,88 = 145 789 + 0,8 + 0,08
145 789,88 = 145 789 + 8 x 0,1 + 8 x 0,01
c)
7,476=7+
4
10
+
7
100
+
6
1000
7,476 = 7 + 0,4 + 0,07 + 0,006
7,476 = 7 + 4 x 0,1 + 7 x 0,01 + 6 x 0,001
d)
0,14=
1
10
+
4
100
0,14 = 0,1 + 0,04
0,14 = 1 x 0,1 + 4 x 0,01
e)
31,101=31+
1
10
+
1
1000
31,101 = 31 + 0,1 + 0,001
31,101 = 31 + 1 x 0,1 + 1 x 0,001
f)
26,007=26+
7
1000
26,007 = 26 + 0,007
26,007 = 26 + 7 x 0,001
a) On observe le modèle proposé.
456,5 correspond à 456 unités et 5 dixièmes.
On sait donc que ce nombre s’écrit 456+
5
10
.
« 5 dixièmes » s’écrit également 0,5.
456,5 s’écrit donc également 456 + 0,5.
« 5 dixièmes » s’écrit également 5 x 0,1.
456,5 s’écrit donc également 456 + 5 x 0,1.
b) On procède de la même façon pour 145 789,88.
c) On procède de la même façon pour 7,476.
d) Il n’est pas nécessaire d’écrire le 0 :
0,14= 0 +
1
10
+
4
100
e) Attention : le chiffre des centièmes est 0.Il
n’est pas nécessaire d’écrire
0
100
:
31,101=31+
1
10
+
0
100
+
1
1000
f) Le chiffre des dixièmes est 0, le chiffre des
centièmes est 0.

cc Séquence 2
Exercice 14
456,5 quatre cent cinquante-six unités et cinq dixièmes.
145 789,88 cent quarante-cinq mille sept cent quatre-vingt-neuf unités, huit dixièmes et huit centièmes.
7,476 sept unités, quatre dixièmes, sept centièmes et six millièmes.
0,14 un dixième et quatre centièmes.
31,101 trente et une unité, un dixième et un millième.
26,007 vingt-six unités et sept millièmes
Exercice 15
Partie entière Partie décimale
Milliers
Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes Dix-
millièmes
Cent-
millièmes
Millionièmes
1 2 3 0 1 0 2 3
1 0 0 0 0 0 1
0 9 3 5 0 2 1
1 0 0 0 0 1 2
9 7 8 7 0 0 0 0 8
4 5 2 4 9 5
Exercice 16
a) Quelle est la partie décimale de 139,125 ? 125
b) Quelle est la partie entière de 1 790, 236 ? 1 790
c) Quelle est la partie entière de 0,589 ? 0
d) Quelle est la partie décimale de 0,589 ? 589
e) Quel est le chiffre des dixièmes de 589,23 ? 2
f) Quel est le chiffre des millièmes de 17 897,150 9 ? 0
g) Quel est le chiffre des dizaines de 1 256,123 ? 5
h) Quel est le chiffre des cent-millièmes de 23,123 456 78 ? 5
Exercice 17
a) 0 520,120 520,12
b) 201, 532 00 201,532
c) 450,506 4 450,506 4
d) 002 236,120 00 2 236,12

ccSéquence 2
Séance 3
Exercice 18
• Découpage de l’unité
Une unité, c’est 10 dixièmes. C’est également 100 centièmes. C’est également 1 000 millièmes.
Une unité, c’est encore 10 000 dix-millièmes, 100 000 cent-millièmes, etc.
On peut donc écrire : 1=
10
=
100
=
1000
=
10 000
10 100 1000 10 000
etc.
• Découpage du dixième
Un dixième, c’est 10 centièmes. C’est également 100 millièmes.
On peut donc écrire :
1
10
=
100
=
1000
10 100
etc.
• Découpage du centième
Un centième, c’est 10 millièmes. On peut écrire
1
100
=
1000
10
etc.
Exercice 19
• Cherchons à l’écrire uniquement avec des unités et des millièmes :
12,789 représente donc 12 unités, 700 millièmes, 80 millièmes et 9 millièmes .
12,789 représente donc 12 unités et 789 millièmes. On écrit : 12,789 = 12 +
1000
789
.
• Cherchons à l’écrire uniquement avec des millièmes :
12,789 représente 12 unités, et 789 millièmes.
Comme 12 unités représentent 12 000 millièmes,
12,789 représente donc 12 000 millièmes et 789 millièmes .
12,789 représente donc 12 789 millièmes. On écrit : 12,789 =
1 000
12789
.
Exercice 20
a)
1936
1000
; 1,936
b)
28 912
10 000
; 2,891 2
c)
400
10
; 40
d)
100
1000
; 0,1
e)
13 000
100
; 130
1 936 millièmes représentent 1 000 millièmes
plus 936 millièmes soit une unité et 936
millièmes.
28 912 dix-millièmes représentent 20 000 dix-
millièmes plus 8 912 dix-millièmes c’est-à-dire
2 fois 10 000 dix-millièmes plus 8 912 dix-
millièmes soit 2 unités et 8 912 dix-millièmes.
400 dixièmes représentent 40 fois dix
dixièmes, soit 40 unités.
100 millièmes représentent 0,100 unité, c’est-
à-dire 0,1 unité.
13 000 centièmes représentent 130 fois cent
centièmes soit 130 fois une unité donc 130
unités.
Exercice 21
a) 450,2 = 450 +
2
10
b) 5,024 = 5 +
24
1 000
c) 105 644,28 = 105 644 +
28
100
d) 569,0019 = 569 +
19
10000
e) 12,304 = 12 +
304
1000
f) 105,040 7 = 105 +
407
10 000

cc Séquence 2
Exercice 22
a)12 +
123
10 000
= 12,012 3 b) 256 + 0,020 5 = 256,020 5
c) 2 x 100 000 + 5 x 1 000 + 7 x 0,1 + 1 x 0,000 1 = 200 000 + 5 000 + 0,7 + 0,000 1 = 205 000,700 1
d)125 +
5
10
+
8
10 000
= 125,500 8
e) 5 + 0,03 + 0,007 = 5,037
f) 5 100 + 5 1+1
1
100
+ 6
1
1000 000
=× × × × 505,010 006
Exercice 23
a)
123
100
=1,23
b)
5339
1000
=5,339
c)
632
10 000
=0,063 2
d)
14686
1000
= 14,686
e)
9450
1000
= 9,45
a) 123 centièmes correspondent à une unité et 23 centièmes.
b) 5 339 millièmes correspondent à 5 unités et 339 millièmes.
c) 632 dix-millièmes s’écrivent 0,063 2.
d) 14 686 millièmes correspondent à 14 unités et 686
millièmes.
e) 9 450 millièmes correspondent à 9 unités et 450 millièmes
soit 9 unités et 45 centièmes.
Exercice 24
a) 20 +
123
1000
= 20,123
b) 2 1000 +1 0,1+ 2 0,100 + 3 0,001= 2 000 + 0,1+ 0,200× × × × ++ 0,003 = 2000,303
c) 20,012 3
d)
2123
1000
= 2,123
e) 20 + 0,102 3 = 20,102 3
f)
20123
1000
= 20,123
g) 2 10+1
1
10
+2
1
100
+ 3
1
1 000
20+0,1+0,02+0,00=× × × × 33 = 20,123
Les écritures correspondant à a), f) et g) représentent le même nombre décimal 20,123.

ccSéquence 2
Séance 4
Exercice 25
1)
A
I
x
0 1
Y F
B
2
C
3
D
4
E
5
... à partir de E tu obtiens le point F.
2)
AB = 2 x AI donc nous associons au point B le nombre 2.
AC = 3 x AI donc nous associons au point C le nombre 3.
AD = 4 x AI donc nous associons au point D le nombre 4.
AE = 5 x AI donc nous associons au point E le nombre 5.
3) L’unité de longueur de notre graduation est la longueur AI. L’unité de longueur est ici 2 cm.
4) L’abscisse du point F est 6. L’abscisse du point Y est 2,5.
5) L’origine de la demi-droite graduée est le point qui a pour abscisse 0.

cc Séquence 2
Exercice 26
0 10,4 0,8 1,3 1,40,24 0,53 1,18
2
10
+
4
100
1 +
3
10
14
10
1 +
1
10
+
8
100
8
10
53
100
4
10
La demi-droite représentée a pour origine O et pour unité 10 cm.
Comme 10 cm représentent 1 unité, 1 cm représente
1
10
unité (soit 0,1 unité).
10 cm = 100 mm donc 100 mm représentent une unité. D’où : 1 mm représente
1
100
unité.
• Placement de
8
10
:
0 1
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
8
10
Une fois le point d’abscisse
1
10
placé, on déduit où sont placés les points d’abscisses
2
10
,
3
10
, ...,
8
10
.
• Placement de 1+
3
10
:
0 1
1 +
3
10
1 +
1
10
1 +
2
10
3
10
1
10
le point d’abscisse 1+
3
10
est à droite du point d’abscisse 1, à la distance
3
10
de ce point.
•
14
10
est égal à 1 unité plus
4
10
.
Exercice 27
62 63
62 +
9
10
62,9
62 +
2
10
62,2 63,11
63 +
1
10
+
1
100
6 244
100
62,44
On ne voit pas l’origine de cette demi-droite graduée qui a pour unité de longueur 10 cm.
Comme 10 cm représentent 1 unité :
1 cm représente
1
10
unité soit un dixième. 1 mm représente
1
100
unité soit un centième.
63 +
1
10
1
10
63
63 +
1
10
+
1
100
Remarque :
6 244
100
est égal à 62 unités et 44 centièmes.
0 0,1
1
100
1
10

ccSéquence 2
Exercice 28
62,3 62,4
62 +
3
10
+
7
100
62,37
62 +
3
10
+
2
100
62,32 62,343
62 +
3
10
+
4
100
+
3
1 000
62 418
1 000
62,418
62 +
4
10
62 +
3
10
On ne voit pas l’origine de cette demi-droite graduée telle que 10 cm représentent 0,1 unité (1 dixième).
Comme 10 cm représentent 1 dixième, 1 cm représente 1 centième, 1 mm représente 1 millième.
62+
3
10
+
7
100
est égal à 62 unités, 3 dixièmes et 7 centièmes, on le représente donc à 7 cm à droite du point d’abscisse 62,3.
Etc.
Remarque :
62 418
1000
est égal à 62 unités et 418 millièmes.
Exercice 29
7 87,87,3 7,547,09
7 +
3
10
78
10
754
100
709
100
Comme les nombres à placer sont tous compris entre 7 et 8, On peut ne représenter la demi-droite graduée qu’à partir de 7.
On fait bien attention à respecter l’échelle 1 cm pour 1 dixième. On place ensuite les nombres proposés comme on l’a fait
précédemment.
Exercice 30
1)
1 022 19 022 91 022 100 022 101 011 109 021
2)
109 021 101 011 100 022 91 022 19 022 1 022
Exercice 31
1) Un livre coûte 36,78 euros chez le libraire M. Dubois et 37,9 euros chez M. Dupont. Où est-il le
moins cher ? Chez M. Dubois car il coûte moins de 37 euros, alors que chez M. Dupont, il coûte plus
de 37 euros.
2) a)
3 4
3 +
4
10
3,07
3 +
7
100
3,4
b) 3 +
7
100
3 +
4
10
c) 3,07 3,4
On obtient l’inégalité du b) par lecture de la demi-droite graduée : 3 +
7
100
se trouve à gauche de 3 +
4
10
.

cc Séquence 2
Exercice 32
a) 57,3 55,71 b) 124,7 124,69
c) 5,45 5,462 d) 7,42 = 7,420
e) 7,42 7,042 f) 42,0135 42,13
a) 57,3 et 55,71 n’ont pas la même partie entière. 57 55 donc 57,3 55,71.
b) 124,7 et 124,69 ont la même partie entière. Utilisons par exemple la première méthode et écrivons les deux parties décimales
avec le même nombre de chiffres. On obtient 124,70 et 124,69.
Comme 70 69, on a 124,70 124,69.
c) 5,45 et 5,462 ont la même partie entière. Utilisons par exemple la deuxième méthode. On commence par comparer les
chiffres des dixièmes : c’est le même pour les deux nombres (4). On compare alors les chiffres des centièmes :
Comme 5 6, on a 5,45 5,462.
On procède de la même façon pour les cas suivants.
Exercice 33
1)
24,4 24 23,4 23,3 23,089
2)
0,555 5 5,005 5 5,05 50,05 55,05 55,5
Exercice 34
2,34 2,35 ; 2,34 2,36 ; 2,34 2,37 ; 2,34 2,38 ; 2,34 2,39.
Le symbole ® représente 5, 6, 7, 8 ou 9.

ccSéquence 2
Séance 5
Exercice 35
Combien va-t-il réellement payer ? 5 €
Combien va-t-elle réellement payer ? 8 €
Qui de Ludivine et de Kévin aura le plus bénéficié de cette
promotion ? Kévin
On supprime les centimes de 5,95 € : on
obtient 5 €.
On supprime les centimes de 8,10 € : on
obtient 8 €.
Kévin a bénéficié d’une réduction de
95 centimes d’euros, alors que Ludivine n’a
bénéficié que d’une réduction de 10 centimes
d’euros.
Exercice 36
a) 101,7
b) 4 568,98
c) 400 +
5
100
+
6
1000
= 400,056
La troncature recherchée est 400.
d) 78
a) On supprime tous les chiffres situés à droite
de 7 (le chiffre des dixièmes).
b) On supprime tous les chiffres situés à droite
de 8 (le chiffre des centièmes).
c) Le nombre dont on cherche la troncature au
dixième est 400,056. La troncature cherchée
est 400,0 soit 400.
d) On supprime tous les chiffres situés à droite
de 8 (le chiffre des unités).
Exercice 37
1-
a) 3,21= 3 +
10
+
100
2 1
.
b)
3 43,21
c) 3 3,21 4
2- 4,2 4,28 4,3
Il y avait une infinité de réponses possibles dans le 2), comme par exemple : 3,8 4,28 4,5, ou 4,1 4,28 4,3.

cc Séquence 2
Exercice 38
1) 15 15,12 16
2)
23,8 23,859 8 23,9
12 12,001 12,1
3)
5,63 5, 634 8 5,64
458,5 458,500 2 458,51
4)
4,9 4,91 5
9,19 9,194 9,2
1) On obtient ainsi un encadrement à l’unité
près de 15,12.
2) On obtient des encadrements au dixième
près de 23,859 8 et 12,001. Dans le
deuxième encadrement, on a écrit 12 au lieu
de 12,0 car le zéro est inutile.
3) On obtient des encadrements au centième
près de 5,634 8 et de 458,500 2. Dans le
deuxième encadrement, on a écrit 458,5 au
lieu de 458,50 car le zéro est inutile.
Exercice 39
1) 5 ; 6 ; 7.
2) 2,9 ; 3 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5
3) 2,86 ; 2,87 ; 2,88 ; 2,89 ; 2,9 ; 2,91 ; 2,92 ; 2,93
1) On pouvait se représenter la demi-droite
graduée ci-dessous (mais il faut apprendre à
s’en passer).
4 85 6 7
4,8 7,9
2) On imagine une demi-droite graduée tous
les dixièmes sur laquelle on a placé 2,83 et
3,51.
3) On imagine une demi-droite graduée tous
les centièmes sur laquelle on a placé 2,856 et
2,931. Les nombres décimaux à deux chiffres
après la virgule cherchés sont 2,86 ; 2,87 ;
2,88 ; 2,89 ; 2,9 ; 2,91 ; 2,92 ; 2,93.
On écrit 2,9 au lieu de 2,90 car le zéro est
inutile.
Exercice 40
Le symbole « ® » représente soit un 2, soit un 3.
1,90 (c’est-à-dire 1,9) est inférieur à 1,915,
le symbole « ® » ne peut pas être un 0.
Comme 1,910 est inférieur à 1,915, le
symbole « ® » ne peut pas être un 1.
Si on le remplace par un 2 ou un 3,
l’encadrement est correct.
Si on remplace le symbole par 4 ou plus, cela
n’est plus correct car 1,940 est plus grand que
1,936 9, donc 1,95 aussi, etc.
Exercice 41
1) a) 78 b) 101 c) 0
2) a) 46 b) 100 c) 1
3) a) 6,4 b) 78 c) 187,9
4) a) 78,43 b) 56,2 c) 237
3) c) 187 +
954
1 000
= 187,954
4) c)
236 +
9
10
+
9
100
+
7
10 000
= 236,990 7

ccSéquence 2
Exercice 42
Le nombre décimal cherché possède trois chiffres après la virgule et sa valeur approchée par défaut au
centième près est 4,56. Il s’écrit donc 4,56• .
Son chiffre des millièmes est égal à son chiffre des unités. Le symbole • représente donc le chiffre 4.
Le nombre cherché est 4,564.

cc Séquence 2
Séance 6
Exercice 43
a) 5,8 5,86 5,9
b) 2,54 2,535 2,53
c) 0 0,4 1
d) 0,21 0,205 0,2
e) 3,69 3,692 3,7
f) 1 000 000 300 000 100 000
Pour chaque cas, il y avait en fait une infinité de
bonnes réponses. Par exemple, pour le premier
cas, on pouvait intercaler entre 5,8 et 5,9
beaucoup de nombres à deux chiffres après la
virgule : 5,81 ; 5,82 ; ... ; 5,89. On pouvait
aussi intercaler des nombres à trois chiffres après
la virgule : 5,801 ; 5,802 ; ... ; 5,899.
Et on pourrait continuer avec des nombres à
quatre chiffres après la virgule, à cinq chiffres, etc.
Exercice 44
2 2,1 3
2 2,07 2,1
2 2,004 2,01
2 2,000 6 2,001
Pour chaque cas, il y avait également une
infinité de bonnes réponses. On aurait
pu choisir un nombre qui vérifiait tous les
encadrements, comme par exemple 2,000 001.
Exercice 45
1) 46
2) 59
3) 59,9
Tous les entiers que l’on peut intercaler entre
45,001 et 59,999 sont 46, 47, 48, ..., 59. Le
plus petit de ces entiers est 46. Le plus grand
est 59.
Les nombres à un chiffre après la virgule supérieurs
à 45,001 sont : 45,1 ; 45,2 ; 45,3 ; ... ; 59,9. Le
plus grand de ces nombres est 59,9.
Exercice 46
1)
12,86 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9.
12,82 est l’abscisse d’un point du segment rouge. Ce nombre est plus proche de 12,8.
12,88 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9
12,851 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9
12,850 1 est l’abscisse d’un point du segment bleu. Ce nombre est plus proche de 12,9
2) Quel est le seul nombre aussi proche de 12,8 que de 12,9 ? 12,85.
On pouvait placer les nombres proposés sur la demi-droite graduée afin de répondre à la question 1-.
12,8 12,912,8612,82 12,8812,81
12,85112,845
12,850 1

ccSéquence 2
Exercice 47
1) L’arrondi à l’unité de : 2) L’arrondi au dixième de : 3) L’arrondi au centième de :
7,844 est 8. 45,76 est 45,8. 1,167 est 1,17.
9,1 est 9. 36,21 est 36,2. 33,191 est 33,19.
99,5 est 100. 55,55 est 55,6. 33,196 est 33,2.
78,97 est 79.
Dans le 1), l’arrondi à l’unité de 7,844 est 8 car le chiffre des dixièmes (8) est supérieur à 5.
Dans le 2), l’arrondi au dixième de 45,76 est 45,8 car le chiffre des centièmes (6) est supérieur à 5.
Dans le 3), l’arrondi au centième de 1,167 est 1,17 car le chiffre des millièmes (7) est supérieur à 5.
Exercice 48
Zoé achète un lot de deux stylos à 4,45 euros. Elle veut en fait partager avec son amie Julie : elle va
lui donner un stylo et Julie va lui rendre la moitié de 4,45 soit 2,225 euros. Comme le nombre trouvé
possède trois chiffres après la virgule, Zoé décide de l’arrondir au centime d’euros. Julie lui donnera
donc 2,23 euros pour le stylo.
Exercice 49
5,1 B 5,2
B possède deux chiffres après la virgule et sa
valeur approchée au dixième par excès est
5,2. B s’écrit donc 5,1®, où le symbole ®
représente un chiffre.

cc Séquence 2
Séance 7
Exercice 50
1) 9 + 38 = 47 donc Sophie a 47 ans.
2) 176 – 5 = 171. Le père de Mathieu mesure 171 cm.
3) 20 – 13,6 = 6,4. Le fleuriste doit rendre à Julien 6,4 € .
Exercice 51
1) 2 9 6
8 5 7
+
1 3
1 4
01
3511
Il fallut au total 1 153 pierres pour construire la chapelle et son
muret.
Méthode actuelle pour ajouter 296 et 857 :
+
351
11
7
6
5
9
8
2
1
2)
+
511 3
8 5 7
62 9
11
,
,
,
Léo a dépensé au total 11,53 €.
1) Cette technique qui date du XVI ème siècle
consiste à calculer dans un premier temps la
somme des unités, puis celles des dizaines, puis
celle des centaines, etc.
Elle consiste à écrire plus de détails que dans la
méthode actuelle :
13 est le résultat de 6 + 7. Dans la méthode
actuelle, on ne conserve que le 3 des trois
unités, car les dix autres unités constituent
une dizaine et constituent donc la dizaine de
« retenue ».
14 est le résultat de 9 + 5. Dans la méthode
actuelle, on ajoute directement la retenue. On
ne conserve alors que le 5 car les 10 dizaines,
c’est-à-dire une centaine, constitue la retenue
des centaines.
2) La technique d’addition de deux décimaux
est exactement la même : il suffit juste de
placer les deux nombres l’un sous l’autre en
les alignant par rapport à la virgule et ne pas
oublier la virgule du résultat.
Exercice 52
+
48 4
7 2 5
81 1
1
,
,
, 3 3
8 7
64
1 1

+
41 0
4 5
59
1
,
,
, 5 7
2 7
03
A = 844,33 B = 140,57
+
11 8
7 9
93
1
,
,
, 4 7
0 0
74

+
21 2
1
, 1 1
+
1 8, 2 0
08 , 00
2 3, 9 1
1
C = 11,847 D = 12,211

ccSéquence 2
Exercice 53
A = 35,86 B = 134,99 C = 4 299,429 9 D = 563,305
Corrigé 54
-
11
5
6
4
5
3
7
0
8,
,
, 84
-
66
7
4
1
8
8
3
0
5,
,1
, 55
1
1
1
A = 11,48 B = 66,55
-
30
7
1
0
1
8
1
9
0,
, 1
, 12
1
1
1
1
1
-
59
4
0
0
0
6
0
9
0,
, 1
, 13
1
1
1
1
1
0
1
1
1
C = 0,321 D = 9,531
Exercice 55
À 9 h, le niveau de l’eau dans le port est :
16,43 + 1,9 =18,33.
+
1 8
1
61
1
,
,
, 3 3
9 0
34
À 10 h, le niveau de l’eau dans le port est :
18,33 – 0,57 = 17,76.
-
1 7
0
81 ,
,
, 7 6
5 7
33
1
1
1
1
Conclusion : à 10 h, le niveau de l’eau dans le port est
17,76 m.
Pour résoudre un problème :
• il faut écrire les calculs que l’on fait.
• il faut poser les opérations.
• il faut écrire une phrase de conclusion.

cc Séquence 2
Séance 8
Exercice 56
+
4 , 6
+
,65 0
,8 2 1
06 , 3 2
9
221
11

+
, 1
+
,8 4
,9 6
7 , 0 9
95 5
53
5
12 1
-
9
12
2
,
,
, 70
3
1
3
2 1
10
1
1

-
9
93 ,
,
, 3
0
9
6
2 7 1
5
1
1
1
1
Exercice 57
1) a) 25,8 + 3,2 = 29
b) 10 – 2,7 = 7,3
c) 45 + (25 – 19) = 45 + 6 = 51
2) a) 4,5 – 0,4 est la différence de 4,5 et de 0,4.
b) 45 + 56 + 302 + 1 024 est la somme de 45, de 56, de
302 et de 1 024.
c) 89 – (5 + 12) est la différence de 89 et de la somme de 5
et de 12.
1) b) Attention à l’ordre lorsque l’on parle de
différence : La différence de 2,7 et de 10 est
2,7 – 10 et n’existe pas car 2,7 10.
c) La différence de 25 et 19 est 25 – 19.
On effectue la somme de 45 et de 25 – 19.
On écrit cette somme : 45 + (25 – 19).
On écrit des parenthèses car sinon
45 + 25 – 19 pourrait très bien être la
différence de 45 + 25 et de 19.
2) c) Les parenthèses indiquent que ce qui est
à gauche du signe «-» est un terme et ce qui est
à droite est l’autre terme. L’expression est donc
une différence de deux termes : 89 et 5 + 12.
Exercice 58
1) 789 + (129 – 58) + 321 = 789 + 71 + 321 = 860 + 321
789 + (129 – 58) + 321 = 1 181.
2) (452 + 87) – (189 – 65) = 539 – 124 = 415
1) La somme que l’on doit calculer contient
trois termes : 789 ; 129 – 58 ; 321.
Pour que l’écriture de la somme soit claire, on
est obligé d’écrire des parenthèses autour de
129 – 58.
Pour effectuer un calcul contenant des
parenthèses, on commence par effectuer le
calcul dans les parenthèses.
129 – 58 = 71.
Il ne reste plus alors qu’à effectuer la somme
de 789, de 71 et de 321.
2) Les deux termes de la différence : 452 + 87
et 189 – 65 s’écrivent à l’aide de parenthèses.
On effectue le calcul à l’intérieur de chacune
de ces parenthèses :
452 + 87 = 539
189 – 65 = 124.
Il ne reste plus alors qu’à effectuer 539 – 124.

ccSéquence 2
Exercice 59
Effectue les calculs suivants de manière astucieuse :
A = 7,6 + 48 + 2,4 + 12 = (7,6 + 2,4) + (48 + 12)
A = 10 + 60 = 70
B = 4,45 + 57 + 23 + 8,55 = (4,45 + 8,55) + (57 + 23)
B = 13 + 80 = 93
C = 47,3 + 21,1 + 22,9 + 12,7 = (47,3 + 12,7) + (21,1 + 22,9)
C = 60 + 44 = 104
D = 9,6 + 43,2 + 11,4 + 9 + 6,8 = (9,6 + 11,4) + (43,2 + 6,8) + 9
D = 21 + 50 + 9 = (21 + 9) + 50
D = 30 + 50 = 80
• Calcul de A
On remarque « 7,6 + 2,4 qui fait 10 » et
« 48 + 12 qui fait 60 ». Comme on peut
regrouper comme l’on veut les termes d’une
somme, on commence par calculer ces deux
sommes.
Il ne reste plus alors qu’à ajouter 10 et 60.
• Calcul de B
De même, 4,45 + 8,55 = 13 et 57 + 23 = 80.
On regroupe alors les termes de façon à
effectuer ces additions en premier.
• Calculs de C et D
On fait de même que précédemment.
Exercice 60
a)
+
h
h10
49
min64
min
15
15
h
min
5 38
s83
s
45 s
83 s = 60 s + 23 s = 1 min + 23 s
64 min = 60 min + 4 min = 1 h + 4 min
15 h 64 min 83 s = 15 h 4 min 23 s + 1 h + 1 min
10 h 15 min 45 s + 5 h 49 min 38 s = 16 h 5 min 23 s.
b)
+
h
h21
12
min43
min
25
31
h
min
4 34
s73
s
39 s
j
j1
1
j0
73 s = 60 s + 13 s = 1 min + 13 s
25 h = 24 h + 1 h = 1 j + 1 h
1 j 25 h 43 min 73 s = 1 j 24 h 43 min 13 s + 1 h + 1 min
1 j 21 h 31 min 39 s + 4 h 12 min 34 s = 2 j 1 h 44 min 13 s
c)
-
h
h2
38
min45
min
1
24
h
s
s23
35
s48
min
0
23 83
83
1
2 h 24 min 23 s – 38 min 48 s = 1 h 45 min 35 s
d)
-
h
h20
27
min35
min
1
3
h
s
s7
22
s45
min
18
2 67
62
19
20 h 3 min 7 s – 18 h 27 min 45 s = 1 h 35 min 22 s
a) On applique la méthode que l’on vient de
voir.
On ajoute entre elles les secondes, puis les
minutes, puis les heures.
On utilise ensuite les relations qui lient les
secondes, les heures et les minutes :
60 s = 1 min
60 min = 1 h
On voit qu’il y a plus de 60 s.
On essaye alors de décomposer 83 en 60 plus
un nombre : on trouve 83 = 60 + 23.
83 secondes correspondent donc à 1 minute et
23 secondes.
On fait de même pour les minutes :
64 minutes correspondent à 60 + 4 minutes
donc à 1 heure et 4 minutes.
On trouve donc :
15h64min83s=15h4min23s+1h+1min.
b) On effectue la même méthode. La
nouveauté ici est qu’il y ait des jours. On
utilise alors la relation :
24 h = 1 j
On cherche donc à écrire le nombre d’heure,
ici 25, comme 24 + 1 heures. Les 24 heures
feront alors un jour de plus.
c) On applique la méthode de la soustraction :
comme on ne peut pas soustraire 48 à 23, on
transforme 2 h 24 min 23 s en 2 h 23 min et
60 + 23 s soit 2 h 23 min 83 s.
On peut donc ensuite effectuer :
83 – 48 = 35
On regarde ensuite les minutes :
On ne peut soustraire 38 à 23. On
transforme donc 2 h 23 min en 1 h et
60 + 23 minutes soit 1 h 83 min. On effectue
alors 83 – 38. On obtient 45.
d) On applique la même méthode que dans
le c).

cc Séquence 2
Exercice 61
L’horaire d’arrivée de Sophie est :
16 h 48 min + 2 h 22 min +
h
h16
22
min70
min
18
48
h
min
2
16 h 48 min + 2 h 22 min = 18 h 70 min soit 19 h 10 min .
Le temps d’attente de Sophie est :
19 h 27 min – 19 h 10 min -
h
h19
10
min17
min
0
27
h
min
19
19 h 27 min – 19 h 10 min = 17 min
Le temps d’attente de Sophie est 17 minutes.
On commence par calculer l’horaire d’arrivée
de Sophie.
Pour savoir le temps qu’elle a attendu, calcule
la différence entre l’heure à laquelle est arrivé
son père et l’heure d’arrivée de Sophie.
N’oublie pas qu’il est très important de bien
rédiger ce genre de problème. Pour cela :
• il faut écrire les calculs que l’on fait
• il faut poser les opérations
• il faut écrire une phrase de conclusion.

ccSéquence 2
Séance 9
Exercice 62
1) 100 + 300 + 200 + 30 = 630
2) 119 + 282 + 179 + 32 = 612
1)
On remplace 119 par 100.
2)
Pour obtenir ce résultat, on tape :
119 + 282 + 179 + 32 EXE
ou bien :
119 + 282 + 179 + 32 =
(cela dépend de la calculatrice)
Exercice 63
1)
a) 4 000 + 6 000 + 800 + 300 = 11 100
b) 80 000 – 40 000 = 40 000
c) 800 + 300 + 700 + 200 = 2 000
d) 500 – 300 = 200
2)
a) 11 228
b) 41 969
c) 1 912,634
d) 106,026 1
a)
L’arrondi au millier de 4 318 est 4 000.
L’arrondi au millier de 5 896 est 6 000.
L’arrondi à la centaine de 758 et 800 ; celui
de 256 est 300.
On fait de même pour b), c) et d).
Exercice 64
1 028,235 – 789, 104 • • 778,951
127, 279 + 1 025, 012 • • 651,161
589, 151 + 784, 5 + 6 • • 239,131
4 568,025 6 – 3 789,074 6 • • 1 152,291
589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01 • • 1 379,651
On n’a pas besoin de faire les calculs pour
répondre à cet exercice : il suffit de calculer un
ordre de grandeur de chacun des nombres.
1 028,235 – 789,104 a pour ordre de
grandeur 1 000 – 800 soit 200.
127,279 + 1 025,012 a pour ordre de
grandeur 100 + 1 000 soit 1 100. Le résultat
exact est donc 1 152,291.
589,151 + 784,5 + 6 a pour ordre de
grandeur 600 + 800 soit 1 400. Le résultat
exact est donc 1 379,651.
4 568,025 6 – 3 789,074 6 a pour ordre
de grandeur 5 000 – 4 000 soit 1 000. On
ne peut donc pas savoir si le résultat exact est
778,951 ou 651,161.
On cherche alors un ordre de grandeur plus
précis, et, pour cela, on arrondit à la centaine.
On calcule 4 600 – 3 800. On trouve 800. Le
résultat exact est donc 778,951.
589,453 + 58,12 + 3,578 + 0,01 a pour
ordre de grandeur 600 + 60 soit 660. Le
résultat exact est donc 651,161.

cc Séquence 2
Exercice 65
1)
Le 1er cas correspond à l’égalité n°2 :
20 – ◊ = 7,65
Le 2ème cas correspond à l’égalité n°3 :
® – 20 = 7,65
Le 3ème cas correspond à l’égalité n°1 :
7,65 + Δ = 20
2)
Δ = 20 – 7,65 = 12,35 soit 12,35 €
◊ = 20 – 7,65 = 12,35 soit 12,35 €
® = 20 + 7,65 = 27,65 soit 27,65 dL
1)
• Pauline a 20 €. Elle achète un puzzle dont
le prix est ◊ €.
20 – ◊ est donc égal à la somme qu’il reste à
Pauline, soit 7,65 €.
• Eloïse a retiré 20 dL d’eau d’un récipient qui
contient ® dL.
® – 20 est donc égal au volume d’eau qu’il
reste, soit 7,65 dL
• 7,65 € plus la somme de Δ € que l’on a
donnée à Théo est égal à 20 €.
On a donc : 7,65 + Δ = 20.
2)
Les trois égalités permettent de calculer
simplement les trois nombres inconnus.
Exercice 66
a) 45 + 32 = 77 c) 13 = 45 – 32 e) 45 = 13 + 32
b) 45 = 77 – 32 d) 32 = 45 – 13 f) 32 = 77 – 45

ccSéquence 2
Séance 10
Exercice 67
1) Le prix en euros des produits achetés par Léo est :
4,78 + 12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34
Un ordre de grandeur de ce montant en euros est donc :
5 + 13 + 3 + 1 + 3 + 1 soit 26 €.
La carte de Léo lui permet de déduire 7,68 € du montant de
ses achats.
Un ordre de grandeur de 7,68 est 8.
26 – 8 = 18 donc 18 € est un ordre de grandeur du prix que
Léo va payer.
2) Le prix en euros des produits achetés par Léo est :
4,78 +12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34
5 , 6 32
+
,1 3 4
+
,2 7 4
+
,1 1 9
+
,2 5 9
+
,2 9 91
4 , 7 8
431
Le prix des produits achetés par Léo est 25,63 €.
La carte de Léo lui permet de déduire 7,68 €.
-
7
52
6
,
,
, 59
8
1
6
7
3
1
1
1
1
1
1
25,63 – 7, 68 = 17,95.
Le prix que doit payer Léo pour ses courses est 17,95 €.
Conclusion :
Comme 17,95 20, Léo pourra payer ses achats avec un billet
de 20 €.
On aurait également pu écrire directement tout
le calcul en utilisant des parenthèses :
Le montant en euros de ses courses diminué du
bon d’achat est :
(78 + 12,99 + 2,59 + 1,19 + 2,74 + 1,34) – 7,68
Un ordre de grandeur de ce montant est donc :
(5 + 13 + 3 + 1 + 3 + 1) – 8 = 18
Pour répondre à ce type de problème, il est
nécessaire de faire des phrases pour expliquer
ce que tu fais, de poser les opérations, et de
faire une phrase de conclusion.

cc Séquence 2
Exercice 68
On calcule la somme des huit durées :
h min20917 s234
+ 28 minh s293
+ 45 minh s264
+ 08 minh s082
+ 11 minh s082
+ 40 minh s512
+ 53 min s34
+ 19 minh s564
5 s22min
234 s = 180 s + 54 s = 3 min + 54 s donc :
17 h 209 min 234 s = 17 h 212 min 54 s
212 min = 180 min + 32 min = 3 h + 32 min donc :
17 h 212 min 54 s = 20 h 32 min 54 s.
Conclusion :
Le temps total mis par le coureur américain est
20 h 32 min 54 s.
On commence par expliquer ce que l’on
calcule.
On pose l’opération.
On convertit le résultat obtenu en un résultat
de temps « correct ». Pour cela, on utilise les
relations entre heures, minutes et secondes.
On termine la résolution du problème par une
phrase de conclusion.

ccSéquence 2
1) 56 +
2
100
+
3
1000
a pour partie entière :
® 5 623
® 560
˝ 56
® 562
2) Le chiffre des centièmes de 89,746 3 est :
® 8
˝ 4
® 6
® 3
3) deux mille quatre cent vingt et un centièmes a pour écriture
décimale :
˝ 24,21
® 2 421
® 2,421
® 242,1
4) Quel(s) nombre(s) est (sont) inférieur(s) à 2,03 ?
˝ 2,003
® 2,3
˝ 2,01
® 2,033
5) L’arrondi de 45,897 au centième est :
® 45,89
® 46
® 45,8
˝ 45,9
6) La troncature de 45,746 au dixième est :
® 45,8
˝ 45,7
® 45
® 45,74
7) La valeur approchée par excès à l’unité près de 78,1 est :
˝ 79
® 78
® 78,5
® 80
8) La somme de 14,156 et de 5,88 est :
˝ 20,036
® 19,846
® 21,106
® 20,003
9) La différence de 4,11 et de 2,98 est :
® 1,03
® 2,13
® 2,33
˝ 1,13
10) On ajoute 1,33 à un nombre, on obtient 5. Quel est ce
nombre ?
® 3,66
® 6,33
˝ 3,67
® 3,77
1) L’écriture à virgule du nombre proposé est
56,023.
2) Il ne faut pas confondre centièmes et
centaines.
3) Deux mille quatre cent vingt et un
centièmes, c’est 2 400 centièmes plus 21
centièmes soit 24 unités et 21 centièmes
car
2 400
100
= 24 .
4) On a bien : 2,003 2,03 et 2,01 2,03.
Par contre :
2,3 2,03
2,033 2,030.
5) L’arrondi au centième de 45,897 est 45,90
(car le chiffre des millièmes est 7). On l’écrit
45,9.
6) Pour obtenir la troncature au dixième de
45,746, on supprime tous les chiffres situés à
droite de 7. On obtient 45,7.
7) La valeur approchée par excès à l’unité près
est l’entier supérieur le plus proche, soit 79.
8) Pour calculer la somme de 14,156 et de
5,88, tu pouvais poser l’opération ou faire un
calcul en ligne.
9) La différence de 4,11 et 2,98 est 4,11 – 2,98.
Tu pouvais poser l’opération ou faire un calcul
en ligne.
10) Le nombre qui, ajouté à 1,33, fait que l’on
obtient 5 est 5 – 1,33 soit 3,67.

cc Séquence 3
SÉQUENCE 3
Séance 1
1) c) une équerre
2) b) non
3) a) oui
4) b) non
1) L’équerre est l’instrument le plus adapté
pour vérifier qu’un angle est un angle droit.
2) À l’aide de l’équerre tu peux facilement
vérifier que cet angle n’est pas un angle droit.
3) On peut facilement vérifier à l’aide d’une
équerre que cet angle semble droit.
4) À nouveau à l’aide d’une équerre, on vérifie
que l’angle n’est pas un angle droit.
Exercice 1
1) 2) 3) 4) 5)
A
E
B
x
D
F y
6) De quelle couleur est l’angle EAF∑ ? bleu
7) De quelle couleur est l’angle BFD∑ ? jaune
8) De quelle couleur est l’angle DFE∑ ? jaune
Pour colorier un angle, on commence par le
repérer sur la figure. Par exemple, DBx∂ a pour
sommet B. On repère ensuite ses côtés : [BD)
et [Bx). On le visualise alors bien sur la figure.
Il ne reste alors plus qu’à tracer une portion de
disque et de la colorier en rouge.
On fait de même pour les autres angles.
7) On remarque qu’un angle peut s’écrire de
plusieurs façons. L’angle colorié en jaune s’écrit
par exemple BFD∑, DFE∑ , ou bien EFD∑ , ...
Exercice 2
1) Quel est le sommet de l’angle KFT∑ ? F Quels sont ses
côtés ? [FK) et [FT).
Comment peut-on nommer autrement cet angle ? TFK∑
2) Quel est le sommet de l’angle NTO∑ ? T Quels sont ses
côtés ? [TN) et [TO).
Comment peut-on nommer autrement cet angle ? OTN∑
3) Quel est le sommet de l’angle sLt∂ ? L Quels sont ses côtés ?
[Ls) et [Lt).
Comment peut-on nommer autrement cet angle ? tLs∂
4) Un angle a pour sommet D et pour côtés [Dz) et [DT).
Comment se nomme-t-il ? zDT∑ ou TDz∑ .
On n’a pas besoin, lorsqu’on lit la notation
d’un angle, de se le représenter pour savoir
quel est son sommet et quels sont ses côtés :
• La lettre du milieu désigne le sommet.
• Les deux côtés sont les demi-droites d’origine
le sommet, passant par les points désignés par
les lettres figurant au début et à la fin de la
notation de l’angle.
(Lorsqu’un angle est noté sous la forme
xOy∑ , les côtés sont les demi-droites [Ox) et
[Oy), mais x et y ne sont pas des points)

ccSéquence 3
Exercice 3
1) POA∑ , LOA∑ , AOL∑ , POM∑ , MOP∑ , LOM∑ , MOL∑
2) MNA∑ , ANL∑ , LNA∑ , PNL∑ , LNP∑ , PNM∑ , MNP∑
1) Représentons l’angle AOP∑ en bleu.
Les autres notations possibles pour cet angle
sont :
POA∑
L
A
M
NO
P
LOA∑ , AOL∑
L
A
M
NO
P
POM∑ , MOP∑
L
A
M
NO
P
LOM∑ , MOL∑
L
A
M
NO
P
2) On procède de la même façon que pour le 1).

cc Séquence 3
Exercice 4
C
D
E
I
J
K
C
D
E
F
G
H
C
D
E
M
L
N
C
D
E
U
T
S
CD
E
W
V
X
C
D
E
Z
A
B
C
D
E
R
P
Q
C
D
E
a) Les angles égaux à DCE∑ sont : QPR∑ et XVW∑ .
b) Les angles plus petits que DCE∑ sont : JIK∑ , UST∑ et BAZ∑ .
c) Les angles plus grands que DCE∑ sont : FGH∑ et LMN∑ .
Attention ! La mesure d’un angle n’a rien à voir avec la longueur du tracé de ses côtés.
Exercice 5
Réponse : c’est la figure 11. En effet, à vue d’œil, on hésite entre les figures 11 et 4 mais, avec le
calque, on observe que l’angle pressenti de la figure 4 est trop petit. On entoure donc la figure 11.

ccSéquence 3
Séance 2
Exercice 6
2) Cet angle est constitué de 5 angles de 1° mis «côte à côte» :
on dit qu’ils sont adjacents. Cet angle mesure 5 °.
3) Cet angle est constitué de 10 angles adjacents de 1°.
Cet angle mesure 10 °.
Cet angle mesure 20 °.
Cet angle mesure 90 °. Cet angle est un angle droit.
Cet angle mesure 180 °. Cet angle est un angle plat.
Exercice 7
ABC∑ = 7700= 70°
MOR∑ = 3355= 35°
tRy∂ = 115500= 150°
xKy∑ = 1100= 10°
On lit sur la graduation comme on l’a vu
précédemment.
On note quand même quelque chose : pour
mesurer l’angle tRy∂ , c’est le côté [Ry) de
l’angle qui coïncide avec la graduation 0 et non
le côté [Rt). Ce n’est pas important puisque
l’angle tRy∂ se nomme également yRt∑ .
Exercice 8
a) obtus b) droit c) aigu d) aigu e) plat f) obtus g) droit h) aigu i) plat

cc Séquence 3
Exercice 9
A
B
01020
30
40
50
60
70
90 80
100110
120
130
140
150
160
170
180
C
J
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
I
J
K
BAC∑ = 6600= 60° JIK∑ = 111100= 110°
10
203040
50
60
70
90
80
100
110120130
140
150
160
170
180
0
M
x
y
T
R
S
01020
30
40
50
60
70
90
80
100 110
120
130
140 150
160
170
180
R
S
T

xMy∑ = 4455= 45° RST∑ = 2255= 25°
• Lorsque les tracés des côtés des angles ne sont pas suffisamment longs, tu ne peux pas lire avec quelle graduation le côté
coïncide : tu dois alors prolonger son tracé en utilisant un crayon et une règle.
• Lorsque tu compares ton tracé avec le corrigé, il y a parfois un écart de 1 ou 2° : cela est dû à l’imprécision de la mesure. Ce
n’est pas grave !
Exercice 10
LKM∑ = 2255= 25° uPv∑ = 112200= 120° VLF∑ = 9900= 90° xTy∑ = 6655= 65° HJK∑ = 112200= 120°
N’oublie pas de prolonger les tracés des côtés lorsqu’ils ne te permettent pas de lire sur les
graduations du rapporteur.
Exercice 11
1) Les figures 3 – 5 – 6 – 7 – 8 – 10.
2) Les figures 3 et 5. On les entoure.
3) Les figures 1, 2, 6, 7, 8 et 10.
4) Les figures 6, 7, 8 et 10.
5) Les figures 8 et 10. On les entoure.

ccSéquence 3
Séance 3
Exercice 12
BAF∑ = 1155= 15° AFB∑ = 115500= 150° ABF∑ = 1155= 15° CBE∑ = 6655= 65°
BED∑ = 114400= 140° EDC∑ = 6655= 65° DCB∑ = 9900= 90° ABC∑ = 111155= 115° FBE∑ = 116655= 165°
C
A
B
D
E
F
15° 150° 15°
165°
90°
140°
65°
65°115°
Exercice 13
A x
y
B z
t

xAy∑ = °25 zBt∂ = °75
uOv∑ = °120
O u
v
eDf∑ = °164
D e
f

cc Séquence 3
Exercice 14
a)
E F
D
b)
K
L
M
a)
E F
[EF] étant tracé, on place correctement le
rapporteur et on fait une marque en face de la
graduation 45°.
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
E F
On trace la demi-droite d’origine E passant
par « la marque ». On place ensuite un point
D n’importe où sur cette demi-droite.
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
E F
D
Remarque : on aurait pu aussi construire le
point D « au-dessous » de [EF).
b) On effectue de même que dans le a).
Remarque : là aussi, le point M pouvait être
construit « au-dessous » de (KL).
Exercice 15
a)
CK
L
b)
GR
M
a) On commence par tracer une demi-droite
[KC) quelconque :
On place correctement le rapporteur et on fait
une marque en face de la graduation 92°.
CK
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
On trace la demi-droite d’origine K passant
par « la marque ». On place ensuite un point
L n’importe où sur cette demi-droite.
b) On effectue de même que dans le a).

ccSéquence 3
Exercice 16
A B
40°
10 cm
8
cm
C
On commence par tracer un segment [AB] de 10 cm de longueur. On trace ensuite un angle BAx∑ de 40°. On place ensuite C
sur la demi-droite [Ax) tel que : AC = 8 cm. Il ne reste plus alors qu’à tracer le segment [BC].
Exercice 17
AO
C
D
20°
120°
70°
5 cm
7 cm
6cm
10 cm
B
x
y
z
• On commence par tracer un segment [OA] de 5 cm de longueur. On trace ensuite un angle AOx∑ de 20°.
On marque le point B sur [Ox) à 7 cm de O.
• On trace un angle OBy∑ de 120°. On marque le point C sur [By) à 6 cm de B.
• On trace un angle BCz∑de 70°. On marque le point D sur [Cz) à 10 cm de C.

cc Séquence 3
Exercice 18
E F
G
H
On a :
EHI GHI∑ ∑= = °27
HEI HGI∑ ∑= = °63
IEF IGF∑ ∑= = °51
EFI IFG∑ ∑= = °39
HIG HIE EIF GIF∑ ∑ ∑ ∑= = = = °90
Remarque :
Il n’est pas nécessaire de marquer quatre
angles droits comme ceci :
I
En effet, s’il n’y en a qu’un seul, comme ci-
dessous :
I
alors les trois autres angles sont forcément eux
aussi des angles droits.

ccSéquence 3
Séance 4
Exercice 19
1) CBA∑ = 60= 60°
2) 3) CBA∑ = 60: 2 = 60° : 2 = 30°
B A
C
D
30°
30°
1) Pour pouvoir mesurer l’angle CBA∑ , on
prolonge les tracés des côtés de cet angle.
2) On commence par calculer combien
mesurent les 2 angles adjacents égaux.
Remarque : la moitié de l’angle CBA∑ peut se
noter
CBA
2
∑
.
On place le centre du rapporteur en B et on fait
coïncider le côté [BA] avec la graduation 0°.
On fait en suite une marque en face de la
graduation 30°, et on trace la demi-droite
d’origine B passant par cette marque.
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
B A
C
4- On place ensuite un point D n’importe où
sur la demi-droite que l’on vient de tracer.
Exercice 20
a) La demi-droite [OC) est-elle la bissectrice de l’angle AOB∑ ? non
b) La demi-droite [LN) est-elle la bissectrice de l’angle KLM∑ ? oui
K
L
M
N
60°
60°
c) La demi-droite [TR) est-elle la bissectrice de l’angle UTS∑ ? non
d) La demi-droite [XV) est-elle la bissectrice de l’angle YXW∑ ? oui
Y
V W
X
45°
45°
a) Les angles AOC∑ et COB∑ sont adjacents
mais ne sont pas égaux. La demi-droite [OC)
n’est donc pas la bissectrice de l’angle AOB∑ .
A
O B
C
25°
65°
c) Les angles UTR∑ et RTS∑ sont adjacents
mais ne sont pas égaux. La demi-droite [TR)
n’est donc pas la bissectrice de l’angle UTS∑ .
U
R
S
T30°
24°

cc Séquence 3
Exercice 21
O A
B
C D
E
J
I
K
F
y
x
Exercice 22
1)
A
C
B
J
x
y
z
(d)
I
2) Les trois bissectrices sont concourantes en I.
4) Le cercle tracé semble avoir seul point commun avec chacun des trois côtés.
Remarque du professeur : ce cercle est appelé « cercle inscrit » dans le triangle ABC.

ccSéquence 3
Exercice 23
xOy∑ = ° + ° =33 20 53= 33° + 20° = 53°
zAt∂ = ° + ° =14 7 21= 14° + 7° = 21°
eBf∑ = ° − ° =75 25 50= 75° – 25° = 50°
Les remarques du professeur :
On peut ajouter ou soustraire les mesures de ces angles car ils sont adjacents.
Exercice 24
• Je calcule la mesure de l’angle yOz∑ :
La demi-droite [Oy) est la bissectrice de l’angle xOz∑ donc :
yOz
xOz∑
∑
= =
°
= °
2
110
2
55
• Je calcule la mesure de l’angle yOt∑ :
yOt∑ = yOz∑ + zOt∑ = 55° + 25° = 80°
La mesure de l’angle yOt∑ n’est pas 90° : cet angle n’est pas un
angle droit. C’est donc Jules qui a raison.
Pour résoudre ce type de problème, on
commence par bien lire l’énoncé.
On s’aperçoit qu’il s’agit de prouver qu’un
angle est ou n’est pas droit. On sait que
lorsqu’on veut prouver quelque chose, on
ne doit pas mesurer. On va uniquement
raisonner à partir des données de l’énoncé.
Regardons de plus près l’angle yOt∂ :
La mesure de cet angle est la somme de yOz∂ et
de zOt∂ . On sait que zOt∂ = °25 , il nous reste
à déterminer yOz∂ . On sait d’après l’énoncé
que la demi-droite [Oy) est la bissectrice de
l’angle xOz∂ , donc yOz∂ est la moitié de 110°,
soit 55°.
Après, il ne reste plus qu’à faire la somme.
Elle est égale à 80°, donc l’angle n’est pas
droit.
Une fois ce raisonnement fait, on rédige la
réponse le plus clairement possible. Pour cela,
on pense à faire des phrases courtes, mais
rédigées correctement. N’oublie aucune étape !
Exercice 25
1)
2) Les figures 1 et 2.
3) La figure 2. On l’entoure.

cc Séquence 3
Séance 5
Exercice 26
Je calcule ABC∑ :
ABC ABx xBy yBC∑ ∑ ∑ ∑= + +
ABC∑ = °+ °+ ° = °31 66 84 181
La mesure de l’angle ABC∑ n’est pas égale à 180° donc cet
angle n’est pas l’angle plat.
L’angle ABC∑ n’est pas plat donc les points A, B et C ne sont
pas alignés.
Pour pouvoir affirmer un résultat, on ne
peut pas se fier à une mesure, qui sera
toujours imprécise. Il faut donc utiliser une
démonstration : nous allons donc raisonner à
partir des données.
Nous connaissons les mesures des trois angles
adjacents : ABx∑ , xBy∑ et yBC∑ , dont la somme
est égale à ABC∑ .
Connaître l’angle ABC∑ nous donne des
informations d’alignement : si cet angle est
plat, les trois points A, B et C sont alignés
(sinon, ils ne le sont pas).
Nous calculons la somme des trois angles :
elle n’est pas égale à 180°. Nous savons donc
comment prouver le résultat. Il nous reste à
rédiger la démonstration : il faut faire des
phrases courtes.
Exercice 27
Je calcule ECF∑ :
ECF ECy yCx xCF∑ ∑ ∑ ∑= + +
• yCx ECy∑ ∑= = °45 (d’après le codage)
• L’angle xCF∑ est droit donc xCF∑ = °90
ECF∑ = °+ °+ ° = °45 45 90 180
ECF∑ = 180° donc C ∈ [EF].
Le point C est donc sur le segment [EF].
Nous voulons démontrer que le point C est sur
[EF], et nous ne connaissons que des mesures
d’angles. Nous pensons donc à la propriété vue
précédemment.
Pour pouvoir l’appliquer, nous devons calculer
ECF∑ .
L’angle ECF∑ est la somme de trois angles
adjacents dont on peut connaître les mesures.
Nous calculons la somme, nous trouvons 180°.
Il ne nous reste plus qu’à appliquer la propriété
pour démontrer que le point C est sur le
segment [EF].
Exercice 28
Je calcule yLM∑ :
KLM KLx xLy yLM∑ ∑ ∑ ∑= + +
• Les points K, L et M sont alignés dans cet ordre donc
KLM∑ = °180 .
58 32 180°+ °+ = °yLM∑
90 180°+ = °yLM∑
yLM∑ = °− ° = °180 90 90
L’angle yLM∑ a pour mesure 90°, c’est donc un angle
droit.
Nous connaissons des mesures d’angles.
Nous devons prouver que yLM∑ est droit.
Nous allons donc essayer de prouver que yLM∑
mesure 90°.
On pense à utiliser la propriété vue
précédemment :
« Si L ∈ [KM] alors KLM∑ = °180 ».

ccSéquence 3
Exercice 29
Je calcule yFx∑ :
EFG EFz zFy yFx xFG∑ ∑ ∑ ∑ ∑= + + +
• D’après le codage : xFG EFz∑ ∑= = °36 .
• Les points E, F et G sont alignés dans cet ordre donc
EFG∑ = °180 .
180 36 72 36° = °+ °+ + °yFx∑
180 (36 72 36° = °+ °++ ° yFx∑+)
180 144° = °+ yFx∑
yFx∑ = °− ° = °180 144 36
Les deux angles yFx∑ et xFG∑ sont adjacents et égaux, la
demi-droite [Fx) est donc la bissectrice de l’angle yFG∑ .
Que pouvons-nous dire de la demi-droite [Fx) ?
Nous allons vraisemblablement raisonner à
partir d’angles. Cette demi-droite pourrait-elle
être la bissectrice de yFG∑ ?
Nous cherchons donc à calculer l’angle yFx∑ .
Nous cherchons à déterminer un angle, nous
utilisons donc la propriété précédente car nous
savons que les points E, F et G sont alignés
dans cet ordre.
Nous effectuons ensuite un raisonnement sur
les angles.

cc Séquence 3
Séance 6
Exercice 30
Les triangles ABE, EBC, ECD et EBD sont tracés.
Nous avons mis en évidence ci-dessous :
• le triangle ABE :
A
B D
E
C
(on pouvait aussi le nommer BEA, BAE, EAB,
EBA, AEB)
• le triangle EBC :
A
B D
E
C
(on pouvait aussi le nommer BEC, BCE, CBE,
CEB, ECB)
• le triangle ECD :
A
B D
E
C
(on pouvait aussi le nommer CED, CDE,DEC,
DCE, EDC)
• le triangle EBD :
A
B D
E
C
(on pouvait aussi le nommer BDE, BED, DEB,
DBE, EDB)

ccSéquence 3
Exercice 31
B C
A
50° 60°
8 cm
B C
A
50° 60°
8 cm
Pour pouvoir tracer une figure répondant
à l’énoncé, nous commençons d’abord par
représenter une figure à main levée, et on
la code. Cette figure va nous permettre de
réfléchir à la manière de faire la construction :
quel point place-t-on en premier ? quel segment
ou quel angle trace-t-on en premier ?
On commence par tracer le côté [BC] qui
mesure 8 cm :
B C
On trace un angle de 50° de sommet B :
B C
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
90 100
110
120
130
150
140
160170180
80
60
70
40
50
30
20
10
0
On trace un angle de 60° de sommet C :
B C
010
20
30
40
50
60
70
90 80100
110
120
130
140
150
160
170180
90 100
110
120
130
150
140
160170180
80
60
70
40
50
30
20
10
0

cc Séquence 3
Exercice 32
1)
A
B C4 cm
80° 60°
B
C
A
80° 60°
4 cm
2)
S
R T
4,5 cm
50°
4 cm
4 cm
S
R T
4,5 cm
50°
3)
M
K L
4 cm
40°
6 cm
M
K L
4 cm
40°
6 cm
M'
1) On utilise la méthode étudiée dans
l’exercice précédent. On rappelle qu’il est
toujours utile de faire une figure à main levée,
même quand cela n’est pas demandé.
2) Voici une construction possible :
• On commence par tracer un segment [RT]
de 4 cm.
• On trace ensuite un angle TRx∑ de 50°.
4 cm
x
R T
50°
• On place le point S sur [Rx) tel que RS = 4,5 cm.
• On trace enfin le segment [ST].
3) Voici une construction possible :
• On commence par tracer un segment [KL]
de 6 cm.
• On trace ensuite un angle KLx∑ de 40°.
x
K L
40°
6 cm
• Comme KM = 4 cm, on trace au compas le
cercle de centre K et de rayon 4 cm.
x
K L
40°
6 cm
• Le point M est l’un des 2 points
d’intersection de [Lx)et du cercle.
• On trace enfin le segment [KM].

ccSéquence 3
Exercice 33
1) 4)
9 cm
B C
A
5 cm
7 cm
C 1 C 2
2) Le point A se trouve à 5 cm du point B. Le point A se trouve donc sur le cercle de centre B et de
rayon 5 cm.
Le point A se trouve à 7 cm du point C. Le point A se trouve donc sur le cercle de centre C et de rayon
7 cm.
3) A est l’un des deux points d’intersection de ces deux cercles.
Il y a deux possibilités pour le point A : on pouvait choisir l’un ou l’autre des points d’intersection des 2 cercles.
A
B C9 cm
5 cm 7 cm

cc Séquence 3
Exercice 34
1)
A
B C12 cm
7 cm
10 cm
2)
K
L M9,5 cm
3 cm 8 cm
K
L M9,5 cm
3 cm
8 cm
3)
CD E
5 cm 7 cm
Que remarques-tu ? Les trois points C, D et E semblent alignés.
Remarque du professeur : En fait, les point C, D et E sont alignés. Cela provient du fait que : 12 cm = 5 cm + 7 cm.
4)
I K
4 cm
6 cm
IK = 12 cm
Que remarques-tu ? On ne peut pas construire ce triangle.
Remarque du professeur : En effet, on ne peut pas construire ce triangle. Cela provient du fait que : 12 cm 4 cm + 6 cm.
A
B C12 cm
7 cm 10 cm
C
D E12 cm
5 cm 7 cm
J
I K12 cm
4 cm 6 cm

ccSéquence 3
Séance 7
Exercice 35
a) Pour reproduire le triangle KGH, on peut par exemple commencer par placer un point K, puis tracer
une demi-droite [Kx).
K
x
On place ensuite le point H sur cette demi-droite en reportant la longueur KH à l’aide du compas.
K
x
K
G
H
H
On prend KG comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre K et de rayon KG.
K
x
K
G
H
H
On prend HG comme écartement de compas et on trace un arc de cercle de centre H et de rayon HG
qui coupe la précédente.
K
x
K
G
H
H
Le point G est à l’intersection des deux arcs de cercles.
K
H
G
Les remarques du professeur : tu viens, en reproduisant un triangle (et donc en reproduisant ses trois angles), de découvrir une
méthode permettant de reproduire un angle.
b) Pour reproduire l’angle xKy∑ sur un cahier, il suffit de reproduire un triangle
KHG : tu n’as qu’à placer où tu le veux un point H sur [Kx) et un point G sur [Ky).
Il ne reste plus qu’à reproduire ce triangle KHG, tu auras alors obtenu un triangle sur ton
cahier, et l’angle dont le sommet est K est bien l’angle xKy∑ que tu voulais reproduire.
Exercice 36
Les figures sont dans l’énoncé de cet exercice
On applique la méthode vue précédemment.
K
x
y
H
G

cc Séquence 3
Exercice 37
1) a) c)
A B
C
7 cm
C
6 cm
9 cm
D E
b)
K
M
L
8 cm
6 cm
10 cm
2) a) Les trois côtés du triangle ABC ont la même longueur.
b) Le triangle KLM semble avoir un angle droit.
c) Deux côtés du triangle ont la même longueur.

ccSéquence 3
Exercice 38
• le triangle DKB est rectangle en B car DBK∑ = °90 .
• le triangle DIK est rectangle en I car DIK∑ = °90 .
• le triangle CDB est isocèle en C car CD = CB.
• le triangle ABK est équilatéral car AB = AK = KB.
• le triangle KIJ est rectangle en J car IJK∂ = °90 .
• le triangle EDF est rectangle isocèle en D car DE = DF et
EDF∑ = °90 .
• le triangle GIH est rectangle isocèle en I car IG = IH et
GIH∑ = °90 .
A
B
C
D
E
F G
H
I
J
K
Exercice 39
1)
C
A B
4 cm
5 cm
2)
G
F E
4,5 cm
2 cm
G
F E
4,5 cm
2 cm
(d)
3)
M
K L
45°
4 cm
M
K L
45°
4 cm
x
y
1) Cette construction est la plus simple :
• On peut commencer par tracer un segment
[AB] de 5 cm de longueur.
• On trace à l’aide d’une équerre un segment
[AC] perpendiculaire à (AB) de longueur 4 cm.
• On obtient ainsi le point C. Il ne reste plus
qu’à tracer le segement [BC] et à coder le
triangle.
2)
[FE] de 2 cm de longueur.
• On trace à l’aide d’une équerre la droite
(d) perpendiculaire à (FE) et passant par F.
• Le point G est à 4,5 cm du point E : on
trace donc un arc de cercle de centre E et de
rayon 4,5 cm.
• Cet arc de cercle coupe la droite (d) au
point G.
• Il ne reste plus qu’à tracer le segment [GE]
et à coder le triangle.
3)
[KL] de 4 cm.
• On trace à l’aide d’une équerre une demi-
droite [Kx) perpendiculaire à (KL).
• On trace un angle KLy∑ de 45° à l’aide
d’un rapporteur.
• les demi-droites [Kx) et [Ly) se coupent en
M.
• Il ne reste plus qu’à coder le triangle.
C
A B
4 cm
5 cm

cc Séquence 3
4) 4)
• On peut commencer par tracer un angle
xCy∑ de 30° à l’aide d’un rapporteur.
• Le point A est à 6 cm du point C : on trace
donc un arc de cercle de centre C et de rayon 6
cm. Il coupe la demi-droite [Cy) au point A.
• Il ne reste plus qu’à tracer la
perpendiculaire à la demi-droite [Cx) passant
par le point A. Cette droite coupe la demi-
droite [Cx) au point B.
• Il ne reste plus qu’à coder le triangle ABC
obtenu.
Exercice 40
1) Les figures 6 et 7.
2) La figure 6. On l’entoure.
3)
10
8
2
3
5
11
6
A
B C
30°
6 cm
A
B C
30°
6 cm

ccSéquence 3
Séance 8
Exercice 41
C
A
B
5 cm
7 cm
B C
A
7 cm
5 cm
On applique la méthode vue dans la séance 6
permettant de tracer un triangle connaissant
les longueurs de ses 3 côtés.
Le cas du triangle isocèle est particulier : une
fois le segment [BC] tracé, les deux arcs de
cercle de centres B et C ont tous les deux 5 cm
de rayon.
La méthode de construction est détaillée dans
la suite du cours.
Exercice 42
1)
T
R
S
6 cm
4 cm
S T
R
4 cm
6 cm
2)
M
K
L
4 cm
45°
M
K
L
4 cm
45°
x
3)
C
B
A
3 cm
70°
C
B
A
3 cm
70°
x
1)
On applique la méthode décrite
précédemment.
2)
[KL] de 4 cm.
• On trace un angle LKx∑ de 45°.
• On sait que KM = 4 cm car le triangle KLM
est isocèle en K. On trace un arc de cercle de
centre K et de rayon 4 cm qui coupe la demi-
droite [Kx) en M.
• On trace le segment [LM] et on code le
triangle.
3)
[BA] de 3 cm.
• On trace un angle BAx∑ de 70°.
• On sait que BC = 3 cm car le triangle ABC
est isocèle en B. On trace un arc de cercle de
centre B et de rayon 3 cm qui coupe la demi-
droite [Ax) en A et en C.
• On trace le segment [BC] et on code le
triangle.

cc Séquence 3
Exercice 43
K
4 cmL M
Ce cas est un cas particulier de triangle
isocèle : on applique donc la méthode de
construction d’un triangle isocèle, qui va ici se
simplifier.
• On trace un segment [LM] de 4 cm.
• On prend pour écartement de compas la
longueur LM et on trace deux arcs de cercle de
centres respectifs L et M qui se coupent en K.
• On trace le triangle KLM et on le code.
Exercice 44
1)
E
2,5
cm
3 cm
I
G
J
F
H
4 cm
5cm
2cm
2) On trace :
• un triangle FGJ rectangle en G tel que :
GF = 3 cm ; GJ = 5 cm.
• un triangle EGF tel que :
GE = 2,5 cm ; EF = 2 cm.
• un triangle GIE équilatéral.
• un triangle EFH isocèle en H tel que HE = 4 cm.
1) La figure est constituée :
• d’un triangle FGJ rectangle en G tel que
GF = 3 cm et GJ = 5 cm (on le trace en
utilisant une équerre).
• d’un triangle EGF tel que :
GF = 3 cm ; GE = 2,5 cm ; EF = 2 cm.
On le trace en utilisant la méthode de
construction d’un triangle dont on connaît les
longueurs de chacun des trois côtés.
• un triangle GIE équilatéral.
On le trace en appliquant la méthode de
construction d’un triangle équilatéral (sachant
que [GE] est déjà tracé).
• un triangle EFH isocèle en H tel que
HE = 4 cm.
On le trace en appliquant la méthode de
construction d’un triangle isocèle (utilisant le
compas).
2) Ceci est une bonne réponse, mais il y en
avait d’autres.
Quand on rédige ce genre de consignes, il faut
essayer de n’écrire que ce qu’il y a d’essentiel.
Par exemple, dans la solution proposée, il
n’était pas nécessaire d’écrire :
« un triangle GIE équilatéral de côté 2,5 cm »,
car on sait déjà que [GE] est un de ses côtés et
qu’il mesure 2,5 cm.

ccSéquence 3
Exercice 45
1) 2)
E
F
G
C
3)
Les points F et G sont sur le cercle C de centre E.
On a donc EF = EG = 3 cm. Le triangle EFG est donc isocèle en E.
On a utilisé la définition : « Un cercle est l’ensemble de tous les points à égale distance du centre ».
Pour démontrer que le triangle EFG est isocèle en E, il suffit de prouver que : EF = EG.
Exercice 46
1)
C
D
E
E'
E''
2) Les points E, E’, E’’, E’’’ sont tels que :
CE = CD ; CE’ = CD ; CE’’ = CD ; CE’’’ = CD ;
CE’’’’ = CD.
Ils sont donc tous situés à la distance CD du
point C.
Ils sont donc tous sur le cercle de centre C et
de rayon CD, c’est-à-dire le cercle de centre C
passant par D.
On trace donc ce cercle.
1)
On trace un arc de cercle de centre C passant par D. On place
alors un point E n’importe où sur cet arc. On recommence de la
même façon pour E’, pour E’’, …
2)
La notion de « lieu » est en fait un peu plus complexe. Ici, non
seulement tous les points recherchés sont sur le cercle de centre
C passant par D, mais de plus :
N’importe quel point M du cercle vérifie CM = CD, et donc est
tel que le triangle CMD est isocèle en C.

cc Séquence 3
Exercice 47
I
J
(d)
K K'
Combien y-a-t-il de points possibles au total ? Il y a deux
points possibles.
D’après l’exercice précédent, le triangle IJK est
isocèle en I, alors K est sur le cercle de centre I
passant par J. On trace ce cercle.
On cherche un point K qui de plus est sur la
droite (d). Le point K est donc à la fois sur le
cercle et sur la droite (d).
Il y a donc deux possibilités pour placer le
point K : ce sont les deux points d’intersection
de la droite (d) et du cercle de centre I
passant par J. On les note K et K’. On trace
les triangles IJK et IJK’. On rédige la réponse.
Exercice 48
10
8
2
3
5
11
6

ccSéquence 3
Séance 9
Exercice 49
Puisque : (EC) // (d) et (EB) ⊥ (d)
Je conclus que : (EB) ⊥ (EC)
L’angle BEC∑ est donc un angle droit.
Le triangle BEC est donc rectangle en E.
Démontrer que le triangle EBC est rectangle en
E revient à prouver que : (EB) ⊥ (EC).
On devait repérer cette « figure-clé » qui nous
fait penser à utiliser la propriété :
« Soient deux droites parallèles. Si une
troisième droite est perpendiculaire à l’une de
ces deux droites, alors elle est perpendiculaire
à l’autre ».
(d)
(EC)
(EB)
Exercice 50
Les points A et B sont sur le cercle de centre O et de rayon 4 cm
donc : OA = OB = 4 cm.
Comme AB = 4 cm, on a :
OA = OB = AB = 4 cm.
Les trois côtés du triangle ABC ont même longueur, ce triangle
est donc équilatéral.
Démontrer que le triangle OAB est équilatéral
revient à prouver que ses trois côtés sont
de même longueur, c’est-à-dire que :
OA = OB = OC.
O
A
B
4cm
C
Exercice 51
Je montre que le triangle ABC est isocèle en A :
• Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre donc :
AB = EB – EA = 9 – 3 soit AB = 6 cm.
• On a : AC = AB donc le triangle ABC est isocèle en A.
Je montre que le triangle ABC est rectangle en A :
Les points E, A et B sont alignés dans cet ordre donc :
EAB∑ = °180 .
Or :
EAD DAC CAB EAB∑ ∑ ∑ ∑+ + =
78 12 180°+ °+ = °CAB∑
90 180°+ = °CAB∑
CAB∑ = °− ° = °180 90 90
L’angle CAB∑ est droit donc le triangle ABC est rectangle en A.
Conclusion : Le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
Pour démontrer que le triangle ABC est isocèle
en A, il suffit de prouver que : AC = AB.
E
A
3 cm
B
9 cm
Pour démontrer que le triangle ABC est
rectangle en A, il suffit de prouver que CAB∑
est droit.
C
E
A
D
78°
12°
B

cc Séquence 3
Corrigé 52
10
8
2
3
5
11
6
10
8
2
3
5
11
6
10
8
2
3 5
11
6

ccSéquence 3
1) L’angle DFE∑ a pour sommet :
® D
˝ F
® E
® [DF)
2) L’angle KLM∑ a pour côté(s) :
˝ [LM)
® [LM]
˝ [LK)
® [KM)
3) La mesure d’une angle droit, en degrés, est :
® 45°
® 100°
® 180°
˝ 90°
4) L’angle ci-contre est :
® aigu
® droit
˝ obtus
® plat
5) La bissectrice d’un angle de 106° le coupe en deux angles de :
® 106°
® 58°
˝ 53°
® 212°
6) L’angle JDL∑ est plat. Les points J, L et D :
˝ sont alignés
® sont confondus
˝ sur une même droite
® ne sont pas toujours alignés
7) Le triangle DEF est isocèle en D. On a donc :
® DE = EF
® DF = EF
˝ DE = DF
® DE = EF = DF
8) Le triangle KLM est rectangle en M.
˝ les droites (KM) et (ML) sont perpendiculaires
® l’angle KLM∑ est droit
˝ l’angle KML∑ est droit
® l’angle MKL∑ est droit
9) Le triangle CVR est rectangle isocèle en V. On a :
˝ CVR∑ = 90= 90°
® CR = RV
˝ RV = CV
® CRV∑ = °90
10) Un cercle de centre O passe par les points H et K.
˝ [HK] est une corde de ce cercle
® [HK] est un diamètre de ce cercle
® le triangle OHK est équilatéral
˝ le triangle OHK est isocèle en O
1) Le sommet est la « lettre du milieu » dans
la notation d’un angle.
2) Pour t’aider à répondre, tu peux tracer
rapidement sur un brouillon une figure à main
levée.
5) La moitié de 106 est 53.
Pense à tracer rapidement sur un brouillon une
figure à main levée !
6) Pense à tracer rapidement sur un brouillon
une figure à main levée !

cc Séquence 4
SÉQUENCE 4
Séance 1
Je revise les acquis de l’école
1) c)
2) a)
3) d)
4) c)
1) Pour calculer combien Paul dépense, on
effectue 7 x 8.
2) Coline possède au total 3 fois 54 cartes plus
15 cartes. On calcule donc 3 x 54. On trouve
162. On y ajoute 15 : on trouve alors 177.
Remarque : ce calcul peut s’écrire (3 x 54) + 15
Les parenthèses signifient que l’on commence
par calculer 3 x 54.
3) Cette question était un piège : il ne fallait
pas faire de multiplication. Sébastien a gagné
7 + 9 + 13 billes soit 29 billes.
4) Pour obtenir rapidement le résultat, il
suffisait d’appliquer la règle de multiplication par
100 : il fallait décaler la virgule de 1,5 de deux
rangs vers la droite et compléter par un zéro.
Exercice 1
La vente des 29 consoles a rapporté au vendeur 317
(en euros) : x 29
317 x 29 = 9 193 2853
Le chiffre des centaines du résultat est 1. 634 .
La lettre associée à 1 est A. 9193
J’écris donc A dans la 1ère case :
[A] [__] [__] [__] [__] [__] [__] [__] [__]
— 317 x 9 (unités)
— 317 x 2 (dizaines)
(Ne pas oublier de décaler d’un rang vers la
gauche le résultat de 317 x 2 par rapport à
celui de 317 x 9)
Ce qu’on dit quand on effectue 317 x 29
• lorsqu’on effectue 317 x 9
. 9 x 7 ? 63. Je pose 3 et je retiens 6.
. 9 x 1 ? 9 ; 9 + 6 = 15 ; je pose 5 et je retiens 1.
. 9 x 3 ? 27 ; 27 + 1 = 28
• lorsqu’on effectue 317 x 2
. 2 x 7 ? 14. Je pose 4 et je retiens 1.
. 2 x 1 ? 2 ; 2 + 1 = 3
. 2 x 3 ? 6
Exercice 2
La longueur en cm de la courbe rouge est : 6,2
6,2 x 16 = 99,2 x 1,6
37,2
62, .
99,2
La longueur en mm de la courbe verte est : 73,5
73,5 x 13 = 955,5 x 1,3
955,5 mm = 95,55 cm 220,5
99,2 95,55 735, .
955,5
La courbe rouge est donc plus longue que la courbe verte.
La courbe rouge est constituée de 16 segments
de 6,2 cm.
Pour multiplier un décimal par un entier,
• on effectue la multiplication sans tenir
compte de la virgule
• on place la virgule dans le résultat
(Comme 6,2 s’écrit avec un chiffre après la
virgule, on place la virgule dans le résultat de
façon à avoir un chiffre après la virgule)
La courbe verte est constituée de 13 segments
de 73,5 mm.

ccSéquence 4
Exercice 3
Le nombre de menus différents comprenant une entrée et
un plat, qu’on peut composer avec la carte proposée est :
3 x 4 = 12.
Une entrée étant choisie, on a le choix entre 3
plats principaux différents.
À chaque entrée, il correspond donc 3 menus
différents.
Ainsi, aux 4 entrées, il correspond 3 + 3 + 3 + 3
soit 3 x 4 menus différents.
Exercice 4
Le prix en euros des coquilles 2,75
Saint Jacques est : x 33
2,85 x 6 = 17,10 8,25
Le prix en euros du chapon est : 82,5 .
33 x 2,75 = 90,75 90,75
Le montant en euros de la dépense de Madame Martin chez le
charcutier est : 17,10 + 90,75 = 107,85.
La somme en euros que possédait Madame Martin en entrant
dans la boutique était : 14,92 + 107,85 = 122,77.
• Pour répondre à la question posée, il suffit
de calculer la dépense de Madame Martin
chez le charcutier.
• Le prix du chapon s’obtient en multipliant le
prix d’un kilo par le nombre de kilos achetés.
• Avant de poser une multiplication, il est
bon de réfléchir. Ici, il est plus rapide de
poser la multiplication de 2,75 par 33 plutôt
que celle de 33 par 2,75.
Voici cependant posée la multiplication de
33 par 2,75 pour ceux qui ont utilisé cette
méthode :
33
x 2,75
1,65
23,1 .
66, .0
90,75
On pouvait déterminer directement le
montant de la dépense de Mme Martin, en
calculant (2,85 x 6) + (33 x 2,75)
Exercice 5
a) 232,57 x 10 = 2 325,7
b) 13,48 x 100 = 1 348
c) 1 212,3 x 1 000 = 1 212 300
(c’est-à-dire 1 212,300)
Peut-être as-tu obtenu les résultats des trois
calculs proposés, en posant une multiplication.
Cette méthode permet d’obtenir le résultat,
mais à l’avenir il ne faudra plus l’utiliser.
Il faut savoir effectuer ces calculs à la main,
sans poser d’opération.
Au CM2, tu as vu une règle permettant
d’obtenir rapidement le résultat d’une
multiplication par 10, 100 et 1 000. Il fallait
l’utiliser ici.
D’après cette règle,
• pour multiplier un décimal par 10, on
déplace sa virgule de 1 rang vers la droite
• pour multiplier un décimal par 100, on
déplace sa virgule de 2 rangs vers la droite
• pour multiplier un décimal par 1 000, on
déplace sa virgule de 3 rangs vers la droite.

cc Séquence 4
Exercice 6
a) Le prix en euros de 10 timbres à 0,53 € est : 0,53 x 10 = 5,3.
b) La masse totale en kg des 100 sacs est : 25,43 x 100 = 2 543.
c) La recette totale en euros est : 1,50 x 1 000 = 1 500.
N’oublie pas que : 1,50 = 1,500
Les trois calculs devaient être effectués à la
main, sans poser d’opération.
Exercice 7
1) 1,956 7 x 10 = 19,567
2) 26,18 x 1 000 = 26 180
3) 16 x 100 = 1 600
4) 8,442 3 x 10 = 84,423
5) 14,92 x 1 000 = 14 920
6) 0,012 78 x 100 = 1,278
7) 0,004 76 x 1 000 = 4,76
8) 0,01 x 100 = 1
1) On passe du premier nombre au deuxième
en déplaçant la virgule de 1 rang vers la droite :
1,956 7
Le nombre cherché est donc 10.
2) On passe du premier nombre au deuxième
en déplaçant la virgule de 3 rangs vers la
droite :
26,180
Le nombre cherché est donc 1 000.
4) Multiplier un décimal par 10 revient à
déplacer sa virgule de 1 rang vers la droite.
On a donc obtenu 84,423 en déplaçant la
virgule de 1 rang vers la droite.
84,423
Le nombre cherché est donc 8,442 3.
5) On a obtenu 14 920,0 en déplaçant la
virgule de 3 rangs vers la droite.
14 920,0
Le nombre cherché est donc 14,920 (soit
14,92)
6) On a obtenu 001,278 en déplaçant la
001,278
7) On a obtenu 0 004,76 en déplaçant la
0 004,76
8) On a obtenu 001,0 en déplaçant la virgule
de 2 rangs vers la droite.
001,0
Le nombre cherché est donc 0,01 (soit
1
100
)
Remarque : Comme 1 = 100 centièmes, le
résultat était prévisible.

ccSéquence 4
Exercice 8
6
7
3
3
5
2
8
20
4
9 5 4
7
8
2
3
14
24
7
954 x 78 = 74 412
Observons la technique utilisée pour effectuer
843 x 76.
5
4
6
2
8
2
1
84
2
8 4 3
7
6
1
8
obtenu en
multipliant
7 par 8
obtenu en multipliant
6 par 3
Le résultat de 843 x 76 a été obtenu en
ajoutant en biais des chiffres contenus dans le
grand rectangle.
5
4
6
2
8
2
1
84
2
8 4 3
7
6
8
1
60
84
6
• On a commencé par écrire ce chiffre
(On a juste recopié celui qui était dans la case
immédiatement au-dessus)
• On a calculé 1 + 1 + 4. On a obtenu 6.
• On a calculé 2 + 8 + 2 + 8. On a obtenu
20. On a écrit 0 et on a retenu 2.
• On a calculé 2 + 6 + 4. On a obtenu 12.
Or, il y avait 2 de retenue.
Comme : 12 + 2 = 14, on a écrit 4 et on a retenu
1.
• On a calculé 1 + 5. On a obtenu 6.

cc Séquence 4
Séance 2
Exercice 9
1)
Le produit de 97 par 608 976
est 976 x 608 x 608
c’est-à-dire 593 408. 7808
5856 . .
593408
2) a) 72 = 8 x 9
b) 700 = 7 x 1 x 100
1) Pour calculer 976 x 608 on peut procéder
ainsi :
976
x 608
7808
000 .
5856 .0
593408
On peut aussi ne pas écrire la ligne 000.
Pour calculer 976 x 608, on calcule 976 fois 8
unités et 976 fois 6 centaines.
Observe bien la disposition ci-contre.
ﬂ 976 x 8 unités
ﬂ 976 x 6 centaines
Il est plus rapide de procéder comme à gauche.
2) a) Comme on te l’a déjà rappelé, deux
entiers consécutifs sont deux entiers qui se
suivent.
b) Il est assez naturel de commencer par écrire :
700 = 7 x 100
7 est impair. Pour répondre à la question
posée, il suffit d’écrire 100 sous la forme d’un
produit de deux facteurs, l’un étant impair.
On a, par exemple : 100 = 1 x 100.
D’où la réponse à la question posée, ci-contre.
Il existe d’autres réponses possibles, par
exemple :
7 x 4 x 25,
7 x 5 x 20,
35 x 4 x 5 …
Exercice 10
1) a) 9 x 0,7 x 6 = 6,3 x 6 = 37,8
b) 0,7 x (6 x 9) = 0,7 x 54 = 37,8
2) Je remarque que : 9 x 0,7 x 6 = 0,7 x (6 x 9)
Je pouvais prévoir le résultat. D’après le cours du CM2, dans
un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper
comme on veut.
9 x 0,7 x 6 est le nombre obtenu en effectuant
les calculs de gauche à droite.
Vu la parenthèse autour de 6 x 9,
0,7 x (6 x 9) est le nombre obtenu en
multipliant 0,7 par le résultat de 6 x 9.

ccSéquence 4
Exercice 11
1) a) 5 x 1,8 x 2 = (2 x 5) x 1,8 = 10 x 1,8 = 18
b) 2 x 2 x 2 x 0,003 x 5 x 5 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 0,003 = 10 x 10 x 10 x 0,003 = 1 000 x 0,003 = 3
Commentaires du professeur :
Dans les deux produits donnés, on remarque les facteurs 2 et 5.
• 2 x 5 = 10
• Multiplier par 10 est facile.
On peut utiliser l’égalité précédente, puisque dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs et les grouper comme on veut.
2) a) La lettre associée à 18 est la 18ème de l’alphabet, soit R. J’écris donc R dans la deuxième case du
«nom secret».
[A] [R] [__] [__][__][__][__][__][__]
b) La lettre associée à 3 est C. J’écris donc C dans la troisième case du «nom secret».
[A] [R] [C] [__][__][__][__][__][__]
Exercice 12
1) 4 x 25 = 100 8 x 125 = 1 000
2) a) 4 x 0,25 = 1 b) 0,8 x 125 = 100
Retiens ces deux égalités. Cela t’aidera à
voir comment calculer rapidement certaines
expressions.
Exercice 13
1) K = 9 x 25 x 8,1 x 4
K = (25 x 4) x (9 x 8,1)
K = 100 x 72,9
K = 7 290
2) L = 3 x 1,25 x 96 x 8
L = (1,25 x 8) x (96 x 3)
L = 10 x 288
L = 2 880
3) M = 10 x 9 x 0,4 x 9 x 25
M = 10 x (0,4 x 25) x (9 x 9)
M = 10 x 10 x 81
M = 8 100
On remarque les facteurs 25 et 4. On pense
à l’égalité : 25 x 4 = 100. Multiplier par 100
est facile.
On pense à utiliser : 125 x 8 = 1 000
On pense à utiliser : 4 x 25 = 100

cc Séquence 4
Exercice 14
1) Le double de 7,9 est 2 x 7,9 soit 15,8.
Le triple de 6,84 est 3 x 6,84 soit 20,52.
2) a) • Le double de 9,6 est 2 x 9,6 soit 19,2.
Le triple du double de 9,6 est donc 3 x 19,2 soit 57,6.
• Le triple de 9,6 est 3 x 9,6 soit 28,8.
Le double du triple de 9,6 est donc 2 x 28,8 soit 57,6.
b) Je remarque que le triple du double de 9,6 est égal au
double du triple de 9,6.
c) Le triple du double de 9,6 est 3 x (2 x 9,6).
Le double du triple de 9,6 est 2 x (3 x 9,6).
Comme dans un produit, on peut changer l’ordre des
facteurs et les grouper comme on veut :
3 x (2 x 9,6) = 2 x (3 x 9,6)
On pouvait donc prévoir le résultat.
Exercice 15
1) 98 700 x 650 = (987 x 100) x (10 x 65)
98 700 x 650 = (987 x 65) x (100 x 10)
98 700 x 650 = (987 x 65) x 1 000
Pour calculer 98 700 x 650, il suffit de calculer 987 x 65 et de
placer 3 zéros à droite du résultat.
En effet, dans un produit, on peut changer
l’ordre des facteurs et les grouper comme on
veut.
Exercice 16
Le produit de 7 920 par 6 800 est 7 920 x 6 800.
792000
x 680000
6336000
4752 .000
53856000
Le produit de 7 920 par 6 800 est donc 53 856 000.

ccSéquence 4
Exercice17
1) 143
x 14
572
143 .
2002
143 x 14 = 2 002
2) a) 14 300 x 1,40 = 14 300 x 1,4
143 x 14 = 2 002 (d’après le 1-) donc : 14 300 x 14 = 200 200
Par suite : 14 300 x 1,4 = 20 020
c’est-à-dire 14 300 x 1,40 = 20 020
b) 286 x 28 = (143 x 2) x (14 x 2)
Or, dans un produit de facteurs, on peut changer l’ordre des
facteurs et les grouper comme on veut, donc :
286 x 28 = (143 x 14) x (2 x 2)
Par conséquent : 286 x 28 = 2 002 x 4 = 8 008
On commence par se débarrasser du zéro inutile.
Pour calculer 14 300 x 1,4 on effectue
14 300 x 14 puis on place la virgule.
ﬂ car 20 020,0 = 20 020
ﬂ Il est indispensable d’écrire cette ligne pour
bien répondre à la question posée.
Remarque : 286 et 28 sont respectivement 2
fois plus grands que les nombres 143 et 14. Le
produit 286 x 28 est 4 fois plus grand que le
produit 143 x 14.

cc Séquence 4
Exercice 18
1) a) Le produit de 43 et de 68 43
est 43 x 68 soit 2 924. x 68
344
258 .
2924
b) • 43 s’écrit « à l’envers » 34. 34
68 s’écrit « à l’envers » 86. x 86
204
• Le produit de 34 et de 86 est 34 x 86 soit 2 924. 272 .
c) Les produits 43 x 68 et 34 x 86 sont égaux. 2924
est 32 x 69 soit 2 208. x 69
288
192 .
2208
69 s’écrit « à l’envers » 96. x 96
138
• Le produit de 23 et de 96, est 23 x 96 soit 2 208. 207 .
c) Les produits 32 x 69 et 23 x 96 sont égaux. 2208
est 26 x 31 soit 806. x 31
26
780
806
x 13
31 s’écrit « à l’envers » 13. 186
620
• Le produit de 62 et de 13 est 62 x 13 soit 806. 806
c) Les produits 26 x 31 et 62 x 13 sont égaux.
4) • 85 x 73 = 6 205
• Lorsqu’on écrit « à l’envers » 85 on obtient 58.
Lorsqu’on écrit « à l’envers » 73 on obtient 37.
• 58 x 37 = 2 146
Les produits 85 x 73 et 58 x 37 ne sont pas égaux.
Le produit de deux entiers n’est pas toujours inchangé
lorsqu’on écrit « à l’envers » les deux nombres.
Pour convaincre Sony, on cherche un produit de
deux entiers « qui change » quand on écrit « à
l’envers » chacun des entiers.
Cet exercice met en évidence que ce n’est pas
parce qu’une propriété est vraie plusieurs fois
qu’elle est toujours vraie.

ccSéquence 4
Séance 3
Exercice 19
a) AB = AD = 1
L’aire du «grand» carré ABCD est donc : 1 x 1 = 1
b) • La longueur d’un côté d’un petit carré est le nombre ? tel que :
10 x ? = 1, c’est-à-dire le nombre 0,1.
De la même manière :
• Puisque le « grand » carré ABCD a pour aire 1 et est
composé de 100 petits carrés de même aire, l’aire d’un petit
carré est donc le nombre ? tel que : 100 x ? = 1, c’est-à-dire
le nombre 0,01.
c) Conclusion
L’aire d’un petit carré est 0,01, son côté est 0,1.
On a donc : 0,1 x 0,1 = 0,01.
a) Les quatre côtés d’un carré ont la même
longueur, ici 1. Son aire est donc 1 x 1 = 1.
b) La longueur AB est égale à 10 fois la
longueur du côté du petit carré. Comme la
longueur AB est égale à 1, la longueur du petit
carré est le nombre qui multiplié par 10 est
égal à 1 : c’est 0,1 (ou un dixième ou encore
1
10
). Même type de raisonnement que dans
l’exercice 7 de cette séquence.
Le nombre qui multiplié par 100 est égal à 1
est 0,01 (ou un centième, ou encore
1
100
). Tu
as vu cela dans l’exercice 7 de cette séquence.
c) On peut également écrire :
1
10
x
1
10
=
1
100
Exercice 20
1) Adèle réfléchit… Adèle remarque sur le marché un beau ruban à 1,42 € le mètre. Elle décide d’en
acheter 3,2 m.
Pour calculer le montant en € de son achat, elle doit multiplier le prix d’un mètre de ruban par le
nombre de mètres achetés. Elle doit doit effectuer le calcul suivant : 1,42 x 3,2.
2) Adèle utilise sa calculatrice.
Ne sachant pas effectuer à la main ce calcul, elle utilise sa calculatrice : 1,42 x 3,2 = 4,544.
Elle tape 142 x 32. Elle obtient 4 544.
Elle fait ensuite l’observation suivante :
1,42 3,2 4,544
Nombre de
chiffres après
la virgule
2 1 3
Le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat s’obtient en ajoutant le nombre de chiffres après
la virgule de 1,42 et celui de 3,2.
3) Adèle voudrait obtenir le résultat de 1,42 x 3,2 sans utiliser la calculatrice.
Elle écrit : 142 x 32 = (1,42 x 100) x (3,2 x 10)
donc 142 x 32 = (1,42 x 3,2) x (100 x 10)
Or : 142 x 32 = 4 544 142
x 32
284
426 .
4544
D’où : 4 544 = (1,42 x 3,2) x 1 000
Or, le nombre dont le produit par 1 000 est égal à 4 544 est 4,544.
Ainsi : 1,42 x 3,2 = 4,544

cc Séquence 4
Exercice 21
a) 86,5
x 9,8
69,2,0
778,5, .
847,7,0
86,5 x 9,8 = 847,70
b) 3,42
x 0,65
17,10
2052 .
2,2230
3,420 x 0,65 = 2,223
c) 3,9,6
x 7,0,7
27,7,2
2772,0,0
2799,7,2
70,7 x 39,6 = 2 799,72
a) Pour faire le calcul proposé, on applique ce
qu’on vient de copier.
• On effectue donc la multiplication sans
tenir compte des virgules
• On compte le nombre total de chiffres après
la virgule dans l’écriture 86,5 x 9,8 (Il y a 1 + 1
soit 2 chiffres après la virgule)
Ce nombre donne le nombre de chiffres après
la virgule au résultat.
b) • 3,420 = 3,42
Effectuer 3,420 x 0,65 c’est donc effectuer
3,42 x 0,65 (Il ne faut pas travailler avec des
zéros inutiles)
• Remarque bien ci-contre, qu’une fois
qu’on a multiplié 342 par 5, puis par 6, il ne
servirait à rien de multiplier 342 par 0.
• Laquestionposéeétait:«calcule3,420x0,65».
Par suite, lorsque je donne le résultat, j’écris :
3,420 x 0,65 = …
c) Il est plus rapide de calculer 39,6 x 70,7 que
70,7 x 39,6 (Lorsqu’on calcule 39,6 x 70,7 on
est amené à effectuer 2 fois 396 x 7)
Voici cependant posée la multiplication de
70,7 par 39,6 pour ceux qui ont utilisé cette
méthode.
70,7
x 39,6
424,2
6363,0
21210,0
2799,7,2
Exercice 22
a) A = 294,603
b) B = 294,603
c) C = 2 946,030
d) D = 294,603
e) E = 2 946,030
f) F = 2,946 03
a) D’après ce que tu as noté en dernier dans
ton cahier de cours, pour calculer A, on
commence par calculer 347 x 849, puis on
place correctement la virgule dans le résultat.
D’après l’énoncé : 347 x 849 = 294 603
On compte le nombre total de chiffres après la
virgule dans l’écriture 34,7 x 8,49 : il y en a
3. Par suite, on met autant de chiffres après la
virgule dans le résultat. Ainsi :
34,7 x 8,49 = 294,603
b) Même raisonnement que précédemment.
c) Pour calculer C, on commence par effectuer
347 x 8 490. Pour cela, on calcule 347 x 849
puis on place un zéro à droite du résultat de
347 x 849. Ainsi :
347 x 8 490 = 2 946 030
Ensuite, on s’occupe de la virgule.
d) Même raisonnement que pour le calcul de A
e) Même type de raisonnement que pour le
calcul de C
f) Même raisonnement que pour le calcul de A

ccSéquence 4
Exercice 23
1) a) 4,2,3
x 0,7,8
338,4
29,61, .
32,99,4
b)
6,3,6
x 6,9
5,7,2,4
38,1,6,0
43,8,8,4
a) 7 x n se termine par un 1.
En récitant la table de 7,
on constate que le seul
résultat qui se termine
par un 1 s’obtient en
effectuant 7 x 3.
Par suite, n représente
un 3.
La suite est alors facile.
b) 9 x n se termine par un 4.
effectuant 9 x 6.
un 6.
Grâce au résultat que nous venons de trouver,
nous pouvons compléter partiellement la
multiplication à trous donnée :
n x 6 se termine par un 6.
Lorsqu’on récite la table
de 6, seuls les résultats
de 6 x 1 et 6 x 6 se
terminent par un 6.
un 1 ou un 6.
Il ne peut représenter le
chiffre 1. En effet, 636 x 1
est un entier de 3 chiffres.
n représente donc un 6.
La suite est alors très
facile.
4 2,
87,0x
®®®®
n
®®®
®®®®
1
2
6 3
9,x
®®®
n
®®®
®®
®
4
®
® 48,
6 3
9,x
®®®
®®
n
4
® 48,
6
275
6
6 3
9,x
®®®
®®
n
4
® 48,
6
275
6

cc Séquence 4
c)
4,7,3
x 9,6
2,8,3,8
42,5,7,0
45,4,0,8
2) Recherche du nom secret :
Le résultat de la multiplication à trous du 1- b) est 43,884.
Le chiffre des dixièmes de ce résultat est 8.
La 8ème lettre de l’alphabet est H. J’écris donc H dans la
quatrième case du «nom secret».
[A] [R] [C] [H][__][__][__][__][__]
c) n x 3 se termine par un 8.
effectuant 3 x 6.
un 6.
Grâce au résultat que nous venons de trouver,
nous pouvons compléter partiellement la
multiplication à trous donnée :

obtenu en effec-
tuant 6 x n et
en ajoutant 4 de
de retenue
(6 x n) + 4 = 28
Or le nombre qui ajouté à 4 donne 28 est
28 – 4 soit 24.
Par suite : 6 x n = 24
On en déduit que n représente le chiffre 4.
Ainsi :

1

n x 3 se termine par un 7.
Lorsqu’on récite la table
de 3, on constate que seul
le résultat de 3 x 9 se
termine par un 7.
Par suite,n représente
un 9.
La suite est alors facile.
Exercice 24
On peut obtenir un nombre entier en multipliant deux
décimaux non entiers : 0,4 x 2,5 = 1 ﬂ égalité obtenue à partir de : 4 x 25 = 100
7
x
®®®
®®
n
8
®,
3
82
7
,®
®
®
®®
7
x
®®®
®®
8
®,
3
82
7
,n
®
®®
6
3
7
x
®®®
®®
8
®,
3
82
7
,n
®
®®
6
3
7
x
®®®
®®
8
®,
3
82
7
,
®
®®
6
3
4
7
x
®®®
®®
8
®,
3
82
7
,
n
®®
6
3
4

ccSéquence 4
Séance 4
Exercice 25
21,17 est proche de 20,
donc 21,17 x 9,53 est proche de 20 x 10 soit 200.
Moïra a donc commis une erreur. En calculant un ordre de grandeur du résultat,
tu as décelé que Moïra s’était trompée.
N’oublie pas lorsqu’on te demande de faire
un calcul, de chercher systématiquement
un ordre de grandeur du résultat
(même lorsque tu effectues ton calcul à la
calculatrice).
Exercice 26
On a : 42 40 et 53 50.
Par suite : 42 x 53 40 x 50
c’est-à-dire : 42 x 53 2 000.
C’est pourquoi l’ordinateur affiche : « Faux ».
Chercher un ordre de grandeur d’un résultat
permet d’éviter des erreurs. Toutefois, cela ne
permet pas de les déceler toutes.
Exercice 27
• Cherchons un ordre de grandeur de 6,3 x 2,13.
donc 6,3 x 2,13 est proche de 6 x 2, c’est-à-dire de 12.
La bonne réponse est donc 13,419 (celle d’Eloïse).
• Cherchons un ordre de grandeur de 6 x 12,28.
12,28 est proche de 12, donc 6 x 12,28 est proche de 6 x 12
c’est-à-dire 72.
La bonne réponse est donc 73,68 (celle de Manon).
• Cherchons un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8.
Un ordre de grandeur de 325,7 est 300, un ordre de grandeur
de 11,8 est 10, un ordre de grandeur de 325,7 x 11,8 est
donc 300 x 10 soit 3 000.
La bonne réponse est donc 3 843,26 (celle de Manon).
Exercice 28
Le prix en euros du poisson est : 11,6 x 2,1
a) On a : 11,6 10 et 2,1 2,
donc : 11,6 x 2,1 10 x 2
soit 11,6 x 2,1 20.
Maman ne pourra donc pas payer avec un billet de 20 €.
b) On a : 11,6 12 et 2,1 3
donc 11,6 x 2,1 12 x 3
c’est-à-dire 11,6 x 2,1 36.
Maman pourra donc payer avec un billet de 50 €.
Le prix s’obtient en multipliant le prix d’un
kilo par le nombre de kilos achetés.

cc Séquence 4
Exercice 29
On a : 68,4 70 et 5,7 6
donc : 68,4 x 5,7 70 x 6
soit : 68,4 x 5,7 420
Cela explique que la réponse d’Amaury est fausse.
68,4 et 5,7 s’écrivent avec un chiffre après la virgule. Par suite,
68,4 x 5,7 s’écrit avec deux chiffres après la virgule.
Cela permet de conclure que la réponse de Ludivine ne convient
pas.
Comme : 4 x 7 = 28, le deuxième chiffre après la virgule de
68,4 x 5,7 est un 8.
Cela explique que la réponse de Mareb ne convient pas.
Un ordre de grandeur de 68,4 x 5,7 est 70 x 6
soit 420.
Les résultats proposés par les trois enfants sont
donc, au premier abord, vraisemblables.
On a : 68,4 70 et 5,7 6.
On en déduit une première remarque.
On s’intéresse alors aux virgules de 68,4 et
5,7.
Si l’on pose la multiplication de 68,4 par 5,7
on constate que le deuxième chiffre après la
virgule du résultat est un 8.
68,4
x 5,7
........8 — car 4 x 7 = 28
..........
........8
Exercice 30
1) Ritchie : 2,3 x 3,2 Sony : 2,3 x 0,8
Pascal : 2,3 x 2,6 Jade : 2,3 x 0,65
2) a) Seuls, Sony et Jade (c’est-à-dire les personnes qui ont
acheté moins d’un kilo de pêches) ont payé moins de 2,30 €.
Ritchie et Pascal, qui ont acheté plus d’un kilo de pêches, ont
payé plus de 2,30 €.
b) 2,3 x 3,2 2,3 2,3 x 0,8 2,3
2,3 x 2,6 2,3 2,3 x 0,65 2,3
3) Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus grand que 1, on
obtient un nombre plus grand que 2,3.
Lorsqu’on multiplie 2,3 par un nombre plus petit que 1, on
obtient un nombre plus petit que 2,3.
1) Le prix des pêches s’obtient en multipliant
le prix d’un kilo par le nombre de kilos
achetés.
d’après le 1) et le 2) a)
Exercice 31
C’est faux.
Justification :
0,999 96 1
donc 4 729 x 0,999 96 4 729
Lorsqu’on multiplie un nombre par un autre
plus petit que 1, on obtient un nombre plus
petit que celui du départ.

ccSéquence 4
Exercice 32
a) Lorsque je tape 295 687,5 x 19 577 il s’affiche l’entier
5 788 674 188.
Cette réponse n’est pas la valeur exacte de A.
Explication :
295 687,5 est un décimal s’écrivant avec un chiffre après la virgule,
19 577 est un entier,
donc 295 687,5 x 19 577 est un décimal s’écrivant avec un
chiffre après la virgule.
Comme : 7 x 5 = 35, le chiffre après la virgule de 295 687,5 x 19 577
est un 5.
A n’est donc pas un entier.
b) Lorsque je tape sur ma calculatrice 22,557 8 x 3,468 9 il
s’affiche 78,250 752 42.
Cette réponse est la valeur exacte de B.
Explication :
22,557 8 et 3,468 9 sont deux décimaux s’écrivant avec 4
chiffres après la virgule, donc 22,557 8 x 3,468 9 est un
décimal s’écrivant avec 8 chiffres après la virgule.
Comme le résultat affiché sur la calculatrice a 8 chiffres après
la virgule, ce résultat est la valeur exacte de B.
c) Lorsque je tape sur ma calculatrice 217,753 x 46 271,6 il
s’affiche 10 075 779,71.
Cette réponse n’est pas la valeur exacte de C.
Explication :
217,753 est un décimal s’écrivant avec 3 chiffres après la virgule,
46 271,6 est un décimal s’écrivant avec un chiffre après la virgule,
donc 217,753 x 46 271,6 est un décimal s’écrivant avec 4
chiffres après la virgule.
6 x 3 = 18 donc le 4ème chiffre après la virgule de 217,753 x 46 271,6
est 8.
Comme 10 075 779,71 s’écrit avec 2 chiffres après la virgule,
ce nombre n’est pas la valeur exacte de C.
d) Lorsque je tape 86,5 x 545,866 il s’affiche 47 217,409.
Cette réponse est la valeur exacte de D.
Explication :
86,5 est un décimal s’écrivant avec 1 chiffre après la virgule,
545,866 est un décimal s’écrivant avec 3 chiffres après la
virgule, donc 86,5 x 545,866 est un décimal s’écrivant avec 4
chiffres après la virgule.
Comme : 6 x 5 = 30, le 4ème chiffre après la virgule de
86,5 x 545,866 est 0.
86,5 x 545,866 (soit D) s’écrit donc avec trois chiffres après la virgule.
Comme 47 217,409 (le résultat affiché sur la calculatrice) a
3 chiffres après la virgule, le nombre 47 217,409 est la valeur
exacte de D.
a) Afin d’éviter certaines erreurs dues à des
erreurs de frappe, il est bon, avant de taper
chacune des expressions proposées, de chercher
un ordre de grandeur du résultat.
Un ordre de grandeur de A est
300 000 x 20 000 soit 6 000 000 000.
Compte tenu de l’ordre de grandeur de A, le
résultat est vraisemblable.
(Sur certaines calculatrices, il s’affiche
5 788 674 187)
Si le chiffre après la virgule de A est 0, alors A
est un entier.
Déterminons ce chiffre après la virgule.
Pourquoi la machine n’a-t-elle pas affiché la
valeur exacte ?
Nos machines peuvent afficher au plus 10
chiffres. Lorsque le résultat comporte plus de
10 chiffres, selon les modèles, elles tronquent
ou arrondissent les résultats.
b) Un ordre de grandeur de B est 23 x 3 soit
69.
Compte tenu de l’ordre de grandeur de B, le
c) Un ordre de grandeur de C est 200 x 46 000
soit 9 200 000.
Compte tenu de l’ordre de grandeur de C, le
10 075 779,71 (la valeur affichée par la
calculatrice) a 2 chiffres après la virgule. On
se demande donc si le 3e et le 4e chiffres après
la virgule du produit 217,753 x 46 271,6 sont
des zéros.
Déterminons le 4ème chiffre après la virgule
de 217,753 x 46 271,6.
217,753 x 46 271,6 n’est pas un décimal
pouvant s’écrire avec 2 chiffres après la virgule.
Un ordre de grandeur de D est 90 x 500 soit
45 000.
Compte tenu de l’ordre de grandeur de D, le
47 217,409 (la valeur affichée par la
calculatrice) a 3 chiffres après la virgule.
On se demande donc si le 4e chiffre après la
virgule du produit 86,5 x 545,866 est 0.
Déterminons le 4e chiffre après la virgule de
86,5 x 545,866.

cc Séquence 4
Séance 5
Exercice 33
1) a) 39,4 x 0,1 = 3,94
b) 115,86 x 0,01 = 1,158 6
c) 564,3 x 0,001 = 0,564 3
2) • Multiplier un décimal par 0,1 revient à déplacer sa virgule
vers la gauche de 1 rang.
• Multiplier un décimal par 0,01 revient à déplacer sa virgule
vers la gauche de 2 rangs.
• Multiplier un décimal par 0,001 revient à déplacer sa
virgule vers la gauche de 3 rangs.
564,3 = 0564,3
Remarque : Multiplier un décimal par 0,1 ;
0,01 ; 0,001 c’est le multiplier par
1
10
,
1
100
,
1
1 000
.
Exercice 34
101 9,1 930,1 9,3
10,1 910 9,301 0,093
x 0,1 -1 x 100 +20,1 x 0,01 -0,001 x 0,01
• Calcul de 101 x 0,1
Penser que : 101 = 101,0
• Calcul de 9,1 x 100
Penser que : 9,1 = 9,10
• Calcul de 9,3 x 0,01
Penser que : 9,3 = 009,3
Exercice 35
Le produit de 57 par 0,01 est 57 x 0,01 soit 0,57.
0,57 + 8,43 = 9,00 = 9
La lettre de l’alphabet associée à 9 est I. J’écris donc I dans la 5ème case du « nom secret » :
[A] [R] [C] [H][I][__][__][__][__]
Exercice 36
1) A = 0,1 x 0,1 = 0,01
2) B = 0,1 x 0,01 = 0,001
3) C = 0,01 x 0,01 = 0,000 1
1) Pour multiplier un décimal par 0,1 on
déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche.
00,1
déplace sa virgule de 2 rangs vers la gauche.
000,1
3) Même règle que précédemment.
000,01
Exercice 37
1) D = 10 x 0,1 = 1
2) E = 100 x 0,1 = 10
3) F = 1 000 x 0,001 = 1
10,0
100,0
1 000,0
Remarque : Pour calculer les nombres D et F
on aurait pu aussi raisonner ainsi :
D = 10 x 0,1 = 10 x
1
10
=
10
10
= 1
F=1000x0,001=1000x
1
1 000
=
1 000
1 000
=1

ccSéquence 4
Exercice 38
a) 86 x 0,1 = 8,6
b) 16,4 x 0,01 = 0,164
c) 940 x 0,001 = 0,940
d) 9 400 x 0,001 = 9,4
e) 18,20 x 100 = 1 820
f) 0,000 3 x 0,001 = 0,000 000 3
g) 100 x 0,001 = 0,1
h) 0,001 x 4 340 = 4,34
a) On passe de 86,0 à 8,6 en déplaçant la
virgule de 1 rang vers la gauche.
86,0
Le nombre cherché est donc 0,1.
b) On passe de 016,4 à 0,164 en déplaçant la
virgule de 2 rangs vers la gauche.
016,4
c) 0940,0
d) On passe de 9 400,0 à 9,4 en déplaçant la
9 400,0
e) Multiplier un décimal par 100 revient à
déplacer sa virgule de 2 rangs vers la droite.
On a donc obtenu 1 820,0 en déplaçant la
1 820,0
f) 0 000,000 3
g) On passe de 0 100,0 à 0,1 en déplaçant la
0 100,0
h) Multiplier un décimal par 0,001 revient à
déplacer sa virgule de 3 rangs vers la gauche.
On a donc obtenu 4,34 en déplaçant la
4,340
Le nombre cherché est donc 4 340.
Exercice 39
a) 100 x 71,63 = 7 163
10 x 7,15 = 71,5
7 163 71,5
donc 100 x 71,63 10 x 7,15
b) 1 000 x 0,981 8 = 981,8
0,1 x 9 818,7 = 981,87
10 x 98,175 = 981,75
981,75 981,8 981,87
donc : 10 x 98,175 1 000 x 0,981 8 0,1 x 9 818,7
a) Comparer deux nombres c’est dire lequel
est le plus grand (ou le plus petit)
71,63
7,15
Attention ! Il faut répondre exactement à la
question posée.
Il était demandé de comparer 100 x 71,63 et
10 x 7,15.
Il ne fallait pas s’arrêter à la conclusion :
7 163 71,5
b) Ranger des produits dans l’ordre croissant,
c’est les écrire du plus petit au plus grand.
0,981 8
9 818,7
98,175
Penser que : 981,8 = 981,80

cc Séquence 4
Exercice 40
1)
0,01 x 134 x 100 x 0,1 = (0,01 x 100) x 134 x 0,1 = 13,4
1
La partie entière de 13,4 est 13.
La lettre de l’alphabet associée à 13 est M.
J’écris donc M dans la 6ème case du «nom secret».
[A] [R] [C] [H][I][M][__][__][__]
2)
1000x50x0,1x0,1x0,01=1000x(0,1x0,01)x50x0,1=1x50x0,1=5
0,001
La lettre de l’alphabet associée à 5 est E.
J’écris donc E dans la 7ème case du «nom secret».
[A] [R] [C] [H][I][M][E][__][__]
1) On remarque les facteurs 0,01 et 100.
0,01 x 100 = 1
On peut utiliser cette égalité vu que dans un
produit on peut changer l’ordre des facteurs et
les grouper comme on veut.
2) On remarque les facteurs 0,1 et 0,01.
0,1 x 0,01 = 0,001
Cette dernière égalité est «intéressante» vu
que : 1 000 x 0,001 = 1
On pouvait également utiliser une autre
méthode :
On remplace 1 000 par 10 x 100. Ainsi,
on peut utiliser les égalités : 10 x 0,1 = 1 et
100 x 0,01 = 1
1 000 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01
= 10 x 100 x 50 x 0,1 x 0,1 x 0,01
= (10 x 0,1) x (100 x 0,01) x 50 x 0,1 = 5
1 1

ccSéquence 4
Séance 6
Exercice 41
La distance en km qu’Ydriss parcourt les jours de classe, pour
suivre ses cours, est :
2,4 x 2 = 4,8
Il va 5 fois par semaine au collège.
La distance en km qu’il parcourt chaque semaine pour suivre sa
scolarité est donc :
4,8 x 5 = 24
La distance en km qu’il parcourra cette année scolaire en allant
au collège est :
24 x 36 = 864
Le chiffre des unités de 864 est 4.
La lettre de l’alphabet associée à 4 est D.
J’écris donc D dans la 8ème case du « nom secret ».
[A] [R] [C] [H][I][M][E][D][__]
L’année scolaire compte 36 semaines de classe.
Pour répondre à la question posée, il sufffit
de commencer par calculer la distance en km
qu’Ydriss parcourt chaque semaine pour suivre
ses cours.
Exercice 42
Chaque minute, l’aiguille des secondes d’une pendule fait un
tour de cadran.
1 h = 60 min
En 1 h, elle fait donc 60 tours de cadran.
1 journée = 24 h
En 1 journée, le nombre de tours de cadran que fait l’aiguille
des secondes est donc : 60 x 24 = 1 440
En 1 année de 365 jours, le nombre de tours de cadran que fait
cette aiguille est donc : 1 440 x 365 = 525 600
Si nécessaire, commence par regarder tourner
l’aiguille des secondes d’une pendule.
Combien de temps met-elle pour effectuer un
tour de cadran ?
Commençons par calculer combien de tours
elle effectue en une journée.
Exercice 43
1) Le nombre total de places du cinéma est : 36 x 18 = 648
Le nombre de places libres à la séance de 15 h était :
648 – 459 = 189
2) Le nombre de personnes ayant payé le prix normal est :
459 – 271 = 188
La recette en euros de la séance de 15 h a été
(6,40 x 188) + (5,60 x 271) soit 1 203,2 + 1 517,6
c’est-à-dire 2 720,8.
3) Le nombre de tickets vendus dans la journée a été :
(973 – 187) + 1 = 786 + 1 = 787
2) On sait combien de personnes ont payé
au tarif réduit. Pour calculer la recette de
la séance de 15 h, il faut savoir combien de
personnes ont payé au tarif normal.
3) Attention ! Le nombre de tickets vendus ne
s’obtient pas en calculant 973 – 187.
Pour t’en convaincre, imagine que le dernier
billet vendu ait porté le numéro 188.
Seulement deux billets auraient été vendus
dans la journée. Des deux calculs 188 – 187
et (188 – 187) + 1, c’est bien le deuxième qui
permet d’obtenir 2.
Lorsqu’on te demande de répondre à une
question du type de celle qui t’a été posée,
ramène-toi toujours au brouillon à un cas plus
simple, afin de vérifier que le calcul que tu
proposes a des chances d’être correct.

cc Séquence 4
Exercice 44
Le nombre de places en première classe est : 105 x 13 = 1 365
Le nombre de places dans chaque wagon de seconde classe est :
10 x 6 = 60
Le nombre de places en seconde classe est : 60 x 24 = 1 440
Le nombre total de places dans le train est : 1 365 + 1 440 = 2 805
Le nombre de places libres est : 2 805 – 1 512 = 1 293
Pour répondre à la question posée, on
commence par calculer le nombre total de
places dans le train. On calcule donc le
nombre total de places en première classe, puis
en seconde.
Exercice 45
C’est la première étiquette qui indique la somme en euros
qu’ont dû payer les Holidays en quittant le camping.
Justification :
Pour le camping, tout se passe comme si les Holidays étaient
restés du 17 juillet à 12 h au 29 juillet à 12 h.
Le nombre de nuitées qui vont être facturées aux Holidays est
29 – 17 soit 12.
Seul, l’enfant de 8 ans a bénéficié d’un tarif réduit.
La dépense par nuitée en euros pour le séjour des cinq
personnes a donc été : 2,50 + (4,80 x 4) = 2,50 + 19,20 = 21,70
La somme totale en euros que devait par nuitée la famille
Holidays au camping était : 21,70 + 1,90 + 2,30 + 0,61 = 26,51
La somme totale en euros qu’a dû payer la famille Holidays en
partant est : 26,51 x 12 = 318,12
Combien de nuitées vont être facturées à
la famille ? 29 – 17 ou (29 – 17) + 1 ?
Réfléchissons.
Le 18 juillet à 12 h, les Holidays doivent 1
nuitée, soit 18 – 17 nuitée.
Pour déterminer le nombre de nuitées qui
vont être facturées à la famille, on calcule
donc 29 – 17. (On ne l’obtient pas par une autre méthode)

ccSéquence 4
Séance 7
Exercice 46
Comme il y a un arbre à chaque extrémité de l’avenue, le
nombre d’intervalles entre deux arbres consécutifs est égal au
nombre d’arbres moins 1. Le nombre d’intervalles est donc :
105 – 1 = 104
La longueur en m de l’avenue est : 5,10 x 104 = 530,4
Le chiffre des centaines du résultat obtenu est 5.
La lettre de l’alphabet associée à 5 est E.
J’écris donc E dans la 9ème case du «nom secret».
[A] [R] [C] [H][I][M][E][D][E]
Il apparaît alors le nom d’un très grand savant grec (peut-être
le plus grand de l’Antiquité).
Archimède était à la fois un mathématicien, un physicien, un
ingénieur et un philosophe. Il vécut de 287 à 212 avant Jésus
Christ.
Il est l’inventeur de la roue dentée, de la poulie, du levier, de la
vis sans fin… Grâce à des machines qu’il avait fait construire
pour lancer au loin des pierres, il tint en échec pendant trois
ans les Romains qui assiégeaient sa ville (Syracuse).
Il a, par ailleurs, pris conscience en prenant son bain, de la
poussée de l’eau sur tout corps plongé dedans. Il était si joyeux,
paraît-il, d’avoir fait cette découverte, qu’il serait sorti de
son bain et aurait traversé sa ville en criant : « Euréka ! » (J’ai
trouvé)
La longueur en m de l’avenue s’obtient en
multipliant 5,10 (la distance en m séparant
deux arbres consécutifs) par le nombre
d’intervalles.
Combien y a-t-il d’intervalles ?
Il fallait se souvenir que si l’on place des
points sur une ligne (non fermée), en
plaçant un point à chaque extrémité, le
nombre d’intervalles est égal au nombre de
points moins 1.
5 points
4 intervalles
Exercice 47
Le prix du tapis en euros est : 357,10 x 0,630 07 = 224,997 99
L’arrondi au centième de ce prix est 225.
On fait une multiplication. C’est l’opération
que tu aurais faite si le tapis avait coûté 2 ou
3 dinars.
Le chiffre des millièmes du prix est 7. Par suite
l’arrondi au centième du prix est 224,99 + 0,01
soit 225.
Il était inutile, pour traiter l’exercice, de savoir
que Pierre-Yves était allé en Tunisie pour ses
30 ans. Connaître la longueur du tapis ne
servait pas non plus.

cc Séquence 4
Exercice 48
Énoncé
Florine achète 2,100 kg de pommes à 1,6 € le kilo. Elle paie avec
un billet de 5 euros.
Combien lui rend-on ?
Solution
La somme en euros qu’on rend à Florine est :
5 – (1,6 x 2,100) = 5 – 3,36 = 1,64
Ce n’est pas, bien sûr, le seul énoncé qui
convienne.
Attention ! Lorsqu’on te demande d’écrire
un énoncé, il ne faut pas oublier d’écrire la
question.
Le prix des pommes s’obtient en multipliant le
Exercice 49
1) Le montant total en euros des achats de Léopoldine est :
20 – 5,18 = 14,82
350 g = 0,350 kg
Le prix en euros de la limande est : 9,8 x 0,35 = 3,43
290 g = 0,290 kg
Le prix en euros des crevettes roses est : 21 x 0,29 = 6,09
Le prix total en euros des deux soupes de poisson est :
2,34 x 2 = 4,68
Le prix en euros de la mayonnaise est :
14,82 – (3,43 + 6,09 + 4,68) = 14,82 – 14,2 = 0,62
2) On ne peut calculer le prix des deux tranches de saumon vu
qu’on ne connaît pas leur « poids ».
Le prix de la limande s’obtient en multipliant
le prix d’un kilo par le nombre de kilos
achetés.
(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2)
représente le prix total en euros de la limande,
des crevettes roses et des deux soupes de
poisson.
On pouvait donc calculer directement le prix
en euros de la mayonnaise en retranchant
(9,8 x 0,35) + (21 x 0,29) + (2,34 x 2) à
14,82
c’est-à-dire en effectuant :
14,82–((9,8x0,35)+(21x0,29)+(2,34x2))
ce qu’on note généralement :
14,82–[(9,8x0,35)+(21x0,29)+(2,34x2)]
(On utilise un crochet, car à l’intérieur de la
grande parenthèse, il y a des parenthèses)
Pour effectuer une expression contenant
un crochet, on commence par effectuer les
parenthèses à l’intérieur du crochet.
Ainsi, le prix en euros de la mayonnaise est :
14,82–[(9,8x0,35)+(21x0,29)+(2,34x2)]
soit14,82–(3,43+6,09+4,68)…
Le prix du saumon s’obtient en multipliant le
Cette question était un piège !

ccSéquence 4
Exercice 50
a) L’heure d’arrrivée de Monsieur Durand à Belleface est :
7 h 50 min + 13 h 25 min = 20 h 75 min = 21 h 15 min
b) Si Monsieur Durand n’avait pas eu de panne, son heure
d’arrivée à Belleface aurait été : 20 h 75 min
21 h 15 min – 2 h 25 min = 18 h 50 min 21 h 15 min
- 2 h 25 min
18 h 50 min
c) La somme en euros qu’a dépensée Monsieur Durand pour
faire le voyage est : 240 + (1,18 x 64,5) = 240 + 76,11 = 316,11
20 h 75 min = 20 h + 60 min + 15 min donc
20 h 75 min = 21 h 15 min
Si Monsieur Durand n’avait pas eu une panne
de voiture, il serait arrivé 2 h 25 min plus tôt.
Le prix total en euros de l’essence utilisée
s’obtient en multipliant le prix d’un litre par le
nombre de litres achetés.
Exercice 51
1) Le nombre de piquets utilisés pour la clôture de la propriété
(268) est égal au nombre d’intervalles séparant deux piquets
consécutifs.
La longueur en m de fil métallique utilisé par Monsieur
Champêtre pour sa clôture est : 1,3 x 268 x 2 = 696,8
2) Le prix total en euros du fil utilisé est : 1,96 x 696,8 = 1 365,728
L’arrondi au centième de ce prix est 1 365,73
1) La longueur en m de fil nécessaire pour
faire une fois le tour de la propriété s’obtient
en multipliant 1,3 (la distance en m séparant
deux piquets consécutifs) par le nombre
d’intervalles.
Combien y a-t-il d’intervalles ?
Il fallait se souvenir que si l’on place des points
sur une ligne fermée, il y a autant de points
que d’intervalles.
9 points
9 intervalles
« x 2 » car il y a deux rangées de fil autour de
la propriété.
2) Le chiffre des millièmes de 1 365,728
est 8. Par suite, l’arrondi au centième de 1
365,728 est 1 365,73.

cc Séquence 4
Séance 8
Exercice 52
• Lorsque tu tapes dans la cellule A1 :
Prix d’un mètre de tissu en euros :
puis appuies sur la touche Entrée.
tu obtiens :
• Lorsque tu tapes dans la cellule A3 :
Prix total en euros :
puis appuies sur la touche Entrée.
tu obtiens :
Tu remarques qu’une partie du texte que tu viens de taper
déborde dans les colonnes B et C.
Afin qu’il n’en soit plus ainsi, place le pointeur de la souris sur
le trait de séparation des colonnes A et B, dans la partie grisée.
Lorsqu’il apparaît : double-clique.
La largeur de la colonne A s’ajuste au plus long texte qui y est
tapé.
Exercice 53
2) Le prix en euros du tissu est : 4 x 2 = 8
3) c’est-à-dire de multiplier le nombre qui est dans la cellule B1
par celui qui se trouve dans la cellule B2.
b) Je remarque qu’il s’affiche 52,5 dans la cellule B3 (soit le
prix des 5,25 m de tissu à 10 € le mètre).
C’est là qu’un tableur a son avantage.
Quand on tape un nouveau prix en B1 et une
nouvelle longueur en B2, le prix est recalculé
automatiquement.

ccSéquence 4
Exercice 54
1) Remarque : Pour travailler sur une feuille vierge, clique sur
cette icône
2) a) On obtient le total à payer en ajoutant au prix des
kilomètres parcourus le prix de la location.
Le prix des kilomètres parcourus s’obtient en multipliant le prix
d’un kilomètre par le nombre de kilomètres parcourus.
b) B6 = B3 * B4 + B1
c) Pour faire calculer par le tableur le total à payer :
On met le curseur sur la cellule B6. On tape sur la touche = du
clavier. On clique alors sur la cellule B3. On tape sur le symbole
multiplié du clavier : *. On clique sur la cellule B4. On tape sur
le signe +. On clique sur la cellule B1 et enfin on tape sur la
touche Entrée.
Il s’affiche 34 dans la cellule B6.
3)
Distance parcourue (en km) 100 200 300 400 500
Total à payer (en €) 70 110 150 190 230
4) D’après le tableau du 3-, le nombre de kilomètres cherché
est compris entre 400 et 500.
D’après le tableur, le total à payer correspondant à une
distance de 450 km est 210 €.
Le nombre de kilomètres cherché est compris entre 400 et 450.
D’après le tableur, le total à payer correspondant à une
distance de 425 km est 200 €.
Ainsi, le nombre de kilomètres que ne devront pas dépasser
Monsieur et Madame Saroume est 425 km.
On peut procéder de différentes façons. La
suivante est rapide.
Plaçons 200 € dans le tableau du 3- :
distance parcourue
(en km)
400 …… 500
total à payer (en €) 190 200 230
« À mi-chemin » entre 400 et 500 se trouve
450.
Comparons le nombre de kilomètres cherché
à 450.
On a :
distance parcourue
(en km)
400 …… 450
total à payer (en €) 190 200 210
« À mi-chemin » entre 400 et 450 se trouve
425.
Comparons le nombre de kilomètres cherché
à 425.

cc Séquence 4
Séance 9
Exercice 55
Le prix en euros des 19 gommes est : 0,97 x 19
Or lorsqu’on multiplie un nombre par un autre plus petit que
1, le résultat est inférieur au nombre initial.
Donc : 0,97 x 19 19
L’instituteur pourra payer avec un billet de 20 €.
Exercice 56
Le prix en euros du câble est : 11,80 x 4,95
Mentalement, on pouvait voir qu’il y avait une erreur dans le
prix qu’annonçait la marchande. En effet :
11,80 12 et 4,95 5
Par suite, le prix en euros du câble est inférieur à 12 x 5, c’est-
à-dire à 60.
Le prix du câble s’obtient en multipliant le prix
d’un mètre par le nombre de mètres achetés.
Exercice 57
1 609 m = 1,609 km donc 1 mile = 1,609 km
La distance en km qui sépare la maison de Madame Smith de
l’école est 0,85 x 1,609 soit environ 1,368 km.
On fait une multiplication. C’est l’opération
que tu aurais faite si la distance entre l’école
et la maison de Madame Smith avait été de 2
ou 3 miles.
Exercice 58
Le nombre de packs d’eau contenus dans les 24 cartons est :
24 x 12 = 288
Le nombre de litres d’eau contenus dans un pack est : 1,5 x 6 = 9
Le nombre total de litres d’eau contenus dans les 24 cartons
est : 9 x 288 = 2 592
1 L d’eau pèse 1 kg, donc 2 592 L d’eau pèsent 2 592 kg.
Le chargement de la camionnette ne doit pas dépasser 2 500 kg.
On ne peut donc pas mettre dans la camionnette 24 cartons
contenant chacun 12 packs d’eau minérale.
1 L d’eau pèse 1 kg. Par suite, si nous
déterminons le nombre total de litres contenus
dans 24 cartons, nous en déduisons le «poids»
total de l’eau contenue dans ces cartons.
Pour déterminer ce nombre de litres, on
pouvait également utiliser la méthode suivante :
Le nombre de bouteilles contenues dans les 24
cartons est :
24 x 12 x 6 = 1 728
Le nombre total de litres d’eau contenus dans
les 24 cartons est :
1,5 x 1 728 = 2 592

ccSéquence 4
Exercice Test
1) Pose l’équation : 469 x 78. Tu trouves :
® 36 672
˝ 36 582
® 7 035
® 36 772
2) 0,81 x 10 est égal à :
® 0,810
® 81
® 0,081
˝ 8,1
3) Le double de 0,67 est :
® 1,24
® 6,7
® 0,134
˝ 1,34
4) Pose l’opération : 19,4 x 50,8. Tu trouves :
® 752,48
˝ 985,52
® 1 001,52
® 985,55
5) 3,150 kg de saumon coûtent 69,30 €. Combien coûtent
315 kg de saumon ?
˝ 6 930 €
® 693 €
® 69,30 €
® 6,930 €
6) 75,248 x 0,1 est égal à :
® 752,48
˝ 7,524 8
® 0,752 48
® 75,248
7) 94,21 x 0,001 est égal à :
® 94 210
® 0,009 421
˝ 0,094 21
® 0,000 942 1
8) 0,8 x 1,25 est égal à :
® 0,001
˝ 1
® 10
® 0,000 1
9) Le produit 295,4 x 32,81 est proche de
® 6 000
˝ 9 000
® 12 000
® 15 000
10) Un seul de ces nombres est égal à 12,6 x 27,3.
Mentalement, on voit qu’il s’agit de :
® 3 439,8
® 343,86
˝ 343,98
® 34,98
1)
469
x 78
3752
3283 .
36582
2) (Pour multiplier un décimal par 10 on
déplace sa virgule de 1 rang vers la droite)
3) Le double de 0,67 est 2 x 0,67
4)
19,4
x 50,8
155,2
970 ., . ﬂ Attention ! Il ne faut pas oublier
985,5,2 de décaler d’un rang de plus vers la
gauche, vu le zéro de 50,8
5) 315 = 3,15 x 100
Par suite, 315 kg de saumon coûtent 100 fois
plus cher que 3,15 kg. Ils coûtent donc en euros
69,30 x 100 soit 6 930.
déplace sa virgule de 1 rang vers la gauche.
déplace sa virgule de 3 rangs vers la gauche.
0094,21
8)
On déduit le résultat de l’égalité :
8 x 125 = 1 000
9)
donc 295,4 x 32,81 est proche de 300 x 30
soit de 9 000.
10) Le nombre 12,6 est proche de 10,
donc 12,6 x 27,3 est proche de 10 x 30 soit
de 300.
La bonne réponse est donc :
• soit 343,86 • soit 343,98
Comme : 6 x 3 = 18, le deuxième chiffre
après la virgule de 12,6 x 27,3 est 8. La bonne
réponse est donc 343,98.

cc Séquence 5
SÉQUENCE 5
Séance 1
1) a) oui
2) b) non
3) a) oui
4) b) non
1) Si l’on plie le long de la droite (d), les deux
poissons se superposent exactement. Ils sont
donc symétriques.
2) Il y a un petit détail qui fait que les deux
requins ne sont pas symétriques : les yeux ! (le
requin du dessous n’a pas d’oeil).
3) Voici en rouge le seul axe de symétrie de
notre petite fourmi :
4) On aura beau plier la feuille dans tous
les sens, jamais deux parties du trombone ne
coïncideront exactement.

ccSéquence 5
Exercice 1
cas 1
Les deux tracés se superposent exactement.
cas 2
Les deux tracés ne se se superposent pas exactement.
cas 3
Les deux tracés se superposent exactement.
Dans les cas 1 et 3, les figures se superposent exactement
lorsqu’on plie le long de la droite bleue.
Dans le cas 2, les deux figures ne se superposent pas
exactement.
Expliquons en détail « la technique du calque »
dans le cas 1 :
On pose une feuille de papier calque sur la
figure. On reproduit par transparence les deux
poissons et la droite bleue.
On plie ensuite la feuille le long de la droite
bleue. On regarde ensuite si les deux poissons
se superposent exactement.
Dans le cas 1, les deux poissons se
superposent.
Dans le cas 2, les deux figures ne se
superposent pas exactement.
Dans le cas 3, les deux figures se superposent.
Dans le cas 1, on dit que les deux poissons
sont symétriques par rapport à la droite bleue.
On dit aussi que le poisson « de gauche » est
le symétrique du poisson « de droite ».

cc Séquence 5
Exercice 2
(d)
Cette méthode nous permet d’obtenir le
symétrique du bateau à l’aide d’un papier
calque.
Le bateau obtenu est en quelque sorte le reflet
dans un miroir du premier bateau, le miroir se
situant le long de la droite (d).
Exercice 3
Jade, Méline et Jules ont tous les trois raison.
En effet, tu as vu dans le corrigé de l’exercice
1 que ces trois phrases avaient la même
signification.
Exercice 4
a) non
b) oui
c) non
d) non
a)
(d)
Lesfiguresnesont
passymétriquesà
caused’un«coin»
delafigure.
Grâceàla
modification
représentéeen
rouge,lesdeux
figuressont
symétriques.
c)
(d)
Lesfiguresnesont
passymétriques:la
figuredudessous
esttropgrande.
Grâceàla
modification
représentéeen
rouge,lesdeux
figuressont
symétriques.
d)
(d)
Lesfiguresnesont
passymétriques:sur
lafiguredudessous
letexten’estpas
représenté.
Grâceàla
modification
représentéeen
rouge,lesdeux
figuressont
symétriques.

ccSéquence 5
Exercice 5
a) b)
(d1
)

(d2
)
c) d)
(d3
)

(d4
)
e) f)
(d5
)

(d6
)
a) Pour construire le symétrique de la figure,
on utilise le quadrillage. On commence par
« repérer » un point. Il suffit alors de compter
et de reporter le même nombre de carreaux
de l’autre côté de la droite. On fait de même
pour un deuxième point. Il suffit alors de
relier les deux points obtenus pour obtenir « le
début » de la figure symétrique.
On continue ainsi pour chaque petit segment.
On obtient alors le contour de la figure.
Il ne reste plus alors qu’à la colorier.
b) On applique la même méthode que celle
utilisée dans le a), mais cette fois l’axe n’est
pas vertical mais horizontal.
c) On utilise également le quadrillage. On
compte cette fois le nombre de diagonales de
carreaux.
(d3
)
d) On applique la même méthode que dans
le c).
e) f) On applique toujours la même méthode.
La difficulté nouvelle dans ces deux derniers
cas provient du fait que la figure et son
symétrique « se mélangent ». Pour plus de
lisibilité, on n’a pas colorié le symétrique

cc Séquence 5
Exercice 6
(d)
Le symétrique de la figure
se superpose exactement à
elle-même.
On dit dans ce cas que la droite (d) est un axe
de symétrie de la figure.
Exercice 7
Jules a raison, Jade et Méline ont tort.
On voit bien que cette figure n’est pas symétrique par rapport
à la droite (d). Par conséquent, la droite (d) n’est pas un axe de
symétrie de cette figure.
(d)

ccSéquence 5
Séance 2
Exercice 8
A A'
B'
C'C
B
(d) Tu viens dans cet exercice de découvrir ce qu’est
le symétrique d’un point par rapport à une
droite.
Ici, par exemple, A’ est le symétrique du point
A par rapport à la droite (d) : c’est le point qui
se superpose à A par pliage de la feuille le long
de la droite (d).
Il en est de même pour B’ qui est le symétrique
de B par rapport à la droite (d) et de C’ qui est
le symétrique de C par rapport à la droite (d).
Exercice 9
1)
A
C
D
E
A'
BB'
C'
D'
E'
(d)
2) Le symétrique E’ du point E par rapport à la droite (d) est E.
De façon générale, chaque point situé sur la droite (d) est son
propre symétrique.
Pour construire le symétrique d’un point à
l’aide d’un quadrillage, il suffit de « compter
les carreaux » :
A
C
D
E
A'
B'B
C'
D'
E'
(d)
5 carreaux 5 carreaux
On dit qu’un point est son propre symétrique
lorsque ce point et son symétrique sont
confondus (c’est-à-dire qu’ils sont « exactement
au même endroit »).
Exercice 10
1)
A
A'
B
B'
C
C
D
G' E
E'
G
D'
F
F'
(d)
'
2) Le symétrique du point D est G. Le symétrique du point G
est D.
Ici, pour construire le symétrique d’un point à
l’aide d’un quadrillage, il suffit de « compter
les diagonales de carreaux » :
A
A'
B
B'
C
C
D
G' E
E'
G
D'
F
F'
(d)
'
1,5fois
ladiagonale
1,5fois
ladiagonale

cc Séquence 5
Exercice 11
1) Le segment [AA’] et la droite (d) semblent perpendiculaires.
Le segment [BB’] et la droite (d) semblent également
perpendiculaires.
2) D’après la figure, il semble que : AE = EA’ et que BF = FB’.
3) La droite (d) semble être la médiatrice des segments [AA’] et
[BB’].
a)
A
B
B'
A'
(d)
A'
(d)
A
B
B'
A'
(d)
On place
l’équerre de la
façon suivante
pour tester si les
droites (AA’)
et (d) semblent
perpendiculaires.
On fait de même
pour (BB’) et (d).
On vérifie avec le
compas que AE
et EA’ semblent
égales de la façon
suivante.
On fait de même
pour BF et FB’.
Exercice 12
(d)
B‘
A‘
C‘
C
A
B
On applique la méthode vue précédemment.
On utilise l’équerre et le compas.
Pour construire le point A’ :
• On trace la droite perpendiculaire à la
droite (d) passant par A.
• On prend le compas et on reporte la
distance AI à partir du point I comme ci-
dessous.
(d)
A‘
A
I

ccSéquence 5
Exercice 13
(d1
)
(d2
)
A'
B
B'
A
On utilise à nouveau la méthode vue
précédemment.
Il fallait faire attention à bien lire la consigne :
A’ est le symétrique de A par rapport à la droite
(d1
). Il faut donc tracer la perpendiculaire à
la droite (d1
) passant par A puis prendre son
compas.
Il fallait ensuite construire B’, le symétrique du
point B par rapport à la droite (d2
).
Exercice 14
A
A'
B
C
C'
B'
K I
J
AJ = JA’
BI = IB’
CK = KC’
On applique à nouveau la même méthode
pour obtenir les points A’, B’ et C’.
Pourquoi n’a-t-on pas
codé sur la figure les
égalités de longueurs ?
la réponse est simple,
étudions un exemple
ci-contre. On a voulu
coder l’égalité des
deux longueurs AJ
et JA’.
Quelqu’un qui
regarde la figure va
certainement dire :
d’après la figure on
a HJ = JA’. Ce qui ici
est faux.
A
A'
B
I
C
C' B'
J
H
En fait, comme le segment [AJ] est coupé par
au moins un autre segment, on ne peut pas
coder l’égalité de longueur AJ = JA’.
De fait, on ne peut coder aucune des trois
égalités de longueur sur la figure.
Par contre, on peut toujours écrire sous la
figure les trois égalités.

cc Séquence 5
Séance 3
Exercice 15
1) 2) 3)
Les points A’, B’, C’ et D’ semblent alignés.
I
(d')
(∆)
(d)
A
B
C
D
A'B'C'D'
On applique la méthode de construction du
symétrique d’un point vue dans la séance
précédente.
On remarque ensuite que les symétriques des
points de la droite (d) semblent alignés, c’est-
à-dire semblent être sur une même droite.
Ce résultat est en fait toujours vrai.
On admettra que le symétrique de la droite (d)
est la droite (d’).
Exercice 16
(∆)
A
A'
B'
B
(∆)
(d)
(d')
Pour construire le symétrique d’une droite,
il suffit de tracer les symétriques de ses deux
points : ici, on a tracé les symétriques A’ et B’
de A et de B. La droite symétrique de la droite
(AB) est (A’B’).
On peut te demander de tracer le symétrique
d’une droite « quelconque » : pour cela, tu dois
choisir deux points de cette droite et construire
leurs symétriques.
Attention ! Il ne faut pas choisir les deux points
aux extrémités du trait qui représente (d). Une
droite est illimitée.

ccSéquence 5
Exercice 17
1)
(∆)
(d)
(d')
2)
(d)
(d')
3)
(∆)
(d)
(d')
On applique dans les 3 cas la méthode décrite
dans l’exercice précédent.
1)
2) Ce cas est particulier car les droites (d)
et (D) sont perpendiculaires : dans ce cas, la
droite (d) et son symétrique sont confondus.
On dit que la droite (d) est son propre
symétrique.
3) Ce cas est lui aussi particulier car les
droites (d) et (D) sont parallèles. Dans ce cas,
la droite (d’) semble parallèle à la droite (d).
Exercice 18
(∆) (d)
(d')
A
A ∈ (Δ)
Nous savons que chacun des points de la droite
(D) est son propre symétrique par rapport à
la droite (D). Donc le symétrique de A par
rapport à (D) est A lui-même.
Il ne nous suffit donc plus que de connaître un
point de la droite (d) et son symétrique pour
pouvoir tracer la droite (d’).

cc Séquence 5
Exercice 19
1)
A
A'
C
C'
D
D'
E
E'
F
F'
G
G'
B
B'
K
N
2)
C ∉ [AB] C’ ∉ [A’B’]
D ∈ [AB] D’ ∈ [A’B’]
E ∈ [AB] E’ ∈ [A’B’]
F ∈ [AB] F’ ∈ [A’B’]
G ∉ [AB] G’ ∉ [A’B’]
3) Si un point M est sur le segment [AB], alors son symétrique
M’ semble être sur le segment [A’B’].
4) Le point N semble être sur le segment [AB].
1)
On construit à l’aide de l’équerre et du
compas les points A’, B’, C’, D’, E’, F’ et G’.
On trace ensuite la droite (A’B’). Cette droite
passe par les points B’, C’, D’, E’, F’ et G’.
On le savait car les point B, C, D, E, F et G
sont sur la droite (d) et le symétrique d’une
droite est une droite.
2) On remarque que parmi C, D, E, F et G,
tous les point qui sont sur le segment [AB] ont
pour symétrique un point du segment [A’B’].
De plus, les points qui ne sont pas sur [AB]
ont pour symétrique un point qui n’est pas sur
[A’B’].
3) Il fallait écrire que ce que nous avons
constaté ci-dessus pour les points A, D, E,
F semblait vrai pour tout point du segment
[AB].
4) Nous remarquons qu’inversement, le
symétrique de tout point du segment [A’B’]
semble être sur le segment [AB].
Exercice 20
2) Il semble que : AB = A’B’ CD = C’D’ EF = E’F’.
1)
Nous venons de voir que le symétrique d’un
segment est un segment. Pour construire le
symétrique de chacun des trois segments,
il suffit de commencer par construire le
symétrique de chacune de ses extrémités.
2)
On remarque que les longueurs d’un segment
et de son symétrique semblent être égales.
Par la suite, nous admettrons que ceci est
toujours vrai : un segment et son symétrique
ont toujours la même longueur.
1)
(∆)A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D' E'
F'

ccSéquence 5
Exercice 21
Méline et Jules ont raison ; Jade a tort.
En mathématiques, si une propriété est dite vraie (par exemple :« deux segments de même longueur sont symétriques »), cela veut
dire qu’elle est toujours vraie. Ici, lorsqu’on dit que cette propriété est fausse, on veut dire qu’elle n’est pas toujours vraie. Pour le
démontrer, il suffit alors de trouver un exemple pour lequel la propriété n’est pas vérifiée (on appelle cela un contre-exemple).
Voici un contre-exemple :
A
B
C
D [AB] et [CD] sont deux segments de même longueur. Supposons qu’ils soient symétriques par
rapport à une droite (D). Nous cherchons où peut se trouver cette droite.
Le symétrique du point B est nécessairement une extrémité du segment [CD]. Il y a donc deux possibilités : D ou C.
• Si le symétrique du point B était le point D :
(∆)
A
B
C
D
La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [BD]. On voit bien alors que le
point C n’est pas le symétrique du point A. Le symétrique du point B n’est donc pas le point
D.
• Si le symétrique du point B était le point C :
(∆)
A
B
C
D La droite (D) est nécessairement la médiatrice du segment [BC]. On voit bien alors que
le point D n’est pas le symétrique du point A. Le symétrique du point B n’est donc pas le
point D.
Conclusion : les deux cas envisagés mènent à quelque chose d’impossible. Les segments [AB] et [CD] ne peuvent donc pas être
symétriques par rapport à une droite.

cc Séquence 5
Exercice 22
1) 2)
(∆)
A
B
I
B'
A'
I'
3)
a)
On sait que : I ∈ [AB]
D’après la propriété : Le symétrique du segment [AB] est le
segment [A’B’].
On conclut : I’ ∈ [A’B’]
b)
Le symétrique du segment [AI] est [A’I’], donc : AI = A’I’.
Le symétrique du segment [IB] est [I’B’], donc : IB = I’B’.
Or I est le milieu de [AB] donc : AI = IB.
On a : AI = IB, AI = A’I’ et IB = I’B’ donc A’I’ = I’B’.
Comme I’ ∈ [A’B’] et que A’I’ = I’B’, le point I’ est le milieu de
[A’B’].
1) On applique la méthode vue dans l’exercice
20 pour tracer le symétrique du segment
[AB].
2) On construit le point I’ , symétrique du
point I à l’aide de l’équerre et du compas.
3)
a)
On sait que le symétrique de tout point du
segment [AB] est sur le segment [A’B’].
Comme I est sur [AB], le point I’ est donc sur
le segment [A’B’].
b)
Nous utilisons dans cette question la propriété
suivante : « un segment et son symétrique ont
la même longueur ».

ccSéquence 5
Séance 4
Exercice 23
A'
B
B'
(d)
On construit B’ le symétrique de B par rapport à (d).
Le segment [AB] a pour symétrique par rapport à (d) le
segment [A’B’]. Ce deux segments ont donc même longueur.
On mesure le segment [A’B’].
[A’B’] mesure environ 4 cm donc [AB] mesure environ 4 cm.
On ne peut pas construire le point A car il
« sort du petit bout de papier ».
On voit que l’on peut construire le symétrique
du point B. On peut donc construire le segment
[A’B’], qui est en fait le symétrique du segment
[AB] que l’on ne peut pas construire. Comme
ces deux segments ont la même longueur, il
suffit donc de mesurer le segment [A’B’] pour
trouver la mesure de [AB].
Exercice 24
(∆)
A
B
B'
A'
C'
C

(∆)
D
E
F
E'
D'
F'
(∆)
K K'
L'M'
L
M
E'

N
O P
Q R
ST
U
N'
U' O'
P'
Q'
R'
S'
T'

cc Séquence 5
Exercice 24 (suite)
(∆)
X
X'
Y'
Z'
Y
Z
Exercice 25
y
y'
B
B'

(∆)
x
x'
A
A'
Le symétrique d’une demi-droite est une demi-droite.
x y
B
B'
y'
x'

s
t
C
t'
s'
C‘
Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.

ccSéquence 5
Exercice 26
1) 4)
A'
B'
C'D'
E'
F'
O'
A
B
O
C
D
E
F
C
C
2) Les points A’, B’, C’, D’, E’ et F’ semblent appartenir à un
même cercle.
3) O’A’ = OA car les segments [OA] et [O’A’] sont
symétriques.
5) Conjecture : le symétrique du cercle C est le cercle C ’ de
centre O’ et de même rayon.
1)
On construit successivement les six points
A’, B’, C’, D’, E’ et F’. On n’a pas mis tous
les codages la figure pour ne pas nuire à la
lisiblité.
2)
Les six points construits semblent tous être sur
un même cercle.
3)
On utilise la propriété selon laquelle un
segment et son symétrique ont la même
longueur.
4) On trace le cercle de centre O’ qui passe
par A’ : il semble passer par B’, C’, D’, E’ et
F’.
5)
Il semble donc que le symétrique d’un cercle
soit un cercle de même rayon.
Nous allons admettre par la suite que ce
résultat est toujours vrai, c’est-à-dire que
le symétrique d’un cercle par rapport à une
droite est toujours un cercle de même rayon.

cc Séquence 5
Exercice 27
a) b)

c) d)
(∆)
Il fallait reconnaître dans les cas a), b) et d) des demi-cercles. On a appliqué une propriété qui paraît naturelle : le symétrique
d’un demi-cercle est un demi-cercle.

ccSéquence 5
Séance 5
Exercice 28
Exercice 29
Toute droite passant par le centre du disque est un axe de
symétrie.
Nous venons donc de voir qu’un :
- carré possède 4 axes de symétrie
- rectangle possède 2 axes de symétrie
- triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie.
Le cas du disque (le dernier cas) est en fait
compliqué :
toute droite passant par le centre de ce disque
est un axe de symétrie. Il y en a donc une
infinité.

cc Séquence 5
Exercice 30
1) 4)
A
A'
(d)
2) (d) est la médiatrice de [AA’] car A’ est le symétrique du
point A par rapport à la droite (d).
3) Les axes de symétrie du segment [AA’] sont la droite (d) et
la droite (AA’).
1)
2)
Dans la séance 2, nous avons vu que dire que
A et A’ étaient symétriques par rapport à
la droite (d) revenait à dire que (d) était la
médiatrice du segment [AA’].
3)
Chaque point de l’axe de syméytrie est son
propre symétrique. Par conséquent, par la
symétrie axiale par rapport à la droite (AA’),
tout point du segment [AA’] est son propre
symétrique : le symétrique du segment [AA’]
par rapport à la droite (AA’) est le segment
[AA’] lui-même. La droite (AA’) est donc un
axe de symétrie pour le segment [AA’].
Exercice 31
1)
A
B
(d)
I
J
2) C’est lui-même car il est sur la droite (d).
3) C’est le segment [BI] car B est le symétrique de A et I est son
propre symétrique.
4) AI = BI car le symétrique d’un segment est un segment de
même longueur.
5) AJ = BJ car J est son propre symétrique, d’où [AJ] est le
symétrique de [BJ].
6) Tu viens de montrer que si M ∈ (d) alors : MA = MB.
2) Il fallait se rappeler que tout point de
la droite (d) est son propre symétrique par
rapport à la droite (d).
3)
B est le symétrique de A
I est le symétrique de lui-même
Le segment [BI] est donc le symétrique du
segment [AI].
4) On utilise la propriété selon laquelle un
segment et son symétrique ont la même
longueur.
5) On effectue le même raisonnement que
dans le 3) avec le point J :
B est le symétrique de A
J est le symétrique de lui-même
Le segment [BJ] est donc le symétrique du
segment [AJ].
Comme ces segments sont symétriques, ils ont
donc même longueur.
6) On pourrait effectuer le même
raisonnement que celui utilisé pour I et J avec
tout point M de la médiatrice du segment
[AB]. On a donc toujours : MA = MB.

ccSéquence 5
Exercice 32
A
B
M
N
O
1) La droite (MN) semble être la médiatrice du segment [AB].
2) Le point O semble être sur la droite (MN).
3) Conjecture : Si un point K est tel que KA = KB, alors K est
sur la médiatrice du segment [AB].
1) À vue d’oeil, il semble que la droite (MN)
soit la médiatrice du segment [AB]. On
utilise l’équerre, et cette observation semble
se confirmer. Toutefois, en l’absence de
démonstration, on ne peut pas en être certain.
2) Pour construire le point O, on utilise le
compas : on trace un arc de cercle de centre A,
puis avec le même écartement de compas un
autre arc de cercle de centre B. Ces deux arcs
de cercles se coupent en O. Ce point semble
être sur la droite (MN).
3) Ce qui semble être vrai pour le point O
semble être vrai pour n’importe quel point M
situé à la même distance de A et de B (on dit
aussi équidistant de A et de B).
En fait, on va admettre que ce résultat est
toujours vrai, c’est-à-dire que tout point M
équidistant de A et de B est sur la médiatrice
du segment [AB].
Exercice 33
Jules et Méline ont raison. Jade a tort.
Si trois points K, A et R sont tels que KA = KR, on sait d’après
la propriété précédente que le point K peut être n’importe
quel point de la médiatrice de [AR]. Jade a donc tort et Jules a
raison.
Méline a raison car cela veut aussi dire que le triangle KAR est
isocèle en K (par définition).
Voici une figure afin de visualiser l’énoncé de
l’exercice « trois points K, A et R sont tels que
KA = KR ».
K
A R
Exercice 34
A B
C
D
(d)
(d')
(d'')
E
F
Il suffit d’appliquer la méthode expliquée précédemment. N’oublie pas, une fois chaque construction réalisée, de nommer la
médiatrice et de coder la figure.
N’oublie pas également que tu devras à partir de maintenant ne plus utiliser que cette méthode pour construire la médiatrice d’un
segment : c’est la plus fiable et la plus précise.

cc Séquence 5
Exercice 35
1) 2)
A
B
C
I
(d)
(d')
3) a)
On sait que : la droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Comme le point I est sur (d), on a : IA = IB.
b)
On sait que : la droite (d’) est la médiatrice du segment [BC].
Comme le point I est sur (d’), on a : IB = IC.
c) Le cercle de centre I passant par A semble passer également
par B et C.
Comme IA = IB = IC (d’après les questions a) et b)), les points
A, B et C sont sur le cercle de centre I et de rayon IA, c’est-à-
dire le cercle de centre I passant par A.
1) 2)
On utilise la construction de la médiatrice au
compas vue précédemment.
3) a)
Tout point de la médiatrice du segment [AB]
est équidistant de A et de B. I est sur cette
médiatrice donc :
IA = IB.
b)
I est également sur la médiatrice du segment
[BC], d’où par un même raisonnement :
IB = IC.
c)
Comme IA = IB et IB = IC, on a :
IA = IB = IC.
Les trois points A, B et C sont donc à la même
distance du point I, c’est-à-dire sur un même
cercle de centre I, qui passe donc par A, B et
C.

ccSéquence 5
Séance 6
Exercice 36
E
F
BX1
X2
1) X est équidistant de E et de F donc X se trouve sur la
médiatrice du segment [EF].
2) X est à 2,5 cm de B donc X se trouve sur le cercle de centre
B et de rayon 2,5 cm.
3) Il y a deux solutions au problème : X1
et X2
. Ce sont les
deux points d’intersection de la médiatrice du segment [EF] et
du cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
1)
L’ensemble des points équidistants de E et de F
est la médiatrice du segment [EF].
2)
L’ensemble des points situés à 2,5 cm du point
B est le cercle de centre B et de rayon 2,5 cm.
3) Les points qui sont à la fois équidistants de
E et de F et situés à 2,5 cm de B sont donc les
points d’intersection de la droite et du cercle
tracés précédemment.
Exercice 37
K
M
I
L
C

cc Séquence 5
1)
K et L sont situés sur le même cercle de centre I donc on a :
IK = IL.
2)
Le triangle KLM est isocèle en M donc MK = ML.
3)
Comme les longueurs IK et IL sont égales, le point I est donc
sur la médiatrice du segment [KL].
Comme les longueurs MK et ML sont égales, le point M est
donc sur la médiatrice du segment [KL].
La droite (IM) est donc la médiatrice du segment [KL].
1) On utilise dans cette première question
la définition du cercle de centre I. C’est
l’ensemble de tous les points situés à une
même distance de I. Comme K et L sont deux
points de ce cercle, on a donc IK = IL.
2) On utilise ici la définition d’un triangle
isocèle en M.
3) On applique la propriété caractéristique de
la médiatrice vue dans la séance précédente.
Comme les points I et M sont sur la
médiatrice du segment [KL], la droite (IM)
est donc nécessairement cette médiatrice.
Code-le sur la figure du corrigé ci-contre.
Remarque : Pour prouver qu’une droite (IM)
est la médiatrice d’un segment [KL], il suffit
de prouver que I et M sont deux points de
cette médiatrice, c’est-à-dire que I et M sont
équidistants de K et de L.
Exercice 38
1) 2)
A I
J
C
D
B
3) Pour construire le milieu J du segment [CD] à l’aide du
compas :
• On trace la médiatrice du segment [CD] à l’aide du compas.
• Cette médiatrice coupe le segment [CD] en J.
1) 2) 3)
Par définition, la médiatrice d’un segment est
la droite qui le coupe perpendiculairement en
son milieu.
Si l’on construit la médiatrice d’un segment,
on construit alors automatiquement le milieu
de ce segment : c’est le point d’intersection de
ce segment et de sa médiatrice.
Ceci constitue donc une méthode géométrique
permettant de construire le milieu de
n’importe quel segment.
Dorénavant, tu devras toujours utiliser
cette méthode lorsqu’on te demandera de
construire le milieu d’un segment.

ccSéquence 5
Exercice 39
1) 2)
E
J
F
G
I
3) La droite (IJ) semble parallèle à la droite (FG).
1) 2)
On applique la méthode vue précédemment
pour construire le milieu du segment [EF],
puis le milieu du segment [EG].
3)
En fait, la droite (IJ) est parallèle à la droite
(FG), et cela est vrai pour n’importe quel
triangle ! (tu apprendras cela en 4e).
Exercice 40
1)
A
A'
E
F
(d)
C
C ’
2) A et A’ doivent être symétriques par rapport à la droite (d).
(d) est donc la médiatrice du segment [AA’].
3) E est donc sur la médiatrice du segment [AA’].
On a donc EA = EA’ .
Trace le cercle C de centre E et de rayon EA.
On a : A’ ∈ C .
4) F est sur la médiatrice du segment [AA’].
On a donc FA = FA’.
Trace le cercle C ’ de centre F et de rayon FA.
On a : A’ ∈ C ’.
5) Comme A ∈ C et A’ ∈ C ’, A’ est le deuxième point
d’intersection de C et C ’.
1) Nous avons placé « au hasard » les points
E et F sur la droite (d).
2) Nous avons déjà vu plusieurs fois (c’est un
résultat que tu dois connaître) que :
« A et A’ symétriques par rapport à la droite
(d) » revient à dire que « la droite (d) est la
médiatrice du segment [AA’] ».
3) 4) Nous savons également que tout
point de la médiatrice du segment [AA’] est
équidistant de A et de A’. Comme E et F sont
sur cette médiatrice, on doit avoir :
EA = EA’ et FA = FA’.
Comme EA = EA’, le point A’ est donc sur le
cercle de centre E et de rayon EA. On trace
donc ce cercle.
Comme FA = FA’, le point A’ est donc sur le
cercle de centre F et de rayon FA. On trace
donc ce deuxième cercle.
Le point A’ est donc le deuxième point
d’intersection des deux cercles tracés.
Ceci constitue donc une méthode pour tracer
le symétrique d’un point uniquement au
compas, car pour construire le point A’, nous
n’avons utilisé que le compas (et même pas la
règle non graduée !).

cc Séquence 5
Exercice 41
1)
A
E B
CD
(d2
)
(d1
)
2)
Jade semble avoir raison. Méline semble avoir tort.
Jules a tort. Il ignore qu’on peut toujours tracer le symétrique
d’un point par rapport à une droite.
1) On utilise la méthode précédente pour
construire dans un premier temps le point B.
A
B
(d2
)
(d1
)
On construit ensuite de la même façon les
points C, D et E.
2)
Les points A et E semblent effectivement
confondus.
En fait, c’est difficile à démontrer, mais
on pourrait démontrer qu’ils le sont
effectivement.
Exercice 42
1) a) D’après les codages de la figure, la droite (d) est
perpendiculaire au segment [AC] et passe par son milieu, c’est
donc sa médiatrice. Comme I est sur cette médiatrice, on a
donc :
IA = IC.
b) D’après les codages de la figure, la droite (d’) est
perpendiculaire au segment [BC] et passe par son milieu,
c’est donc sa médiatrice. Comme I est également sur cette
médiatrice, on a donc : IB = IC.
c) D’après le 1- a) et le 1- b) on a : IA = IC et IB = IC. On a
donc : IA = IB.
2)
J est sur la médiatrice du segment [AD] donc JA = JD.
J est également sur la médiatrice du segment [BD] donc
JB = JD.
Comme JA = JD et JB = JD, on a : JA = JB.
3)
Comme IA = IB, I est sur la médiatrice du segment [AB].
Comme JA = JB, J est sur la médiatrice du segment [AB].
Les points I et J sont donc tous les deux sur la médiatrice du
segment [AB], la droite (IJ) est donc la médiatrice du segment
[AB]. La droite (IJ) est perpendiculaire à [AB].
A
D
B
C
I
J
(d)
(d')
Dans ce type d’exercice, pense à écrire des
phrases courtes et précises.

ccSéquence 5
Séance 7
Exercice 43
A
B
C
D
E
F G
H
IJ
K
L
M
N O
0 axe
1 axe
1 axe
3 axes
0 axe
Exercice 44
B
(d)
C
A
I
1) Elle semble passer par le point A.
2) AB = AC car le triangle ABC est isocèle en A.
3) Comme AB = AC, le point A est sur la médiatrice du
segment [BC] donc sur la droite (d).
4)
• Le symétrique de B par rapport à la droite (d) est C.
• Le symétrique de A par rapport à la droite (d) est lui-même .
• Le symétrique de I par rapport à la droite (d) est lui-même .
Le symétrique de l’angle BAI∑ est donc l’angle CAI∑.
Comme un angle et son symétrique ont la même mesure,
on a : BAI CAI∑ ∑= . Par suite, (d) est la bissectrice de BAC∑.
5) De même, le symétrique de l’angle ABC∑ est l’angle ACB∑ .
Comme un angle et son symétrique ont la même mesure,
on a : ABC ACB∑ ∑= .
Le triangle ABC est isoclèle en A, on code donc
sur la figure l’égalité de longueurs AB = AC.
1) La droite (d) semble passer exactement
par le point A. Pour en être sûr, nous allons le
démontrer dans la réponse suivante.
2)
3) On utilise la propriété suivante : si un point
A est équidistant de deux points B et C, alors il
est sur la médiatrice du segment [BC].
4) Comme (d) est la médiatrice du segment
[BC], le point B a pour symétrique le point C.
On sait que tout point de (d) est son propre
symétrique par rapport à la droite (d). C’est
donc le cas pour le point A et le point I.
Connaissant les symétriques respectifs des
points B, A et I, nous connaissons donc l’angle
symétrique de l’angle BAI∑ .
5) On effectue le même raisonnement que
dans la question précédente.
Nous venons donc de démontrer dans cet
exercice que dans un triangle isocèle, la
médiatrice d’un des côtés est axe de symétrie
du triangle.

cc Séquence 5
Exercice 45
B A
O
40˚
4 cm C
1) A et B sont deux points du cercle C de centre O, donc OA = OB.
Comme OA = OB, le triangle OAB est isocèle en O.
2) Comme le triangle OAB est isocèle en O, on a :
OAB OBA∑ ∑= . Comme OAB∑ = °40 , on a : OBA∑ = °40 .
Pour tracer la figure, on commence par tracer
un cercle C de centre O et de rayon 4 cm
puis on place un point A « au hasard » sur ce
cercle.
On utilise ensuite le rapporteur pour placer un
point B tel que AOB∑ = °40 .
A
B A
O
40°
4 cm C
O
40°
A
90
90
1) On applique ici la définition du triangle
isocèle.
2) On applique la propriété vue précédemment :
si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base
sont égaux. Comme on connaît la mesure d’un
angle à la base, on va ainsi connaître la mesure
de l’autre.
Exercice 46
1)
B
52°
5,2 cm C
A
Méline a raison, Jade et Jules ont tort.
2)
B
52°
(d)
C
A
1)
2)
Laconstructionn’est
pasimmédiate:dans
unpremiertemps,on
peutcommencerpar
tracerlecôté[BC]de
5,2cm.
Onsaitensuite
quelepointAest
nécessairement
surlamédiatrice
dusegment[BC].
Traçonsdonc(d)
lamédiatricedu
segment[BC].
B
(d)
C
Noussavonsquele
pointAesttelque:
ABC∑ = °52 .
Onprenddoncun
rapporteureton
traceunedemi-droite
[Bx)telleque:
CBx∑ = °52 .
LepointAestle
pointd’intersection
deladroite(d)etde
lademi-droite[Bx).
B
52°
(d)
C
A
x

ccSéquence 5
Exercice 47
B
C
(d)
On n’avait « pas le droit » de tracer le
sommet A puis de tracer la bissectrice. Il
fallait donc réfléchir et penser à la propriété
suivante : dans un triangle ABC isocèle en
A, la bissectrice de l’angle BAC∑ est aussi la
médiatrice du côté [BC].
On trace donc à l’aide d’un compas la
médiatrice du côté [BC], on obtient alors la
droite recherchée.
Exercice 48
1)
54˚
4,6 cm
54˚
F
D E
y x
2) Jules semble avoir raison. Méline et Jade ont tort.
1) Nous avons déja vu dans la séquence 3
comment construire cette figure.
Il suffit de tracer un segment [DE] de 4,6 cm,
puis, à l’aide du rapporteur et de la règle, de
tracer deux demi-droites [Dx) et [Ey) telles
que les angles xDE∑ et yED∑ mesurent 54°.
2) Il semble, en regardant la figure, que le
triangle FDE est isocèle en F.
En fait, nous allons par la suite admettre que
lorsqu’un triangle possède deux angles de
même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Exercice 49
Le point B est sur le segment [AC], on a donc :
ABC∑ = °− ° = °180 140 40
Je calcule EBC∑ :
ABC ABE EBC∑ ∑ ∑= +
180 140° = °+ EBC∑
EBC∑ = °− ° = °180 140 40
Les deux angles EBCet BCE∑ ∑ ont la même mesure : 40°.
Le triangle EBC possède donc deux angles égaux, il est donc
isocèle en E.
Nous devons démontrer que le triangle EBC
est isocèle.
Nous connaissons deux méthodes pour
démontrer qu’un triangle est isocèle :
• soit on démontre que deux de ses côtés ont
même longueur.
• soit on démontre que deux de ses angles ont
même mesure (d’après la propriété que nous
avons vue précédemment).
Ici, nous n’avons aucune information
concernant les longueurs, nous allons donc
utiliser la deuxième méthode.
Pour cela, on peut utiliser la donnée : « B est
sur le segment [AC]» pour déterminer l’angle
ABC∑ puis en déduire l’angle EBC∑ = °40.
Ontrouvealors: EBC∑ = °40 soit EBC ECB∑ ∑=
Le triangle EBC est donc isocèle en E.
B CA
E
40°40°
140°
N’oublie pas que pour rédiger ce type de
démonstration, il faut faire des phrases claires
et courtes !

cc Séquence 5
Séance 8
Exercice 50
O
x
y
O
x
y
1) 2)
3) Le « trait de pliage » passe par le point O et partage l’angle
xOy∑ en deux angles de même mesure. Ce «trait de pliage»
représente donc la bissectrice de l’angle xOy∑ .
1) 2) On applique bien la consigne : on
reproduit l’angle par transparence puis on
plie le papier calque de telle sorte que les
deux demi-droites [Ox) et [Oy) coïncident
exactement. On déplie le calque et on trace le «
trait de pliage ».
3) Ce trait de pliage, qui est en fait l’axe
de symétrie de cet angle, semble être sa
bissectrice.
Par la suite, nous admettrons le résultat que
nous avons remarqué par l’expérience, à savoir
qu’un angle a un seul axe de symétrie : sa
bissectrice.
Notons bien que nous appelons bissectrice une
droite et non une demi-droite comme on l’a vu
dans la séquence 3.
Exercice 51
1)
O
A
B
x
y
2) On a OA = OB, le triangle OAB est donc isocèle en O.
3) La médiatrice du côté [AB] du triangle OAB isocèle en O est
également la bissectrice de l’angle AOB∑
1) On place un point « au hasard » sur la
demi-droite [Ox).
On prend ensuite la longueur OA comme
écartement de compas et on trace un arc de
cercle de centre O qui coupe la demi-droite
[Oy) en B. On a ainsi OA = OB.
O
A
B
x
y
2)
3) On applique la propriété vue dans la
séance précédente : « dans un triangle isocèle,
la médiatrice de la base est la bissectrice de
l’angle au sommet ».
Nous venons de découvrir une méthode
permettant de tracer la bissectrice d’un
angle sans utiliser de rapporteur !
Exercice 52
A
x
t
sy
B
C
D
E
Les remarques du professeur : On applique la méthode vue précédemment.

ccSéquence 5
Exercice 53
1) 2)
E
F
G
(d1
)
(d2
) (d3
)
3) Les trois bissectrices semblent être concourantes.
On a appliqué la méthode vue précédemment pour tracer chacune des trois bissectrices.
Tu reverras en classe de quatrième que les trois bissectrices d’un triangle sont toujours concourantes (On rappelle que des droites
concourantes sont des droites qui se coupent en un même point).

cc Séquence 5
Séance 9
Exercice 54
1) 2)
1 2
B C
A
B C
A
3
B C
A
1) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en A. Par suite : ABC∑ = ACB∑. Trace sur la figure
1 l’axe de symétrie passant par A en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle
BAC∑.
2) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en B. Par suite : BCA∑ = BAC∑. Trace sur la figure
2 l’axe de symétrie passant par B en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle
ABC∑.
3) Le triangle ABC est équilatéral donc il est isocèle en C. Trace sur la figure 3 l’axe de symétrie passant
par C en rouge. On sait que cette droite est aussi la bissectrice de l’angle BCA∑ .
4) D’après le 1) et le 2), on a : ABC∑ = ACB∑ et ACB∑ = BAC∑. Par conséquent : ABC∑ = ACB∑ = BAC∑.
Les angles BAC∑, ABC∑ et ACB∑ du triangle équilatéral ont même mesure.
Comme les trois bissectrices tracées ci-dessus partagent en deux angles égaux chacun des trois angles.
Les six angles codés dans les figures 1, 2 et 3 ont tous la même mesure.
5)
B C
A

ccSéquence 5
Exercice 55
1) 2) 3)
OE
M
F
(d)
EM = EF
4)
Le point M est sur la médiatrice du segment [EF] donc on a :
ME = MF.
Le point M est tel que EM = EF.
On a donc : ME = EF = MF.
Le triangle EMF est donc équilatéral.
Les trois angles d’un triangle équilatéral ont même mesure.
On a donc :
MEF MFE EMF∑ ∑ ∑= =
2) On trace à l’aide d’un compas et d’une
règle la médiatrice du segment [EF].
3) Le point M doit être à la fois sur la droite
(d) et vérifier l’égalité EM = EF.
• Vérifier l’égalité EM = EF signifie être à une
distance EF du point E, c’est-à-dire être sur le
cercle de centre E et de rayon EF. On trace ce
cercle.
• Le point M doit être à la fois sur la droite
(d) et sur ce cercle, c’est donc un des deux
points d’intersection (on a le choix !) du cercle
et de la droite (d).
4) On veut démontrer que les trois angles
d’un triangle ont la même mesure. On pense
alors à utiliser la propriété : « si un triangle
est équilatéral, alors ses trois angles ont la
même mesure ».
Nous essayons donc de démontrer que le
triangle EFM est équilatéral. Nous pourrons
ensuite en déduire que ses trois angles ont la
même mesure.
Pour cela, étudions les longueurs de ses côtés :
On a : ME = MF car le point M est sur la
médiatrice du segment [EF].
On sait que EM = EF.
On a donc ME = MF = EF.
Le triangle EMF est donc équilatéral et ses
trois angles ont donc la même mesure.

cc Séquence 5
1) Les deux figures ci-dessous
semblent-elles symétriques par
rapport à la droite (d) ?
(d)
˝ oui
® non
2) Les deux figures ci-dessous sont-elles
symétriques par rapport à la droite (d) ?
(d)
® oui
˝ non
3) Dire que B’ est le symétrique de B par rapport à la droite (d)
revient à dire que :
˝ B et B’ sont symétriques par rapport à la droite (d)
˝ (d) est la médiatrice du segment [BB’]
® B et B’ sont sur la droite (d)
˝ B est le symétrique de B’ par rapport à la droite (d)
4) Le symétrique d’un angle est :
˝ un angle
® un triangle
® un angle de mesure différente
˝ un angle de même mesure
5) Combien la figure ci-dessous a-t-elle
d’axes de symétrie ?
˝ 6
® 12
® 4
® aucun
6) Le point M est sur la médiatrice du segment [KL], on a donc :
® KM = KL
˝ KM = ML
˝ MK = ML
® LM = KL
1) Effectivement, les deux symboles euros
semblent symétriques par rapport à la droite
(d). Si tu n’as pas bien répondu, reporte-toi à
l’exercice 1 de la séance 1 et à son corrigé pour
reprendre la notion que tu n’as pas comprise.
2) On voit bien que si on devait plier cette
feuille le long de la droite (d), les deux
symboles ne coïncideraient pas. Si tu n’as pas
bien répondu, reporte-toi à l’exercice 1 de la
séance 1 et à son corrigé.
3) Seule la troisième réponse est fausse. Nous
avons le symétrique d’un point dans la séance
2 (en particulier dans le « Je retiens »). Si tu
n’as pas bien répondu, révise cette séance.
4) Le symétrique d’un angle est un angle. On sait
de plus que c’est un angle de même mesure. Ce
n’est pas un triangle car les deux côtés d’un angle
sont des demi-droites (et non des segments). Si tu
n’as pas bien répondu, reporte-toi à la deuxième
question de l’exercice 25 de la séance 4 et au « Je
retiens » qui suit.
5) La figure possède 6 axes de symétrie. Il
fallait faire attention à ne pas en oublier et à
ne pas compter plusieurs fois le même. Si tu ne
comprends pas bien cette réponse, reporte-toi
au début de la séance 5, en particulier aux
exercices 28 et 29 ainsi qu’à leurs corrigés.
1
2
3
4
5
6
6) Les deux égalités KM = ML et MK = ML
sont en fait les mêmes puisque la longueur
KM est la longueur MK. Les deux autres
propositions sont fausses : KM et LM peuvent
être beaucoup plus grandes que KL si l’on
choisit un point M sur la médiatrice du
segment [KL] très très loin de K et de L.

ccSéquence 5
7) On a LH = LR. Le point L est donc :
® sur le segment [HR]
® sur le cercle de centre H passant par R
® sur le cercle de centre R passant par H
˝ sur la médiatrice du segment [HR]
8) L’axe de symétrie d’un triangle FJI isocèle en F est :
® la bissectrice de l’angle FIJ∑
® la bissectrice de l’angle FJI∑
˝ la médiatrice du segment [IJ]
˝ la bissectrice de l’angle IFJ∑
9) Le triangle HER possède deux angles égaux. Ce triangle est
donc :
® rectangle en H
® rectangle isocèle
® équilatéral
˝ isocèle
10) Un angle admet un axe de symétrie qui est :
® parallèle à un de ses côtés
® perpendiculaire à un de ses côtés
˝ sa bissectrice
® confondu avec un de ses côtés
7) Si tu n’as pas bien compris cette question,
reporte-toi à l’exercice 32 de la séance 5 ainsi
qu’au « Je retiens » qui suit.
Une seule des quatre propositions est juste. Si
tu n’as pas bien répondu, révise le «Je retiens»
qui suit l’exercice 31.
8) Il ne fallait pas oublier la troisième
proposition car dans un triangle isocèle, la
bissectrice de l’angle du sommet principal est
également la médiatrice de la base.
Si tu n’as pas bien compris cette question,
reporte-toi à l’exercice 44 de la séance 7 ainsi
qu’à son corrigé et au « Je retiens » qui le suit.
9) C’est une propriété que l’on a admise
et qu’il faut connaître. Si tu rencontres des
difficultés sur cette question, reporte-toi aux
exercices 48 et 49, à leurs corrigés, et au « Je
retiens » qui se trouve entre ces deux exercices.
10) Cette notion a été abordée dans l’exercice
50 de la séance 8 et dans le « Je retiens » qui
suit.

cc Séquence 6
SÉQUENCE 6
Séance 1
1) d)
2) b)
3) b)
4) b) 52 euros
1) Hugo veut partager équitablement ses 25
billes en quatre. Il effectue donc la division de
25 par 4.
Il trouve : 25 = 4 x 6 + 1.
Autrement dit : Hugo peut donner 6 billes à
chacun de ses 4 amis et il lui en restera une.
2) Comme on l’a vu dans la question
précédente, il ne reste qu’une seule bille à
Hugo après son partage.
3) Les multiples de 5 sont les nombres qui
s’écrivent :
5 x 0 ; 5 x 1 ; 5 x 2 ; 5 x 3 ; 5 x 4 ; ... (c’est
en fait « la table de 5 »). Tous ces nombres se
terminent soit par un 0, soit par un 5.
30 est le seul nombre de la liste à se terminer
par un 0 ou un 5, c’est donc le seul multiple de
5 présent parmi les propositions.
4) Cette question était un piège, il ne fallait pas
faire de division ! Le nouveau prix du baril de
pétrole s’obtient en effectuant : (50 + 5) - 3.
On trouve 52 soit 52 euros.
Exercice 1
a) Réponse : 7 albums
b) Réponse : 7 fois
a)
Il suffit de connaître la table de multiplication
par 7.
On a : 7 x 8 = 56.
On peut également écrire : 7 = 56 : 8
a)
Il suffit encore de connaître la table de
multiplication par 7.
On a : 7 x 9 = 63.
On peut également écrire : 7 = 63 : 9
Exercice 2
1) Les 11 premiers multiples de 7 sont :
7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ; 7 x 6 ; 7 x 7 ; 7 x 8 ;
7 x 9 ; 7 x 10 soit 0 ; 7 ; 14 ; 21 ; 28 ; 35 ; 42 ; 49 ; 56 ; 63 ; 70.
2)
60 = (7 x 1) + 53
60 = (7 x 2) + 46
60 = (7 x 3) + 39
60 = (7 x 4) + 32
60 = (7 x 5) + 25
60 = (7 x 6) + 18
60 = (7 x 7) + 11
60 = ( 7 x 8 ) + 4
60 = (7 x 9) + ... impossible !
60 = (7 x 10) + ... impossible !
3) Réponse : 8 bouquets
2)
Nous cherchons dans cette question à
« approcher sans dépasser » le nombre 60 par
un multiple de 7.
Le multiple de 7 le plus proche de 60 et qui ne
dépasse pas 60 est 7 x 8 soit 56.
Au delà de 7 x 8, c’est-à-dire pour les multiples
de 7 qui s’écrivent 7 x 9 ; 7 x 10 ; ...; les
nombres obtenus sont plus grands que 60. On
ne peut donc, en leur ajoutant un nombre,
obtenir 60. Tu ne pouvais donc pas remplir les
deux dernières lignes.
3)
S’il confectionne 8 bouquets, il ne restera que
4 roses. Il ne pourra plus alors confectionner de
bouquet. La réponse est donc 8.
C’est le nombre que l’on trouve dans l’égalité :
60 = (7 x 8) + 4
Il fallait donc entourer cette égalité.

ccSéquence 6
Exercice 3
a)
• Combien va-t-il y avoir de groupes ? 9 groupes
39 = (4 x 9) + 3
b)
• Combien de douzaines d’huîtres peut constituer un pêcheur
ayant pêché 90 huîtres ? (une douzaine, c’est douze huîtres) 7
douzaines d’huîtres
90 = (7 x 12) + 6
c) • Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par
paquets de 17. Aujourd’hui, elle en a produit 664. Combien
peut-elle vendre de paquets de bougies ? Utilise ta calculatrice !
39 paquets
664 = (17 x 39) + 1
a)
On cherche le plus grand multiple de 4 « qui
ne dépasse pas 39 ».
On cherche donc dans la table de 4 :
4 x 8 = 32 4 x 9 = 36 4 x 10 = 40.
36 est le plus grand multiple cherché.
On a : 39 = (4 x 9) + 3.
Il y aura donc 9 groupes de 4 enfants et il en
restera 3.
b)
On cherche le plus grand multiple de 12 « qui
ne dépasse pas 90 ».
On cherche donc dans la table de 12 :
12 x 6 = 72 12 x 7 = 84 12 x 8 = 96
84 est le plus grand multiple cherché.
On a : 90 = (12 x 7) + 6.
c)
On cherche le plus grand multiple de 17
« qui ne dépasse pas 664 » à l’aide d’une
calculatrice.
17 x 38 = 646 17 x 39 = 663
17 x 40 = 680
On a : 664 = (17 x 39) + 1.
Exercice 4
a)
dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste
où le reste est plus petit que le diviseur.
b)
39 = (5 x 7) + 4
Son dividende est 39.
c)
Une division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9
et pour quotient euclidien 7. Complète :
71 = (9 x 7) + 8
Son reste est 8.
a)
Il suffisait de bien lire le « Je retiens »
précédent pour trouver la réponse.
b)
On commence par remplir les pointillés par les
nombres connus. On obtient :
............ = (5 x 7)+ 4.
puis on fait : (5 x 7) + 4 = 39.
c)
On commence également par remplir les
pointillés par les nombres connus. On obtient :
71 = (9 x 7) + .............
Le nombre qu’il faut ajouter à 9 x 7
(c’est-à-dire à 63) pour obtenir 71 est 8. Le
reste est donc 8.
Exercice 5
Le reste d’une division euclidienne est un entier toujours
plus petit que son diviseur. Comme le diviseur de la division
euclidienne est 4, son reste est 0, 1, 2 ou 3.
Il faut absolument retenir que dans une
division euclidienne, le reste est toujours plus
petit que le diviseur.
Exercice 6
1) Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21 ? 18
2)
a) 18 est-il le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ?
Non car 18 est plus grand que 17.
b) On cherche le plus grand multiple de 17 « qui ne dépasse
pas » 375.
On trouve : 17 x 22 = 374.
La division euclidienne de 375 par 17 se traduit donc par
l’égalité :
375 = (17 x 22) + 1
Le reste de cette division est 1.
1) L’égalité : 375 = (21 x 17) + 18 traduit la
division euclidienne de 375 par 21 car : 18 21
(le reste est inférieur au diviseur).
2) a) Comme 21 x 17 = 17 x 21, on peut donc
écrire :
375 = (17 x 21) + 18. On se pose la question
suivante : « cette égalité traduit-elle la division
euclidienne de 375 par 17 ? »
La réponse est NON car la reste d’une division
euclidienne doit être plus petit que le diviseur,
ce qui n’est pas le cas ici (18 n’est pas plus
petit que 17).
b) Onchercheàapprocher375parunmultiplede17
«sansledépasser».Onsaitque(17x21)+18=375.
On pense donc à calculer 17 x 22.
17 x 22 = 374 17 x 23 = 391.
Le plus grand multiple cherché est 374.
On a : 375 = (17 x 22) + 1
Le reste de la division euclidienne de 375 par
17 est donc 1.

cc Séquence 6
Exercice 7
a) Combien de costumes pourra-t-elle coudre ? 32
Écris l’égalité te permettant d’obtenir ta réponse :
98 = (3 x 32) + 2
b)
Ludivine trouve 32 costumes.
Il restera alors 2 m de tissu.
9
9-
-
8
80
6
2
3
3 2
c) La méthode qui consiste à poser la division euclidienne est
la plus rapide et la plus efficace.
a)
On cherche les multiples de 3 « qui ne
dépassent pas 98 ».
On finit par trouver :
3 x 32 = 96 3 x 33 = 99
b)
On pose la division. On se dit :
« En 9, combien de fois 3 ? » 3 fois.
3 x 3 = 9, j’écris 9 et j’effectue 9 - 9.
Je trouve 0.
J’abaisse le 8. « En 8, combien de fois 3 ? »
2 fois.
3 x 2 = 6, j’écris 6 et j’effectue 8 - 6.
Je trouve 2. J’arrête la division.
Cette méthode est détaillée en début de la
séance suivante.
c) Dorénavant, tu devras poser les divisions
euclidiennes plutôt que de chercher « les
multiples de ..... qui ne dépassent pas ... » :
c’est une bien meilleure méthode.

ccSéquence 6
Séance 2
Exercice 8
8
7 2
8
8 1
6
6 3
2
8 9 7-
-
-
0 7
7
5
5
9 3
3-
-
-
6
6
9 0 8
0
0 0
3
3 2
3
3
3
5
5
4 5
4 8
3
42
1 0
9
1
6
1
4 2 8-
-
-
1 4
4
7
7
21
Il suffisait d’appliquer la méthode vue précédemment.
Exercice 9
6 2
1
39
1
2 3-
-
7 2
0
6
6
3
13
9 0 2 0-
9 3
3
7
7
3 7
54
0 0-
3 9
1
00
1
1
1
1
3 0 9-
-
-
04 1
1
7
7
7
0
31
(31 x 23) + 13 = 726 (45 x 20) + 37 = 937 13 x 309 = 4 017
1
1 9
1
11 4
5
3
1 6 2-
-
-
03 9
9
5
5
8
71
91
(19 x 162) + 17 = 3 095
Il suffisait à nouveau d’appliquer la méthode vue précédemment. Cette méthode est une méthode détaillée : on écrit les
soustractions successives. Il va falloir progressivement apprendre dans ce chapitre à se passer de ces soustractions intermédiaires.
Voici ci-dessous la dernière division posée et effectuée sans les soustractions successives :
1 1
5
1 6 2
03 9
9
5
5
71
91

cc Séquence 6
Exercice 10
5 8 3
31 3 5
5
7
61
Pour effectuer une division euclidienne sans
écrire les soustractions successives, on se dit :
« dans 133, combien de fois 16 ? » 8 fois.
On calcule de tête (ou sur un cahier de
brouillon) 8 fois 16. On trouve 128. On
n’écrit pas 128. On effectue 133 - 128. On
trouve (de tête ou sur un cahier de brouillon)
5. On écrit 5 sous le chiffre des unités de 133.
On abaisse le 5.
« dans 55, combien de fois 16 ? » 3 fois.
On calcule 3 fois 16, on trouve 48. On
effectue 55 - 48. On trouve 7. On écrit 7
sous le chiffre des unités de 55. La division
euclidienne est alors terminée.
Exercice 11
1) (18 x 418) + 3 = 7 527 (17 x 22) + 11 = 385 (29 x 276) + 11 = 8 015
2) opération de Ludivine opération de Pauline opération de Léonie
457
43
6
9
1
5
5
3
4 1 8
1 8
333
333 444
556 561
4 88 998884 14 1444
5544 54557 57 881 8
443
40
1
faux
1
5
5
2 20
1 7
auxfaf ua
000 5544 54
11
xxxx
0 22222222 00002 00
5544 54443 4 771 7
108
122
81
5
5
11
2 7 6
2 9
111 1111
222 2222 222 1122 1122 1
55881 55881 5811111
7222 77 6677 67 6667
555
2 72 777
55
222
55110 55110 510000000088 00888 99555 99999999225 9225 2
Comme (18 x 218) + 3 n’est pas égal à 7 545 (mais à 7 527), on sait que la division de Ludivine est fausse.
Comme (17 x 22) + 11 n’est pas égal à 3 445 (mais à 385), on sait que la division de Pauline est également fausse.
Comme (29 x 276) + 11 est égal à 8 015, on peut affirmer que le résultat de la division de Léonie a des chances d’être juste. On
vérifie quand même qu’elle ne s’est pas trompée dans les étapes intermédiaires.

ccSéquence 6
Exercice 12
a)
4
4
96
9
0
7
7
6
b)
44
7
5
9
2
4
7
8
a)
On commence par chercher à remplir la
première case bleue ci-dessous.
4
4
9 7
6
6 x 7 = 42. On cherche donc le chiffre ® tel
que :
4 ® - 42 = 4
Le nombre 4 ® est donc 46. Le chiffre ® est
donc 6.
4
4
9 76
6
J’abaisse le 9. La deuxième case bleue est donc
un 9.
4
4
9 76
9 6
« En 49, combien de fois 7 ? » 7 fois.
49 - 49 = 0. Nous savons donc comment
remplir les deux dernières cases.
b)
On commence par chercher à remplir les deux
premières cases bleues ci-dessous.
4
4
7
8
On cherche, parmi les nombres 14 ; 24 ; 34 ;
44 ; 54 ; 64 ; 74 ; 74 et 94 ceux qui, lorsqu’on
leur enlève un multiple de 8, donnent pour
résultat 4.
Les multiples de 8 possibles sont 8 ; 16 ; 24 ;
32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 et 72.
On cherche donc un nombre de la liste du
haut, on lui soustrait un nombre de la liste du
bas, et l’on doit obtenir 4.
Il n’y a qu’une possibilité : le nombre de la
liste du haut est 44 et celui de la liste du bas
est 40 (c’est 8 x 5).
44 5
4
7
8
La suite est alors plus facile : on abaisse le 7.
Dans 47, combien de fois 5 ? 9 fois. Il reste
donc 2.

cc Séquence 6
Séance 3
Exercice 13
21
4
7
7
5
5
4
1
Il y aura 17 équipes de 7 élèves et 5 remplaçants.
On commence par écrire ce que l’on fait : « on
effectue la division euclidienne de 124 par 7 ».
On pose et on effectue la division euclidienne.
On vérifie la division euclidienne au brouillon :
pour cela, on calcule (7 x 17) + 5 et on vérifie
que l’on trouve 124.
On écrit une phrase de conclusion.
Attention !
Comme le reste de la division euclidienne de
124 par 7 n’est pas 0, on ne peut pas écrire :
124 : 7 = 17
Tu apprendras à bien utiliser ce symbole lors de
la séquence « division décimale ».
Exercice 14
On effectue la division euclidienne de 1 235 par 28.
321
5
2 8
4
3
11
5
4
M. Ketch va faire 45 trajets pour transporter toutes les
tomates. Lors de son dernier trajet, il va transporter 3 kg de
tomates.
On commence par écrire ce que l’on fait : « on
effectue la division euclidienne de 1 235 par
28 ».
On pose et on effectue la division euclidienne.
On vérifie la division euclidienne au brouillon :
pour cela, on calcule (28 x 44) + 3 et on vérifie
que l’on trouve 1 235.
On trouve pour quotient euclidien 44 et pour
reste 3. Qu’est-ce que cela veut-il dire ?
Quand M. Ketch a effectué 44 trajets, il lui
reste 3 kg de tomates à transporter : il est
donc obligé de faire un 45e trajet pour les trois
derniers kilos.
Il faut donc faire attention, car la réponse,
c’est-à-dire le nombre de trajets de M. Ketch,
n’est pas 44, mais 45.
Il ne reste plus qu’à écrire les phrases de
conclusion.
Exercice 15
On effectue la division euclidienne de 4 578 par 6.
754 6
6 3
8
0
7
1
3
8
7
L’entreprise peut constituer 763 packs d’eau. Il ne restera
aucune bouteille.
On rédige ce type de problème toujours de la
même façon : on écrit ce que l’on fait, on pose
l’opération et on écrit la conclusion.
N’oublie pas de vérifier la division euclidienne
au brouillon !

ccSéquence 6
Exercice 16
29 7
1
9
5 3
3 21
2
1
Louis devra acheter 12 CD audio vierges afin de graver tous ses
morceaux de musique. Sur son dernier CD, il n’y aura que 53
minutes de musique enregistrée.
Il faut faire attention et ne pas oublier que
dans ce cas, la réponse n’est pas 11 mais 12
car Louis aura besoin d’un 12e CD, même
si ce CD ne contient que 53 minutes de
musique.
Exercice 17
Une semaine est constituée de 7 jours. Nous sommes un
mercredi, donc dans 7 jours, dans 14 jours, dans 21 jours, ...,
nous serons encore un mercredi. Tous les multiples de 7 jours
seront donc des mercredis. On pense à effectuer la division
euclidienne de 1 000 par 7 :
001 7
4 2
0
6
0
2
3
0
1
On a donc : 1 000 = (7 x 142) + 6
Au bout de 7 x 142 jours, nous serons encore un mercredi.
Au bout de :
(7 x 142) + 1 jours, nous serons un jeudi.
(7 x 142) + 2 jours, nous serons un vendredi.
(7 x 142) + 3 jours, nous serons un samedi.
(7 x 142) + 4 jours, nous serons un dimanche.
(7 x 142) + 5 jours, nous serons un lundi.
(7 x 142) + 6 jours, nous serons un mardi.
Si aujourd’hui, nous sommes un mercredi, alors dans 1 000
jours nous serons un mardi.
On pense à expliquer le plus clairement
possible son raisonnement.
On pose et on effectue la division euclidienne
de 1 000 par 7.
N’oublie pas de vérifier la division euclidienne
au brouillon !
Ce qui nous intéresse, c’est en fait le reste de
la division euclidienne de 1 000 par 7, soit 6.
On finit par écrire une phrase de conclusion.
Il existe bien d’autres exercices de ce genre,
comme par exemple le suivant : « Il est 13 h,
quelle heure sera-t-il dans 3 000 heures ? »
Pour trouver la réponse, on effectue la division
euclidienne de 3 000 par 24 (car il y a 24 h
dans une journée).

cc Séquence 6
Séance 4
Exercice 18
1)
65 1
7
2
0
8 4
4
4
Le reste de la division euclidienne de 564 par 12 est 0.
2)
94 x 6 = 564
94 et 6 sont deux diviseurs de 564.
3)
a)
65 2
4
3
21
01 4
4
2
b) Le diviseur de cette division euclidienne est 23.
c) 23 n’est pas un diviseur de 564 car le reste de la division
euclidienne de 564 par 23 n’est pas égal à 0 (il est égal à 12).
1)
On effectue la division euclidienne de 564 par
12.
On trouve : 564 = (12 x 47) + 0.
Le reste de cette division euclidienne est 0,
autrement dit : 564 = 12 x 47.
Cette égalité signifie que 564 est un multiple
de 12 (elle signifie également que 564 est un
multiple de 47).
On dit également 564 est divisible par 12 ou
encore 12 est un diviseur de 564.
3)
c)
Il faut bien faire la différence entre « être un
diviseur d’un nombre » et « être le diviseur
d’une division euclidienne ».
Exercice 19
1)
93 6
6
0
3 6
6
6
01 1 7
0
2
6
17 3 1
9
3
3
0
2 3
2)
a) 102 est un multiple de 6.
b) 31 est un diviseur de 713.
c) 6 est un diviseur de 396 et 102.
d) 66 est un diviseur de 396.
e) 713 est un multiple de 23 et 31.
1) On effectue les trois divisions euclidiennes
demandées.
2)
a) On sait d’après le 1) que : 102 = 17 x 6.
102 est donc un multiple de 6.
b) On sait d’après le 1) que : 713 = 31 x 23.
Autrement dit : 31 est un diviseur de 713.
c) On sait d’après le 1) que : 396 = 6 x 66 et que :
102 = 6 x 17.
396 et 102 sont donc des multiples de 6.
Autrement dit : 6 est un diviseur de 396 et de
102.
d) On sait d’après le 1) que : 396 = 6 x 66.
Autrement dit : 66 est un diviseur de 396.
e) On sait d’après le 1) que : 713 = 31 x 23.
713 est donc un multiple de 23 et de 31.

ccSéquence 6
Corrigé 20
1)
On sait que 12 = 6 x 2 et 54 = 6 x 9 donc 12 et 54 sont des
multiples de 6.
Comme 6 666 = 6 x 1 111, 6 666 est un multiple de 6.
4 6
3
5
7
Comme 45 = (6 x 7) + 3,
45 n’est pas un multiple de 6.
6 6
1
1
1 00
Comme 61 = (6 x 10) + 1,
61 n’est pas un multiple de 6.
2)
On sait que 56 = 7 x 8 donc 56 est divisible par 7.
5 9
2
6
6
Comme 56 = (9 x 6) + 2,
56 n’est pas divisible par 9.
On a : 56 = 2 x 28 donc 56 est divisible par 28.
56 est plus petit que 112, il ne peut donc pas être divisible par
112.
3)
5 7
1
7
8
Comme 57 = (7 x 8) + 1,
7 n’est pas un diviseur de 57.
On sait que 63 = 7 x 9 donc 7 est un diviseur de 63.
0
0 0 00
7 7
7
7
1 1
Comme 707 = (7 x 101) + 1,
7 est un diviseur de 707.
7
0
0
7
3
3
1
Comme 73 = (7 x 10) + 3,
Comme 140 = 7 x 20, 7 est un diviseur de 140.
1)
Pour voir si 6 666 est un multiple de 6, on
peut bien sûr effectuer la division euclidienne
de 6 666 par 6 :
66 6
6
6
1 1 1
0
60
60
0
6
1
Cependant, ce n’est pas la meilleure méthode.
On peut voir immédiatement qu’un entier qui
s’écrit uniquement avec des 6 est un multiple
de 6 :
6 666 = 6 x 1 111
De même, il faut voir immédiatement que :
555 = 5 x 111
33 333 = 3 x 11 111
999 999 = 9 x 111 111
...
2)
Un nombre ne peut pas être divisible par un
nombre plus grand que lui. 56 ne peut donc
pas être divisible par 112. Par contre 112 est
divisible par 56 car 112 = 56 x 2.
3)
Remarque générale :
Dans ce type d’exercice (lorsqu’il faut essayer
de trouver si un nombre est un diviseur d’un
autre ou si un nombre « est divisible par un
autre » ou encore si un nombre est un multiple
d’un autre) :
• on cherche d’abord à utiliser les tables de
multiplications.
• ensuite, si l’on n’a pas pu répondre à l’aide
des tables, on pose une division euclidienne
(on est alors sûr de trouver la réponse).
Il faut apprendre à voir sans faire de division,
que :
707 = 7 x 101
De même, il faut voir sans faire de division
que :
6 060 = 6 x 1 010
77 077 = 7 x 11 011

cc Séquence 6
Corrigé 21
1)
a)
12 x 0 = 0
12 x 1 = 12
12 x 2 = 24
12 x 3 = 36
12 x 4 = 48
12 x 5 = 60
12 x 6 = 72
12 x 7 = 84
12 x 8 = 96
12 x 9 = 108
12 x 10 = 120
Les onze premiers multiples de 12 sont donc : 0 ; 12 ; 24 ; 36 ;
48 ; 60 ; 72 ; 84 ; 96 ; 108 ; 120.
b)
Il suffit d’ajouter 12 :
0 + 12 = 12 ; 12 + 12 = 24 ; 24 + 12 = 36 ; 36 + 12 = 48 ; ...
2- On compte de 17 en 17 en partant de 0 :
0, 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153, 170, 187.
Les multiples de 17 compris entre 101 et 174 sont 102, 119,
136, 153 et 170.
1) a)
Les multiples de 12 sont les nombres de la
forme :
12 x 0 ; 12 x 1 ; 12 x 2 ; 12 x 3 ; ...
Il ne faut jamais oublier 0 : c’est bien un
multiple de 12 car : 12 x 0 = 0.
b)
c) On utilise la remarque faite précédemment :
pour passer d’un multiple de 17 au suivant, il suffit
d’ajouter 17.
On commence par 0, car 0 est un multiple
de 17.
On ajoute 17, puis encore 17, ... pour obtenir
les multiples successifs de 17. On peut
s’arrêter à 187 car on recherche les multiples
compris entre 101 et 174.
Il ne reste plus qu’à repérer les multiples
compris entre 101 et 174 parmi ceux écrits.
Exercice 22
1) 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84.
2) 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135.
3) C’est le plus petit des nombres présents dans les deux listes
(sans prendre en compte 0) : c’est donc 30.
30 est le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0.
1)
2)
3- On dit qu’un entier est multiple commun à
6 et 15 lorsque c’est à la fois un multiple de 6
et un multiple de 15.

ccSéquence 6
Séance 5
Exercice 23
1)
970 se termine par un 0.
970 est donc divisible par 2.
Il ne lui restera pas de chocolat.
2)
970 se termine par un 0.
970 est donc divisible par 5.
Il ne lui restera pas de chocolat.
On pouvait répondre aux deux questions en
effectuant des divisions euclidiennes. Il est plus
rapide toutefois d'utiliser les règles vues au
CM2 permettant de reconnaître les multiples
de 2 et les multiples de 5.
Exercice 24
26 ; 144 ; 120 ; 1 002 ; 18 280 et 55 558 sont divisibles par 2.
35 ; 120 ; 2 025 et 18 280 sont divisibles par 5.
On applique les règles vues précédemment :
• un nombre est divisible par 2 s’il se termine
par 0, 2, 4, 6 ou 8.
• un nombre est divisible par 5 s’il se termine
par un 0 ou par un 5.
Exercice 25
Voici les 6 entiers de trois chiffres que l’on peut former avec les
chiffres 4, 9 et 8 :
498 ; 489 ; 894 ; 849 ; 948 ; 984
Parmi ces nombres, seuls 498 ; 894 ; 948 et 984 sont divisibles
par 2.
On cherche dans un permier temps tous les
nombres de trois chiffres que l’on peut former
avec 4, 9 et 8. On cherche ensuite parmi ces
nombres ceux qui se terminent par un 0, un 2,
un 4, un 6 ou un 8.
Exercice 26
Les entiers de 3 chiffres sont dans l’ordre décroissant :
999, 998, 997, 996, 995, ...
Un entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.
Le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5 est donc 995.
On commence dans un premier temps par
repérer les entiers de trois chiffres les plus
grands.
Ensuite, on cherche parmi ces entiers ceux qui
sont divisibles par 5, c’est-à-dire ceux qui se
terminent par un 0 ou un 5.
Exercice 27
Le nombre ®31® est divisible par 2 et par 5, il se termine donc
par 0.
Ce nombre s’écrit donc ®310, et le symbole ® peut être
remplacé par n’importe quel chiffre 1, 2, ..., 9.
Il y a donc 9 valeurs possibles :
1 310 ; 2 310 ; 3 310 ; 4 310 ; 5 310 ; 6 310 ; 7 310 ; 8 310 ;
9 310.
On commence par rappeler que pair signifie
« divisible par 2 ».
Lorsqu’on cherche des entiers à la fois divisibles
par 2 et par 5, on commence :
- par chercher ceux qui sont divisibles par 5.
- on cherche ensuite parmi les nombres trouvés
ceux qui sont de plus divisibles par 2.
®31® est divisible par 5, donc ®31® ne
peut se terminer que par un 0 ou un 5.
Comme ®31® est pair, il ne peut se terminer
par un 5. Il se termine donc par un 0.
(On pouvait également faire la recherche dans
l’ordre inverse).

cc Séquence 6
Exercice 28
1) Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, 1 300
bonbons en quatre parts égales ?
0
2
50
1 4
0
0
2
0
02
5 000
6 40
1
0
01
2 502
31 40
0
3
Ces trois divisions ont pour reste 0. On peut donc partager
en quatre parts égales 100 bonbons, 600 bonbons et 1 300
bonbons.
2)
a)
Amaury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre
parts égales. Combien met-il de bonbons dans chaque part ?
150
Amaury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre
parts égales. Combien met-il de bonbons de plus dans chaque
part ? 9
Amaury peut-il partager en quatre parts égales les 636
bonbons ?
Oui, il fera quatre parts de 159 bonbons.
b)
1 348 = 1 300 + 48
1 300 = 4 x 325 ; 48 = 4 x 12
1 348 bonbons se partagent donc en 4 parts égales de
325 + 12 soit 337 bonbons.
618 = 600 + 18
600 = 4 x 150 18 n’est pas divisible par 4.
On n’arrive pas à partager 618 bonbons en quatre parts
égales.
c)
Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux
derniers chiffres est divisible par 4.
1)
Il n’est pas nécessaire de faire une division
pour voir qu’on peut partager 600 bonbons et
1 300 bonbons en 4 parts égales : on peut le
déduire de l’égalité : 100 = 4 x 25
En effet :
• 600 = 100 x 6
donc : 600 = (4 x 25) x 6 = 4 x (25 x 6)
• 1 300 = 100 x 13
donc : 1 300 = (4 x 25) x 13 = 4 x (25 x 13)
Cette méthode met en évidence que tout
multiple de 100 est un multiple de 4.
2) a)
On a vu dans le 1- que 600 = 4 x 150.
On sait que 36 = 4 x 9.
150 + 9 = 159.
Chaque part est donc constituée de 159
bonbons.
b)
L’idée d’Amaury est de décomposer 1 348 en
1300 (on sait que c’est un multiple de 4) plus
48 (on sait également que c’est un multiple
de 4).
On place alors 325 bonbons dans chaque part
puis on ajoute dans chaque part 12 bonbons.
Il y a donc 337 bonbons dans chaque part :
1 348 est donc divisible par 4.
On essaie de faire pareil avec 618 ; 600 est
bien un multiple de 4, mais 18 ne l’est pas.
Il n’est donc pas possible de partager 618
bonbons en 4 parts égales.
c)
On va dorénavant admettre cette règle : « un
entier est divisible par 4 si le nombre formé
par ses deux chiffres est divisible par 4 ».

ccSéquence 6
Exercice 29
1)
34 n’est pas divisible par 4 donc 9 534 n’est pas divisible par 4.
28 est divisible par 4 donc 1 028 est divisible par 4.
56 est divisible par 4 donc 756 est divisible par 4.
11 n’est pas divisible par 4 donc 756 123 411 n’est pas divisible
par 4.
2)
Tous les entiers de la liste qui sont divisibles par 4 sont pairs.
1) On applique le critère de divisibilité par 4.
2) De façon générale, tout entier divisible par
4 est pair.
En effet, s’il est divisible par 4, il s’écrit 4 x ®,
où ® est un entier.
Comme 4 = 2 x 2, ce nombre s’écrit 2 x 2 x ®.
Ce nombre est bien de la forme 2 multiplié
par un entier, il est donc pair.
Exercice 30
L’affirmation est fausse !
Donnons un contre-exemple :
6 est divisible par 2 mais n’est pas divisible par 4.
L’affirmation est fausse. Par contre,
l’affirmation suivante est vraie :
« Si un entier est divisible par 4, alors il est
divisible par 2 ».
Exercice 31
On ne peut pas. 46 n’est pas divisible par 4.
Par conséquent, 3 946 ne l’est pas non plus.
Il suffit d’appliquer le critère de divisibilité
par 4 !
Exercice 32
a)
On cherche le chiffre manquant tel que 79®6 soit divisible par
4, c’est-à-dire tel que ®6 soit divisible par 4.
Les seuls nombres de la forme ®6 divisibles par 4 sont : 16 ;
36 ; 56 ; 76 ; 96.
Ainsi, ® représente 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.
b)
4®®3 n’est jamais divisible par 4 car il n’est pas divisible par 2.
On ne peut pas trouver de chiffre répondant à la question.
a) On applique le critère de divisibilité par 4
au nombre 79®6.
b)
On a vu dans l’exercice 29 que tout nombre
divisible par 4 est nécessairement divisible par
2. Il se termine donc nécessairement par 0, 2,
4, 6 ou 8. Comme le nombre 4®®3 ne se
termine par aucun de ces chiffres, ce nombre
ne peut pas être divisible par 4.
Exercice 33
17®® est divisible par 4 et par 5 uniquement si le nombre ®®
est divisible par 4 et s’il se termine par un 0 ou un 5.
S’il s’écrit ®5, il ne peut pas être divisible par 4.
S’il s’écrit ®0, il n’est divisible par 4 que s’il est égal à : 00 ; 20 ;
40 ; 60 ; 80.
Le nombres de la forme 17®® répondant à la question sont :
1 700 ; 1 720 ; 1 740 ; 1 760 ; 1 780.
On cherche un nombre à la fois divisible par
4 et par 5.
On peut commencer à chercher un nombre de
la forme 17®® divisible par 5.
On cherche ensuite parmi les nombres trouvés
ceux qui de plus sont divisibles par 4.

cc Séquence 6
Séance 6
Exercice 34
1)
0
0
2
8 31
1
0
2 6 72
0
0
2
8 31
1
0
2 6 72
8
8
0
7 33
3
0
2 6 11
8
8
2
6 33
3
2
2 2 70
8
7
2
74 32
8
1 2
0
1 5 9 41
9
8
2
86 34
9
2 4
0
2 2 9 80
801 ; 783 ; 4 782 et 6 864 sont divisibles par 3.
532 et 683 ne sont pas divisibles par 3.
2)
Somme des
« chiffres » du nombre
La somme des
divisible par 3 ?
801 oui 8 + 0 + 1 = 9 oui
532 non 5 + 3 + 2 = 10 non
783 oui 7 + 8 + 3 = 18 oui
683 non 6 + 8 + 3 = 17 non
4 782 oui 4 + 7 + 8 + 2 = 21 oui
6 894 oui 6 + 8 + 9 + 4 = 27 oui
3) Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exercice 35
1 + 4 + 4 + 2 + 4 = 15
1 + 2 + 2 + 7 + 0 = 12
6 + 7 + 2 + 7 + 5 = 27
5 + 4 + 1 = 10
10 n’est pas divisible par 3 donc 541 n’est pas divisible par 3.
6 + 3 + 1 + 8 + 0 = 18
On applique le critère de divisibilité par 3 :
on calcule la somme des chiffres de chacun
des nombres et on regarde si chacune de ces
sommes est divisible par 3.

ccSéquence 6
Exercice 36
a) Les entiers de la forme 1®1 sont divisibles par 3 quand le
nombre 1 + ® + 1 soit ® + 2 est divisible par 3.
Si ® = 0 alors ® + 2 = 2
Si ® = 1 alors ® + 2 = 3. Or 3 est divisible par 3
Si ® = 2 alors ® + 2 = 4
Si ® = 3 alors ® + 2 = 5
Si ® = 5 alors ® + 2 = 7
Si ® = 6 alors ® + 2 = 8
Si ® = 8 alors ® + 2 = 10
Si ® = 9 alors ® + 2 = 11
Les entiers cherchés sont donc 111 ; 141 et 171.
b) Les entiers de la forme 1 23® divisibles par 2 se terminent
par 0, 2, 4, 6 ou 8. Ce sont donc :
1 230 ; 1 232 ; 1 234 ; 1 236 ; 1 238.
Parmi ces nombres, cherchons ceux qui sont de plus divisibles
par 3 :
1 + 2 + 3 = 6.
1 + 2 + 3 + 2 = 8.
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
1 + 2 + 3 + 6 = 12.
1 + 2 + 3 + 8 = 14.
Conclusion :
les seuls entiers de la forme 1 23® à la fois divisibles par 2 et
par 3 sont 1 230 et 1 236.
On applique le critère de divisibilité par 3.
On applique le critère de divisibilité par 2.
On applique ensuite le critère de divisibilité
par 3 aux nombres trouvés afin de déterminer
les entiers à la fois divisibles par 2 et par 3.

cc Séquence 6
Exercice 37
• Les entiers de la forme ®1® sont divisibles par 4 quand le
nombre 1® est divisible par 4.
Les seuls nombres de la forme 1® divisibles par 4 sont 12 et 16.
Les entiers de la forme ®1® divisibles par 4 s’écrivent ®12 ou
®16.
• Cherchons parmi les nombres de la forme ®12 ceux qui sont
divisibles par 3 :
®12 est divisible par 3 si ® + 1 + 2 est divisible par 3, c’est-à-
dire si ® + 3 est divisible par 3.
Si ® = 1 alors ® + 3 = 4
Si ® = 2 alors ® + 3 = 5
Si ® = 3 alors ® + 3 = 6. 6 est divisible par 3
Si ® = 4 alors ® + 3 = 7
Si ® = 5 alors ® + 3 = 8
Si ® = 7 alors ® + 3 = 10
Si ® = 8 alors ® + 3 = 11
Les entiers de la forme ®12 divisibles par 3 sont :
312 ; 612 et 912.
• Cherchons parmi les nombres de la forme ®16 ceux qui sont
de plus divisibles par 3 :
®16 est divisible par 3 si ® + 1 + 6 est divisible par 3, c’est-à-
dire si ® + 7 est divisible par 3.
Si ® = 1 alors ® + 7 = 8
Si ® = 3 alors ® + 7 = 10
Si ® = 4 alors ® + 7 = 11
Si ® = 6 alors ® + 7 = 13
Si ® = 7 alors ® + 7 = 14
Si ® = 9 alors ® + 7 = 16
Les entiers de la forme ®16 divisibles par 3 sont :
216 ; 516 et 816.
• Conclusion :
Les entiers de la forme ®1® divisibles par 3 et 4 sont 312 ;
612 ; 912 ; 216 ; 516 et 816.
Première étape : on cherche les entiers de la
forme ®1® divisibles par 4. On utilise le
critère de divisibilité par 4.
On trouve deux formes possibles pour le
nombre : ®12 ou ®16.
Deuxième étape : on cherche parmi les entiers
de la forme ®12 ceux qui sont divisibles par
3. On utilise le critère de divisibilité par 3.
Troisième étape : on cherche parmi les entiers
de la forme ®16 ceux qui sont divisibles par
3. On utilise le critère de divisibilité par 3.
Conclusion : on rassemble les résultats trouvés
dans les étapes 2 et 3.

ccSéquence 6
Exercice 38
1)
0
5
5 94
4
0 5 6
3
1
7 92
2
3 8 1
4
2
7 97
7
0 8 3
9
5
5 93
3
8 6 5
8
84
85 91
3
4
1 6 5 3
9
91
64 98
1
0
8 5 2 2
504 ; 747 et 4 698 sont divisibles par 9.
732 ; 593 ; 5 881 ne sont pas divisibles par 9.
2)
Somme des
« chiffres »
du nombre
La somme des
divisible par 9 ?
504 oui 5 + 0 + 4 = 9 oui
732 non 7 + 3 + 2 = 12 non
747 oui 7 + 4 + 7 = 18 oui
593 non 5 + 9 + 3 = 17 non
5 881 non 5 + 8 + 8 + 1 = 22 non
4 698 oui 4 + 6 + 9 + 8 = 27 oui
3) Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

cc Séquence 6
Exercice 39
1)
a)
4 + 1 + 5 + 8 = 18.
1 + 3 + 0 + 3 + 6 = 13.
13 n’est pas divisible par 9 donc 13 036 n’est pas divisible par
9.
2 + 5 + 0 + 1 + 1 = 9
4 + 1 + 0 + 9 = 14.
4 + 9 + 6 + 2 + 7 + 2 = 30.
30 n’est pas divisible par 9 donc 496 272 n’est pas divisible
par 9.
5 + 7 + 9 + 3 + 3 = 27
b)
La somme des chiffres de 4 158 est 18.
13 n’est pas divisible par 3 donc 13 036 n’est pas divisible par
3.
2) Les entiers de la liste qui sont divisibles par 9 sont
divisibles par 3.
on calcule la somme des chiffres de tous les
nombres et on regarde si chacune de ces
on calcule la somme des chiffres de tous les
nombres et on regarde si chacune de ces
3- De façon générale, tout entier divisible par
9 est divisible par 3.
En effet, s’il est divisible par 9, il s’écrit 9 x ®
(où ® est un entier).
Comme 9 = 3 x 3, ce nombre s’écrit 3 x 3 x ®.
Il est donc de la forme « 3 multiplié par un
entier ».
C’est donc un multiple de 3.

ccSéquence 6
Exercice 40
Cette affirmation est fausse !
Voici un contre-exemple : 6.
6 est divisible par 3 (car 6 = 3 x 2) mais 6 n’est pas divisible par
9.
L’affirmation proposée est fausse. Par contre,
l’affirmation suivante est vraie « Si un nombre
est divisible par 9, alors il est divisible par 3 ».
Exercice 41
Voici les nombres entiers de trois chiffres rangés par ordre
croissant :
100 ; 101 ; 102 ; 103 ; 104 ; 105 ; 106 ; 107 ; 108 ; ...
On cherche parmi ces nombres le plus petit divisible par 9, c’est-
à-dire le plus petit dont la somme des chiffres est divisible par 9 :
c’est 108.
On commence par dresser le début de la
liste des plus petit nombres s’écrivant avec
trois chiffres. On cherche ensuite parmi ces
nombres le plus petit nombre divisible par
9, c’est-à-dire dont la somme des chiffres est
divisible par 9.
Exercice 42
On cherche un nombre de la forme ®®® divisible par 5. Il est
donc de la forme ®®5 ou ®®0.
Comme le chiffre des dizaines est le triple de celui des unités, le
chiffre des unités ne peut pas être 5
(le chiffre des dizaines ne peut pas être 15 puisque 15 n’est pas
un chiffre).
Le nombre cherché est donc de la forme ®®0.
Le chiffre des dizaines est donc 3x0 soit 0.
Le nombre cherché est donc de la forme ®00.
Enfin, ce nombre est divisible par 9. La somme de ses chiffres
est ®. Comme elle est divisible par 9, le chiffre ® est donc 9.
Le code du coffre fort est 900.
Pour résoudre ce type de problème, n’oublie
pas de rédiger ta réponse, c’est-à-dire d’écrire
des phrases claires (et de préférence courtes)
pour expliquer ce que tu fais.

cc Séquence 6
Séance 7
Exercice 43
Combien y a-t-il de secondes dans 1 heure ?
® 1 000 ® 1 600 ® 2 600 ˝ 3 600
1 heure est constituée de 60 minutes constituées chacune de 60 secondes.
60 x 60 = 3 600
Il y a donc 3 600 secondes dans une heure.
Exercice 44
Un jour est constitué de 24 heures.
Par conséquent : 3 jours = 3 x 24 heures = 72 heures
Ainsi : 3 jours 8 heures = 80 heures
L’équipe de sauveteurs a mis 80 heures pour retrouver les deux
alpinistes.
Exercice 45
4 h 17 min = 257 min
24 min 15 s = 1 455 s
6 h 13 min 9 s = 22 389 s
3 j 5 h = 77 h
On applique le « JE RETIENS » vu
précédemment de la façon suivante :
• 4 h 17 min = (4 x 60 min) + 17 min = 257 min
•24 min 15 s = (24 x 60 s) + 15 s = 1 455 s
•6 h 13 min 9 s = (6 x 60 min) + 13 min + 9 s
6 h 13 min 9 s = 373 min + 9 s
6 h 13 min 9 s = (373 x 60 s) + 9 s = 22 389 s
•3 j 5 h = (3 x 24 h) + 5 h = 77 h
Exercice 46
1 h 51 min = 60 min + 51 min = 111 min.
1
2
1 31
1
0
3 7
Chaque invité disposera de 37 minutes durant l’émission.
On souhaite diviser le temps total par 3,
puisque les trois invités doivent avoir le même
temps de parole.
Pour diviser la durée 1 h 51 min, on est obligé
de la convertir en minutes.
On utilise alors l’égalité 1 h = 60 min comme
dans l’exercice précédent.
On trouve 111 min. On effectue ensuite la
division euclidienne de 111 par 3. On trouve
37 comme quotient euclidien et 0 comme reste.

ccSéquence 6
Exercice 47
a)
182 s = (3 x 60 s) + 2 s = 3 min 2 s
397 s = (6 x 60 s) + 37 s = 6 min 37 s
b)
998 min = (16 x 60 min) + 38 min
998 min = 16 h 38 min
9
9
3
9
3
6 08
8
8
1 6
695 min = (11 x 60 min) + 35 min
695 min = 11 h 35 min
9
9
3
6 6 05
5
5
1 1
a)
Lorsque les calculs sont simples, on peut les
faire en ligne.
Il faut juste bien avoir en tête les premiers
multiples de 60 : 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ;
360 ; 420 ; 480…
Il est facile de convertir 182 s en minutes et
secondes : on pense au plus grand mutiple de
60 qui ne dépasse pas 182. C’est 180.
Comme 180 secondes représentent 3 minutes,
182 secondes représentent 3 min 2 s.
Tu peux, si tu as des
difficultés avec cette
méthode, effectuer la
division euclidienne de 182
81 6 02
2
3
On fait de même pour 397.
b)
Dans les deux cas, comme les nombres 998 et
695 sont grands, il était plus facile d’effectuer
une division euclidienne par 60.
Exercice 48
On effectue la somme de 6 min 52 s, 5 min 49 s et 7 min 57 s.
6 52min
+
s
5 49min s
+ 7 57min s
18 158min s
Convertissons 158 s en minutes et en secondes :
5
3
1 6 08
8 2
158 s = (2 x 60 s) + 38 s
158 s = 2 min 38 s
6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 18 min + 2 min 38 s
6 min 52 s + 5 min 49 s + 7 min 57 s = 20 min 38 s
On ne pourra pas enregistrer les trois chansons sur le CD.
Pour connaître la durée totale des trois
morceaux à enregistrer, on effectue la somme
des trois durées 6 min 52 s, 5 min 49 s et
7 min 57 s.
On a vu dans la séance 8 de la séquence 2
comment ajouter des durées. N’hésite pas à t’y
reporter !
Comme la durée totale des trois morceaux à
enregistrer dépasse 20 minutes, on ne peut
pas enregistrer les trois chansons sur le CD.

cc Séquence 6
Exercice 49
Clémence mettrait 15 x 13 minutes
pour parcourir 15 km.
Clémence mettrait donc 195 minutes
pour parcourir 15 km.
51
5
9
1
1
3
4 5
5
x 1
Convertissons 195 minutes en heures et en minutes :
195 min = (3 x 60 min) + 15 min
195 min = 3 h 15 min
9
1
1 6 05
5 3
Clémence mettrait 3 h 15 min pour parcourir 15 km.
On effectue une multiplication pour déterminer
le temps que mettrait Clémence pour parcourir
15 km. On trouve 195 minutes.
Il ne reste plus qu’à convertir ce temps en
heures et en minutes. Pour cela, on utilise une
division euclidienne.
Remarque : comme cette conversion était
facile, tu pouvais faire ce calcul de tête et ne
pas poser la division. Dans ce cas, tu devais
quand même écrire les calculs suivants :
195 min = (3 x 60 min) + 15 min = 3 h 15 min.
Exercice 50
Un jour est constitué de 24 heures. Cherchons combien il y a
de fois 24 heures dans 678 heures :
7
9
6 2 48
8
6
2 81
0
678 h = (28 x 24 h) + 6 h
678 h = 28 j 6 h
On procède comme précédemment.
Exercice 51
a) • Cherchons combien il y a de minutes dans 9 892 s.
8
8
9 6 09
9
9 1 63
2 4
2
2
5 2
9 892 s = (164 x 60 s) + 52 s donc 9 892 s = 164 min 52 s
164 min = (2 x 60 min) + 44 min donc : 164 min = 2 h 44 min
• Conclusion : 9 892 s = 2 h 44 min 52 s
b) • Cherchons combien il y a de minutes dans 8 762 s :
7
7
8 6 06
6
6
1 42
3 6
2
2
0 2
8 762 s = (146 x 60 s) + 2 s donc 8 762 s = 146 min 2 s
146 min = (2 x 60 min) + 26 min donc : 146 min = 2 h 26 min
• Conclusion : 8 762 s = 2 h 26 min 2 s
On procède comme précédemment.

ccSéquence 6
Séance 8
Exercice 52
Dès que Mélanie a enfilé 7 perles, 14 perles, 21 perles… elle
enfile de nouveau une perle verte.
Autrement dit, chaque fois que le nombre de perles enfilées est
un multiple de 7, Mélanie enfile une perle verte.
Afin de connaître combien de groupements comprenant une
perle verte, deux perles jaunes, une perle rouge et 3 perles
jaunes ont été enfilées, j’effectue la division euclidienne de 109
par 7.
0
9
4
1
3
79
1 5
109 = (15 x 7) + 4
Une fois enfilées, les 15 x 7 premières perles, Mélanie enfile
quatre perles : une verte puis deux jaunes puis une rouge.
Ainsi, la perle numéro (15 x 7) + 4 (c’est-à-dire la 109e) est
rouge.
La 109e perle est donc rouge.
Pense à bien rédiger les réponses de ce type de
problème. Il faut écrire ce que tu fais à l’aide
de phrases courtes et claires.
Pense également à poser et à effectuer les
opérations losque tu effectues des calculs qui
sont difficiles à effectuer en ligne.
Ici, il fallait voir que tous les multiples de 7
perles, Mélanie enfile une nouvelle perle et
donc « le cycle se reproduit ». On pense alors
à affectuer une division euclidienne du nombre
de perles par 7.
Exercice 53
Je calcule à partir de combien de passages de bus je vais
pouvoir monter.
Pour cela, j’effectue la division euclidienne de 112 par 37.
1
1
1 3 72
3
Le trois premiers bus prendront les 111 premières personnes
devant moi, je prendrais donc le 4e bus.
Le 4e bus passera donc dans 4 x 23 min soit 92 minutes.
92 min = (1 x 60 min) + 32 min
92 min = 1 h 32 min
Je vais attendre 1 h 32 min avant de partir.
Comme un bus contient au maximum 37
personnes et qu’il y a 112 personnes à passer,
on cherche le nombre de bus avant de pouvoir
monter en effectuant la division euclidienne de
112 par 37.
On fait attention : Les trois premiers bus
pourront contenir 3 x 37 soit 111 personnes. Il
faudra donc prendre le bus suivant, c’est-à-dire
le 4e.
Ensuite, comme le bus passe toutes les 23
minutes, il suffit de multiplier 4 par 23.
On trouve 92 min que l’on convertit
directement en 1 h 32 min. Le calcul est
simple : il n’y a pas lieu de poser une division
euclidienne.

— © Cned, mathématiques 6e
cc Séquence 7
SÉQUENCE 7
Séance 1
1)
® orange
® vert
® jaune
˛ bleu
2)
® 1
® 2
˛ 3
® 4
3)
˛ vert
® bleu
® orange
® rose
4)
˛ vrai
® faux
1) Un carré possède quatre angles droits et
quatre côtés de même longueur. Il n’y a donc
qu’un carré dans cette figure : il est bleu.
2) Voici les trois carrés que l’on peut compter
dans cette figure :
3) Un rectangle possède quatre angles droits :
c’est donc la forme verte.
4) Il y a cette fois deux rectangles : un vert et
un rose. En fait, le rectangle rose est également
un carré car en plus d’avoir quatre angles
droits, ses quatre côtés ont la même longueur.
Exercice 1
Les figures 2, 4, 6 et 8.
En effet, on peut déjà éliminer la figure 5
qui n’a pas de côtés. On élimine également
la figure 3 qui ne possède que trois côtés, la
figure 1 qui en possède cinq. Enfin, la figure 7
n’a que 3 angles, donc elle ne convient pas. Les
quatre autres figures ont quatre côtés, quatre
sommets et quatre angles.
Regardons par exemple la figure 2 :
Cette figure possède bien quatre côtés, quatre
sommets et quatre angles. On appelle une telle
figure un quadrilatère. Tu dois connaître ce
mot.

© Cned, mathématiques 6e — 3
ccSéquence 7
Exercice 2
1) Les sommets du quadrilatère sont les points K, A, M et R.
2) Ses côtés sont les segments [KA], [AM], [MR] et [RK].
3) Ses angles sont KAM , AMR , HGE et RKA .
2) On fait attention à bien écrire les côtés avec
des crochets : ce sont des segments.
3) On pouvait également écrire chaque angle
d’une autre façon (par exemple l’angle KAM∑
se note également MAK∑).
Exercice 3
1) Le côté opposé à [KG] est [RE]. Le côté opposé à [TO] est
[VU].
) L’angle opposé à KRE est KGE . L’angle opposé à OUV
est OTV .
On regarde le quadrilatère de gauche. Il a par
définition quatre côtés : [KG], son côté opposé
[RE] (ils n’ont aucun sommet en commun),
puis [KR] et [GE].
On dit que [KR] et [KG] sont des côtés
consécutifs car ils ont en commun une
extrémité : K. De même, les côtés [GE]
et [KG] sont consécutifs : leur extrémité
commune est G.
Exercice 4
1)
K à V à R à P à K
Si elle avait fait le tour toujours en partant de K mais dans
l’autre sens, son chemin aurait été : K à P à R à V à K
)
V à R à P à K à V V à K à P à R à V
R à P à K à V à R R à V à K à P à R
P à K à V à R à P P à R à V à K à P
3)
K à R à V à P NON
K à P à V à R NON
4) Pour conclure, combien y a-t-il au total de façons différentes
permettant de faire le tour de ce jardin ? huit façons.
2) On a pour l’instant énuméré huit façons
de faire le tour du jardin sans « traverser le
gazon ».
3)
On voit bien sur la figure ci-dessous que le
chemin :
K à R à V à P à K
ne permet pas de faire le tour du jardin.
Les huit façons possibles de noter le tour
du jardin correspondent aux huit façons de
noter un quadrilatère. Toutefois, on n’écrit
ni les flèches, ni le sommet d’arrivée. Ainsi,
le quadrilatère qui représente le jardin peut
se nommer :
KVRP, KPRV, VRPK, VKPR, RPKV,
RVKP, PKVR, PRVK.

— © Cned, mathématiques 6e
cc Séquence 7
Exercice 5
KRMA, KAMR, AKRM, AMRK, MAKR, MRKA, RMAK, RKAM.
On pense à la petite coccinelle vue dans
l’exercice précédent.
Exercice 6
• Les sommets R et A sont opposés ainsi que K et M • Les sommets T et Q ne sont pas consécutifs : ils
sont opposés, de même que S et L.

© Cned, mathématiques 6e —
ccSéquence 7
Séance
Exercice 7
• On observe le quadrilatère ABCD : les côtés [AB] et [AD] ont la même longueur (2,1 cm), ainsi que les côtés [CB] et [CD]
(qui mesurent tous les deux 4,4 cm).
• On commence par construire le triangle A’B’D’ : on utilise la méthode apprise à l’exercice 32 séquence 3 séance 6, 2ème
question (la revoir éventuellement).
90
90
• Ensuite, on trace un arc de cercle de centre B’ et de rayon 4,4 cm puis un arc de cercle de centre D’ et de même rayon 4,4 cm.
• Les deux arcs de cercle se coupent au point C’.
• On trace les deux derniers côtés [C’B’] et [C’D’] du quadrilatère.
Le quadrilatère que l’on vient de tracer s’appelle un cerf-volant.
Remarque : les deux cerfs-volants ABCD et A’B’C’D’ ont des côtés de même longueur,
mais ils ne sont pas superposables parce que leurs angles sont différents.

— © Cned, mathématiques 6e6
cc Séquence 7
Exercice 8
définition
définition
définition
quadrilatère
consécutifs
longueur
autres
On recopie les mots qui manquent en prenant
comme modèle la définition du paragraphe
« JE RETIENS » qui précède l’exercice 8.
On code ensuite la figure.

ccSéquence 7
Exercice 9
1), 2), 3) et 5)
I
2) Complète :
Comme KL = KN, le point K est sur la médiatrice du segment
[LN].
Comme ML = MN, le point M est sur la médiatrice du segment
[LN].
La droite (KM) est donc la médiatrice du segment [NL].
3) Soit I le point d’intersection des diagonales (KM) et (LN)
du cerf-volant. Comme la droite (KM) est la médiatrice du
segment [LN], la diagonale (KM) coupe la diagonale [LN] en
son milieu, et les diagonales sont perpendiculaires.
4) Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :
• K a pour symétrique K
• M a pour symétrique M
• L a pour symétrique N
• N a pour symétrique L
La droite (KM) est donc un axe de symétrie du cerf-volant
KLMN.
5) Par la symétrie axiale par rapport à la droite (KM) :
L’angle KLM a pour symétrique KNM .
Les angles KLM et KNM sont donc égaux.
1)
• On peut placer comme on veut K en « haut »
et M en « bas », ou le contraire. Par contre, K
est le sommet commun à deux côtés consécutifs
de même longueur, il en est de même pour
le point M. On ne peut donc pas les placer à
« gauche » ni à « droite ».
• On place par exemple K « en haut » et M
« en bas ». Ensuite, on place « à gauche » L et
« à droite » N. (On peut faire aussi l’inverse).
2)
• On utilise ici la seconde partie de la
propriété caractéristique de la médiatrice :
second paragraphe « JE RETIENS » de la
séquence 5 séance 5.
• Le point K est équidistant de N et de L donc
il appartient à la médiatrice du segment [LN].
Il en est de même pour le point M.
• K et M sont deux points de la médiatrice
donc cette médiatrice est la droite (KM) elle-
même.
3) On utilise la définition de la médiatrice
d’un segment (revoir éventuellement le
premier paragraphe « JE RETIENS » de la
séquence 1 séance 7). I est le milieu de [LN]
et KIN∑ = 90°
4)
• On utilise le fait que la médiatrice d’un
segment est un axe de symétrie de ce segment
(revoir éventuellement le premier paragraphe
« JE RETIENS » de la séquence 5 séance 5)
• K est son propre symétrique parce qu’il est
sur l’axe lui-même. Il en est de même pour M.
• Non seulement (KM) est un axe de symétrie
pour le segment [NL] mais encore, (KM)
est un axe de symétrie pour le cerf-volant
« entier ». On admettra que le cerf-volant
a exactement un axe de symétrie, sans le
démontrer.
5)
• Les symétriques des côtés [LK) et [LM) de
l’angle KLM∑ sont respectivement les côtés
[NK) et [NM) de l’angle KNM∑.
• Revoir au besoin le premier paragraphe
« JE RETIENS » de la séquence 5 séance 4 sur
les mesures de deux angles symétriques l’un
de l’autre.

cc Séquence 7
Exercice 10
1)
propriété
propriété
propriétédiagonales
médiatrice
)
propriété
propriété
propriété
un
médiatrice
3)
propriété
propriété
propriété
propriétéopposés
On recopie simplement les mots qui manquent
dans les cases en prenant modèle sur le
paragraphe « JE RETIENS » précédent. On
code ensuite la figure.

ccSéquence 7
Exercice 11
• Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant donc d’après sa
définition, ABCD a deux côtés consécutifs de la même longueur
ainsi que les deux autres côtés.
• D’après le codage, BC = CD, donc on a : AB = AD.
• D’après le codage, on a également : AE = ED = AB, mais
on sait aussi que : AB = AD. Je peux donc affirmer que :
AE = ED = AD.
• Les trois côtés du triangle ADE ont la même longueur donc,
d’après la définition du triangle équilatéral, je peux affirmer
que le triangle ADE est équilatéral.
• On utilise la définition du cerf-volant
apprise au début de la séance 2 : Boîte à
Outils carte n°1.
• On lit les informations données par le
codage.
• On utilise : AB = AD pour remplacer AB
par AD dans l’égalité : AE = ED = AB ce qui
nous donne : AE = ED = AD.
Exercice 12
1)
) Comme le point E appartient à la médiatrice de [AB] ,
d’après la propriété caractéristique de la médiatrice, E est
équidistant de A et de B, c’est-à-dire : EA = EB.
3) F est un point de la médiatrice de [AB] donc il est aussi
équidistant de A et de B, c’est-à-dire : FA =FB.
4) G est aussi sur la médiatrice de [AB] donc on a aussi :
GA = GB.
) Comme le quadrilatère AFBE possède deux côtés consécutifs
[EA] et [EB] de la même longueur ainsi que les deux autres,
[FA] et [FB], je peux affirmer, d’après la définition du cerf-
volant, que AFBE est un cerf-volant.
6) De même, comme le quadrilatère AGBE possède deux côtés
consécutifs [EA] et [EB] de la même longueur ainsi que les deux
autres [GA] et [GB], je peux affirmer, d’après la définition du
cerf-volant, que AGBE est un cerf-volant.
1)
• On trace un segment [AB] de 4 cm.
• On trace sa médiatrice (d) au compas :
revoir au besoin le paragraphe « Je comprends
la méthode » de la séquence 5 séance 5.
• Une fois qu’on a placé le point E, on place le
point F sur la droite (d) mais « de l’autre côté
de la droite (d) par rapport au point K ».
2) , 3) et 4)
On utilise la propriété caractéristique de
la médiatrice que l’on a vue à la séquence
5 séance 5 au deuxième paragraphe « JE
RETIENS ».
5) et 6)
On utilise la définition du cerf-volant apprise
au début de cette séance.

cc Séquence 7
Exercice 13
reconnaître
diago‐
nale
cerf‐volant
reconnaître On recopie simplement les mots qui manquent
dans la carte en prenant modèle sur le
Exercice 14
1) D’après le codage, la droite (MK) est perpendiculaire
au segment [JL] en son milieu. D’après la définition de
la médiatrice, je peux affirmer que la droite (MK) est la
médiatrice du segment [JL].
) La diagonale (MK) du quadrilatère JKLM est la médiatrice
de l’autre diagonale [JL] donc, d’après la propriété : « si un
quadrilatère a une diagonale qui est la médiatrice de l’autre
diagonale alors ce quadrilatère est un cerf-volant », je peux
affirmer que JKLM est un cerf-volant.
1)
On utilise donc la définition de la médiatrice
vue à la séquence 1 séance 7 premier
paragraphe « JE RETIENS ».
2) On utilise la Boîte à Outils : carte n°21.

ccSéquence 7
Séance 3
Exercice 15
1) et )
• Comme M et N appartiennent à Ω , d’après la définition du cercle, on a AM = 4 cm et AN = 4 cm.
De même, comme M ∈ Ω’ et N ∈ Ω on a : BM = BN = 4 cm.
• Les deux côtés consécutifs [AM] et [AN] du quadrilatère AMBN ont la même longueur ainsi que les
deux autres côtés consécutifs [BM] et [BN]. D’après la définition du cerf-volant, je peux affirmer
que AMBN est un cerf-volant.
3) a) AM = AN = BN = BM = 4 cm
La particularité de ce cerf-volant est que ses quatre côtés ont la même longueur.
b) AMBN est un losange.
2) Pour prouver que AMBN est un cerf-volant, il suffit de prouver que : AM = AN et BM = BN. (ou que : • NA = NB
• et MA = MB)
La définition du cercle a été vue à la séquence 1 séance 9 premier paragraphe « Je retiens ».
3) En effet, un cerf-volant dont les quatre côtés ont la même longueur est appelé : « losange ».
Exercice 16
quadrilatère
longueur
définition
définition
définition
définition
définition
définition
définitionlongueur
définitionlongueur
définitionlongueurlongueur
définitionlongueurlongueur
définition
définition
définition
définition
définition
définition
définitionlongueur
définitionlongueur
définitionlongueur
définitionlongueur
définition
définition
définition
définition
définition
définition
définitionlongueurlongueurlongueurlongueur

cc Séquence 7
Exercice 17
1) Clément a raison. En effet, puisque tous les côtés d’un
losange ont la même longueur, on a bien deux côtés consécutifs
de même longueur ainsi que les deux autres côtés.
2) Non, Samia a tort. figure :
1) On a vu dans l’exercice 15 qu’un losange
est un cerf-volant qui a une particularité.
2) Un cerf-volant est un quadrilatère dont
deux côtés consécutifs ont la même longueur
ainsi que les deux autres côtés.
La longueur des quatre côtés n’ est donc pas
nécessairement la même.
Exercice 18
• On commence par représenter une figure codée à main levée.
• Comme RSTU est un losange, d’après la définition d’un losange (carte n°2 de la Boîte à Outils), on sait que :
RS = ST = TU = UR = 5 cm.
• On commence par tracer un segment [RT] de 6 cm.
• On trace un arc de cercle de centre R et de rayon 5 cm puis un arc de cercle de centre T et de même rayon : les deux arcs se
coupent au point S.
• On trace « de l’autre côté du segment [RT] » un nouvel arc de cercle de centre R et de rayon 5 cm puis un arc de cercle de
centre T et de même rayon : les deux arcs se coupent au point U.
• On termine la construction du losange en traçant ses côtés [RS], [ST], [RU] et [UT].

ccSéquence 7
Exercice 19
1) et 2)
3)
• Comme le triangle DEF est équilatéral, d’après la définition
d’un triangle équilatéral : DE = EF = FD = 4 cm.
• Comme le triangle FEG est aussi équilatéral on a :
FE = EG = GF = 4 cm.
• On en déduit : DE = EG = GF = FD = 4 cm.
• Les quatre côtés du quadrilatère DEGF ont la même longueur
donc, d’après la définition d’un losange, je peux affirmer que
DEGF est un losange.
1)
On revoit si nécessaire le paragraphe « Je
retiens » de la séquence 3 séance 7 sur la
définition du triangle équilatéral ainsi que la
méthode de construction vue à l’exercice 43 de
la séquence 3 séance 8.
2)
• Le triangle FEG est équilatéral et :
EF = 4 cm donc :
EG = FG = 4 cm.
• Pour construire le point G on procède
comme à la question précédente : on reporte
au compas la longueur 4 cm à partir de E puis
à partir de F. Le point G est l’intersection des
deux arcs de cercle. On termine la construction
du triangle FEG en traçant ses deux derniers
côtés [EG] et [FG].
3) Comme :
DE = EF = FD = 4 cm
et aussi :
FE = EG = GF = 4 cm,
on déduit les égalités de longueur des quatre
côtés du quadrilatère DEGF.

cc Séquence 7
Exercice 20
1)
2)
Dans la colonne de gauche on considère le cerf-volant d’axe (EF) : ici, on s’intéresse aux côtés d’extrémité commune E qui ont la
même longueur et aux côtés d’extrémité commune F qui ont aussi la même longueur.
Dans la colonne de droite, on considère le cerf-volant d’axe (GD) : là c’est l’égalité de longueur des côtés d’extrémité commune D
qui nous intéresse puis l’égalité de longueur des côtés d’extrémité commune G.
On utilise ensuite les propriétés des cartes n°s 5, 9 et 15 de la Boîte à Outils sur le cerf-volant : axe de symétrie,
propriété des angles opposés, propriété des diagonales.

ccSéquence 7
Exercice 21
1)
propriété
deux
diagonales
)
propriété
propriété
propriété
le
même milieu
propriété
propriété
propriétéperpendiculaires
3)
propriété
opposés
dans les cartes en prenant modèle sur le
paragraphe « JE RETIENS » précédent.
On fait attention aux numéros des cartes pour
les propriétés des diagonales : il ne faut pas se
tromper de phrase.

cc Séquence 7
Exercice 22
1) Romain affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère sont
perpendiculaires alors ce quadrilatère est un losange ».
Es-tu d’accord ? NON. En effet, la figure n° 3 permet de dire
que Romain a tort.
) Damien affirme : « Si les diagonales d’un quadrilatère ont le
même milieu alors ce quadrilatère est un losange ».
Es-tu d’accord ? NON. En effet, la figure n° permet de dire
que Damien a tort.
3) Maxime pense que Romain et Damien devraient s’associer
et réfléchir ensemble pour trouver dans quel cas on est sûr
d’obtenir un losange.
Es-tu d’accord avec Maxime ? OUI. En effet, d’après les figures
n° 1 et n° 4, on constate que : « dès que les diagonales sont
perpendiculaires et ont le même milieu, le quadrilatère est un
losange ». On admettra cette propriété (elle est vraie mais on ne le
démontrera pas ici).
1) Les diagonales du quadrilatère 3 sont
perpendiculaires, mais ses quatre côtés n’ont
pas la même longueur.
Il semble qu’il faille plus que des diagonales
perpendiculaires pour obtenir un losange…
2) Les diagonales du quadrilatère 2 ont le
même milieu, mais ses quatre côtés n’ont pas
la même longueur.
Il semble qu’il faille plus que des diagonales
qui se coupent en leur milieu pour obtenir un
losange…
3)
• La figure 5 aussi est un « piège» car les
diagonales sont bien perpendiculaires mais
leur point commun n’est le milieu que d’une
seule diagonale et pas des deux diagonales.
Exercice 23
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
perpendiculaires
milieu
losange
Cette propriété est importante : retiens-la
bien !

ccSéquence 7
Exercice 24
1)
)
Etiquette 6 - Etiquette 3 - Etiquette - Etiquette 1 - Etiquette
– Etiquette 7 - Etiquette 4
3)
– Etiquette 7 - Etiquette 4
x
2)
• On commence par tracer un segment [AB]
de 5 cm : ce sera une première diagonale du
losange.
• On utilise le rapporteur pour tracer ce qui
sera l’angle BAC∑ , qui mesure 48° : on a déjà
tracé le côté [AB) de cet angle et le second
côté sera noté [Ax).
• Ensuite on trace la droite (d),
perpendiculaire à (AB) et passant par le
milieu M de [AB]. Cette droite sera la
seconde diagonale.
• Cette droite coupe la demi-droite [Ax) en
C.
• Puisque M doit être le milieu de [CD], le
point D doit être le symétrique du point C par
rapport à la droite (AB) : on reporte donc la
longueur MC au compas à partir de M sur la
droite (CM) mais « de l’autre côté par rapport
à la droite (AB) ». On trace alors un arc de
cercle qui coupe (CM) au point D.
• On finit de tracer les côtés du losange.
• On est sûr que c’est un losange car les
diagonales ont été construites de telle sorte
qu’elles soient perpendiculaires et se coupent
en leur milieu.
Il y avait une autre bonne réponse :
Etiquette 6 - Etiquette 2 - Etiquette 1
- Etiquette 3 - Etiquette 5 - Etiquette 7
- Etiquette 4

cc Séquence 7
Séance 4
Exercice 25
• On commence par construire avec l’équerre et la règle graduée les deux côtés perpendiculaires [CN]
et [NB] tels que : NC = 5 cm et NB = 3 cm.
• On trace la demi-droite [Cx) perpendiculaire en C à la droite (CN) puis la demi-droite [By) C N
B
5
3
x
y
V
perpendiculaire en B à la droite (BN). Le point V est le point commun à ces deux demi-droites.
• À l’aide de l’équerre, on peut vérifier que l’angle CVB∑ semble droit. On verra par la suite à l’aide d’une démonstration que cet
angle est un angle droit.
Tu as déjà rencontré un tel quadrilatère : on l’appelle un rectangle.
Exercice 26
définition
définition
définition
définitionquadrilatère
droits On recopie simplement les mots qui manquent

ccSéquence 7
Exercice 27
1)
Les droites (DH) et (FG) sont toutes les
deux perpendiculaires à la droite (DF).
Les droites (DH) et (FG) sont donc
parallèles.
)
On vient de démontrer que les droites
(DH) et (FG) sont parallèles.
La droite (GH) est perpendiculaire à la
droite (DH), elle est donc perpendiculaire
à la droite (FG).
3) Le quadrilatère DFGH possède donc en fait 4 angles droits.
Par définition, c’est donc un rectangle.
4) On a démontré dans le 2) que ses côtés opposés [DH] et
[FG] sont parallèles. De même, les côtés opposés [DF] et [HG]
sont parallèles parce qu’ils sont tous les deux perpendiculaires
au côté [DH].
1) On utilise la propriété 1 du paragraphe
« JE RETIENS » de la séquence 1 séance 7.
2) On utilise la propriété 2 du paragraphe
« JE RETIENS » de la séquence 1 séance 8.
3) En conclusion, dès qu’un quadrilatère
possède trois angles droits, son quatrième
angle est droit également : ce quadrilatère est
donc un rectangle.
Exercice 28
reconnaître
trois
rectangle
Exercice 29
Les axes de symétrie du rectangle sont les droites (d) et (d’).
On plie soigneusement de façon à faire une
bonne observation.
Seuls les pliages suivant les droites (d) et
(d’) permettent d’obtenir que les sommets,
les côtés et les angles du rectangle KLMN se
superposent exactement. Ce sont les deux
seuls axes de symétrie du rectangle.

cc Séquence 7
Exercice 30
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétédeux
médiatrices
Exercice 31
1)
a) Quel est le symétrique du segment [AD] par rapport à la
droite (d) ? [BC].
Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments
[AD] et [BC] ? Elles sont égales.
b) Quel est le symétrique du segment [AB] par rapport à la
droite (d’) ? [DC].
[AB] et [DC] ? Elles sont égales.
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés
sont de même longueur.
)
I
a) Quel est le point d’intersection de ces diagonales ? le point I
b) Quel est le symétrique du segment [AC] par rapport à la
droite (d’) ? [DB]
[AC] et [BD] ? Elles sont égales.
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont
de même longueur.
3)
a)
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les
distances IA et ID : IA =ID
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les
distances ID et IC : ID =IC
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d’), compare les
distances IC et IB : IC = IB
En utilisant la symétrie par rapport à la droite (d), compare les
distances IB et IA : IB = IA
b) Compare IA et IC : IA = IC puis IB et ID : IB = ID
Le point I est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
c) Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont
le même milieu.
1) a) par la symétrie par rapport à la droite
(d) :
A a pour symétrique B
D a pour symétrique C.
[AD] a donc pour symétrique [BC].
On utilise la propriété de la symétrie suivante
« un segment et son symétrique ont la même
longueur ».
b) Par la symétrie par rapport à la droite (d’) :
A a pour symétrique D
B a pour symétrique C.
[AB] a donc pour symétrique [DC].
c) C’est une propriété importante que l’on
devra retenir.
2) b) par rapport à la droite (d’) :
Le symétrique de A est D.
Le symétrique de C est B
Donc :
Le symétrique de [AC] est [DB].
c) N’oublie pas que les segments [AC] et
[BD] sont les diagonales.
3) a)
• En effet, [IA] et [ID] sont symétriques
par rapport à la droite (d’) (le point I est son
propre symétrique).
• [ID] et [IC] sont symétriques par rapport à
la droite (d).
• [IC] et [IB] le sont par rapport à la droite
(d’).
• [IB] et [IA] le sont par rapport à (d).
b) • IA = ID et ID = IC donc IA = IC
IB = IC et IC = ID donc IB = ID
• Comme les points A, I et C sont alignés
ainsi que les points B, I et D, on déduit que I
est le milieu des diagonales.
c) Cette propriété est importante : on devra la
retenir.

ccSéquence 7
Exercice 32
1)
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétémilieu
longueur
propriété
propriété
propriété
longueur
propriété
longueur
propriété
longueur
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
)
propriété
propriété
propriétéla même
longueur
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétéparallèles
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété

cc Séquence 7
Exercice 33
O
• Les diagonales du rectangle ABCD se coupent en O.
• D’après la propriété : « si un quadrilatère est un rectangle
alors ses diagonales ont la même longueur et se coupent en
leur milieu », je peux affirmer que O est le milieu de [AC] et de
[BD], et que AC = BD.
• J’en déduis que : OA = OB = OC = OD
• Le cercle Ω de diamètre [AC] a pour centre le milieu O de
[AC] et son rayon est OA.
Comme OB = OD = OA, B et D appartiennent à Ω.
• Le centre d’un cercle est le milieu de son
diamètre.
• On utilise ici la carte 18 de la Boîte à
Outils.
• Comme O est le milieu de [AC] :
OA = OC = AC ÷ 2
De même, comme O est le milieu de [BD] :
OB = OD = BD ÷ 2
• On utilise la définition du cercle : séquence 1
séance 9 premier paragraphe « Je retiens ».
Les distances de B à O et de D à O sont égales
au rayon OA.
Exercice 34
1) 2)

3) Je n’y arrive pas.
3) On a beau essayer tous les cas de figures, on a toujours l’impression d’avoir un rectangle ...
Par la suite, on va admettre et retenir que ce résultat est toujours vrai, à savoir :
« Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et qui ont la même longueur, alors ce quadrilatère est un
rectangle ».

ccSéquence 7
Exercice 35
reconnaître
reconnaître
reconnaître
milieu
longueur
rectangle On recopie simplement les mots qui manquent
Exercice 36
1)
)
• Je trace un segment [RT] de 6 cm.
• Je place le milieu V du segment [RT].
• Je construis l’angle TVx de mesure 53°.
• Je trace un arc de cercle de centre V et de rayon RV
(égal à 3 cm).
Il coupe la demi-droite [Vx) en U.
• Je prolonge le tracé de la droite (UV).
Je trace un autre arc de cercle de centre V et de rayon 3 cm.
Il coupe la droite (UV) en un deuxième point : le point S.
• Je trace les côtés du quadrilatère RSTU.
x
3) Les diagonales du quadrilatère RSTU ainsi construit ont la même longueur 6 cm et le même milieu
V. D’après la propriété : « Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même
milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle », je peux affirmer que RSTU est un rectangle.
2)
On commence par tracer le segment [RT], son milieu V puis l’angle TVx∑ dont la mesure est 53°. On pense ensuite à la propriété :
« Si un quadrilatère a des diagonales qui ont la même longueur et le même milieu, alors ce quadrilatère est un rectangle », car on
veut construire un rectangle. On connaît déjà les longueurs VR et VT. On sait que l’on doit avoir VR = VT = VU = VS = 3 cm.
On pense alors à tracer le cercle de centre V et de rayon 3 cm. Il coupe la droite (Vx) en U et S. Il ne reste plus alors qu’à tracer
les côtés du quadrilatère.
3) On utilise la carte 24 de la Boîte à Outils : elle permet de reconnaître un rectangle à l’aide de ses diagonales.

cc Séquence 7
Séance
Exercice 37
1)
la figure 1 … la figure … la figure 3 … la figure 4 …
… est un
losange ?
NON NON OUI OUI
… est un
rectangle ?
OUI NON OUI NON
) La figure 3 est un carré.
La figure 1 et la figure 3 sont des rectangles d’après la carte 3 de la boîte à Outils : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre
angles droits ».
La figure 3 et la figure 4 sont des losanges d’après la carte 2 de la boîte à Outils : « Un losange est un quadrilatère dont les quatre
côtés ont la même longueur».
On peut voir sur ces quatre exemples qu’un quadrilatère peut être :
• un losange et pas un rectangle (figure 4)
• un rectangle et pas un losange (figure 1)
• ni un rectangle, ni un losange (figure 2)
mais aussi, et c’est le cas qui va nous intéresser dans cette séance, un quadrilatère peut être à la fois un losange et un
rectangle (figure 3). Tu as déjà rencontré ce quadrilatère à l’école primaire, on l’appelle le carré.
Exercice 38
définition
définition
définition
définition
définitionquadrilatère
losange
rectangle

ccSéquence 7
Exercice 39
1)
Un carré est à la fois un losange et un rectangle, il a donc 4
axes de symétrie qui sont ses diagonales et les médiatrices de
deux côtés consécutifs.
2)
3) Le carré est un losange, donc ses diagonales sont
perpendiculaires et elles ont le même milieu.
4) Le carré est un rectangle, donc ses diagonales ont la même
longueur et ses côtés opposés sont parallèles et de même
longueur.
1) On utilise les cartes 6 et 7 de la Boîte à
Outils.
3) On utilise les cartes 16 et 17 de la Boîte à
Outils
4) On utilise les cartes 18, 12 et 13 de la
Boîte à Outils.

cc Séquence 7
Exercice 40
1)1)
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétéquatre
diagonales
médiatrices
))
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétémilieu
longueur
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétéperpendiculaires
3) 4)
propriété
propriété
propriété
3)
droits
4)
propriété
propriété
propriété
propriété
propriétélongueur
1) Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (premier •)
2) Voir le paragraphe JE RETIENS précédent (trois derniers •)
3) Un carré est un rectangle donc il a quatre angles droits d’après la carte 3.
4) Un carré est un losange donc il a quatre côtés de la même longueur d’après la carte 2.

ccSéquence 7
Exercice 41
1)
) Ce losange est un carré.
1) On commence par représenter une figure à
main levée :
• On commence par construire le triangle
ABC rectangle en B tel que
BA = BC = 4,5 cm.
• On termine ensuite la construction du
losange avec le compas. On trace deux arcs
de cercle : un de centre A et de rayon 4,5 cm,
l’autre de centre C et de rayon 4,5 cm. Ces
deux arcs se coupent en D.
2) Il semble que ce losange qui possède un
angle droit soit un carré, c’est-à-dire qu’il
possède en fait quatre angles droits.
Ceci est en fait toujours vrai (nous
l’admettrons, c’est-à-dire que nous allons
considérer que ce résultat est toujours vrai,
mais nous n’allons pas le démontrer).
A savoir :
Si un losange possède un angle droit, alors
c’est un carré.
Exercice 42
angle droit
carré
reconnaître
reconnaître
reconnaître On recopie ce qui manque sur le paragraphe
précédent. On n’oublie pas de coder la figure.

cc Séquence 7
Exercice 43
1)
)
• D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un rectangle
alors ses côtés opposés ont la même longueur », on a :
EF = HG et EH = FG.
Comme EF = EH = 6,2 cm, on a : EF = FG = GH = EH = 6,2 cm.
• Le quadrilatère EFGH a quatre côtés de la même longueur,
c’est donc (par définition du losange) un losange.
• Le quadrilatère EFGH est donc à la fois un rectangle et un
losange, c’est donc (par définition du carré) un carré.
EFGH est donc un carré.
1)
On construit le rectangle comme on le fait
habituellement, la seule particularité ici,
est que deux côtés consécutifs ont la même
longueur donc tous les côtés mesurent 6,2 cm.
2)
• On applique la carte 12 de la boîte à
Outils.
• On applique la carte 2 de la boîte à Outils.
• On applique la carte 4 de la boîte à Outils.
Exercice 44
reconnaîtrelongueur
carré
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître On recopie sur le paragraphe précédent ce qui
manque.
On n’oublie pas de coder.

ccSéquence 7
Exercice 45
1) Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et
ont le même milieu. D’après la propriété : « si les diagonales
d’un quadrilatère sont perpendiculaires et ont le même milieu,
alors ce quadrilatère est un losange », on déduit que EFGH est
un losange.
) Les diagonales de ce quadrilatère ont, de plus, la même
longueur. D’après la propriété : « si les diagonales d’un
quadrilatère ont la même longueur et ont le même milieu, alors
ce quadrilatère est un rectangle », on déduit que ce EFGH est
un rectangle.
3) Ce quadrilatère est donc un losange et un rectangle.
D’après la définition « un quadrilatère qui est à la fois un
rectangle et un losange est un carré », on peut affirmer que
EFGH est un carré.
1)
• Le codage montre que les diagonales sont
perpendiculaires et ont le même milieu.
3) On utilise la carte 4 de la Boîte à Outils.
Exercice 46
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
perpendiculaires
milieu
longueur
carré
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître
reconnaître Aide-toi du paragraphe précédent et n’oublie
pas le codage.
Exercice 47
1)
)
• Je trace un segment [EG] de 5 cm.
• Je place le milieu de ce segment.
• Je trace la perpendiculaire à ce segment en son milieu.
• Je place les points F et H de cette perpendiculaire de telle
sorte que le milieu de [EG] soit aussi le milieu de [FH] et de
telle sorte que FH = 5 cm.
Je trace le quadrilatère EFGH. J’affirme que c’est un carré.
Je justifie :
Les diagonales [EG] et [FH] ont le même milieu, elles ont la
même longueur et elles sont perpendiculaires donc d’après
la propriété : « si les diagonales d’un quadrilatère sont
perpendiculaires, ont le même milieu et ont la même longueur
alors ce quadrilatère est un carré », je peux affirmer que EFGH
est un carré.
1) On représente une figure à main levée
codée :
2)
• On trace la première diagonale [EG] de 5
cm de longueur.
• On place son milieu, appelons-le O par
exemple. On a :
OE =OG = 2,5 cm.
• On trace la droite (d), perpendiculaire en O
à la droite (EG).
• On place les deux points F et H de cette
médiatrice qui sont situés à
2,5 cm de O à l’aide d’un compas. On trace
pour cela deux arcs de cercle de centre O et de
rayon OE. Ces deux arcs coupent la droite (d)
en F et H.
• On termine la construction du carré en
traçant ses côtés.
• On utilise la carte 25.

cc Séquence 7
Séance 6
Exercice 48
1) Le quadrilatère ABCD a trois angles droits.
D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits,
alors c’est un rectangle », je peux affirmer que ABCD est un
rectangle.
2)
• Le quadrilatère DHGB a trois angles droits.
alors c’est un rectangle », je peux affirmer que DHGB est un
rectangle.
• On a de plus : BD = DH d’après le codage.
D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs
de la même longueur, alors c’est un carré », je peux affirmer
que DHGB est un carré.
3) DB = DH et IB = IH. D’après la définition du cerf-volant, le
quadrilatère DBIH est un cerf-volant.
4) BD = DE = EF = FB. D’après la définition du losange, le
quadrilatère EDBF est un losange.
Le quadrilatère DHGB est également un
rectangle (mais, et on le verra dans le 2), c’est
de plus un carré).
2)
• On utilise à nouveau la carte 23 de la Boîte
à Outils.
• On utilise la carte 27 de la Boîte à Outils.
3)
On utilise la carte 1 de la Boîte à Outils.
4)
On utilise la carte 2 de la Boîte à Outils. Le
quadrilatère EDBF est également un cerf-
volant (puisque c’est un losange).
Exercice 49
1) Les angles ADB∑ et ABD∑ sont égaux d’après le codage.
D’après la propriété : « Si un triangle a deux angles égaux, alors
il est isocèle », je peux affirmer que le triangle ADB est isocèle en
A.
2)
Comme le triangle ADB est isocèle en A, on a (par définition
du triangle isocèle) : AD = AB.
On a donc : AD = AB et CD = CB d’après le codage. Le
quadrilatère ADCB est donc (par définition du cerf-volant) un
cerf-volant.
1) On pense à utiliser une propriété qui permet
de reconnaître un triangle isocèle. Elle a été vue
dans la séance 7 de la séquence 5.
Exercice 50
1) Les points E et C sont sur le cercle C de centre O donc :
OE = OC.
D’après le codage, on a donc : OE = OC = CD = DE. D’après
la définition du losange, je peux affirmer que OCDE est un
losange.
2)
• Le quadrilatère ABCO a trois angles droits.
alors c’est un rectangle », je peux affirmer que ABCO est un
rectangle.
• Les points A et C sont sur le cercle C de centre O donc :
OA = OC.
• D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés
consécutifs de la même longueur, alors c’est un carré », je peux
affirmer que ABCO est un carré.
2)

ccSéquence 7
Exercice 51
1)
2)
• Le quadrilatère BEAU est un rectangle, donc par définition
les angles EBU∑ et BUA∑ sont droits.
• La droite (MN) est perpendiculaire à la droite (BE) donc
l’angle BMN est droit.
Le quadrilatère BMNU a trois angles droits.
• D’après la propriété : « Si un quadrilatère a trois angles
droits, alors c’est un rectangle », je peux affirmer que BMNU
est un rectangle.
M est un point du cercle Ω donc BU = BM.
D’après la propriété : « Si un rectangle a deux côtés consécutifs
de la même longueur, alors c’est un carré », je peux affirmer
que BMNU est un carré.
On sait également d’après cette définition que
les angles BEA∑ et UAE∑ sont droits, mais ce
résultat ne nous intéresse pas ici.
• On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils

cc Séquence 7
Exercice 52
1)
65°
2)
C
C '
65°
3)
• AB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre A et de
rayon 4 cm, c’est-à-dire sur le cercle C .
• Comme le triangle ABC est isocèle en B, on a CB = AB = 4 cm.
• CB = 4 cm donc le point B est sur le cercle de centre C et de
rayon 4 cm, c’est-à-dire sur le cercle C ’
4)
D ∈ C donc DA = 4 cm.
D ∈ C ’ donc DC = 4 cm
On a donc AB = BC = CD = DA.
Les quatre côtés du quadrilatère ABCD ont la même longueur
donc, d’après la définition du losange, je peux affirmer que
ABCD est un losange.
1) Pour construire le triangle ABC , on
commence par faire une figure à main levée
codée :
65°
ABC est isocèle en B donc :
BA = BC = 4 cm.
On a déjà rencontré ce type de construction
dans l’exercice 42 de la séquence 3 (2ème
question).
3)
• On utilise la définition du cercle.
• On utilise à nouveau la définition du cercle
4)
D est le point d’intersection des cercles C et
C ’ donc il est à la fois sur C et sur C ’ .

ccSéquence 7
Séance 7
Exercice 53
1)
)
1) EFGH est un cerf-volant donc le côté [EF] a un côté consécutif qui a la même longueur que lui. Comme :
[EH] n’a pas la même longueur que [EF], [FG] a donc la même longueur que [EF].
Par un même raisonnement, on déduit que : EH = GH.
2)
étape 1 On trace le côté [FG] de 3 cm. On trace un angle étape 2 On trace un arc de cercle de centre G, de rayon 4 cm,
de sommet G, de côté [GF) et de mesure 130°. qui coupe le deuxième côté de l’angle en H.
F
G3 cm
90
90
étape 3 On trace un arc de cercle de centre H étape 4 On trace un autre arc de cercle, de centre F et de rayon
et de rayon HG = 4 cm. FG qui coupe le premier arc en E. On trace alors les côtés du
cerf-volant.

cc Séquence 7
Exercice 54
1)
I
2)
• Je trace un segment [JL] de 5 cm.
• Je trace un cercle de centre J et de rayon 2,5 cm.
• Je trace un cercle de centre L et de rayon 3,5 cm.
• Je place les deux points d’intersection des deux cercles I et K.
• Je trace les côtés du quadrilatère IJKL.
1) On réfléchit sur une figure à main levée codée.
I
On constate que les côtés de même longueur
sont d’une part [IJ] et [JK] et d’autre part
[IL] et [LK].
On peut commencer par tracer le triangle IJL
dont on connaît les longueurs des trois côtés.
Au besoin, revoir la rubrique « je comprends
la méthode » de la séance 6 de la séquence 3.
Comme IJKL est un cerf-volant, on a :
JK = JI = 2,5 cm
KL = LI = 3,5 cm.
On peut donc tracer le triangle JKL connaissant
les trois longueurs de ses côtés. Les cercles que
l’on trace sont en fait les mêmes que ceux qui
nous ont permis de construire le point I.
Il nous suffisait donc de tracer deux cercles : l’un
de centre J et de rayon 2,5 cm, l’autre de centre L
et de rayon 3,5 cm pour obtenir les points I et K.
Exercice 55
1)
2)
a) Voici une figure à main levée :
b) ABCD est un losange donc sa diagonale (BD) est un axe de
symétrie de ce quadrilatère. (BD) est donc la bissectrice de
l’angle ADC∑. On a donc : ADC∑ = 2 x ADB∑ = 80°.
c)
A
B C
D3 cm
80°
x
1) On pense à la carte 22 de la Boîte à
Outils. On se dit : « Si j’arrivais à construire
des diagonales perpendiculaires qui ont le
même milieu, j’obtiendrais alors un losange ».
On trace un segment de 7 cm.
On trace ensuite sa médiatrice au compas qui
le coupe en son milieu M. 5,4 ÷ 2 = 2,7
On trace deux arcs de cercle de centre M et de
rayon 2,7 cm qui coupent cette médiatrice en
deux points.
2)
b) On a utilisé la carte 6 de la boîte à outils.
c) On construit le losange de la façon suivante :
• On trace le côté [DA],
• On construit un angle ADx∑ de mesure 80°.
• On reporte au compas la longueur AD à
partir de D sur [Dx) ; on obtient le point C.
• On trace deux arcs de cercle de rayon AD, l’un
de centre A, l’autre de centre C. Ils se coupent en B.
• On trace les deux côtés qu’il reste à tracer.

ccSéquence 7
Exercice 56
1)
Q
R S
T
6 cm
35°
étape 1 On trace le côté [QR] de 6 cm puis un angle étape 2 On trace les perpendiculaires à la droite (QR) passant
de sommet Q, de côté [QR), de mesure 35°. par Q et R. On obtient S.
Q
6 cm
35°

Q
R S
6 cm
35°
étape 3 On trace la perpendiculaire à la droite (RS)
passant par le point S. On obtient T.
Q
R S
T
6 cm
35°
D’après la carte 23 de la boîte à outils, QRST est un rectangle.

cc Séquence 7
2)
E
F
H
5 cm
4 cm
G
étape 1 On trace le segment[EG] de 5 cm. Soit M étape 2 Comme EF = 4 cm, le point F se trouve sur le cercle de
le milieu de [EG]. Comme les diagonales d’un rectangle centre E et de rayon 4 cm. EFGH est un rectangle donc ses côtés
ont la même longueur et le même milieu, on a : opposés ont la même longueur, d’où : GH = EF = 4 cm. Le point
ME = MG = MH = MF = 2,5 cm. Les points F et H H se trouve donc sur le cercle de centre G et de rayon 4 cm
sont donc sur le cercle de centre M et de rayon 2,5 cm
soit sur le cercle de diamètre [EG].
E
2,5 cm
G
M

E GE
F
H
G
M
étape 3 On trace les quatre côtés du quadrilatère EFGH.
E GE
F
H
G
M
On a bien respecté la consigne de ne pas utiliser l’équerre.

ccSéquence 7
Exercice 57
J K
L
4 cm
étape 1 On trace un côté [IJ] de 4 cm, puis on trace une demi-droite d’origine J, perpendiculaire à (IJ) à l’aide d’une équerre.
On reporte ensuite la longueur IJ à partir de J sur cette demi-droite à l’aide d’un compas.
J K
4 cm
étape 2 On trace deux arcs de cercle de rayon 4 cm de centres respectifs I et K. Ces deux arcs se coupent en L.
J K
4 cm
L

cc Séquence 7
Exercice 58
1)
J
K
L
M
E
F
G
H
Les deux rectangles sont-ils toujours superposables ? NON
2)
A
B
C
D
S
T
U
R
Les deux carrés sont-ils toujours superposables ? OUI
1)
• On trace la diagonale [JL] qui mesure
6 cm, puis on cherche à tracer une deuxième
diagonale.
• On utilise la carte 24 :
JKLM est un rectangle donc cette deuxième
diagonale a la même longueur que l’autre, soit
6 cm, et les deux diagonales se coupent en leur
milieu que l’on nomme O.
On trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm.
• On trace un diamètre [MK], mais on a un
nombre infini de possibilités. En voici trois :
J
K
K' K''
L
M
M'
M''
Si on choisit un autre diamètre pour deuxième
diagonale, on peut par exemple obtenir le
quadrilatère EFGH.
On voit facilement que ces deux rectangles ne
sont pas superposables.
2)
• On utilise la carte 25 :
Ce n’est pas la même chose pour le carré
puisque les diagonales d’un carré sont
perpendiculaires : dès qu’on trace la première
diagonale, la seconde est unique.
A
D
B
C
Il n’y a donc qu’un seul carré qui a une
diagonale de 6 cm. C’est pour cette raison que
les carrés ABCD et RSTU sont superposables.
Exercice 59 On utilise la carte 7.
A et B sont les symétriques respectifs de E par
rapport à (d) et (d’).
(Revoir au besoin la construction du
symétrique d’un point par rapport à une droite
dans la séquence 5, séance 2 ou 6)
Pour construire E’ :
• E’ est le symétrique de A par rapport à (d’),
• ou encore celui de B par rapport à (d)
• ou encore lorsqu’on reporte EB à partir de
A et EA à partir de B : E’ est le point commun
aux deux arcs de cercle.
E
(d)
(d')
A
E'
B

ccSéquence 7
Séance 8
Exercice 60
1) et 2)
3)
a) C’est Lou-Ann.
b)
Maillon 1
Comme la droite (Δ) est la médiatrice du
segment [AB], d’après la définition de la
médiatrice, (Δ) coupe [AB] en son milieu. Le
point M est donc le milieu de [AB] et c’est le
centre du cercle Ω.
Maillon 2
Les points E, M et F sont alignés et les points E et
F sont sur le cercle de centre M donc :
• le segment [EF] est un diamètre du cercle Ω.
• le point M est le milieu du segment [EF].
Maillon 3
Comme les segments [EF] et [AB] sont deux
diamètres du cercle Ω, ils ont la même longueur.
Maillon 4
Comme (Δ) est la médiatrice du segment [AB],
d’après la définition de la médiatrice, on a :
(EF) ⊥ (AB).
Maillon 5
Comme les diagonales du quadrilatère AEBF
sont perpendiculaires et ont le même milieu M,
je peux conclure que AEBF est un losange.
Maillon 6
Comme les diagonales du quadrilatère AEBF ont
le même milieu M et ont la même longueur, je
peux conclure que AEBF est un rectangle.
c) démonstration de Henri : 1 – 2 – 4 – 5
d) démonstration de Victor : 1 – 2 – 3 – 6
e) En conclusion, AEBF est un losange et un rectangle donc c’est un carré.
1)
• On trace la médiatrice au compas : on revoit au besoin le paragraphe « Je comprends la méthode » de la séquence 5, séance 5.
• Pour tracer le cercle Ω, on revoit éventuellement le paragraphe « Je comprends la méthode », séquence 1, séance 9.
Ici, on a déjà le milieu de [AB] : c’est le point M commun aux droites (AB) et (Δ).
2) Les diagonales sont les segments [AB] et [EF].
3)
a) C’est Lou-Ann qui a raison. Cependant, on peut déjà le « tester » sur la figure : les quatre angles semblent être droits et les
quatre côtés semblent avoir la même longueur.
c) On utilise la carte 22.
d) On utilise la carte 24.
e) On utilise la carte 4.

cc Séquence 7
Exercice 61
1) et 2)
E
F
A
B
3 cm
3)
• Comme [EF] est un diamètre du cercle Ω, le centre I de Ω est
le milieu de [EF].
• Comme [AB] est un diamètre du cercle Ω’, le centre I de ce
cercle Ω’ est aussi le milieu de [AB].
• Les diagonales [EF] et [AB] ont donc le même milieu I.
• On sait que : (AB) ⊥ (EF). Les diagonales de AEBF sont
donc perpendiculaires.
• D’après la propriété « si un quadrilatère a ses diagonales
qui sont perpendiculaires et qui ont le même milieu alors ce
quadrilatère est un losange », je peux affirmer que AEBF est un
losange.
1) On n’oublie pas qu’un diamètre est une
corde qui passe par le centre du cercle.
2) Une fois qu’on a tracé [EF], on trace
une droite perpendiculaire à (EF) passant
par I : elle coupe Ω’ en deux points A et B
diamétralement opposés.
3)
• Comme le point I est le centre du cercle Ω,
il est le milieu du diamètre [EF].
• Comme I est aussi le centre de Ω’, c’est
également le milieu du diamètre [AB].
On utilise la carte 22 de la Boîte à Outils.
Prends le temps de recopier soigneusement
la démonstration si la tienne est incomplète :
cela t’entraînera à rédiger.

ccSéquence 7
Exercice 62
a) « Un carré est un losange. » OUI
« Un losange est un carré. » NON
b) « Un carré est un rectangle. » OUI
« Un rectangle est un carré. » NON
c) « Un carré est un cerf-volant. » OUI
« Un cerf-volant est un carré. » NON
d) « Les côtés opposés d’un losange ont la même longueur. »
OUI
« Les côtés opposés d’un cerf-volant ont la même longueur. »
NON
a) Un carré est un losange par définition
(carte 4 de la Boîte à Outils).
Par contre, on a rencontré beaucoup de losanges
dans cette séquence qui ne sont pas des carrés : il
suffit qu’aucun de leurs angles ne soit droit.
b) Un carré est un rectangle par définition
(carte 4 de la Boîte à Outils).
Par contre, on a rencontré beaucoup de
rectangles dans cette séquence qui ne sont pas
des carrés : il suffit que leurs côtés consécutifs
n’aient pas la même longueur.
c) Un carré est un losange donc c’est un cerf-
volant puisqu’un losange est un cerf-volant
avec la particularité d’avoir tous ses côtés de la
même longueur. Par contre, un cerf-volant n’est
pas forcément un losange comme on l’a déjà vu
dans l’exercice 17 donc encore moins un carré !
d)
Comme tous les côtés d’un losange ont la
même longueur, les côtés opposés aussi ont la
même longueur.
Par contre, les côtés opposés d’un cerf-volant
n’ont pas généralement la même longueur :
il n’y a qu’à observer, par exemple, celui du
premier paragraphe « Je retiens » de la séance
2 de cette séquence.
Exercice 63
1)
• HKJI est un losange. D’après la propriété : « si un quadrilatère
est un losange alors ses angles opposés sont égaux », je peux
affirmer que les angles KHI et KJI sont égaux.
2)
• D’après le codage, les angles HKL et KJI sont égaux mais
KJI = KHL d’après la question 1, donc on a : HKL = KHL .
• D’après la propriété « si un triangle a deux angles égaux alors
il est isocèle », je peux affirmer que le triangle HKL est isocèle.
• Comme les sommets de ses angles égaux sont H et K, le
triangle HKL est isocèle en L.
1)
2)
• On utilise ici une donnée fournie par le
codage. De plus, KHI∑ = KHL∑.
• On utilise ici le second paragraphe « Je
retiens » de la séquence 5 séance 7.
• On donne une réponse complète c’est-à-
dire que l’on précise bien en quel sommet
le triangle est isocèle : on donne le nom du
sommet principal.
Exercice 64
1), 2) et 3)
A
B
B'
C
• Les segments [AB] et [AB’] sont symétriques par rapport à la
droite (AC) donc ils ont la même longueur : AB = AB’.
• De même, les segments [BC] et [B’C] sont symétriques par
rapport à la droite (AC) donc : BC = B’C.
• On a : AB = AB’ et : BC = B’C. Le quadrilatère AB’CB est
donc par définition un cerf-volant.
1) et 2)
• On revoit au besoin le paragraphe « Je
comprends la méthode » de la séquence 5
séance 6 pour construire B’.
3)
• On utilise la propriété du troisième
paragraphe « Je retiens » de la séquence 5
séance 3.
• On utilise ici la carte 1 de la Boîte à Outils.

cc Séquence 7
Exercice 65
1) , 2) et 3) a)
A
S
45°
E
U
b)
• Les angles AEU et SEU sont symétriques par rapport à la
droite (EU) donc ils ont la même mesure. AEU = SEU = 45°.
• On a :
SEA = SEU + UEA
SEA = SEU + UEA= 45° + 45° = 90°.
L’angle SEA = SEU + UEAest droit.
c)
Le triangle EAU est rectangle en A donc : EAU = 90° .
Les angles ESU et EAU = 90°sont symétriques par rapport
à la droite (EU) donc ils sont égaux. On a donc :
ESU∑ ∑= =EAU 90°
d)
Les trois angles ESU , EAU = 90°et SEA = SEU + UEAsont droits.
alors c’est un rectangle », je peux affirmer que SEAU est un
rectangle.
e)
Les segments [EA] et [ES] sont symétriques par rapport à
la droite (EU) donc ils ont la même longueur c’est-à-dire :
EA = ES.
f)
[EA] et [ES] ont la même longueur. D’après la propriété : « Si
un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur alors
c’est un carré », je peux affirmer que SEAU est un carré.
3)
b) Dans la symétrie axiale par rapport à la
droite (EU) :
• le symétrique de E est lui-même
• le symétrique de U est lui-même
• A et S sont symétriques
• les demi-droites [EA) et [ES) sont
symétriques
• la demi-droite [EU) est sa propre
symétrique
c)
Revoir au besoin le premier paragraphe « Je
d)
On utilise ici la carte 23 de la Boîte à Outils.
e) On utilise ici le troisième paragraphe « Je
f) On utilise ici la carte 27 de la Boîte à
Outils.
Recopie bien ces démonstrations si les
tiennes sont différentes de celles du corrigé
ou bien si elles sont incomplètes.

ccSéquence 7
Séance 9
Exercice 66
A
DB
C
Ce quadrilatère n’a aucune particularité : ce n’est pas un cerf-
volant (donc n’est pas un losange) ; il n’est pas non plus un
rectangle (donc n’est pas un carré).
Lorsqu’on trace une figure, il faut essayer de
ne pas représenter de cas particuliers. Ici,
on ne doit pas tracer des diagonales qui se
coupent en leur milieu, sinon on peut obtenir
une figure particulière. Lorsque les diagonales
sont « uniquement » perpendiculaires, le
quadrilatère n’a aucune particularité (cet
exercice est un piège, puisque la consigne fait
penser qu’il y en a une).
Exercice 67
Ce losange n’existe pas !
Les quatre côtés d’un losange ont la même longueur or ici :
RS ≠ TU
Cela n’est pas possible !
Cet exercice est un piège : il comporte une
erreur (volontaire) dans la consigne. Le losange
qu’on demande de construire ne peut pas
exister !

cc Séquence 7
Exercice 68
1)
a) Le quadrilatère ABGH a trois angles droits. D’après la
propriété : « Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est
un rectangle », je peux affirmer que ABGH est un rectangle
donc HGB = 90°.
b)
• D’après les codages : GB = GD = BC = DC. Par définition, le
quadrilatère BCDG est un losange.
• D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un losange
alors ses angles opposés sont égaux », je peux affirmer que :
BGD∑ ∑= =BCD 40°.
c)
• D’après le codage du quadrilatère DEFG, les côtés
consécutifs [DG] et [GF] ont la même longueur ainsi que les
côtés consécutifs [DE] et [EF]. Ce quadrilatère est donc par
définition un cerf-volant.
• D’après la propriété : « Si un quadrilatère est un cerf-volant
alors il admet un axe de symétrie : la diagonale qui est la
médiatrice de l’autre » et grâce aux codages, je peux déduire
que la diagonale (GE) est un axe de symétrie de DGFE.
• Les anglesHGE = HGB + BGD + DGE et EGF sont symétriques donc
DGE = =EGF 50°
d)
On a :
donc HGE = HGB + BGD + DGE= 90° + 40° + 50° = 180°.
L’angle HGE est plat donc les points H , G et E sont alignés
dans cet ordre.
2)
1)
a)
On utilise la carte 23 de la Boîte à Outils
b)
Code ce résultat sur la figure.
c)
Code ce résultat sur la figure.
d)
• Voir le premier paragraphe « Je retiens »
séquence 3 séance 5 puis l’exercice 27 séquence
3.
2)
• On commence par construire un rectangle
AHGB ayant les dimensions données. La
meilleure méthode consiste à tracer un triangle
rectangle HAB puis à utiliser le compas pour
obtenir le sommet G.
• On construit ensuite le losange BGDC. On
commence par construire l’angle BGD∑ de 40°
à l’aide d’un rapporteur. On obtient ensuite le
sommet C à l’aide du compas.
• On construit enfin le cerf-volant GFED.
Pour cela, on commence par construire le
point E qui est sur la droite (HG) d’après
le 1) d), et qui est tel que : GE = HG. On
prolonge donc le tracé du segment [HG] puis
on utilise le compas pour obtenir le point E.
À l’aide d’un compas, on trace des arcs
de cercle de rayons GD et DE de centres
respectifs G et E. Ces arcs se coupent en F.
HGE = HGB + BGD + DGE

ccSéquence 7
Je m’évalue
1) La figure à main levée codée ci-dessous est :
˝ un cerf-volant
® un carré
® un rectangle
˝ un losange
2) La figure à main levée codée ci-dessous est :
˝ un cerf-volant
˝ un carré
˝ un rectangle
˝ un losange
3) La figure à main levée codée ci-dessous représente :
˝ un cerf-volant
® un carré
® un rectangle
® un losange
4) Coche les phrases vraies :
® « Si un quadrilatère possède deux angles droits alors c’est
un rectangle. »
˝ « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de
l’autre alors ce quadrilatère est un cerf-volant. »
® « Si une diagonale d’un quadrilatère est la médiatrice de
l’autre alors ce quadrilatère est un losange. »
® « Si un quadrilatère possède deux côtés consécutifs de la
même longueur alors c’est un carré.»
1) Les diagonales du quadrilatère sont
perpendiculaires et ont le même milieu.
D’après la carte 22 de la Boîte à Outils, le
quadrilatère ABCD est un losange. C’est donc
aussi un cerf-volant.
Sans indication sur les angles formés par
les côtés, on ne peut pas affirmer que ce
quadrilatère est un carré, même si la forme du
quadrilatère y fait penser.
2) Ce quadrilatère possède trois angles droits,
donc d’après la carte 23, c’est un rectangle.
Ce rectangle a deux côtés consécutifs de même
longueur donc d’après la carte 27, c’est un
carré.
EFGH est un carré, c’est donc un losange
(donc un cerf-volant).
3) Ce quadrilatère a une diagonale qui est la
médiatrice de l’autre, donc d’après la carte
21, c’est un cerf-volant.
On ne peut pas affirmer que c’est un losange
car d’après le codage seule une diagonale est
la médiatrice de l’autre.
4)
• Deux angles droits ne suffisent pas pour
avoir un rectangle.
• Voir la carte 21 de la Boîte à Outils.
• Cela ne suffit pas. Par contre, si l’autre
diagonale est la médiatrice de la première,
alors on a un losange.
• Cela suffit avec un rectangle, mais ne suffit
pas avec un quadrilatère quelconque.

cc Séquence 7
5) Coche les phrases fausses :
® « Un carré est un cerf-volant. »
® « Un carré est un rectangle. »
® « Un carré est un losange. »
® « Un losange est un cerf-volant. »
6) Coche les phrases vraies :
® « Un rectangle est un carré. »
® « Un losange est un carré. »
® « Un cerf-volant est un losange. »
® « Les diagonales d’un cerf-volant se coupent en leur milieu. »
7) Que peux-tu affirmer sur les côtés opposés d’un carré ?
˝ Ils sont parallèles
® Ils sont perpendiculaires
˝ Ils ont la même longueur
® Ils ont le même milieu
8) Que peux-tu affirmer sur les diagonales d’un carré ?
˝ Elles sont perpendiculaires
˝ Elles ont le même milieu
˝ Elles ont la même longueur
˝ L’une est la médiatrice de l’autre
5) Voir l’exercice 17 de cette séquence.
Il n’y a pas de phrase fausse donc on n’en
coche aucune.
6) Voir l’exercice 17 de cette séquence.
Il n’y a pas de phrase vraie donc on n’en coche
aucune. Le point commun des diagonales n’est
le milieu que d’une seule diagonale.
7) Voir les cartes 12 et 13 de la Boîte à
Outils, sachant qu’un carré est un rectangle.
8) Il faut tout cocher !
Voir les cartes 19 et 20 de la Boîte à Outils,
ainsi que le deuxième paragraphe « JE
RETIENS » de la séance 3.

ccSéquence 7
) ABCD est un losange tel que les triangles ABD et BDC sont
équilatéraux. Coche les égalités vraies :
˝ AB = BC
˝ AB = DC
˝ AB = BD
¨ AC = BD
10) Dans quel cas les triangles ABC et BCD sont-ils isocèles et
superposables ?
˝ quand ABDC est un losange
¨ quand ABCD est un losange
˝ quand ABCD est un carré
¨ quand ABCD est un rectangle
9) La longueur de la diagonale [AC] est
différente de la longueur des côtés, mais
AB = BD car le triangle ABD est équilatéral.
10) Voici les deux cas où les triangles ABC et
BCD sont superposables et isocèles :

cc Séquence 8
SÉQUENCE 8
Séance 1
1)
¨
1
5
˛
2
12
˛
1
6
¨
3
4
2)
¨ 25 min
˛ un quart d’heure
¨ 30 min
˛ 15 min
3)
¨ 3 élèves
¨ 7 élèves
¨ 1 élève
˛ 8 élèves
4)
˛ un quart
¨ un tiers
˛
1
4
¨ on ne peut pas savoir
1)
Le disque est partagé en douze parties
superposables. Deux de ces portions sont
coloriées en vert. La fraction du disque
coloriée en vert est donc
2
12
.
La partie coloriée représente également
1
6
.
2)
La grande aiguille indique les minutes. Elle
effectue un tour complet en 1 h soit 60 min.
4 x 15 min = 60 min.
15 min représentent donc un quart d’heure.
3)
Pour connaître le tiers de 24, on divise 24 par
3. On obtient 8.
4)
On voit sur la figure ci-dessous que la fraction
qui reste à parcourir est
1
4
.

ccSéquence 8
Exercice 1
0,7 x 10 = 7
0,726 x 100 = 72,6
8 x 5 = 40
4 x 3 = 12
Cet exercice est un exercice de multiplications
à trous. Tu en as déjà fait (par exemple
l’exercice 28 de la séquence 4).
• Le nombre qui, multiplié par 10, donne 7
est 0,7. C’est le quotient de 7 par 10. Il se
note
7
10
.
• 0,726 est le quotient de 72,6 par 100. Il se
note
72,6
100
.
• 8 est le quotient de 40 par 5. Il se
note
40
5
.
• 4 est le quotient de 12 par 3. Il se
note
12
3
.
Exercice 2
1) 4,5 x 2 = 9 donc :
9
2
= 4,5.
2) 2,5 x 4 = 10 donc :
10
4
= 2,5.
3) 3,5 x 2 = 7 donc : 7 2√ = 3,5.
4) 0,4 x 5 = 2 donc :
2
5
= 0,4.
5) ........ x 0 = 3 C’est impossible : tout nombre multiplié par
0 donne 0, donc on ne peut pas obtenir 3. Il n’y a pas de
solution.
Cet exercice est encore un exercice de
multiplications à trous.
5) On voit dans cette question que le quotient
d’un nombre par 0 n’existe pas.
Exercice 3
1)
7
3
4
1
Maxence donne à chacun 1 € et il lui reste 3 €.
2)
7 0
3
2
0
0 4
1 7 5
,
,
0
0
→ 1 fois, il reste 3 unités.
3 unités, c’est 30 dixièmes.
→ 7 fois, il reste 2 dixièmes.
2 dixièmes, c’est 20 centièmes.
→ 5 fois, il ne reste rien.
D’après son grand frère, Maxence devra donner 1,75 € à
chacun de ses quatre amis.
3)
1,
,
7 5
x 4
007
Pour partager équitablement 7 € en 4 personnes,
Maxence doit donner 1,75 € à chacune de ces
quatre personnes.
La division est simple, on aurait pu ne pas la
poser !
Maxence ne parvient pas à partager tout son
argent : il lui reste encore 3 €.
Cette méthode est appelée « technique de la
division décimale ».
3) La multiplication permet de vérifier que,
lorsqu’on partage 7 € en quatre sommes
égales, on obtient bien 1,75 €.

cc Séquence 8
Exercice 4
1) 2) 3)
3
3 5
58 0
3
,
,
0
0
0
3
5
1 7 0 6

2
2
1
1
9 0
0
0
,
,
1
6 0 8
5

1
81 0 0
0
0
2
,
,
2 4
0 7 5
853 : 5 = 170,6 Par conséquent :
912
15
= 60,8 Le quotient de 18 par 24 est 0,75.
La troisième division est un peu plus délicate que les autres. Voici ce que l’on se dit pour cette division :
« En 18, combien de fois 24 ? Réponse 0. J’écris un 0 puis une virgule au quotient » 81 0,
,
2 4
0J’écris à droite du dividende 18 une virgule puis un 0.
En 180, combien de fois 24 ? Réponse 7.
1
81 0
2
,
,
2 4
0 7
7 x 24 =168
180 – 168 = 12.
J’écris 12 en dessous de 180.
J’écris un 0 à droite de 12. En 120, combien de fois 24 ? Réponse 5.
1
81 0 0
0
0
2
,
,
2 4
0 7 5
5 x 24 = 120
120 – 120 = 0
La division est terminée. Le quotient est 0,75.
Exercice 5
Maxence s’est trompé car il n’a pas terminé sa division.
5
3
3 0
0
6
4
0
0,
,
0
0
0
8
4 3 57
Dans chaque pot, il y aura 4,375 L de peinture.
On pouvait rapidement voir que Maxence
s’était trompé car :
4,37 x 8 = 34,96
Comme on ne trouve pas 35, on sait que
Maxence s’est trompé.
Il faut penser à terminer ses divisions.
Exercice 6
problème
Quatre plumes pèsent
173 grammes. Combien pèse
une plume ?
Deux groupes de 98 et 55
touristes se rejoignent à un
embarcadère. Des bateaux vont
leur permettre de traverser un
fleuve : chaque bateau peut
contenir 36 touristes. Combien
de touristes y aura-t-il dans le
dernier bateau ?
Six randonneurs ont emporté
231 litres d’eau pour leur
périple dans le désert.
Sachant qu’ils ont réparti
équitablement les charges
entre eux, quel volume d’eau
chacun doit-il transporter ?
opérations
3
31
71 0
1
,
,
0
0
0
0
2
4
4 3 2 5
98 + 55 = 153
3
9
51 3
4
6
1
15
32 0
3
,
,
0
0
6
3 8 5
conclusion
Une plume pèse 43,25
grammes.
Le dernier bateau contiendra
9 touristes.
Chaque randonneur va
transporter 38,5 litres d’eau.

ccSéquence 8
Séance 2
Exercice 7
31
39 0 0
0
0
0
0
4
8
0
2
,
,
1 6
5 58 1 2
0 0
Un DVD de ce lot coûte exactement 5,812 5 €.
Ce type de prix n’existe pas en réalité, car il n’existe pas de
pièce qui vale moins de 1 centime d’euro.
On trouve un quotient qui a 4 chiffres après la
virgule. Un tel prix n’existe pas en réalité.
C’est pourtant bien le prix que coûte un DVD
de ce lot.
Un vendeur ne pourrait pas vendre un DVD à ce
prix (5,812 5 €). Par contre, il pourrait prendre
comme prix de vente un DVD l’arrondi au
centième d’euros de 5 812 5 €, soit à 5,81 €.
Revoir au besoin les séances 5 et 6 de la
séquence 2.
Exercice 8
Idir a raison. Par pliage, on peut partager équitablement le
ruban en 3.
Calculons la longueur en cm de chacun des morceaux :
1
1
6,
,
0
0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 3
5 3 3 3 3
Cette division ne s’arrête jamais ! La longueur en cm de chaque
morceau de ruban ne s’écrit pas simplement.
La division ne s’arrête jamais puisque « le reste
se répète » :
En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1
En 10, combien de fois 3 ? 3 fois il reste 1
...
...
...
5,3 ; 5,33 ; 5,333 ; 5,3333 sont des valeurs
approchées de la longueur d’un morceau de
ruban en cm.
Sa longueur exacte se note
16
3
cm.
Exercice 9
a)
9 2
2 2
,
,
0
1 0
3 0
0 7
1 3 1 4
2
L’arrondi au dixième de
92
7
est 13,1.
b)
3 5
3
6
,
,
0
0
8
4 3
La troncature au dixième de
35
8
est 4,3.
c)
9 1
3 1
,
,
0
1 0
4 0
4 0
4
0 0 6
1 5 1 6 6
L’arrondi au centième de
91
6
est 15,17.
a)
On cherche l’arrondi au dixième du quotient
de 92 par 7. On effectue donc la division
jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ».
b)
On cherche la troncature au dixième du
quotient de 35 par 8. On effectue donc la
division jusqu’au « premier chiffre après la
virgule ».
c)
On cherche l’arrondi au centième du quotient
de 91 par 6. On effectue donc la division
jusqu’au « troisième chiffre après la virgule ».

cc Séquence 8
Exercice 10
La réponse de Maxence est fausse !
J’effectue la division de 25 par 6 :
5
1
2 0
0
4 0
4
4
,
,
0 0 0
0
4 0
6
4 1 6 6 6
La division ne s’arrête jamais, on « retombe toujours sur le
même reste 4 ».
Le quotient n’est donc pas un décimal.
La division ne s’arrête jamais, le quotient n’est
pas décimal. On peut toutefois en donner des
valeurs approchées :
à 2 chiffres après la virgule : 4,17
à 3 chiffres après la virgule : 4,167
à 4 chiffres après la virgule : 4,166 7
à 7 chiffres après la virgule : 4,166 666 7
...
La réponse que donne la calculatrice est en
fait dans ce cas l’arrondi à 8 chiffres après la
virgule.
Autre méthode :
Si la réponse de Maxence était correcte
4 166 666 667 serait le nombre dont le
produit par 6 serait égal à 25. On aurait donc :
4,166 666 667 x 6 = 25
Comme 7 x 6 = 42,
4,166 666 667 x 6 est un décimal ayant 9
chiffres après la virgule, le dernier étant un 2.
Le produit 4,166 666 667 x 6 n’est donc pas
égal à 25.
4,166 666 667 n’est pas le quotient de 25
par 6.
Exercice 11
Le volume de jus de pêche est 2 x 25 soit 50 cL.
Le volume de jus de fraises est 4 x 12,5 soit 50 cL.
Le volume total de jus dans le saladier est 50 + 50 + 57 soit 157 cL.
1 5 3
2
,
,
7
7
1 0 0
9
0 0 1
1 2 0 7
Il y aura environ 12,1 cL de cocktail dans chaque verre.
On demande pour la réponse l’arrondi au
dixième de cL. On effectue donc la division
jusqu’au « deuxième chiffre après la virgule ».
On n’oublie pas, dans ce type de problème, de
rédiger correctement la réponse en détaillant
les calculs que l’on fait.

ccSéquence 8
Séance 3
Exercice 12
→ 3 fois, il reste 3 unités.
3 unités et 4 dixièmes, c’est 34 dixièmes.
→ 6 fois, il reste 4 dixièmes.
4 dixièmes et 5 centièmes, c’est 45 centièmes.
→ 9 fois, il ne reste rien.
Maxence et ses quatre amis vont payer chacun 3,69 € pour
offrir le CD à Armand.
On voit dans cet exercice la méthode qui
permet de diviser un nombre décimal par un
entier. Il faut que tu apprennes cette méthode
et que tu la maîtrises « sur le bout des doigts ».
Exercice 13
1) 6
63
72 5
0 5
1
,
,
6
6
0
4
6 9 1 4
2) 1
12
62 3
3 3
3
,
,
0
0
0
6
4 3 5 5
3) 4
411
59 9
6 9
9
,
,
0
0
0
6
1 2
7 9 5 57
276 56
4
,
= 69,14
261 3
6
,
= 43,55 = 7,957 595,49 ÷ 12
On applique la technique de la division décimale.
Exercice 14
1)
5
54
21 6
5 6
0
,
,
8
1 5 7
Un pot de peinture coûte 15,70 €.
2)
8 x 3 = 24
8 pots de 3 L contiennent au total 24 L de peinture.
5
5
21 6 0
0
6
8
08
08
,
,
2 4
5 2 3 3
1 L de peinture coûte environ 5,23 €.
1)
8 pots coûtent 125,6 € donc pour obtenir le
prix d’un pot, on effectue : 125,6 ÷ 8 .
2)
On commence par calculer le nombre total
litres de peinture contenus dans les 8 pots.
On trouve 24 L.
On divise ensuite le nombre de litres de
peinture par le prix.
On effectue : 125,6 ÷ 24
On veut l’arrondi au centième d’euro donc on
arrête la division « au bout du 3e chiffre après
la virgule ».
Remarque : On aurait pu obtenir le prix d’un
litre de peinture en divisant le prix d’un pot de
3 L par 3.
Cependant, cette méthode a un inconvénient :
si le calcule, à la première question, est faux,
tout l’exercice est faux.

cc Séquence 8
Exercice 15
1)
5
4
2 1
1
6 0
6
,
,
2 0
2
7
3 5 8 8
4
La troncature au millième de
25 12
7
,
est 3,588.
2)
2 3
5 0
,
,
0
2
6
0 3 8
L’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 est 0,4.
1)
On cherche la troncature au millième de
25,12
7
On arrête la division « au bout du 3e chiffre
après la virgule ».
2)
On cherche l’arrondi au dixième de 2,3 ÷ 6 .
On arrête la division « au bout du 2e chiffre
après la virgule ».
Exercice 16
1)
a) b) c)
6
6
1 8
8
8
,
,
2
2
2 0
0
1 0
1 6 8 2

5
5
4 0
0
,
,
0
0
0
1 0 0
0 0 4 5

1
1
9 6
6
0
06
,
,
0
0
0 0
0
0
0
1 0 0 0
0 0 9 1 6
2)
a) Diviser 168,2 par 10 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 1 rang, c’est-à-dire à multiplier
par 0,1.
b) Diviser 4,5 par 100 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 2 rangs, c’est-à-dire à multiplier
par 0,01.
c) Diviser 91,6 par 1 000 revient à déplacer sa virgule vers la gauche de 3 rangs, c’est-à-dire à
multiplier par 0,001.
Exercice 17
7 1
10
,
= 0,71
888 46
100
,
= 8,884 6
0 15
1000
,
= 0,000 15
4
100
= 0,04
4 999
10
,
= 0,499 9
90 1
1000
,
= 0,090 1
On applique la règle de la division par 10,
100 et 1 000 vue précédemment.
Exercice 18
Une peluche achetée chez le vendeur A, coûte en € :
45 60
10
,
soit 4,560 €, c’est-à-dire 4,56 €.
Une peluche achetée chez le vendeur B, coûte en € :
13 70
3
,
J’effectue la division :
3
1
1 7
7
2 0
2
,
,
0 0
0
3
4 5 6 6
2
La valeur arrondie au centime d’euro est 4,57 €.
Le vendeur le moins cher est donc le vendeur A.
Pour calculer le prix d’une peluche achetée
chez le vendeur A, on utilise la règle de la
division par 10. On décale donc la virgule de
45,60 d’un rang vers la gauche.
Pour calculer le prix d’une peluche achetée
chez le vendeur B, on applique la technique de
la division décimale.
On demande l’arrondi au centime d’euro,
donc on arrête la division « au bout du 3e
chiffre après la virgule ».
On conclut en comparant 4,56 et 4,57.

ccSéquence 8
Séance 4
Exercice 19
1) Quel est le dénominateur de l’écriture fractionnaire qui a 5
pour numérateur ? 7,6
2) Quel est le numérateur de l’écriture fractionnaire qui a 7,2
pour dénominateur ? 0,14
3) Quelle écriture fractionnaire a le plus grand dénominateur ?
7,2
15
On doit savoir par cœur que le nombre
situé au dessus de la barre de fraction est le
numérateur, et que le nombre situé au dessous
est le dénominateur.
Exercice 20
3
6
1
2
ou 4
7
3
4
Dans le premier cas, on constate que le disque
est découpé en 6 parts superposables. 3 parts
sont coloriées en rouge : on trouve donc la
fraction
3
6
. C’est aussi
1
2
car la moitié du
disque est en rouge.
Dans le deuxième cas, on constate que le
rectangle est découpé en 7 parts superposables.
4 parts sont coloriées en rouge : on trouve donc
la fraction
4
7
.
Dans le troisième cas, on constate que le carré
est découpé en 4 parts superposables. 3 parts
sont coloriées en rouge : on trouve donc la
fraction
3
4
.
Exercice 21
Trois quarts
3
4
Quinze tiers
15
3
Sept demis
7
2
Neuf douzièmes
9
12
Exercice 22
2
3
Deux tiers
7
4
Sept quarts
33
7
Trente-trois septièmes
17
11
Dix-sept onzièmes

cc Séquence 8
Exercice 23
35
7
= 5
9
9
= 1
13
1
= 13
48
6
= 8
56
7
= 8
4
4
= 1
72
1
= 72
77
11
= 7
37
37
= 1
On divise mentalement 35 par 7 ; 9 par 9 ;
13 par 1 ....
On obtient 5 ; 1 ; 13 ...
Autre méthode :
On revient à la définition du quotient :
35
7
est le nombre qui multiplié par 7 donne
35. Il est donc tel que :
35
7
x 7 = 35.
5 x 7 = 35 donc
35
7
= 5.
On fait de même pour les autres cas.
On remarque deux cas particuliers :
•
9
9
;
4
4
;
37
37
sont des fractions égales à 1 car :
9 x 1 = 9 ; 4 x 1 = 4 ; 37 x 1 = 37.
•
13
1
;
72
1
sont des fractions respectivement
égales à 13 et 72.
Exercice 24
1)
I
On partage un segment unité en 4 segments superposables. Chaque petit segment mesure un quart de l’unité soit un quart.
Ensuite, on trouve naturellement deux quarts, trois quarts et quatre quarts.
Pour ce qui est des écritures décimales, on trouve facilement la moitié de 1 soit 0,5. La moitié de 0,5 est 0,25.
On écrit donc 0,25 puis 0,5 puis 0,5 + 0,25 soit 0,75.
On voit donc ici le lien avec le quotient puisque :
0
2
1 0
0
0
,
,
4
0 2 5
On a bien :
1
4
0,25=
La notion de fraction comme « partage » coïncide donc parfaitement avec la notion de fraction définie comme un quotient.
2)
On partage un segment unité en 5, donc chaque petit segment mesure un cinquième de l’unité soit un cinquième.
Ensuite, on trouve naturellement deux cinquièmes, trois cinquièmes, quatre cinquièmes, cinq cinquièmes, puis six cinquièmes et sept
cinquièmes. On a trouvé :
1
5
0,2= en effectuant la division :
01
0
,
,
5
0 2

ccSéquence 8
Exercice 25
1)
nombres plus petits que 1 nombres égaux à 1 nombres plus grands que 1
5
7
;
13
14
;
2
3
8
8
;
47
47
9
7
;
14
13
;
3
2
2)
Une fraction est inférieure à 1 lorsque son numérateur est plus petit que son dénominateur.
Une fraction est supérieure à 1 lorsque son numérateur est plus grand que son dénominateur.
1)
On étudie la fraction
9
7
. On imagine la division décimale de 9 par 7. En 9, combien de fois 7 ? Réponse 1. On n’a pas besoin
d’imaginer la suite de la division : on sait que le quotient est plus grand que 1.
On étudie la fraction
5
7
. On imagine la division décimale de 5 par 7. En 5, combien de fois 7 ? Réponse 0. Le quotient est donc
plus petit que 1.
Etc.
On se rend alors compte que (par exemple) :
•
1
7
;
2
7
;
3
7
;
4
7
;
5
7
;
6
7
sont plus petits que 1.
•
7
7
est égal à 1.
•
8
7
;
9
7
;
10
7
;
11
7
;
12
7
;
13
7
;
14
7
;
15
7
... sont plus grands que 1.
On comprend alors que, dès que le numérateur d’une fraction est plus petit que son dénominateur, la fraction est inférieure à 1.
Au contraire, si le numérateur d’une fraction est plus grand que son dénominateur, la fraction est supérieure à 1.
On a vu dans l’exercice 23 que lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux, la fraction est égale à 1.

cc Séquence 8
Exercice 26
a) 0
03
7 0
02
0
,
,
4
1 7 5
7
4
est un nombre décimal qui s’écrit 1,75.
b)
0
2
2 0
0
2
,
,
3
0 6 6
La division ne « s’arrête jamais ».
2
3
Sa troncature au centième est 0,66.
c) 0
1
3
0
0
,
,
2
1 5
3
2
d)
11 0
2
,
,
0 0
0
0
8
8
1 2
0 9 1 6
La division ne « s’arrête jamais ».
11
12
Sa troncature au centième est 0,91.
e) 0
1
7
0
0
,
,
2
3 5
7
2
a) On effectue la division décimale de 7 par 4.
On trouve 1,75.
b) On effectue la division décimale de 2 par 3.
Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe
toujours sur le reste 2 ». Le quotient n’est
donc pas décimal.
« On arrête la division au bout de 2 chiffres
après la virgule » pour obtenir la troncature de
2
3
au centième.
c) On effectue la division décimale de 3 par 2.
On trouve 1,5.
d) On effectue la division décimale de 11 par
12.
Cette division ne s’arrête jamais, « on retombe
toujours sur le reste 8 ». Le quotient n’est
donc pas décimal.
« On arrête la division au bout de 2 chiffres
après la virgule » pour obtenir la troncature de
11
12
au centième.
e) On effectue la division décimale de 7 par 2.
On trouve 3,5.

ccSéquence 8
Séance 5
Exercice 27
a)
27
5
= 5,4 b)
41
6
6 833≈ ,
c)
31
8
= 3,875 d)
22
7
≈ 3,142 85
On effectue les divisions décimales.
Pour les cas a) et c), les divisions « s’arrêtent ».
Les quotients sont 5,4 et 3,875.
Pour les cas b) et d), les divisions « ne
s’arrêtent jamais », mais :
la troncature de
41
6
au millième est 6,833.
la troncature de
22
7
à 5 chiffres après la virgule
est 3,142 85.
Dans ces deux cas, on utilise donc le symbole
« est environ égal à ».
Exercice 28
1)
1 20
A B C
1
6
5
6
11
6
2)
1 2 30
A B C
2
5
12
5
9
5
Exercice 29
0
1 2 3 4 5
A B DC
2
3
7
3
9
3
14
3
ou
On cherche à placer des tiers, on peut donc commencer par regarder où se place
1
3
:
Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux de
longueur. Une fois que l’on a placé
1
3
, on place A d’abscisse
2
3
, ...
0
1 2
4 5
A B DC
1
3
2
3
3
3
4
3
7
3
9
3
14
3
...
3

cc Séquence 8
Exercice 30
2 3 4
2 + 1
3
4 2
3
4 + 2
3
On commence par regarder à quelle longueur correspond
1
3
:
Trois petits segments de même longueur mis bout à bout ont pour longueur totale 1. Un tel segment mesure donc deux carreaux
de longueur.
Le point d’abscisse 2 +
1
3
se place ensuite facilement : C’est le point qui se trouve à la longueur
1
3
, (c’est-à-dire 2 carreaux) « à
droite du point
d’abscisse 2 ».
2
1
3 4
1
3
1
3
1
3
On procède de la même façon pour les autres nombres.
Exercice 31
6
5
5
5
1
5
= + = 1
1
5
+ 0 1
1
5
6
5
5
4
4
4
1
4
= + = 1
1
4
++
0 1 2
1
4
5
4
11
6
6
6
5
6
= + = 1
5
6
+ 0 1 2
5
6
11
6
10
7
7
7
3
7
= + = 1
3
7
+ 0 1
3
7
7
10
« Six cinquièmes, c’est cinq cinquièmes plus un
cinquième ».
Pour placer rapidement
6
5
sur la droite
graduée, au lieu de compter
1
5
,
2
5
,
3
5
, ...
jusqu’à
6
5
. On cherche 1, « on compte
1
5
à
partir de 1 », et on place
6
5
à cet endroit de la
demi-droite graduée.
On fait de même pour les autres fractions.
Exercice 32
18
5
15
5
3
5
= + = 3
3
5
+
35
4
32
4
3
4
= + = 8
3
4
++ 31
14
28
14
3
14
= + = 2
3
14
+

ccSéquence 8
Exercice 33
0 1 2 3 4
B
3
4
A
3
2
E
11
4
D
29
8
C
5
8
Commençons par placer
3
2
. On cherche ce que représente
1
2
. Le segment unité est composé de huit petits carreaux superposables,
1
2
correspond donc à la longueur de 4 petits carreaux. Comme
3
2
1
1
2
= + , on peut alors placer facilement
3
2
.
0 1 2 3 4
A
3
2
1
2
Plaçons maintenant
3
4
et
11
4
1
4
. Le segment unité est composé de huit petits carreaux
superposables,
1
4
correspond donc à la longueur de 2 petits carreaux. On peut donc placer
1
4
,
2
4
,
3
4
. Comme
11
4
2
3
4
= + , on
peut alors placer
11
4
.
0 1 2 3 4
B
3
4
1
4
2
4
E
11
4
...
Plaçons maintenant
5
8
et
29
8
1
8
: c’est 1 petit carreau. On peut donc placer
1
8
,
2
8
,...,
5
8
.
Comme
29
8
3
5
8
= + , on peut alors placer
29
8
.
0 1 2 3 4
C
5
8
1
8
2
8
D
29
8
...

cc Séquence 8
Séance 6
Exercice 34
1)

ccSéquence 8
2)
a)
1
2 3 4 5 10
= = = = =
2 3 4 5 10
2
2 3 4 5 10
= = = = =
4 6 8 10 20
3
2 3 4 5 10
= = = = =
6 9 12 15 30
b)
3
2 4
=
6 3
2 10
=
15 6
5 10
=
12
c) « Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une
fraction par le même nombre, on obtient une fraction qui lui
est égale ».
2) a)
On voit sur les différentes demi-droites
graduées que les fractions
2
2
,
3
3
, ... sont
toutes placées sur la même ligne verticale, et
sont donc égales à 1.
On fait de même pour les fractions
4
2
,
6
3
, ...
Puis pour les fractions
6
2
,
9
3
, ... .
c)
x
x
Cette conjecture est en fait tout le temps vraie
quand le même nombre n’est pas égal à 0 (on
l’admet).
Exercice 35
a)
16
5 10
=
32
b)
3
4
=
15
20
c)
4
7
=
12
21
d)
2 8
164
=
e)
5
3 33
=
55
f)
4 24
61
= g)
8
7
=
16
14
h)
3
2
=
39
26
On applique le « je retiens » vu précédemment.
x
x
x
x
x
x
x
x

cc Séquence 8
Exercice 36
a)
7
5 15
14
20
42
= = = =
21
10
28
30
b)
30
9 3 6
60
12
= = = =
10 20
18
40
c)
20
12
40
6 30
25
= = = =
24
10 50
15
a)
7
5
21
15
= s’obtient en multipliant le numérateur
et le dénominateur de
7
5
par 3.
7
5
14
10
7
5
par 2.
28
20
pouvait s’obtenir de deux façons :
• soit en multipliant le numérateur et
le dénominateur de
7
5
par 4.
• soit en multipliant le numérateur et le
dénominateur de
14
10
par 2.
42
30
pouvait s’obtenir de deux façons :
le dénominateur de
7
5
par 6.
le dénominateur de
14
10
par 3.
On fait de même pour le b) et le c).
Exercice 37
a)
7
2
=
35
10
b)
9
4
=
225
100
c)
7
8
=
875
1 000
d) Il n’existe pas de fraction égale à
11
3
dont le dénominateur
est 10.
a)
7
2
35
10
7
2
par 5.
b)
9
4
225
100
9
4
par 25.
c)
7
8
875
1 000
7
8
par 125.
d)
On cherche un entier qui multiplié par 3 donne
10. Il n’y en a pas car 3 x 3 = 9 et 3 x 4 = 12.
La fraction cherchée n’existe pas.
Exercice 38
a)
6
4
3
2
2
2
=
×
×
=
3
2
b)
102
87
34
29
3
3
=
×
×
=
34
29
c)
15
40
3
8
5
5
=
×
×
=
3
8
d)
8
12
2
3
4
4
=
×
×
=
2
3
e)
108
45
12
5
9
9
=
×
×
=
12
5
Pour simplifier une fraction, on pense à
utiliser les critères de divisibilité.
a) On cherche un entier qui soit à la fois un
diviseur de 6 et un diviseur de 4. Les deux
nombres sont pairs, donc divisibles par 2.
b) On cherche un entier qui soit à la fois un
diviseur de 102 et un diviseur de 87.
3 est un diviseur de 102 et 87 car la somme
de leurs chiffres est divisible par 3.
c) On cherche un entier qui soit à la fois un
diviseur de 15 et un diviseur de 40.
5 est un diviseur de 15 et 40 car ils se
terminent pas un 0 ou un 5.
d) 8 et 12 sont pairs. La fraction
8
12
est donc
simplifiable par 2. Chaque fois qu’une fraction
est simplifiée par 2, on regarde toutefois
si elle n’est pas simplifiable par 4. C’est le
cas, puisque 8 et 12 sont dans la table de
multiplication par 4.
e) On utilise le critère de divisibilité par 9.

ccSéquence 8
Exercice 39
a)
42
66
14
22
14
22
7
11
3
3
2
2
=
×
×
= =
×
×
=
7
11
b)
30
165
6
33
6
33
2
11
5
5
3
3
=
×
×
= =
×
×
=
2
11
c)
315
90
35
10
35
10
7
2
9
9
5
5
=
×
×
= =
×
×
=
7
2
d)
210
36
70
12
70
12
35
6
3
3
2
2
=
×
×
= =
×
×
=
35
6

cc Séquence 8
Séance 7
Exercice 40
a) 0 4
4
10
2
5
2
2
, = =
×
×
=
2
5
b) 0 24
24
100
6
25
4
4
, = =
×
×
=
6
25
c) 1 3, =
13
10
d) 0 42
42
100
21
50
2
2
, = =
×
×
=
21
50
On pense à utiliser la règle de la division d’un
décimal par 10, 100 et 1 000. Cette règle
permet d’écrire rapidement un nombre décimal
en une fraction dont le dénominateur est 10,
100 ou 1 000.
On essaie ensuite de simplifier les fractions au
maximum.
Exercice 41
a)
27
45
3
5
9
9
=
×
×
=
3
5
b) 0 6
6
10
3
5
2
2
, = =
×
×
=
3
5
d)
12
20
3
5
4
4
=
×
×
=
3
5
e)
36
33
12
11
3
3
=
×
×
=
12
11
f)
6
10
3
5
2
2
=
×
×
=
3
5
36
33
est le seul nombre qui ne soit pas égal aux autres.
Pour pouvoir comparer chacun de ces nombres,
on pense à tous les écrire sous la forme d’une
fraction qui a le même dénominateur. On
regarde alors si les numérateurs sont les
mêmes.
Ici, on a choisi d’écrire les fractions ayant pour
dénominateur 5, mais on aurait pu choisir 10
ou 40 : l’important est qu’elles soient toutes
écrites avec le même dénominateur.
Exercice 42
a)
3 2
1 7 17
,
,
=
32
b)
26
3 85 385,
=
2 600
c)
0 05
1 006 1 006
,
,
=
50
d)
6 07
4 1
60 7,
,
,
=
41
e)
3
0 06
300
,
=
6
f)
0 001
0 27 27
,
,
=
0,1
On sait que si on multiplie le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire par le même nombre (non nul), on
obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale. On applique cette règle dans les cas ci-dessous avec 10, 100 et 1000 afin
d’obtenir une écriture fractionnaire égale à celle donnée au départ, mais avec un dénominateur entier.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

ccSéquence 8
Exercice 43
Parmi les écritures fractionnaires données,
2
3 6
20
36
5
9
4
4,
= =
×
×
=
5
9
;
2 12
2
212
200
106
100
106
100
53
50
2
2
2
2
,
= =
×
×
= =
×
×
=
53
50
;
4 1
3
41
30
17
10
3
3
,
= =
×
×
=
17
10
;
0 06
12
6
1200
1
200
6
6
,
= =
×
×
=
1
200
ne sont pas des fractions.
a)
2
3 6
20
36
5
9
4
4,
= =
×
×
=
5
9
b)
2 12
2
212
200
106
100
106
100
53
50
2
2
2
2
,
= =
×
×
= =
×
×
=
53
50
c)
3
4
est une fraction
d)
4 1
3
41
30
17
10
3
3
,
= =
×
×
=
17
10
e)
0 06
12
6
1200
1
200
6
6
,
= =
×
×
=
1
200
On commence par se rappeler qu’une
fraction est une écriture fractionnaire dont le
numérateur et le dénominateur sont entiers.
Parmi les écritures fractionnaires proposées,
seule
3
4
est une fraction.
Nous cherchons donc à écrire une fraction
égale à chaque autre écriture fractionnaire.
Pour cela, on multiplie par 10, 100 ou 1 000
le dénominateur et le numérateur de la façon
suivante :
• on multiplie par 10 le numérateur et le
dénominateur de
2
3,6
. Ainsi, les numérateurs
et dénominateurs obtenus sont entiers. On n’a
pas besoin de multiplier par 100 ou 1 000,
sinon on obtient une fraction avec des nombres
plus grands, donc plus dure à simplifier.
• on multiplie par 100 le numérateur et le
dénominateur de
2,12
2
. Ainsi, les numérateurs
et le dénominateur obtenus sont entiers.
Multiplier par 10 ne suffit pas : on trouve
2,12
2
21,2
20
= et
21,2
20
n’est pas une fraction.
Ensuite, on cherche à simplifier au maximum
les fractions obtenues.
Exercice 44
a)
1 5
10 5
15
105
3
21
3
21
1
7
5
5
3
3
,
,
= =
×
×
= =
×
×
=
1
7
b)
1 35
0 27
135
27
15
3
15
3
5
1
9
9
3
3
,
,
= =
×
×
= =
×
×
=
5
1
= 5
c)
4 5
9 9
45
99
5
11
9
9
,
,
= =
×
×
=
5
11
d)
8 4
4 8
84
48
21
12
21
12
7
4
4
4
3
3
,
,
= =
×
×
= =
×
×
=
7
4
e)
5 2
0 4
52
4
13
1
13
1
4
4
,
,
= =
×
×
= = 13
f) 0
4 4
11
440
1
40
1
40
11
11
,
,
= =
×
×
=
11
On utilise la méthode vue précédemment.
a) Attention ! il ne faut pas confondre
1
7
et
7
1
.
La fraction
1
7
ne peut pas s’écrire plus
simplement.
b) Une fois que l’on obtient
15
3
, on doit écrire
que cette fraction est égale à 5. Pourtant, on
demande un résultat sous forme de fraction.
En fait, quand la fraction est égale à un entier,
on la note comme un entier.
Par exemple, ici, on écrit 5 et non
5
1
.
C’est la même chose pour le e).
f) Des deux nombres 0,11 et 4,4 c’est 0,11
qui a le plus de chiffres après la virgule.
Comme 0,11 s’écrit avec 2 chiffres après la
virgule, on multiplie le numérateur et le
dénominateur de la fraction
0,11
4,4
par 100.

cc Séquence 8
Séance 8
Exercice 45
1)
a)
800
4
= 200 donc une part de gâteau pèse 200 g.
Trois parts de gâteau pèsent donc 3 x 200 soit 600 g.
Il a donc effectué : 3 x (800 ÷ 4)
b)
Il a en fait effectué : (3 ÷ 4) x 800
c)
Il a en fait effectué : (3 x 800) ÷ 4
2) On cherche à calculer
2
5
600× .
Méthode de Maxence : 2 x (600 ÷ 5) = 2 x 120 = 240. On trouve 240 g.
Méthode de Léo : (2 ÷ 5) x 600 = 0,4 x 600 = 240. On trouve 240 g.
Méthode d’Amaury : (2 x 600) ÷ 5 = 1 200 ÷ 5 = 240. On trouve 240 g.
Exercice 46
Trois quarts de 733 s’écrit :
3
4
733×
Onze tiers de 408 s’écrit :
11
3
408×
1
10
950× s’écrit en toutes lettres : Un dixième de neuf cent
cinquante.
13
12
27× s’écrit en toutes lettres : Treize douzièmes de vingt-sept.
On applique le « Je retiens » vu précédemment.
Exercice 47
a) 5
4
24 5 24 4 5 6× = × √ = × =( ) 30
b) 6
10
50 6 50 10 300 10× = × √ = √ =( ) 30
c) 2
5
30 2 30 5 2 6× = × √ = × =( ) 12
d) 28
4
5 28 4 5 7 5× = √ × = × =( ) 35
a) On aurait pu utiliser les deux autres
méthodes :
5
4
24 5 4 24 = 1,25 24 = 30× = ÷ × ×( )
5
4
24 5 4 4 = 120 4 = 30× = × ÷ ÷( )2
On voit que la méthode proposée dans la
colonne de gauche était la plus rapide (on
pouvait pu faire le calcul de tête).
Exercice 48
a) 2 6
2
10 2 6 10 2 26 2
,
( , )× = × √ = √ = 13
b) 1
3
12 1 12 3 12 3× = × √ = √ =( ) 4
c) 3
7
35 3 35 7 3 5× = × √ = × =( ) 15
a) On aurait également pu utiliser les deux
autres méthodes.
b) Une méthode pose problème :
1
3
12 1 3 12× = ÷ ×( )
Le calcul de 1÷ 3 pose problème : la division
de 1 par 3 « ne s’arrête pas ». Il ne fallait pas
utiliser cette méthode.
c) Une méthode pose problème :
3
7
35 3 7× = ÷ ×( ) 35
(pour une raison semblable à celle du cas
précédent).
Quand une méthode conduit à un résultat
exact, on n’en utilise pas une autre qui ne
donne qu’une valeur approchée.

ccSéquence 8
Exercice 49
a)
3
7
14 3 14 7 3 2× = × √ = × =( ) 6
b)
8
5
15 8 15 5 8 3× = × √ = × =( ) 24
c) 6
11
2
6 2 11 3 11× = √ × = × =( ) 33
d) 0 09
100
3
0 09 100 3 9 3, ( , )× = × √ = √ = 3
Quand on utilise la meilleure méthode, les
calculs peuvent parfois devenir très simples.
Exercice 50
a)
2
3
18 2 18 3 2 6× = × √ = × =( ) 12
b)
28
7
3 5 28 7 3 5 4 3 5× = √ × = × =, ( ) , , 14
c) 8 000
0 001
2
8 000 0 001 2× = × ÷ = 8 ÷ 2 =
,
( , ) 4
d)
11
7
28 11 28 7 11 4× = × √ = × =( ) 44
Avant de commencer chaque calcul, on essaie
de regarder quelle est la méthode la plus
simple.
Exercice 51
a)
2
33
21
2 21
33
2 7
11
14
11
3
3
× =
×
=
× ×
×
=
3

14
11
≈ 1,27
b)
5
21
28
5 28
21
5 4
3
20
3
7
7
× =
×
=
× ×
×
=
7

20
3
≈ 6,67
c) 3 6
10
7
3 6 10
7
36
7
,
,
× =
×
=
36
7
≈ 5,14
a) Les divisions de 2 par 33 (méthode 1)
et de 21 par 33 (méthode 3) ne s’arrêtent
pas. On écrit alors les calculs sous forme de
fractions à l’aide de la méthode 2.
b) c)
Même type de raisonnement que
précédemment.

cc Séquence 8
Séance 9
Exercice 52
La distance en km parcourue par le cycliste est :
2
7
280× .
2
7
280 2 280 7 2 40 80× = × √ = × =( )
Le cycliste a donc parcouru 80 km.
Il lui reste à parcourir 280 – 80 soit 200 km.
On commence par calculer la distance que le
cycliste a parcourue. Il ne fallait pas utiliser la
méthode 1 car la fraction
2
7
ne s’arrête pas.
Ensuite, on soustrait la distance parcourue à la
distance totale.
Autre méthode : il lui reste à parcourir
5
7
du
trajet.
5
7
280 5 280 7 5 40 200× = × ÷ = × =( )
Exercice 53
La superficie de la Corse est :
15 5
1 000
552 000
,
×
15 5
1 000
552 000 15 5 552 000 1 000 15 5 552
,
, ( ) ,× = × √ = ×
J’effectue 552 15 5× , sur ma calculatrice. Je trouve 8 556.
La superficie de la Corse est 8 556 km2
.
15,5 millièmes de la superficie de la France,
c’est :
15,5
1 000
552 000×
Comme on ne peut effectuer qu’une seule
multiplication avec la calculatrice, il vaut mieux
choir la 3e méthode. En effet,
552 000 ÷ 1 000 est simple à calculer.
Exercice 54
1)
a) Romain a dépensé en € :
2
3
42×
2
3
42 2 42 3 2 14 28× = × √ = × =( )
Romain a dépensé 28 €.
b) Il reste à Romain 42 – 28 soit 14 €.
2)
a) Romain a dépensé en € :
3
7
14×
3
7
14 3 14 7 3 2 6× = × √ = × =( )
Lors de son deuxième achat, Romain a dépensé 6 €.
b) Après ses deux premiers achats, il reste à Romain 14 – 6 soit
8 €.
1)
a)
b) On soustrait l’argent qu’a dépensé Romain
à la somme qu’il avait au départ.
2) a)
On doit faire attention :
Romain dépense trois septièmes du reste soit
trois septièmes de 14.

ccSéquence 8
Je m’évalue
1) Le quotient de 42 par 7 est :
˝ 6
® 8
® 7
® 42
2) Le quotient 342 ÷ 50 est égal à :
® 6,83
® 6
® 8,64
˝ 6,84
3) La fraction 58
9
:
® est un nombre décimal ?
˝ n’est pas un nombre décimal ?
4) L’écriture fractionnaire 8 2
5
, est égale à :
® 1,5
® 1,61
˝ 1,64
® 1,642
5) La fraction
17
12
® 12
5
12
+
® 5
1
12
+
˝ 1
5
12
++
® 17
1
12
+
1)
On applique la définition du quotient.
2)
On pose la division.
Si tu n’as pas compris, reporte-toi au « Je
comprends la méthode » qui suit l’exercice 3.
3)
On pose la division. Elle ne s’arrête pas.
Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice
26.
4)
On pose la division.
Si tu n’as pas compris, reporte-toi à l’exercice 13.
5)
17
12
12
12
5
12
1
5
12
= =+ +
31.

cc Séquence 8
6) La fraction
68
7
˝ 9
5
7
++
® 9
4
7
+
® 9
3
7
+
® 9
6
7
+
7) La fraction
4
3
˝
8
6
®
8
3
˝
12
9
˝
20
15
8) L’écriture fractionnaire
2 6
4 2
,
,
˝
13
21
®
84
52
˝
52
84
˝
26
42
9) L’expression
7 4
2
10
,
× est égale à
® 30
® 27
® 28
˝ 37
10) L’arrondi au centième de six septièmes de 26 est
˝ 22,29
® 22,28
® 22,3
® 22
6)
68
7
63
7
5
7
9
5
7
= =+ +
32.
7)
On utilise la propriété suivante :
« Lorsqu’on multiplie le numérateur et le
dénominateur d’une fraction par un même
nombre non nul, on obtient une fraction qui
lui est égale ».
Si tu n’as pas compris, reporte-toi aux
exercices 35 et 36.
8)
On utilise la propriété suivante :
« Lorsqu’on multiplie le numérateur et le
dénominateur d’une écriture fractionnaire
par un même nombre non nul, on obtient une
fraction qui lui est égale ».
exercices 35 et 36.
9)
On calcule la fraction d’un nombre.
exercices 49 et 50.
10)
On calcule la fraction d’un nombre.
51.

ccSéquence 9
SÉQUENCE 9
Séance 1
1)
® 25 mL de jus d’ananas
˛ 75 mL de jus d’ananas
2)
® 400 km
® 330 km
® 310 km
˛ 440 km
3)
˛ 10 fois moins
® 3 g
® 15 g
˛ 4,5 g
4)
˛ 6 €
® 30 €
® 60 €
® 5 €
1)
Il doit y avoir deux fois moins (c’est-à-dire la
moitié) de jus d’ananas que de jus d’orange.
On a versé 150 mL de jus d’orange. La moitié
de 150 est 75. On trouve donc 75 mL.
2) En 4 h, la voiture parcourra 4 fois 110 km
soit 440 km.
3)
Un avion pèse 10 fois moins que 45 g, c’est-à-
dire 45 ÷ 10 soit 4,5 g.
4)
30 % de 10 € représente 3 €.
30 % de 20 € représente donc 2 x 3 soit 6 €.
Exercice 1
• Une semaine est constituée de 7 jours donc
. dans 4 semaines, il y a 28 jours,
. dans 11 semaines, il y a 77 jours,
. dans 52 semaines, il y a 364 jours.
• Un octogone est un polygone qui possède 8 côtés donc
. 2 octogones possèdent au total 16 côtés,
. 3 octogones possèdent au total 24 côtés,
. 50 octogones possèdent au total 400 côtés.
• Une glace coûte 1,5 € donc
. 2 glaces coûtent 3 €,
. 4 glaces coûtent 6 €.
• Une semaine est constituée de 7 jours, donc :
dans 4 semaines, il y a 4 x 7 soit 28 jours
dans 11 semaines, il y a 11 x 7 soit 77 jours
dans 52 semaines, il y a 52 x 7 soit 364 jours.
• Un octogone est un polygone qui possède 8
côtés, donc
2 octogones possèdent au total 2 x 8 soit 16 côtés
3 octogones possèdent au total 3 x 8 soit 24 côtés
50octogonespossèdentautotal50x8 soit400côtés.
• Une glace coûte 1,5 € donc
2 glaces coûtent 2 x 1,5 soit 3 €,
4 glaces coûtent 4 x 1,5 soit 6 €.
Ainsi, dans les exemples précédents :
. le nombre de jours s’obtient en multipliant le
nombre de semaines par 7
. le nombre de côtés s’obtient en multipliant le
nombre d’octogones par 8
. le nombre de glaces s’obtient en multipliant le
prix d’une glace par 1,5.

cc Séquence 9
Exercice 2
1 litre de peinture pèse 2,4 kg
1)
• 5 L pèsent : 5 x 2,4 = 12 soit 12 kg. 5 L de peinture pèsent 12 kg.
• 12 L pèsent : 12 x 2,4 = 28,8 soit 28,8 kg. 12 L de peinture pèsent 28,8 kg.
2) On remarque que : 2,4 x 10 = 24. Le bac contient 10 L de peinture.
Exercice 3
Un litre de carburant coûte 1,25 €.
1) 30 L de carburant coûtent, en € : 30 x 1,25 = 37,5. Le client va payer 37,5 €.
2) 46,6 L de carburant coûtent, en € : 46,6 x 1,25 = 58,25. Le client va payer 58,25 €.
Exercice 4
Si cette situation était une situation de proportionnalité,
Monsieur Grandbonhomme mesurerait à 5 ans.
5 x 80 soit 400 cm (4 mètres !).
Or à 5 ans, Monsieur Grandbonhomme ne mesure que 100 cm.
La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.
80 = 1 x 80
On peut dire également que la taille de ce
monsieur n’est pas proportionnelle à son âge.
Exercice 5
On a :
2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 5,1 x 3 = 15,3
Lorsqu’on multiplie par le même nombre 3 le côté d’un triangle
équilatéral, on obtient son périmètre.
Le côté d’un triangle équilatéral et son périmètre sont donc
deux grandeurs proportionnelles.
On applique la définition de « grandeurs
proportionnelles ».

ccSéquence 9
Séance 2
Exercice 6
1)
La situation décrite est une situation de proportionnalité.
3 m coûtent 10,5 €.
• Comme 6 = 2 x 3 , 6 m coûtent deux fois plus cher que 3 m soit 2 x 10,5 € donc 21 €.
• Comme 12 = 4 x 3 , 12 m coûtent quatre fois plus cher que 3 m soit 4 x 10,5 € donc 42 €.
• Comme 15 = 5 x 3 , 15 m coûtent cinq fois plus cher que 3 m soit 5 x 10,5 € donc 52,5 €.
2)
3 m coûtent 10,5 €.
• 1 m coûte trois fois moins cher, soit 10,5 ÷ 3 donc 3,5 €.
• 1,5 m coûte deux fois moins cher, soit 10,5 ÷ 2 c’est-à-dire 5,25 €.
• Comme : 0,3 = 3 ÷ 10, 0,3 m coûtent 10 fois moins cher que 3 m, soit 10,5 ÷ 10 donc 1,05 €.
1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :
€
Remarques :
• Pour calculer le prix de 12 m de ruban, on aurait pu procéder ainsi :
Comme : 12 = 2 x 6, le prix de 12 m de ruban est le double de celui de 3 m, soit 10,5 x 2 c’est-à-dire 21 €.
• Pour calculer le prix de 15 mètres de ruban, on aurait pu procéder différemment :
15 = 3 + 12
3 mètres de ruban coûtent 10,5 euros,
12 mètres de ruban coûtent 42 euros,
donc 15 mètres de ruban coûtent 10,5 + 42 euros soit 52,5 euros.
2)
Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :
€

cc Séquence 9
Exercice 7
6 kg de charbon de bois coûtent 4 €.
1)
• 18 kg, c’est-à-dire 3 fois plus, coûtent donc 3 fois plus, soit 3 x 4 €, c’est-à-dire 12 €.
• 24 kg, c’est-à-dire 4 fois plus que 6 kg, coûtent donc 4 fois plus, soit 4 x 4 €, c’est-à-dire 16 €.
• 3 kg, c’est-à-dire la moitié de 6 kg, coûtent donc deux fois moins, soit 4 ÷ 2 €, c’est-à-dire 2 €.
2)
• 20 = 5 x 4 donc 20 € représentent 5 fois le prix de 6 kg de charbon, soit le prix de 30 kg de charbon.
• 22 €, c’est 20 € plus 2 €.
20 € est le prix de 30 kg de charbon,
2 € est le prix de 3 kg,
22 € est donc le prix de 30 + 3 soit 33 kg de charbon.
Les remarques du professeur
1) Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :
€
Exercice 8
20 roses coûtent 13,6 €.
• prix de 5 roses :
Comme 5 = 20 : 4, 5 roses coûtent 4 fois moins cher que 20 roses soit 13,6 ÷ 4 donc 3,4 €.
25 roses représentent 5 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 5 fois plus cher, soit 5 x 3,4 c’est-à-
dire 17 €.
45 roses représentent 9 fois plus que 5 roses, elles coûtent donc 9 fois plus cher, soit 9 x 3,4 c’est-à-
dire 30,6 €.
• Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :
€
• Pour calculer le prix de 25 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante :
25 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 5 roses à 3,4 euros ». 25 roses coûtent donc 13,6 + 3,4 soit 17 euros.
• Pour calculer le prix de 45 roses, on pouvait également procéder de la façon suivante :
45 roses, c’est « 20 roses à 13,6 euros plus 25 roses à 17 euros ». 45 roses coûtent donc 13,6 + 17 soit 30,6 euros.

ccSéquence 9
Exercice 9
Il coule 5 litres du robinet toutes les 3 minutes.
• nombre de litres en une heure :
Une heure correspond à 60 minutes, donc à 20 fois 3 minutes. Il coule donc en une heure 20 fois plus
d’eau qu’en 3 minutes, soit 20 x 5 litres, c’est-à-dire 100 litres.
• nombre de litres en une demi-heure :
Une demi-heure, c’est la moitié d’une heure, il coule donc en une demi-heure la moitié de 100 litres
soit 50 litres.
• nombre de litres en une heure et 3 minutes :
Une heure et 3 minutes c’est une heure plus 3 minutes.
En 1 heure, il coule 100 L,
en 3 minutes, il coule 5 L,
donc en une heure et 3 minutes, il coule donc 100 + 5 soit 105 L.
• Pour bien comprendre et représenter cette situation, on utilise généralement un tableau :
+
+
• Pour déterminer combien de litres coulent en une demi-heure, on pouvait également procéder de la façon suivante :
Une demi-heure, c’est 30 minutes soit 10 fois 3 minutes. Il coule donc en une demi-heure dix fois plus de litres qu’en trois
minutes soit 10 x 5 donc 50 litres.

cc Séquence 9
Exercice 10
Le motard roule à 120 km par heure.
1)
• En une demi-heure, le motard a parcouru la moitié de 120 km soit 60 km.
• En un quart d’heure, le motard aura parcouru le quart de ce qu’il parcourt en une heure, soit 120 : 4
donc 30 km.
• En trois quarts d’heure, il a parcouru trois fois ce qu’il parcourt en un quart d’heure, soit trois fois
30 km donc 90 km.
2)
• 150 = 120 + 30
120 km sont parcourus en 1 h,
30 km sont parcourus en
1
4
h,
donc 150 km sont parcourus en une heure et quart.
• 15 km, c’est 10 fois moins que 150 km. Le motard mettra donc dix fois moins de temps que
pour parcourir 150 km soit 75 ÷ 10 minutes c’est-à-dire 7,5 minutes. Une demi-minute, c’est trente
secondes. Le motard mettra donc 7 minutes et trente secondes pour parcourir 15 km.
1)
Il y avait une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en un quart d’heure, en utilisant le fait qu’un quart
d’heure est la moitié d’une demi-heure.
Il y avait également une autre solution pour calculer la distance parcourue par le motard en trois quarts d’heure, en utilisant la
relation :
3
4
1
2
1
4
h h h= + .
Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 1).
2)
Il y avait une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 150 km, en utilisant le fait que 150 km représentent 5 fois
30 km.
Il y avait également une autre solution pour calculer le temps mis pour parcourir 15 km, en utilisant l’égalité : 15 = 30 ÷ 2.
Voici un tableau qui représente l’ensemble de la situation du 2).
+
+

ccSéquence 9
Séance 3
Exercice 11
1) 7 litres de soda coûtent 8,05 € donc 1 L coûte 7 fois moins soit 8,05 ÷ 7 donc 1,15 €. Le prix d’un
litre de soda est donc 1,15 €.
2) Maintenant que nous connaissons le prix d’un litre, il est très facile de calculer le prix de 13 L, de
27 L, ou de n’importe quel volume de soda :
13 L de soda coûtent 13 x 1,15 euros soit 14,95 €.
27 L de soda coûtent 27 x 1,15 euros soit 31,05 €.
Exercice 12
1) Un pack d’eau contient 6 x 15 soit 9 L d’eau. Dans un litre, il y a donc 9 fois moins de calcium que
dans 9 L, soit 4,32 ÷ 9 c’est-à-dire 0,48 g.
2)
Dans 15 L, il y a 15 x 0,48 g de calcium soit 7,2 g de calcium.
Dans 25 L, il y en a 25 x 0,48 soit 12 g de calcium.
3) On cherche le nombre qui multiplié par 0,48 donne 4,992. On effectue donc 4,992 ÷ 0,48.
On obtient 10,4. Il y a 4,992 grammes de calcium dans 10,4 L de cette eau minérale.
1) On peut dresser le tableau suivant :
Dans ce tableau, on passe d’un nombre de la première ligne au nombre correspondant de la seconde ligne en multipliant toujours
par un même nombre (ici : 0,48). Il en est ainsi car on est dans une situation de proportionnalité. 0,48 est le coefficient de
proportionnalité de cette situation. C’est le nombre qui se trouve au-dessous de 1 dans le tableau.
Trouver le volume d’eau dans lequel se trouvent 4,992 g de calcium revient à trouver le nombre qui, multiplié par 0,48 donne 4,992.
On effectue donc 4,992 ÷ 0,48.
Exercice 13
Pour pouvoir comparer le prix des deux lessives, on peut comparer leurs prix au kilo.
• Marque « kips » :
4 kg coûtent 2,5 € donc 1 kg coûte 4 fois moins, soit 2,5 ÷ 4 € c’est-à-dire 0,625 €.
• Marque « erial » :
4,5 kg coûtent 2,79 € donc 1 kg coûte 2,79 ÷ 4,5 € c’est-à-dire 0,62 €.
Comme 0,62 0,625 , la marque la moins chère est la marque « erial ».

cc Séquence 9
Exercice 14
En 25 minutes, la machine produit 44 kg de crème glacée.
1) En 1 min, elle en produit 25 fois moins, soit 44 ÷ 25 kg c’est-à-dire 1,76 kg.
2)
• En 32 min, elle produit 32 x 1,76 kg de crème glacée soit 56,32 kg.
• 3 heures et 27 min représentent (3 x 60) + 27 min soit 207 min.
En 207 min, la machine produit 207 x 1,76 kg de crème glacée, soit 364,32 kg.
3)
• 172,48 ÷ 1,76 = 98. Il faut donc 98 min, c’est-à-dire 1 h 38 min pour produire 172,48 kg de crème
glacée.
• De la même façon, pour produire 227,04 kg de crème glacée, il faut 227,04 ÷ 1,76 soit
129 min, c’est-à-dire 2 h 9 min.
1) 2) On peut dresser le tableau suivant :
3) Comment trouver le temps qu’il faut pour produire 172,48 kg de crème glacée ? On cherche le nombre qui, multiplié par 1,76
donne 172,48. Ce nombre est : 172,48 ÷ 1,76 = 98. Pour cela, on peut dresser le tableau suivant :
On fait de même pour 227,04 kg.
Exercice 15
1) Appliquons la technique du « passage à l’unité » :
5 timbres coûtent 1,8 € donc 1 timbre coûte 1,8 ÷ 5 € soit 0,36 €.
11 timbres coûtent 11 x 0,36 euros soit 3,96 €.
2) Avec 2,52 €, on peut acheter 2,52 ÷ 0,36 timbres soit 7 timbres.
€
0,36 est le coefficient de proportionnalité.
2) On cherche le nombre qui, multiplié par 0,36 donne 2,52.On peut dresser le tableau suivant :
€

ccSéquence 9
Séance 4
Exercice 16
3,6 = 2 x 1,8 donc le prix de 24 photographies est bien le
double de celui de 12.
Le prix de 36 photographies est 4,6 €.
Comme 3 x 1,8 = 5,4, le prix de 36 photographies n’est pas le
triple de celui de 12.
La situation n’est donc pas une situation de proportionnalité.
Il existe une autre technique permettant de
montrer que cette situation n’est pas une
situation de proportionnalité :
Si la situation était une situation de
proportionnalité, le coefficient de
proportionnalité serait :
1,8 ÷ 12 = 0,15
Le prix en € de 24 photographies serait :
24 x 0,15 = 3,6
C’est bien cela.
Le prix en € de 36 photographies serait :
36 x 0,15 = 5,4
Ce n’est pas le cas puisque le prix du
développement de 36 photos est 4,6 euros.
La situation n’est donc pas une situation de
proportionnalité.
Exercice 17
La différence d’âge entre Julie et Budan est 30 – 4 soit 26 ans.
L’âge de Budan, quand Julie aura 60 ans, sera 60 – 26 soit 34 ans.
Attention ! Si l’âge de Julie est multiplié par 2,
l’âge de Budan n’est pas multiplié par 2. Ces
deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.
Exercice 18
Un pied vaut 30,48 cm et il est constitué de 12 pouces.
1) Commençons par exprimer un pouce en cm. 30,48 ÷ 12 = 2,54. Un pouce correspond à 2,54 cm.
17 pouces correspondent à 17 x 2,54 cm soit 43,18 cm.
2) 36 pouces sont égaux à « 17 pouces plus 19 pouces ».
Ils correspondent donc à : 43,18 + 48,26 cm soit 91,44 cm.
40 pouces correspondent à « 19 pouces plus 21 pouces ».
Ils correspondent donc à : 48,26 + 53,34 cm soit 101,6 cm.
3) 69,85 ÷ 2,54 = 27,5.
27,5 pouces correspondent à 69,85 cm.
3) On cherche le nombre qui « multiplié par 2,54 donne 69,85 ».Ce nombre est 69,85 ÷ 2,54 soit 27,5. On peut dresser le
tableau suivant :

cc Séquence 9
Exercice 19
1 mois de communications coûte à Arnaud 115 ÷ 7 soit
115
7
€.
• 13 mois de communications coûtent 13
115
7
× €. 13
115
7
13 115
7
1 495
7
× =
×
=
13 mois de communications coûtent donc
1 495
7
€ soit environ 213,6 € (arrondi au dixième d’euro).
• 9 mois de communications coûtent 9
115
7
× €. 9
115
7
9 115
7
1 035
7
× =
×
=
9 mois de communications coûtent donc
1 035
7
€ soit environ 147,9 € (arrondi au dixième d’euro).
On applique la méthode du « retour à l’unité » :
• Calcul du prix d’un mois de communications
Si l’on effectue la division de 115 par 7, on constate qu’elle ne se termine pas : on trouve 16,428 571 42...
La somme exacte que dépense Arnaud pour 1 mois de communications n’est donc pas un nombre décimal.
Elle est égale à
115
7
€. 16,4 en est l’arrondi au dixième d’euro.
• Calcul du prix de 9 et 13 mois de communications
On doit effectuer le produit d’une fraction et d’un nombre. Cette notion a été vue dans la séance 8 de la séquence 8.
Récapitulons les données dans le tableau suivant :
€
Remarque importante : Très souvent, pour être précis(e), tu devras utiliser des calculs avec des fractions (même si cela te
paraît plus difficile), plutôt que d’utiliser des valeurs approchées.
Si, pour déterminer le coût de 13 mois d’abonnement, on avait utilisé 16,4 au lieu de
115
7
, on aurait calculé 13 x 16,4. On
aurait obtenu 213,2. Or l’arrondi au dixième d’euro du résultat correct est 213,6. On aurait donc commis une erreur !

ccSéquence 9
Exercice 20
1) Une noix de coco permet d’obtenir 5 ÷ 21 L de lait de coco soit
5
21
L.
Avec 13 noix de coco, on obtient 13
5
21
× L de lait de coco. 13
5
21
13 5
21
65
21
× =
×
=
Avec 13 noix de coco, on obtient
65
21
L de lait de coco soit environ 3,1 L .
2) 5 L de lait s’obtiennent avec 21 noix de coco.
1 litre de lait de coco s’obtient avec 21 ÷ 5 noix de coco soit
21
5
noix de coco.
Pour obtenir 16 litres de noix de coco, on utilise donc 16
21
5
× noix de coco. 16
21
5
16 21
5
336
5
× =
×
=
336
5
67 2= ,
Pour obtenir 16 litres de lait de coco, il faut 67,2 noix de coco.
Il faut donc utiliser 68 noix de coco, et il y aura un peu de lait en plus.
1) On applique la méthode du « retour à l’unité ».
La division 5 : 21 « ne se termine jamais ». On utilise donc une fraction.
On récapitule les données dans le tableau suivant :
On pouvait également utiliser une autre méthode :
Le nombre de noix de coco et la quantité de lait obtenue sont deux grandeurs proportionnelles. Par conséquent, lorsque le nombre
de noix de coco est multiplié par
13
21
, le nombre de litres de lait est également multiplié par
13
21
.
Le volume de lait en L obtenu avec 13 noix de coco est donc : 5
13
21
× soit
65
21
, c’est-à-dire environ 3,1 L.
Remarque : Chaque fois, dans les exercices précédents, que nous avons procédé par « retour à l’unité », nous aurions pu utiliser
une méthode analogue à celle-là. Voici cette deuxième méthode illustrée avec un tableau :
2) On récapitule les données dans le tableau suivant :

cc Séquence 9
Séance 5
Exercice 21
1)
distance réelle en cm
distance sur plan en cm
2) 545 50
545
545√ = = ×
50
1
50
Diviser un nombre par 50 revient à le multiplier par
1
50
.
3)
a) On obtient les distances en cm sur le plan de Steeven en
multipliant les distances réelles en cm par le même nombre :
1
50
.
Les distances en cm sur le plan sont donc proportionnelles aux
distances réelles en cm. Le coefficient de proportionnalité est
1
50
.
b) Les distances en cm sur le plan sont 50 fois plus petites que
les distances réelles correspondantes en cm.
1 cm représente donc une longueur réelle 50 fois plus grande,
soit 50 cm.
4) 6,35 m
5,45 m
3,25 m
3,55 m
5)
Les distances (en cm) dans la réalité sont 50 fois plus grandes
que les distances correspondantes (en cm) sur le plan.
Le rayon réel de la table (en cm) est donc :
1,2 x 50 = 60
Le diamètre réel de la table est donc 2 x 60 cm, soit 120 cm,
c’est-à-dire 1,2 m.
1)
Diviser un nombre par 50 revient à le diviser
par 100 et à multiplier le résultat obtenu par
2. On peut donc compléter le tableau donné
sans utiliser la calculatrice.
Par exemple :
545 ÷ 50 = (545 ÷ 100) x 2 = 5,45 x 2
545 ÷ 50 = 10,9
2) On utilise :
545
1
50
545 1
50
545
50
× =
×
=
3)
a)
On applique un propriété vue dans la séance 1 :
Si les valeurs d’une grandeur s’obtiennent en
multipliant les valeurs d’une autre grandeur
par un même nombre, alors les deux grandeurs
sont proportionnelles.
Rappel : Pour multiplier mentalement un
nombre par 50, on le multiplie par 100 et on
divise le résultat obtenu par 2

ccSéquence 9
Exercice 22
a) Dire que la carte est à l’échelle
1
40 000
signifie que 1 cm sur le plan représente 40 000 cm dans la
réalité.
b) La distance réelle qui sépare Belvu et Pentu est 7 x 40 000 cm soit 280 000 cm, c’est-à-dire 2,8 km.
c) 5,2 km = 520 000 cm
La distance sur le plan qui sépare Toitu et Lunavrac est : 520 000 ÷ 40 000 soit 13 cm.
Exercice 23
1)
• Sur le plan, la distance entre la gare et le collège est égale à
3,8 cm.
La distance réelle entre la gare et le collège est donc 3,8 x 8 000 cm
soit 30 400 cm, c’est-à-dire 304 m.
• Sur le plan, la distance entre la gare et le lycée est égale à 6,6 cm.
La distance réelle entre la gare et le lycée est 6,6 x 8 000 cm
soit 52 800 cm, c’est-à-dire 528 m.
2)
a)
200 m = 20 000 cm
Sur le plan, la distance de la piscine au collège est 20 000 ÷ 8 000 cm
soit 2,5 cm.
552 m = 55 200 cm
Sur le plan, la distance de la piscine au lycée est 55 200 ÷ 8 000 cm
soit 6,9 cm.
b)
C
G
L
G : gare C : collège L : lycée
P
1)
On rappelle que :
100 cm = 1 m
Pour convertir une longueur exprimée en cm
en une longueur exprimée en m , il suffit de
diviser par 100 :
Comme 30 400 ÷ 100 = 304, on a :
30 400 cm = 304 m
Comme 52 800 ÷ 100 = 528, on a :
52 800 cm = 528 m
2)
a)
Pour convertir une longueur exprimée en m
à une longueur exprimée en cm , il suffit de
multiplier par 100 :
Comme 552 x 100 = 55 200, on a :
552 m = 55 200 cm
b)
Je trace le cercle de centre C et de rayon 2,5 cm
puis le cercle de centre L et de rayon 6,9 cm.
Le point P se trouve à l’intersection des deux
cercles.
Je déduis l’emplacement de P sachant que la
piscine est plus près de la gare que le collège.

cc Séquence 9
Exercice 24
a)
4 cm sur la carte représentent 32 km.
1 cm représente donc 32 ÷ 4 km soit 8 km.
b)
8 km = 800 000 cm
1 cm sur la carte représente donc 800 000 cm
Par suite la carte est à l’échelle
1
800 000
.
c)
• 1 cm sur la carte représente 8 km donc 6 cm sur la carte
représentent 6 x 8 km soit 48 km.
• 1 cm sur la carte représente 8 km donc deux localités
distantes de 3,7 cm sur la carte sont éloignées en réalité de
3,7 x 8 km, soit de 29,6 km.
d)
Une longueur réelle de 8 km est représenté par 1 cm sur le plan.
40 ÷ 8 = 5
Une longueur de 40 km est donc représentée sur le plan par 5 cm.
Deux villes séparées de 40 km dans la réalité sont donc
distantes de 5 cm sur le plan.
La distance sur la carte séparant deux villes distantes dans la
réalité de 74 km est 74 ÷ 8 soit 9,25 cm.
a)
b) C’est la définition de la notion d’échelle.
c)
On sait que 1 cm sur la carte représente
8 km en réalité.
Pour obtenir une distance réelle exprimée en
km à partir d’une distance en cm de la carte,
il suffit de multiplier par 8.
d)
Pour obtenir une distance réelle exprimée en
km à partir d’une distance en cm de la carte,
il suffit de multiplier par 8.
Pour faire l’inverse, c’est-à-dire obtenir une
distance en cm sur la carte à partir d’ une
distance réelle exprimée en km, il suffit de
diviser par 8
Exercice 25
Sur une carte au
1
20 000
, 1 cm représente 20 000 cm soit 200 m.
Sur une carte au
1
30 000
, 1 cm représente 30 000 cm soit 300 m.
Des deux cartes, la plus détaillée est donc celle au
1
20 000
.
Exercice 26
La figure ci-dessous s’obtient en doublant
toutes les dimensions de la figure donnée.

ccSéquence 9
Séance 6
Exercice 27
Sur la photo, la paramécie mesure environ 4,1 cm.
L’échelle de la photo est 210 .
La longueur réelle de la paramécie est environ
4 1
210
,
cm soit
environ 0, 019 cm.
On mesure la paramécie :
On trouve 4,1 cm. (ou encore : 41 mm)
Si on utilise comme unité le millimètre, on
trouve que la longueur réelle de la paramécie
est environ 0,19 mm.
Exercice 28
On obtient la figure ci-dessus en multipliant par 3 toutes les dimensions de la figure donnée.

cc Séquence 9
Exercice 29
a) b)
A‘
B‘
C‘
D‘E‘
4,5 cm
55° 55°
xy
A‘ D‘B‘ C‘1,8 cm 1,8 cm3 cm 3 cmO‘
• Figure a)
On commence par tracer un carré A’C’D’E’ de côté 3 x 1,5 soit 4,5 cm. On utilise ensuite le rapporteur :
on trace deux demi-droites [A’x) et [C’y) telles que : xA C' '∑ = °55 et yC A' '∑ = °55 . Ces deux demi-droites se coupent en B’.
• Figure b)
On trace un demi-cercle de centre O’ qui a pour diamètre 2 x 1,5 soit 3 cm. On trace ensuite deux segments [A’B’] et [C’D’]
qui mesurent 1,2 x 1,5 cm (soit 1,8 cm) tels que A’, B’, O’, C’, D’ soient alignés dans cet ordre. On trace ensuite le demi-cercle
de centre O’ , qui a pour rayon O’A’, et qui se trouve « du bon côté ».

ccSéquence 9
Exercice 30
1)
• Calculons combien 1 mm représente en réalité
35 mm représentent 40 km.
1 mm représente 40 ÷ 35 km. La division ne s’arrête pas donc j’utilise une fraction :
1 mm représente
40
35
km. Je simplifie la fraction :
40
35
8
7
8
7
5
5
=
×
×
= 1 mm représente
8
7
km.
• Sur la carte, la largeur de l’île est environ 50 mm et sa longueur est environ 57 mm.
La largeur de l’île en km est : 50
8
7
50 8
7
× =
×
=
400
7
soit environ 57 (arrondi à l’unité).
La longueur de l’île en km est : 57
8
7
57 8
7
× =
×
=
456
7
2)
• Calculons combien 1 mm représente en réalité
D’autre part, 33 mm représentent 150 km.
1 mm représente 150 ÷ 33 km soit
150
33
km.
150
33
50
11
50
11
3
3
=
×
×
= 1 mm représente
50
11
km.
• Sur la carte, la longueur de l’île est environ 40 mm et sa largeur est environ 18 mm.
La longueur en km de l’île est : 40
50
11
× c’est-à-dire
2 000
11
La largeur en km de l’île est : 18
50
11
× c’est-à-dire
900
11
3) La Corse est plus grande que la Réunion.
On utilise une méthode que l’on a déjà vue dans les exercices 19 et 20.
Exercice 31

cc Séquence 9
Séance 7
Exercice 32
a)
• Dans 100 g de compote, il y a 45 g de pomme.
• Dans 1 g de compote, il y a 0,45 g de pomme.
b)
c) Pour obtenir la masse de compote en g, on multiplie par
0,45 la masse de pommes en g.
0 45, =
45
100
a)
• L’indication « contient 45 % de pomme »
signifie : dans 100 g de compote, il y a 45 g
de pomme et que la masse de pomme est
proportionnelle à la masse de compote.
• Dans 1 g de compote, il y a 100 fois moins
de pomme que dans 100 g.
45 ÷ 100 = 0,45
• Dans 20 g de compote, il y a 20 fois plus de
pomme que dans 1 g.
0,45 x 20 = 9
• Dans 40 g de compote, il y a 2 fois plus de
pomme que dans 20 g.
9 x 2 = 18
b) On rassemble les données dans un tableau.
c) On remarque que :
100 x 0,45 = 45
1 x 0,45 = 0,45
20 x 0,45 = 9
40 x 0,45 = 18
On a : 0,45
45
100
=
On retrouve le sens du mot 45 pour cent :
Exercice 33
a) Dans 100 g d’eau de mer, il y a 3 g de sel.
b) La masse de sel (en g) contenue dans 17 g d’eau de mer est :
3
100
x 17 = 0,03 x 17 = 0,51 g.
a) C’est la « définition » de 3 %.
Exercice 34
a)
16
100
70 0 16 70 11 2× = × =, ,
16 % de 70 L représentent 11,2 L.
b)
84
100
350 0 84 350 294× = × =,
84 % de 350 g représentent 294 g.
c)
160
100
20 1 6 20 32× = × =,
160 % de 20 € représentent 32 €.
a) On peut également écrire :
16
100
70
16 70
100
16 7 10
10 10
112
10
11,2× =
×
=
× ×
×
= =
Ou encore :
16
100
70
70
100
16 16 0,7 11,2=× = =× ×
À chaque fois que l’on calcule un pourcentage
d’un nombre, on peut appliquer les trois
méthodes.

ccSéquence 9
Exercice 35
a)
1
10
1
10
10
10
=
×
×
=
10
100

1
10
c’est 10 %.
b)
3
10
3
10
10
10
=
×
×
=
30
100

3
10
c’est 30 %.
c)
1
5
1
5
20
20
=
×
×
=
20
100

1
5
c’est 20 %.
d)
1
4
1
4
25
25
=
×
×
=
25
100

1
4
c’est 25 %.
On pense à utiliser la règle suivante :
« Lorsqu’on multiplie (ou divise) le
numérateur et le dénominateur d’une fraction
par un même nombre non nul, on obtient une
fraction qui lui est égale ».
Remarque :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la
forme d’un pourcentage.
Exercice 36
a)
7
20
7
20
5
5
=
×
×
=
35
100
donc
7
20
c’est 35 %. b)
31
50
31
50
2
2
=
×
×
=
62
100
donc
31
50
c’est 62 %.
c)
11 44
10025
11
25
4
4
=
×
×
= donc
11
25
c’est 44 %. d)
7
1 000
7
1 000
0 1
0 1
=
×
×
=
,
,
0,7
100
donc
7
1 000
c’est 0,7 %.
Exercice 37
a) 0 2
2
10
2
10
10
10
, = =
×
×
=
20
100
donc 0,2 c’est 20 %. b) 0 56
56
100
, = donc 0,56 c’est 56 %.
c) 0 07
7
100
, = donc 0,07 c’est 7 %. d) 9
900
100
= donc 9 c’est 900 %.
Exercice 38
a)
50
100
1
2
1
2
50
50
=
×
×
=
Pour prendre 50 % d’un nombre, on divise ce nombre par 2.
b)
25
100
1
4
1
4
25
25
=
×
×
=
c)
10
100
1
10
1
10
10
10
=
×
×
=
a) Multiplier par
1
2
, c’est diviser par 2.
Par exemple :
7
1
2
7 1
2
7
2
×
×
= =
Multiplier 7 par
1
2
revient à diviser 7 par 2.
b) Multiplier par
1
4
, c’est diviser par 4.
Par exemple :
7
1
4
7 1
4
7
4
×
×
= =
Multiplier 7 par
1
4
revient à diviser 7 par 4.
c) Multiplier par
1
10
, c’est diviser par10.

cc Séquence 9
Séance 8
Exercice 39
a) b)
L’angle de la portion mesure 25 % de 360°. L’angle de la portion mesure 20 % de 360°.
Sa mesure est donc 360 ÷ 4 soit 90°.
20
100
360 0 2 360 72× = × =, .
Sa mesure est donc 72°.

c)
L

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