1. e
1`re ES
a) d passe par A(2; 3) et par B(4; 5). Les coordonn´es de A v´rifient l’´quation de
e
e
e
d, donc 3 = 2a + b. De mˆme, les coordonn´es de B v´rifient l’´quation de d, donc
e
e
e
e
5 = 4a + b. On doit r´soudre le syst`me
e
e
´
Corrige du DM no 1
Exercice 1.
On r´pond selon les quatre ´tapes classiques pour r´soudre un probl`me concret.
e
e
e
e
a) Choix des inconnues :
On pose x la dur´e de fonctionnement, en heures, du premier robinet,
e
y la dur´e de fonctionnement, en heures, du deuxi`me robinet.
e
e
x et y sont des r´els positifs. (mais pas forc´ment des entiers !)
e
e
NB : Ne pas oublier de pr´ciser les unit´s de x et y.
e
e
b) Mise en ´quation du probl`me :
e
e
La dur´e totale de fonctionnement des deux robinets est 5 heures, qui se d´come
e
posent en x heures pour le premier robinet et y heures pour le deuxi`me. On
e
obtient une premi`re ´quation : x + y = 5.
e e
Le volume d’eau total qui a coul´ correspond aux 200 litres du bassin. Pendant le
e
fonctionnement du premier robinet, il a coul´ 55 litres par heure, soit 55x litres
e
pour une dur´e d’utilisation de x heures. De la mˆme mani`re, le deuxi`me robinet
e
e
e
e
a fait couler 35y litres. On obtient une deuxi`me ´quation : 55x + 35y = 200.
e
e
D’o` le syst`me :
u
e
x+ y= 5
55x + 35y = 200
qui devient
x+ y= 5
11x + 7y = 40
apr`s simplification de la deuxi`me ´quation par 5. Penser ` simplifier si possible.
e
e
e
a
c) R´solution du syst`me :
e
e
On utilise la m´thode d’addition pour ´liminer y. Pour cela, on multiplie la
e
e
premi`re ´quation par −7, ce qui donne −7x − 7y = −35, puis on ajoute les
e e
5
e
deux ´quations. On obtient : 4x = 5, d’o` x = 4 = 1, 25. On utilise la premi`re
e
u
5
´quation pour revenir ` y : y = 5 − x = 5 − 4 = 15 = 3, 75. L’unique solution du
e
a
4
syst`me est donc le couple (1, 25 ; 3, 75).
e
NB : 1, 25 heures correspond ` une heure plus un quart d’heure, donc 1h15mn.
a
De mˆme, 3, 75 heures correspond ` trois heures plus trois quarts d’heure, donc
e
a
3h45mn.
d) R´ponse au probl`me pos´ :
e
e
e
Le premier robinet a fonctionn´ pendant 1h15, et le deuxi`me robinet a fonctionn´
e
e
e
pendant 3h45 .
Exercice 2.
La droite d a pour ´quation r´duite y = ax + b avec a et b r´els. Dans chacun des cas,
e
e
e
on d´termine les valeurs de a et b. Si un point M de coordonn´es (xM ; yM ) appartient
e
e
` d, alors ses coordonn´es v´rifient l’´quation de d, donc on a la relation yM = axM + b.
a
e
e
e
2a + b = 3
4a + b = 5
pour d´terminer a et b. La soustraction des deux ´quations donne 2a = 2 d’o`
e
e
u
a = 1. On utilise ensuite la premi`re ´quation pour obtenir b = 3 − 2a = 3 − 2 = 1.
e e
La droite d a donc pour ´quation y = x + 1 .
e
b) d passe par C(−1; 3) et a pour coefficient directeur − 5 . Si l’´quation de d est de
e
3
la forme y = ax+b, on sait que a = − 5 (coefficient directeur). Il reste ` d´terminer
a e
3
b. Or C appartient ` la droite, donc on a 3 = −a + b = −(− 5 ) + b = 5 + b. On en
a
3
3
5
4
5
4
d´duit b = 3 − = . Finalement, d a pour ´quation y = − x + .
e
e
3
3
3
3
c) d passe par D(−2; 1) et E(0; 2). Le point E correspond ` l’ordonn´e ` l’origine
a
e a
(puisque son abscisse est nulle), on a donc b = 2. L’´quation de d est alors de la
e
forme y = ax + 2. Comme D appartient ` la droite d, on a 1 = −2a + 2. D’o`
a
u
1
1
e
a = . Finalement, d a pour ´quation y = x + 2 .
2
2
Exercice 3.
1. Le volume de gazon diminue de 10 % par jour. Le coefficient multiplicateur de
10
cette diminution est ´gal ` 1 − 100 = 0, 9. Au bout d’une journ´e, le volume de
e
a
e
gazon restant est donc de 0, 9 × 300 = 270 litres.
2. Chaque jour, le volume de gazon dans l’enclos est multipli´ par 0, 9 par rapport `
e
a
la veille. Le deuxi`me jour, il reste ainsi 0, 9 × 270 = (0, 9)2 × 300 litres de gazon.
e
Au bout d’une semaine, il reste donc (0, 9)7 × 300 ≈ 143 litres de gazon dans
l’enclos (soit un peu moins de la moiti´).
e
3. Le coefficient multiplicateur de la diminution du gazon en une semaine est le
produit des coefficients multiplicateurs des 7 jours de la semaine, tous ´gaux ` 0, 9.
e
a
D’o` Csemaine = (0, 9)7 ≈ 0, 48. Le pourcentage de diminution associ´ est donc
u
e
t = (1 − Csemaine ) × 100 ≈ 52 %. Ainsi, le volume de gazon a diminu´ de 52 % en
e
une semaine.
NB : Au bout d’une semaine, il reste un peu moins de la moiti´ du volume de
e
gazon. Le volume a donc diminu´ d’un peu plus de la moiti´. On doit doit trouver
e
e
un pourcentage sup´rieur ` 50 %.
e
a
4. Pour 4 semaines (= 28 jours), le coefficient multiplicateur de la diminution du
volume de gazon est Cmois = (0, 9)28 ≈ 0, 05. Au bout de 4 semaines, il reste donc
300 × (0, 9)28 ≈ 15, 7 litres de gazon. Ce volume tient dans un seau de 20 litres.