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Chapitre 3




  Dualité
Dualité
• À tout programme linéaire, on associe un
  second PL appelé dual du premier
• Le premier PL est appelé Primal.
• Théorème:
  – Si un programme linéaire admet une solution
    optimale alors son dual possède également une
    solution optimale.
  – les valeurs de ces deux solutions sont égales.

                                                     2
Interprétation de la dualité
• Problème primal : Planification de production
• n biens à produire
   – xj : quantité de biens j produite
   – cj : recette unitaire due au bien j
• Objectif : Maximiser la recette totale
• m ressources à utiliser
   – bi : quantité de ressource i disponible
   – aij : consommation de ressource i par unité de bien j
     produite
• Contraintes : ne pas consommer plus que les
  quantités disponibles :
                                                             3
• Problème dual : Une autre entreprise s’intéresse à
  l’achat de toutes nos ressources
• yi : prix de rachat d’une unité de ressource i
• Objectif : minimiser le prix total de rachat



• Contraintes : assurer que les prix offerts sont
  compétitifs pour l’entreprise




                                                       4
Exemple




          5
• A l’optimum
  – La valeur de cj-zj pour une variable d’écart du primal
    = la valeur de la variable de décision du dual
  – La valeur cj-zj de pour une variable de décision du
    primal = la valeur de la variable d’écart du duale




                                                             6
Interprétation économique de la dualité

• La variable duale associée à une contrainte
  correspond au coût de cette contraintes dans
  la solution courante
• Si cette contrainte est saturée, ce coût est
  positif.
• Il est nul si cette contrainte n’est pas saturée



                                                     7
Interprétation économique
• Supposons que les contraintes du système:
   – Contraintes de stock de matières premières (m3 en bois)
   – Contraintes en heures d'assemblage
   – Contraintes en heures finition
• S1=0 et cj-Zj(S1)=-5/6
   – Valeur marginale d'un mètre cube de bois
   – Prix qu’on est disposé à payer pour l’achat d’une unité de mat première
     supplémentaire
• S2=0 et cj-Zj(S2)=-2/3
   – Prix qu’on est disposé à payer pour une unité de main d’œuvre
• S3=80/3
   – On n’a pas à payer plus puisqu’on dispose encore de cette ressource!

                                                                               8
Propriétés liées à la dualité

• Le sens d’optimisation est toujours inversé entre un PL et son
  dual.
• (primal) PL de max sc ≤ → (dual) PL de min sc ≥
• Remarque : on transforme le PL en max sc ≤ ou en PL de
  min sc ≥ (en multipliant les contraintes par -1).
• Contrainte (Primal) → Variable (Dual)
• Variable (Primal ) → Contrainte (Dual)
• Si un PL a n variables et m contraintes, son dual a m variables
  et n contraintes.
• Si (Primal) une contrainte = → la variable associée(Dual) est
  sans contrainte de signe.
• Si (Primal) variable sans contrainte de signe → la contrainte
  associée (dual) est une =.
• La dualisation est une opération involutive
   – le dual du dual est le problème de départ.
                                                                    9
Intérêt de la dualité
• Interprétation économique
• Peut être plus facile à résoudre,
  – L’une des deux formulations est souvent
    avantageuse en complexité de calcul.
• Si l’on nous propose une solution du primal,
  pour vérifier son optimalité il suffit de résoudre
  le système d’équations (de variables yi ) qui en
  découle.

                                                       10
Algorithme de simplexe duale
• Algorithme de simplexe primal:
   – Se déplacer d’une solution de base réalisable vers une solution de base
     réalisable
   – Jusqu’à trouver une solution optimale.
   – Il suppose la connaissance d’une solution de base réalisable de départ
• Algorithme de simplexe dual:
   – Se déplacer d’une solution de base non réalisable mais optimale vers
     une solution de base non réalisable mais optimale
   – Jusqu’à trouver une solution réalisable.
   – Il suppose la connaissance d’une solution de départ
      • de base non réalisable
      • optimale




                                                                               11
Parallèle entre
             algo. du simplexe et algo. dual du simplexe

             Algo. du simplexe                       Algo. dual du simplexe

Recherche dans le domaine réalisable        Recherche à l’extérieur du domaine
                                            réalisable
Choisit la variable d’entrée pour réduire   Choisit le variable de sortie pour éliminer
la valeur de la fonction économique          une variable de base négative

Choisit la variable de sortie pour          Choisit la variable d’entrée pour
préserver la réalisabilité                  préserver la condition d’optimalité

Stop quand une solution optimale est        Stop quand la solution est réalisable ou
trouvée ou que le problème n’est pas        quand le problème n’est pas réalisable
borné inférieurement

                                                                                          12
Algorithme dual (minimisation)
1. Construire une base de départ non réalisable pour laquelle ∀ j : Zj-cj≤ 0
     - Multiplier toutes les contraintes par -1.
2. Si ∀ i : bi ≥ 0, stop : la solution actuelle est réalisable et optimale
      Sinon aller en 3.
3. Sélectionner une bi < 0, qui a la valeur négative la plus forte
      - soit br (critère de sortie)
4. Si tous les arj ≥ 0, stop : le problème n'admet pas de solution réalisable
      Sinon aller en 5.
5. Pour tous les arj < 0, chercher celui qui réalise le min((Zj-cj)/arj) (critère
   d'entrée)
      - soit ars qui réalise le minimum devient le pivot. Aller en 6.
6. Effectuer un pivotage simplexe avec ars comme pivot et aller en 2.



                                                                                    13
Exemple
• min 2000 x1 + 3000 x2    • min 2000 x1 + 3000 x2
    1,6 x1 + 0,8 x2 ≥ 80   • -1,6 x1 - 0,8 x2 ≤ -80
   0,2 x1 + 0,4 x2 ≥ 20       -0,2 x1 - 0,4 x2 ≤- 20
    0,1 x1 + 0,1 x2 ≥ 8       -0,1 x1 - 0,1 x2 ≤- 8
  x1 et x2 ≥ 0                x1 et x2 ≥ 0




                                                       14
br négative
la plus forte

                15
16
17
• Le coût optimal est de
  180000=2000x60+3000x20

                           18

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  • 1. Chapitre 3 Dualité
  • 2. Dualité • À tout programme linéaire, on associe un second PL appelé dual du premier • Le premier PL est appelé Primal. • Théorème: – Si un programme linéaire admet une solution optimale alors son dual possède également une solution optimale. – les valeurs de ces deux solutions sont égales. 2
  • 3. Interprétation de la dualité • Problème primal : Planification de production • n biens à produire – xj : quantité de biens j produite – cj : recette unitaire due au bien j • Objectif : Maximiser la recette totale • m ressources à utiliser – bi : quantité de ressource i disponible – aij : consommation de ressource i par unité de bien j produite • Contraintes : ne pas consommer plus que les quantités disponibles : 3
  • 4. • Problème dual : Une autre entreprise s’intéresse à l’achat de toutes nos ressources • yi : prix de rachat d’une unité de ressource i • Objectif : minimiser le prix total de rachat • Contraintes : assurer que les prix offerts sont compétitifs pour l’entreprise 4
  • 6. • A l’optimum – La valeur de cj-zj pour une variable d’écart du primal = la valeur de la variable de décision du dual – La valeur cj-zj de pour une variable de décision du primal = la valeur de la variable d’écart du duale 6
  • 7. Interprétation économique de la dualité • La variable duale associée à une contrainte correspond au coût de cette contraintes dans la solution courante • Si cette contrainte est saturée, ce coût est positif. • Il est nul si cette contrainte n’est pas saturée 7
  • 8. Interprétation économique • Supposons que les contraintes du système: – Contraintes de stock de matières premières (m3 en bois) – Contraintes en heures d'assemblage – Contraintes en heures finition • S1=0 et cj-Zj(S1)=-5/6 – Valeur marginale d'un mètre cube de bois – Prix qu’on est disposé à payer pour l’achat d’une unité de mat première supplémentaire • S2=0 et cj-Zj(S2)=-2/3 – Prix qu’on est disposé à payer pour une unité de main d’œuvre • S3=80/3 – On n’a pas à payer plus puisqu’on dispose encore de cette ressource! 8
  • 9. Propriétés liées à la dualité • Le sens d’optimisation est toujours inversé entre un PL et son dual. • (primal) PL de max sc ≤ → (dual) PL de min sc ≥ • Remarque : on transforme le PL en max sc ≤ ou en PL de min sc ≥ (en multipliant les contraintes par -1). • Contrainte (Primal) → Variable (Dual) • Variable (Primal ) → Contrainte (Dual) • Si un PL a n variables et m contraintes, son dual a m variables et n contraintes. • Si (Primal) une contrainte = → la variable associée(Dual) est sans contrainte de signe. • Si (Primal) variable sans contrainte de signe → la contrainte associée (dual) est une =. • La dualisation est une opération involutive – le dual du dual est le problème de départ. 9
  • 10. Intérêt de la dualité • Interprétation économique • Peut être plus facile à résoudre, – L’une des deux formulations est souvent avantageuse en complexité de calcul. • Si l’on nous propose une solution du primal, pour vérifier son optimalité il suffit de résoudre le système d’équations (de variables yi ) qui en découle. 10
  • 11. Algorithme de simplexe duale • Algorithme de simplexe primal: – Se déplacer d’une solution de base réalisable vers une solution de base réalisable – Jusqu’à trouver une solution optimale. – Il suppose la connaissance d’une solution de base réalisable de départ • Algorithme de simplexe dual: – Se déplacer d’une solution de base non réalisable mais optimale vers une solution de base non réalisable mais optimale – Jusqu’à trouver une solution réalisable. – Il suppose la connaissance d’une solution de départ • de base non réalisable • optimale 11
  • 12. Parallèle entre algo. du simplexe et algo. dual du simplexe Algo. du simplexe Algo. dual du simplexe Recherche dans le domaine réalisable Recherche à l’extérieur du domaine réalisable Choisit la variable d’entrée pour réduire Choisit le variable de sortie pour éliminer la valeur de la fonction économique une variable de base négative Choisit la variable de sortie pour Choisit la variable d’entrée pour préserver la réalisabilité préserver la condition d’optimalité Stop quand une solution optimale est Stop quand la solution est réalisable ou trouvée ou que le problème n’est pas quand le problème n’est pas réalisable borné inférieurement 12
  • 13. Algorithme dual (minimisation) 1. Construire une base de départ non réalisable pour laquelle ∀ j : Zj-cj≤ 0 - Multiplier toutes les contraintes par -1. 2. Si ∀ i : bi ≥ 0, stop : la solution actuelle est réalisable et optimale Sinon aller en 3. 3. Sélectionner une bi < 0, qui a la valeur négative la plus forte - soit br (critère de sortie) 4. Si tous les arj ≥ 0, stop : le problème n'admet pas de solution réalisable Sinon aller en 5. 5. Pour tous les arj < 0, chercher celui qui réalise le min((Zj-cj)/arj) (critère d'entrée) - soit ars qui réalise le minimum devient le pivot. Aller en 6. 6. Effectuer un pivotage simplexe avec ars comme pivot et aller en 2. 13
  • 14. Exemple • min 2000 x1 + 3000 x2 • min 2000 x1 + 3000 x2 1,6 x1 + 0,8 x2 ≥ 80 • -1,6 x1 - 0,8 x2 ≤ -80 0,2 x1 + 0,4 x2 ≥ 20 -0,2 x1 - 0,4 x2 ≤- 20 0,1 x1 + 0,1 x2 ≥ 8 -0,1 x1 - 0,1 x2 ≤- 8 x1 et x2 ≥ 0 x1 et x2 ≥ 0 14
  • 16. 16
  • 17. 17
  • 18. • Le coût optimal est de 180000=2000x60+3000x20 18