1. http://xmaths.free.fr TS − Limites de suites − Démonstrations
Démonstration 01
Supposons qu'une suite (un) ait deux limites finies l et l' avec l ≠ l'.
La valeur asolue de l' - l correspond à la distance séparant l et l'.
posons r = |l' - l |
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et considérons les deux intervalles I = ]l - r ; l + r[ et I' = ]l' - r ; l' + r[
I est un intervalle ouvert contenant l, donc I contient tous les termes de la suite à partir d'un rang n0
I' est un intervalle ouvert contenant l', donc I' contient tous les termes de la suite à partir d'un rang n1
Soit N le maximum de n0 et n1 .
Alors pour tout n ³ N, un appartient à I et un appartient à I'.
Or ceci est impossible car I et I' sont deux intervalles disjoints.
(on aurait pu choisir pour r n'importe quel réel strictement positif et strictement inférieur à la moitié de la distance séparant l de l').
La suite (un) ne peut pas avoir deux limites distinctes l et l' donc la limite est unique.
l l'
l-r l+r l'-r l'+r
I'I