2. N. HMIDA
ChapitreIII : Résolution des systèmes linéaires
Historique
Les systèmes linéaires n’ont tout d’abord été étudiés que dans le
cas stationnaire (également appelé invariant ) dans le
formalisme des fonctions de transfert. Cette approche est
parvenue à sa pleine maturité avec la publication du célèbre
livre de Bode à la fin de la seconde guerre mondiale (réédit
depuis). Les travaux de Bellman, Pontryagin et ses
collaborateurs et surtout de Kalman ont conduit nombre
d’automaticiens à privilégier la représentation d’état partir des
années 1960. Kalman a fait une théorie complète des systèmes
linéaires stationnaires sous forme d’état et a mis en évidence la
perte d’information induite par le formalisme de transfert, à
savoir les modes cachés .
3. N. HMIDA
Sous l’impulsion de Wonham (de), les automaticiens se sont
attachés à obtenir des représentations plus intrinsèques des
systèmes linéaires que dans la formulation kalmanienne : c’est
ainsi que s’est développée à partir de la seconde moitié des
années 1970 l’approche géométrique, qui conserve néanmoins la
structure de la représentation d’état.
Un système linéaire (le terme système tant pris au sens de
l’automatique, à savoir un système dynamique) est un objet du
monde matériel qui peut etre décrit par des équations linéaires
(équations linéaires différentielles ou aux différences), ou encore
qui obéit au principe de superposition : toute combinaison
linéaire des variables de ce système est encore une variable de ce
système.
4. N. HMIDA
I-Définition
Définition 0.1
On appelle système n- équations linéaires et p inconnues un
système de la forme
(S)
a11x1 + a12x2 + . · · · + a1pxp = b1 (E1)
a21x1 + a22x2 + · · · + a2pxp = b2 (E2)
......................................
....................................
an1x1 + an2x2 + · · · + anpxp = bn (En)
Avec bi ∈ R, aij ∈ R
pour 1 6 i 6 n et 1 6 j 6 p ,
x1, x2, · · · , xp sont inconnues.
5. N. HMIDA
Définition 0.2
Résoudre le systme (S) c’est trouver tous les p-uplets
(x1, · · · , xp) ∈ Rp qui vérifient simultanément les n- équations
E1, E2, · · · , En.
6. N. HMIDA
Écriture matricielle Si l’on note
A = (aij)16i6n,16j6p ∈ Mnp(R);
X =
x1
x2
.
.
.
xp
et B =
b1
b2
.
.
.
bn
Alors (S) s’écrit matriciellement
sous la forme
AX = B.
7. N. HMIDA
Définition 0.3
1 (S) est dit homogène si bi = 0, ∀i ∈ {1, ...., n}
2 Le système (S) est dit de Cramer si n=p et A est inversible.
Proposition 0.1
Un système de Cramer AX=B admet une solution unique
X = A−1B
8. N. HMIDA
Exemple 0.1
(S)
x − y = −1
2x + z = 0
3x + 2y + 4z = −4
⇔
1 −1 0
2 0 1
3 2 4
x
y
z
=
−1
0
−4
A
x
y
z
=
−1
0
−4
on a detA = 3 6= 0 ⇒ c’est un système de Cramer.
x
y
z
= A−1
−1
0
−4
=
1
3
−2 4 −1
−5 4 −1
4 −5 2
−1
0
−4
=
2
3
−4
10. N. HMIDA
Proposition 0.2
(Formules de Cramer)
Avec les notations précedentes, si (S) est un système de Cramer
sa solution unique est donné par :
∀i ∈ {1, ..., n},
xi =
detAi
detA
.
Aiétant la matrice obtenue en remplaant la ieme colonne de A
par la colonne
b1
b2
.
.
.
.
bn
11. N. HMIDA
Exemple 0.3
(S)
4x + 7y = 8,
x + 2y = 2,
A =
4 7
1 2
detA = 1 6= 0 c’est un système de Cramer.
On a A1 =
8 7
2 2
et A2 =
4 8
1 2
x =
detA1
detA
= 2, y =
detA2
detA
= 0
12. N. HMIDA
Exemple 0.4
x − y = −1,
2x + z = 0,
3x + 2y + 4z = −4, .
A =
1 −1 0
2 0 1
3 2 4
detA = 3 6= 0 c’est un système de Cramer.
On a A1 =
−1 −1 0
0 0 1
−4 2 4
,A2 =
1 −1 0
2 0 1
3 −4 4
et
,A3 =
1 −1 −1
2 0 0
3 2 −4
x = detA1
detA
= 2, y = detA2
detA
= 3, z = detA3
detA
= −4.
13. N. HMIDA
II-Résolution d’un système linéaire quelconque
Définition 0.4
Deux systèmes (S) et (S0) sont dits équivalents si (S’) est
obtenu en appliquant un nombre fini d’opérations élémentaires
sur les lignes de (S)
14. N. HMIDA
II-Résolution d’un système linéaire quelconque
Définition 0.4
Deux systèmes (S) et (S0) sont dits équivalents si (S’) est
obtenu en appliquant un nombre fini d’opérations élémentaires
sur les lignes de (S)
Proposition 0.3
Deux systèmes équivalents admettent le meme ensemble de
solution.
15. N. HMIDA
La résolution d’un système linéaire par la méthode de
Gauss
Elle consiste en la transformation du système en un autre qui
lui est équivalent et qui est plus simple résoudre grace la
nullité de certains coefficients
(S)
a11x1 + a12x2 + .... + a1pxp = b1 (E1)
a21x1 + a22x2 + .... + a2pxp = b2 (E2)
......................................
....................................
an1x1 + an2x2 + .... + anpxp = bn (En)
Si a11 6= 0 on garde x1 dans E1 et on l’élimine dans le reste des
équations.( a11 étant le pivot)
Si a22 6= 0 on garde x2 dans E1 et E2 et on l’élimine dans le
reste des équations.
On garde x3 dans E1,E2 et E3 et on l’élimine dans le reste des
équations. etc...
17. N. HMIDA
Pour une présentation systématique des calculs et une économie
d’écriture , on adopte l’écriture matricielle ; on considére la
matrice augmenentée Ã,
à =
a11 a12 ... a1p b1
a21 a22 ... a2p b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 ... anp bn
Par des opérations élémentaires sur les lignes de Ã, on obtient
une matrice de la forme
à =
Tr M B0
0 0 B”
.
28. N. HMIDA
Exemple 0.15
1 0 1 −3
0 1 −2 2
0 0 0 0
donc
x + z = −3
y − 2z = 2
0x + 0y + 0z = 0
et par suite
x = −3 − z
y = 2 + 2z
z ∈ R
On a une infinité de solutions.
29. N. HMIDA
Exemple 0.16
x + 2y − z = 7
x + 3y + z = 1
−x + y + 7z = 5
x + y − 8z = a − 2
avec a ∈ R.
1 2 −1 7
1 3 1 11
−1 1 7 5
2 1 −8 a − 2
1 L2 ← L2 − L1
2 L3 ← L3 + L1
3 L4 ← L4 − 2L1
1 2 −1 7
0 1 2 4
0 3 6 12
0 −3 −6 a − 16
30. N. HMIDA
Exemple 0.17
1 L3 ← L3 − 3L2
2 L4 ← L4 + 3L2
1 2 −1 7
0 1 2 4
0 0 0 0
0 0 0 a − 4
le systme devient
x + 2y − z = 7
y + 2z = 4
0x + 0y + 0z = a − 4 ∈ R
donc si a 6= 4 alors S = ∅
et si a = 4 alors
x = −1 + 5z
y = 4 − 2z
z ∈ R
35. N. HMIDA
Remarque 0.1
Soit A la matrice associée (S) et r = rangA
1 Si r n, pour que le système admet des solutions on doit
avoir
b0
r+1 = b0
r+2 = · · · = b0
n = 0
sinon S = ∅
Si B=0 on a une solution unique (0, · · · , 0) si A est
inversible, sinon on aura une infinité de solutions.
36. N. HMIDA
Théorème 1
Soit le système homogène AX = 0 avec A ∈ Mnp(R)
1 Si p n ( plus d’inconnues que d’équations) alors le
système admet une infinité de solutions.
2 Si n = p alors
1 Si A est inversible alors le système admet une solution
unique
X = (0, · · · , 0) ∈ Rn
.
2 Sinon, il y a une infinité de solutions.
3 Si p n ( plus d’équations que d’équations) alors il faut
considérer un système à p équations et à p inconnues,
appliquer (2) et ensuite vérifier dans les (n − p) équations
restantes.
37. N. HMIDA
Remarque 0.2
Si X0 est solution du système homogène AX = 0 et X1 solution
du système AX = B alors X0 + X1 est aussi solution du
système AX = B car
A(X0 + X1) = AX0 + AX1 = 0 + B = B
donc si AX = 0 admet une infinité de solutions alors soit
AX = B n’a pas de solutions ou il a une infinité de solutions
