Le document traite d'une suite définie par une relation de récurrence, illustrant comment calculer ses termes approximatifs. Il montre que la suite converge vers la limite 5, prouvant des propriétés d'encadrement pour des valeurs spécifiques de n. Les résultats sont confirmés par des propositions concernant les bornes de la suite pour n ≥ 8 et n ≥ 20.

1. http://xmaths.free.fr TS − Limites de suites − Corrections
Exercice 03
La suite un est définie par u0 = 10 et un+1 = 3
5
un + 2 .
1°)On peut obtenir les valeurs approchées des termes de la suite en utilisant une calculatrice ou un
ordinateur.
Par exemple avec une calculatrice TI82, on pourra faire
10 STO► A ENTER (on stocke la valeur initiale u0 dans la mémoire A)
A * 3/5 + 2 STO► A ENTER (on fait le calcul du terme suivant et on le stocke dans A)
Il suffit ensuite d'appuyer plusieurs fois
sur la touche ENTER pour obtenir les
valeurs approchées successives des
termes de la suite
Avec un tableur on peut entrer la valeur initiale 10 dans la cellule A1, la formule =A1*3/5+2 dans la
cellule B1 et on recopie cette formule vers la droite autant de fois que nécessaire.
On obtient les valeurs suivantes :
u1 = 8 u2 = 6,8 u3 = 6,08 u4 ≈ 5,65 u5 ≈ 5,39 u6 ≈ 5,23
u7 ≈ 5,14 u8 ≈ 5,08 u9 ≈ 5,05 u10 ≈ 5,03 u20 ≈ 5,0001 u50 ≈ 5
Les valeurs approchées obtenues permettent de penser que la suite (un) a pour valeur limite 5.
2°)Soit h un réel strictement positif .
Supposons que pour un entier n, on a 5 - h < un < 5 + h
alors 3
5
(5 - h) < 3
5
un < 3
5
(5 + h) donc 3
5
(5 - h) + 2 < 3
5
un + 2 < 3
5
(5 + h) + 2
c'est-à-dire 3 - 3
5
h + 2 < un+1 < 3 + 3
5
h + 2 donc 5 - 3
5
h < un+1 < 5 + 3
5
h
Sachant que h est un réel strictement positif, on a 3
5
h < h et - h < - 3
5
h
On obtient donc 5 - h < 5 - 3
5
h < un+1 < 5 + 3
5
h < 5 + h donc 5 - h < un+1 < 5 + h
Si 5 - h < un < 5 + h alors 5 - h < un+1 < 5 + h .
3°)Considérons la proposition Pn : 4,9 £ un £ 5,1
On a vu que u8 ≈ 5,08 , donc 4,9 £ u8 £ 5,1 , donc P8 est vraie. (initialisation)
D'après la question précédente, en prenant h = 0,1 on peut dire que
si 5 - 0,1 < un < 5 + 0,1 alors 5 - 0,1 < un+1 < 5 + 0,1
c'est-à-dire si 4,9 < un < 5,1 alors 4,9 < un+1 < 5,1
ou encore si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie. (hérédité)
On en déduit que Pn est vraie pour tout n ³ 8 .
Donc pour tout n ³ 8 on a 4,9 £ un £ 5,1 .
4°)Considérons la proposition Qn : 4,999 £ un £ 5,001
On a vu que u20 ≈ 5,0001 , donc 4,999 £ u20 £ 5,001 , c'est-à-dire que Q20 est vraie. (initialisation)
En prenant h = 0,001 on a 5 - h = 4,999 et 5 + h = 5,001
La question 2 permet alors d'affirmer que si Qn est vraie alors Qn+1 est vraie. (hérédité)
On en déduit que Qn est vraie pour tout n ³ 20 .
Donc pour tout n ³ 20 on a 4,999 £ un £ 5,001 .
NB : Le raisonnement a été initialisé à n = 20 en utilisant les résultats de la question 1, mais on aurait pu
faire une initialisation à n = 17 car u17 ≈ 5,0008 donc 4,999 < u17 < 5,001