cour d'algebre faculte de science juridique economique et social s3

1. Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et sociales
RABAT
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http://www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Responsable de la matière
:
:
:
:
:
:
S3
M 12 (Méthodes Quantitatives III)
ALGEBRE I
Automne-hiver, 2012-2013
C et D
Salma DASSER
Contrôle final
Durée : 2h
Les documents et les portables ne sont pas autorisés.
La calculatrice est à usage strictement personnel.
Toute réponse doit être justifiée.
La présentation de la copie est notée sur 2 points.
2 qui sont de la forme :
Exercice 1 (6 points)
♦ Soit
l’ensemble des matrices
1) Montrer que toute matrice
sont à déterminer.
de
de
peut s’écrire sous la forme
2) En déduire que
est un sous espace vectoriel de
1
0
3) Les matrices
1 0
,!
0 1
"1
et $
0
#
1 0
% : 0 0 ' 1;
0 1
0 "1
(
1
1 0
,
1
1
0
1
, ,
0 1
, #
"1 0
"1 ;
0
1
!
$
4) Les matrices ! et # forment-elles une base de ?
1
;
1
5) Les matrices ! et $ forment-elles une base de ?
Professeure Salma DASSER
2 ( :!
;$
1/4
1
0
1 0
1 1
0 1
"1 0
2 1
1 2
2
1
(
0 1
"1 0
(
,
, où les matrices et
1 pt
2 dont on donnera une base.
!, # est lié, ce n'est donc pas une base: !
!, $ est libre donc une base dim
;
1
1
1
sont-elles dans ?
2
1
"
"1
0
1
1
"1
0
2;
: ;
00
<=
>
": ; 2;
00
1 pt
2 pts
1
"#
1 pt
1 pt
00
<:
00
;
0
Session automne-hiver 2013

2. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
Correction du Contrôle final
Exercice 2 (14 points) (Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment)
I.
Dans
?
muni de sa base canonique #@
1,1,0 ;
A
1) Vérifier que #
A,
#
A,
B,
B,
?
?
B
A, B, ?
est une base de
?
, on considère les vecteurs :
1, "1,1 ; ?
0,1,1
.
0,5 pt
1 1 0
#/#@ ' 0 ( D1 "1 1D ' 0
0 1 1
est une base car det
2) Ecrire la matrice de passage EFGF et déterminer la matrice de passage EFFG .
EFGF
II.
Dans
#/#@
1
H1
0
3 , on donne la matrice !N
1) Calculer le rang des matrices !B O
!B
1 0
"1 1I et EFFG
1 1
"1 1 "1
H 1 "1 1 I : PQ !B
"1 1 "1
2 1
H1 2
"1 1
"1
1 I : PQ !LA
2
1
1"O
H 1
"1
1
1"O
1
2 et !LA O
puisque :
JEFGF K
"1 .
det !B
SPQ !B
PQ U
LA
"1
1 I,
1"O
1,5 pts
1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2
m ∈ IR
0 $A $B < PQ !B T 2
PQ U , V W U
$A , $B , $? X
1 ( $A $? "$B
$?
$B < PQ !LA T 2
X
2) Montrer que la matrice !N est inversible si et seulement si O % "1,2 .
2 pts
!LA
1"O
D 1
"1
1"O
D 1
0
1
1"O
1
1
1"O
2"O
Professeure Salma DASSER
2
det !LA 0 $A
puisque : Y
2 1
et Z
Z'0
1 2
2 pts
!N est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 et O ' "1 :
"1
1"O
? ] ? B
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1
1"O
0
"2
OD
0
1"O
" 2"O Z
1
"2
Z
O
1
1"O
2"O
"1
1"O
$? ] $? " $B
1 D ^^^^^^^^^^^^^^^^^ D 1
2"O
0
" 2"O O 1"O
2/4
2
1
1"O
2"O
" O"2
B
O
"2
OD
0
1
Session automne-hiver 2013

3. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
Correction du Contrôle final
Soit _ l'endomorphisme de ? défini par :
?
` a, b, c
: _N a, b, c
J 1"O a
III.
b " c, a
1"O b
_ / #@ , #@ , #@ étant la base canonique de
N
1) Ecrire la matrice
1"O
H 1
"1
_ / #@ , #@
N
1
1"O
1
?
c, "a
.
"1
1 I
1"O
S
_N
1,1,0
X : e_N
1, "1,1
0,1,1
_N
B
?
J 1"O
A
1,1
1 " O , "1
J 1 " O " 1 " 1,1 " 1 " O
B
J1 " 1, 1 " O 1
?
< $N
_ / #, #
N
1K
1 " O cK
1 pt
!N
2) Déterminer la matrice $N
_ / #, # par un calcul direct.
N
#
; B ; ? étant la base donnée en I : A
1,1,0 ; B
1, "1,1 ;
A
A
b
?
2"O
1, "1 " 1
A
0,1,1
1"O K
1,1
1"O K
2"O ?
2"O
0
0
H 0
"1 " O
0 I
0
0
2"O
1 pt
" 1
O
3) Pour quelles valeurs du paramètre O, l’endomorphisme _N est-il bijectif ?
X
1 pt
4) Pour O
B
1,5 pt
_N est bijectif ssi !N
_N est bijectif ssi $N
_ / #@ , #@ est inversible ssi det !N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir II‐2
N
_ / #, # est inversible ssi det $N ' 0 ssi O ' 2 O ' "1 voir III‐2
N
"1, déterminer une base de
_LA a, b, c
P _LA et en déduire PQ _LA .
b 2c :
2a b " c 0
a, b, c
P _LA ssi _LA a, b, c
0,0,0 ssi Ya 2b c 0X
"a b 2c
1 2a b " c 0
1
2
3a 3b 0
b "a
a
X j Yb "aX
c a
2 Y a 2b c 0 X j
2
Y c "a " 2b X j k
"a " a 2a 0
"a b 2c 0
3 "a b 2c 0
3
c a
P _LA
1, "1,1
5) Pour O
O _B
PQ _LA
2a
b " c, a
2 ( PQ _LA
2b
dim
c, "a
P _LA
2, déterminer une base de O _B et en déduire PQ _B .
_B
PQ VA , VB , V?
Professeure Salma DASSER
A
, _B
_B a, b, c
B
1 ( VA
, _B
?
V?
"a
VA
VB
( S
V?
"VB <
PQ _B
dim
?
1,5 pt
b " c, a " b c, "a b " c :
_B A
"1,1, "1
_B B
1, "1,1 X
dim O _B
PQ VA , VB , V?
_B ?
"1,1, "1
dim O _B
1
VA est une base de O _B
VA
1 ( PQ _LA l dim O _B
3/4
Session automne-hiver 2013

4. [Semestre : S3, Module M12, Matière : Algèbre I]
6) Pour O
1 et #
A;
B;
a. Déterminer la matrice
S
A
B
?
_A
1,1,0
X ( S_A
1, "1,1
0,1,1
_A
b. Retrouver
_A / #@ , #@
_A / #, #
Professeure Salma DASSER
Correction du Contrôle final
?
la base donnée en I :
A
1,1,0 ;
_A / #, # par un calcul direct.
B
_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
1,1,0
A
A
"2, 2, "2
"2 B X <
_A / #, #
B
0,1,1
?
?
1, "1,1 ;
_A / #, # en utilisant la formule de changement de bases.
_A a, b, c
b " c, a c, "a b :
0 1 "1
1 1 0
H 1 0 1 I , EFGF H1 "1 1I et EFFG
"1 1 0
0 1 1
EFFG m
après calcul
_A / #@ , #@ m EFGF oppppppq
4/4
1
H0
0
0,1,1
?
1 pt
0 0
"2 0I
0 1
1 pt
1 "1
1 2
H 1 "1 1 I
3
"1 1
2
1 0 0
_A / #, #
H0 "2 0I
0 0 1
Session automne-hiver 2013