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Exercice 22
La suite (un) est définie par u0 = 18 et un+1 = 1
2
un + 3 .
1°)On a u0+1 = 1
2
u0 + 3 donc u1 = 1
2
x 18 + 3 = 9 + 3 donc u1 = 12
u1+1 = 1
2
u1 + 3 donc u2 = 1
2
x 12 + 3 = 6 + 3 donc u2 = 9
u2+1 = 1
2
u2 + 3 donc u3 = 1
2
x 9 + 3 = 9
2
+ 6
2
donc u3 = 15
2
= 7,5
On peut déterminer des valeurs approchées des termes de la suite en utilisant une calculatrice.
Par exemple avec une calculatrice TI82, on pourra faire
18 STO► A ENTER (on stocke la valeur initiale u0 dans la mémoire A)
A * 1/2 + 3 STO► A ENTER (on fait le calcul du terme suivant et on le stocke dans A)
Il suffit ensuite d'appuyer plusieurs fois
sur la touche ENTER pour obtenir les
valeurs approchées successives des
termes de la suite.
Avec un tableur on peut : entrer la valeur 18 dans la cellule A1, la formule = A1*1/2+3 dans la cellule B1
et recopier cette formule vers la droite autant de fois que nécessaire.
On obtient les valeurs (éventuellement approchées) :
u4 = 6,75 u5 = 6,375 u6 = 6,1875 u7 = 6,09375 u8 ≈ 6,04688 u9 ≈ 6,02344
u10 ≈ 6,01172 u11 ≈ 6,00586 u12 ≈ 6,00293 u13 ≈ 6,00146 u14 ≈ 6,00073 u15 ≈ 6,00037
u16 ≈ 6,00018 u17 ≈ 6,00009 u18 ≈ 6,00005 u19 ≈ 6,00002 u20 ≈ 6,00001
2°)On sait que u0 est positif.
Supposons que pour un entier n fixé on ait un positif ,
alors 1
2
un ³ 0 donc 1
2
un + 3 ³ 3 donc 1
2
un + 3 ³ 0 c'est-à-dire un+1 positif.
On a donc démontré par récurrence que : un est positif pour tout n ∈ IN .
On en déduit que la suite (un) est minorée par 0.
NB : on pourrait aussi démontrer que la suite (un) est minorée par 6.
On sait que u1 = 12 et u0 = 18 on a donc u1 £ u0 .
Supposons que pour un entier n fixé on ait un+1 £ un ;
alors 1
2
un+1 £ 1
2
un car 1
2
est positif et par conséquent 1
2
un+1 + 3 £ 1
2
un + 3 donc un+2 £ un+1 .
On a donc démontré par récurrence que : un+1 £ un pour tout n ∈ IN .
On en déduit que la suite (un) est décroissante.
La suite (un) étant décroissante et minorée on peut en déduire que (un) a une limite finie l.

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3°)La suite (vn) est définie par vn = 6 + 12
2n
.
On a v0 = 6 + 12
20
= 6 + 12
1
= 6 + 12 donc v0 = 18
v1 = 6 + 12
21
= 6 + 12
2
= 6 + 6 donc v1 = 12
v2 = 6 + 12
22
= 6 + 12
4
= 6 + 3 donc v2 = 9
v3 = 6 + 12
23
= 6 + 12
8
= 6 + 3
2
donc v3 = 15
2
4°)On peut écrire : vn+1 = 6 + 12
2n+1
.
et 1
2
vn + 3 = 1
2
x



6 + 12
2n
+ 3 = 3 + 1
2
x
12
2n
+ 3 donc 1
2
vn + 3 = 6 + 12
2n+1
.
Donc vn+1 = 1
2
vn + 3 pour tout n ∈ IN .
Comme on a d'autre part v0 = 18 = u0, les suites (un) et (vn) sont définies par le même premier terme et
la même relation de récurrence.
Donc la suite (vn) est identique à la suite (un).
On a alors
n→+∞
lim un =
n→+∞
lim vn =
n→+∞
lim 6 + 12
2n
Comme -1 < 1
2
< 1 on a
n→+∞
lim



1
2
n
= 0 c'est-à-dire
n→+∞
lim 1
2n
= 0 et donc
n→+∞
lim 12
2n
= 0 .
On en déduit que
n→+∞
lim 6 + 12
2n
= 6 c'est-à-dire
n→+∞
lim un = 6 .