Le document aborde les limites de suites en analyse mathématique, en illustrant différents cas d'étude. Il démontre que certaines expressions aboutissent à des limites infinies ou des limites spécifiques, en utilisant des transformations appropriées. Les formes indéterminées sont examinées, avec des conclusions sur leurs limites à mesure que n tend vers l'infini.

1. http://xmaths.free.fr TS − Limites de suites − Corrections
Exercice 18
1°)On sait que
n→+∞
lim n = +∞ et
n→+∞
lim 1
n
= 0 donc
n→+∞
lim



n + 1
n
= +∞ et
n→+∞
lim



n - 1
n
= +∞ .
On en déduit que
n→+∞
lim



n + 1
n 


n - 1
n
= +∞ .
2°)On sait que
n→+∞
lim (n - 1) = +∞ et
n→+∞
lim 1
n
= 0 , mais on ne peut rien en déduire directement pour la
limite de (n - 1)



1
n
, il s'agit d'une forme indéterminée.
On peut écrire (n - 1)



1
n
= n x
1
n
- 1 x
1
n
= 1 - 1
n
.
On sait que
n→+∞
lim 1
n
= 0 , donc
n→+∞
lim 1 - 1
n
= 1 donc
n→+∞
lim (n - 1)



1
n
= 1 .
3°)On a
n→+∞
lim n + 2 = +∞ et
n→+∞
lim n + 1 = +∞ , mais on ne peut rien en déduire directement pour la limite
de n + 2
n + 1
, il s'agit d'une forme indéterminée.
On peut remarquer que pour n ≠ 0, on a n + 2
n + 1
=
n



1 + 2
n
n



1 + 1
n
=
1 + 2
n
1 + 1
n
On sait que
n→+∞
lim 2
n
= 0 donc
n→+∞
lim 1 + 2
n
= 1 et
n→+∞
lim 1
n
= 0 donc
n→+∞
lim 1 + 1
n
= 1 .
On en déduit
n→+∞
lim
1 + 2
n
1 + 1
n
= 1
1
= 1 donc
n→+∞
lim n + 2
n + 1
= 1 .
4°)On a
n→+∞
lim n2 = +∞ et
n→+∞
lim n = +∞ donc
n→+∞
lim n2 + n = +∞ .
D'autre part
n→+∞
lim -2n = -∞ donc
n→+∞
lim 3 - 2n = -∞ .
On ne peut rien en déduire pour la limite de n2 + n
3 - 2n
, il s'agit d'une forme indéterminée.
On peut remarquer que pour n ≠ 0, on a : n2 + n
3 - 2n
=
n2



1 + n
n2
n



3
n
- 2
=
n2



1 + 1
n
n



3
n
- 2
=
n



1 + 1
n



3
n
- 2
On a
n→+∞
lim



1 + 1
n
= 1 donc
n→+∞
lim n



1 + 1
n
= +∞ et
n→+∞
lim



3
n
- 2 = -2
On peut en déduire que
n→+∞
lim
n



1 + 1
n



3
n
- 2
= -∞ donc
n→+∞
lim n2 + n
3 - 2n
= -∞ .