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ESCPI-CNAM Février 2005
Résolution des systèmes linéaires
1 Définitions
Un système de m équations à n inconnues x1, x2, ...xn s’écrit sous forme ma-
tricielle : AX = B où A est une matrice comportant m lignes et n colonnes,
X est le vecteur colonne dont les composantes sont les xi et B , le second
membre, est aussi un vecteur colonne avec n composantes.
Le vecteur X est appelé solution du système.
Exemple 1 : Le système suivant de 4 équations à 3 inconnues



2x1 − 2x2 + 4x3 = 6
x1 + x3 = 7
4x1 + x2 − 5x3 = 8
x1 + 2x2 + 6x3 = 1
s’écrit:




2 −2 4
1 0 1
4 1 −5
1 2 6






x1
x2
x3

 =




6
7
8
1




La matrice a 4 lignes et 3 colonnes, le second membre a 4 composantes et le
vecteur solution a 3 composantes qui sont les 3 inconnues du système.
Dans ce cas, m 6= n.
2 Résolution par la méthode de Gauss
Quelles que soient les valeurs m et n du système, on peut déterminer ses
solutions par la méthode d’élimination de Gauss.
Le principe en est le suivant : par des combinaisons linéaires successives, on
transforme le système initial, que l’on prend tel quel sans changer l’ordre
des équations, en un système triangulaire supérieur, système ensuite résolu
en commençant par la dernière des équations transformées.
On rappelle qu’un système est dit triangulaire supérieur si la matrice asso-
ciée est triangulaire supérieure.
Mise en œuvre de la méthode sur le système suivant :



2x1 + x2 + 4x3 = 9
x1 + x3 = 3
6x1 + 4x2 + 2x3 = 6
(eq1)
(eq2)
(eq3)
• Dans la première étape de la méthode, on élimine l’inconnue x1 dans
les équations (eq2) et (eq3) en les combinant chacune à (eq1), celle-ci,
1
servant de ligne pivot, reste inchangée. Cela n’est possible que parce
que x1 apparaît dans (eq1). Si ce n’est pas le cas, il faut permuter
(eq1) avec la première des équations suivantes qui contient x1.
La méthode de Gauss remplace l’équation (eq2) par (eq2) − 1
2(eq1) ,
mais pas (eq2) par 2(eq2) − (eq1), qui éliminerait aussi x1 mais ce qui
n’est plus Gauss.
De même, (eq3) est remplacée par (eq3)− 6
2(eq1). Après cette première
étape, on obtient le système équivalent :



2x1 + x2 + 4x3 = 9
− 1
2x2 − x3 = −3
2
x2 − 10x3 = −21
(eq1)
(eq2
0
)
(eq3
0
)
• Dans la deuxième étape, c’est la deuxième ligne qui joue le rôle de
ligne pivot si x2 est présent (sinon on permute (eq2
0
) avec (eq3
0
))
et, pour éliminer x2 dans la troisième ligne, on remplace celle-ci par
(eq3
0
) − 1
−1
2
(eq2
0
) soit (eq3
0
) + 2(eq2
0
). On obtient alors le système
équivalent, triangulaire supérieur, suivant :



2x1 + x2 + 4x3 = 9
− 1
2x2 − x3 = −3
2
− 12x3 = −24
(eq1)
(eq2
0
)
(eq3”)
• On résout le système par "remontée" en commençant par la dernière
équation.
(eq3”) donne x3 = 2 ,
(eq2
0
) donne −1
2x2 = −3
2 + x3 = 1
2 soit x2 = −1
(eq1) donne 2x1 = 9 − x2 − 4x3 = 9 + 1 − 4 ∗ 2 = 2 d’où x1 = 1 et la
solution unique X =


1
−1
2

 .
Par la suite, les systèmes seront résolus par cette méthode. Pour n
équations, il y aura n − 1 étapes.
3 Nombre de solutions
Résultat fondamental :
Un système possède zero, une ou une infinité de solutions.
3.1 Cas où il y a autant d’équations que d’inconnues : m = n
et la matrice A est carrée.
3.1.1 Systèmes homogènes
Un système est dit homogène si le second membre est nul, soit AX = 0 où
0 représente le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles.
2
L’ensemble des X tels que AX = 0 constitue le noyau de l’application
associée à A. Le noyau contient toujours le vecteur nul, mais il peut contenir
en plus des vecteurs non nuls ( et aussi leurs combinaisons linéaires ).
Ce type de système a donc au moins une solution, la solution nulle.
• Si A est inversible ( le déterminant de A est différent de 0 ), le
système a la solution unique : X = 0, vecteur nul.
Le noyau est réduit à {0} et rang(A) = n.
Formellement, X = A−10 = 0.
• Si A n’est pas inversible ( le déterminant de A est égal à 0 ), le
système a une infinité de solutions (en plus de la solution nulle).
Dans ce cas, le noyau n’est pas réduit à {0} et si la dimension du noyau
vaut k, alors rang(A) = n − k.
Exemple 2 : Le système


1 2 3
4 5 6
7 8 0




x1
x2
x3

 =


0
0
0


a la solution unique X =


0
0
0

. Le déterminant de la matrice vaut 27, le
rang de la matrice est 3.
Exemple 3 : Le système


1 2 3
4 5 6
7 8 9




x1
x2
x3

 =


0
0
0


a une infinité de solutions X =


x3
−2x3
x3

 . = x3


1
−2
1

 où x3 est l’inconnue
auxiliaire qui peut prendre une valeur arbitraire.
L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 1
engendré par le vecteur


1
−2
1

 .
Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 2.
Exemple 4 : Le système


1 2 3
2 4 6
5 10 15




x1
x2
x3

 =


0
0
0


3
a une infinité de solutions X =


−2x2 − 3x3
x2
x3

 = x2


−2
1
0

+x3


−3
0
1

où
x2 et x3 sont les inconnues auxiliaires qui peuvent prendre une valeur arbi-
traire.
L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 2
engendré par les vecteurs


−2
1
0

 et


−3
0
1

 .C0est aussi le plan d’équation
: x1 + 2x2 + 3x3 = 0.
Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 1.
3.1.2 Système non homogène : AX = B, B 6= 0.
• Si A est inversible , le système a la solution unique : X = A−1B
(écriture formelle). On a X 6= 0.
• Si A est non inversible, pour qu’il y ait au moins une solution, il
faut que le rang de A soit le même que le rang de la matrice AB,
matrice formée par A à laquelle B est accolé.
Si X0 est une solution particulière du système non homogène AX = B (donc
on a AX0 = B), alors A(X − X0) = 0 et si l’on note X∗ = X − X0, X∗ est
solution de l’équation homogène.
La solution du système non homogène est donc : X = X∗ + X0, somme de
la solution générale du système homogène et d’une solution particulière du
système non homogène.
Si A est inversible, X∗ est nul et, sinon, X∗ est un vecteur non nul.
Exemple 5 : Le système


1 2 3
4 5 6
7 8 9




x1
x2
x3

 =


1
4
2


n’a pas de solution. Avec la méthode de Gauss, on aboutit à l’équation
0 ∗ x3 = −5. Le système est impossible.
On peut vérifier que le rang de la matrice


1 2 3 1
4 5 6 4
7 8 9 2

 est 3 alors que
celui de A est 2.
Exemple 6 : Le système


1 2 3
4 5 6
7 8 9




x1
x2
x3

 =


2
4
6


4
a une infinité de solutions : X =


−2
3 + x3
4
3 − 2x3
x3

 =


−2
3
4
3
0

 + x3


1
−2
1

 .
On retrouve la solution générale de l’exemple 3 plus une solution particulière.
On vérifie que le rang de la matrice


1 2 3 2
4 5 6 4
7 8 9 6

 est égal à 2, donc égal
à celui de A.
3.2 Cas où le nombre d’équations est différent du nombre
d’inconnues : m 6= n et la matrice A n’est pas carrée.
3.2.1 m > n : il y a plus d’équations que d’inconnues.
Le système est dit sur-déterminé. En général, le système n’aura pas de
solutions. Pour le vérifier, soit on met en œuvre la méthode de Gauss,
ce qui précisera les impossibilités, soit on détermine le rang de AB et on
compare à celui de A.
3.2.2 m < n : il y a moins d’équations que d’inconnues.
Le système est dit sous-déterminé. Il y aura une infinité de solutions que
l’on pourra expliciter en fonctions d’inconnues arbitraires à choisir.
Conclusion Quelles que soient les dimensions d’un système AX = B,
• si B /∈ Im(A) (image de l’application associée à la matrice A),
le système a 0 solution.
• si B ∈ Im(A), et si le noyau est réduit à {0},
le système a une solution unique.
• si B ∈ Im(A), et si le noyau n’est pas réduit à {0},
le système a une infinité de solutions.
Exercice 1 Déterminer les solutions de tous les exemples ci-dessus par la
méthode de Gauss.
Exercice 2 Appliquer la méthode de Gauss pour déterminer toutes les valeurs
possibles de a, b, c telles que le système


1 2 3
4 5 6
7 8 9




x1
x2
x3

 =


a
b
c


ait au moins une solution. Donner des exemples de seconds membres possi-
bles et impossibles.
5
Exercice 3 Déterminer les solutions de tous les systèmes ci-dessous par la
méthode de Gauss :
(a)


2 2 1
1 1 1
3 4 1




x1
x2
x3

 =


3
2
6

 (b)



x1 − 2x2 + x3 = 0
−x1 − x3 + x5 = 0
2x1 − 2x4 + x5 = 0
(c)



2x + y + 3z = 0
x + y − 5z = −3
−x + 2y + 7z = 1
x − 2y − 4z = 3
(d)



−x + 2y + z − t = 2
x − y − z + 2t = 3
−x + 3y + z + t = 4
−2x + 5y + z − 2t = 6
(e)




1 −1 1
2 3 1
1 −2 3
5 7 −8






u
v
w

 =




1
6
2
4




(f)




2 −1 0 1
4 −2 1 1
6 −3 2 −1
8 −4 3 −1








a
b
c
d



 =




4
7
8
11




Exercice 4 Soit le système



3z − 4y = 1
4x − 2z = 2
2y − 3x = 3 − λ
1. Ecrire la matrice du système. que remarquez-vous ? Calculer son
déterminant.
2. Pour quelle valeur de λ a-t-on au moins une solution ?
Exercice 5 Soit le système



λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
Pour quelles valeurs de λ a-t-on 0, 1 ou une infinité de solutions. Dans
les cas où existent des solutions, les calculer explicitement.
6

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  • 1. ESCPI-CNAM Février 2005 Résolution des systèmes linéaires 1 Définitions Un système de m équations à n inconnues x1, x2, ...xn s’écrit sous forme ma- tricielle : AX = B où A est une matrice comportant m lignes et n colonnes, X est le vecteur colonne dont les composantes sont les xi et B , le second membre, est aussi un vecteur colonne avec n composantes. Le vecteur X est appelé solution du système. Exemple 1 : Le système suivant de 4 équations à 3 inconnues    2x1 − 2x2 + 4x3 = 6 x1 + x3 = 7 4x1 + x2 − 5x3 = 8 x1 + 2x2 + 6x3 = 1 s’écrit:     2 −2 4 1 0 1 4 1 −5 1 2 6       x1 x2 x3   =     6 7 8 1     La matrice a 4 lignes et 3 colonnes, le second membre a 4 composantes et le vecteur solution a 3 composantes qui sont les 3 inconnues du système. Dans ce cas, m 6= n. 2 Résolution par la méthode de Gauss Quelles que soient les valeurs m et n du système, on peut déterminer ses solutions par la méthode d’élimination de Gauss. Le principe en est le suivant : par des combinaisons linéaires successives, on transforme le système initial, que l’on prend tel quel sans changer l’ordre des équations, en un système triangulaire supérieur, système ensuite résolu en commençant par la dernière des équations transformées. On rappelle qu’un système est dit triangulaire supérieur si la matrice asso- ciée est triangulaire supérieure. Mise en œuvre de la méthode sur le système suivant :    2x1 + x2 + 4x3 = 9 x1 + x3 = 3 6x1 + 4x2 + 2x3 = 6 (eq1) (eq2) (eq3) • Dans la première étape de la méthode, on élimine l’inconnue x1 dans les équations (eq2) et (eq3) en les combinant chacune à (eq1), celle-ci, 1
  • 2. servant de ligne pivot, reste inchangée. Cela n’est possible que parce que x1 apparaît dans (eq1). Si ce n’est pas le cas, il faut permuter (eq1) avec la première des équations suivantes qui contient x1. La méthode de Gauss remplace l’équation (eq2) par (eq2) − 1 2(eq1) , mais pas (eq2) par 2(eq2) − (eq1), qui éliminerait aussi x1 mais ce qui n’est plus Gauss. De même, (eq3) est remplacée par (eq3)− 6 2(eq1). Après cette première étape, on obtient le système équivalent :    2x1 + x2 + 4x3 = 9 − 1 2x2 − x3 = −3 2 x2 − 10x3 = −21 (eq1) (eq2 0 ) (eq3 0 ) • Dans la deuxième étape, c’est la deuxième ligne qui joue le rôle de ligne pivot si x2 est présent (sinon on permute (eq2 0 ) avec (eq3 0 )) et, pour éliminer x2 dans la troisième ligne, on remplace celle-ci par (eq3 0 ) − 1 −1 2 (eq2 0 ) soit (eq3 0 ) + 2(eq2 0 ). On obtient alors le système équivalent, triangulaire supérieur, suivant :    2x1 + x2 + 4x3 = 9 − 1 2x2 − x3 = −3 2 − 12x3 = −24 (eq1) (eq2 0 ) (eq3”) • On résout le système par "remontée" en commençant par la dernière équation. (eq3”) donne x3 = 2 , (eq2 0 ) donne −1 2x2 = −3 2 + x3 = 1 2 soit x2 = −1 (eq1) donne 2x1 = 9 − x2 − 4x3 = 9 + 1 − 4 ∗ 2 = 2 d’où x1 = 1 et la solution unique X =   1 −1 2   . Par la suite, les systèmes seront résolus par cette méthode. Pour n équations, il y aura n − 1 étapes. 3 Nombre de solutions Résultat fondamental : Un système possède zero, une ou une infinité de solutions. 3.1 Cas où il y a autant d’équations que d’inconnues : m = n et la matrice A est carrée. 3.1.1 Systèmes homogènes Un système est dit homogène si le second membre est nul, soit AX = 0 où 0 représente le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles. 2
  • 3. L’ensemble des X tels que AX = 0 constitue le noyau de l’application associée à A. Le noyau contient toujours le vecteur nul, mais il peut contenir en plus des vecteurs non nuls ( et aussi leurs combinaisons linéaires ). Ce type de système a donc au moins une solution, la solution nulle. • Si A est inversible ( le déterminant de A est différent de 0 ), le système a la solution unique : X = 0, vecteur nul. Le noyau est réduit à {0} et rang(A) = n. Formellement, X = A−10 = 0. • Si A n’est pas inversible ( le déterminant de A est égal à 0 ), le système a une infinité de solutions (en plus de la solution nulle). Dans ce cas, le noyau n’est pas réduit à {0} et si la dimension du noyau vaut k, alors rang(A) = n − k. Exemple 2 : Le système   1 2 3 4 5 6 7 8 0     x1 x2 x3   =   0 0 0   a la solution unique X =   0 0 0  . Le déterminant de la matrice vaut 27, le rang de la matrice est 3. Exemple 3 : Le système   1 2 3 4 5 6 7 8 9     x1 x2 x3   =   0 0 0   a une infinité de solutions X =   x3 −2x3 x3   . = x3   1 −2 1   où x3 est l’inconnue auxiliaire qui peut prendre une valeur arbitraire. L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 1 engendré par le vecteur   1 −2 1   . Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 2. Exemple 4 : Le système   1 2 3 2 4 6 5 10 15     x1 x2 x3   =   0 0 0   3
  • 4. a une infinité de solutions X =   −2x2 − 3x3 x2 x3   = x2   −2 1 0  +x3   −3 0 1  où x2 et x3 sont les inconnues auxiliaires qui peuvent prendre une valeur arbi- traire. L’ensemble de ces solutions constitue un espace vectoriel de dimension 2 engendré par les vecteurs   −2 1 0   et   −3 0 1   .C0est aussi le plan d’équation : x1 + 2x2 + 3x3 = 0. Le déterminant de la matrice vaut 0, le rang de la matrice est 1. 3.1.2 Système non homogène : AX = B, B 6= 0. • Si A est inversible , le système a la solution unique : X = A−1B (écriture formelle). On a X 6= 0. • Si A est non inversible, pour qu’il y ait au moins une solution, il faut que le rang de A soit le même que le rang de la matrice AB, matrice formée par A à laquelle B est accolé. Si X0 est une solution particulière du système non homogène AX = B (donc on a AX0 = B), alors A(X − X0) = 0 et si l’on note X∗ = X − X0, X∗ est solution de l’équation homogène. La solution du système non homogène est donc : X = X∗ + X0, somme de la solution générale du système homogène et d’une solution particulière du système non homogène. Si A est inversible, X∗ est nul et, sinon, X∗ est un vecteur non nul. Exemple 5 : Le système   1 2 3 4 5 6 7 8 9     x1 x2 x3   =   1 4 2   n’a pas de solution. Avec la méthode de Gauss, on aboutit à l’équation 0 ∗ x3 = −5. Le système est impossible. On peut vérifier que le rang de la matrice   1 2 3 1 4 5 6 4 7 8 9 2   est 3 alors que celui de A est 2. Exemple 6 : Le système   1 2 3 4 5 6 7 8 9     x1 x2 x3   =   2 4 6   4
  • 5. a une infinité de solutions : X =   −2 3 + x3 4 3 − 2x3 x3   =   −2 3 4 3 0   + x3   1 −2 1   . On retrouve la solution générale de l’exemple 3 plus une solution particulière. On vérifie que le rang de la matrice   1 2 3 2 4 5 6 4 7 8 9 6   est égal à 2, donc égal à celui de A. 3.2 Cas où le nombre d’équations est différent du nombre d’inconnues : m 6= n et la matrice A n’est pas carrée. 3.2.1 m > n : il y a plus d’équations que d’inconnues. Le système est dit sur-déterminé. En général, le système n’aura pas de solutions. Pour le vérifier, soit on met en œuvre la méthode de Gauss, ce qui précisera les impossibilités, soit on détermine le rang de AB et on compare à celui de A. 3.2.2 m < n : il y a moins d’équations que d’inconnues. Le système est dit sous-déterminé. Il y aura une infinité de solutions que l’on pourra expliciter en fonctions d’inconnues arbitraires à choisir. Conclusion Quelles que soient les dimensions d’un système AX = B, • si B /∈ Im(A) (image de l’application associée à la matrice A), le système a 0 solution. • si B ∈ Im(A), et si le noyau est réduit à {0}, le système a une solution unique. • si B ∈ Im(A), et si le noyau n’est pas réduit à {0}, le système a une infinité de solutions. Exercice 1 Déterminer les solutions de tous les exemples ci-dessus par la méthode de Gauss. Exercice 2 Appliquer la méthode de Gauss pour déterminer toutes les valeurs possibles de a, b, c telles que le système   1 2 3 4 5 6 7 8 9     x1 x2 x3   =   a b c   ait au moins une solution. Donner des exemples de seconds membres possi- bles et impossibles. 5
  • 6. Exercice 3 Déterminer les solutions de tous les systèmes ci-dessous par la méthode de Gauss : (a)   2 2 1 1 1 1 3 4 1     x1 x2 x3   =   3 2 6   (b)    x1 − 2x2 + x3 = 0 −x1 − x3 + x5 = 0 2x1 − 2x4 + x5 = 0 (c)    2x + y + 3z = 0 x + y − 5z = −3 −x + 2y + 7z = 1 x − 2y − 4z = 3 (d)    −x + 2y + z − t = 2 x − y − z + 2t = 3 −x + 3y + z + t = 4 −2x + 5y + z − 2t = 6 (e)     1 −1 1 2 3 1 1 −2 3 5 7 −8       u v w   =     1 6 2 4     (f)     2 −1 0 1 4 −2 1 1 6 −3 2 −1 8 −4 3 −1         a b c d     =     4 7 8 11     Exercice 4 Soit le système    3z − 4y = 1 4x − 2z = 2 2y − 3x = 3 − λ 1. Ecrire la matrice du système. que remarquez-vous ? Calculer son déterminant. 2. Pour quelle valeur de λ a-t-on au moins une solution ? Exercice 5 Soit le système    λx + y + z = 1 x + λy + z = λ x + y + λz = λ2 Pour quelles valeurs de λ a-t-on 0, 1 ou une infinité de solutions. Dans les cas où existent des solutions, les calculer explicitement. 6