1. LEÇON N°4 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Objectif : Connaître des propriétés associées au triangle rectangle et son cercle circonscrit et
renforcer la notion de conjectures et de démonstrations d’une propriété.
1] PROPRIÉTÉS
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit.
Conséquences sur les longueurs :
 Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuse ;
 Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour rayon la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Exemple : Dans le triangle ABC , le point O est le milieu de
l’hypoténuse [BC] et donc le centre du cercle circonscrit à ce triangle C
de rayon la moitié de la longueur de BC.
M
Proprièté admise de la médiane : Si un triangle est rectangle, alors
la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié
de la longueur de l’hypoténuse. A B
Conséquence sur les longueurs :
 La médiane issue de l’angle droit dans un triangle rectangle est un rayon du cercle circonscrit à ce
triangle
Dans notre exemple : Dans le triangle ABC , la médiane [AO], issue de l’angle droit, mesure la moitié de
BC
Démonstration : Prouvons que O est le milieu de [BC] (d)
autre démonstration sera à faire sous la forme d’un mini DM
C
a) ABC est un triangle rectangle en A, et I est le milieu
de [AB]. On appelle la médiatrice de [AB] qui coupe [BC] en O.
O
Que peut-on dire de (IO) et de (AC) ?
Dans le triangle ABC rectangle en A comme (AC) est
perpendiculaire à (AB) et par définition la médiatrice (IO) de [AB] I
A B
est également perpendiculaire à [AB] alors les droites (IO) et (AC)
sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite alors ces deux droites sont parallèles.
b) Démontrer que O est le milieu de [BC] (en admettant que (IO) et (AC) soient parallèles).
Dans le triangle ABC on sait que la médiatrice (OI) du côté [AB] est parallèle au côté [AC] et par définition
elle passe par le milieu de [AB] or après la réciproque de la droite des milieux, dans un triangle si une
droite est parallèle à un côté et qu’elle passe par le milieu du 2ème côté alors cette droite passe par le
milieu du 3ème côté , donc la droite (OI) passe par le milieu O de [BC].

2. LEÇON N°4 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Démonstration : Prouvons maintenant que O est le centre du cercle circonscrit
c) Justifier que O appartient à la médiatrice de [BC] :
On sait maintenant que O est le milieu de [BC] or par définition une médiatrice coupe
perpendiculairement un segment en son milieu, comme (d) est la médiatrice de [BC] alors (d) passe par le
milieu de [BC] donc par le point O
d) Quel est le centre de cercle circonscrit au triangle ABC ?
D’après une propriété vue en 5ème on sait que l’intersection des médiatrices dans un triangle est le
centre du cercle circonscrit à ce triangle donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle
ABC et [BC] , son hypoténuse, un diamètre de ce cercle.
2] PROPRIÉTÉS RÉCIPROQUES
Rôle : Cela sert à prouver qu’un triangle est rectangle !
1ère technique : utilisation de la réciproque de la proprièté du cercle circonscrit à un triangle : Si le
côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle au sommet
opposé à ce côté.
2ème technique : utilisation de la réciproque de la proprièté de la médiane : Si dans un triangle la
médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la longueur de ce celui-ci, alors le triangle est
rectangle au sommet où est issue cette médiane
E
Exemple : prouver que le triangle EDF est rectangle en D
Sachant que M est le milieu de [EF] et que DM= EM. M
Dans le triangle EDF comme M est le milieu de [EF] alors
𝐸𝐹
𝐸𝑀 = 𝐸𝐹 = de plus sachant que la médiane 𝐷𝑀 = 𝐸𝑀
2 D F
𝐸𝐹
alors 𝐸𝑀 = or dans un triangle si la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de la
2
longueur de celui-ci alors le triangle est rectangle au sommet où est issue cette médiane donc le triangle
EDF est rectangle en D