Mathématiques séries numériques analyse 2 informatique

1. Séries Entières (2)
Fonctions développables en série entière autour de x0
API-2
Analyse 3
S. Lazaiz & Y. Joundy
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2. Sommaire
1 Généralités
2 Méthodes pratiques d’obtention du DSE0
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3. Généralités
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4. Positionnement du problème
La somme d’une série entière est une fonction de classe C∞ sur ] − R, R[.
Peut-on considérer qu’une fonction de classe C∞ est la somme d’une
série entière ?
Si oui, comment obtenir ce développement ?
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5. Fonction DSEx0
Considérons une fonction f :]a, b[→ R. S’il existe une série entière
P
an(x − x0)n telle que :
f (x) =
∞
X
n=0
an(x − x0)n
(∀x ∈]x0 − ε, x0 + ε[⊆]a, b[)
On dit alors que f est développable en série entière autour de x0 (DSEx0 ).
La somme
∞
P
n=0
an(x − x0)n est appelée le développement en série entière de
f .
Remarque
Le développement, lorsqu’il existe, est unique. Puisque
f (n)(x0)
n!
= an
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6. Conditions d’existence du développement
Théorème.
Posons I =]x0 − ε, x0 + ε[
(
f est de classe C∞ sur I, et
∃M > 0 tq ∀x ∈ I : |f (n)(x)| ≤ M
⇒



f (x) =
∞
P
n=0
f (n)
(x0)
n!
(x − x0)n
∀x ∈ I
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7. Conditions d’existence du développement
Théorème.
Posons I =]x0 − ε, x0 + ε[
(
f est de classe C∞ sur I, et
∃M > 0 tq ∀x ∈ I : |f (n)(x)| ≤ M
⇒



f (x) =
∞
P
n=0
f (n)
(x0)
n!
(x − x0)n
∀x ∈ I
Exemple.
Prenons x0 = 0 :
f (x) = ex
f (x) =



e− 1
x2 si x ̸= 0
0 si x = 0
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et R ≥ e

8. Par Dérivation ou Intégration
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9. Exemple
Exemple.
Déterminer le rayon de convergence R et la somme de las série entière
suivante
X (n + 1
n + 2
xn
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10. Utiliser le DSE0 usuel (Résumé 1)
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11. Exemple 1
Exemple.
Montrer que ln
1 + x
1 − x
est DSE0 et déterminer leur développement ainsi
que le rayon de convergence R.
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12. Exemple 2
Exemple.
Montrer que
ln(1 − x)
x − 1
est DSE0 et déterminer leur développement ainsi
que le rayon de convergence R.
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13. Exemple 3
Exemple.
Déterminer le DSE0 de x sin(x3)
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14. Fractions rationnelles
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15. Technique
On ultilise souvent :
1
1 − x
=
∞
X
n=0
xn
ou
1
(1 − x)2
=
∞
X
n=0
(n + 1)xn
ou
1
(1 − x)3
=
∞
X
n=0
(n + 1)(n + 2)
2
xn
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16. Exemple 1
Exemple.
Déterminer le DSE0 de f (x) =
x + 2
(x − 1)(x − 2)
.
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17. Exemple 2
Exemple.
Déterminer le DSE0 de f (x) =
2x2 − 3x + 2
(1 − 2x)2(1 − x)
.
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18. Méthode directe
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19. Technique
On ultilise la formule de MacLaurin :
f (x) = f (0) + f ′
(0)x +
f ′′(0)
2!
x2
+ . . . +
f (n)(0)
n!
xn
+
f (n+1)(θx)
(n + 1)!
xn+1
avec 0 θ 1.
Remarque
La série de Maclaurin CV
La somme de cette série est égale à f .
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20. Exemple
Exemple.
Soit f (x) = sin x cosh x.
1 Déterminer f k(x) en déduire que f 4n+k(x) = (−4)nf k(x) pour
k = 0, 1, 2, 3.
2 En utilisant la formule de Maclaurin à l’ordre n déterminer le DSE0 de
f et préciser son rayon de CV.
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21. Utilisation des équations différentielles
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22. Exemple 2
Exemple.
Chercher une solution f de l’équation différentielle
(E) : xy′′
+ y′
+ y = 0
telle que f (0) = 1.
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23. Exemple 1
Exemple.
Chercher une solution f de l’équation différentielle
(E) : (1 + x)y′
+ αy = 0
où α ∈ N.
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24. Merci pour votre attention
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