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S      équence 2


Équations - Inéquations - Statistiques



          Diagramme circulaire                                        Histogramme

                                                          30
                                                          25
                                                          20
                                        Na
                                                        % 15
                                        K
                                        Mg                10

                                        Ca                 5

                                        P                  0
                                                                Na    K     Mg       Ca   P
                                                                          Éléments



              Éléments           Na          Mg                Ca              P

                  %              28,2            8             23,6           20,1




                                             ǡ   43 Ǡ

                                                                                              Cned – Académie en ligne
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                                                                   Équations - Inéquations - Statistiques
                     Chapitre 1 ▼
                        Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             p. 47

                                  A - Connaissances indispensables
                                  B - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
                                  C - Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un
                                  D - Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur



                     Chapitre 2 ▼
                        Inéquations                        ................................................................................                                                                         p. 52

                                  A - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
                                  B - Etudier le signe d’un produit ou d’un quotient
                                  C - Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un
                                  D - Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur



                     Chapitre 3 ▼
                        Statistiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  p. 58



                     Chapitre 4 ▼
                        Statistiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  p. 63

                             Q.C.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   p. 67

                             Corrigés des exercices et du Q.C.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                               p. 69



                                                                                                             ǡ   45 Ǡ

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C hapitre 1
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                                                      Équations

A. Connaissances indispensables
̈ Savoir   résoudre une équation simple du type ax = b ou a + x = b.
̈   Savoir résoudre une équation du type A × B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré
    de la même variable.
̈   Savoir factoriser.
̈   On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux membres d’une équation; on obtient une équa-
    tion ayant les mêmes solutions.
̈   On peut multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation ; on obtient
    une équation ayant les mêmes solutions.

Exercice ᕡ                                                            Exercice ᕢ
Les équations suivantes ont deux solutions.                           1) – 2 est-il solution de l’équation :
A l’aide d’un calcul, les retrouver parmi les nom-                                    – x 2 + 6x + 8 = 0 ?
bres :
                                                                      2) 3 – 17 est-il solution de l’équation :
             0 ; 1 ; –1 ; 2 ; –2 ;   2 ; – 2.
                                                                                      – x 2 + 6x + 8 = 0 ?
a) – x 2 + 2 = x           b) x 2 = 2 .



B. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

         Méthode

̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans l’un des membres de l’équation. On se ramène ainsi à
une équation de la forme : ax = b.
̈

                                          Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation : ax = b

                   Conditions                             Solution                         Ensemble solution

                                                                       b                           ⎧b ⎫
          a≠0                                   une seule solution x = --
                                                                        -                      S = ⎨ -- ⎬
                                                                                                      -
                                                                       a                           ⎩a ⎭

          a = 0 et b ≠ 0                              aucune solution                            S = ∅

          a = 0 et b = 0                        tous les réels sont solutions                    S=‫ޒ‬


                                                           ǡ   47 Ǡ

                                                                                                            Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                              MA27




             Exemples

     Résoudre dans ‫: ޒ‬



     3x              x                      5 ( x – 1 ) + 2x = 7 ( x + 2 )                   7 ( x – 5 ) + 15 = 4 ( x – 5 ) + 3x
     ----- + 2 = -- – 1
         -           -
       4             3                      on développe chaque membre                       on développe chaque membre
     on réduit au même dénominateur         5x – 5 + 2x = 7x + 14                            7x – 35 + 15 = 4x – 20 + 3x
     9x 24             4x 12                7x – 7x = 5 + 14                                 7x – 7x = 20 – 20
     ----- + ----- = ----- – -----
         -       -       -       -
     12 12             12 12                0x = 19                                          0x = 0
     on multiplie les deux membres
                                            S = ∅                                            S = ‫ޒ‬
     par 12
     9x + 24 = 4x – 12
     9x – 4x = – 12 – 24
     5x = – 36
                36
     x = – -----   -
                 5
          ⎧ 36 ⎫
      S = ⎨ – ----- ⎬
                  -
          ⎩ 5⎭




     Exercice ᕣ                                                      Exercice ᕤ
     Résoudre dans ‫: ޒ‬                                               Résoudre dans ‫: ޒ‬
     a) 3x – 2 = 0                 b) 1 – 2x = 0                     a) 3 ( x + 3 ) – 10 = 2 ( x + 4 ) – 5x
                                       1
     c) 7x = 0                     d) -- x + 8 = 9
                                        -                            b) 2x – 1 – 5 ( x + 3 ) = 4 – 3x
                                       3
        1
     e) -- x + 3x = 2x – 12
         -
                                      x x
                                   f) -- + -- = x + 4 .
                                       - -                           c) 6 ( 3 – 2x ) + 2 + 10x = 2 ( 10 – x )
        2                             2 3
                                                                        x–1 x+2
                                                                     d) ----------- – ----------- = x – 5 .
                                                                                  -             -
                                                                             3             4


    C. Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un.

             Méthode

    Si on exclut les cas particuliers (exemple 3) et les « fausses équations du second degré » (exemple 4), la
    méthode à employer est la suivante :
            – regrouper tous les termes dans le premier membre de l’équation de manière à avoir 0 dans le second
               membre,
            – factoriser le premier membre,
            – appliquer le théorème : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est
               nul.

                                                          ǡ   48 Ǡ

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MA27                                                                                   Séquence 2




        Exemples

Exemple 1
Résoudre dans ‫ޒ‬                    x2 = 9 .
x2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x – 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = – 3
S = { 3 ;– 3 }



Exemple 2
Résoudre dans ‫ޒ‬                    2x ( x – 2 ) = 4 – x 2 .
2x ( x – 2 ) + ( x 2 – 4 ) = 0
2x ( x – 2 ) + ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0
( x – 2 ) [ 2x + ( x + 2 ) ] = 0
( x – 2 ) ( 3x + 2 ) = 0
x – 2 = 0 ou 3x + 2 = 0
               2
x = 2 ou x = – --
                -
               3
    ⎧ 2⎫
S = ⎨ 2 ;– -- ⎬
            -
    ⎩ 3⎭


Exemple 3
Résoudre dans ‫ޒ‬                    x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) = – 2 ( 3 – 4x ).
x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) + 2 ( 3 – 4x ) = 0
Aucun facteur commun ne peut être mis en évidence.
On développe, puis on réduit le premier membre.
2x 2 + 3x + 5x – 5 + 6 – 8x = 0
                       2x 2 + 1 = 0
                           2x 2 = – 1

Or, pour tout réel x, 2x 2 est positif.
L’équation proposée n’admet aucune solution.
S = ∅




                                                              ǡ   49 Ǡ

                                                                                  Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                                        MA27


    Exemple 4
    Résoudre dans ‫ޒ‬                       ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) = 3x 2 + 4 .
     ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) – 3x 2 – 4 = 0
    On développe et on réduit le premier membre.
     3x 2 + 5x – 3x – 5 – 3x 2 – 4 = 0
    Les termes en x 2 disparaissent
                          2x – 9 = 0
                             2x = 9
                                   9
                               x = --
                                    -
                                   2
                                  ⎧9 ⎫
                              S = ⎨ -- ⎬
                                     -
                                  ⎩2 ⎭


     Exercice ᕥ                                                                Exercice ᕧ
     Résoudre dans ‫: ޒ‬                                                         Soit f ( x ) = ( 3x – 2 ) 2 – 2 ( 3x – 2 ) ( x – 3 )
     a)   4x 2   –9 = 0
                                                                               1) Développer et réduire f ( x ) .
     b) ( x + 1 ) 2 – 3 = 0
                                                                               2) Factoriser f(x).
     c) 4 ( x + 2 ) 2 – ( x + 3 ) 2 = 0
                                                                               3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes :
     d) x 2 – 16 = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 )
                                                                                   a) f(x) = 0
     e) 4x 2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) .
                                                                                   b) f(x) = –8

     Exercice ᕦ                                                                    c) f ( x ) = x + 4
     Résoudre dans ‫: ޒ‬                                                         ➠ Aide : suivant l’équation à résoudre, il faut
     a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 = x 2 – 4                                        choisir la forme qui est la plus pratique.

     b) ( x – 5 ) 2 + 9 = ( x + 2 ) 2 .

     ➠ Aide : développer, les termes en x2 s’éliminent.



    D. Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur

                 Méthode


    ̈ Déterminer les contraintes de l’équation.
                                      N
    ̈ Ramener l’équation à la forme --- = 0 .
                                       -
                                      D
    ̈ Résoudre l’équation N = 0 .

    ̈   Vérifier que les valeurs trouvées conviennent.


                                                                    ǡ   50 Ǡ

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          Exemples


      Résoudre dans ‫ޒ‬
                             2x – 1                                                          1           x2
                             -------------- = 3 .
                               x–3
                                          -                       Résoudre dans ‫ޒ‬       ----------- = ----------- – x .
                                                                                                  -             -
                                                                                        x+1           x+1
                                       2x – 1
      L’expression -------------- est définie pour toutes les
                                               -                  Cette équation est définie pour x ≠ – 1 .
                                         x–3                      Pour tout réel x différent de –1,
      valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur.                 1           x2
      Or x – 3 = 0 pour x = 3 .                                   ----------- – ----------- + x = 0
                                                                            -             -
                                                                  x+1 x+1
      L’équation est donc définie pour x ≠ 3 .                    On réduit au même dénominateur
      Pour tout réel x différent de 3,                                 1           x2         x(x + 1)
      2x – 1                                                      ----------- – ----------- + ------------------- = 0
                                                                            -             -                     -
      -------------- – 3 = 0
                   -                                              x+1 x+1                         x+1
        x–3
                                                                  1 – x2 + x( x + 1 )
      2x – 1 – 3 ( x – 3 )                                        ---------------------------------------- = 0
                                                                                 x+1
                                                                                                         -
      ---------------------------------------- = 0
                                             -
                     x–3
                                                                  1 – x2 + x( x + 1 ) = 0
      2x – 1 – 3x + 9
      ------------------------------------ = 0
                                         -
                   x–3                                            1 – x2 + x2 + x = 0
      –x+8                                                        1+x = 0
      ---------------- = 0
        x–3                                                       x = –1
      –x+8 = 0                                                    Or l’équation n’est pas définie pour x = –1.
      x = 8                                                       Cette équation n’admet aucune solution.
      Comme 8 ≠ 3 , l’équation admet une seule solu-                                   S = ∅
      tion : 8
                                                S = {8}


Exercice ᕨ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes :
   2x + 3                             x–1           7                         1
a) -------------- = 5
                -                  b) ----------- = --
                                                -    -                 c) x + -- = 2 .
                                                                               -
     x+1                                   x        2                         x




                                                           ǡ    51 Ǡ

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C hapitre 2
                                                             ▼

                                                      Inéquations

    A. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

             Méthode

    Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue :
    ̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans le premier membre de l’inéquation pour se ramener à
    une inéquation du type : ax ≤ b (ou ax < b ) ; ax ≥ b (ou ax > b ) .
    ̈   Si a ≠ 0 , on divise les deux membres par a en appliquant la règle suivante :
         – Si a > 0, le sens de l’inégalité ne change pas.
         – Si a < 0, le sens de l’inégalité change.
    ̈   Si a = 0, deux cas sont possibles :
         – Soit l’inéquation n’a pas de solution.
         – Soit tout réel est solution.




             Exemples


      Exemple 1                                                         Exemple 2
      Résoudre dans ‫2 ޒ‬x – 4 ( x + 2 ) ≤ x – 5 .                                                           7x + 1 3x – 1
                                                                        Résoudre dans ‫. -------------- > -------------- ޒ‬
                                                                                                                -      -
      2x – 4x – 8 ≤ x – 5                                                                                    6      4
      2x – 4x – x ≤ – 5 + 8                                             14x + 2 9x – 3
                                                                        ----------------- > --------------
                                                                                        -                -
      – 3x ≤ 3                                                                12                 12
                                                                        On multiplie les deux membres par 12 qui est
      x ≥ –1
                                                                        strictement positif.
                                                                           14x + 2 > 9x – 3
                                                                        14x – 9x > – 2 – 3
                             –1 0   1
                                                                                       5x > – 5
                                                                                         x > –1
                           S = [–1; +∞[

                                                                                       –1 0   1

                                                                                     S = ]–1; +∞[


                                                             ǡ   52 Ǡ

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Exemple 3                                                           Exemple 4
Résoudre dans ‫ ( 3 ޒ‬x – 1 ) + x ≤ 4x – 5.                           Résoudre dans ‫ ( 2 ޒ‬x – 1 ) + x > 3x – 5.
 3x – 3 + x ≤ 4x – 5                                                2x – 2 + x > 3x – 5
3x + x – 4x ≤ – 5 + 3                                               2x + x – 3x > 2 – 5
    0x ≤ – 2                                                            0x > – 3
Comme 0 > 2, l’inéquation n’admet aucune solution.                  Comme 0 > –3, tout réel est solution.
                      S = ∅                                                             S=‫ޒ‬



Exercice ᕩ                                                          Exercice µ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes :                           Résoudre le système :
a) 3x + 7 ≤ 0
                                                                             ⎧ 5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 )
b) 2x + 3 > x – 4                                                            ⎪
   2x                                                                        ⎨ 2(8 – x) x – 1 x x + 6
c) ----- – 4 ≥ x + 2
       -                                                                     ⎪ ------------------- – ----------- ≥ -- – -----------
                                                                                        3
                                                                                                 -
                                                                                                          6
                                                                                                               - -
                                                                                                                   3         2
                                                                                                                                  -
     3                                                                       ⎩
d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3
   x–1 x+2                                                          ➠   Aide : Résoudre chaque inéquation puis cher-
e) ----------- – ----------- ≤ 5
             -             -                                        cher les solutions communes.
        2             3



B. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient

        Méthode

̈ Pour trouver le signe d’un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des
signes.
̈ Pour trouver le signe d’un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur,
                                                             A
puis procéder comme pour le signe d’un produit (le signe de --- est le même que le signe de A × B ).
                                                              -
                                                             B


        Exemples

Exemple 1
Etudier le signe de ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) suivant les valeurs du réel x.
a) On étudie le signe de chaque facteur :
                                                                                               3
     x + 1 = 0 équivaut à x = – 1                                    2x – 3 = 0 équivaut à x = --
                                                                                                -
                                                                                               2

                                                                                                3
     x + 1 > 0 équivaut à x > – 1                                     2x – 3 > 0 équivaut à x > --
                                                                                                 -
                                                                                                2

                                                                                                3
     x + 1 < 0 équivaut à x < – 1                                     2x – 3 < 0 équivaut à x < --
                                                                                                 -
                                                                                                2



                                                         ǡ   53 Ǡ

                                                                                                                       Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                         MA27


    b) On reporte les résultats dans un tableau de signes :
                                                                                                    Sur la première ligne, on
                                                                           3                        indique les valeurs de x
                  x             –∞                    -1                   --
                                                                            -                +∞
                                                                           2                        qui annulent le produit
                                                                                                    par ordre croissant.
      Signe de (x+1)                    –             0         +                     +

      Signe de ( 2x – 3 )               –                       –          0          +

      Signe du produit                  +             0         –          0          +



    c) Conclusion
                                                     3
     ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 lorsque x = – 1 ou x = --
                                                      -
                                                     2
                                                                  3
     ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) > 0 lorsque x appartient à ]–∞; –1[ ∪ ] -- ; +∞[
                                                                   -
                                                                  2
                                                          3
     ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) < 0 lorsque x appartient à ]–1; -- [ .
                                                           -
                                                          2


    Exemple 2
                        1 – 3x
    Etudier le signe de -------------- suivant les valeurs du réel x.
                                     -
                         x+4

    a) On cherche pour quelles valeurs de x le quotient est défini.
    Le quotient est défini pour x + 4 ≠ 0 c’est-à-dire x ≠ – 4 .

    b) On étudie le signe du numérateur et du dénominateur.
                                                       1
    1 – 3x = 0 équivaut à 3x = 1 c’est-à-dire x = --    -                       x + 4 = 0 équivaut à x = – 4
                                                       3
                                                      1
    1 – 3x > 0 équivaut à – 3x > – 1 c’est-à-dire x < --
                                                       -                        x + 4 > 0 équivaut à x > – 4
                                                      3
                                                      1
    1 – 3x < 0 équivaut à – 3x < – 1 c’est-à-dire x > --
                                                       -                        x + 4 < 0 équivaut à x < – 4
                                                      3

    c) On dresse le tableau de signes :
                                                                           1                        Lorsque x = – 4, le quo-
              x                 –∞                    –4                   --
                                                                            -                +∞     tient n’est pas défini : on
                                                                           3
                                                                                                    indique ceci à l’aide
                                                                                                    d’une double barre.
      Signe de 1 – 3x                       +                   +          0          –

      Signe de x + 4                        –         0         +                     +

      Signe du quotient                     –                   +          0          –




                                                                ǡ   54 Ǡ

Cned – Académie en ligne
MA27                                                                                                                  Séquence 2


d) Conclusion
1 – 3x                           1
-------------- = 0 lorsque x = --
             -                    -
 x+4                             3
1 – 3x                                         1
-------------- > 0 lorsque x appartient à ]–4; -- [ .
             -                                  -
 x+4                                           3
1 – 3x                                                 1
-------------- < 0 lorsque x appartient à ]–∞; –4[ ∪ ] -- ; +∞[ .
             -                                          -
  x+4                                                  3

Exercice ¸
Etudier à l’aide d’un tableau le signe des produits ou quotients :

a) P ( x ) = ( 3x + 2 ) ( 1 – 5x )                                      c) R ( x ) = ( – 2x + 7 ) ( x 2 + 1 )
              5x + 4                                                                      – 3x
b) Q ( x ) = --------------
                          -                                             d) T ( x ) = ------------------
                                                                                                      -
               x–2                                                                   ( x – 1 )2




C. Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un

         Méthode


̈   Regrouper tous les termes dans l’un des membres de manière à faire apparaître 0 dans l’autre membre.

̈   Factoriser le membre non nul.

̈   Etudier le signe du produit obtenu.

̈   Conclure en donnant l’ensemble des solutions.


         Exemples

Exemple 1

Résoudre dans ‫ޒ‬            x 2 ≤ 16 .
                           x 2 – 16 ≤ 0
                           (x + 4)(x – 4) ≤ 0

           x                 –∞                    –4                      4                   +∞

 Signe de x + 4                         –          0         +                         +
                                                                                                                S = [–4; 4]
 Signe de x – 4                         –                    –             0           +

 Signe du produit                       +          0         –             0           +




                                                             ǡ   55 Ǡ

                                                                                                                 Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                                           MA27


    Exemple 2

    Résoudre dans ‫ ( ޒ‬x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ).


                             ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) – ( x – 4 ) ( x + 1 ) > 0
                                 ( x – 4 ) [ ( 2x + 3 ) – ( x + 1 ) ] > 0
                                    ( x – 4 ) ( 2x + 3 – x – 1 ) > 0
                                         (x – 4)(x + 2) > 0

                x                   –∞                     –2                       4                   +∞

      Signe de x – 4                         –                        –             0           +
                                                                                                                 S = ]–∞; –2[ ∪ ]4; +∞[
      Signe de x + 2                         –             0          +                         +

      Signe du produit                       +             0          –             0           +


    ➠ Remarque
    Ne vous laissez pas tenter par des simplifications abusives.
    En effet l’inéquation : ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ) n’est pas équivalente à l’inéquation :
    ( 2x + 3 ) > ( x + 1 ) .
    L’ensemble des solutions de la deuxième inéquation est l’intervalle ]–2; + ∞[.


     Exercice ¹                                                                  Exercice Ƹ
     Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes :                                 Soit f ( x ) = ( 2x – 3 ) 2 – 3 ( 2x – 3 ) ( x + 1 ).
     a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0                                                1) Développer et réduire f(x).
     b) x 2 – 3 < 0                                                              2) Factoriser f(x).
                                                                                 3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes :
     c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ 4x 2 – 1
                                                                                     a) f ( x ) ≤ 0           b) f ( x ) > 18 .
     d) ( x – 1 ) 2 ≥ ( 3x – 1 ) 2 .




    D. Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur

             Méthode

    ̈ Déterminer les contraintes de l’inéquation.
                                         N        N         N          N
    ̈ Ramener l’inéquation à la forme --- ≤ 0 ou --- < 0 ou --- ≥ 0 ou --- > 0 .
                                          -        -          -          -
                                         D        D         D          D
    ̈ Factoriser N et D si nécessaire.
                                   N
    ̈ Etudier le signe du quotient --- .
                                     -
                                   D
    ̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions.


                                                                      ǡ   56 Ǡ

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MA27                                                                                                                                                    Séquence 2




           Exemples


  Exemple 1                                                                    Exemple 2
                                          x–3                                                                    4
  Résoudre dans ‫ޒ‬                         ----------- ≤ 3 .
                                                    -                          Résoudre dans ‫ޒ‬              ----------- ≤ x – 1.
                                                                                                                      -
                                          x+2                                                               x–1
  Cette inéquation est définie pour x + 2 ≠ 0                                  Cette inéquation est définie pour x – 1 ≠ 0 c’est-
  c’est-à-dire pour x ≠ – 2 .                                                         à-dire pour x ≠ 1 .
  x–3                                                                                4
  ----------- – 3 ≤ 0
             -                                                                  ----------- – ( x – 1 ) ≤ 0
                                                                                          -
  x+2                                                                           x–1
  On réduit au même dénominateur.                                                   4        ( x – 1 )2
  x – 3 3(x + 2)                                                               ----------- – ------------------ ≤ 0
                                                                                         -                    -
  ----------- – ------------------- ≤ 0
             -                        -                                        x–1               x–1
  x+2                    x+2
                                                                                    4 – ( x – 1 )2
     x – 3 – 3x – 6                                                                 --------------------------- ≤ 0
                                                                                                              -
     -------------------------------- ≤ 0
                                    -                                                       x–1
                x+2
                                                                               On factorise le numérateur.
            – 2x – 9                                                           [2 + (x – 1)][2 – (x – 1)]
            ------------------- ≤ 0                                            ------------------------------------------------------------- ≤ 0
                                                                                                                                           -
                x+2                                                                                     x–1
                                                                               (x + 1)(– x + 3)
                                                                               -------------------------------------- ≤ 0
                                                                                                                    -
                                                                                             x–1
                                      9                                              x                   –∞                 –1               1     3        +∞
           x             –∞         – --
                                       -               –2         +∞
                                      2
    – 2x – 9                  +      0       –                –                x+1                           –           0       +            +         +

    x+2                       –              –         0      +               –x+3                           +                   +            + 0       –

    Quotient                  –      0       +                –               x–1                            –                   – 0 +                  +

                                   9                                          Quotient                       +           0       –            + 0       –
                        S = ]–∞; – -- ] ∪ ] – 2;+∞[
                                    -
                                   2
                                                                                                       S = [–1; 1[ ∪ [3; +∞[


Exercice ƹ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes :
   2x + 5
a) -------------- < 0
                -
     x+2
   x+1
b) ----------- ≤ 2
             -
   3–x
                1
c) x + 2 ≥ ----------- .
                     -
           x+2




                                                                   ǡ   57 Ǡ

                                                                                                                                                   Cned – Académie en ligne
C hapitre 3
                                                              ▼

                                                  Statistiques 1
             Résultats essentiels
    ➠ Vocabulaire
    1) Population et individu
    La population est l’ensemble des individus sur lequel vont porter les observations.

    Exemple
    Si une étude porte sur la marque, la puissance fiscale et le kilométrage du parc automobile d’une agence de
    location, la population est l’ensemble des voitures du parc, l’individu est la voiture.

    2) Caractère
    Le caractère est la propriété étudiée.
    Le caractère est qualitatif s’il n’est pas une valeur numérique.
    Le caractère est quantitatif s’il peut être mesuré :
          – il est discret s’il ne prend que des valeurs isolées (en général entières);
          – il est continu s’il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.
    Exemple
    Dans l’exemple du parc automobile :
          – la marque est un caractère qualitatif ;
          – la puissance fiscale est un caractère quantitatif discret ;
          – le kilométrage est un caractère quantitatif continu.

    3) Modalités
    Les modalités sont les valeurs prises par le caractère.

    4) Effectifs - fréquences
    ̈   L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus présentant cette modalité.
    ̈ La fréquence d’une modalité est le rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total de la popula-
    tion. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est 1.


    ➠ Représentations graphiques
    1) Diagramme circulaire
    Lorsque l’étude statistique porte sur un caractère qualitatif, chaque valeur du caractère est représentée par un
    secteur angulaire dont la mesure est proportionnelle à l’effectif.



                                                          ǡ   58 Ǡ

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MA27                                                                                                                 Séquence 2


2) Diagramme en bâtons
Lorsque le caractère est discret, chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur
est proportionnelle à l’effectif.
3) Histogramme des effectifs ou des fréquences
Un histogramme des effectifs (ou des fréquences) est constitué de rectangles ayant pour bases les amplitudes
des intervalles et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de ceux-ci.



         Exemples
Exemple 1 : caractère qualitatif
Voici les orientations en fin d’année des 32 élèves d’une classe de seconde.

 « Valeurs » du caractère               L                ES                    S                STT                   STI
 Effectifs                              6                 8                   10                  6                    2

                                  6                    8                 10                   6                   2
 Fréquences                     ----- = 0 ,1875
                                    -                ----- = 0 ,25
                                                         -               ----- = 0 ,3125
                                                                             -              ----- = 0 ,1875
                                                                                                -               ----- = 0 ,0625
                                                                                                                    -
                                32                   32                  32                 32                  32
 Fréquences en %                      18,75 %            25 %              31,25 %            18,75 %                6,25 %

̈   Diagramme circulaire
La mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la fréquence du
caractère correspondant.
                                                                                                  L               ES


                                                                                            STT

                                                                                                                 S
                                                                                                 I
                                                                                               ST




Exemple 2 : caractère quantitatif discret
Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.

    « Valeurs » du         0                    1               2                  3                  4                5
    caractère

    Effectifs              6                    5               2                  6                  4                2

                        6                  5               2                  6                 4                  2
    Fréquences        ----- = 0 ,24
                          -              ----- = 0 ,20
                                             -           ----- = 0 ,08
                                                             -              ----- = 0 ,24
                                                                                -             ----- = 0 ,16
                                                                                                  -              ----- = 0 ,08
                                                                                                                     -
                      25                 25              25                 25                25                 25
    Effectifs cumu-        6                  11                13                 19              23                  25
    lés croissants




                                                          ǡ   59 Ǡ

                                                                                                              Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                                           MA27


    ̈   Diagramme en bâtons

                                                 Nombre
                                                de familles




                                       1
                                                                                                   Nombre
                                           0         1         2         3          4         5    d'enfants



    Exemple 3 : caractère quantitatif continu
    Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant en euros des chèques reçus.
    On obtient le tableau suivant : les différentes valeurs sont regroupées en classes.

                « Valeurs » du
                                      [0, 10[                 [10, 50[              [50, 75[      [75, 100[               [100, 150[
                caractère

                Effectifs                  15                      25                    30            25                         5
                Fréquences             0,15                    0,25                     0,30           0,25                      0,05
                Fréquences
                cumulées               0,15                    0,40                     0,70           0,95                       1
                croissantes

    ̈   Histogramme
    L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à
    l’effectif. Les classes n’ayant pas la même amplitude,
    on prend une amplitude de 10 € comme intervalle                                                              aire unitaire
    unitaire (IU).                                                            15


                                    Nombres
        Montants        Effectifs                    Effectifs/IU
                                     de IU

     [0, 10[                15         1                      15

                                                      25
     [10, 50[               25         4              ----- = 6 ,25
                                                          -
                                                        4
                                                                             6,25
                                                          30
     [50, 75[               30        2,5                ------- = 12
                                                         2 ,5

                                                          25
     [75, 100[              25        2,5                ------- = 10
                                                         2 ,5                  1

                                                           5
     [100, 150[             5          5                   -- = 1
                                                            -                           10        50        75         100              150
                                                           5



                                                                        ǡ   60 Ǡ

Cned – Académie en ligne
MA27                                                                                                                         Séquence 2



Exercice ƺ                                                                     1) Calculer le nombre d’élèves de ce lycée (chaque
Un restaurant veut établir des prévisions de com-                              élève a une calculatrice !).
mandes. Le restaurateur note pendant une semaine                               2) Etablir le tableau statistique indiquant les effec-
les choix effectués par sa clientèle.                                          tifs, les fréquences.


 Type de menu           Effectif          Fréquence
                                                      Mesure de                Exercice ƽ
                                                       l’angle
                                                                               Dans une usine, on a étudié l’âge des personnels.
Menus à 10 €                60

Menus à 12 €                70                                                                    Âges          Effectifs

Menus à 20 €                40                                                                   [20; 25[          50
Menus à 25 €                30                                                                   [25; 30[          25

                                                                                                 [30; 35[          83
1) Compléter la colonne des fréquences.
2) Calculer la mesure de l’angle correspondant à                                                 [35; 40[          68
chaque secteur circulaire.
3) Représenter cette série statistique par un dia-                                               [40; 45[         100
gramme à secteurs circulaires.                                                                   [45; 50[          64

                                                                                                 [50; 55[          18
Exercice ƻ                                                                                       [55; 60[          12
          [55/80[
                                                  Voici la répar-
                                                  tition, suivant              1) Combien d’employés ont 40 ans et plus ?
                                          [25/30[
                  15%                             leur âge, de
                                 25%              400 person-                  2) Combien ont moins de 30 ans ?
                                                  nes       ayant              3) Calculer, par rapport à l’effectif total, le
[0/25[      20%
                                                  assisté à la                 pourcentage d’employés appartenant à la classe
                             30%                  projection                   [25; 30[.
               10%                                d’un film.
                                                                               4) Représenter les données par un histogramme.
     [45/55[                [30/45[     Etablir le
                                        tableau statis-
tique indiquant les effectifs et les fréquences cor-                           Exercice ƾ
respondant à chaque classe d’âge, ainsi que la                                 Le tableau ci-dessous donne la répartition des
valeur de l’angle au centre de chaque secteur.                                 tailles des 80 joueurs de basket participant à une
                                                                               épreuve de sélection.
Exercice Ƽ
                                                                                                                            Fréquences
            Nombre                                                                                           Fréquences      cumulées
            d'élèves                                                             Tailles en cm   Effectifs
                                                                                                                en %        croissantes
    300                                                                                                                        en %
    250
                                                                               [170; 180 [           6
    200
                                                                               [180; 185 [           8
    150
    100                                                                        [185; 190 [                       20
     50
                                                                               [190; 195 [          24
                    Texas         Casio       HP      autre
                                                                               [195; 205 [
Le diagramme en bâtons ci-dessus indique la mar-
que de calculatrice utilisée par les élèves d’un                               1) Compléter le tableau.
lycée.                                                                         2) Tracer l’histogramme des effectifs.


                                                                    ǡ   61 Ǡ

                                                                                                                        Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                    MA27


    Exercice ƿ
    Une entreprise de transport fait une étude statistique sur le kilométrage mensuel effectué par sa flotte de 60
    véhicules.
    On donne l’histogramme suivant :
                                     Nombre
                                   de véhicules
                           20




                           10




                           2

                               0          5000       10000   15000          20000   25000   30000   km



    1) A partir de l’histogramme ci-dessus, compléter le tableau suivant :

                                                                                         Effectif    Fréquence
               Kilométrage
                                                  Effectif      Fréquence                cumulé       cumulée
                parcouru
                                                                                        croissant    croissante
         [0; 5000[
         [5000; 10 000[
         [10000; 15000 [
         [15000; 20000 [
         [20000 ; 25 000 [
         [25000; 30000 [

    2) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru moins de 15 000 km.

    3) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru au moins 20 000 km.




                                                                ǡ    62 Ǡ

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C hapitre 4
                                                                             ▼

                                                           Statistiques 2

        Connaissances indispensables
➠ Caractéristiques de position
1) Mode
Le mode est la valeur du caractère ayant le plus grand effectif. Dans le cas de répartition en classe, on définit
la classe modale.

2) Médiane
La médiane est la valeur du caractère qui partage l’effectif total en deux parties de même effectif.
Dans le cas d’un caractère discret :
– Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.
– Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.
Dans le cas d’un caractère continu, la médiane peut être obtenue par la lecture, sur le polygone des effectifs
                                                    N
cumulés, de l’abscisse du point ayant pour ordonnée --- (N étant l’effectif total).
                                                      -
                                                     2
3) Moyenne
Si x 1, x 2, …, x p sont les valeurs du caractère étudié et n 1, n 2, …, n p les effectifs correspondants, la moyenne
de la série statistique est :
                                                                                                           n

                                        n1 x1 + n2 x2 + … + np xp i = 1
                                                                                                         ∑      ni xi
                                      = ----------------------------------------------------------- = ------------------- .
                                                                                                  -                     -
                                                 n1 + n2 + … + np                                           n

                                                                                                           ∑       ni
                                                                                                          i=1
Si la série statistique est continue, x i représente le centre de la classe .

➠ Caractéristiques de dispersion
Étendue
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.


       Exemples
Exemple 1
Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.
                          Nombre d’enfants                              0             1            2             3            4   5
                          Effectifs                                     6             5            2             6            4   2

                                                                           ǡ   63 Ǡ

                                                                                                                                      Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                                                                         MA27


    ̈   la série a deux modes : 0 et 3.
    ̈ Il y a 25 familles étudiées. La médiane est alors le nombre d’enfants de la 13 e famille soit 2. Il y a 12
    familles qui ont au plus deux enfants et 12 familles qui ont plus de deux enfants.
    ̈   Calcul de la moyenne
                                      6×0+5×1+2×2+6×3+4×4+2×5
                                  x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 2, 12
                                                                                                                                             -
                                                                                        25
    ̈   L’étendue est égale à ( 5 – 0 ) c’est à dire 5.



    Exemple 2
    Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant des chèques reçus.

     Montant des chèques                                     [0; 25[                      [25; 50[                     [50; 75[                    [75; 100[   [100; 150[

     Effectifs                                                    15                           25                            30                          25        5

     Effectifs cumulés croissants                                 15                           40                            70                          95       100

    Classe modale : [50; 75 [.
    Médiane : on trace le polygone des effectifs cumulés croissants.


        100




         50




         10



                 5           25                            50                              75                             100                                       150

    La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 50. On obtient environ 58.

                                                                                      ǡ   64 Ǡ

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MA27                                                                                                                                                                                      Séquence 2


̈   Calcul de la moyenne
On prend le centre de chaque intervalle.
                              15 × 12 ,5 + 25 × 37 ,5 + 30 × 62 ,5 + 25 × 87 ,5 + 5 × 125
                          x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 58 ,125
                                                                                                                                                                    -
                                                                                              100

̈   L’étendue est égale à 150.


Exercice            21                                                                                    2) Déterminer graphiquement la médiane.
En vue de la fabrication de fromages, une laitière a                                                      3) On affecte l’effectif de chaque classe au centre
relevé le taux de matière grasse MG (en grammes                                                           de cette classe.
par litre) de différents échantillons recueillis.                                                         Calculer le temps moyen d’intervention , x .
Le tableau ci-dessous donne les résultats arrondis à
                                                                                                          4) a) Déterminer, à l’aide du graphique, le nombre
l’unité, de ce relevé.
                                                                                                             d’interventions dont la durée est comprise entre
 Taux de MG (g/l) 28           29      30      31      32      33        34   35        36                   [ 22 ; 109 ] .
 Effectif                1      2       5       2       3       1        4     1        1                  b) Exprimer ce nombre en pourcentage de l’effec-
                                                                                                             tif total.
1) Calculer la moyenne x et l’étendue de cette                                                             c) Le travail du service de maintenance est jugé
série statistique.                                                                                           de bonne qualité si 95 % des interventions cou-
2) Déterminer le nombre d’échantillons dont le                                                               rantes ont une durée appartenant à l’intervalle
taux de matière grasse appartient à l’intervalle :                                                           [ 22 ; 109 ] .
                   [ 29 ,5 ; 33 ,5 ]                                                                         Le travail de ce service est-il de bonne qualité ?
Quel pourcentage du total représente ce résultat ?


Exercice            22                                                                                    Exercice                    23

Dans un atelier, on a relevé, pour un type de                                                             Un commerçant a relevé en décembre 1998 le
machines, les temps d’intervention du service de                                                          montant des ventes suivantes :
maintenance. Les résultats sont les suivants :
                                                                                                          Montant
    Durée
             [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[                                          des          [0; 30[         [30; 60[         [60; 90[          [90; 120[    [120; 150[
    (min)
                                                                                                            ventes
Effectif :
                                                                                                           Nombre
Nombre
 d’inter-
               5         20          40             100             20             15                        de               64               40                78               52          16
                                                                                                           ventes
ventions

1) Construire le polygone des effectifs cumulés                                                           1) Tracer l’histogramme des effectifs.
croissants.
                                                                                                          2) Déterminer le montant moyen des ventes.
Echelles : – en abscisse, 1 cm pour 10 min.
           – en ordonnée, 1 cm pour 20 interventions.



➠ Échantillons et fluctuation d’échantillonnage
̈   Un échantillon issu d’une population est l’ensemble de quelques éléments de cette population.
̈   La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qui appartiennent à cet échantillon.
̈ Les distributions des fréquences associées à plusieurs échantillons correspondant à une même population
sont en général différentes : on dit que la distribution des fréquences fluctue d’un échantillon à l’autre.
̈ Lorsque l’on augmente la taille des échantillons, on diminue l’amplitude de la fluctuation des distributions
des fréquences associées à ces échantillons.


                                                                                               ǡ   65 Ǡ

                                                                                                                                                                                  Cned – Académie en ligne
Séquence 2                                                                                                         MA27



    Exercice        24                                                  On utilise ces deux écrans pour simuler 120 tirages
                                                                        d’une boule avec remise dans une urne qui contient
    Romain a lancé 50 fois une pièce de monnaie et a
                                                                        trois boules vertes, deux boules rouges et cinq bou-
    obtenu PILE avec la fréquence de 0,44.
                                                                        les jaunes. On convient que les chiffres 0, 1 et 2
    Florence a lancé 100 fois la même pièce de mon-                     correspondent au tirage d’une boule verte, 3 et 4
    naie et a obtenu PILE avec la fréquence de 0,55.                    d’une boule rouge et 5, 6, 7, 8 et 9 d’une boule
    Claire, sur 75 lancers, arrive, pour PILE, à une fré-               jaune.
    quence de 0,4.
                                                                        Calculer la fréquence d’apparition de chacune des
    Romain, Florence et Claire décident de regrouper                    couleurs.
    leurs résultats pour disposer d’un échantillon de
    taille 225 des résultats que l’on peut obtenir en lan-
    çant cette pièce.                                                   Exercice      26
    Quelle sera la fréquence d’obtention de PILE sur                    1) Lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce qui
    cet échantillon ?                                                   peut tomber uniquement sur « pile » désigné par P
                                                                        ou sur « face » noté F, quels sont les quatre cas que
    Exercice        25
                                                                        l’on peut rencontrer ?
    En affichant l’instruction rand (Texas Instrument)                  2) On utilise les deux écrans de l’exercice précé-
    ou Ran # (Casio), puis on appuyant plusieurs fois                   dent. Au premier écran, on associe le résultat du
    sur la fonction d’entrée, on a obtenu les deux                      premier jet et au second, le résultat du second ; de
    écrans suivants :                                                   plus, à chaque nombre pair, on associe P et à cha-
            Écran 1                   Écran 2                           que nombre impair F.

         rand                      rand                                 Si on considère la première ligne des deux écrans,
           • 23 72 03 47 15          • 80 26 37 84 67                   on obtient les cinq premiers résultats suivants : PP,
           • 44 00 16 30 73          • 48 61 87 78 48                   FP, FP, PP, PF. Déterminer la fréquence d’appari-
           • 15 99 46 41 83          • 63 76 68 85 45
                                                                        tion de chacun des quatre cas au cours des 60 lan-
           • 84 23 93 34 41          • 24 68 33 64 44
           • 55 38 76 05 20          • 67 98 31 98 89                   cers de la pièce deux fois de suite, lancers simulés
           • 84 76 91 29 52          • 69 32 51 47 78                   par les deux écrans.



    Exercice        27

    On simule 1 000 tirages de deux dés. On obtient :
                      Tirages      1 et 1     1 et 2    1 et 3           1 et 4    1 et 5    1 et 6    2 et 2
                      Effectifs      25         51       56                58        54        55        29

                      Tirages      2 et 3     2 et 4    2 et 5           2 et 6    3 et 3    3 et 4    3 et 5
                      Effectifs      53         57       59                56        31        54        52

                      Tirages      3 et 6     4 et 4    4 et 5           4 et 6    5 et 5    5 et 6    6 et 6
                      Effectifs      57         28       56                54        27        60        28

    On s’intéresse au jeu suivant : à chaque tirage, on fait correspondre le chiffre des unités du produit des deux
    nombres apparus sur les deux dés. Ainsi, au tirage « 3 et 4 », on associe le nombre 2 puisque 2 est le chiffre
    des unités de 12 = 3 × 4 .
    a) Quelles sont les valeurs du caractère ?
    b) Calculer la fréquence de chacune de ces valeurs.
    c) Préciser la fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 ».

                                                             ǡ   66 Ǡ

Cned – Académie en ligne
Q .C .M .
                                                     ▼
    Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.

                                                               Réponse     Réponse      Réponse
                                                                  1           2            3
                                                                   2            3
ᕡ   L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution                        – --
                                                                    -         – --
                                                                                 -         –1
                                                                   3            2
                                                                                            1
ᕢ   L’équation 7x = 0 a pour solution                            –7            0            --
                                                                                             -
                                                                                            7
ᕣ   L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution                 0 et – 1        0         0 et 1
                                                                                         pas de
ᕤ   L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution                        –1       1 et –1
                                                                                        solution
                                                                                        – 6 et
ᕥ   L’équation x 2 = 6 a pour solution                            3             6
                                                                                             6
               x+1
ᕦ   L’équation ----------- = 0 a pour solution
                         -                                        –1       – 1 et 3         0
               x–3
ᕧ   L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution               ]–∞; –3[    [0; +∞[      ]–∞; 0]
                                                                    3        2            3
ᕨ   L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution           ]–∞; -- [
                                                                     -     ] -- ; +∞[
                                                                              -         ] -- ; +∞[
                                                                                           -
                                                                    2        3            2
    L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensemble
ᕩ                                                              ]–∞; 0]      [0; 1]      [1, +∞[
    solution
                    3x
µ   L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution
                           -                                   ]–∞; 0[      [0; 1[      ]1; +∞[
                 x–1
¸   Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes.            vrai        faux
¹   L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions           vrai        faux
    Sur un histogramme les hauteurs des rectangles
Ƹ                                                                vrai        faux
    sont proportionnelles aux effectifs
    Sur un histogramme les aires des rectangles sont
ƹ                                                                vrai        faux
    proportionnelles aux effectifs
                                                                                         cela
ƺ   Une fréquence peut être égale à 1,2                          vrai        faux
                                                                                        dépend
ƻ   La somme des fréquences est égale à 1                        vrai        faux
                                                                                         cela
Ƽ   L’étendue peut être négative                                 vrai        faux
                                                                                        dépend
    La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20
ƽ                                                                 10         10,5          11
    est égale à :
    L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1,
ƾ                                                                 6            0            1
    2, 3 est égal à
    La moyenne et la médiane de la série de valeurs :
ƿ                                                                vrai        faux
    6, 7, 8, 9, 10 sont égales.

                                                    ǡ   67 Ǡ

                                                                                                  Cned – Académie en ligne
C orrigés des Exercices et du Q.C.M
                                                                        ▼

            Chapitre 1
            Exercice ᕡ
            a) – ( 1 ) 2 + 2 = – 1 + 2 = 1 .     1 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x.
                – ( – 2 ) 2 + 2 = – 4 + 2 = – 2 . –2 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x.

            b) ( 2 ) 2 = 2 et ( – 2 ) 2 = 2
                    2 et – 2 sont solutions de l’équation : x 2 =          2.



            Exercice ᕢ
            1) On remplace x par –2 dans le premier membre de l’équation.
               – ( – 2 ) 2 + 6 × ( – 2 ) + 8 = – 4 – 12 + 8 = – 8 .
               Le résultat étant différent de 0, –2 n’est pas solution.

            2) – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – ( 9 – 6 17 + 17 ) + 18 – 6 17 + 8.
               Donc – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – 26 + 6 17 + 26 – 6 17 = 0.
                3 – 17 est solution de l’équation : – x 2 + 6x – 8 = 0 .



            Exercice ᕣ
            a) 3x – 2 = 0                               b) 1 – 2x = 0                              c) 7x = 0
                  3x = 2                                     – 2x = – 1                                x = 0
                        2                                           1
                    x = --
                         -                                      x = --
                                                                     -
                        3                                           2                                     S = {0}
                          ⎧2 ⎫                                         ⎧1 ⎫
                      S = ⎨ -- ⎬
                             -                                     S = ⎨ -- ⎬
                                                                          -
                          ⎩3 ⎭                                         ⎩2 ⎭

                1
            d) -- x + 8 = 9
                -                                       e) 1 x + 3x = 2x – 12
                                                           --
                                                            -                                      f)         x x
                                                                                                              -- + --
                                                                                                               - -      = x+4
                3                                          2                                                  2 3
                      1                                    1      6x      4x – 24                       3x 2x             6x + 24
                      -- x
                       -     = 9–8                         -- x + ----- = -----------------
                                                            -         -                   -             ----- + -----
                                                                                                            -       -   = -----------------
                                                                                                                                          -
                      3                                    2        2             2                       6       6               6
                      1                                       x + 6x = 4x – 24                          3x + 2x         = 6x + 24
                      -- x
                       -     = 1
                      3                                           3x = – 24                                       –x    = 24
                         x   = 3                                     x = –8                                        x    = – 24
                         S   = {3}                                   S = { –8 }                                    S    = { – 24 }



                                                                       ǡ   69 Ǡ

Cned – Académie en ligne
Séquence 2 - Corrigés                                                                                                                     MA27


Exercice ᕤ
a) 3x + 9 – 10 = 2x + 8 – 5x                                 b) 2x – 1 – 5x – 15 = 4 – 3x
  3x – 2x + 5x = 8 – 9 + 10                                        2x – 5x + 3x = 4 + 1 + 15
              6x = 9                                                          0x = 20
                   9    3                                       L’équation n’a pas de solution
               x = -- = --
                    -    -
                   6    2                                                                      S = ∅
                    ⎧3 ⎫
                S = ⎨ -- ⎬
                       -
                    ⎩2 ⎭

c) 18 – 12x + 2 + 10x = 20 – 2x                                 4(x – 1) 3(x + 2)                             12 ( x – 5 )
                                                             d) ------------------- – -------------------
                                                                       12
                                                                                  -
                                                                                             12
                                                                                                        -   = ----------------------
                                                                                                                       12
                                                                                                                                   -
    – 12x + 10x + 2x = 20 – 18 – 2
                    0x = 0                                      4(x – 1) – 3(x + 2)                         = 12 ( x – 5 )
      Tous les réels sont solutions                                       4x – 4 – 3x – 6                   = 12x – 60
                     S = ‫ޒ‬                                                   4x – 3x – 12x          = 4 + 6 – 60
                                                                                              – 11x = – 50
                                                                                                      50
                                                                                                  x = -----
                                                                                                          -
                                                                                                      11
                                                                                                          ⎧ 50 ⎫
                                                                                                      S = ⎨ ----- ⎬
                                                                                                                -
                                                                                                          ⎩ 11 ⎭

Exercice ᕥ

a) ( 2x ) 2 – 3 2 = 0                                        b)               ( x + 1 )2 – ( 3 )2 = 0
   ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) = 0                                                  (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0
   2x – 3 = 0 ou 2x + 3 = 0
                                                                   x + 1 – 3 = 0 ou x + 1 + 3 = 0
   2x = 3 ou 2x = – 3
                                                                              x = – 1 + 3 ou x = – 1 – 3
        3               3
   x = -- ou x = – --
        -                -                                                    S = { –1 + 3 ; – 1 – 3 }
        2               2
       ⎧3 3 ⎫
   S = ⎨ -- ; – -- ⎬
          -      -
       ⎩2 2 ⎭

c) [ 2 ( x + 2 ) ] 2 – ( x + 3 ) 2 = 0                       d) ( x – 4 ) ( x + 4 ) = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 )
   [2(x + 2) – (x + 3)][2(x + 2) + (x + 3)] = 0                 (x – 4)(x + 4) – 3(x + 4)(x + 1) = 0
   ( 2x + 4 – x – 3 ) ( 2x + 4 + x + 3 ) = 0                    (x + 4)[(x – 4) – 3(x + 1)] = 0
   ( x + 1 ) ( 3x + 7 ) = 0                                     ( x + 4 ) ( x – 4 – 3x – 3 ) = 0
   x + 1 = 0 ou 3x + 7 = 0                                        ( x + 4 ) ( – 2x – 7 ) = 0
   x = – 1 ou 3x = – 7                                            x + 4 = 0 ou – 2x – 7 = 0
                             7                                    x = – 4 ou – 2x = 7
   x = – 1 ou x = – --        -
                             3                                                            7
                                                                  x = – 4 ou x = – --     -
                                                                                          2
      ⎧         7⎫                                                      ⎧          7⎫
  S = ⎨ – 1 ; – -- ⎬
                 -                                                S = ⎨ – 4; – -- ⎬-
      ⎩         3⎭                                                      ⎩          2⎭


                                                  ǡ   70 Ǡ

                                                                                                                                       Cned – Académie en ligne
MA27                                                                                                    Séquence 2- Corrigés



            e)     ( 2x + 1 ) 2 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 )
                 ( 2x + 1 ) 2 – ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) = 0
                 ( 2x + 1 ) [ ( 2x + 1 ) – ( x – 5 ) ] = 0
                    ( 2x + 1 ) ( 2x + 1 – x + 5 ) = 0
                         ( 2x + 1 ) ( x + 6 ) = 0
                      2x + 1 = 0 ou x + 6 = 0
                                  1
                         x = – -- ou x = – 6
                                  -
                                  2
                                ⎧ 1         ⎫
                            S = ⎨ – -- ;– 6 ⎬
                                     -
                                ⎩   2       ⎭



            Exercice ᕦ
            a)        ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0                     b)                ( x – 5 )2 + 9 – ( x + 2 )2 = 0
                  x 2 + 6x + 9 – 7x + 12 – x 2 + 4         =   0                    x 2 – 10x + 25 + 9 – ( x 2 + 4x + 4 ) = 0
                                         – x + 25          =   0                      x 2 – 10x + 25 + 9 – x 2 – 4x – 4 = 0
                                               –x          =   – 25                                        – 14x + 30 = 0
                                                 x         =   25                                                 – 14x = – 30
                                                 S         =   { 25 }                                                     30      15
                                                                                                                      x = ----- = -----
                                                                                                                              -       -
                                                                                                                          14        7
                                                                                                                           ⎧ 15 ⎫
                                                                                                                       S = ⎨ ----- ⎬
                                                                                                                                 -
                                                                                                                           ⎩7⎭
            Exercice ᕧ
            1) f ( x ) = ( 9x 2 – 12x + 4 ) – 2 ( 3x 2 – 9x – 2x + 6 )
                 f ( x ) = 9x 2 – 12x + 4 – 6x 2 + 18x + 4x – 12
                 f ( x ) = 3x 2 + 10x – 8
            2) f ( x ) = ( 3x – 2 ) [ ( 3x – 2 ) – 2 ( x – 3 ) ]
               f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( 3x – 2 – 2x + 6 )
               f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( x + 4 )
            3) a) f ( x ) = 0                                                          b) f ( x ) = – 8

                  ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) = 0                                                3x 2 + 10x – 8 = – 8
                  3x – 2 = 0 ou x + 4 = 0                                                 3x 2 + 10x – 8 + 8 = 0
                  3x = 2 ou x = – 4                                                       x ( 3x + 10 ) = 0
                         2                                                                x = 0 ou 3x + 10 = 0
                  x = -- ou x = – 4
                         -
                         3                                                                                  10
                                                                                          x = 0 ou x = – ------
                                                                                                             3
                        ⎧2         ⎫
                    S = ⎨ -- ; – 4 ⎬
                           -
                        ⎩ 3        ⎭                                                          ⎧      10 ⎫
                                                                                          S = ⎨ 0; – ----- ⎬
                                                                                                         -
                                                                                              ⎩        3⎭



                                                                         ǡ   71 Ǡ

Cned – Académie en ligne
Séquence 2 - Corrigés                                                                                      MA27


c) f ( x ) = x + 4
   ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) – ( x + 4 ) = 0
   ( x + 4 ) [ ( 3x – 2 ) – 1 ] = 0
   ( x + 4 ) ( 3x – 3 ) = 0
   x + 4 = 0 ou 3x – 3 = 0
   x = – 4 ou x = 1
   S = { –4 ; 1 }



Exercice ᕨ
    2x + 3                                                            x–1                  7
 a) -------------- = 5
                  -                                            b) ----------- = --
                                                                                -           -
      x+1                                                                 x                2
 Cette équation est définie pour x ≠ – 1                       Cette équation est définie pour x ≠ 0 .
    2x + 3                                                     x–1 7
    -------------- – 5 = 0
                  -                                            ----------- – -- = 0
                                                                         - -
      x+1                                                           x            2
    2x + 3 – 5 ( x + 1 )                                       2 ( x – 1 ) – 7x
    ----------------------------------------- = 0
                                            -                  ------------------------------- = 0
                                                                                             -
                   x+1                                                      2x
    2x + 3 – 5x – 5 = 0                                        2x – 2 – 7x = 0
    – 3x – 2 = 0                                               – 5x – 2 = 0
    – 3x = 2                                                   – 5x = 2
                    2                                                          2
    x = – --         -                                         x = – --         -
                    3                                                          5
                        2                                                              2
 Comme – -- ≠ – 1 , l’équation admet une seule
                         -                                     Comme – -- ≠ 0 , l’équation admet une seule solu-
                                                                                        -
                        3                                                              5
                         2                                                      2
 solution : – -- .        -                                    tion : – -- .     -
                         3                                                      5
     ⎧ 2⎫                                                          ⎧ 2⎫
 S = ⎨ – -- ⎬
          -                                                    S = ⎨ – -- ⎬
                                                                        -
     ⎩ 3⎭                                                          ⎩ 5⎭



       1
c) x + -- = 2
        -
       x
Cette équation est définie pour x ≠ 0
   x2 + 1           2x
   -------------- = -----
                -       -
         x            x
   x 2 + 1 – 2x
   -------------------------- = 0
                            -
               x
   ( x – 1 )2 = 0
   x–1 = 0
   x = 1

Comme 1 ≠ 0 , l’équation admet une seule solution : 1.

S = {1}

                                                    ǡ   72 Ǡ

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  • 1. S équence 2 Équations - Inéquations - Statistiques Diagramme circulaire Histogramme 30 25 20 Na % 15 K Mg 10 Ca 5 P 0 Na K Mg Ca P Éléments Éléments Na Mg Ca P % 28,2 8 23,6 20,1 ǡ 43 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 2. S ▼ ommaire o Séquence 2 Équations - Inéquations - Statistiques Chapitre 1 ▼ Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47 A - Connaissances indispensables B - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue C - Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un D - Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur Chapitre 2 ▼ Inéquations ................................................................................ p. 52 A - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue B - Etudier le signe d’un produit ou d’un quotient C - Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un D - Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur Chapitre 3 ▼ Statistiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58 Chapitre 4 ▼ Statistiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63 Q.C.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67 Corrigés des exercices et du Q.C.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69 ǡ 45 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 3. C hapitre 1 ▼ Équations A. Connaissances indispensables ̈ Savoir résoudre une équation simple du type ax = b ou a + x = b. ̈ Savoir résoudre une équation du type A × B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable. ̈ Savoir factoriser. ̈ On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux membres d’une équation; on obtient une équa- tion ayant les mêmes solutions. ̈ On peut multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation ; on obtient une équation ayant les mêmes solutions. Exercice ᕡ Exercice ᕢ Les équations suivantes ont deux solutions. 1) – 2 est-il solution de l’équation : A l’aide d’un calcul, les retrouver parmi les nom- – x 2 + 6x + 8 = 0 ? bres : 2) 3 – 17 est-il solution de l’équation : 0 ; 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; 2 ; – 2. – x 2 + 6x + 8 = 0 ? a) – x 2 + 2 = x b) x 2 = 2 . B. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue Méthode ̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans l’un des membres de l’équation. On se ramène ainsi à une équation de la forme : ax = b. ̈ Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation : ax = b Conditions Solution Ensemble solution b ⎧b ⎫ a≠0 une seule solution x = -- - S = ⎨ -- ⎬ - a ⎩a ⎭ a = 0 et b ≠ 0 aucune solution S = ∅ a = 0 et b = 0 tous les réels sont solutions S=‫ޒ‬ ǡ 47 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 4. Séquence 2 MA27 Exemples Résoudre dans ‫: ޒ‬ 3x x 5 ( x – 1 ) + 2x = 7 ( x + 2 ) 7 ( x – 5 ) + 15 = 4 ( x – 5 ) + 3x ----- + 2 = -- – 1 - - 4 3 on développe chaque membre on développe chaque membre on réduit au même dénominateur 5x – 5 + 2x = 7x + 14 7x – 35 + 15 = 4x – 20 + 3x 9x 24 4x 12 7x – 7x = 5 + 14 7x – 7x = 20 – 20 ----- + ----- = ----- – ----- - - - - 12 12 12 12 0x = 19 0x = 0 on multiplie les deux membres S = ∅ S = ‫ޒ‬ par 12 9x + 24 = 4x – 12 9x – 4x = – 12 – 24 5x = – 36 36 x = – ----- - 5 ⎧ 36 ⎫ S = ⎨ – ----- ⎬ - ⎩ 5⎭ Exercice ᕣ Exercice ᕤ Résoudre dans ‫: ޒ‬ Résoudre dans ‫: ޒ‬ a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 a) 3 ( x + 3 ) – 10 = 2 ( x + 4 ) – 5x 1 c) 7x = 0 d) -- x + 8 = 9 - b) 2x – 1 – 5 ( x + 3 ) = 4 – 3x 3 1 e) -- x + 3x = 2x – 12 - x x f) -- + -- = x + 4 . - - c) 6 ( 3 – 2x ) + 2 + 10x = 2 ( 10 – x ) 2 2 3 x–1 x+2 d) ----------- – ----------- = x – 5 . - - 3 4 C. Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un. Méthode Si on exclut les cas particuliers (exemple 3) et les « fausses équations du second degré » (exemple 4), la méthode à employer est la suivante : – regrouper tous les termes dans le premier membre de l’équation de manière à avoir 0 dans le second membre, – factoriser le premier membre, – appliquer le théorème : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul. ǡ 48 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 5. MA27 Séquence 2 Exemples Exemple 1 Résoudre dans ‫ޒ‬ x2 = 9 . x2 – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = – 3 S = { 3 ;– 3 } Exemple 2 Résoudre dans ‫ޒ‬ 2x ( x – 2 ) = 4 – x 2 . 2x ( x – 2 ) + ( x 2 – 4 ) = 0 2x ( x – 2 ) + ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0 ( x – 2 ) [ 2x + ( x + 2 ) ] = 0 ( x – 2 ) ( 3x + 2 ) = 0 x – 2 = 0 ou 3x + 2 = 0 2 x = 2 ou x = – -- - 3 ⎧ 2⎫ S = ⎨ 2 ;– -- ⎬ - ⎩ 3⎭ Exemple 3 Résoudre dans ‫ޒ‬ x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) = – 2 ( 3 – 4x ). x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) + 2 ( 3 – 4x ) = 0 Aucun facteur commun ne peut être mis en évidence. On développe, puis on réduit le premier membre. 2x 2 + 3x + 5x – 5 + 6 – 8x = 0 2x 2 + 1 = 0 2x 2 = – 1 Or, pour tout réel x, 2x 2 est positif. L’équation proposée n’admet aucune solution. S = ∅ ǡ 49 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 6. Séquence 2 MA27 Exemple 4 Résoudre dans ‫ޒ‬ ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) = 3x 2 + 4 . ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) – 3x 2 – 4 = 0 On développe et on réduit le premier membre. 3x 2 + 5x – 3x – 5 – 3x 2 – 4 = 0 Les termes en x 2 disparaissent 2x – 9 = 0 2x = 9 9 x = -- - 2 ⎧9 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - ⎩2 ⎭ Exercice ᕥ Exercice ᕧ Résoudre dans ‫: ޒ‬ Soit f ( x ) = ( 3x – 2 ) 2 – 2 ( 3x – 2 ) ( x – 3 ) a) 4x 2 –9 = 0 1) Développer et réduire f ( x ) . b) ( x + 1 ) 2 – 3 = 0 2) Factoriser f(x). c) 4 ( x + 2 ) 2 – ( x + 3 ) 2 = 0 3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : d) x 2 – 16 = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 ) a) f(x) = 0 e) 4x 2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) . b) f(x) = –8 Exercice ᕦ c) f ( x ) = x + 4 Résoudre dans ‫: ޒ‬ ➠ Aide : suivant l’équation à résoudre, il faut a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 = x 2 – 4 choisir la forme qui est la plus pratique. b) ( x – 5 ) 2 + 9 = ( x + 2 ) 2 . ➠ Aide : développer, les termes en x2 s’éliminent. D. Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur Méthode ̈ Déterminer les contraintes de l’équation. N ̈ Ramener l’équation à la forme --- = 0 . - D ̈ Résoudre l’équation N = 0 . ̈ Vérifier que les valeurs trouvées conviennent. ǡ 50 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 7. MA27 Séquence 2 Exemples Résoudre dans ‫ޒ‬ 2x – 1 1 x2 -------------- = 3 . x–3 - Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- = ----------- – x . - - x+1 x+1 2x – 1 L’expression -------------- est définie pour toutes les - Cette équation est définie pour x ≠ – 1 . x–3 Pour tout réel x différent de –1, valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur. 1 x2 Or x – 3 = 0 pour x = 3 . ----------- – ----------- + x = 0 - - x+1 x+1 L’équation est donc définie pour x ≠ 3 . On réduit au même dénominateur Pour tout réel x différent de 3, 1 x2 x(x + 1) 2x – 1 ----------- – ----------- + ------------------- = 0 - - - -------------- – 3 = 0 - x+1 x+1 x+1 x–3 1 – x2 + x( x + 1 ) 2x – 1 – 3 ( x – 3 ) ---------------------------------------- = 0 x+1 - ---------------------------------------- = 0 - x–3 1 – x2 + x( x + 1 ) = 0 2x – 1 – 3x + 9 ------------------------------------ = 0 - x–3 1 – x2 + x2 + x = 0 –x+8 1+x = 0 ---------------- = 0 x–3 x = –1 –x+8 = 0 Or l’équation n’est pas définie pour x = –1. x = 8 Cette équation n’admet aucune solution. Comme 8 ≠ 3 , l’équation admet une seule solu- S = ∅ tion : 8 S = {8} Exercice ᕨ Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : 2x + 3 x–1 7 1 a) -------------- = 5 - b) ----------- = -- - - c) x + -- = 2 . - x+1 x 2 x ǡ 51 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 8. C hapitre 2 ▼ Inéquations A. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue Méthode Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue : ̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans le premier membre de l’inéquation pour se ramener à une inéquation du type : ax ≤ b (ou ax < b ) ; ax ≥ b (ou ax > b ) . ̈ Si a ≠ 0 , on divise les deux membres par a en appliquant la règle suivante : – Si a > 0, le sens de l’inégalité ne change pas. – Si a < 0, le sens de l’inégalité change. ̈ Si a = 0, deux cas sont possibles : – Soit l’inéquation n’a pas de solution. – Soit tout réel est solution. Exemples Exemple 1 Exemple 2 Résoudre dans ‫2 ޒ‬x – 4 ( x + 2 ) ≤ x – 5 . 7x + 1 3x – 1 Résoudre dans ‫. -------------- > -------------- ޒ‬ - - 2x – 4x – 8 ≤ x – 5 6 4 2x – 4x – x ≤ – 5 + 8 14x + 2 9x – 3 ----------------- > -------------- - - – 3x ≤ 3 12 12 On multiplie les deux membres par 12 qui est x ≥ –1 strictement positif. 14x + 2 > 9x – 3 14x – 9x > – 2 – 3 –1 0 1 5x > – 5 x > –1 S = [–1; +∞[ –1 0 1 S = ]–1; +∞[ ǡ 52 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 9. MA27 Séquence 2 Exemple 3 Exemple 4 Résoudre dans ‫ ( 3 ޒ‬x – 1 ) + x ≤ 4x – 5. Résoudre dans ‫ ( 2 ޒ‬x – 1 ) + x > 3x – 5. 3x – 3 + x ≤ 4x – 5 2x – 2 + x > 3x – 5 3x + x – 4x ≤ – 5 + 3 2x + x – 3x > 2 – 5 0x ≤ – 2 0x > – 3 Comme 0 > 2, l’inéquation n’admet aucune solution. Comme 0 > –3, tout réel est solution. S = ∅ S=‫ޒ‬ Exercice ᕩ Exercice µ Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : Résoudre le système : a) 3x + 7 ≤ 0 ⎧ 5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 ) b) 2x + 3 > x – 4 ⎪ 2x ⎨ 2(8 – x) x – 1 x x + 6 c) ----- – 4 ≥ x + 2 - ⎪ ------------------- – ----------- ≥ -- – ----------- 3 - 6 - - 3 2 - 3 ⎩ d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3 x–1 x+2 ➠ Aide : Résoudre chaque inéquation puis cher- e) ----------- – ----------- ≤ 5 - - cher les solutions communes. 2 3 B. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient Méthode ̈ Pour trouver le signe d’un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des signes. ̈ Pour trouver le signe d’un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur, A puis procéder comme pour le signe d’un produit (le signe de --- est le même que le signe de A × B ). - B Exemples Exemple 1 Etudier le signe de ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) suivant les valeurs du réel x. a) On étudie le signe de chaque facteur : 3 x + 1 = 0 équivaut à x = – 1 2x – 3 = 0 équivaut à x = -- - 2 3 x + 1 > 0 équivaut à x > – 1 2x – 3 > 0 équivaut à x > -- - 2 3 x + 1 < 0 équivaut à x < – 1 2x – 3 < 0 équivaut à x < -- - 2 ǡ 53 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 10. Séquence 2 MA27 b) On reporte les résultats dans un tableau de signes : Sur la première ligne, on 3 indique les valeurs de x x –∞ -1 -- - +∞ 2 qui annulent le produit par ordre croissant. Signe de (x+1) – 0 + + Signe de ( 2x – 3 ) – – 0 + Signe du produit + 0 – 0 + c) Conclusion 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 lorsque x = – 1 ou x = -- - 2 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) > 0 lorsque x appartient à ]–∞; –1[ ∪ ] -- ; +∞[ - 2 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) < 0 lorsque x appartient à ]–1; -- [ . - 2 Exemple 2 1 – 3x Etudier le signe de -------------- suivant les valeurs du réel x. - x+4 a) On cherche pour quelles valeurs de x le quotient est défini. Le quotient est défini pour x + 4 ≠ 0 c’est-à-dire x ≠ – 4 . b) On étudie le signe du numérateur et du dénominateur. 1 1 – 3x = 0 équivaut à 3x = 1 c’est-à-dire x = -- - x + 4 = 0 équivaut à x = – 4 3 1 1 – 3x > 0 équivaut à – 3x > – 1 c’est-à-dire x < -- - x + 4 > 0 équivaut à x > – 4 3 1 1 – 3x < 0 équivaut à – 3x < – 1 c’est-à-dire x > -- - x + 4 < 0 équivaut à x < – 4 3 c) On dresse le tableau de signes : 1 Lorsque x = – 4, le quo- x –∞ –4 -- - +∞ tient n’est pas défini : on 3 indique ceci à l’aide d’une double barre. Signe de 1 – 3x + + 0 – Signe de x + 4 – 0 + + Signe du quotient – + 0 – ǡ 54 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 11. MA27 Séquence 2 d) Conclusion 1 – 3x 1 -------------- = 0 lorsque x = -- - - x+4 3 1 – 3x 1 -------------- > 0 lorsque x appartient à ]–4; -- [ . - - x+4 3 1 – 3x 1 -------------- < 0 lorsque x appartient à ]–∞; –4[ ∪ ] -- ; +∞[ . - - x+4 3 Exercice ¸ Etudier à l’aide d’un tableau le signe des produits ou quotients : a) P ( x ) = ( 3x + 2 ) ( 1 – 5x ) c) R ( x ) = ( – 2x + 7 ) ( x 2 + 1 ) 5x + 4 – 3x b) Q ( x ) = -------------- - d) T ( x ) = ------------------ - x–2 ( x – 1 )2 C. Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un Méthode ̈ Regrouper tous les termes dans l’un des membres de manière à faire apparaître 0 dans l’autre membre. ̈ Factoriser le membre non nul. ̈ Etudier le signe du produit obtenu. ̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions. Exemples Exemple 1 Résoudre dans ‫ޒ‬ x 2 ≤ 16 . x 2 – 16 ≤ 0 (x + 4)(x – 4) ≤ 0 x –∞ –4 4 +∞ Signe de x + 4 – 0 + + S = [–4; 4] Signe de x – 4 – – 0 + Signe du produit + 0 – 0 + ǡ 55 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 12. Séquence 2 MA27 Exemple 2 Résoudre dans ‫ ( ޒ‬x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ). ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) – ( x – 4 ) ( x + 1 ) > 0 ( x – 4 ) [ ( 2x + 3 ) – ( x + 1 ) ] > 0 ( x – 4 ) ( 2x + 3 – x – 1 ) > 0 (x – 4)(x + 2) > 0 x –∞ –2 4 +∞ Signe de x – 4 – – 0 + S = ]–∞; –2[ ∪ ]4; +∞[ Signe de x + 2 – 0 + + Signe du produit + 0 – 0 + ➠ Remarque Ne vous laissez pas tenter par des simplifications abusives. En effet l’inéquation : ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ) n’est pas équivalente à l’inéquation : ( 2x + 3 ) > ( x + 1 ) . L’ensemble des solutions de la deuxième inéquation est l’intervalle ]–2; + ∞[. Exercice ¹ Exercice Ƹ Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : Soit f ( x ) = ( 2x – 3 ) 2 – 3 ( 2x – 3 ) ( x + 1 ). a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0 1) Développer et réduire f(x). b) x 2 – 3 < 0 2) Factoriser f(x). 3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ 4x 2 – 1 a) f ( x ) ≤ 0 b) f ( x ) > 18 . d) ( x – 1 ) 2 ≥ ( 3x – 1 ) 2 . D. Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur Méthode ̈ Déterminer les contraintes de l’inéquation. N N N N ̈ Ramener l’inéquation à la forme --- ≤ 0 ou --- < 0 ou --- ≥ 0 ou --- > 0 . - - - - D D D D ̈ Factoriser N et D si nécessaire. N ̈ Etudier le signe du quotient --- . - D ̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions. ǡ 56 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 13. MA27 Séquence 2 Exemples Exemple 1 Exemple 2 x–3 4 Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ 3 . - Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ x – 1. - x+2 x–1 Cette inéquation est définie pour x + 2 ≠ 0 Cette inéquation est définie pour x – 1 ≠ 0 c’est- c’est-à-dire pour x ≠ – 2 . à-dire pour x ≠ 1 . x–3 4 ----------- – 3 ≤ 0 - ----------- – ( x – 1 ) ≤ 0 - x+2 x–1 On réduit au même dénominateur. 4 ( x – 1 )2 x – 3 3(x + 2) ----------- – ------------------ ≤ 0 - - ----------- – ------------------- ≤ 0 - - x–1 x–1 x+2 x+2 4 – ( x – 1 )2 x – 3 – 3x – 6 --------------------------- ≤ 0 - -------------------------------- ≤ 0 - x–1 x+2 On factorise le numérateur. – 2x – 9 [2 + (x – 1)][2 – (x – 1)] ------------------- ≤ 0 ------------------------------------------------------------- ≤ 0 - x+2 x–1 (x + 1)(– x + 3) -------------------------------------- ≤ 0 - x–1 9 x –∞ –1 1 3 +∞ x –∞ – -- - –2 +∞ 2 – 2x – 9 + 0 – – x+1 – 0 + + + x+2 – – 0 + –x+3 + + + 0 – Quotient – 0 + – x–1 – – 0 + + 9 Quotient + 0 – + 0 – S = ]–∞; – -- ] ∪ ] – 2;+∞[ - 2 S = [–1; 1[ ∪ [3; +∞[ Exercice ƹ Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : 2x + 5 a) -------------- < 0 - x+2 x+1 b) ----------- ≤ 2 - 3–x 1 c) x + 2 ≥ ----------- . - x+2 ǡ 57 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 14. C hapitre 3 ▼ Statistiques 1 Résultats essentiels ➠ Vocabulaire 1) Population et individu La population est l’ensemble des individus sur lequel vont porter les observations. Exemple Si une étude porte sur la marque, la puissance fiscale et le kilométrage du parc automobile d’une agence de location, la population est l’ensemble des voitures du parc, l’individu est la voiture. 2) Caractère Le caractère est la propriété étudiée. Le caractère est qualitatif s’il n’est pas une valeur numérique. Le caractère est quantitatif s’il peut être mesuré : – il est discret s’il ne prend que des valeurs isolées (en général entières); – il est continu s’il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné. Exemple Dans l’exemple du parc automobile : – la marque est un caractère qualitatif ; – la puissance fiscale est un caractère quantitatif discret ; – le kilométrage est un caractère quantitatif continu. 3) Modalités Les modalités sont les valeurs prises par le caractère. 4) Effectifs - fréquences ̈ L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus présentant cette modalité. ̈ La fréquence d’une modalité est le rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total de la popula- tion. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est 1. ➠ Représentations graphiques 1) Diagramme circulaire Lorsque l’étude statistique porte sur un caractère qualitatif, chaque valeur du caractère est représentée par un secteur angulaire dont la mesure est proportionnelle à l’effectif. ǡ 58 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 15. MA27 Séquence 2 2) Diagramme en bâtons Lorsque le caractère est discret, chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur est proportionnelle à l’effectif. 3) Histogramme des effectifs ou des fréquences Un histogramme des effectifs (ou des fréquences) est constitué de rectangles ayant pour bases les amplitudes des intervalles et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de ceux-ci. Exemples Exemple 1 : caractère qualitatif Voici les orientations en fin d’année des 32 élèves d’une classe de seconde. « Valeurs » du caractère L ES S STT STI Effectifs 6 8 10 6 2 6 8 10 6 2 Fréquences ----- = 0 ,1875 - ----- = 0 ,25 - ----- = 0 ,3125 - ----- = 0 ,1875 - ----- = 0 ,0625 - 32 32 32 32 32 Fréquences en % 18,75 % 25 % 31,25 % 18,75 % 6,25 % ̈ Diagramme circulaire La mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la fréquence du caractère correspondant. L ES STT S I ST Exemple 2 : caractère quantitatif discret Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille. « Valeurs » du 0 1 2 3 4 5 caractère Effectifs 6 5 2 6 4 2 6 5 2 6 4 2 Fréquences ----- = 0 ,24 - ----- = 0 ,20 - ----- = 0 ,08 - ----- = 0 ,24 - ----- = 0 ,16 - ----- = 0 ,08 - 25 25 25 25 25 25 Effectifs cumu- 6 11 13 19 23 25 lés croissants ǡ 59 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 16. Séquence 2 MA27 ̈ Diagramme en bâtons Nombre de familles 1 Nombre 0 1 2 3 4 5 d'enfants Exemple 3 : caractère quantitatif continu Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant en euros des chèques reçus. On obtient le tableau suivant : les différentes valeurs sont regroupées en classes. « Valeurs » du [0, 10[ [10, 50[ [50, 75[ [75, 100[ [100, 150[ caractère Effectifs 15 25 30 25 5 Fréquences 0,15 0,25 0,30 0,25 0,05 Fréquences cumulées 0,15 0,40 0,70 0,95 1 croissantes ̈ Histogramme L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à l’effectif. Les classes n’ayant pas la même amplitude, on prend une amplitude de 10 € comme intervalle aire unitaire unitaire (IU). 15 Nombres Montants Effectifs Effectifs/IU de IU [0, 10[ 15 1 15 25 [10, 50[ 25 4 ----- = 6 ,25 - 4 6,25 30 [50, 75[ 30 2,5 ------- = 12 2 ,5 25 [75, 100[ 25 2,5 ------- = 10 2 ,5 1 5 [100, 150[ 5 5 -- = 1 - 10 50 75 100 150 5 ǡ 60 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 17. MA27 Séquence 2 Exercice ƺ 1) Calculer le nombre d’élèves de ce lycée (chaque Un restaurant veut établir des prévisions de com- élève a une calculatrice !). mandes. Le restaurateur note pendant une semaine 2) Etablir le tableau statistique indiquant les effec- les choix effectués par sa clientèle. tifs, les fréquences. Type de menu Effectif Fréquence Mesure de Exercice ƽ l’angle Dans une usine, on a étudié l’âge des personnels. Menus à 10 € 60 Menus à 12 € 70 Âges Effectifs Menus à 20 € 40 [20; 25[ 50 Menus à 25 € 30 [25; 30[ 25 [30; 35[ 83 1) Compléter la colonne des fréquences. 2) Calculer la mesure de l’angle correspondant à [35; 40[ 68 chaque secteur circulaire. 3) Représenter cette série statistique par un dia- [40; 45[ 100 gramme à secteurs circulaires. [45; 50[ 64 [50; 55[ 18 Exercice ƻ [55; 60[ 12 [55/80[ Voici la répar- tition, suivant 1) Combien d’employés ont 40 ans et plus ? [25/30[ 15% leur âge, de 25% 400 person- 2) Combien ont moins de 30 ans ? nes ayant 3) Calculer, par rapport à l’effectif total, le [0/25[ 20% assisté à la pourcentage d’employés appartenant à la classe 30% projection [25; 30[. 10% d’un film. 4) Représenter les données par un histogramme. [45/55[ [30/45[ Etablir le tableau statis- tique indiquant les effectifs et les fréquences cor- Exercice ƾ respondant à chaque classe d’âge, ainsi que la Le tableau ci-dessous donne la répartition des valeur de l’angle au centre de chaque secteur. tailles des 80 joueurs de basket participant à une épreuve de sélection. Exercice Ƽ Fréquences Nombre Fréquences cumulées d'élèves Tailles en cm Effectifs en % croissantes 300 en % 250 [170; 180 [ 6 200 [180; 185 [ 8 150 100 [185; 190 [ 20 50 [190; 195 [ 24 Texas Casio HP autre [195; 205 [ Le diagramme en bâtons ci-dessus indique la mar- que de calculatrice utilisée par les élèves d’un 1) Compléter le tableau. lycée. 2) Tracer l’histogramme des effectifs. ǡ 61 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 18. Séquence 2 MA27 Exercice ƿ Une entreprise de transport fait une étude statistique sur le kilométrage mensuel effectué par sa flotte de 60 véhicules. On donne l’histogramme suivant : Nombre de véhicules 20 10 2 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 km 1) A partir de l’histogramme ci-dessus, compléter le tableau suivant : Effectif Fréquence Kilométrage Effectif Fréquence cumulé cumulée parcouru croissant croissante [0; 5000[ [5000; 10 000[ [10000; 15000 [ [15000; 20000 [ [20000 ; 25 000 [ [25000; 30000 [ 2) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru moins de 15 000 km. 3) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru au moins 20 000 km. ǡ 62 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 19. C hapitre 4 ▼ Statistiques 2 Connaissances indispensables ➠ Caractéristiques de position 1) Mode Le mode est la valeur du caractère ayant le plus grand effectif. Dans le cas de répartition en classe, on définit la classe modale. 2) Médiane La médiane est la valeur du caractère qui partage l’effectif total en deux parties de même effectif. Dans le cas d’un caractère discret : – Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série. – Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. Dans le cas d’un caractère continu, la médiane peut être obtenue par la lecture, sur le polygone des effectifs N cumulés, de l’abscisse du point ayant pour ordonnée --- (N étant l’effectif total). - 2 3) Moyenne Si x 1, x 2, …, x p sont les valeurs du caractère étudié et n 1, n 2, …, n p les effectifs correspondants, la moyenne de la série statistique est : n n1 x1 + n2 x2 + … + np xp i = 1 ∑ ni xi = ----------------------------------------------------------- = ------------------- . - - n1 + n2 + … + np n ∑ ni i=1 Si la série statistique est continue, x i représente le centre de la classe . ➠ Caractéristiques de dispersion Étendue L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère. Exemples Exemple 1 Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille. Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectifs 6 5 2 6 4 2 ǡ 63 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 20. Séquence 2 MA27 ̈ la série a deux modes : 0 et 3. ̈ Il y a 25 familles étudiées. La médiane est alors le nombre d’enfants de la 13 e famille soit 2. Il y a 12 familles qui ont au plus deux enfants et 12 familles qui ont plus de deux enfants. ̈ Calcul de la moyenne 6×0+5×1+2×2+6×3+4×4+2×5 x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 2, 12 - 25 ̈ L’étendue est égale à ( 5 – 0 ) c’est à dire 5. Exemple 2 Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant des chèques reçus. Montant des chèques [0; 25[ [25; 50[ [50; 75[ [75; 100[ [100; 150[ Effectifs 15 25 30 25 5 Effectifs cumulés croissants 15 40 70 95 100 Classe modale : [50; 75 [. Médiane : on trace le polygone des effectifs cumulés croissants. 100 50 10 5 25 50 75 100 150 La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 50. On obtient environ 58. ǡ 64 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 21. MA27 Séquence 2 ̈ Calcul de la moyenne On prend le centre de chaque intervalle. 15 × 12 ,5 + 25 × 37 ,5 + 30 × 62 ,5 + 25 × 87 ,5 + 5 × 125 x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 58 ,125 - 100 ̈ L’étendue est égale à 150. Exercice 21 2) Déterminer graphiquement la médiane. En vue de la fabrication de fromages, une laitière a 3) On affecte l’effectif de chaque classe au centre relevé le taux de matière grasse MG (en grammes de cette classe. par litre) de différents échantillons recueillis. Calculer le temps moyen d’intervention , x . Le tableau ci-dessous donne les résultats arrondis à 4) a) Déterminer, à l’aide du graphique, le nombre l’unité, de ce relevé. d’interventions dont la durée est comprise entre Taux de MG (g/l) 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 22 ; 109 ] . Effectif 1 2 5 2 3 1 4 1 1 b) Exprimer ce nombre en pourcentage de l’effec- tif total. 1) Calculer la moyenne x et l’étendue de cette c) Le travail du service de maintenance est jugé série statistique. de bonne qualité si 95 % des interventions cou- 2) Déterminer le nombre d’échantillons dont le rantes ont une durée appartenant à l’intervalle taux de matière grasse appartient à l’intervalle : [ 22 ; 109 ] . [ 29 ,5 ; 33 ,5 ] Le travail de ce service est-il de bonne qualité ? Quel pourcentage du total représente ce résultat ? Exercice 22 Exercice 23 Dans un atelier, on a relevé, pour un type de Un commerçant a relevé en décembre 1998 le machines, les temps d’intervention du service de montant des ventes suivantes : maintenance. Les résultats sont les suivants : Montant Durée [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ des [0; 30[ [30; 60[ [60; 90[ [90; 120[ [120; 150[ (min) ventes Effectif : Nombre Nombre d’inter- 5 20 40 100 20 15 de 64 40 78 52 16 ventes ventions 1) Construire le polygone des effectifs cumulés 1) Tracer l’histogramme des effectifs. croissants. 2) Déterminer le montant moyen des ventes. Echelles : – en abscisse, 1 cm pour 10 min. – en ordonnée, 1 cm pour 20 interventions. ➠ Échantillons et fluctuation d’échantillonnage ̈ Un échantillon issu d’une population est l’ensemble de quelques éléments de cette population. ̈ La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qui appartiennent à cet échantillon. ̈ Les distributions des fréquences associées à plusieurs échantillons correspondant à une même population sont en général différentes : on dit que la distribution des fréquences fluctue d’un échantillon à l’autre. ̈ Lorsque l’on augmente la taille des échantillons, on diminue l’amplitude de la fluctuation des distributions des fréquences associées à ces échantillons. ǡ 65 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 22. Séquence 2 MA27 Exercice 24 On utilise ces deux écrans pour simuler 120 tirages d’une boule avec remise dans une urne qui contient Romain a lancé 50 fois une pièce de monnaie et a trois boules vertes, deux boules rouges et cinq bou- obtenu PILE avec la fréquence de 0,44. les jaunes. On convient que les chiffres 0, 1 et 2 Florence a lancé 100 fois la même pièce de mon- correspondent au tirage d’une boule verte, 3 et 4 naie et a obtenu PILE avec la fréquence de 0,55. d’une boule rouge et 5, 6, 7, 8 et 9 d’une boule Claire, sur 75 lancers, arrive, pour PILE, à une fré- jaune. quence de 0,4. Calculer la fréquence d’apparition de chacune des Romain, Florence et Claire décident de regrouper couleurs. leurs résultats pour disposer d’un échantillon de taille 225 des résultats que l’on peut obtenir en lan- çant cette pièce. Exercice 26 Quelle sera la fréquence d’obtention de PILE sur 1) Lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce qui cet échantillon ? peut tomber uniquement sur « pile » désigné par P ou sur « face » noté F, quels sont les quatre cas que Exercice 25 l’on peut rencontrer ? En affichant l’instruction rand (Texas Instrument) 2) On utilise les deux écrans de l’exercice précé- ou Ran # (Casio), puis on appuyant plusieurs fois dent. Au premier écran, on associe le résultat du sur la fonction d’entrée, on a obtenu les deux premier jet et au second, le résultat du second ; de écrans suivants : plus, à chaque nombre pair, on associe P et à cha- Écran 1 Écran 2 que nombre impair F. rand rand Si on considère la première ligne des deux écrans, • 23 72 03 47 15 • 80 26 37 84 67 on obtient les cinq premiers résultats suivants : PP, • 44 00 16 30 73 • 48 61 87 78 48 FP, FP, PP, PF. Déterminer la fréquence d’appari- • 15 99 46 41 83 • 63 76 68 85 45 tion de chacun des quatre cas au cours des 60 lan- • 84 23 93 34 41 • 24 68 33 64 44 • 55 38 76 05 20 • 67 98 31 98 89 cers de la pièce deux fois de suite, lancers simulés • 84 76 91 29 52 • 69 32 51 47 78 par les deux écrans. Exercice 27 On simule 1 000 tirages de deux dés. On obtient : Tirages 1 et 1 1 et 2 1 et 3 1 et 4 1 et 5 1 et 6 2 et 2 Effectifs 25 51 56 58 54 55 29 Tirages 2 et 3 2 et 4 2 et 5 2 et 6 3 et 3 3 et 4 3 et 5 Effectifs 53 57 59 56 31 54 52 Tirages 3 et 6 4 et 4 4 et 5 4 et 6 5 et 5 5 et 6 6 et 6 Effectifs 57 28 56 54 27 60 28 On s’intéresse au jeu suivant : à chaque tirage, on fait correspondre le chiffre des unités du produit des deux nombres apparus sur les deux dés. Ainsi, au tirage « 3 et 4 », on associe le nombre 2 puisque 2 est le chiffre des unités de 12 = 3 × 4 . a) Quelles sont les valeurs du caractère ? b) Calculer la fréquence de chacune de ces valeurs. c) Préciser la fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 ». ǡ 66 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 23. Q .C .M . ▼ Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Réponse Réponse Réponse 1 2 3 2 3 ᕡ L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution – -- - – -- - –1 3 2 1 ᕢ L’équation 7x = 0 a pour solution –7 0 -- - 7 ᕣ L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1 pas de ᕤ L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution –1 1 et –1 solution – 6 et ᕥ L’équation x 2 = 6 a pour solution 3 6 6 x+1 ᕦ L’équation ----------- = 0 a pour solution - –1 – 1 et 3 0 x–3 ᕧ L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0] 3 2 3 ᕨ L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution ]–∞; -- [ - ] -- ; +∞[ - ] -- ; +∞[ - 2 3 2 L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensemble ᕩ ]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[ solution 3x µ L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution - ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[ x–1 ¸ Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes. vrai faux ¹ L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions vrai faux Sur un histogramme les hauteurs des rectangles Ƹ vrai faux sont proportionnelles aux effectifs Sur un histogramme les aires des rectangles sont ƹ vrai faux proportionnelles aux effectifs cela ƺ Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai faux dépend ƻ La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux cela Ƽ L’étendue peut être négative vrai faux dépend La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20 ƽ 10 10,5 11 est égale à : L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1, ƾ 6 0 1 2, 3 est égal à La moyenne et la médiane de la série de valeurs : ƿ vrai faux 6, 7, 8, 9, 10 sont égales. ǡ 67 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 24. C orrigés des Exercices et du Q.C.M ▼ Chapitre 1 Exercice ᕡ a) – ( 1 ) 2 + 2 = – 1 + 2 = 1 . 1 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x. – ( – 2 ) 2 + 2 = – 4 + 2 = – 2 . –2 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x. b) ( 2 ) 2 = 2 et ( – 2 ) 2 = 2 2 et – 2 sont solutions de l’équation : x 2 = 2. Exercice ᕢ 1) On remplace x par –2 dans le premier membre de l’équation. – ( – 2 ) 2 + 6 × ( – 2 ) + 8 = – 4 – 12 + 8 = – 8 . Le résultat étant différent de 0, –2 n’est pas solution. 2) – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – ( 9 – 6 17 + 17 ) + 18 – 6 17 + 8. Donc – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – 26 + 6 17 + 26 – 6 17 = 0. 3 – 17 est solution de l’équation : – x 2 + 6x – 8 = 0 . Exercice ᕣ a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 c) 7x = 0 3x = 2 – 2x = – 1 x = 0 2 1 x = -- - x = -- - 3 2 S = {0} ⎧2 ⎫ ⎧1 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - S = ⎨ -- ⎬ - ⎩3 ⎭ ⎩2 ⎭ 1 d) -- x + 8 = 9 - e) 1 x + 3x = 2x – 12 -- - f) x x -- + -- - - = x+4 3 2 2 3 1 1 6x 4x – 24 3x 2x 6x + 24 -- x - = 9–8 -- x + ----- = ----------------- - - - ----- + ----- - - = ----------------- - 3 2 2 2 6 6 6 1 x + 6x = 4x – 24 3x + 2x = 6x + 24 -- x - = 1 3 3x = – 24 –x = 24 x = 3 x = –8 x = – 24 S = {3} S = { –8 } S = { – 24 } ǡ 69 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 25. Séquence 2 - Corrigés MA27 Exercice ᕤ a) 3x + 9 – 10 = 2x + 8 – 5x b) 2x – 1 – 5x – 15 = 4 – 3x 3x – 2x + 5x = 8 – 9 + 10 2x – 5x + 3x = 4 + 1 + 15 6x = 9 0x = 20 9 3 L’équation n’a pas de solution x = -- = -- - - 6 2 S = ∅ ⎧3 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - ⎩2 ⎭ c) 18 – 12x + 2 + 10x = 20 – 2x 4(x – 1) 3(x + 2) 12 ( x – 5 ) d) ------------------- – ------------------- 12 - 12 - = ---------------------- 12 - – 12x + 10x + 2x = 20 – 18 – 2 0x = 0 4(x – 1) – 3(x + 2) = 12 ( x – 5 ) Tous les réels sont solutions 4x – 4 – 3x – 6 = 12x – 60 S = ‫ޒ‬ 4x – 3x – 12x = 4 + 6 – 60 – 11x = – 50 50 x = ----- - 11 ⎧ 50 ⎫ S = ⎨ ----- ⎬ - ⎩ 11 ⎭ Exercice ᕥ a) ( 2x ) 2 – 3 2 = 0 b) ( x + 1 )2 – ( 3 )2 = 0 ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) = 0 (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0 2x – 3 = 0 ou 2x + 3 = 0 x + 1 – 3 = 0 ou x + 1 + 3 = 0 2x = 3 ou 2x = – 3 x = – 1 + 3 ou x = – 1 – 3 3 3 x = -- ou x = – -- - - S = { –1 + 3 ; – 1 – 3 } 2 2 ⎧3 3 ⎫ S = ⎨ -- ; – -- ⎬ - - ⎩2 2 ⎭ c) [ 2 ( x + 2 ) ] 2 – ( x + 3 ) 2 = 0 d) ( x – 4 ) ( x + 4 ) = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 ) [2(x + 2) – (x + 3)][2(x + 2) + (x + 3)] = 0 (x – 4)(x + 4) – 3(x + 4)(x + 1) = 0 ( 2x + 4 – x – 3 ) ( 2x + 4 + x + 3 ) = 0 (x + 4)[(x – 4) – 3(x + 1)] = 0 ( x + 1 ) ( 3x + 7 ) = 0 ( x + 4 ) ( x – 4 – 3x – 3 ) = 0 x + 1 = 0 ou 3x + 7 = 0 ( x + 4 ) ( – 2x – 7 ) = 0 x = – 1 ou 3x = – 7 x + 4 = 0 ou – 2x – 7 = 0 7 x = – 4 ou – 2x = 7 x = – 1 ou x = – -- - 3 7 x = – 4 ou x = – -- - 2 ⎧ 7⎫ ⎧ 7⎫ S = ⎨ – 1 ; – -- ⎬ - S = ⎨ – 4; – -- ⎬- ⎩ 3⎭ ⎩ 2⎭ ǡ 70 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 26. MA27 Séquence 2- Corrigés e) ( 2x + 1 ) 2 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) ( 2x + 1 ) 2 – ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) = 0 ( 2x + 1 ) [ ( 2x + 1 ) – ( x – 5 ) ] = 0 ( 2x + 1 ) ( 2x + 1 – x + 5 ) = 0 ( 2x + 1 ) ( x + 6 ) = 0 2x + 1 = 0 ou x + 6 = 0 1 x = – -- ou x = – 6 - 2 ⎧ 1 ⎫ S = ⎨ – -- ;– 6 ⎬ - ⎩ 2 ⎭ Exercice ᕦ a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 b) ( x – 5 )2 + 9 – ( x + 2 )2 = 0 x 2 + 6x + 9 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – ( x 2 + 4x + 4 ) = 0 – x + 25 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – x 2 – 4x – 4 = 0 –x = – 25 – 14x + 30 = 0 x = 25 – 14x = – 30 S = { 25 } 30 15 x = ----- = ----- - - 14 7 ⎧ 15 ⎫ S = ⎨ ----- ⎬ - ⎩7⎭ Exercice ᕧ 1) f ( x ) = ( 9x 2 – 12x + 4 ) – 2 ( 3x 2 – 9x – 2x + 6 ) f ( x ) = 9x 2 – 12x + 4 – 6x 2 + 18x + 4x – 12 f ( x ) = 3x 2 + 10x – 8 2) f ( x ) = ( 3x – 2 ) [ ( 3x – 2 ) – 2 ( x – 3 ) ] f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( 3x – 2 – 2x + 6 ) f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) 3) a) f ( x ) = 0 b) f ( x ) = – 8 ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) = 0 3x 2 + 10x – 8 = – 8 3x – 2 = 0 ou x + 4 = 0 3x 2 + 10x – 8 + 8 = 0 3x = 2 ou x = – 4 x ( 3x + 10 ) = 0 2 x = 0 ou 3x + 10 = 0 x = -- ou x = – 4 - 3 10 x = 0 ou x = – ------ 3 ⎧2 ⎫ S = ⎨ -- ; – 4 ⎬ - ⎩ 3 ⎭ ⎧ 10 ⎫ S = ⎨ 0; – ----- ⎬ - ⎩ 3⎭ ǡ 71 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 27. Séquence 2 - Corrigés MA27 c) f ( x ) = x + 4 ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) – ( x + 4 ) = 0 ( x + 4 ) [ ( 3x – 2 ) – 1 ] = 0 ( x + 4 ) ( 3x – 3 ) = 0 x + 4 = 0 ou 3x – 3 = 0 x = – 4 ou x = 1 S = { –4 ; 1 } Exercice ᕨ 2x + 3 x–1 7 a) -------------- = 5 - b) ----------- = -- - - x+1 x 2 Cette équation est définie pour x ≠ – 1 Cette équation est définie pour x ≠ 0 . 2x + 3 x–1 7 -------------- – 5 = 0 - ----------- – -- = 0 - - x+1 x 2 2x + 3 – 5 ( x + 1 ) 2 ( x – 1 ) – 7x ----------------------------------------- = 0 - ------------------------------- = 0 - x+1 2x 2x + 3 – 5x – 5 = 0 2x – 2 – 7x = 0 – 3x – 2 = 0 – 5x – 2 = 0 – 3x = 2 – 5x = 2 2 2 x = – -- - x = – -- - 3 5 2 2 Comme – -- ≠ – 1 , l’équation admet une seule - Comme – -- ≠ 0 , l’équation admet une seule solu- - 3 5 2 2 solution : – -- . - tion : – -- . - 3 5 ⎧ 2⎫ ⎧ 2⎫ S = ⎨ – -- ⎬ - S = ⎨ – -- ⎬ - ⎩ 3⎭ ⎩ 5⎭ 1 c) x + -- = 2 - x Cette équation est définie pour x ≠ 0 x2 + 1 2x -------------- = ----- - - x x x 2 + 1 – 2x -------------------------- = 0 - x ( x – 1 )2 = 0 x–1 = 0 x = 1 Comme 1 ≠ 0 , l’équation admet une seule solution : 1. S = {1} ǡ 72 Ǡ Cned – Académie en ligne