Ce recueil de contrôles d'analyse numérique avec correction couvre la période allant de 2011 à 2015. Il apporte aux étudiants des éléments leur permettant d'aborder efficacement les problèmes d'analyse numérique, niveau parcours MIP semestre 3.
L'attention a été faite sur les raisonnements à développer chez les étudiants en essayant de présenter, au début du document, les erreurs de logique dont souffrent un grand nombre de ces étudiants.
La complexité des questions et leur difficulté sont variables et de différentes forme, mais le principe général était que ces contrôles soient abordable à la majorité des étudiants.
Ce recueil constitue un complément au polycopié d'analyse numérique déjà disponible. Il sera enrichi au fur et à mesure par de nouveaux contrôles et éventuellement, par des exercices et problèmes complémentaires, si leur utilité est démontrée.
Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique)
Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante :
http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf
Ce recueil de contrôles d'analyse numérique avec correction couvre la période allant de 2011 à 2015. Il apporte aux étudiants des éléments leur permettant d'aborder efficacement les problèmes d'analyse numérique, niveau parcours MIP semestre 3.
L'attention a été faite sur les raisonnements à développer chez les étudiants en essayant de présenter, au début du document, les erreurs de logique dont souffrent un grand nombre de ces étudiants.
La complexité des questions et leur difficulté sont variables et de différentes forme, mais le principe général était que ces contrôles soient abordable à la majorité des étudiants.
Ce recueil constitue un complément au polycopié d'analyse numérique déjà disponible. Il sera enrichi au fur et à mesure par de nouveaux contrôles et éventuellement, par des exercices et problèmes complémentaires, si leur utilité est démontrée.
Slides de présentation de dédramathisons. (colloque mathématique)
Retrouvez l'intégralité du travail à l'adresse suivante :
http://uclouvain.be/cps/ucl/doc/fsa/documents/Travail_Complet.pdf
1. 1
1. Introduction
Représentation dans l’espace d’état
Limitation aux EDP de premier ordre.
L’avantage de cette représentation réside dans :
• Représentation temporelle et ne fait appel à aucune transformation
• Le même formalisme est utilisé en continu et en discret,
• Facilite le traitement des systèmes nonlinéaires
• Bien adaptée aux méthodes d’optimisation, de contrôle et de stabilisation.
2. Exemple: 1
L’équation de la maille :
L’équation différentielle devient :
)
(
)
(
)
(
)
( t
v
dt
t
di
L
t
Ri
t
u
)
(
)
(
)
(
)
( 2
2
t
v
dt
t
v
d
LC
dt
t
dv
RC
t
u
)
(
)
(
1 t
v
t
X )
(
)
(
1 t
v
t
X
)
(
)
( 1
2 t
X
t
X
)
(
)
(
2 t
v
t
X
)
1
)
(
1
)
(
)
( 1
2
2 ut
LC
t
X
LC
t
X
L
R
t
X
3. On définit dans 2
On définit les matrices A, B et C /
y t = v t = )
(
1 t
X = 1 0 X(t)
𝐴 =
0 1
−1
𝐿𝐶
−𝑅
𝐿
𝐵 =
0
1
𝐿𝐶
𝐶 = 1 0
)
)
(
)
(
2
1
t
X
t
X
t
X
)
)
(
)
(
2
1
t
X
t
X
t
X
Les vecteurs : et
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
1
t
u
LC
t
X
LC
t
X
L
R
t
X
t
X
t
X
)
(
1
0
1
1
0
)
)
(
)
(
2
1
t
u
LC
L
R
LC
t
X
t
X
t
X
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡
13. 13
4. Pluralité des représentations.
Soit la représentation
𝑋 𝑡 = 𝐴 𝑋 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑋 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
On cherche une autre représentation X t / X t = TX t avec T une matrice
inversible
𝑇 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 matrice carrée et 𝑑𝑒𝑡 𝑇 ≠ 0 pour 𝑋 ∈ 𝑅𝑛
, 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑚
𝑦(𝑡) ∈ 𝑅𝑝
et
X t = TX t 𝑋 𝑡 = TX t = 𝐴 𝑇X 𝑡 + 𝐵 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑇X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Si on pose alors
X t = 𝐴 X 𝑡 + 𝐵 𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶 X 𝑡 + 𝐷 𝑢(𝑡)
Les matrices de passage 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont données par :
𝐴 = 𝑇−1
𝐴𝑇, 𝐵 = 𝑇−1
𝐵, 𝐶 = 𝐶𝑇 et 𝐷 = 𝐷
14. 14
Cas général
A, B, C et D sont des matrices dépendantes du temps
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
Cette représentation possède d’autres représentations
x t = T(t)x t Det(T(t))≠ 0 ∀ 𝑡
x t = T t x t + T t x t = A t T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) T t x t + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
T t x t = A t T t − T t x t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t x t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
X t = T−1
t A t T t − T t X t + T−1
t 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
15. 15
X t = A t X t + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑡 X t + 𝐷 𝑡 𝑢 𝑡
Les formules de passage sont :
A t = T−1
t A t T t − T t 𝐵 𝑡 = T−1
t 𝐵(𝑡)
𝐶 𝑡 = 𝐶 𝑡 T t 𝐷 𝑡 = 𝐷 𝑡
3. Intégration des équations d’état
Soit l’équation d’état
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐶(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐷(𝑡) 𝑢(𝑡)
18. 18
En effet
∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1
𝑡, 𝑡0 = 1
d
dt
∅ t, t0 . ∅−1
𝑡, 𝑡0 = 0
∅∅−1
+ ∅ ∅−1 = 0
∅−1 = −∅−1
∅ ∅−1
= −∅−1
t, t0 a t ∅ 𝑡, 𝑡0 . ∅−1
t, t0
= −a t ∅−1
t, t0
Pour la solution particulière On utilise un calcul intermédiaire
d
dt
∅−1
t, t0 X t =
d
dt
∅−1
t, t0 X t + ∅−1
t, t0
dX t
dt
= −a t ∅−1
t, t0 X t + ∅−1
t, t0 X t
= ∅−1
t, t0 −a t X t + X t = ∅−1
t, t0 b(t) u t
19. 19
On intègre entre t0 et t
𝑑
𝑑𝑡
∅−1
τ, t0 X τ 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
= ∅−1
𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
∅−1
t, t0 X 𝑡 − ∅−1
t0, t0 X t0 = ∅−1
𝜏, t0 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
On multiplie par ∅ 𝑡, 𝑡0 de part de d’autre de l’égalité
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝑡0 ∅ 𝑡0, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 + ∅ 𝑡, 𝜏 b 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
20. 20
• Cas Vectoriel
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡 + 𝐵(𝑡) 𝑢(𝑡)
𝑋 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
, 𝑢 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
𝐴 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚
, 𝐵 𝑡 ∈ 𝑅𝑛×𝑚
La solution homogène
𝑋 𝑡 = 𝐴(𝑡) 𝑋 𝑡
L’équation sans second membre
𝑋 𝑡 = ∅ 𝑡, 𝑡0 𝑋 𝑡0 ∀ 𝑡 > 𝑡0
La matrice de transition ∅ 𝑡, 𝑡0 est inversible.
Après intégration ∅ 𝑡, 𝑡0 = 𝑒
𝐴 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
• Propriétés de ∅ 𝑡, 𝑡0
1. ∅ 𝑡0, 𝑡0 = matrice identité In
27. 27
𝑆𝐼 − 𝐴 −1
= det 𝑆𝐼 − 𝐴 −1
𝑐𝑜𝑚(𝑆𝐼 − 𝐴)
Chaque élément est une fraction de s décomposer en éléments
simples et utiliser la
.
𝑇𝐿−1
Exemple
𝑦 𝑡 = 𝐶 𝑥 𝑡 + 𝐷 𝑢 𝑡
= 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 x t0 + C 𝑒𝐴 𝑡,𝑡0 B 𝜏 u 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
𝑡0
+ 𝐷 𝑢 𝑡
Soit A =
−2 −2 0
0 0 1
0 −3 −4
Calculer 𝑒𝐴𝑡