Appréhender la nature symbolique (donc informatique) des sons et la musique Savoir manipuler les sons et la musique par les outils informatiques Savoir développer des logiciels de manipulation de sons et de musique - ce n’est pas un enseignement de musique ni de musicologie - ce n’est pas un enseignement d’utilisation des logiciels de sons ou de musique

1. Informatique des
Sons & de la Musique

2. Sommaire
1. Introduction
2. Les sons
3. La musique

3. 1. Introduction
1.1 Motivations et objectifs
1.2 Problématique
1.3 Bibliographie

4. 1.1 Motivations et objectifs
– Appréhender la nature symbolique (donc
informatique) des sons et la musique
– Savoir manipuler les sons et la musique par les
outils informatiques
– Savoir développer des logiciels de manipulation
de sons et de musique
 ce n est pas un enseignement de musique ni de
musicologie
 ce n est pas un enseignement d utilisation des
logiciels de sons ou de musique

5. 1.2 Problématique
– Approche discursive informatique
– Manipulation de symboles
– 2 Parties
• Les Sons (La Machine)
• La Musique (La Programmation)
– Les Notes et le Solfège (Langage Machine)
– L Harmonie (Langage de haut niveau)
– La Composition (Génie)

6. 1.3 Bibliographie
Encyclopædia Universalis
Dictionnaire Encyclopédique (Univ. Oxford)
Le Son Musical (John Pierce)
Le Son sur Micro-ordinateur (Elmer)
Musique et Tempérament (P.Y. Asselin)
Traité d Harmonie (P. Wachs)
Bach, Escher, Gödel (D. Hopstadter)

7. 2. Les sons
2.1 Physique et perception
2.2 Formats de représentation
2.3 Synthèse et manipulation
2.4 Logiciels
2.5 Du son à la note

8. 2.1 Physique et perception
2.1.1 Physique
2.1.2 Perception

9. 2.1.1 Physique
• Le Son simple
– Source - Propagation - Réception
– Pression Acoustique en un point :
• p(t) : « presque » périodique
• Propagation : tout sauf le vide
• Récepteur : l Oreille - Résonateur de Helmoltz
– Analyse Harmonique (Fourier)

10. – Composants physiques d un son
• Puissance (ou hauteur)
• Fréquence fondamentale
• Timbre (ou couleur) : Harmoniques
• Le Bruit
– Puissance
– Spectre harmonique (couleur)

11. • Instruments naturels
– Cordes
• Frottées (violon)
• Pincées (clavecin, guitare,banjo)
• Frappées (Piano)
– Vent
• Orgues
• Cuivres
• Bois
– Percussions
• Instruments artificiels
– Electroniques
– Informatiques

12. • Vie d un Son (Enveloppe)
– Attaque (Attack)
– Décroissance (Decay)
– Tenue (Sustain)
– Chute (Release)
• Représentation d un son
– Variation du spectre harmonique dans le temps

13. • Les sons synthétiques étranges
– Son tournant (Risset)
– Echantillons (Samples) retaillés
• Droits d auteur !!!
• Site (exemple) : www.ircam.fr

14. • Sons fixes multiples
– Effet stéréo (2 capteurs)
• Sons mobiles
– Effets complexes
• Spatiaux (Multicanaux)
• Fréquence (Doppler)
– Enregistrement et restitution approchés

15. 2.1.2 Perception
Loi de Flecher
• s : stimulus puissance, fréquence, …
• p : perception
p = log (s)
s
p
dx dx
dy
dy

16. Propriété
dp = ds /s
 à une différence relative de stimulus correspond une
différence absolue de sensation
 adaptation à l environnement
Information
définition de Hartley I = log2 n

17. A =10•log10
P2
P1
Bel dB
Unités de puissance
• Le décibel dB
– Unité de rapport de puissance
– Définition
– Propriétés
P2/P1 A(Bel) A(dB) P2/P1 A(Bel) A(dB)
2 0,3 3 1 0 0
10 1 10 0,1 -1 -10
100 2 20 0,01 -2 -20
10n n 10n 10-n -n -10n
x10 +1 +10 10 -1 -10

18. • Le décibel acoustique dBa
– Unité de densité de puissance sonore
– Puissance de référence P0 = 10-12 W/m2
– Définition
– Exemples (dBa)
seuil de perception 0 - 5
chuchotement 10 - 20
amphi (vide) 30 - 40 ppp
grand magasin 50 - 60 p
coups de marteau (à 1m) 90 - 100 ff
seuil de douleur 120 - 130
A =10•log10
P
P0

19. • Autres unités psycho-physiologiques
– Sonie
– Phone
– Niveau de sensation sonore
 subjectives
 difficiles à définir formellement
 exemple : la sonie prend en compte la différence de
perception de la puissance en fonction de la fréquence

20. Unités de fréquence
• L octave unité physique
– Unité de rapport de fréquences
– Définition
• Le savart unité acoustique
– Définition
– 1 octave ≈ 301 savarts
log2
f2
f1
1000•log10
f2
f1

21. • Le cent unité musicale
– Définition
– 1 octave = 1200 cents
– 1/2 ton tempéré = 100 cents ≈ 25 savarts
1200•log2
f2
f1

22. Le diagramme de « l œil »
A
(dBa)
f (log Hz)20 20 000
seuil de perception
seuil de douleur
sons perçus
0
120

23. L effet de « masque »
A
(dBa)
f (log Hz)20 20 000
seuil de perception
seuil de douleur
sons perçus
0
120
sons masqués
nouveau seuil de perception
fm (fréquence masquante)

24. Consonances, assonances &
dissonances
• Deux sons de fréquences
– f0 fixée
– f variable
f0
f 
assonance assonance
consonance
(« vibrato »)
dissonance
bande critique

25. Section critique
0 1
1
0
largeur de bande critique
dissonance


26. 2.2 Formats de
représentation
2.2.1 Formats bruts
2.2.2 Formats compressés

27. 2.2.1 Formats bruts
• Enregistrement des sons fixes
– Analogique (Disques vinyles, Magnétos)
t
p
pression
acoustique
(linéaire)
max
min
dynamique

28. – Numérique « brut »
Exemples
• Raw (CD)
• WAV (Windows)
• AIFF (Apple)
t
p
pression
acoustique
max
min ∆t
profondeur
Échantillonnages
- temporel
- amplitude

29. Théorèmes de Shannon (1948)
• Définit f = 1/∆t la fréquence d échantillonnage
• W ≈ 20 kHz  f ≈ 40 kHz (normes : 44 kHz, 48 kHz)
• Définit la « profondeur » en bits (8 à 24)
D(bits / s) = W (Hz) log2(1 +
S
N
)
f ( Hz) = 2!W (Hz)

30. 2.2.2 Formats Compressés
(ATRAC, MP3, WMA,…)
A
(dBa)
f (log Hz)20 20 000
0
120

31. • Enregistrement de sons mobiles
– Multicanaux (Dolby AC3 5.1)

32. 2.3 Synthèse et
manipulation
• Analogiques : Pression acoustique
• Numériques
– Synthèse FM et Filtrage
– Synthèse par Échantionnage PCM (Samples)
– Tables d onde (comme les couleurs)
– Enveloppes ADSR
– Modèles physiques

33. 2.4 Logiciels
• Ecoute
• Enregistrement
• Compression - Décompressions (Codecs)
• Transcodeurs
• Editeurs
• Synthétiseurs

34. 2.5 Du son à la note
• Note
• Consonance
• Gammes
• Tempéraments

35. 2.5.1 Note
• Son défini par
– Fréquence (fondamentale)
– Durée (début et fin de « vie »)
– Attributs auxiliaires
• Puissance (ppp, pp, …,ff, fff)
• Attaque (vélocité)
• Modulation en puissance ([de-]crescendo, trémolo)
• Modulation et fréquence (vibrato)

36. 2.5.2 Consonance
• Deux (ou plusieurs) notes de fréquences
différentes sont consonantes ssi les sons de
leurs harmoniques sont consonants (de
fréquence proche, hors section critique)
 l oreille perçoit des fréquences communes
• Les notes les plus consonantes sont celles
dont le rapport de fréquence est une
puissance de 2
 Toutes les harmoniques de la note de fréquence
la plus élevée sont contenues dans les
harmoniques des autres notes

37. 2.5.3 Gammes
 l oreille distingue peu les différentes notes
qui apparaissent alors comme la même
note timbrée différemment
 on peut donc, pour simplifier, s intéresser
uniquement aux notes de fréquence
f0 ≤ f ≤ 2f0 ou, en normalisant 1 ≤ f ≤ 2
 ces notes forment alors une gamme
 l intervalle [1:2] est appelé octave

38. Construction des gammes
• on cherche à placer sur l échelle des
fréquences 1 ≤ f ≤ 2 des notes
consonantes entre elles
• les notes les plus consonantes avec les
notes 1 et 2 sont alors de fréquences :
4/3 et 3/2 (harmoniques 3 en commun)
1 4/3 3/2 2
a b c d

39. Tétracordes
• Propriétés
– b/a = d/c = 4/3 intervalle appelé quarte
– c/a = d/b = 3/2 intervalle appelé quinte
– c/b = 9/8 intervalle appelé ton
• Recherche d autres consonances
– on cherche à diviser les 2 intervalles [a:b] et [c:d]
en parties égales, consonantes et de distance c/b
– on sait alors que chaque segment [a:b] ou [c:d]
contiendra 4 notes
– ce problème, évidemment insoluble, est appelé
problème des tétracordes

40. Le modèle de Pythagore
• Enoncé de la consonance
– deux (ou plusieurs) notes sont consonantes ssi les
longueurs des cordes des instruments (à cordes)
les produisant sont dans un rapport numérique
simple
 cet énoncé équivaut à la définition précédente de
la consonance
• Solution du problème des tétracordes
– en itérant l intervalle 3/2 et en ramenant chaque
note obtenue à l intervalle 1-2 par équivalence

41. La gamme de Pythagore
• La construction conduit à la gamme suivante
(utilisée pendant plus de 20 siècles !)
• Propriétés
– Il n existe que 2 intervalles consécutifs distincts
• e/a = g/e = c/b = f/c = h/f = 9/8 appelé un ton
• b/g = d/h = 256/243 appelé un demi-ton
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
a e g b c f h d
t t tdt tt dt

42. • Notations actuelles
• Consonances
quintes : I/IV  V/I  II/V  VI/II  III/VI  VII/III
 3/2
quartes : IV/I  I/V  V/II  II/VI  VI/III  III/VII
 4/3
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
do ré mi fa sol la si do
C D E F G A B C
I II III IV V VI VII VIII
t t tdt tt dt

43. Modes
• Modes antiques
– diverses divisions du tétracorde basées sur la
gamme de Pythagore
• Modes ecclésiastiques
– obtenus par décalages de la gamme de Pythagore
• Modes en jazz moderne
– extension des modes antiques et ecclésiastiques
par intégration de nouvelles gammes (ex : notes
bleues - blue notes -)

44. Exemples de modes
(selon Glarean : Dodecachordon - 1547-)
t t tdt tt dt
t t tdt ttdt
t t t ttdt dt
t t ttdt dt t
t t tdt tt dt
Ionien
t ttdt dt t t
ttdt dt t t t
Phrygien
Dorien
Lydien
Mixolydien
Aeolien
Locrien
quarte
quinte

45. Représentations des gammes
• linéaire
• circulaire
• hélicoïdales (E. Chew)
• toriques (Longuet-Higgins)
T
T
t
T
T
T
t
C
D
E
FG
A
B

46. Gammes chromatiques
• Gamme de Pythagore : diatonique
– Intervalles irréguliers
– La note d origine détermine le mode
• Généralisation
– Intervalles réguliers
– Sous-ensembles diatoniques
– Extension de la construction par quintes
(rapport de fréquence 3/2)

47. Construction de Pythagore
• Extensions
– par quintes
3/2 : G 32/23 = 9/8 : D 33/24 = 27/16 : A 34/26 = 81/64 : E
35/27 = 243/128 : B 36/29 = 729/512 : F# 37/211 = 2187/2048 : C#
38/212 = 6561/4096 : G# 39/214 = 19683/16384 : D#
310/215 = 59049/32768 = A# 311/217 = 177147/131072 : E#
312/219 = 531441/524288 : B#
• Propriété
Sur la suite des quintes : 312 /219 = (3/2)12 /27 ≈ 1,014
 à 1,4% près : 12 quintes = 7 octaves
 B# ≈ C

48. • Extensions
– par quartes
22/3 = 4/3 : F 24/32 = 16/9 : Bb 25/33 = 32/27 : Eb
27/34 = 128/81 : Ab 28/35 = 256/243 : Db 210/36= 1024/729 : Gb
212/37 = 4096/2187: Cb 213/38 = 8192/6561: Fb
215/39 = 32768/19683: Bbb 216/310 = 65536/59049 = Ebb
218/311 = 262144/177147: Abb 220/312 = 1048576/531441 : Dbb
• Propriété
Sur la suite des quartes : 219 /312 = (4/3)12 / 25 ≈ 0,986
 à 1,4% près : 12 quartes = 5 octaves
 Dbb ≈ C

49. • Autres propriétés
B#/C = (312/219)/1 = 312/219 = 1,014
E#/F = (311/217)/(22/3) = - -
A#/Bb = (310/215)/(24/32) = - -
D#/Eb = (39/214)/(25/33) = - -
G#/Ab = (38/212)/(27/34) = - -
C#/Db = (37/211)/(28/35) = - -
F#/Gb = (36/29)/(210/36) = - -
B/Cb = (35/27)/(212/37) = - -
E/Fb = (34/26)/(213/38) = - -
A/Bbb = (33/24)/(215/39) = - -
D/Ebb = (32/23)/(216/310) = - -
G/Abb = (3/2)/(218/311) = - -
C/Dbb = 2/(220/312) = - -

50. Le cercle chromatique
T
T
t
T
T
T
t
C
D
E
FG
A
B
D#
F#
G#
A#
C#Db
Gb
Ab
Bb
Eb

51. La quinte du loup
T
T
t
T
T
T
t
C
D
E
FG
A
B
D#
F#
G#
A#
C#Db
Gb
Ab
Bb
Eb
On choisit les
quintes les plus
proches des
notes
diatoniques
F#, C#, G#
Bb, Eb, Ab
On confond les
notes appelées
enharmoniques
Gb = F#
Db = C#
A# = Bb
D# = Eb
On choisit une quinte juste entre G# et Ab
La dernière quinte (fausse) est appelée quinte du loup
en général Ab en modes majeurs et G# en modes mineurs

52. La gamme chromatique de
Pythagore
• 11 quintes justes y/x = 3/2
Bb/Eb  F/Bb  C/F  G/C  D/G 
A/D  E/A  B/E  F#/B  C#/F# 
Eb/Ab ou (exclusif) G#/C#
• 1 seule quinte fausse G#/C# ou Eb/Ab
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
do ré mi fa sol la si do
C D E F G A B C
I II III IV V VI VII VIII
t t tdt tt dt

53. La gamme de Zarlin(o) 1558
• appelée aussi
– gamme naturelle
– gamme des physiciens
 réplique de la gamme de Claude Ptolémée (≈ 170)
 issue de la division du canon (Euclide)
• fondée sur les contradictions de la gamme
de Pythagore
– seules les quintes et quartes sont consonantes
– aucun autre rapport n est consonant (ex : E/C =
81/64 )

54. construction
• principe
– deux notes sont consonantes si leur rapport de
fréquence est une fraction simple
– on recherche les fractions p/q les plus simples
telles que 1 < p/q < 2 principe de la gamme
– on trouve dans l ordre
• 3/2 quinte identique à celle de Pythagore
• 4/3 quarte
• 5/4 tierce proche de 81/64 E
• 5/3 sixte proche de 27/16 A

55. 1 5/4 4/3 3/2 5/3 2
do mi fa sol la do
? ?

56. • Les Intervalles Fins
– Les Commas
• Phythagoricien 312 /219 1,014
• Synthonique 81/80 1,0125
• Enharmonique 128/125 1,024
• Schisma Pythagoricien/Synthonique

57. • Le Tempérament de Pythagore
– Cycle des Quintes
– Accords justes pour 11 quintes (Solb au Si)
– Une quinte fausse : Le Loup (Si-Fa#)
– Utilisé jusqu en 1500 !

58. • Les tempéraments fractionnaires
– Mésotoniques (Tierces pures)
– Tierces tempérées (Zarlino, Sauveur)
– Tempéraments Allemands
• Schlick (1511)
• Kirnberger (II: 1711 - III: 1779) tierce et quinte
• Werckmeister (1691) synthonique
• Bach
– Tempéraments français
• Chaumont (1696)
• Corette (1753)
• Rameau (1726)
• D Alembert-Rousseau (1760)

59. • Tempérament égal
– Travaux empiriques (Werkmeister, Bach)
– Formalisation par Euler
– ( p / q ) 12 = 2
• Généralisations (octave pure)
– (p / q ) n = 2

60. – Fokker n = 31
– Janko n = 41
– Mercator n = 53
– çruti indien n = 22
• Généralisation supérieure
– ( p / q ) n = m

61. – Stockhausen n = 28 m = 5
– Gamme de 28 Notes avec tierce juste et octave tempérée
• Actuellement
– Musique occidentale n = 12 m = 2
– Musiques orientales tempéraments inégaux

62. • Gammes pentatoniques
– 5 notes tempérées
• Slendro ( p / q ) 5 = 2
• Pelog tempérament inégal de 7 notes
• Equihéptatonique ( p / q ) 7 = 2
• Gammes modales
– Dorien, Lydien, Phrygien, . . .

63. • Notations musicales
– Tablatures
– Neumes
– Portées et Clefs (Sol, Fa, Ut)
– Notation Anglaise : A B C D E F G
– Notation Allemande : A B(Sib) C D E F G H
– Notation Française : Do (Ut) Ré . . . Si

64. • Notations de durée :
– Noire, Blanche, Ronde
– Croches (1, 2, 4)
– Notation pointée (Cesqui durée)
– Notations ternaires
– Pauses et Soupirs
– Altérations à la clef
– Tempo (x / y)