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MATHÉMATIQUES : CORRECTION DU BREVET BLANC DE MARS 2007

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES :

Exercice n°1 :
          5 3×2×4 5 2 15 8   7
1°) A= −         =−= − =
          4 4×3×3 4 3 12 12 12


                                      
                                 6 −10 6 −5×2×3×2 −4
                11     6  11 21
                   −7 × =   −   ×=    ×=         =
       B=
                 3        3   3     3
                       25       25     25  3×5×5   5

            3×1,2 10−10     −107       −3         −3      −2
                 × −7 =18×10      =18×10 =1,8×10×10 =1,8×10 =0,018
       C=
2°)
             0,2  10

Exercice n°2 :

  A=3×4−6  7−9−  100×7=12−6  7−9−  100× 7=3−6  7−10  7=3−16  7
                 2
  B=3× 2  −5 2 =9×2−25=18−25=−7                     donc B est bien un nombre entier .

                                    2
                     E=2 x3  − 2 x3  x4 
Exercice n°3 :

       E=4 x 2 2×2 x ×39− 2 x 2 8 x3 x12=4 x 2 12 x9−2 x 2 −11 x−12=2 x 2 x−3
1°)

       E=2 x 3[2 x 3− x4]=2 x3 2 x3−x −4 =2 x 3 x−1
2°)

       2 x 3 x−1=0 est une équation se présentant sous la forme d'un produit nul .
3°)

       Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul .

                 2 x 3 x−1=0 lorsque 2 x + 3 = 0 ou lorsque x – 1 = 0
       Donc
                                               −3
                                           x=                     x=1
                                                        2

                                                                              −3
                                        2 x 3 x−1=0 sont donc       x=
      Les solutions de l'équation                                                  et x = 1 .
                                                                              2

Exercice n°4 :

1°) Baisser un prix de 15 % revient à multiplier ce prix par 1 – 0,15 c'est à dire par 0,85 .
    Donc si on note x le prix initial d'un produit et y le prix de ce même produit après la baisse de 15 %
    alors on a y = 0,85 x .

2°) Si le prix initial d'un ordinateur portable est x = 1200 alors son prix final après la baisse de 15 % est
    y = 0,85×1200=1020 . Le nouveau prix est donc de 1020 € .

3°) Si le prix final d'une clé USB est y = 34 alors son prix avant la baisse de 15 % était x tel que 34 = 0,85 x .
                   34
                       =40 . Le prix initial de la clé USB était de 40 € .
    Donc x =
                  0,85

Exercice n°5 :

Notes                 6     8     10         13   14   17
Effectifs             3     5       6        7    5     1
E.C.C                 3     8     14         21   26   27
3×65×86×107×135×141×17 296
                                                  M=                              =    ≃11
1°) La moyenne de la classe est M tel que
                                                               356751          27

2°) La médiane de cette série de 27 notes est la 14ème note donc c'est la note 10 . L'étendue vaut 17 – 6 = 11 .

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES :

Exercice n°1 :
      CE 2 =10,4 2=108,16 et CD 2DE 2=9,6 24 2=92,1616=108,16
1.
    Je constate que CE² = CD² + DE² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est
    rectangle en D et par définition, CD⊥ DE 
2. Je sais que  AB⊥ BC par codage et CD ⊥ DE
    Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles
    Donc, (AB) // (DE)
3. Je sais que (AE) et (BD) sont sécantes en C et (AB) // (DE) donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
                                       9,6 10,4   4                      12×4 48
           CD CE DE
                                          =     =                             =     =5
             =  =                                                  AB=
                    donc,                           d'où
                                       12 CA AB                           9,6   9,6
           CB CA AB
       La mesure de [AB] est 5 cm

Exercice n°2 :

                                               1. voir ci-contre
                                               2.
                 E

                                                   a) Je sais que F est le symétrique de O par rapport à C .
   A                      B
                                                      Or, dans la symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu
                                                      du segment formé par un point et son symétrique
                O

                                                      Donc, C milieu de [OF] c'est à dire OC = OF
                                                      Je sais que le point G image de C par la translation qui
                          C
   D

                                                      transforme B en O donc,   .
                                                                                  BO=CG
                 G                 F


                                                        J'en déduis en particulier que BO = CG .
               Je sais que ABCD rectangle de centre O
               Or, si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont même milieu et sont isométriques
               Donc, AO = OC = OB = OD
               Je sais que OC = OF, que BO = CG et que AO = OC = OB = OD .
               Donc OC = CF = CG .
               Or, si des points sont équidistants d'un même point alors ils sont sur un cercle de centre ce point
               Donc, C, F et G sont sur un cercle de centre C et de rayon OC .
            b) Je sais que C est le milieu de [OF] et que O et F sont sur le cercle de centre C
               Donc, par définition, [OF] est un diamètre du cercle de centre C .
               Je sais que [OF] est un diamètre du cercle de centre C et que G est un point de ce cercle .
               Or, si dans un cercle, on joint les extrémités d'un diamètre à un point du cercle alors le triangle obtenu
               est rectangle en ce point .
               Donc le triangle OFG est rectangle en G .

Exercice n°3:

                                        1. Voir ci-contre .
                                        2. Dans le triangle ABC rectangle en A tel que : AC = 3 et BC = 6, j'utilise le
    C
                                           théorème de Pythagore : CB 2 =CA 2 AB 2 d'où
                                             AB 2 =6 2−32 =36−9=27 c'est à dire AB = 27 =3  3
                                           La valeur exacte de AB est 3  3 cm .
                                        3. Dans le triangle ABC rectangle en A, j'utilise la trigonométrie :
                                                                            
       A                       B
                                                          côté adjacent à C CA 3
                 O
                                              cos                            =    = =0,5
                                                  ACB=
                                                             hypoténuse         BC 6
                                            donc la valeur du cosinus de l'angle  est 0,5 et celle de l'angle
                                                                                  ACB
                                               est 60° .
       E
                                              ACB
4. a) Je sais que E est sur la médiatrice de [CB]
          Or, si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment
          Donc EC = EB et par définition, CBE est un triangle isocèle en E .

           De plus, l'angle  est 60°
                              ACB
               Or, si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors c'est un triangle équilatéral .
               Donc finalement , CBE est un triangle équilatéral .
          b)    Je sais que CBE est un triangle équilatéral donc, par définition , BC = BE
               Je sais que ABC triangle rectangle en A donc  AB⊥ AC  et  AB⊥ EC                par extension .

                    Bilan : Je sais que  AB⊥ EC et BC = BE
           Or, si une droite passe par un point équidistant des extrémités d'un segment et est perpendiculaire à
          .........ce segment alors c'est la médiatrice de ce segment
           Donc, la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC] .

PROBLÈME :

Partie A :

1°)

                 Nombre de DVD loués en 6 mois
                                                               4                8          10         12          15
Prix en euros payé avec
                                                                       Case I
l'option A
                                                              12                           30         36          45
                                                                                24
                                                                                     Case II


                                                              21                27                    33        37,50
l'option B
                                                                                           30
                                                                                                Case III

                                                              36                36         36                     36
L'option C
                                                                                                      36


                                                               A                A    A ou B            B           C
Nom de l'option la plus avantageuse


Case I : Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de 8 DVD coûte 3 ×8 =24 €
Case II : Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de 10 DVD revient
           finalement à 151,5×10=1515=30 €
Case III : Le forfait de 36 € permet de louer autant de DVD que l'on veut , donc louer 12 DVD coûte 36 € tout
            simplement .

2°) On appelle x le nombre de DVD loués par Nicolas pendant 6 mois .

      a) Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de x DVD coûte la somme A ( x ) = 3×x=3 x
      b) Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de x DVD coûte
         finalement la somme B ( x ) = 151,5× x=151,5 x

Partie B :

1°) La fonction f est une fonction linéaire car f ( x ) = 3 x . Elle est donc représentée graphiquement par une
    droite ( D f ) qui passe par l'origine O du repère .
De plus lorsque x = 10 on a f ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D f ) et donc ( D f ) est la
droite ( OE ) .

    La fonction g est une fonction affine car g ( x ) = 1,5 x + 15 . Elle est donc représentée graphiquement par
    une droite ( D g ) qui passe par le point de coordonnées P ( 0 ; 15 ) .

    De plus lorsque x = 10 on a g ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D g ) et donc
    ( D g ) est la droite ( PE ) .

    Les droites sont tracées en annexe .

2°) Les représentations graphiques de f et g se coupent en E .

   a) Les coordonnées de E sont ( 10 ; 30 ) .
   b) E est un point situé sur la droite qui représente la fonction f associée à l'option A .
      Mais E est aussi situé sur la droite qui représente la fonction g associée à l'option B .

     Ses coordonnées nous indiquent donc que la location de 10 DVD reviendra à 30 € aussi bien avec l'option A
     qu'avec l'option B .

     Les options A et B sont équivalentes pour 10 DVD loués .

3°) Graphiquement , Nicolas va dépenser 33 € avec l'option A s'il loue 11 DVD .

                                                                               3×11=33
    On retrouve ce résultat par le calcul en calculant f ( 11 ) . f ( 11 ) =

4°) Graphiquement , Nicolas pourra louer 6 DVD avec l'option B s'il dispose d'une somme de 24 € .

                                                                     g  x=24 .
    On retrouve ce résultat par le calcul en résolvant l'équation

                                                                                     9
     g  x=24 signifie                                                        x=       =6 .
                           1,5 x15=24 c'est à dire       1,5 x=9 et donc
                                                                                    1,5

5°) La lecture attentive du graphique indique que :

     i) Si le nombre de DVD loués par Nicolas est inférieur à 10 , l'option A se révèle être la moins coûteuse pour
        lui puisque dans ces cas là , ( D f ) est située au dessous de ( D g ) et de ( D h ) .

     ii) Si Nicolas loue 10 DVD l'option A et l'option B sont équivalentes ( elles reviennent chacune à 30 € )
         tout en étant plus avantageuse que l'option C à 36 € .

     iii ) Si Nicolas loue entre 11 et 13 DVD , l'option B est alors la moins coûteuse puisque dans ces cas là ,
           ( D g ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D h ) .

     iv) Si Nicolas loue 14 DVD , il peut choisir aussi bien l'option B que l'option C .

     v) Si Nicolas loue 15 DVD ou plus , il devra choisir l'option C pour obtenir le coût le plus avantageux .
        Dans ces cas là , ( D h ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D g ) .
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Correction brevet blanc mars 2007

  • 1. MATHÉMATIQUES : CORRECTION DU BREVET BLANC DE MARS 2007 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : Exercice n°1 : 5 3×2×4 5 2 15 8 7 1°) A= − =−= − = 4 4×3×3 4 3 12 12 12     6 −10 6 −5×2×3×2 −4 11 6 11 21 −7 × = − ×= ×= = B= 3 3 3 3 25 25 25 3×5×5 5 3×1,2 10−10 −107 −3 −3 −2 × −7 =18×10 =18×10 =1,8×10×10 =1,8×10 =0,018 C= 2°) 0,2 10 Exercice n°2 : A=3×4−6  7−9−  100×7=12−6  7−9−  100× 7=3−6  7−10  7=3−16  7 2 B=3× 2  −5 2 =9×2−25=18−25=−7 donc B est bien un nombre entier . 2 E=2 x3  − 2 x3  x4  Exercice n°3 : E=4 x 2 2×2 x ×39− 2 x 2 8 x3 x12=4 x 2 12 x9−2 x 2 −11 x−12=2 x 2 x−3 1°) E=2 x 3[2 x 3− x4]=2 x3 2 x3−x −4 =2 x 3 x−1 2°) 2 x 3 x−1=0 est une équation se présentant sous la forme d'un produit nul . 3°) Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul . 2 x 3 x−1=0 lorsque 2 x + 3 = 0 ou lorsque x – 1 = 0 Donc −3 x= x=1 2 −3 2 x 3 x−1=0 sont donc x= Les solutions de l'équation et x = 1 . 2 Exercice n°4 : 1°) Baisser un prix de 15 % revient à multiplier ce prix par 1 – 0,15 c'est à dire par 0,85 . Donc si on note x le prix initial d'un produit et y le prix de ce même produit après la baisse de 15 % alors on a y = 0,85 x . 2°) Si le prix initial d'un ordinateur portable est x = 1200 alors son prix final après la baisse de 15 % est y = 0,85×1200=1020 . Le nouveau prix est donc de 1020 € . 3°) Si le prix final d'une clé USB est y = 34 alors son prix avant la baisse de 15 % était x tel que 34 = 0,85 x . 34 =40 . Le prix initial de la clé USB était de 40 € . Donc x = 0,85 Exercice n°5 : Notes 6 8 10 13 14 17 Effectifs 3 5 6 7 5 1 E.C.C 3 8 14 21 26 27
  • 2. 3×65×86×107×135×141×17 296 M= = ≃11 1°) La moyenne de la classe est M tel que 356751 27 2°) La médiane de cette série de 27 notes est la 14ème note donc c'est la note 10 . L'étendue vaut 17 – 6 = 11 . ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : Exercice n°1 : CE 2 =10,4 2=108,16 et CD 2DE 2=9,6 24 2=92,1616=108,16 1. Je constate que CE² = CD² + DE² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en D et par définition, CD⊥ DE  2. Je sais que  AB⊥ BC par codage et CD ⊥ DE Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles Donc, (AB) // (DE) 3. Je sais que (AE) et (BD) sont sécantes en C et (AB) // (DE) donc, d'après le théorème de Thalès, on a : 9,6 10,4 4 12×4 48 CD CE DE = = = =5 = = AB= donc, d'où 12 CA AB 9,6 9,6 CB CA AB La mesure de [AB] est 5 cm Exercice n°2 : 1. voir ci-contre 2. E a) Je sais que F est le symétrique de O par rapport à C . A B Or, dans la symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment formé par un point et son symétrique O Donc, C milieu de [OF] c'est à dire OC = OF Je sais que le point G image de C par la translation qui C D transforme B en O donc,   . BO=CG G F J'en déduis en particulier que BO = CG . Je sais que ABCD rectangle de centre O Or, si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont même milieu et sont isométriques Donc, AO = OC = OB = OD Je sais que OC = OF, que BO = CG et que AO = OC = OB = OD . Donc OC = CF = CG . Or, si des points sont équidistants d'un même point alors ils sont sur un cercle de centre ce point Donc, C, F et G sont sur un cercle de centre C et de rayon OC . b) Je sais que C est le milieu de [OF] et que O et F sont sur le cercle de centre C Donc, par définition, [OF] est un diamètre du cercle de centre C . Je sais que [OF] est un diamètre du cercle de centre C et que G est un point de ce cercle . Or, si dans un cercle, on joint les extrémités d'un diamètre à un point du cercle alors le triangle obtenu est rectangle en ce point . Donc le triangle OFG est rectangle en G . Exercice n°3: 1. Voir ci-contre . 2. Dans le triangle ABC rectangle en A tel que : AC = 3 et BC = 6, j'utilise le C théorème de Pythagore : CB 2 =CA 2 AB 2 d'où AB 2 =6 2−32 =36−9=27 c'est à dire AB = 27 =3  3 La valeur exacte de AB est 3  3 cm . 3. Dans le triangle ABC rectangle en A, j'utilise la trigonométrie :  A B côté adjacent à C CA 3 O cos  = = =0,5 ACB= hypoténuse BC 6 donc la valeur du cosinus de l'angle  est 0,5 et celle de l'angle ACB  est 60° . E ACB
  • 3. 4. a) Je sais que E est sur la médiatrice de [CB] Or, si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment Donc EC = EB et par définition, CBE est un triangle isocèle en E . De plus, l'angle  est 60° ACB Or, si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors c'est un triangle équilatéral . Donc finalement , CBE est un triangle équilatéral . b) Je sais que CBE est un triangle équilatéral donc, par définition , BC = BE Je sais que ABC triangle rectangle en A donc  AB⊥ AC  et  AB⊥ EC  par extension . Bilan : Je sais que  AB⊥ EC et BC = BE Or, si une droite passe par un point équidistant des extrémités d'un segment et est perpendiculaire à .........ce segment alors c'est la médiatrice de ce segment Donc, la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC] . PROBLÈME : Partie A : 1°) Nombre de DVD loués en 6 mois 4 8 10 12 15 Prix en euros payé avec Case I l'option A 12 30 36 45 24 Case II 21 27 33 37,50 l'option B 30 Case III 36 36 36 36 L'option C 36 A A A ou B B C Nom de l'option la plus avantageuse Case I : Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de 8 DVD coûte 3 ×8 =24 € Case II : Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de 10 DVD revient finalement à 151,5×10=1515=30 € Case III : Le forfait de 36 € permet de louer autant de DVD que l'on veut , donc louer 12 DVD coûte 36 € tout simplement . 2°) On appelle x le nombre de DVD loués par Nicolas pendant 6 mois . a) Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de x DVD coûte la somme A ( x ) = 3×x=3 x b) Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de x DVD coûte finalement la somme B ( x ) = 151,5× x=151,5 x Partie B : 1°) La fonction f est une fonction linéaire car f ( x ) = 3 x . Elle est donc représentée graphiquement par une droite ( D f ) qui passe par l'origine O du repère .
  • 4. De plus lorsque x = 10 on a f ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D f ) et donc ( D f ) est la droite ( OE ) . La fonction g est une fonction affine car g ( x ) = 1,5 x + 15 . Elle est donc représentée graphiquement par une droite ( D g ) qui passe par le point de coordonnées P ( 0 ; 15 ) . De plus lorsque x = 10 on a g ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D g ) et donc ( D g ) est la droite ( PE ) . Les droites sont tracées en annexe . 2°) Les représentations graphiques de f et g se coupent en E . a) Les coordonnées de E sont ( 10 ; 30 ) . b) E est un point situé sur la droite qui représente la fonction f associée à l'option A . Mais E est aussi situé sur la droite qui représente la fonction g associée à l'option B . Ses coordonnées nous indiquent donc que la location de 10 DVD reviendra à 30 € aussi bien avec l'option A qu'avec l'option B . Les options A et B sont équivalentes pour 10 DVD loués . 3°) Graphiquement , Nicolas va dépenser 33 € avec l'option A s'il loue 11 DVD . 3×11=33 On retrouve ce résultat par le calcul en calculant f ( 11 ) . f ( 11 ) = 4°) Graphiquement , Nicolas pourra louer 6 DVD avec l'option B s'il dispose d'une somme de 24 € . g  x=24 . On retrouve ce résultat par le calcul en résolvant l'équation 9 g  x=24 signifie x= =6 . 1,5 x15=24 c'est à dire 1,5 x=9 et donc 1,5 5°) La lecture attentive du graphique indique que : i) Si le nombre de DVD loués par Nicolas est inférieur à 10 , l'option A se révèle être la moins coûteuse pour lui puisque dans ces cas là , ( D f ) est située au dessous de ( D g ) et de ( D h ) . ii) Si Nicolas loue 10 DVD l'option A et l'option B sont équivalentes ( elles reviennent chacune à 30 € ) tout en étant plus avantageuse que l'option C à 36 € . iii ) Si Nicolas loue entre 11 et 13 DVD , l'option B est alors la moins coûteuse puisque dans ces cas là , ( D g ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D h ) . iv) Si Nicolas loue 14 DVD , il peut choisir aussi bien l'option B que l'option C . v) Si Nicolas loue 15 DVD ou plus , il devra choisir l'option C pour obtenir le coût le plus avantageux . Dans ces cas là , ( D h ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D g ) .