Le document présente un exercice de mathématiques impliquant la résolution d'un système d'équations pour déterminer les durées de fonctionnement de deux robinets. Il aborde également des propriétés des droites et des calculs liés à la diminution du volume de gazon au fil des jours. Enfin, il fournit des solutions et des interprétations des résultats obtenus à partir des équations.

1. e
1`re ES
a) d passe par A(2; 3) et par B(4; 5). Les coordonn´es de A v´rifient l’´quation de
e
e
e
d, donc 3 = 2a + b. De mˆme, les coordonn´es de B v´rifient l’´quation de d, donc
e
e
e
e
5 = 4a + b. On doit r´soudre le syst`me
e
e
´
Corrige du DM no 1
Exercice 1.
On r´pond selon les quatre ´tapes classiques pour r´soudre un probl`me concret.
e
e
e
e
a) Choix des inconnues :
On pose x la dur´e de fonctionnement, en heures, du premier robinet,
e
y la dur´e de fonctionnement, en heures, du deuxi`me robinet.
e
e
x et y sont des r´els positifs. (mais pas forc´ment des entiers !)
e
e
NB : Ne pas oublier de pr´ciser les unit´s de x et y.
e
e
b) Mise en ´quation du probl`me :
e
e
La dur´e totale de fonctionnement des deux robinets est 5 heures, qui se d´come
e
posent en x heures pour le premier robinet et y heures pour le deuxi`me. On
e
obtient une premi`re ´quation : x + y = 5.
e e
Le volume d’eau total qui a coul´ correspond aux 200 litres du bassin. Pendant le
e
fonctionnement du premier robinet, il a coul´ 55 litres par heure, soit 55x litres
e
pour une dur´e d’utilisation de x heures. De la mˆme mani`re, le deuxi`me robinet
e
e
e
e
a fait couler 35y litres. On obtient une deuxi`me ´quation : 55x + 35y = 200.
e
e
D’o` le syst`me :
u
e
x+ y= 5
55x + 35y = 200
qui devient
x+ y= 5
11x + 7y = 40
apr`s simplification de la deuxi`me ´quation par 5. Penser ` simplifier si possible.
e
e
e
a
c) R´solution du syst`me :
e
e
On utilise la m´thode d’addition pour ´liminer y. Pour cela, on multiplie la
e
e
premi`re ´quation par −7, ce qui donne −7x − 7y = −35, puis on ajoute les
e e
5
e
deux ´quations. On obtient : 4x = 5, d’o` x = 4 = 1, 25. On utilise la premi`re
e
u
5
´quation pour revenir ` y : y = 5 − x = 5 − 4 = 15 = 3, 75. L’unique solution du
e
a
4
syst`me est donc le couple (1, 25 ; 3, 75).
e
NB : 1, 25 heures correspond ` une heure plus un quart d’heure, donc 1h15mn.
a
De mˆme, 3, 75 heures correspond ` trois heures plus trois quarts d’heure, donc
e
a
3h45mn.
d) R´ponse au probl`me pos´ :
e
e
e
Le premier robinet a fonctionn´ pendant 1h15, et le deuxi`me robinet a fonctionn´
e
e
e
pendant 3h45 .
Exercice 2.
La droite d a pour ´quation r´duite y = ax + b avec a et b r´els. Dans chacun des cas,
e
e
e
on d´termine les valeurs de a et b. Si un point M de coordonn´es (xM ; yM ) appartient
e
e
` d, alors ses coordonn´es v´rifient l’´quation de d, donc on a la relation yM = axM + b.
a
e
e
e
2a + b = 3
4a + b = 5
pour d´terminer a et b. La soustraction des deux ´quations donne 2a = 2 d’o`
e
e
u
a = 1. On utilise ensuite la premi`re ´quation pour obtenir b = 3 − 2a = 3 − 2 = 1.
e e
La droite d a donc pour ´quation y = x + 1 .
e
b) d passe par C(−1; 3) et a pour coefficient directeur − 5 . Si l’´quation de d est de
e
3
la forme y = ax+b, on sait que a = − 5 (coefficient directeur). Il reste ` d´terminer
a e
3
b. Or C appartient ` la droite, donc on a 3 = −a + b = −(− 5 ) + b = 5 + b. On en
a
3
3
5
4
5
4
d´duit b = 3 − = . Finalement, d a pour ´quation y = − x + .
e
e
3
3
3
3
c) d passe par D(−2; 1) et E(0; 2). Le point E correspond ` l’ordonn´e ` l’origine
a
e a
(puisque son abscisse est nulle), on a donc b = 2. L’´quation de d est alors de la
e
forme y = ax + 2. Comme D appartient ` la droite d, on a 1 = −2a + 2. D’o`
a
u
1
1
e
a = . Finalement, d a pour ´quation y = x + 2 .
2
2
Exercice 3.
1. Le volume de gazon diminue de 10 % par jour. Le coefficient multiplicateur de
10
cette diminution est ´gal ` 1 − 100 = 0, 9. Au bout d’une journ´e, le volume de
e
a
e
gazon restant est donc de 0, 9 × 300 = 270 litres.
2. Chaque jour, le volume de gazon dans l’enclos est multipli´ par 0, 9 par rapport `
e
a
la veille. Le deuxi`me jour, il reste ainsi 0, 9 × 270 = (0, 9)2 × 300 litres de gazon.
e
Au bout d’une semaine, il reste donc (0, 9)7 × 300 ≈ 143 litres de gazon dans
l’enclos (soit un peu moins de la moiti´).
e
3. Le coefficient multiplicateur de la diminution du gazon en une semaine est le
produit des coefficients multiplicateurs des 7 jours de la semaine, tous ´gaux ` 0, 9.
e
a
D’o` Csemaine = (0, 9)7 ≈ 0, 48. Le pourcentage de diminution associ´ est donc
u
e
t = (1 − Csemaine ) × 100 ≈ 52 %. Ainsi, le volume de gazon a diminu´ de 52 % en
e
une semaine.
NB : Au bout d’une semaine, il reste un peu moins de la moiti´ du volume de
e
gazon. Le volume a donc diminu´ d’un peu plus de la moiti´. On doit doit trouver
e
e
un pourcentage sup´rieur ` 50 %.
e
a
4. Pour 4 semaines (= 28 jours), le coefficient multiplicateur de la diminution du
volume de gazon est Cmois = (0, 9)28 ≈ 0, 05. Au bout de 4 semaines, il reste donc
300 × (0, 9)28 ≈ 15, 7 litres de gazon. Ce volume tient dans un seau de 20 litres.