Correction de devoir

1. ISSAT de SOUSSE
Département de Génie Mécanique
KHEMILI Imed 1
Correction du DS 1 – Novembre 2014
1°) 1 pt
Les bénéfices offerte par le programme de production actuel sont égales
à : 200 80 240 75 34000    D
.
2°) 7 pts (4 pts pour la formulation, 1 pt pour chaque tableau)
Le nouveau programme doit permettre au responsable de déterminer les
quantités optimales des lots A et des lots B qu’il doit fabriquer pour
maximiser les bénéfices.
Soient : x1 le nombre de lots A,
x2 le nombre de lots B,
Le programme linéaire permettant de maximiser les bénéfices de
l’Entreprise est le suivant :
1 2
1 2
1 2
1 2
200 240
:
3
240
2
1
120
2
4 240
 
 
 
 
(temps disponible sur les deux machines de découpage)
(temps disponible sur la machine d'emboutissage)
(temps disponible sur les deux machines
Max Z x x
sujet à
x x
x x
x x
1 2, 0










 
de Polissage)
x x
Écrivons le PL sous la forme standard :
1 2 3 4 5
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 2 5
200 240 0 0 0
:
3
240
2
1
120
2
2 240
, ,...., 0
    



  

   

   


Max Z x x x x x
sujet à
x x x
x x x
x x x
x x x
Choisissons x3, x4 et x5 comme variables de base, la solution de départ
consiste à annuler les variables hors base :
1 2
3
4
5
0
240
120
240
 
 


 
x x
x
x
x

2. Méthodes d’Optimisation de la Production
2ème
année G. M & EM
2013 / 20142
Le tableau de départ est :
x1 x2 x3 x4 x5 b Limitation
x3 1 3/2 1 0 0 240 160
x4 1/2 1 0 1 0 120 120 
x5 2 1 0 0 1 240 240
Z -200 -240 0 0 0 0

x1 x2 x3 x4 x5 b Limitation
x3 1/4 0 1 -3/2 0 60 240
x2 1/2 1 0 1 0 120 240
x5 3/2 0 0 -1 1 120 80 
Z -80 0 0 240 0 28800

x1 x2 x3 x4 x5 b
x3 0 0 1 -4/3 -1/6 40
x2 0 1 0 1/3 -1/3 80
x1 1 0 0 -2/3 2/3 80
Z 0 0 0 560/3 160/3 35200
La solution est optimale
max
1
2
3
35200
80
80
40





 
dinars
lots A
lots B
heures restantes sur les machines de découpage
Z
x
x
x
3°) 2 pts
Nous devons calculer  T T
C Y A X   .
    1
2
1 3/ 2
200 240 ; 0 150 50 ; 1/ 2 1 ;
2 1
 
  
      
  
 
T T
x
C Y A X
x

3. ISSAT de SOUSSE
Département de Génie Mécanique
KHEMILI Imed 3
   
      
1
2
1 1
2 2
1 3/ 2
200 240 0 150 50 1/ 2 1
2 1
200 240 175 200 25 40 0
  
   
      
   
  
   
      
   
x
x
x x
x x
La proposition n’est pas intéressante.
4°) 6 pts (3 pts pour la formulation, 1 pt pour le thé. Dualité, 2 pts pour
le thé de Comp. Des écarts)
Le programme linéaire qui permet à ce voisin de déterminer les prix
optimaux qui satisfassent le responsable de l’entreprise et qui minimise ses
dépenses est :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
240 120 240
:
1
2 200
2
3
240
2
, , 0

   



  


  


Min W y y y
sujet à
y y y
y y y
y y y
Sa solution optimale est déduite du tableau optimal du primal.
Le théorème de la dualité nous permet d’écrire : min max 35200  D
W Z .
Le théorème de complémentarité des écarts nous permet d’écrire la
correspondance suivante entre les variables duales et les variables
primales telle que : 1 3 2 4 3 5 4 1 5 2; ; ; ;y x y x y x y x y x     .
D’où
1 4 5
2 3
0 ;
560 160
;
3 3
  


 
dinars/h dinars/h
y y y
y y
5°) 4 pts
En utilisant l’algorithme dual du simplexe le système s’écrit :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
240 120 240
:
1
2 200
2
3
240
2
, , 0

   



    


    


Min W y y y
sujet à
y y y
y y y
y y y

4. Méthodes d’Optimisation de la Production
2ème
année G. M & EM
2013 / 20144
Écrivons-le sous la forme standard :
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 5
240 120 240 0 0
:
1
2 200
2
3
240
2
, , , 0

     



     


     


Min W y y y y y
sujet à
y y y y
y y y y
y y y
Le tableau de départ est :
y1 y2 y3 y4 y5 b
y4 -1 -1/2 -2 1 0 -200
y5 -3/2 -1 -1 0 1 -240 
-W 240 120 240 0 0 0
Limitation 160 120

240 - -
y1 y2 y3 y4 y5 b
y4 -1/4 0 -3/2 1 -1/2 -80 
y2 3/2 1 1 0 -1 240
-W 60 0 120 0 120 -28800
Limitation 240 - 80

- 240
y1 y2 y3 y4 y5 b
y3 1/6 0 1 -2/3 1/3 160/3
y2 4/3 1 0 3/2 -4/3 560/3
-W 40 0 0 80 80 -35200
La solution est optimale :
min
1
2
3
35200
0
560/3
160/3
 




 
D
dinars/h
dinars/h
W
y
y
y