cour des nombres complex

1. Application de la formule de Moivre : exercice résolu
π + π + π + π + π + π + π ,
Énoncé : Calculer S = cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 5 cos 6 cos 7
7 7 7 7 7 7 7
puis simplifier l’expression obtenue.
Rappel : Pour simplifier les notations, on peut se souvenir qu’on peut écrire cos θ + i sin θ
sous la forme eiθ. Mais ce n’est pas obligatoire !
1. ( )eiθ n = einθ
2. eiθ = e-iθ
3. eiθ . e-iθ = 1.
Dém : ( eiθ )n = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ =einθ vu la formule de Moivre ;
eiθ = cosθ + i sinθ = cos θ - i sin θ = cos (-θ) + i sin (-θ) = e-iθ et
eiθ . e-iθ = (cos θ + i sin θ) (cos θ - i sin θ) = cos2 θ + sin2 θ = 1.
Solution :
La somme S est la partie réelle du nombre complexe
i π i 2 π i 3 π i 4 π i 5 π i 6 π 7
π
Z =
e i 7 + e 7 + e 7 + e 7 + e 7 + e 7 + e
7
,
π
; elle vaut donc
i e
qui est la somme des 7 premiers termes d’une suite géométrique de raison 7
7
π
 
− 7

 
−
7
7
1
1
i
i
i
e
e
e
π
π
π π
i i
e e
= 7
7
1
1
i
e
π
−
−
=
π
7
7
2
1
i
i
e
e
π
−
par application de la formule de Moivre.
Il reste à déterminer la partie réelle de Z après avoir rendu le dénominateur réel :
1ère méthode :
on a Z =
π
i e
i
2 7
− π − π
1 cos sin
7 7
=
π
7
2
i e
i
2
π − π π
2sin 2 sin cos
14 14 14
=
π
ie i
2 7 .
π  π − i π  i
 
2sin sin cos
14 14 14
 
=
π
7
i ie
π  π  + i
π  
sin cos sin
14 14 14
 
=
π
ie
7
e
i
π i
π
sin 14
14
=
π π
i i
ie e
e e
−
7 14
.
i
ie
π π π
14 14
sin
14
i −
i
=
π π
   − 
 
7 14
sin
14
π
=
π
14
π
ie
−
i sin
14
=
i π i π
     cos  −  + sin
   −  
      =
14 14
sin
π
14
i cos π −
sin
π
14 14
sin
π
14
= -1 + i cotg
π .
14

2. Par conséquent, la somme recherchée qui est la partie réelle de Z vaut –1 :
S = cos π + cos 2 π + cos 3 π + cos 4 π + cos 5 π + cos 6 π + cos 7
π = -1.
7 7 7 7 7 7 7
Le dernier terme de cette somme étant égale à –1, on peut conclure que
cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 5 cos 6
π + π + π + π + π + π = 0.
7 7 7 7 7 7
2ème méthode :
on a Z =
π π
i i
e e
e e
2 .1
1 1
−
−
7 7
π π
i −
i
− −
7 7
=
 
 e
− 
 
π
2 7
1
 
 − 
 
− − +
π − π π − π
7 7 7 7
1
i
i i i i
e e e e
− − +
=
π
i
e
2 7
1
π − π
i i
e e
1 7 7
1
=
=
 
 − 
 
 
 −ℜ 
 
2 7
1
7
2 1
i
i
e
e
π
π
=
7
1
7
1
i
i
e
e
π
π
−
−ℜ
=
π i π
cos 1 sin
7
7 7
s1 coπ
− +
−
= -1 + i
sin
π
7
− π
1 cos
7
= -1 + i cotg
π si on
14
applique de manière adéquate quelques formules de trigonométrie.