Al7 ma27tepa0009 sequence-02

S équence 2

Équations - Inéquations - Statistiques

Diagramme circulaire Histogramme

30
25
20
Na
% 15
K
Mg 10

Ca 5

P 0
Na K Mg Ca P
Éléments

Éléments Na Mg Ca P

% 28,2 8 23,6 20,1

ǡ 43 Ǡ

Cned – Académie en ligne

S ▼
ommaire
o
Séquence 2

Équations - Inéquations - Statistiques
Chapitre 1 ▼
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

A - Connaissances indispensables
B - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
C - Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un
D - Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur

Chapitre 2 ▼
Inéquations ................................................................................ p. 52

A - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue
B - Etudier le signe d’un produit ou d’un quotient
C - Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un
D - Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur

Chapitre 3 ▼
Statistiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

Chapitre 4 ▼
Statistiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63

Q.C.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

Corrigés des exercices et du Q.C.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

ǡ 45 Ǡ


C hapitre 1
▼

Équations

A. Connaissances indispensables
̈ Savoir résoudre une équation simple du type ax = b ou a + x = b.
̈ Savoir résoudre une équation du type A × B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré
de la même variable.
̈ Savoir factoriser.
̈ On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux membres d’une équation; on obtient une équa-
tion ayant les mêmes solutions.
̈ On peut multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation ; on obtient
une équation ayant les mêmes solutions.

Exercice ᕡ Exercice ᕢ
Les équations suivantes ont deux solutions. 1) – 2 est-il solution de l’équation :
A l’aide d’un calcul, les retrouver parmi les nom- – x 2 + 6x + 8 = 0 ?
bres :
2) 3 – 17 est-il solution de l’équation :
0 ; 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; 2 ; – 2.
– x 2 + 6x + 8 = 0 ?
a) – x 2 + 2 = x b) x 2 = 2 .

B. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

Méthode

̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans l’un des membres de l’équation. On se ramène ainsi à
une équation de la forme : ax = b.
̈

Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation : ax = b

Conditions Solution Ensemble solution

b ⎧b ⎫
a≠0 une seule solution x = --
- S = ⎨ -- ⎬
-
a ⎩a ⎭

a = 0 et b ≠ 0 aucune solution S = ∅

a = 0 et b = 0 tous les réels sont solutions S=‫ޒ‬

ǡ 47 Ǡ


Séquence 2 MA27

Exemples

Résoudre dans ‫: ޒ‬

3x x 5 ( x – 1 ) + 2x = 7 ( x + 2 ) 7 ( x – 5 ) + 15 = 4 ( x – 5 ) + 3x
----- + 2 = -- – 1
- -
4 3 on développe chaque membre on développe chaque membre
on réduit au même dénominateur 5x – 5 + 2x = 7x + 14 7x – 35 + 15 = 4x – 20 + 3x
9x 24 4x 12 7x – 7x = 5 + 14 7x – 7x = 20 – 20
----- + ----- = ----- – -----
- - - -
12 12 12 12 0x = 19 0x = 0
on multiplie les deux membres
S = ∅ S = ‫ޒ‬
par 12
9x + 24 = 4x – 12
9x – 4x = – 12 – 24
5x = – 36
36
x = – ----- -
5
⎧ 36 ⎫
S = ⎨ – ----- ⎬
-
⎩ 5⎭

Exercice ᕣ Exercice ᕤ
Résoudre dans ‫: ޒ‬ Résoudre dans ‫: ޒ‬
a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 a) 3 ( x + 3 ) – 10 = 2 ( x + 4 ) – 5x
1
c) 7x = 0 d) -- x + 8 = 9
- b) 2x – 1 – 5 ( x + 3 ) = 4 – 3x
3
1
e) -- x + 3x = 2x – 12
-
x x
f) -- + -- = x + 4 .
- - c) 6 ( 3 – 2x ) + 2 + 10x = 2 ( 10 – x )
2 2 3
x–1 x+2
d) ----------- – ----------- = x – 5 .
- -
3 4

C. Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un.

Méthode

Si on exclut les cas particuliers (exemple 3) et les « fausses équations du second degré » (exemple 4), la
méthode à employer est la suivante :
– regrouper tous les termes dans le premier membre de l’équation de manière à avoir 0 dans le second
membre,
– factoriser le premier membre,
– appliquer le théorème : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est
nul.

ǡ 48 Ǡ


MA27 Séquence 2

Exemples

Exemple 1
Résoudre dans ‫ޒ‬ x2 = 9 .
x2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x – 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = – 3
S = { 3 ;– 3 }

Exemple 2
Résoudre dans ‫ޒ‬ 2x ( x – 2 ) = 4 – x 2 .
2x ( x – 2 ) + ( x 2 – 4 ) = 0
2x ( x – 2 ) + ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0
( x – 2 ) [ 2x + ( x + 2 ) ] = 0
( x – 2 ) ( 3x + 2 ) = 0
x – 2 = 0 ou 3x + 2 = 0
2
x = 2 ou x = – --
-
3
⎧ 2⎫
S = ⎨ 2 ;– -- ⎬
-
⎩ 3⎭

Exemple 3
Résoudre dans ‫ޒ‬ x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) = – 2 ( 3 – 4x ).
x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) + 2 ( 3 – 4x ) = 0
Aucun facteur commun ne peut être mis en évidence.
On développe, puis on réduit le premier membre.
2x 2 + 3x + 5x – 5 + 6 – 8x = 0
2x 2 + 1 = 0
2x 2 = – 1

Or, pour tout réel x, 2x 2 est positif.
L’équation proposée n’admet aucune solution.
S = ∅

ǡ 49 Ǡ


Séquence 2 MA27

Exemple 4
Résoudre dans ‫ޒ‬ ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) = 3x 2 + 4 .
( x – 1 ) ( 3x + 5 ) – 3x 2 – 4 = 0
On développe et on réduit le premier membre.
3x 2 + 5x – 3x – 5 – 3x 2 – 4 = 0
Les termes en x 2 disparaissent
2x – 9 = 0
2x = 9
9
x = --
-
2
⎧9 ⎫
S = ⎨ -- ⎬
-
⎩2 ⎭

Exercice ᕥ Exercice ᕧ
Résoudre dans ‫: ޒ‬ Soit f ( x ) = ( 3x – 2 ) 2 – 2 ( 3x – 2 ) ( x – 3 )
a) 4x 2 –9 = 0
1) Développer et réduire f ( x ) .
b) ( x + 1 ) 2 – 3 = 0
2) Factoriser f(x).
c) 4 ( x + 2 ) 2 – ( x + 3 ) 2 = 0
3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes :
d) x 2 – 16 = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 )
a) f(x) = 0
e) 4x 2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) .
b) f(x) = –8

Exercice ᕦ c) f ( x ) = x + 4
Résoudre dans ‫: ޒ‬ ➠ Aide : suivant l’équation à résoudre, il faut
a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 = x 2 – 4 choisir la forme qui est la plus pratique.

b) ( x – 5 ) 2 + 9 = ( x + 2 ) 2 .

➠ Aide : développer, les termes en x2 s’éliminent.

D. Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur

Méthode

̈ Déterminer les contraintes de l’équation.
N
̈ Ramener l’équation à la forme --- = 0 .
-
D
̈ Résoudre l’équation N = 0 .

̈ Vérifier que les valeurs trouvées conviennent.

ǡ 50 Ǡ


MA27 Séquence 2

Exemples

Résoudre dans ‫ޒ‬
2x – 1 1 x2
-------------- = 3 .
x–3
- Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- = ----------- – x .
- -
x+1 x+1
2x – 1
L’expression -------------- est définie pour toutes les
- Cette équation est définie pour x ≠ – 1 .
x–3 Pour tout réel x différent de –1,
valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur. 1 x2
Or x – 3 = 0 pour x = 3 . ----------- – ----------- + x = 0
- -
x+1 x+1
L’équation est donc définie pour x ≠ 3 . On réduit au même dénominateur
Pour tout réel x différent de 3, 1 x2 x(x + 1)
2x – 1 ----------- – ----------- + ------------------- = 0
- - -
-------------- – 3 = 0
- x+1 x+1 x+1
x–3
1 – x2 + x( x + 1 )
2x – 1 – 3 ( x – 3 ) ---------------------------------------- = 0
x+1
-
---------------------------------------- = 0
-
x–3
1 – x2 + x( x + 1 ) = 0
2x – 1 – 3x + 9
------------------------------------ = 0
-
x–3 1 – x2 + x2 + x = 0
–x+8 1+x = 0
---------------- = 0
x–3 x = –1
–x+8 = 0 Or l’équation n’est pas définie pour x = –1.
x = 8 Cette équation n’admet aucune solution.
Comme 8 ≠ 3 , l’équation admet une seule solu- S = ∅
tion : 8
S = {8}

Exercice ᕨ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes :
2x + 3 x–1 7 1
a) -------------- = 5
- b) ----------- = --
- - c) x + -- = 2 .
-
x+1 x 2 x

ǡ 51 Ǡ


C hapitre 2
▼

Inéquations

A. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Méthode

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue :
̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans le premier membre de l’inéquation pour se ramener à
une inéquation du type : ax ≤ b (ou ax < b ) ; ax ≥ b (ou ax > b ) .
̈ Si a ≠ 0 , on divise les deux membres par a en appliquant la règle suivante :
– Si a > 0, le sens de l’inégalité ne change pas.
– Si a < 0, le sens de l’inégalité change.
̈ Si a = 0, deux cas sont possibles :
– Soit l’inéquation n’a pas de solution.
– Soit tout réel est solution.

Exemples

Exemple 1 Exemple 2
Résoudre dans ‫2 ޒ‬x – 4 ( x + 2 ) ≤ x – 5 . 7x + 1 3x – 1
Résoudre dans ‫. -------------- > -------------- ޒ‬
- -
2x – 4x – 8 ≤ x – 5 6 4
2x – 4x – x ≤ – 5 + 8 14x + 2 9x – 3
----------------- > --------------
- -
– 3x ≤ 3 12 12
On multiplie les deux membres par 12 qui est
x ≥ –1
strictement positif.
14x + 2 > 9x – 3
14x – 9x > – 2 – 3
–1 0 1
5x > – 5
x > –1
S = [–1; +∞[

–1 0 1

S = ]–1; +∞[

ǡ 52 Ǡ


MA27 Séquence 2

Exemple 3 Exemple 4
Résoudre dans ‫ ( 3 ޒ‬x – 1 ) + x ≤ 4x – 5. Résoudre dans ‫ ( 2 ޒ‬x – 1 ) + x > 3x – 5.
3x – 3 + x ≤ 4x – 5 2x – 2 + x > 3x – 5
3x + x – 4x ≤ – 5 + 3 2x + x – 3x > 2 – 5
0x ≤ – 2 0x > – 3
Comme 0 > 2, l’inéquation n’admet aucune solution. Comme 0 > –3, tout réel est solution.
S = ∅ S=‫ޒ‬

Exercice ᕩ Exercice µ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : Résoudre le système :
a) 3x + 7 ≤ 0
⎧ 5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 )
b) 2x + 3 > x – 4 ⎪
2x ⎨ 2(8 – x) x – 1 x x + 6
c) ----- – 4 ≥ x + 2
- ⎪ ------------------- – ----------- ≥ -- – -----------
3
-
6
- -
3 2
-
3 ⎩
d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3
x–1 x+2 ➠ Aide : Résoudre chaque inéquation puis cher-
e) ----------- – ----------- ≤ 5
- - cher les solutions communes.
2 3

B. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient

Méthode

̈ Pour trouver le signe d’un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle des
signes.
̈ Pour trouver le signe d’un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur,
A
puis procéder comme pour le signe d’un produit (le signe de --- est le même que le signe de A × B ).
-
B

Exemples

Exemple 1
Etudier le signe de ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) suivant les valeurs du réel x.
a) On étudie le signe de chaque facteur :
3
x + 1 = 0 équivaut à x = – 1 2x – 3 = 0 équivaut à x = --
-
2

3
x + 1 > 0 équivaut à x > – 1 2x – 3 > 0 équivaut à x > --
-
2

3
x + 1 < 0 équivaut à x < – 1 2x – 3 < 0 équivaut à x < --
-
2

ǡ 53 Ǡ


Séquence 2 MA27

b) On reporte les résultats dans un tableau de signes :
Sur la première ligne, on
3 indique les valeurs de x
x –∞ -1 --
- +∞
2 qui annulent le produit
par ordre croissant.
Signe de (x+1) – 0 + +

Signe de ( 2x – 3 ) – – 0 +

Signe du produit + 0 – 0 +

c) Conclusion
3
( x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 lorsque x = – 1 ou x = --
-
2
3
( x + 1 ) ( 2x – 3 ) > 0 lorsque x appartient à ]–∞; –1[ ∪ ] -- ; +∞[
-
2
3
( x + 1 ) ( 2x – 3 ) < 0 lorsque x appartient à ]–1; -- [ .
-
2

Exemple 2
1 – 3x
Etudier le signe de -------------- suivant les valeurs du réel x.
-
x+4

a) On cherche pour quelles valeurs de x le quotient est défini.
Le quotient est défini pour x + 4 ≠ 0 c’est-à-dire x ≠ – 4 .

b) On étudie le signe du numérateur et du dénominateur.
1
1 – 3x = 0 équivaut à 3x = 1 c’est-à-dire x = -- - x + 4 = 0 équivaut à x = – 4
3
1
1 – 3x > 0 équivaut à – 3x > – 1 c’est-à-dire x < --
- x + 4 > 0 équivaut à x > – 4
3
1
1 – 3x < 0 équivaut à – 3x < – 1 c’est-à-dire x > --
- x + 4 < 0 équivaut à x < – 4
3

c) On dresse le tableau de signes :
1 Lorsque x = – 4, le quo-
x –∞ –4 --
- +∞ tient n’est pas défini : on
3
indique ceci à l’aide
d’une double barre.
Signe de 1 – 3x + + 0 –

Signe de x + 4 – 0 + +

Signe du quotient – + 0 –

ǡ 54 Ǡ


MA27 Séquence 2

d) Conclusion
1 – 3x 1
-------------- = 0 lorsque x = --
- -
x+4 3
1 – 3x 1
-------------- > 0 lorsque x appartient à ]–4; -- [ .
- -
x+4 3
1 – 3x 1
-------------- < 0 lorsque x appartient à ]–∞; –4[ ∪ ] -- ; +∞[ .
- -
x+4 3

Exercice ¸
Etudier à l’aide d’un tableau le signe des produits ou quotients :

a) P ( x ) = ( 3x + 2 ) ( 1 – 5x ) c) R ( x ) = ( – 2x + 7 ) ( x 2 + 1 )
5x + 4 – 3x
b) Q ( x ) = --------------
- d) T ( x ) = ------------------
-
x–2 ( x – 1 )2

C. Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un

Méthode

̈ Regrouper tous les termes dans l’un des membres de manière à faire apparaître 0 dans l’autre membre.

̈ Factoriser le membre non nul.

̈ Etudier le signe du produit obtenu.

̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions.

Exemples

Exemple 1

Résoudre dans ‫ޒ‬ x 2 ≤ 16 .
x 2 – 16 ≤ 0
(x + 4)(x – 4) ≤ 0

x –∞ –4 4 +∞

Signe de x + 4 – 0 + +
S = [–4; 4]
Signe de x – 4 – – 0 +


ǡ 55 Ǡ


Séquence 2 MA27

Exemple 2

Résoudre dans ‫ ( ޒ‬x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ).

( x – 4 ) ( 2x + 3 ) – ( x – 4 ) ( x + 1 ) > 0
( x – 4 ) [ ( 2x + 3 ) – ( x + 1 ) ] > 0
( x – 4 ) ( 2x + 3 – x – 1 ) > 0
(x – 4)(x + 2) > 0

x –∞ –2 4 +∞

Signe de x – 4 – – 0 +
S = ]–∞; –2[ ∪ ]4; +∞[
Signe de x + 2 – 0 + +


➠ Remarque
Ne vous laissez pas tenter par des simplifications abusives.
En effet l’inéquation : ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ) n’est pas équivalente à l’inéquation :
( 2x + 3 ) > ( x + 1 ) .
L’ensemble des solutions de la deuxième inéquation est l’intervalle ]–2; + ∞[.

Exercice ¹ Exercice Ƹ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : Soit f ( x ) = ( 2x – 3 ) 2 – 3 ( 2x – 3 ) ( x + 1 ).
a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0 1) Développer et réduire f(x).
b) x 2 – 3 < 0 2) Factoriser f(x).
3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes :
c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ 4x 2 – 1
a) f ( x ) ≤ 0 b) f ( x ) > 18 .
d) ( x – 1 ) 2 ≥ ( 3x – 1 ) 2 .

D. Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur

Méthode

̈ Déterminer les contraintes de l’inéquation.
N N N N
̈ Ramener l’inéquation à la forme --- ≤ 0 ou --- < 0 ou --- ≥ 0 ou --- > 0 .
- - - -
D D D D
̈ Factoriser N et D si nécessaire.
N
̈ Etudier le signe du quotient --- .
-
D
̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions.

ǡ 56 Ǡ


MA27 Séquence 2

Exemples

Exemple 1 Exemple 2
x–3 4
Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ 3 .
- Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ x – 1.
-
x+2 x–1
Cette inéquation est définie pour x + 2 ≠ 0 Cette inéquation est définie pour x – 1 ≠ 0 c’est-
c’est-à-dire pour x ≠ – 2 . à-dire pour x ≠ 1 .
x–3 4
----------- – 3 ≤ 0
- ----------- – ( x – 1 ) ≤ 0
-
x+2 x–1
On réduit au même dénominateur. 4 ( x – 1 )2
x – 3 3(x + 2) ----------- – ------------------ ≤ 0
- -
----------- – ------------------- ≤ 0
- - x–1 x–1
x+2 x+2
4 – ( x – 1 )2
x – 3 – 3x – 6 --------------------------- ≤ 0
-
-------------------------------- ≤ 0
- x–1
x+2
On factorise le numérateur.
– 2x – 9 [2 + (x – 1)][2 – (x – 1)]
------------------- ≤ 0 ------------------------------------------------------------- ≤ 0
-
x+2 x–1
(x + 1)(– x + 3)
-------------------------------------- ≤ 0
-
x–1
9 x –∞ –1 1 3 +∞
x –∞ – --
- –2 +∞
2
– 2x – 9 + 0 – – x+1 – 0 + + +

x+2 – – 0 + –x+3 + + + 0 –

Quotient – 0 + – x–1 – – 0 + +

9 Quotient + 0 – + 0 –
S = ]–∞; – -- ] ∪ ] – 2;+∞[
-
2
S = [–1; 1[ ∪ [3; +∞[

Exercice ƹ
Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes :
2x + 5
a) -------------- < 0
-
x+2
x+1
b) ----------- ≤ 2
-
3–x
1
c) x + 2 ≥ ----------- .
-
x+2

ǡ 57 Ǡ


C hapitre 3
▼

Statistiques 1
Résultats essentiels
➠ Vocabulaire
1) Population et individu
La population est l’ensemble des individus sur lequel vont porter les observations.

Exemple
Si une étude porte sur la marque, la puissance ﬁscale et le kilométrage du parc automobile d’une agence de
location, la population est l’ensemble des voitures du parc, l’individu est la voiture.

2) Caractère
Le caractère est la propriété étudiée.
Le caractère est qualitatif s’il n’est pas une valeur numérique.
Le caractère est quantitatif s’il peut être mesuré :
– il est discret s’il ne prend que des valeurs isolées (en général entières);
– il est continu s’il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.
Exemple
Dans l’exemple du parc automobile :
– la marque est un caractère qualitatif ;
– la puissance ﬁscale est un caractère quantitatif discret ;
– le kilométrage est un caractère quantitatif continu.

3) Modalités
Les modalités sont les valeurs prises par le caractère.

4) Effectifs - fréquences
̈ L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus présentant cette modalité.
̈ La fréquence d’une modalité est le rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total de la popula-
tion. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est 1.

➠ Représentations graphiques
1) Diagramme circulaire
Lorsque l’étude statistique porte sur un caractère qualitatif, chaque valeur du caractère est représentée par un
secteur angulaire dont la mesure est proportionnelle à l’effectif.

ǡ 58 Ǡ


MA27 Séquence 2

2) Diagramme en bâtons
Lorsque le caractère est discret, chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur
est proportionnelle à l’effectif.
3) Histogramme des effectifs ou des fréquences
Un histogramme des effectifs (ou des fréquences) est constitué de rectangles ayant pour bases les amplitudes
des intervalles et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de ceux-ci.

Exemples
Exemple 1 : caractère qualitatif
Voici les orientations en fin d’année des 32 élèves d’une classe de seconde.

« Valeurs » du caractère L ES S STT STI
Effectifs 6 8 10 6 2

6 8 10 6 2
Fréquences ----- = 0 ,1875
- ----- = 0 ,25
- ----- = 0 ,3125
- ----- = 0 ,1875
- ----- = 0 ,0625
-
32 32 32 32 32
Fréquences en % 18,75 % 25 % 31,25 % 18,75 % 6,25 %

̈ Diagramme circulaire
La mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la fréquence du
caractère correspondant.
L ES

STT

S
I
ST

Exemple 2 : caractère quantitatif discret
Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.

« Valeurs » du 0 1 2 3 4 5
caractère

Effectifs 6 5 2 6 4 2

6 5 2 6 4 2
Fréquences ----- = 0 ,24
- ----- = 0 ,20
- ----- = 0 ,08
- ----- = 0 ,24
- ----- = 0 ,16
- ----- = 0 ,08
-
25 25 25 25 25 25
Effectifs cumu- 6 11 13 19 23 25
lés croissants

ǡ 59 Ǡ


Séquence 2 MA27

̈ Diagramme en bâtons

Nombre
de familles

1
Nombre
0 1 2 3 4 5 d'enfants

Exemple 3 : caractère quantitatif continu
Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant en euros des chèques reçus.
On obtient le tableau suivant : les différentes valeurs sont regroupées en classes.

« Valeurs » du
[0, 10[ [10, 50[ [50, 75[ [75, 100[ [100, 150[
caractère

Effectifs 15 25 30 25 5
Fréquences 0,15 0,25 0,30 0,25 0,05
Fréquences
cumulées 0,15 0,40 0,70 0,95 1
croissantes

̈ Histogramme
L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à
l’effectif. Les classes n’ayant pas la même amplitude,
on prend une amplitude de 10 € comme intervalle aire unitaire
unitaire (IU). 15

Nombres
Montants Effectifs Effectifs/IU
de IU

[0, 10[ 15 1 15

25
[10, 50[ 25 4 ----- = 6 ,25
-
4
6,25
30
[50, 75[ 30 2,5 ------- = 12
2 ,5

25
[75, 100[ 25 2,5 ------- = 10
2 ,5 1

5
[100, 150[ 5 5 -- = 1
- 10 50 75 100 150
5

ǡ 60 Ǡ


MA27 Séquence 2

Exercice ƺ 1) Calculer le nombre d’élèves de ce lycée (chaque
Un restaurant veut établir des prévisions de com- élève a une calculatrice !).
mandes. Le restaurateur note pendant une semaine 2) Etablir le tableau statistique indiquant les effec-
les choix effectués par sa clientèle. tifs, les fréquences.

Type de menu Effectif Fréquence
Mesure de Exercice ƽ
l’angle
Dans une usine, on a étudié l’âge des personnels.
Menus à 10 € 60

Menus à 12 € 70 Âges Effectifs

Menus à 20 € 40 [20; 25[ 50
Menus à 25 € 30 [25; 30[ 25

[30; 35[ 83
1) Compléter la colonne des fréquences.
2) Calculer la mesure de l’angle correspondant à [35; 40[ 68
chaque secteur circulaire.
3) Représenter cette série statistique par un dia- [40; 45[ 100
gramme à secteurs circulaires. [45; 50[ 64

[50; 55[ 18
Exercice ƻ [55; 60[ 12
[55/80[
Voici la répar-
tition, suivant 1) Combien d’employés ont 40 ans et plus ?
[25/30[
15% leur âge, de
25% 400 person- 2) Combien ont moins de 30 ans ?
nes ayant 3) Calculer, par rapport à l’effectif total, le
[0/25[ 20%
assisté à la pourcentage d’employés appartenant à la classe
30% projection [25; 30[.
10% d’un film.
4) Représenter les données par un histogramme.
[45/55[ [30/45[ Etablir le
tableau statis-
tique indiquant les effectifs et les fréquences cor- Exercice ƾ
respondant à chaque classe d’âge, ainsi que la Le tableau ci-dessous donne la répartition des
valeur de l’angle au centre de chaque secteur. tailles des 80 joueurs de basket participant à une
épreuve de sélection.
Exercice Ƽ
Fréquences
Nombre Fréquences cumulées
d'élèves Tailles en cm Effectifs
en % croissantes
300 en %
250
[170; 180 [ 6
200
[180; 185 [ 8
150
100 [185; 190 [ 20
50
[190; 195 [ 24
Texas Casio HP autre
[195; 205 [
Le diagramme en bâtons ci-dessus indique la mar-
que de calculatrice utilisée par les élèves d’un 1) Compléter le tableau.
lycée. 2) Tracer l’histogramme des effectifs.

ǡ 61 Ǡ


Séquence 2 MA27

Exercice ƿ
Une entreprise de transport fait une étude statistique sur le kilométrage mensuel effectué par sa flotte de 60
véhicules.
On donne l’histogramme suivant :
Nombre
de véhicules
20

10

2

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 km

1) A partir de l’histogramme ci-dessus, compléter le tableau suivant :

Effectif Fréquence
Kilométrage
Effectif Fréquence cumulé cumulée
parcouru
croissant croissante
[0; 5000[
[5000; 10 000[
[10000; 15000 [
[15000; 20000 [
[20000 ; 25 000 [
[25000; 30000 [

2) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru moins de 15 000 km.

3) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru au moins 20 000 km.

ǡ 62 Ǡ


C hapitre 4
▼

Statistiques 2

Connaissances indispensables
➠ Caractéristiques de position
1) Mode
Le mode est la valeur du caractère ayant le plus grand effectif. Dans le cas de répartition en classe, on définit
la classe modale.

2) Médiane
La médiane est la valeur du caractère qui partage l’effectif total en deux parties de même effectif.
Dans le cas d’un caractère discret :
– Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.
– Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.
Dans le cas d’un caractère continu, la médiane peut être obtenue par la lecture, sur le polygone des effectifs
N
cumulés, de l’abscisse du point ayant pour ordonnée --- (N étant l’effectif total).
-
2
3) Moyenne
Si x 1, x 2, …, x p sont les valeurs du caractère étudié et n 1, n 2, …, n p les effectifs correspondants, la moyenne
de la série statistique est :
n

n1 x1 + n2 x2 + … + np xp i = 1
∑ ni xi
= ----------------------------------------------------------- = ------------------- .
- -
n1 + n2 + … + np n

∑ ni
i=1
Si la série statistique est continue, x i représente le centre de la classe .

➠ Caractéristiques de dispersion
Étendue
L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère.

Exemples
Exemple 1
Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille.
Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5
Effectifs 6 5 2 6 4 2

ǡ 63 Ǡ


Séquence 2 MA27

̈ la série a deux modes : 0 et 3.
̈ Il y a 25 familles étudiées. La médiane est alors le nombre d’enfants de la 13 e famille soit 2. Il y a 12
familles qui ont au plus deux enfants et 12 familles qui ont plus de deux enfants.
̈ Calcul de la moyenne
6×0+5×1+2×2+6×3+4×4+2×5
x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 2, 12
-
25
̈ L’étendue est égale à ( 5 – 0 ) c’est à dire 5.

Exemple 2
Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant des chèques reçus.

Montant des chèques [0; 25[ [25; 50[ [50; 75[ [75; 100[ [100; 150[

Effectifs 15 25 30 25 5

Effectifs cumulés croissants 15 40 70 95 100

Classe modale : [50; 75 [.
Médiane : on trace le polygone des effectifs cumulés croissants.

100

50

10

5 25 50 75 100 150

La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 50. On obtient environ 58.

ǡ 64 Ǡ


MA27 Séquence 2

̈ Calcul de la moyenne
On prend le centre de chaque intervalle.
15 × 12 ,5 + 25 × 37 ,5 + 30 × 62 ,5 + 25 × 87 ,5 + 5 × 125
x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 58 ,125
-
100

̈ L’étendue est égale à 150.

Exercice 21 2) Déterminer graphiquement la médiane.
En vue de la fabrication de fromages, une laitière a 3) On affecte l’effectif de chaque classe au centre
relevé le taux de matière grasse MG (en grammes de cette classe.
par litre) de différents échantillons recueillis. Calculer le temps moyen d’intervention , x .
Le tableau ci-dessous donne les résultats arrondis à
4) a) Déterminer, à l’aide du graphique, le nombre
l’unité, de ce relevé.
d’interventions dont la durée est comprise entre
Taux de MG (g/l) 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 22 ; 109 ] .
Effectif 1 2 5 2 3 1 4 1 1 b) Exprimer ce nombre en pourcentage de l’effec-
tif total.
1) Calculer la moyenne x et l’étendue de cette c) Le travail du service de maintenance est jugé
série statistique. de bonne qualité si 95 % des interventions cou-
2) Déterminer le nombre d’échantillons dont le rantes ont une durée appartenant à l’intervalle
taux de matière grasse appartient à l’intervalle : [ 22 ; 109 ] .
[ 29 ,5 ; 33 ,5 ] Le travail de ce service est-il de bonne qualité ?
Quel pourcentage du total représente ce résultat ?

Exercice 22 Exercice 23

Dans un atelier, on a relevé, pour un type de Un commerçant a relevé en décembre 1998 le
machines, les temps d’intervention du service de montant des ventes suivantes :
maintenance. Les résultats sont les suivants :
Montant
Durée
[0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ des [0; 30[ [30; 60[ [60; 90[ [90; 120[ [120; 150[
(min)
ventes
Effectif :
Nombre
Nombre
d’inter-
5 20 40 100 20 15 de 64 40 78 52 16
ventes
ventions

1) Construire le polygone des effectifs cumulés 1) Tracer l’histogramme des effectifs.
croissants.
2) Déterminer le montant moyen des ventes.
Echelles : – en abscisse, 1 cm pour 10 min.
– en ordonnée, 1 cm pour 20 interventions.

➠ Échantillons et ﬂuctuation d’échantillonnage
̈ Un échantillon issu d’une population est l’ensemble de quelques éléments de cette population.
̈ La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qui appartiennent à cet échantillon.
̈ Les distributions des fréquences associées à plusieurs échantillons correspondant à une même population
sont en général différentes : on dit que la distribution des fréquences fluctue d’un échantillon à l’autre.
̈ Lorsque l’on augmente la taille des échantillons, on diminue l’amplitude de la fluctuation des distributions
des fréquences associées à ces échantillons.

ǡ 65 Ǡ


Séquence 2 MA27

Exercice 24 On utilise ces deux écrans pour simuler 120 tirages
d’une boule avec remise dans une urne qui contient
Romain a lancé 50 fois une pièce de monnaie et a
trois boules vertes, deux boules rouges et cinq bou-
obtenu PILE avec la fréquence de 0,44.
les jaunes. On convient que les chiffres 0, 1 et 2
Florence a lancé 100 fois la même pièce de mon- correspondent au tirage d’une boule verte, 3 et 4
naie et a obtenu PILE avec la fréquence de 0,55. d’une boule rouge et 5, 6, 7, 8 et 9 d’une boule
Claire, sur 75 lancers, arrive, pour PILE, à une fré- jaune.
quence de 0,4.
Calculer la fréquence d’apparition de chacune des
Romain, Florence et Claire décident de regrouper couleurs.
leurs résultats pour disposer d’un échantillon de
taille 225 des résultats que l’on peut obtenir en lan-
çant cette pièce. Exercice 26
Quelle sera la fréquence d’obtention de PILE sur 1) Lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce qui
cet échantillon ? peut tomber uniquement sur « pile » désigné par P
ou sur « face » noté F, quels sont les quatre cas que
Exercice 25
l’on peut rencontrer ?
En affichant l’instruction rand (Texas Instrument) 2) On utilise les deux écrans de l’exercice précé-
ou Ran # (Casio), puis on appuyant plusieurs fois dent. Au premier écran, on associe le résultat du
sur la fonction d’entrée, on a obtenu les deux premier jet et au second, le résultat du second ; de
écrans suivants : plus, à chaque nombre pair, on associe P et à cha-
Écran 1 Écran 2 que nombre impair F.

rand rand Si on considère la première ligne des deux écrans,
• 23 72 03 47 15 • 80 26 37 84 67 on obtient les cinq premiers résultats suivants : PP,
• 44 00 16 30 73 • 48 61 87 78 48 FP, FP, PP, PF. Déterminer la fréquence d’appari-
• 15 99 46 41 83 • 63 76 68 85 45
tion de chacun des quatre cas au cours des 60 lan-
• 84 23 93 34 41 • 24 68 33 64 44
• 55 38 76 05 20 • 67 98 31 98 89 cers de la pièce deux fois de suite, lancers simulés
• 84 76 91 29 52 • 69 32 51 47 78 par les deux écrans.

Exercice 27

On simule 1 000 tirages de deux dés. On obtient :
Tirages 1 et 1 1 et 2 1 et 3 1 et 4 1 et 5 1 et 6 2 et 2
Effectifs 25 51 56 58 54 55 29

Effectifs 53 57 59 56 31 54 52

Effectifs 57 28 56 54 27 60 28

On s’intéresse au jeu suivant : à chaque tirage, on fait correspondre le chiffre des unités du produit des deux
nombres apparus sur les deux dés. Ainsi, au tirage « 3 et 4 », on associe le nombre 2 puisque 2 est le chiffre
des unités de 12 = 3 × 4 .
a) Quelles sont les valeurs du caractère ?
b) Calculer la fréquence de chacune de ces valeurs.
c) Préciser la fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 ».

ǡ 66 Ǡ


Q .C .M .
▼
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.

Réponse Réponse Réponse
1 2 3
2 3
ᕡ L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution – --
- – --
- –1
3 2
1
ᕢ L’équation 7x = 0 a pour solution –7 0 --
-
7
ᕣ L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1
pas de
ᕤ L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution –1 1 et –1
solution
– 6 et
ᕥ L’équation x 2 = 6 a pour solution 3 6
6
x+1
ᕦ L’équation ----------- = 0 a pour solution
- –1 – 1 et 3 0
x–3
ᕧ L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0]
3 2 3
ᕨ L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution ]–∞; -- [
- ] -- ; +∞[
- ] -- ; +∞[
-
2 3 2
L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensemble
ᕩ ]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[
solution
3x
µ L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution
- ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[
x–1
¸ Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes. vrai faux
¹ L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions vrai faux
Sur un histogramme les hauteurs des rectangles
Ƹ vrai faux
sont proportionnelles aux effectifs
Sur un histogramme les aires des rectangles sont
ƹ vrai faux
proportionnelles aux effectifs
cela
ƺ Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai faux
dépend
ƻ La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux
cela
Ƽ L’étendue peut être négative vrai faux
dépend
La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20
ƽ 10 10,5 11
est égale à :
L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1,
ƾ 6 0 1
2, 3 est égal à
La moyenne et la médiane de la série de valeurs :
ƿ vrai faux
6, 7, 8, 9, 10 sont égales.

ǡ 67 Ǡ


C orrigés des Exercices et du Q.C.M
▼

Chapitre 1
Exercice ᕡ
a) – ( 1 ) 2 + 2 = – 1 + 2 = 1 . 1 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x.
– ( – 2 ) 2 + 2 = – 4 + 2 = – 2 . –2 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x.

b) ( 2 ) 2 = 2 et ( – 2 ) 2 = 2
2 et – 2 sont solutions de l’équation : x 2 = 2.

Exercice ᕢ
1) On remplace x par –2 dans le premier membre de l’équation.
– ( – 2 ) 2 + 6 × ( – 2 ) + 8 = – 4 – 12 + 8 = – 8 .
Le résultat étant différent de 0, –2 n’est pas solution.

2) – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – ( 9 – 6 17 + 17 ) + 18 – 6 17 + 8.
Donc – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – 26 + 6 17 + 26 – 6 17 = 0.
3 – 17 est solution de l’équation : – x 2 + 6x – 8 = 0 .

Exercice ᕣ
a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 c) 7x = 0
3x = 2 – 2x = – 1 x = 0
2 1
x = --
- x = --
-
3 2 S = {0}
⎧2 ⎫ ⎧1 ⎫
S = ⎨ -- ⎬
- S = ⎨ -- ⎬
-
⎩3 ⎭ ⎩2 ⎭

1
d) -- x + 8 = 9
- e) 1 x + 3x = 2x – 12
--
- f) x x
-- + --
- - = x+4
3 2 2 3
1 1 6x 4x – 24 3x 2x 6x + 24
-- x
- = 9–8 -- x + ----- = -----------------
- - - ----- + -----
- - = -----------------
-
3 2 2 2 6 6 6
1 x + 6x = 4x – 24 3x + 2x = 6x + 24
-- x
- = 1
3 3x = – 24 –x = 24
x = 3 x = –8 x = – 24
S = {3} S = { –8 } S = { – 24 }

ǡ 69 Ǡ


Séquence 2 - Corrigés MA27

Exercice ᕤ
a) 3x + 9 – 10 = 2x + 8 – 5x b) 2x – 1 – 5x – 15 = 4 – 3x
3x – 2x + 5x = 8 – 9 + 10 2x – 5x + 3x = 4 + 1 + 15
6x = 9 0x = 20
9 3 L’équation n’a pas de solution
x = -- = --
- -
6 2 S = ∅
⎧3 ⎫
S = ⎨ -- ⎬
-
⎩2 ⎭

c) 18 – 12x + 2 + 10x = 20 – 2x 4(x – 1) 3(x + 2) 12 ( x – 5 )
d) ------------------- – -------------------
12
-
12
- = ----------------------
12
-
– 12x + 10x + 2x = 20 – 18 – 2
0x = 0 4(x – 1) – 3(x + 2) = 12 ( x – 5 )
Tous les réels sont solutions 4x – 4 – 3x – 6 = 12x – 60
S = ‫ޒ‬ 4x – 3x – 12x = 4 + 6 – 60
– 11x = – 50
50
x = -----
-
11
⎧ 50 ⎫
S = ⎨ ----- ⎬
-
⎩ 11 ⎭

Exercice ᕥ

a) ( 2x ) 2 – 3 2 = 0 b) ( x + 1 )2 – ( 3 )2 = 0
( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) = 0 (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0
2x – 3 = 0 ou 2x + 3 = 0
x + 1 – 3 = 0 ou x + 1 + 3 = 0
2x = 3 ou 2x = – 3
x = – 1 + 3 ou x = – 1 – 3
3 3
x = -- ou x = – --
- - S = { –1 + 3 ; – 1 – 3 }
2 2
⎧3 3 ⎫
S = ⎨ -- ; – -- ⎬
- -
⎩2 2 ⎭

c) [ 2 ( x + 2 ) ] 2 – ( x + 3 ) 2 = 0 d) ( x – 4 ) ( x + 4 ) = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 )
[2(x + 2) – (x + 3)][2(x + 2) + (x + 3)] = 0 (x – 4)(x + 4) – 3(x + 4)(x + 1) = 0
( 2x + 4 – x – 3 ) ( 2x + 4 + x + 3 ) = 0 (x + 4)[(x – 4) – 3(x + 1)] = 0
( x + 1 ) ( 3x + 7 ) = 0 ( x + 4 ) ( x – 4 – 3x – 3 ) = 0
x + 1 = 0 ou 3x + 7 = 0 ( x + 4 ) ( – 2x – 7 ) = 0
x = – 1 ou 3x = – 7 x + 4 = 0 ou – 2x – 7 = 0
7 x = – 4 ou – 2x = 7
x = – 1 ou x = – -- -
3 7
x = – 4 ou x = – -- -
2
⎧ 7⎫ ⎧ 7⎫
S = ⎨ – 1 ; – -- ⎬
- S = ⎨ – 4; – -- ⎬-
⎩ 3⎭ ⎩ 2⎭

ǡ 70 Ǡ


MA27 Séquence 2- Corrigés

e) ( 2x + 1 ) 2 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 )
( 2x + 1 ) 2 – ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) = 0
( 2x + 1 ) [ ( 2x + 1 ) – ( x – 5 ) ] = 0
( 2x + 1 ) ( 2x + 1 – x + 5 ) = 0
( 2x + 1 ) ( x + 6 ) = 0
2x + 1 = 0 ou x + 6 = 0
1
x = – -- ou x = – 6
-
2
⎧ 1 ⎫
S = ⎨ – -- ;– 6 ⎬
-
⎩ 2 ⎭

Exercice ᕦ
a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 b) ( x – 5 )2 + 9 – ( x + 2 )2 = 0
x 2 + 6x + 9 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – ( x 2 + 4x + 4 ) = 0
– x + 25 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – x 2 – 4x – 4 = 0
–x = – 25 – 14x + 30 = 0
x = 25 – 14x = – 30
S = { 25 } 30 15
x = ----- = -----
- -
14 7
⎧ 15 ⎫
S = ⎨ ----- ⎬
-
⎩7⎭
Exercice ᕧ
1) f ( x ) = ( 9x 2 – 12x + 4 ) – 2 ( 3x 2 – 9x – 2x + 6 )
f ( x ) = 9x 2 – 12x + 4 – 6x 2 + 18x + 4x – 12
f ( x ) = 3x 2 + 10x – 8
2) f ( x ) = ( 3x – 2 ) [ ( 3x – 2 ) – 2 ( x – 3 ) ]
f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( 3x – 2 – 2x + 6 )
f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( x + 4 )
3) a) f ( x ) = 0 b) f ( x ) = – 8

( 3x – 2 ) ( x + 4 ) = 0 3x 2 + 10x – 8 = – 8
3x – 2 = 0 ou x + 4 = 0 3x 2 + 10x – 8 + 8 = 0
3x = 2 ou x = – 4 x ( 3x + 10 ) = 0
2 x = 0 ou 3x + 10 = 0
x = -- ou x = – 4
-
3 10
x = 0 ou x = – ------
3
⎧2 ⎫
S = ⎨ -- ; – 4 ⎬
-
⎩ 3 ⎭ ⎧ 10 ⎫
S = ⎨ 0; – ----- ⎬
-
⎩ 3⎭

ǡ 71 Ǡ



c) f ( x ) = x + 4
( 3x – 2 ) ( x + 4 ) – ( x + 4 ) = 0
( x + 4 ) [ ( 3x – 2 ) – 1 ] = 0
( x + 4 ) ( 3x – 3 ) = 0
x + 4 = 0 ou 3x – 3 = 0
x = – 4 ou x = 1
S = { –4 ; 1 }

Exercice ᕨ
2x + 3 x–1 7
a) -------------- = 5
- b) ----------- = --
- -
x+1 x 2
Cette équation est définie pour x ≠ – 1 Cette équation est définie pour x ≠ 0 .
2x + 3 x–1 7
-------------- – 5 = 0
- ----------- – -- = 0
- -
x+1 x 2
2x + 3 – 5 ( x + 1 ) 2 ( x – 1 ) – 7x
----------------------------------------- = 0
- ------------------------------- = 0
-
x+1 2x
2x + 3 – 5x – 5 = 0 2x – 2 – 7x = 0
– 3x – 2 = 0 – 5x – 2 = 0
– 3x = 2 – 5x = 2
2 2
x = – -- - x = – -- -
3 5
2 2
Comme – -- ≠ – 1 , l’équation admet une seule
- Comme – -- ≠ 0 , l’équation admet une seule solu-
-
3 5
2 2
solution : – -- . - tion : – -- . -
3 5
⎧ 2⎫ ⎧ 2⎫
S = ⎨ – -- ⎬
- S = ⎨ – -- ⎬
-
⎩ 3⎭ ⎩ 5⎭

1
c) x + -- = 2
-
x
Cette équation est définie pour x ≠ 0
x2 + 1 2x
-------------- = -----
- -
x x
x 2 + 1 – 2x
-------------------------- = 0
-
x
( x – 1 )2 = 0
x–1 = 0
x = 1

Comme 1 ≠ 0 , l’équation admet une seule solution : 1.

S = {1}

ǡ 72 Ǡ



Chapitre 2
Exercice ᕩ
a) 3x + 7 ≤ 0 b) 2x + 3 > x – 4
3x ≤ – 7 2x – x > – 4 – 3
7 x > –7
x ≤ – --
-
3
S = ]–7; +∞[
7
S = ]–∞; – -- ]
-
3

2x
c) ----- – 4 ≥ x + 2
- d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3
3
2x 12 3x + 6 6x + 14 > 4x + 4 + 2x – 3
----- – ----- ≥ --------------
- - -
3 3 3 6x – 4x – 2x > 4 – 3 – 14
2x – 12 ≥ 3x + 6 0x > – 13
2x – 3x ≥ 6 + 12 Comme 0 > – 13, tout réel est solution
– x ≥ 18 S = ‫ޒ‬
x ≤ – 18
S = ]–∞: –18]

e) x – 1 – x + 2 ≤ 5
----------- -----------
- -
2 3
3 ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) 30
------------------- – ------------------- ≤ -----
- - -
6 6 6
3 ( x – 1 ) – 2 ( x + 2 ) ≤ 30
3x – 3 – 2x – 4 ≤ 30
x ≤ 37
S = ]–∞; 37]

Exercice µ
On résout chaque inéquation.

5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 ) 16 – 2x x – 1 x x + 6
----------------- – ----------- ≥ -- – -----------
- - - -
10x + 15 + x – 2 > 4x – 28 3 6 3 2
10x + x – 4x > – 15 + 2 – 28 2 ( 16 – 2x ) x – 1 2x 3 ( x + 6 )
------------------------- – ----------- ≥ ----- – -------------------
- - - -
7x > – 41 6 6 6 6
41 2 ( 16 – 2x ) – ( x – 1 ) ≥ 2x – 3 ( x + 6 )
x > – -----
-
7 32 – 4x – x + 1 ≥ 2x – 3x – 18
41 – 4x – x – 2x + 3x ≥ – 18 – 32 – 1
S 1 = ]– ----- ; + ∞[
-
7 – 4x ≥ – 51
51
x ≤ ----- -
4
51
S 2 = ] – ∞; ----- ] -
4

ǡ 73 Ǡ



On cherche les solutions communes
S1

0 1 S2
– 41 51
7 4

41 51
L’ensemble des solutions du système est : – ----- ;----- .
- -
7 4

Exercice ¸
a)

2 1
x –∞ – --
- --
- +∞
3 5

3x + 2 – 0 + +

1 – 5x + + 0 –

P(x) – 0 + 0 –

b)

4
x –∞ – --
- 2 +∞
5

5x + 4 – 0 + +

x–2 – – 0 +

Q(x) + 0 – +

c) Pour tout réel x, x 2 + 1 est strictement positif

7
x –∞ --
- +∞
2

– 2x + 7 + 0 –

x2 + 1 + +

R(x) + 0 –

ǡ 74 Ǡ



d) x –∞ 0 1 +∞

–3x + 0 – –

( x – 1 )2 + + 0 +

T(x) + 0 – –

Exercice ¹
a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0
1 4
x –∞ --
- --
- +∞
2 5

2x – 1 – 0 + +

4 – 5x + + 0 –

Produit – 0 + 0 –
1 4
S = ] – ∞; -- ] ∪ [ -- ;+∞[
- -
2 5
b) On factorise x 2 – 3
(x – 3)(x + 3) < 0
x –∞ – 3 3 +∞
x– 3 – – 0 +

x+ 3 – 0 + +

Produit + 0 – 0 +

S = ]– 3 ; 3[

c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ ( 2x – 1 ) ( 2x + 1 )
( 2x + 1 ) ( x – 4 ) – ( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) ≤ 0
( 2x + 1 ) [ ( x – 4 ) – ( 2x – 1 ) ] ≤ 0
( 2x + 1 ) ( x – 4 – 2x + 1 ) ≤ 0
( 2x + 1 ) ( – x – 3 ) ≤ 0
1
x –∞ –3 – --
- +∞
2
2x + 1 – – 0 +
–x–3 + 0 – –

1
S = ]–∞; –3] ∪ [ – -- ;+∞[
-
2

ǡ 75 Ǡ



d) ( x – 1 ) 2 – ( 3x – 1 ) 2 ≥ 0
[ ( x – 1 ) – ( 3x – 1 ) ] [ ( x – 1 ) + ( 3x – 1 ) ] ≥ 0
( x – 1 – 3x + 1 ) ( x – 1 + 3x – 1 ) ≥ 0
– 2x ( 4x – 2 ) ≥ 0
1
x –∞ 0 --
- +∞
2
–2x + 0 – –
4x – 2 – – 0 +

1
S = 0 ;--
-
2

Exercice Ƹ
1) f ( x ) = ( 4x 2 – 12x + 9 ) – 3 ( 2x 2 + 2x – 3x – 3 )
f ( x ) = ( 4x 2 – 12x + 9 ) – 3 ( 2x 2 – x – 3 )
f ( x ) = 4x 2 – 12x + 9 – 6x 2 + 3x + 9 = – 2x 2 – 9x + 18
2) f ( x ) = ( 2x – 3 ) [ ( 2x – 3 ) – 3 ( x + 1 ) ]
f ( x ) = ( 2x – 3 ) ( 2x – 3 – 3x – 3 )
f ( x ) = ( 2x – 3 ) ( – x – 6 )
3) a) f ( x ) ≤ 0
( 2x – 3 ) ( – x – 6 ) ≤ 0
3
x –∞ –6 --
- +∞
2
2x – 3 – – 0 +
–x–6 + 0 – –
f (x) – 0 + 0 –

3
S = ]–∞; –6] ∪ [ -- ; +∞[
-
2
b) f ( x ) > 18
– 2x 2 – 9x + 18 – 18 > 0
– 2x 2 – 9x > 0
x ( – 2x – 9 ) > 0
9
x –∞ – --
- 0 +∞
2
x – – 0 +
– 2x – 9 + 0 – –

9
S = ]- -- ; 0[
-
2

ǡ 76 Ǡ



Exercice ƹ

2x + 5
a) -------------- < 0
-
x+2
Cette inéquation est définie pour x ≠ – 2 .
5
x –∞ – --
- –2 +∞
2
2x + 5 – 0 + +
x+2 – – 0 +
Quotient + 0 – +

5
S = ] – -- ;– 2 [
-
2
x+1
b) ----------- ≤ 2
-
3–x
Cette inéquation est définie pour x ≠ 3 .
x+1
----------- – 2 ≤ 0
-
3–x
x + 1 – 2(3 – x)
------------------------------------- ≤ 0
-
3–x
x + 1 – 6 + 2x
--------------------------------- ≤ 0
-
3–x
3x – 5
-------------- ≤ 0
-
3–x
5
x –∞ -
-- 3 +∞
3
3x – 5 – 0 + +
3–x + + 0 –
Quotient – 0 + –

5
S = ]–∞; -- ] ∪ ]3 ;+∞[
-
3
1
c) x + 2 ≥ -----------
-
x+2
Cette inéquation est définie pour x ≠ – 2 .
1 x –∞ –3 –2 –1 +∞
x + 2 – ----------- ≥ 0
-
x+2
x+1 – – – 0 +
( x + 2 )2 – 1
---------------------------- ≥ 0
- x+3 – 0 + + +
x+2
(x + 2 – 1)(x + 2 + 1) x+2 – – 0 + +
---------------------------------------------------- ≥ 0
-
x+2 Quotient – 0 + – 0 +
(x + 1)(x + 3)
---------------------------------- ≥ 0
x+2
S = [–3; -2[ ∪ [–1; +∞[

ǡ 77 Ǡ



Chapitre 3
Exercice ƺ

Type de menu Effectif Fréquence Mesure de l’angle

60
Menus à 10 € 60 -------- = 0 ,30
- 360 × 0 ,3 = 108°
200

70
Menus à 12 € 70 -------- = 0 ,35
- 360 × 0 ,35 = 126°
200

40
Menus à 20 € 40 -------- = 0 ,20
- 360 × 0 ,20 = 72°
200

30
Menus à 25 € 30 -------- = 0 ,15
- 360 × 0 ,15 = 54°
200

Menu
à 10 €
Menu
à 12 €
Menu
à 25 €
Menu
à 20 €

Exercice ƻ

Âge Effectif Fréquence Mesure de l’angle

[0; 25[ 400 × 0 ,2 = 80 0,20 360 × 0 ,2 = 72°

[25; 30[ 400 × 0 ,25 = 100 0,25 360 × 0 ,25 = 90°

[30; 45[ 400 × 0 ,3 = 120 0,30 360 × 0 ,30 = 108°

[45; 55[ 400 × 0 ,1 = 40 0,10 360 × 0 ,10 = 36°

[55; 80[ 400 × 0 ,15 = 60 0,15 360 × 0 ,15 = 54°

Exercice Ƽ
1) 300 + 250 + 100 + 150 = 800
Il y a 800 élèves dans ce lycée.

ǡ 78 Ǡ



2)
Marque de calculatrice Effectifs Fréquences
300
Texas 300 -------- = 0 ,375
-
800
250
Casio 250 -------- = 0 ,3125
-
800
100
H.P. 100 -------- = 0 ,125
-
800
150
Autre 150 -------- = 0 ,1875
-
800

Exercice ƽ
1) 100 + 64 +18 +12 = 194
194 employés ont 40 ans et plus.
2) 50 + 25 = 75
75 employés ont moins de 30 ans.
3) Effectif total : 50 + 25 + 83 + 68 + 100 + 64 + 18 + 12 = 420
Pourcentage d’employés appartenant à la classe [25; 30[ :
25 × 100
-------------------- ≈ 5 ,95
-
420
Il y a environ 5,95 % d’employés appartenant à la classe [25; 30[.
4)

100

83

68
64

18
12
10

0 20 25 30 35 40 45 50 55 60

Exercice ƾ
1)
Fréquences cumulées
Tailles Effectifs Fréquences en %
croissantes en %
[170; 180[ 6 7,5 7,5
[180; 185[ 8 10 17,5
[185; 190[ 80 × 0 ,2 = 16 20 37,5
[190; 195[ 24 30 67,5
[195; 205[ 26 32,5 100

ǡ 79 Ǡ



2)

aire unitaire
20 1

13

10

3
2

170 180 190 200

Les classes n’ayant pas la même amplitude, on prend une amplitude de 5 cm comme intervalle unitaire.

Exercice ƿ
1)
Effectif cumulé Fréquence cumu-
Kilométrage Effectif Fréquence
croissant lée croissante
2 1 1
[0; 5000[ 2 ----- = -----
- - 2 -----
-
60 30 30
8 2 10 1
[5000; 10000[ 8 ----- = -----
- - 10 ----- = --
- -
60 15 60 6
10 1 20 1
[10000; 15000[ 10 ----- = --
- - 20 ----- = --
- -
60 6 60 3
16 4 36 3
[15000; 20000[ 16 ----- = -----
- - 36 ----- = --
- -
60 15 60 5
20 1 56 14
[20000; 25000[ 20 ----- = --
- - 56 ----- = -----
- -
60 3 60 15
4 1
[25000; 30000[ 4 ----- = -----
- - 60 1
60 15

2) 2 + 8 + 10 = 20
20 véhicules ont parcouru moins de 15 000 km.

3) 20 + 4 = 24
24 véhicules ont parcouru au moins 20 000 km.

ǡ 80 Ǡ



Chapitre 4
Exercice 21

1) Moyenne :
1 × 28 + 2 × 29 + 5 × 30 + 2 × 31 + 3 × 32 + 1 × 33 + 4 × 34 + 1 × 35 + 1 × 36
x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1+2+5+2+3+1+4+1+1
634
x = -------- = 31 ,7
-
20

2) Étendue : 36 – 28 = 8.
Nombre d’échantillons appartenant à l’intervalle [ 29 ,5 ; 33 ,5 ] :
5 + 2 + 3 +1 = 11
11 × 100
Pourcentage : -------------------- = 55
-
20
Le pourcentage est de 55 %.

Exercice 22

1)

Durée [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[
Effectif 5 20 40 100 20 15
Effectif cumulé
5 25 65 165 185 200
croissant

Voir graphique page suivante.

2) La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 100. On obtient environ 67.

5 × 10 + 20 × 30 + 40 × 50 + 100 × 70 + 20 × 90 + 15 × 110
3) x = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = 65 ,5
200

4) a) Nombre d’interventions dont la durée appartient à [ 22 ; 109 ]
192 – 8 = 184
Il y a environ 184 interventions dont la durée est comprise entre 22 mn et 109 mn.

184 × 100
b) Pourcentage : ----------------------- = 92
-
200
Le pourcentage cherché est de 92 %.

c) Puisque 92 < 95, le travail de ce service n’est pas de bonne qualité.

ǡ 81 Ǡ



Nombre
d'interventions
200
192

100

20
8

10 20 40 60 67 80 100 120 Durée (mn)
22 109

Exercice 23

1) Nombres de ventes

78

64

52

40

16
10

Montant des ventes
0 30 60 90 120 150

ǡ 82 Ǡ



64 × 15 + 40 × 45 + 78 × 75 + 52 × 105 + 16 × 135
2) x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- x = 64 ,92
250
Le montant moyen des ventes est de 64,92 €.

Exercice 24

Nombre de tirages « Pile » obtenus par Romain : 0 ,44 × 50 = 22 .
Nombre de tirages « Pile » obtenus par Florence : 0 ,55 × 100 = 55 .
Nombre de tirages « Pile » obtenus par Claire : 0 ,4 × 75 = 30 .
La fréquence d’obtention de Pile sur cet échantillon de taille 225 est égale à :
22 + 55 + 30 107
------------------------------ = -------- c’est-à-dire 0,48 à 10-2 près.
-
225 225

Exercice 25

Tirages boule verte boule rouge boule jaune

Effectifs 25 33 62
25 33 62
Fréquences -------- Ӎ 0 ,208
- -------- Ӎ 0 ,275
- -------- Ӎ 0 ,517
-
120 120 120

Exercice 26

1) Les quatre cas sont les suivants : PP, PF, FP, FF.
2)
Résultats PP PF FP FF

Effectifs 22 7 14 17
22 7 14 17
Fréquences ----- Ӎ 0 ,367
- ----- Ӎ 0 ,117
- ----- Ӎ 0 ,233
- ----- Ӎ 0 ,283
-
60 60 60 60

Exercice 27

a) Les valeurs du caractère sont :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 9.
b)
Valeurs 0 1 2 3 4
Effectifs 59 + 56 + 60 = 175 25 51 + 56 + 54 = 161 56 58 + 29 + 54 = 141
Fréquences 0,175 0,025 0,161 0,056 0,141

5 6 8 9
54 + 52 + 27 = 133 55 + 53 + 28 + 28 = 164 57 + 57 = 114 31
0,133 0,164 0,114 0,031

c) 0, 3, 6 et 9 sont des multiples de 3.
La fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 » est donc égale à :
0,175 + 0,056 + 0,164 + 0,031 = 0,426.

ǡ 83 Ǡ



Q.C.M
Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.

Réponse Réponse Réponse
1 2 3
2 3
ᕡ L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution – --
- – --
- –1 ᕡ
3 2
1
ᕢ L’équation 7x = 0 a pour solution –7 0 --
- ᕢ
7
ᕣ L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1 ᕡ
pas de
ᕤ L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution –1 1 et –1 ᕣ
solution
– 6 et
ᕥ L’équation x 2 = 6 a pour solution 3 6 ᕣ
6
x+1
ᕦ L’équation ----------- = 0 a pour solution
- –1 – 1 et 3 0 ᕡ
x–3
ᕧ L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0] ᕣ
3 2 3
ᕨ L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution ]–∞; -- [
- ] -- ; +∞[
- ] -- ; +∞[
- ᕡ
2 3 2
L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensemble
ᕩ ]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[ ᕢ
solution
3x
µ L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution
- ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[ ᕢ
x–1
¸ Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes. vrai faux ᕢ
¹ L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions vrai faux ᕡ
Sur un histogramme les hauteurs des rectangles
Ƹ vrai faux ᕢ
sont proportionnelles aux effectifs
Sur un histogramme les aires des rectangles sont
ƹ vrai faux ᕡ
proportionnelles aux effectifs
cela
ƺ Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai faux ᕢ
dépend
ƻ La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux ᕡ
cela
Ƽ L’étendue peut être négative vrai faux ᕢ
dépend
La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20
ƽ 10 10,5 11 ᕢ
est égale à :
L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1,
ƾ 6 0 1 ᕡ
2, 3 est égal à
La moyenne et la médiane de la série de valeurs :
ƿ vrai faux ᕡ
6, 7, 8, 9, 10 sont égales

ǡ 84 Ǡ


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