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               INTRODUCTION A LA
            PROGRAMMATION LINEAIRE

On appelle Programmation Linéaire, le problème mathématique qui consiste à optimiser
(maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont reliées par des
relations linéaires appelées contraintes.

1) RESOLUTION GRAPHIQUE

Cette méthode n'est applicable que dans le cas où il n'y a que deux variables. Son avantage est
de pouvoir comprendre ce que fait la méthode générale du Simplexe, sans entrer dans la
technique purement mathématique.

Soit à résoudre le problème suivant:
Maximiser la fonction objectif             z = 1200 x1 + 1000 x2
sous les contraintes économiques           3 x1 + 4 x2 ≤ 160
                                           6 x1 + 3 x2 ≤ 180
et les contraintes de signe                x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
les inconnues x1 et x2 sont appelées variables d'activité

Les contraintes économiques et de signe sont représentées graphiquement par des demi-plans
dont l'intersection est un ensemble convexe (c.à.d. tout segment de droite dont les extrémités
appartiennent à l'ensemble est entièrement inclus dans cet ensemble). Les solutions, si elles
existent appartiennent donc à cet ensemble appelé région des solutions admissibles.




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Il s'agit donc de chercher à l'intérieur de ce domaine, le couple (x1 , x2) maximisant la
fonction objectif.
Or l'équation 1200 x1 + 1000 x2 = z0 est représentée par une droite de pente constante (-1,2)
dont tous les points (x1 , x2) fournissent la même valeur z0 pour la fonction économique.
En particulier, la droite 1200 x1 + 1000 x2 = 0 passe par l'origine et donne une valeur nulle à
la fonction économique.
Pour augmenter la valeur de z0 et donc la fonction économique, il suffit d'éloigner de l'origine
(dans le quart de plan x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0) la droite de pente -1,2
Pour respecter les contraintes, cette droite sera déplacée jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura
plus qu'un point d'intersection (éventuellement un segment) avec la région des solutions
admissibles.




On remarquera que la solution optimale se trouve nécessairement sur le pourtour de la région
des solutions admissibles.
La solution se trouvant sur les deux droites d'équation
3 x1 + 4 x2 = 160
6 x1 + 3 x2 = 180
la résolution de ce système conduit à la solution x1 =16 , x2 = 28, d'où z = 47200.

2) METHODE DU SIMPLEXE

a) Forme canonique d'un Programme Linéaire

Max z = c1 x1 + c2 x2 + .......... +cn xn
      a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1
      a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2


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       ............................................................................
       am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm
        x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0

b) Forme standard d'un Programme Linéaire

On transforme les inégalités des contraintes économiques en égalités par introduction de
variables supplémentaires positives ou nulles appelées variables d'écart.
ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≤ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ti = bi
d'où la forme standard

Max z = c1 x1 + c2 x2 + ..........+ cn xn
      a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn + t1 = b1
      a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn + t2 = b2
       ............................................................................
       am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn + tm = bm
        x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0 ; .........; tm ≥ 0

c) Résolution

Afin de comparer avec la résolution graphique, nous pouvons considérer que nous sommes
dans un espace à n dimensions (nombre de variables d'activité). Les contraintes délimitent un
polyèdre convexe, région des solutions admissibles; la fonction objectif est un hyperplan que
l'on va déplacer le plus loin possible de l'origine, jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura plus
qu'un point d'intersection (éventuellement un segment, un plan...) avec la région des solutions
admissibles.
La solution se trouvant forcément sur le pourtour du polyèdre admissible, la méthode du
simplexe consiste en itérations qui font passer d'un sommet du polyèdre à un autre en
sélectionnant le sommet adjacent maximisant la fonction objectif.
Pour démarrer l'algorithme, il est nécessaire d'avoir une solution initiale. Dans le cas simple,
l'origine est solution, c.à.d. que la première solution est x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0 ; t1 =
b1 ; t2 = b2 ; .........; tm = bm (ceci suppose que les bi ne soient pas négatifs pour satisfaire les
contraintes de signe)
L'algorithme, basé sur la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes
d'équations linéaires, est présenté sous forme de tableau.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique
      3 x1 + 4 x2 ≤ 160
      6 x1 + 3 x2 ≤ 180
Max z = 1200 x1 + 1000 x2
      x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

* Forme standard
             3 x1 +    4 x2 + 1 t1 + 0 t2 = 160
             6 x1 +    3 x2 + 0 t1 + 1 t2 = 180
Max z = 1200 x1 + 1000 x2 + 0 t1 + 0 t2
            x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0



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* Tableau 0
en ne conservant que les coefficients des équations ci-dessus, on obtient le tableau de départ

                   HB                x1            x2        t1     t2        C
             B
              t1                     3             4         1      0        160
              t2                      6            3         0      1        180
              ∆                     1200          1000       0      0         0


Ce tableau nous donne la première solution admissible:
- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x1 = 0 ; x2 = 0 (t1 et t2 en rouge ne sont pas hors
base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces
deux variables)
- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 160 et t2 =180
- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = 0 donc z = 0
- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent
de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x1 ferait
accroître la fonction objectif de 1200, et une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître la
fonction objectif de 1000.

* Tableau 1
On augmente la fonction objectif en faisant entrer une variable dans la base, prenant la place
d'une variable qui va sortir de la base.

Critère de sélection de la variable entrant dans la base:
On sélectionne la variable HB ayant le plus grand coefficient positif dans la ligne ∆ .

                                     x1 entre donc dans la base

Pour sélectionner la variable sortant de la base, il est nécessaire de rajouter une colonne R au
tableau, obtenue en faisant le rapport membre à membre de la colonne C et de la colonne de la
variable entrant dans la base (x1)
Remarques sur la colonne R:
- Un 0 dans la colonne C est remplacé par un infiniment petit positif ε pour effectuer le calcul
de R
- Dans la colonne R on ne tient pas compte des valeurs négatives ou indéterminées

                   HB          x1           x2          t1    t2   C         R
             B
              t1                3           4           1     0    160     160/3
              t2                6           3           0     1    180      30
              ∆               1200         1000         0     0     0
Critère de sélection de la variable sortant de la base:
On sélectionne la variable dans la Base ayant le plus petit coefficient positif dans la


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colonne R .

                                      t2 sort donc de la base

     HB           x1           x2    t1       t2       C          R
B
t1                3            4      1       0        160      160/3
t2                6            3      0       1        180       30         variable sortant
∆               1200       1000       0       0         0
            variable entrant


On appelle pivot (égal à 6) l'intersection de la variable entrante et de la variable sortante
Pour obtenir le tableau 1, on applique les règles suivantes:

- Le pivot est égal à 1
- Les coefficients de la ligne du pivot sont divisés par le pivot
- Les coefficients de la colonne du pivot sont nuls
- Les autres coefficients sont obtenus par la règle du rectangle

La règle du rectangle est la suivante:




Remarque importante: d = d' ⇔ c b = 0 ⇔ b = 0 ou c = 0
En conséquence, si dans la colonne (resp. ligne) du pivot il y a un 0, toute la ligne (resp.
colonne) correspondante reste inchangée.




En appliquant ces règles on obtient le tableau 1:




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                    HB                  x1        x2       t1       t2        C
               B
               t1                       0        5/2       1       -1/2       70
               x1                       1        1/2       0       1/6        30
               ∆                        0        400       0      -200      -36000


Ce tableau nous donne la deuxième solution admissible:
- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x2 = 0 ; t2 = 0 (x1 et t1 en rouge ne sont pas hors
base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces
deux variables)
- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 70 et x1 =30
- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = -36000 donc z =
36000
- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent
de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x2 ferait
accroître la fonction objectif de 400, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la
fonction objectif de 200 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité de la variable d'écart t2
revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité).

* Tableau 2:


     HB                  x1             x2       t1       t2         C         R
B
t1                       0          5/2          1       -1/2        70        28       variable
                                                                                        sortant
x1                       1          1/2          0       1/6         30        60
∆                        0          400          0       -200     - 36000
                              variable entrant


d'où le tableau 2

               HB                  x1            x2       t1          t2           C
          B
          x2                       0             1       2/5        -1/5           28
          x1                        1            0       -1/5       4/15           16
          ∆                         0            0       -160       -120      - 47200


Ce tableau nous donne la troisième solution admissible:
- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: t1 = 0 ; t2 = 0 (x1 et x2 en rouge ne sont pas hors
base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces
deux variables)


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- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: x2 = 28 et x1 =16
- La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = - 47200 donc z =
47200
- La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent
de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de t1 ferait
diminuer la fonction objectif de 160, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la
fonction objectif de 120 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité d'une variable d'écart
revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité).

Critère d'arrêt des itérations:
Si tous les coefficients de la ligne ∆, relatifs aux variables HB, sont négatifs ou nuls, la
solution trouvée est optimale.

                        Nous avons donc ici atteint la solution optimale.

Remarques importantes:
- S'il existe une variable HB ayant un coefficient positif dans la ligne ∆ et telle que tous les
coefficients correspondants dans le tableau soient nuls ou négatifs, alors la solution est infinie.
- Si, à la fin des itérations, une variable est HB avec un coefficient nul dans la ligne ∆, alors
on a une arête (plan,...) optimale. Les autres sommets solutions sont obtenus en faisant rentrer
cette variable dans la base.

3) DUAL

A tout programme linéaire appelé PRIMAL correspond un programme linéaire appelé DUAL
obtenu de la manière suivante:

                         PRIMAL                                  DUAL
                 m contraintes d'infériorité          n contraintes de supériorité
                   n variables d'activité                 n variables d'écart
                    m variables d'écart                  m variables d'activité
                     écriture en ligne                    écriture en colonne
                                               exemple
                      PRIMAL                                          DUAL
              3 x1 +    4 x2 ≤ 160                             3 y1 + 6 y2 ≥ 1200
              6 x1 +    3 x2 ≤ 180                             4 y1 + 3 y2 ≥ 1000
   Max z = 1200 x1 + 1000 x2                          Min w = 160 y1 + 180 y2
   x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0                                    y1 ≥ 0 ; y2 ≥ 0

A l'optimum, le primal et le dual sont liés par les règles suivantes:
- les fonctions objectifs z et w ont la même valeur optimale
- la valeur marginale d'une variable dans un programme est égale à l'opposé de la valeur
optimale de la variable associée dans l'autre programme et réciproquement.

                                               exemple




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                                                              z = 47200                          x1    x2     t1       t2
                                                    valeurs optimales                            16    28      0       0
        PRIMAL
                                                   valeurs marginales                             0     0    -160    -120


                                                             w = 47200                           u1    u2     y1      y2
                                                     valeurs optimales                            0     0    160      120
         DUAL
                                                    valeurs marginales                           -16   -28    0        0




B) FORME USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE

Considérons la forme usuelle d'un Programme Linéaire:

Max ou Min z = c1 x1 + c2 x2 + .......... + cn xn
           a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1
           a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2
              ............................................................................
             am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm
               x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0

La résolution du problème à Maximum a été vue précédemment. La résolution du problème à
Minimum ne pose pas de difficulté; il suffit, dans le critère de sélection de la variable entrant
dans la base, de remplacer "plus grand coefficient positif "par "plus grand coefficient négatif"
et dans le critère d'arrêt des itérations de remplacer "coefficients négatifs ou nuls " par
"coefficients positifs ou nuls".

C) FORME NON USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE

La résolution du problème précédent nécessite les assertions suivantes:

    •   Les seconds membres sont non-négatifs: bi ≥ 0 (nécessaire pour avoir une solution
        initiale)
    •   Les variables d'activité sont non-négatives : xi ≥ 0
    •   Les contraintes sont de type " ≤ "

Que peut-on faire lorsque ces conditions ne sont pas respectées?

a) Un second membre est négatif

Il suffit de multiplier la contrainte par -1. Ceci a pour effet de changer le sens de l'inégalité
[voir c)]

b) Une variable d'activité n'est pas contrainte à la non-négativité




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Tout nombre, positif ou négatif, peut toujours être écrit comme la différence de deux nombres
non-négatifs (par exemple, - 4 = 6 - 10). Il suffit donc de remplacer la variable d'activité par la
différence de deux nouvelles variables d'activité non-négatives (le nombre de variables
d'activité augmente de 1).

c) Une contrainte n'est pas du type " ≤ "

Nous distinguons deux cas: la contrainte est du type " ≥ " ou du type " = "

- Contrainte du type " ≥ "
Il suffit de rajouter une variable d'écart non-négative
ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≥ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn - ti = bi
Il est à noter qu'il n'y a plus de solution initiale évidente: en effet pour x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........;
xn = 0, ti = -bi, ce qui n'est pas une solution admissible car ti doit être non-négative. Tout se
passe comme si cette variable d'écart était une variable d'activité et que nous étions en
présence d'une contrainte de type " = " que nous allons traiter maintenant.

- Contrainte du type " = "
Dans le cas usuel les variables d'écart introduites étaient représentatives des contraintes.
Suivant le même principe, nous rajoutons une variable non-négative, dite variable artificielle,
qui sera représentative de la contrainte dans la base.
ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn = bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ei = bi
Il est clair que pour que la contrainte d'égalité soit respectée il faut que ei = 0. La solution
initiale étant x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0, ei = bi, l'algorithme doit permettre de mettre hors
base cette variable artificielle afin qu'elle soit nulle lorqu'on atteindra la solution optimale. Si
ceci n'est pas possible, le problème n'aura alors pas de solution.

Exemple de forme non-usuelle

   (1)    3 x1 + 4 x2 - 2 x3 ≤ 10
   (2)    6 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 20
   (3)   -2 x1 + 5 x2 - 4 x3 ≤ -5
  (4)   x1 ≥ 0 ; x3 ≥ 0
Max z = 12 x1 + 10 x2 + 8 x3

(1) On rajoute une variable d'écart t1
   3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + t1 = 10
(2) On rajoute une variable artificielle e2
   6 x1 + 3 x2 + 5 x3 + e2 = 20
(3) On multiplie par -1
   2 x1 - 5 x2 + 4 x3 ≥ 5
    On rajoute une variable d'écart t3 et une variable artificielle e3
  2 x1 - 5 x2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5
(4) x2 n'est pas contrainte à la non-négativité
    x2 = x'2 - x''2



                                                   10
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Finalement le problème se ramène à la forme standard suivante
3 x1 + 4 x'2 - 4 x''2 - 2 x3 + t1 = 10
6 x1 + 3 x'2 - 3 x''2 + 5 x3 + e2 = 20
2 x1 - 5 x2 + 5 x''2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5
x1 ≥ 0; x'2 ≥ 0; x''2 ≥ 0; x3 ≥ 0; t1 ≥ 0; t3 ≥ 0; e2 ≥ 0; e3 ≥ 0
Max z = 12 x1 + 10 x'2 - 10 x''2 + 8 x3

3) METHODE DES PENALITES ( ou du grand M)

Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. On les pénalise en leur
affectant un coefficient de valeur très élevée dans la fonction économique (- M pour un
problème à maximum, + M pour un problème à minimum). Les pénalités ont pour objet de
provoquer l'élimination des variables artificielles au fil des itérations. Normalement, à
l'optimum (s'il existe) les variables artificielles sont hors base. Si celles-ci sont à l'optimum
dans la base, avec une valeur non nulle, le programme n'a pas de solution.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique
      5 x1 + 6 x2 ≥ 10
      2 x1 + 7 x2 ≥ 14
Min z = 3 x1 + 10 x2
      x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

* Forme standard
        5 x1 + 6 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 1 e1 + 0 e2 = 10
        2 x1 + 7 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 e1 + 1 e2 = 14
Min z = 3 x1 + 10 x2 + 0 t1 + 0 t2 + M e1 + M e2
            x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0

* Tableau 0

                   HB        x1          x2        t1       t2     e1     e2      C
              B
              e1              5          6         -1       0       1      0      10
              e2              2          7         0       -1       0      1      14
              ∆'              3         10         0        0      M      M       0


La ligne ∆' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales
des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir
des valeurs marginales nulles.
De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la
fonction économique et aik les coefficients du tableau,
* les valeurs marginales mj sont
    - nulles pour les variables dans la base
    - égales à cj - Σ aik ck pour les variables hors base, la sommation étant faite sur toutes les



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variables de la base (les lignes du tableau)
* la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aik ck

d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés)

     cj       3          10       0        0     M            M                                        aik ck
     HB       x1          x2     t1        t2    e1           e2     C        ck              x1     x2 t1 t2             C
B
e1            5           6      -1        0         1        0     10        M              5M     6M       -M    0 10M
e2            2           7       0        -1        0        1     14        M              2M     7M       0    -M 14M
∆         3-7M           10-     M         M         0              -24             Σ aik    7M     13M -M -M
                        13M                                   0      M                                               24M
                                                                                   ck

* Tableau 1
Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient
négatif, c.à.d. x2. En fait il suffit de regarder le coefficient de M car M est très grand; le
coefficient indépendant de M n'intervient que dans le cas où plusieurs variables ont le même
coefficient pour M.

     HB            x1            x2             t1            t2         e1        e2        C
B
e1                 5             6              -1            0          1         0         10        variable sortant

e2                 2             7              0             -1         0         1         14
∆              3-7M            10-13M           M             M          0         0        -24M
                        variable entrant


la variable artificielle sortant de la base, va se trouver dans la ligne ∆ avec un fort coefficient
positif et ne pourra donc plus y entrer; on peut donc supprimer la colonne correspondante
dans la suite des itérations, d'où le tableau 1

                   HB                 x1                 x2          t1            t2        e2          C
           B
            x2                       5/6                 1          -1/6           0         0         5/3
            e2                    -23/6                  0           7/6           -1        1         7/3
            ∆                 -16/3+(23/6)M              0        5/3-(7/6)M M               0     -50/3-(7/3)M

* Tableau 2




                                                                    12
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     HB           x1        x2         t1        t2         e2           C
B
x2               5/6        1         -1/6       0          0            5/3
e2               -23/6      0         7/6        -1         1            7/3     variable sortant
∆         -16/3+(23/6)M     0     5/3-(7/6)M M              0     -50/3-(7/3)M
                                 variable entrant


d'où le tableau 2

                 HB         x1              x2         t1          t2               C
           B
            x2            6/21              1          0         -1/7               2
            t1            -23/7             0          1         -6/7               2
            ∆              1/7              0          0         30/21             -20


On a atteint la solution optimale qui est x1 = 0; x2 = 2; t1 = 2; t2 = 0; z = 20.

Remarque: dans le cas particulier de cet exemple qui était sous forme standard, il aurait été
plus rapide de traiter le problème dual et d'en déduire la solution du problème primal initial.

4) METHODE DES DEUX PHASES

Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. Dans une première phase on
rend nulles les variables artificielles : pour cela on minimise la somme des variables
artificielles sous les contraintes du programme initial. Comme les variables artificielles sont
forcément positives ou nulles le minimum est atteint quand elles sont nulles (si ce n'est pas le
cas, c'est qu'il n'y a pas de solution). Une fois les variables artificielles annulées, on a une
solution de base admissible qui nous permet dans une seconde phase de résoudre le
programme initial.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant
       x1 + x2 ≥ 6
       x1 ≥ 4
       x2 ≤ 3
Max z = 5 x1 + 7 x2
      x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

PHASE 1

* Forme standard
        1 x1 + 1 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 0 t3 + 1 e1 + 0 e2 = 6
        1 x1 + 0 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 t3 + 0 e1 + 1 e2 = 4
        0 x1 + 1 x2 + 0 t1 + 0 t2 +1 t3 + 0 e1 + 0 e2 = 3


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Min z' = e1 + e2
            x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; t3 ≥ 0 ; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0

* Tableau 0

                    HB     x1         x2        t1             t2       t3        e1      e2       C
              B
               e1          1          1         -1          0           0         1       0        6
               e2           1         0         0          -1           0         0       1        4
               t3           0         1         0           0           1         0       0        3
               ∆'          0          0         0           0           0         1       1        0


La ligne ∆' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales
des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir
des valeurs marginales nulles.
De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la
fonction économique et aik les coefficients du tableau,
les valeurs marginales mj sont
    - nulles pour les variables dans la base
    - égales à cj - Σ aik ck , la sommation étant faite sur toutes les variables de la base (les
lignes du tableau)
la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aik

d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés)

     cj       0      0     0     0         0         1         1                                    aik ck
     HB       x1     x2    t1    t2        t3        e1    e2       C        ck           x1      x2 t1 t2       C
B
e1            1      1    -1     0         0         1         0    6        1                1   1    -1   0    6
e2            1      0     0    -1         0         0         1    4        1             1      0    0    -1   4
t3             0      1    0     0         1         0     0         3       0                0   0    0    0 0
∆             -2     -1    1     1         0                        -10           Σ aik       2   1    -1   -1 10
                                                     0         0
                                                                                  ck



* Tableau 1
Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient
négatif, c.à.d. x1.




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ENCG 2011-2012


     HB     x1          x2      t1   t2      t3        e1    e2     C
B
e1            1         1       -1   0       0         1     0       6
e2            1         0       0    -1      0         0     1       4       variable sortant
t3           0           1      0    0       1         0     0       3
∆           -2          -1      1    1      0          0     0     -10
      variable entrant


la variable artificielle sortant de la base, va prendre une valeur nulle, ce que l'on désire; il n'est
donc pas question de la faire rentrer de nouveau dans la base et on peut donc supprimer la
colonne correspondante dans la suite des itérations, d'où le tableau 1


* Tableau 2

     HB     x1          x2      t1   t2      t3        e1           C
B
e1            0         1       -1   1       0         1             2        variable sortant
x1            1         0       0    -1      0         0             4
t3            0          1      0     0      1         0             3
∆             0         -1      1    -1     0          0            -2
                  variable entrant


d'où le tableau 2

                     HB        x1    x2      t1        t2   t3                      C
              B
              x2               0     1      -1         1    0                       2
              x1               1     0       0      -1      0                       4
              t3               0     0       1      -1      1                       1
              ∆                0     0       0       0      0                       0

L'optimum est atteint. Une solution de base admissible est donc x1 = 4 ; x2 = 2 ; t1 = 0 ; t2 =
0 ; t3 = 1

PHASE 2

* Tableau 0

A partir de cette solution de base admissible, on poursuit les itérations en reprenant la
fonction objectif initiale
Max z = 5 x1 + 7 x2


                                                  15
ENCG 2011-2012


La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisqu'on n'a plus la même fonction
économique

     cj             5        7         0         0          0                                               aik ck
     HB           x1         x2        t1        t2         t3        C           ck                   t1     t2 C
B
x2                0          1         -1        1          0         2           7                    -7    7   14
x1                  1        0         0         -1         0         4           5                    0    -5   20
t3                  0        0         1         -1         1          1          0                    0     0    0
∆                   0        0         7         -2         0         -34               Σ aik ck       -7    2   34

d'où le tableau 0

     HB             x1           x2         t1        t2         t3         C
B
x2                    0           1         -1        1          0          2               -2
x1                      1         0         0         -1         0          4          + infini
t3                      0         0         1         -1         1           1            1variable sortant
∆                       0         0         7         -2         0          -34
                                  variable entrant

* Tableau 1

                        HB                  x1         x2        t1          t2         t3         C
              B
               x2                            0         1         0           0          1          3
               x1                            1         0         0          -1          0          4
               t1                            0         0         1          -1           1        1
               ∆                             0         0         0           5          -7       -41

La solution optimale obtenue est donc infinie puisqu'une variable HB a une valeur marginale
positive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau.
Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3




                                                            16
ENCG 2011-2012


La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisqu'on n'a plus la même fonction
économique

     cj             5        7         0         0          0                                               aik ck
     HB           x1         x2        t1        t2         t3        C           ck                   t1     t2 C
B
x2                0          1         -1        1          0         2           7                    -7    7   14
x1                  1        0         0         -1         0         4           5                    0    -5   20
t3                  0        0         1         -1         1          1          0                    0     0    0
∆                   0        0         7         -2         0         -34               Σ aik ck       -7    2   34

d'où le tableau 0

     HB             x1           x2         t1        t2         t3         C
B
x2                    0           1         -1        1          0          2               -2
x1                      1         0         0         -1         0          4          + infini
t3                      0         0         1         -1         1           1            1variable sortant
∆                       0         0         7         -2         0          -34
                                  variable entrant

* Tableau 1

                        HB                  x1         x2        t1          t2         t3         C
              B
               x2                            0         1         0           0          1          3
               x1                            1         0         0          -1          0          4
               t1                            0         0         1          -1           1        1
               ∆                             0         0         0           5          -7       -41

La solution optimale obtenue est donc infinie puisqu'une variable HB a une valeur marginale
positive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau.
Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3




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  • 2. ENCG 2011-2012 INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE On appelle Programmation Linéaire, le problème mathématique qui consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont reliées par des relations linéaires appelées contraintes. 1) RESOLUTION GRAPHIQUE Cette méthode n'est applicable que dans le cas où il n'y a que deux variables. Son avantage est de pouvoir comprendre ce que fait la méthode générale du Simplexe, sans entrer dans la technique purement mathématique. Soit à résoudre le problème suivant: Maximiser la fonction objectif z = 1200 x1 + 1000 x2 sous les contraintes économiques 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 6 x1 + 3 x2 ≤ 180 et les contraintes de signe x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 les inconnues x1 et x2 sont appelées variables d'activité Les contraintes économiques et de signe sont représentées graphiquement par des demi-plans dont l'intersection est un ensemble convexe (c.à.d. tout segment de droite dont les extrémités appartiennent à l'ensemble est entièrement inclus dans cet ensemble). Les solutions, si elles existent appartiennent donc à cet ensemble appelé région des solutions admissibles. 2
  • 3. ENCG 2011-2012 Il s'agit donc de chercher à l'intérieur de ce domaine, le couple (x1 , x2) maximisant la fonction objectif. Or l'équation 1200 x1 + 1000 x2 = z0 est représentée par une droite de pente constante (-1,2) dont tous les points (x1 , x2) fournissent la même valeur z0 pour la fonction économique. En particulier, la droite 1200 x1 + 1000 x2 = 0 passe par l'origine et donne une valeur nulle à la fonction économique. Pour augmenter la valeur de z0 et donc la fonction économique, il suffit d'éloigner de l'origine (dans le quart de plan x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0) la droite de pente -1,2 Pour respecter les contraintes, cette droite sera déplacée jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura plus qu'un point d'intersection (éventuellement un segment) avec la région des solutions admissibles. On remarquera que la solution optimale se trouve nécessairement sur le pourtour de la région des solutions admissibles. La solution se trouvant sur les deux droites d'équation 3 x1 + 4 x2 = 160 6 x1 + 3 x2 = 180 la résolution de ce système conduit à la solution x1 =16 , x2 = 28, d'où z = 47200. 2) METHODE DU SIMPLEXE a) Forme canonique d'un Programme Linéaire Max z = c1 x1 + c2 x2 + .......... +cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2 3
  • 4. ENCG 2011-2012 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0 b) Forme standard d'un Programme Linéaire On transforme les inégalités des contraintes économiques en égalités par introduction de variables supplémentaires positives ou nulles appelées variables d'écart. ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≤ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ti = bi d'où la forme standard Max z = c1 x1 + c2 x2 + ..........+ cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn + t1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn + t2 = b2 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn + tm = bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0 ; .........; tm ≥ 0 c) Résolution Afin de comparer avec la résolution graphique, nous pouvons considérer que nous sommes dans un espace à n dimensions (nombre de variables d'activité). Les contraintes délimitent un polyèdre convexe, région des solutions admissibles; la fonction objectif est un hyperplan que l'on va déplacer le plus loin possible de l'origine, jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura plus qu'un point d'intersection (éventuellement un segment, un plan...) avec la région des solutions admissibles. La solution se trouvant forcément sur le pourtour du polyèdre admissible, la méthode du simplexe consiste en itérations qui font passer d'un sommet du polyèdre à un autre en sélectionnant le sommet adjacent maximisant la fonction objectif. Pour démarrer l'algorithme, il est nécessaire d'avoir une solution initiale. Dans le cas simple, l'origine est solution, c.à.d. que la première solution est x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0 ; t1 = b1 ; t2 = b2 ; .........; tm = bm (ceci suppose que les bi ne soient pas négatifs pour satisfaire les contraintes de signe) L'algorithme, basé sur la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, est présenté sous forme de tableau. Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 6 x1 + 3 x2 ≤ 180 Max z = 1200 x1 + 1000 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 * Forme standard 3 x1 + 4 x2 + 1 t1 + 0 t2 = 160 6 x1 + 3 x2 + 0 t1 + 1 t2 = 180 Max z = 1200 x1 + 1000 x2 + 0 t1 + 0 t2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0 4
  • 5. ENCG 2011-2012 * Tableau 0 en ne conservant que les coefficients des équations ci-dessus, on obtient le tableau de départ HB x1 x2 t1 t2 C B t1 3 4 1 0 160 t2 6 3 0 1 180 ∆ 1200 1000 0 0 0 Ce tableau nous donne la première solution admissible: - Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x1 = 0 ; x2 = 0 (t1 et t2 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables) - Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 160 et t2 =180 - La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = 0 donc z = 0 - La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x1 ferait accroître la fonction objectif de 1200, et une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître la fonction objectif de 1000. * Tableau 1 On augmente la fonction objectif en faisant entrer une variable dans la base, prenant la place d'une variable qui va sortir de la base. Critère de sélection de la variable entrant dans la base: On sélectionne la variable HB ayant le plus grand coefficient positif dans la ligne ∆ . x1 entre donc dans la base Pour sélectionner la variable sortant de la base, il est nécessaire de rajouter une colonne R au tableau, obtenue en faisant le rapport membre à membre de la colonne C et de la colonne de la variable entrant dans la base (x1) Remarques sur la colonne R: - Un 0 dans la colonne C est remplacé par un infiniment petit positif ε pour effectuer le calcul de R - Dans la colonne R on ne tient pas compte des valeurs négatives ou indéterminées HB x1 x2 t1 t2 C R B t1 3 4 1 0 160 160/3 t2 6 3 0 1 180 30 ∆ 1200 1000 0 0 0 Critère de sélection de la variable sortant de la base: On sélectionne la variable dans la Base ayant le plus petit coefficient positif dans la 5
  • 6. ENCG 2011-2012 colonne R . t2 sort donc de la base HB x1 x2 t1 t2 C R B t1 3 4 1 0 160 160/3 t2 6 3 0 1 180 30 variable sortant ∆ 1200 1000 0 0 0 variable entrant On appelle pivot (égal à 6) l'intersection de la variable entrante et de la variable sortante Pour obtenir le tableau 1, on applique les règles suivantes: - Le pivot est égal à 1 - Les coefficients de la ligne du pivot sont divisés par le pivot - Les coefficients de la colonne du pivot sont nuls - Les autres coefficients sont obtenus par la règle du rectangle La règle du rectangle est la suivante: Remarque importante: d = d' ⇔ c b = 0 ⇔ b = 0 ou c = 0 En conséquence, si dans la colonne (resp. ligne) du pivot il y a un 0, toute la ligne (resp. colonne) correspondante reste inchangée. En appliquant ces règles on obtient le tableau 1: 6
  • 7. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 C B t1 0 5/2 1 -1/2 70 x1 1 1/2 0 1/6 30 ∆ 0 400 0 -200 -36000 Ce tableau nous donne la deuxième solution admissible: - Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x2 = 0 ; t2 = 0 (x1 et t1 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables) - Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: t1 = 70 et x1 =30 - La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = -36000 donc z = 36000 - La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître la fonction objectif de 400, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la fonction objectif de 200 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité de la variable d'écart t2 revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité). * Tableau 2: HB x1 x2 t1 t2 C R B t1 0 5/2 1 -1/2 70 28 variable sortant x1 1 1/2 0 1/6 30 60 ∆ 0 400 0 -200 - 36000 variable entrant d'où le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 C B x2 0 1 2/5 -1/5 28 x1 1 0 -1/5 4/15 16 ∆ 0 0 -160 -120 - 47200 Ce tableau nous donne la troisième solution admissible: - Les variables Hors Base (HB) sont nulles: t1 = 0 ; t2 = 0 (x1 et x2 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables) 7
  • 8. ENCG 2011-2012 - Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C: x2 = 28 et x1 =16 - La dernière cellule (intersection de C et ∆) donne la valeur de -z : -z = - 47200 donc z = 47200 - La ligne ∆ donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de t1 ferait diminuer la fonction objectif de 160, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la fonction objectif de 120 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité d'une variable d'écart revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité). Critère d'arrêt des itérations: Si tous les coefficients de la ligne ∆, relatifs aux variables HB, sont négatifs ou nuls, la solution trouvée est optimale. Nous avons donc ici atteint la solution optimale. Remarques importantes: - S'il existe une variable HB ayant un coefficient positif dans la ligne ∆ et telle que tous les coefficients correspondants dans le tableau soient nuls ou négatifs, alors la solution est infinie. - Si, à la fin des itérations, une variable est HB avec un coefficient nul dans la ligne ∆, alors on a une arête (plan,...) optimale. Les autres sommets solutions sont obtenus en faisant rentrer cette variable dans la base. 3) DUAL A tout programme linéaire appelé PRIMAL correspond un programme linéaire appelé DUAL obtenu de la manière suivante: PRIMAL DUAL m contraintes d'infériorité n contraintes de supériorité n variables d'activité n variables d'écart m variables d'écart m variables d'activité écriture en ligne écriture en colonne exemple PRIMAL DUAL 3 x1 + 4 x2 ≤ 160 3 y1 + 6 y2 ≥ 1200 6 x1 + 3 x2 ≤ 180 4 y1 + 3 y2 ≥ 1000 Max z = 1200 x1 + 1000 x2 Min w = 160 y1 + 180 y2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 y1 ≥ 0 ; y2 ≥ 0 A l'optimum, le primal et le dual sont liés par les règles suivantes: - les fonctions objectifs z et w ont la même valeur optimale - la valeur marginale d'une variable dans un programme est égale à l'opposé de la valeur optimale de la variable associée dans l'autre programme et réciproquement. exemple 8
  • 9. ENCG 2011-2012 z = 47200 x1 x2 t1 t2 valeurs optimales 16 28 0 0 PRIMAL valeurs marginales 0 0 -160 -120 w = 47200 u1 u2 y1 y2 valeurs optimales 0 0 160 120 DUAL valeurs marginales -16 -28 0 0 B) FORME USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE Considérons la forme usuelle d'un Programme Linéaire: Max ou Min z = c1 x1 + c2 x2 + .......... + cn xn a11 x1 + a12 x2 + .......... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + .......... + a2n xn ≤ b2 ............................................................................ am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn ≤ bm x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; .........; xn ≥ 0 La résolution du problème à Maximum a été vue précédemment. La résolution du problème à Minimum ne pose pas de difficulté; il suffit, dans le critère de sélection de la variable entrant dans la base, de remplacer "plus grand coefficient positif "par "plus grand coefficient négatif" et dans le critère d'arrêt des itérations de remplacer "coefficients négatifs ou nuls " par "coefficients positifs ou nuls". C) FORME NON USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE La résolution du problème précédent nécessite les assertions suivantes: • Les seconds membres sont non-négatifs: bi ≥ 0 (nécessaire pour avoir une solution initiale) • Les variables d'activité sont non-négatives : xi ≥ 0 • Les contraintes sont de type " ≤ " Que peut-on faire lorsque ces conditions ne sont pas respectées? a) Un second membre est négatif Il suffit de multiplier la contrainte par -1. Ceci a pour effet de changer le sens de l'inégalité [voir c)] b) Une variable d'activité n'est pas contrainte à la non-négativité 9
  • 10. ENCG 2011-2012 Tout nombre, positif ou négatif, peut toujours être écrit comme la différence de deux nombres non-négatifs (par exemple, - 4 = 6 - 10). Il suffit donc de remplacer la variable d'activité par la différence de deux nouvelles variables d'activité non-négatives (le nombre de variables d'activité augmente de 1). c) Une contrainte n'est pas du type " ≤ " Nous distinguons deux cas: la contrainte est du type " ≥ " ou du type " = " - Contrainte du type " ≥ " Il suffit de rajouter une variable d'écart non-négative ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn ≥ bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn - ti = bi Il est à noter qu'il n'y a plus de solution initiale évidente: en effet pour x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0, ti = -bi, ce qui n'est pas une solution admissible car ti doit être non-négative. Tout se passe comme si cette variable d'écart était une variable d'activité et que nous étions en présence d'une contrainte de type " = " que nous allons traiter maintenant. - Contrainte du type " = " Dans le cas usuel les variables d'écart introduites étaient représentatives des contraintes. Suivant le même principe, nous rajoutons une variable non-négative, dite variable artificielle, qui sera représentative de la contrainte dans la base. ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn = bi devient ai1 x1 + ai2 x2 + .......... + ain xn + ei = bi Il est clair que pour que la contrainte d'égalité soit respectée il faut que ei = 0. La solution initiale étant x1 = 0 ; x2 = 0 ; .........; xn = 0, ei = bi, l'algorithme doit permettre de mettre hors base cette variable artificielle afin qu'elle soit nulle lorqu'on atteindra la solution optimale. Si ceci n'est pas possible, le problème n'aura alors pas de solution. Exemple de forme non-usuelle (1) 3 x1 + 4 x2 - 2 x3 ≤ 10 (2) 6 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 20 (3) -2 x1 + 5 x2 - 4 x3 ≤ -5 (4) x1 ≥ 0 ; x3 ≥ 0 Max z = 12 x1 + 10 x2 + 8 x3 (1) On rajoute une variable d'écart t1 3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + t1 = 10 (2) On rajoute une variable artificielle e2 6 x1 + 3 x2 + 5 x3 + e2 = 20 (3) On multiplie par -1 2 x1 - 5 x2 + 4 x3 ≥ 5 On rajoute une variable d'écart t3 et une variable artificielle e3 2 x1 - 5 x2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5 (4) x2 n'est pas contrainte à la non-négativité x2 = x'2 - x''2 10
  • 11. ENCG 2011-2012 Finalement le problème se ramène à la forme standard suivante 3 x1 + 4 x'2 - 4 x''2 - 2 x3 + t1 = 10 6 x1 + 3 x'2 - 3 x''2 + 5 x3 + e2 = 20 2 x1 - 5 x2 + 5 x''2 + 4 x3 - t3 + e3 = 5 x1 ≥ 0; x'2 ≥ 0; x''2 ≥ 0; x3 ≥ 0; t1 ≥ 0; t3 ≥ 0; e2 ≥ 0; e3 ≥ 0 Max z = 12 x1 + 10 x'2 - 10 x''2 + 8 x3 3) METHODE DES PENALITES ( ou du grand M) Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. On les pénalise en leur affectant un coefficient de valeur très élevée dans la fonction économique (- M pour un problème à maximum, + M pour un problème à minimum). Les pénalités ont pour objet de provoquer l'élimination des variables artificielles au fil des itérations. Normalement, à l'optimum (s'il existe) les variables artificielles sont hors base. Si celles-ci sont à l'optimum dans la base, avec une valeur non nulle, le programme n'a pas de solution. Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique 5 x1 + 6 x2 ≥ 10 2 x1 + 7 x2 ≥ 14 Min z = 3 x1 + 10 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 * Forme standard 5 x1 + 6 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 1 e1 + 0 e2 = 10 2 x1 + 7 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 e1 + 1 e2 = 14 Min z = 3 x1 + 10 x2 + 0 t1 + 0 t2 + M e1 + M e2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0 * Tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 C B e1 5 6 -1 0 1 0 10 e2 2 7 0 -1 0 1 14 ∆' 3 10 0 0 M M 0 La ligne ∆' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir des valeurs marginales nulles. De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la fonction économique et aik les coefficients du tableau, * les valeurs marginales mj sont - nulles pour les variables dans la base - égales à cj - Σ aik ck pour les variables hors base, la sommation étant faite sur toutes les 11
  • 12. ENCG 2011-2012 variables de la base (les lignes du tableau) * la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aik ck d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés) cj 3 10 0 0 M M aik ck HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 C ck x1 x2 t1 t2 C B e1 5 6 -1 0 1 0 10 M 5M 6M -M 0 10M e2 2 7 0 -1 0 1 14 M 2M 7M 0 -M 14M ∆ 3-7M 10- M M 0 -24 Σ aik 7M 13M -M -M 13M 0 M 24M ck * Tableau 1 Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient négatif, c.à.d. x2. En fait il suffit de regarder le coefficient de M car M est très grand; le coefficient indépendant de M n'intervient que dans le cas où plusieurs variables ont le même coefficient pour M. HB x1 x2 t1 t2 e1 e2 C B e1 5 6 -1 0 1 0 10 variable sortant e2 2 7 0 -1 0 1 14 ∆ 3-7M 10-13M M M 0 0 -24M variable entrant la variable artificielle sortant de la base, va se trouver dans la ligne ∆ avec un fort coefficient positif et ne pourra donc plus y entrer; on peut donc supprimer la colonne correspondante dans la suite des itérations, d'où le tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 e2 C B x2 5/6 1 -1/6 0 0 5/3 e2 -23/6 0 7/6 -1 1 7/3 ∆ -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M 0 -50/3-(7/3)M * Tableau 2 12
  • 13. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 e2 C B x2 5/6 1 -1/6 0 0 5/3 e2 -23/6 0 7/6 -1 1 7/3 variable sortant ∆ -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M 0 -50/3-(7/3)M variable entrant d'où le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 C B x2 6/21 1 0 -1/7 2 t1 -23/7 0 1 -6/7 2 ∆ 1/7 0 0 30/21 -20 On a atteint la solution optimale qui est x1 = 0; x2 = 2; t1 = 2; t2 = 0; z = 20. Remarque: dans le cas particulier de cet exemple qui était sous forme standard, il aurait été plus rapide de traiter le problème dual et d'en déduire la solution du problème primal initial. 4) METHODE DES DEUX PHASES Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. Dans une première phase on rend nulles les variables artificielles : pour cela on minimise la somme des variables artificielles sous les contraintes du programme initial. Comme les variables artificielles sont forcément positives ou nulles le minimum est atteint quand elles sont nulles (si ce n'est pas le cas, c'est qu'il n'y a pas de solution). Une fois les variables artificielles annulées, on a une solution de base admissible qui nous permet dans une seconde phase de résoudre le programme initial. Soit à résoudre le programme linéaire suivant x1 + x2 ≥ 6 x1 ≥ 4 x2 ≤ 3 Max z = 5 x1 + 7 x2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 PHASE 1 * Forme standard 1 x1 + 1 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 0 t3 + 1 e1 + 0 e2 = 6 1 x1 + 0 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 t3 + 0 e1 + 1 e2 = 4 0 x1 + 1 x2 + 0 t1 + 0 t2 +1 t3 + 0 e1 + 0 e2 = 3 13
  • 14. ENCG 2011-2012 Min z' = e1 + e2 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; t1 ≥ 0 ; t2 ≥ 0; t3 ≥ 0 ; e1 ≥ 0 ; e2 ≥ 0 * Tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 C B e1 1 1 -1 0 0 1 0 6 e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 t3 0 1 0 0 1 0 0 3 ∆' 0 0 0 0 0 1 1 0 La ligne ∆' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir des valeurs marginales nulles. De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la fonction économique et aik les coefficients du tableau, les valeurs marginales mj sont - nulles pour les variables dans la base - égales à cj - Σ aik ck , la sommation étant faite sur toutes les variables de la base (les lignes du tableau) la valeur de la fonction économique est égale à - Σ aik d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés) cj 0 0 0 0 0 1 1 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 C ck x1 x2 t1 t2 C B e1 1 1 -1 0 0 1 0 6 1 1 1 -1 0 6 e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 1 1 0 0 -1 4 t3 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 ∆ -2 -1 1 1 0 -10 Σ aik 2 1 -1 -1 10 0 0 ck * Tableau 1 Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient négatif, c.à.d. x1. 14
  • 15. ENCG 2011-2012 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 e2 C B e1 1 1 -1 0 0 1 0 6 e2 1 0 0 -1 0 0 1 4 variable sortant t3 0 1 0 0 1 0 0 3 ∆ -2 -1 1 1 0 0 0 -10 variable entrant la variable artificielle sortant de la base, va prendre une valeur nulle, ce que l'on désire; il n'est donc pas question de la faire rentrer de nouveau dans la base et on peut donc supprimer la colonne correspondante dans la suite des itérations, d'où le tableau 1 * Tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 t3 e1 C B e1 0 1 -1 1 0 1 2 variable sortant x1 1 0 0 -1 0 0 4 t3 0 1 0 0 1 0 3 ∆ 0 -1 1 -1 0 0 -2 variable entrant d'où le tableau 2 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 -1 1 0 2 x1 1 0 0 -1 0 4 t3 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 0 0 0 L'optimum est atteint. Une solution de base admissible est donc x1 = 4 ; x2 = 2 ; t1 = 0 ; t2 = 0 ; t3 = 1 PHASE 2 * Tableau 0 A partir de cette solution de base admissible, on poursuit les itérations en reprenant la fonction objectif initiale Max z = 5 x1 + 7 x2 15
  • 16. ENCG 2011-2012 La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisqu'on n'a plus la même fonction économique cj 5 7 0 0 0 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 C ck t1 t2 C B x2 0 1 -1 1 0 2 7 -7 7 14 x1 1 0 0 -1 0 4 5 0 -5 20 t3 0 0 1 -1 1 1 0 0 0 0 ∆ 0 0 7 -2 0 -34 Σ aik ck -7 2 34 d'où le tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 -1 1 0 2 -2 x1 1 0 0 -1 0 4 + infini t3 0 0 1 -1 1 1 1variable sortant ∆ 0 0 7 -2 0 -34 variable entrant * Tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 0 0 1 3 x1 1 0 0 -1 0 4 t1 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 5 -7 -41 La solution optimale obtenue est donc infinie puisqu'une variable HB a une valeur marginale positive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau. Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3 16
  • 17. ENCG 2011-2012 La ligne ∆ des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisqu'on n'a plus la même fonction économique cj 5 7 0 0 0 aik ck HB x1 x2 t1 t2 t3 C ck t1 t2 C B x2 0 1 -1 1 0 2 7 -7 7 14 x1 1 0 0 -1 0 4 5 0 -5 20 t3 0 0 1 -1 1 1 0 0 0 0 ∆ 0 0 7 -2 0 -34 Σ aik ck -7 2 34 d'où le tableau 0 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 -1 1 0 2 -2 x1 1 0 0 -1 0 4 + infini t3 0 0 1 -1 1 1 1variable sortant ∆ 0 0 7 -2 0 -34 variable entrant * Tableau 1 HB x1 x2 t1 t2 t3 C B x2 0 1 0 0 1 3 x1 1 0 0 -1 0 4 t1 0 0 1 -1 1 1 ∆ 0 0 0 5 -7 -41 La solution optimale obtenue est donc infinie puisqu'une variable HB a une valeur marginale positive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau. Il suffit de prendre x1 infini et x2 ≤ 3 16