Le document présente un projet d'analyse numérique en deux parties : la première se concentre sur la résolution de systèmes linéaires à l'aide de méthodes directes telles que LU, Cholesky et QR, tandis que la seconde explore le calcul des valeurs propres d'une matrice. Des algorithmes spécifiques sont détaillés pour chaque méthode, accompagnés d'implémentations MATLAB. En conclusion, l'analyse numérique vise à développer des méthodes de résolution pour des problèmes mathématiques complexes souvent issus de modélisation réelle.

1. Rapport Projet Analyse Numérique : M3O

2. Rapport Projet Analyse Numérique : M3O
-INTRODUCTION :
Le projet se fait en deux parties. La première s’intéresse à la résolution d’un système linéaire par des
méthodes dites directes et la seconde au calcul des éléments propres d’une matrice.
Soit A ∈ MN(IR) une matrice inversible, et b ∈IRN, on a comme objectif dans la première partie de
résoudre le système linéaire Ax = b, c’est–à– dire de trouver x solution de :
{ 𝑥𝜖ℝ 𝑁
𝐴𝑥 = 𝑏
On appelle méthode directe de résolution, une méthode qui donne exactement x après un nombre fini
d’opérations élémentaires (+, −,×,/).
Parmi les méthodes de résolution du système :
- la méthode LU
-la méthode de Cholesky
-la méthode de QR
Nous étudions la méthode de la puissance itérées, de la puissance inverse et QR pour le calcul des
valeurs propres d’une matrice dans la deuxième partie.
-PREMIERE PARTIE :
En premier lieu il faut utiliser la discrétisation du système linéaire pour avoir la matrice A et b
Méthode LU :
Soit A ∈ ℳ 𝑁 (IR) une matrice inversible, il existe un et un seul couple de matrices (L, U) où L est
triangulaire inférieure de termes diagonaux égaux à 1 et U est triangulaire supérieure, vérifiant
𝐴 = 𝐿𝑈
Donc il suffit de résoudre les 2 systèmes linéaires 𝐿𝑦 = 𝑏 et 𝑈𝑥 = 𝑦

3. Rapport Projet Analyse Numérique : M3O
Pour mieux comprendre la méthode LU il faut passer tout d’abord par la méthode de décomposition
de Gauss Le principe de la méthode de Gauss est de se ramener, par des opérations simples
(combinaisons linéaires), à un système triangulaire équivalent, qui sera donc facile à inverser. On
pose 𝐴(1)
= 𝐴 et 𝑏(1)
= 𝑏 Pour 𝑖 = 1, … , 𝑁-1, on cherche à calculer pose 𝐴(𝑖+1)
et 𝑏(𝑖+1)
tels
que les systèmes 𝐴(𝑖)
𝑥 = 𝑏(𝑖)
et 𝐴(𝑖+1)
𝑥 = 𝑏(𝑖+1)
soient équivalents, où 𝐴(𝑁)
est une matrice de la
forme suivante :
𝐴(𝑁)
= [
𝑎1,1
(𝑁)
⋯ 𝑎1,𝑁
(𝑁)
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑎 𝑁,𝑁
(𝑁)
]
Une fois la matrice 𝐴(𝑁)
(triangulaire supérieure) et 𝑏(𝑁)
calculés, il reste qu’ a résoudre le système 𝐴(𝑁)
𝑥 = 𝑏(𝑁)
Le calcul de 𝐴(𝑁)
est l’étape de “factorisation", le calcul de 𝑏(𝑁)
l’étape de “descente", et le calcul de 𝑥 l’étape de
“remontée".
On ne change pas la i-ème ligne 𝑢𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 pour 𝑗 = 𝑖, … , 𝑁, yi = bi. On change les lignes 𝑖 + 1 à n (et le
second membre) en utilisant la ligne i. Pour j allant de 𝑖 + 1 à 𝑙𝑖,𝑗 =
𝑎 𝑗,𝑖
𝑎𝑖,𝑖
Pour la méthode LU
1. (Factorisation) Pour i allant de 1 à n, on effectue les calculs suivants :
(a) On ne change pas la i-ème ligne
𝑢𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗 pour 𝑗 = 𝑖, … , 𝑁,
(b) On change les lignes 𝑖 + 1 à n (et le second membre) en utilisant la ligne i. Pour j allant de 𝑖 + 1 à 𝑛 ∶
𝑙𝑖,𝑗 =
𝑎 𝑗,𝑖
𝑎𝑖,𝑖
(si 𝑎𝑖,𝑖 = 0, prendre la méthode avec pivot partiel)
pour k de i + 1 à n, 𝑎𝑗,𝑘 = 𝑎𝑗,𝑘 − 𝑙𝑗,𝑖 𝑎𝑖,𝑘 (noter que 𝑎𝑗,𝑖 = 0)
2. (Descente) On calcule y (avec 𝐿𝑦 = 𝑏)
Pour i allant de 1 à n,
𝑦𝑖 = 𝑏𝑖 − ∑ 𝑙𝑖,𝑘
𝑛
𝑗=𝑖+1 𝑦 𝑘
(on a implicitement 𝑙𝑖,𝑖 = 1)
3. (Remontée) On calcule x (avec 𝑈x=y )
Pour i allant de n à 1,
𝑥𝑖 =
1
𝑢𝑖,𝑖
(𝑦𝑖 − ∑ 𝑢𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑥𝑗)

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Méthode de Cholesky :
La méthode de Cholesky est une méthode directe adaptée au cas où A est symétrique
définie positive. 𝐴 ∈ 𝑀 𝑁(ℝ) est symétrique si 𝐴 = 𝐴𝑡
La méthode de Cholesky consiste à trouver une décomposition de A de la forme 𝐴 = 𝐿𝐿𝑡
, où L est
triangulaire inférieure de coefficients diagonaux strictement positifs. On résout alors le système 𝐴𝑥 =
𝑏 en résolvant d’abord
𝐿𝑦 = 𝑏 puis le système 𝐿𝑡
𝑥 = 𝑦. Une fois la matrice A “factorisée", c’est–à–dire la décomposition
𝐿𝐿𝑡
obtenue.
1. Etape 1 : “descente" Le système 𝐿𝑦 = 𝑏 s’écrit :
𝐿𝑦 = [
𝑙1,1 0
⋮ ⋱ ⋮
𝑙 𝑁,1 ⋯ 𝑙 𝑁,𝑁
] [
𝑦1
⋮
⋮
𝑦 𝑁
] = [
𝑏1
⋮
⋮
𝑏 𝑁
]
Ce système s’écrit composante par composante en partant de 𝑖 = 1.
𝑙1,1 𝑦1 = 𝑏1 , donc 𝑦1 =
𝑏1
𝑙1,1
𝑙2,1 𝑦1 + 𝑙2,2 𝑦2 = 𝑏2 , donc 𝑦2 =
𝑏2
𝑙2,1 𝑦1+𝑙2,2 𝑦2
⋮ ⋮
∑ 𝑙𝑖,𝑗 𝑦𝑗
= 𝑏𝑖𝑗=1,𝑖 , donc 𝑦𝑖 =
1
𝑙 𝑖,𝑖
(𝑏𝑖 − ∑ 𝑙𝑖,𝑗 𝑦𝑗
)𝑗=1,𝑖
On calcule ainsi 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑁 .
2. Etape 2 : “remontée" On calcule maintenant x solution de 𝐿𝑡
𝑥 = 𝑦.
𝐿𝑡
𝑥 = [
𝑙1,1 𝑙2,2 0 𝑙1,𝑁
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝑙 𝑁,𝑁
] [
𝑥1
⋮
⋮
𝑥 𝑁
] = [
𝑦1
⋮
⋮
𝑦 𝑁
]
On a donc :
𝑙 𝑁,𝑁 𝑥 𝑁 = 𝑦 𝑁,donc 𝑥 𝑁 =
𝑦 𝑁
𝑙 𝑁,𝑁
𝑙 𝑁−1,𝑁−1 𝑥 𝑁−1 + 𝑙 𝑁,𝑁−1 𝑥 𝑁 = 𝑦 𝑁−1 , donc 𝑥 𝑁−1 =
𝑦 𝑁−1−𝑙 𝑁,𝑁−1 𝑥 𝑁
𝑙 𝑁−1,𝑁−1

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∑ 𝑙𝑗,𝑖 𝑥𝑗 = 𝑦1𝑗=1,𝑖 , donc 𝑥1 =
1
𝑙1,1
(𝑦1 − ∑ 𝑙𝑗,1 𝑥𝑗)𝑗=2,𝑁
On calcule ainsi 𝑥𝑁 , 𝑥𝑁 − 1, . . . , 𝑥1.
Méthode de QR :
La méthode de QR consiste à trouver une décomposition de A de la forme 𝐴 = 𝑄𝑅, où Q est une matrice
orthogonale et R est une matrice triangulaire supérieure. Il existe plusieurs méthodes pour réaliser cette
décomposition :
-La méthode de Householder où 𝑄 est obtenue par produits successifs de matrices orthogonales
élémentaires.
-La méthode de Givens où 𝑄 est obtenue par produits successifs de matrices de rotation plane.
- la méthode de Gram-Schmidt.
On va utiliser la méthode de Gram-Schmidt. On va considérer la matrice 𝐴 comme suit :
𝐴 = [𝑎1| 𝑎2| … | 𝑎 𝑁]
Puis,
𝑢1 = 𝑎1 , 𝑒1 =
𝑢1
‖ 𝑢1‖
𝑢2 = 𝑎2 − (𝑎2. 𝑒1)𝑒1 , 𝑒2 =
𝑢2
‖ 𝑢2‖
𝑢 𝑘+1 = 𝑎 𝑘+1 − (𝑎 𝑘+1. 𝑒1)𝑒1 − ⋯ − (𝑎 𝑘+1. 𝑒 𝑘)𝑒 𝑘, 𝑒 𝑘+1 =
𝑢 𝑘+1
‖ 𝑢 𝑘+1‖
Notons que ‖.‖ est la norme 2.
Le résultat de factorisation est donc :
𝐴 = [𝑎1| 𝑎2| … | 𝑎 𝑁] = [𝑒1| 𝑒2| … | 𝑒 𝑁] [
𝑎1. 𝑒1 𝑎2. 𝑒1 ⋯ 𝑎 𝑁. 𝑒1
0 𝑎2. 𝑒2 … 𝑎 𝑁. 𝑒2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 𝑎 𝑁. 𝑒 𝑁
] = 𝑄𝑅
Implémentation en Matlab :

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function [ Q,R ] = QR( A )
[n,m]=size(A);
R=zeros(n);
u=[A(1:end,1)];
e=[u(1:end,1)./norm(u(1:end,1))];
for i=2:n
ux=A(1:end,i);
for j=1:i-1
ux=ux-(A(1:end,i)'*((e(1:end,j)))*e(1:end,j));
end
u=[u,ux];
e=[e,ux./norm(ux)];
end
Q=e;
for i=1:n
for j=i:n
R(i,j)=A(1:end,j)'*e(1:end,i);
end
end
end
-DEUXIEME PARTIE :
Les techniques de recherche des valeurs et vecteurs propres d’une matrice sont essentielles dans de
nombreux domaines d’application parmi les méthodes qu’on va utiliser
-Méthode des puissances itérées
-Méthode des puissances itérées inverse
-Méthode de QR pour la détermination des valeurs propres
Méthode des Puissances Itérée :
Pour utiliser la méthode de la puissance il est nécessaire que la matrice 𝐴 soit symétrique définie et
positive.
A ∈ ℳ 𝑁 (IR) et 𝑖 = 1 … 𝑁 𝑡𝑒𝑙𝑞𝑢𝑒 𝜆𝑖 ∈ 𝑠𝑝( 𝐴) | 𝜆1| < ⋯ < |𝜆 𝑁|
Soit ( 𝑓1
, . . . , 𝑓 𝑁
) ∈ (ℝ 𝑁
) 𝑁
une base orthonormée de vecteurs propres de 𝐴 associée aux valeurs
propres (𝜆1, … , 𝜆 𝑁) ∈ ℝ 𝑁
Soit 𝑥(𝑘)
un vecteur qui se décompose dans la base des vecteurs propres tel que 𝑥(𝑘+1)
= 𝐴𝑥(𝑘)
On aura donc
𝑥(𝑘)
= 𝐴𝑥(0)
= ∑ 𝜆𝑖
𝑘
𝑥𝑖
(0)
𝑓𝑖
𝑁
𝑖=1

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𝑥(𝑘)
= 𝜆 𝑛
𝑘
(∑
𝜆𝑖
𝑘
𝜆 𝑛
𝑘
𝑥𝑖
(0)
𝑓𝑖
+ 𝑥 𝑁
(0)
𝑓 𝑁
𝑁−1
𝑖=1
)
Pour tout 𝑖 = 1 … 𝑁 lim
𝑘→∞
(
|𝜆𝑖|
|𝜆 𝑁|
) 𝑘
=0
lim
𝑘→∞
‖ 𝑥(𝑘+1)‖
‖ 𝑥(𝑘)‖
= lim
𝑘→∞
| 𝜆 𝑁
𝑘+1
|‖ 𝑥 𝑁
(0)
‖‖𝑓𝑁‖
| 𝜆 𝑁
𝑘
|‖ 𝑥 𝑁
(0)
‖‖𝑓𝑁‖
= |𝜆 𝑁|
𝑥(𝑘+1) = A
𝑥(𝑘)
‖ 𝑥(𝑘)‖
Implémentation en matlab
function [ lmbda,b ] = Puissit( A,x0,eps,maxe )
x=x0;
lmbdaN=1;
lmbda=0;
ite=1;
while abs(lmbda-lmbdaN)>eps && ite<maxe
lmbdaN=lmbda;
b=x./norm(x);
x=A*b;
lmbda=transpose(b)*x;
ite=ite+1;
end
end
Méthode des Puissances inverses :
Si 𝐴 est inversible, on applique l’algorithme de la puissance itérée à 𝐴−1
.La suite 𝜆𝑘 converge vers
l’inverse de la plus grande valeur propre de 𝐴−1
donc vers la valeur propre de 𝐴 de plus petit module.
Méthode de QR pour la détermination des valeurs propres :
Si 𝐴 = 𝑄𝑅 avec 𝑄 matrice orthogonale et 𝑅 matrice triangulaire alors
𝐴′ = 𝑅𝑄 est semblable à 𝐴
{
𝐴0 = 𝐴
𝑄 𝑘, 𝑅 𝑘 𝑡𝑞 𝐴 𝑘 = 𝑄 𝑘 𝑅 𝑘
𝐴 𝑘+1 = 𝑅 𝑘 𝑄 𝑘
Cette suite tend vers une matrice triangulaire ayant les mêmes valeurs propres que A

8. Rapport Projet Analyse Numérique : M3O
-Conclusion
L’objet de l’analyse numérique est de concevoir et d’étudier des méthodes de résolution de certains
problèmes mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes “réels", et dont on
cherche à calculer la solution à l’aide d’un ordinateur. On a utilisé quelques méthodes dirctes qui sont
les plus utilisés pour nous aider a comprendre la problématique .