Ce document présente le contrôle final de la matière d'algèbre I à l'Université Mohammed V, faculté des sciences juridiques, économiques et sociales, avec des exercices portant sur les matrices et leurs propriétés. Les élèves doivent démontrer des théorèmes, calculer des matrices de passage, déterminer des bases et étudier des endomorphismes, le tout dans le cadre d'une évaluation à durée limitée. Les consignes incluent des restrictions sur l'utilisation de documents et de matériel lors de l'examen.

1. Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et sociales
RABAT
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http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Responsable de la matière
:
:
:
:
:
:
S3
M 12 (Méthodes Quantitatives III)
ALGEBRE I
Automne-hiver, 2012-2013
C et D
Salma DASSER
Contrôle final
Durée : 2h
Les documents et les portables ne sont pas autorisés.
La calculatrice est à usage strictement personnel.
Toute réponse doit être justifiée.
La présentation de la copie est notée sur 2 points.
2 qui sont de la forme :
Exercice 1 (6 points)
♦ Soit
l’ensemble des matrices
1) Montrer que toute matrice
sont à déterminer.
de
de
peut s’écrire sous la forme
2) En déduire que
est un sous espace vectoriel de
1
0
3) Les matrices
1 0
,!
0 1
"1
et $
0
#
1 0
% : 0 0 ' 1;
0 1
0 "1
(
1
1 0
,
1
1
0
1
, ,
0 1
, #
"1 0
"1 ;
0
1
!
$
4) Les matrices ! et # forment-elles une base de ?
1
;
1
5) Les matrices ! et $ forment-elles une base de ?
Professeure Salma DASSER
2 ( :!
;$
1/4
1
0
1 0
1 1
0 1
"1 0
2 1
1 2
2
1
(
0 1
"1 0
(
,
, où les matrices et
1 pt
2 dont on donnera une base.
!, # est lié, ce n'est donc pas une base: !
!, $ est libre donc une base dim
;
1
1
1
sont-elles dans ?
2
1
"
"1
0
1
1
"1
0
2;
: ;
00
<=
>
": ; 2;
00
1 pt
2 pts
1
"#
1 pt
1 pt
00
<:
00
;
0
Session automne-hiver 2013

2. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
Correction du Contrôle final
Exercice 2 (14 points) (Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment)
I.
Dans
?
muni de sa base canonique #@
1,1,0 ;
A
1) Vérifier que #
A,
#
A,
B,
B,
?
?
B
A, B, ?
est une base de
?
, on considère les vecteurs :
1, "1,1 ; ?
0,1,1
.
0,5 pt
1 1 0
#/#@ ' 0 ( D1 "1 1D ' 0
0 1 1
est une base car det
2) Ecrire la matrice de passage EFGF et déterminer la matrice de passage EFFG .
EFGF
II.
Dans
#/#@
1
H1
0
3 , on donne la matrice !N
1) Calculer le rang des matrices !B O
!B
1 0
"1 1I et EFFG
1 1
"1 1 "1
H 1 "1 1 I : PQ !B
"1 1 "1
2 1
H1 2
"1 1
"1
1 I : PQ !LA
2
1
1"O
H 1
"1
1
1"O
1
2 et !LA O
puisque :
JEFGF K
"1 .
det !B
SPQ !B
PQ U
LA
"1
1 I,
1"O
1,5 pts
1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2
m ∈ IR
0 $A $B < PQ !B T 2
PQ U , V W U
$A , $B , $? X
1 ( $A $? "$B
$?
$B < PQ !LA T 2
X
2) Montrer que la matrice !N est inversible si et seulement si O % "1,2 .
2 pts
!LA
1"O
D 1
"1
1"O
D 1
0
1
1"O
1
1
1"O
2"O
Professeure Salma DASSER
2
det !LA 0 $A
puisque : Y
2 1
et Z
Z'0
1 2
2 pts
!N est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 et O ' "1 :
"1
1"O
? ] ? B
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1
1"O
0
"2
OD
0
1"O
" 2"O Z
1
"2
Z
O
1
1"O
2"O
"1
1"O
$? ] $? " $B
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1
2"O
0
" 2"O O 1"O
2/4
2
1
1"O
2"O
" O"2
B
O
"2
OD
0
1
Session automne-hiver 2013

3. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
Correction du Contrôle final
Soit _ l'endomorphisme de ? défini par :
?
` a, b, c
: _N a, b, c
J 1"O a
III.
b " c, a
1"O b
_ / #@ , #@ , #@ étant la base canonique de
N
1) Ecrire la matrice
1"O
H 1
"1
_ / #@ , #@
N
1
1"O
1
?
c, "a
.
"1
1 I
1"O
S
_N
1,1,0
X : e_N
1, "1,1
0,1,1
_N
B
?
J 1"O
A
1,1
1 " O , "1
J 1 " O " 1 " 1,1 " 1 " O
B
J1 " 1, 1 " O 1
?
< $N
_ / #, #
N
1K
1 " O cK
1 pt
!N
2) Déterminer la matrice $N
_ / #, # par un calcul direct.
N
#
; B ; ? étant la base donnée en I : A
1,1,0 ; B
1, "1,1 ;
A
A
b
?
2"O
1, "1 " 1
A
0,1,1
1"O K
1,1
1"O K
2"O ?
2"O
0
0
H 0
"1 " O
0 I
0
0
2"O
1 pt
" 1
O
3) Pour quelles valeurs du paramètre O, l’endomorphisme _N est-il bijectif ?
X
1 pt
4) Pour O
B
1,5 pt
_N est bijectif ssi !N
_N est bijectif ssi $N
_ / #@ , #@ est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir II‐2
N
_ / #, # est inversible ssi det $N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir III‐2
N
"1, déterminer une base de
_LA a, b, c
P _LA et en déduire PQ _LA .
b 2c :
2a b " c 0
a, b, c
P _LA ssi _LA a, b, c
0,0,0 ssi Ya 2b c 0X
"a b 2c
1 2a b " c 0
1
2
3a 3b 0
b "a
a
X j Yb "aX
c a
2 Y a 2b c 0 X j
2
Y c "a " 2b X j k
"a " a 2a 0
"a b 2c 0
3 "a b 2c 0
3
c a
P _LA
1, "1,1
5) Pour O
O _B
PQ _LA
2a
b " c, a
2 ( PQ _LA
2b
dim
c, "a
P _LA
2, déterminer une base de O _B et en déduire PQ _B .
_B
PQ VA , VB , V?
Professeure Salma DASSER
A
, _B
_B a, b, c
B
1 ( VA
, _B
?
V?
"a
VA
VB
( S
V?
"VB <
PQ _B
dim
?
1,5 pt
b " c, a " b c, "a b " c :
_B A
"1,1, "1
_B B
1, "1,1 X
dim O _B
PQ VA , VB , V?
_B ?
"1,1, "1
dim O _B
1
VA est une base de O _B
VA
1 ( PQ _LA l dim O _B
3/4
Session automne-hiver 2013

4. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
6) Pour O
1 et #
A;
B;
a. Déterminer la matrice
S
A
B
?
_A
1,1,0
X ( S_A
1, "1,1
0,1,1
_A
b. Retrouver
_A / #@ , #@
_A / #, #
Professeure Salma DASSER
Correction du Contrôle final
?
la base donnée en I :
A
1,1,0 ;
_A / #, # par un calcul direct.
B
_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
1,1,0
A
A
"2, 2, "2
"2 B X <
_A / #, #
B
0,1,1
?
?
1, "1,1 ;
_A / #, # en utilisant la formule de changement de bases.
_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
0 1 "1
1 1 0
H 1 0 1 I , EFGF H1 "1 1I et EFFG
"1 1 0
0 1 1
EFFG m
après calcul
_A / #@ , #@ m EFGF oppppppq
4/4
1
H0
0
0,1,1
?
1 pt
0 0
"2 0I
0 1
1 pt
1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2
1 0 0
_A / #, #
H0 "2 0I
0 0 1
Session automne-hiver 2013