La mécanique classique selon Newton, Lagrange et Hamilton - Exemple du pendule simple oscillant

1. La mécanique classique selon
Newton, Lagrange et Hamilton
Exemple du pendule simple oscillant
par Richard Gabriel TERRAT
Ingénieur Arts et Métiers
Docteur en Informatique
Maître de conférences honoraire
Notations
l : longueur du pendule
m : masse du pendule
θ' = dθ/dt
θ'' = dθ'/dt
1. Selon le PFD*
de Sir Isaac Newton (1642 - 1727)
F = m γ
F = P sin θ = - mg sin θ = m γ = m l θ''
(g/l) sin θ + θ'' = 0 on pose g/l = ω2
ω2
sin θ + θ'' = 0 équation différentielle sans solution simple
pour θ petit, on pose : sin θ ≈ θ
ω2
θ + θ'' = 0
en prenant comme conditions initiales pour t = 0 : θ = θ0 et θ'0 = 0
cette équation admet comme solution :
θ = θ0 cos ωt θ = θ0 pour t = 0
θ' = - ω θ0 sin ωt θ' = 0 pour t = 0
θ'' = - ω2
θ0 cos ωt CQFD
* Principe Fondamental de la Dynamique
10/03/18 Pendule oscillant Richard G. Terrat
θ
l
T
P
F
θ
x
y
m

2. 2. Selon Joseph Louis comte de Lagrange (1736 -1813)
L = Ep – Ec Energie potentielle – Energie cinétique
d L / d θ = d/dt (d L / d θ') Equation de Lagrange
L = mgl (cos θ0 - cos θ) - 1/2 (ml2
θ'2
)
mgl sin θ = d/dt (- ml2
θ') = - ml2
θ'' on pose g/l = ω2
ω2
sin θ + θ'' = 0
équation identique à celle du PFD (ce qui n'a rien de surprenant)
3. Selon Sir William Rowan Hamilton (1805 -1865) et le plan de phase
H = Ep + Ec = Cte. Invariance de la somme Ep + Ec
en prenant comme conditions initiales pour t = 0 : θ = θ0 et θ'0 = 0
H = mgl (1 - cos θ) + 1/2 (ml2
θ'2
) = mgl (1 -cos θ0)
et en posant g/l = ω2
2 ω2
(cos θ0 - cos θ) + θ'2
= 0 équation différentielle sans solution simple
Mais, contrairement au PFD et aux équations de Lagrange qui conduisent à des équations
différentielles du second ordre, l'équation différentielle de Hamilton est du premier ordre.
Bien que n'ayant pas de solution simple, on peut néanmoins analyser le mouvement dans
le plan de phase constitué ici des coordonnées x = θ et y = θ'
Dans le cas du pendule oscillant on obtient alors ce graphe (qui n'est pas une ellipse)
Avec :
θ' = 0 ⇒ θ = ± θ0
θ = 0 ⇒ θ' = ± √2 ω √ (1 - cos θ0)
10/03/18 Pendule oscillant Richard G. Terrat
θ
θ'
θ0
-θ0
√2 ω √ (1 - cos θ0)
-√2 ω √ (1 - cos θ0)

3. pour θ petit, on pose : cos θ ≈ 1- θ2
/2
2 ω2
(cos θ0 - cos θ) + θ'2
= 0
θ'2
= ω2
(θ0
2
- θ2
)
θ'2
+ ω2
θ2
= ω2
θ0
2
θ'2
/ ω2
θ0
2
+ θ2
/ θ0
2
= 1
qui, cette fois, est bien l'équation d'une ellipse de demi axes θ0 et ωθ0
et on trouve
θ' = 0 ⇒ θ = ± θ0
θ = 0 ⇒ θ' = ± ω θ0
enfin, dans ce cas on peut résoudre l'équation différentielle
θ'2
= ω2
(θ0
2
- θ2
)
dont une solution est bien évidemment
θ = θ0 cos ωt car
θ' = -ω θ0 sin ωt
θ'2
= ω2
θ0
2
sin2
ωt = ω2
θ0
2
(1 - cos2
ωt) = ω2
(θ0
2
- θ2
) CQFD
4. En guise de conclusion
Les trois paradigmes (Newton, Lagrange, Hamilton) sont équivalents au PFD, avec
les différences suivantes :
• la méthode de Sir Isaac Newton nécessite le recours aux coordonnées
cartésiennes de René Descartes (1596 – 1650) ; elle n'est valide que dans le
cadre de la mécanique classique
• la méthode du comte Joseph Louis de Lagrange permet d'utiliser n'importe
quel système de coordonnées
• les méthodes de Newton et de Lagrange conduisent à des équations
différentielles du second ordre qui n'ont pas souvent de solutions simples
(c'est le cas du pendule)
• la méthode de Sir William Rowan Hamilton conduit à des équations
différentielles du premier ordre qui, elles non plus, n'ont pas toujours de
solutions simples ; mais dans ce cas on peut toujours rendre compte du
mouvement dans le plan de phase
• enfin, les méthodes de Lagrange et de Hamilton restent valides dans les
trois mécaniques : classique, relativiste et quantique
10/03/18 Pendule oscillant Richard G. Terrat