Le document est un examen d'analyse complexe pour les étudiants de 2ème année à l'université Ziane Achour de Djelfa. Il comprend trois exercices portant sur les rayons de convergence de séries entières et les propriétés des fonctions holomorphes. Les points principaux incluent le calcul des rayons de convergence et des conditions pour que certaines fonctions soient holomorphes.

1. Université Ziane Achour de Djelfa
Faculté des Sciences et de la Technologie
Département : Mathématiques et Informatique
Examen de : Analyse Complexe
Durée : 1H et 30 min
2eme
année LMD Mathématiques
Année Universitaire : 2013-2014
Exercice 1 : ( 6 points)
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
X
n 1
1 +
1
n
n2
zn
;
X
n 0
(2n)!
(n!)2 zn
;
X
n 1
2
1
n + 3
1
n
2
!n2
zn
;
X
n 0
Z 1
0
(1 t2
)n
dt zn
Exercice 2 : (10 points)
a) On considère la série entière suivante
X
n 0
anzn
;
où les an sont dé…nis par :
a0 = 1; a1 = 3; et 8n 2; an = 3an 1 2an 2
1) Montrer que le rayon de convergence de cette série est supérieur ou égal à
1
4
:
2) Montrer que 8z 2 C, jzj < R
f (z) =
1
2z2 3z + 1
3) En déduire la valeur de R, ainsi que l’expression an de en fonction de n.
b) Soit U un ouvert connexe de C, g une fonction holomorphe sur U, F 2 C1
(R; R),
telle que
8z 2 U Re(g(z)) = F(Im(g(z))
Que peut-on dire de g ?
Exercice 3 : (4 points)
Soit g la fonction z 7! g (z) = zf (z). Prouver :
g = 2
@f
@x
+ 2i
@f
@y
+ (x + iy) f
Prouver que f est holomorphe sur U si et seulement si à la fois f et g = zf sont des fonctions
harmoniques sur U.