Mathématiques pour l'informatique

Prolégomènes de
Mathématiques pour
l’Informatique
Richard G. TERRAT
© Richard G. Terrat
Septembre 2008

Avertissement
« le meilleur de ce que tu sais, tu ne saurais, pourtant, le dire aux écoliers »
Johann Wolfgang von Goethe
Allocution prononcée à la maison de Goethe à Francfort en 1930 par
Sigmund Freud
Ce document n’est pas un cours, ni un support de cours
Il ne peut être utile qu’en accompagnement du cours donné en « présentiel »
Il a pour but d’éviter que l’auditeur ne disperse son énergie entre la nécessaire
attention au discours et la recopie des transparents
Johann Wolfgang
von Goethe
(1749-1832)
Sigmund Freud
(1856-1939)
Master Informatique Mathématiques pour l'Informatique 2
Septembre 2008

Sommaire
I. Épistémologie
II. Théorie des ensembles
III. Relations, fonctions, infinis, structures
IV. Espaces vectoriels, algèbre linéaire
V. Calcul matriciel, polynômes
VI. Probabilités discrètes
Septembre 2008

I
Épistémologie
Septembre 2008

Épistémologie
1. Définitions
2. Origines des mathématiques
3. Géométrie et Arithmétique
4. Équations
5. Algèbre
6. Nouveaux objets
7. Questions épistémologiques
8. Limites
9. Refondation des mathématiques
Septembre 2008

1. Définitions
• Prolégomènes
– Notions et principes préliminaires à l’étude d’une science
• Mathématiques
– Ensemble des opérations logiques que l’homme applique
aux concepts de nombre, de forme et d’ensemble
• Informatique
– Science du traitement rationnel et automatique de
l'information
 www.academie-francaise.fr/dictionnaire
Septembre 2008

Septembre 2008

2. Les origines des
mathématiques
• Historique
– Premier texte mathématique connu : Payprus Rhind
– Découvert au XIXe siècle dans la tombe de Ramsès II
(Thèbes)
– Auteur Ahmès
– 5m de long 14 feuilles
– Daté du XVIe siècle av. J. C.
– Reprend un papyrus plus ancien du XXe siècle av. J. C.
Septembre 2008

Papyrus Rhind
• Problèmes concrets
• Calculs arithmétiques
– Les 4 opérations
– Table de multiplication
– Opérations sur les fractions (7 à 23)
• Équations du 1er degré (24 à 27)
– Résolution par la méthode des « fausses suppositions »
• Calcul des aires
– Carré, rectangle, triangle, trapèze
• Calcul des volumes
– Parallélépipèdes, Pyramides
• Valeur de ∏ problèmes 48 à 50
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3. Géométrie et
Arithmétique
• Géométrie
– Mesure de la terre
• Arithmétique
– Arithmos (gr: nombre)
Thalès de Milet
(-625 -547)
Pythagore
(-580 -490)
Septembre 2008

Septembre 2008

4. Équations
??• Diophante (École d’Alexandrie)
– Fondateur des équations
– Variables et « inconnues »
– Équation de l’âge de Diophante
– Auteur de VI livres d’arithmétique
– À l’origine du Xème problème de Hilbert (1900)
• Résolu (négativement) en 1971par MATIIASSEVITCH
Diophante
(210 - 294)
Septembre 2008

Septembre 2008

5. Algèbre
• Abu jafar muhammad ibn musa
al-khawrizmi
– Origine du mot algorithme
• Hisab al-jabr w’al-muquabala
– Calcul par restauration et réduction
– Origine du mot algèbre
780 - 850
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Septembre 2008

6. Nouveaux objets
• Géométrie analytique
– René Descartes
• Unification algèbre - géométrie
• Coordonnées cartésiennes, distance
• Équations des droites, cercles, courbes, ..
• Étude des fonctions (parabole, cycloïde, …)
René Descartes
(1596 - 1650)
Septembre 2008

• Calcul des probabilités
– Pierre Simon de Fermat
• Né à Beaumont-de-Lomagne (Gers)
• Mort à Castres
• Conseiller au parlement de Toulouse
• Mathématicien amateur
• Lit et annote l’Arithmetica de Diophante
• Importante correspondance avec ses contemporains
Descartes et Pascal
• Fonde le calcul de probabilités
• Fonde la théorie des nombres
Pierre Simon de Fermat
(1601 - 1665)
Septembre 2008

• Graphes
– Leonhard Euler (Suisse)
• Fonde la théorie des graphes
– Les ponts de Königsberg
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Septembre 2008

• Logique
– Boole
• 1ère formalisation de la logique
• The laws of thought 1854
• Observe que a ou b a et b
Se « calculent » comme a + b a x b
George Boole
(1815 - 1864)
Septembre 2008

7. Questions
épistémologiques
• Science exacte ?
– Les errata (erreurs d’inattention)
• Ex : Bourbaki : 13 fascicules !
– Les erreurs de calcul
• Ex : Décimales de π (527e sur 707 : Shanks)
– Les erreurs de raisonnement
• Très nombreuses
– Les « oublis »
– Erreurs réparables ou irréparables
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• Erreurs célèbres
– Leonhard Euler
• Éléments d’algèbre (1768)
• √a x √b = √ab a,b ∈ CC
 Faux : -1 = √-1 x√-1 = √(-1)x(-1) = √1 = 1
– Augustin Louis Cauchy
• Cours d’Analyse algébrique (1821)
– La somme d’une série de fonctions continue est continue
» Faux : contre-exemple de Niels Abel (1826)
» Mauvaise foi de Cauchy : ignore le contre-exemple
Septembre 2008

• La plus célèbre erreur
– Le 1er Mars 1847, Gabriel Lamé & Augustin Louis Cauchy
déposent à l’Académie des Sciences la démonstration du
théorème de Fermat
• xn + yn = zn x,y,z,n ∈ N ⇒ n < 3
– Un mois plus tard …
• Ernst Kummer montre qu’ils ont commis la même erreur :
fausse unicité de la décomposition d’un nombre entier en
facteurs premiers complexes
Septembre 2008

• Science expérimentale ?
– Pythagore affirme que toutes les grandeurs
sont entières ou fractionnaires
– Il découvre que √2 n’est ni entier ni
fractionnaire
– Il appelle cette grandeur :
« IRRATIONNELLE » !
Septembre 2008

• Inventions ou Découvertes ?
– Gérôme Cardan
• Ars Magna (1545) chapitre 37
– Équation x (10 - x) = 40
– Affirme les solutions 5 ± √-15
– La somme = 10 le produit = 40
– « Manifestum est, quod caseus seu quaestio est impossibilis, sic
tamen operabimus »
– Cardan appelle ces nombres « quantitas sophistica »
– Qui deviendront les nombres « IMAGINAIRES »
Gérôme Cardan
(1501 - 1576)
Septembre 2008

• Que sont les nombres ?
– Entiers, Relatifs, Fractionnaires
– Irrationnels, Imaginaires
– Algébriques : solutions d’équations
– Autres nombres ?
• Joseph Liouville : nombres TRANSCENDANTS !!
– Preuve pour e : Charles Hermite (1873)
– Preuve pour π : Carl Louis Ferdinand Lindemann (1882)
Joseph Liouville
(1809 - 1882)
Septembre 2008

8. Limites des
Mathématiques
• Les 3 problèmes de l’Antiquité
• Duplication du cube
• Trissection de l’angle
• Quadrature du cercle
– Des siècles de recherche
– Résultat
• Wantzel (1837) montre l’impossibilité des 2 premiers
• Lindemann (1882) montre l’impossibilité du 3iéme
Septembre 2008

• Résultats « négatifs »
– Niels Abel
• Démontre l’impossibilité de résoudre l’équation de
cinquième degré par radicaux
• Mort dans la misère et la maladie
– Evariste Galois
• Démontre l’impossibilité de résoudre toute équation de
degré ≥ 5 par radicaux
• Mort en duel à 20 ans
• Rédige toutes ses découvertes la nuit précédent sa mort
Niels Henrik Abel
(1802 - 1829)
Evariste Galois
(1811 - 1832)
Septembre 2008

• Limites de la logique
– Kurt Gödel (autrichien)
• Il existe des vérités INDÉMONTRABLES
• « toute théorie dont le modèle comporte un ensemble infini ne
peut être à la fois consistante ET complète »
• Idée : construire un système formel acceptant la fbf :
• A : A n’est pas un théorème
– Si A est vrai A n’est pas démontrable
– Si A est faux, A est un théorème
Kurt Gödel
(1906 - 1978)
Septembre 2008

• La calculabilité
– Il existe des fonctions NON CALCULABLES
– Alonzo Church
• Etablit en la première construction mathématique des
fonctions calculables en 1936
• Enonce la thèse de la calculabilité
« l’ensemble des fonctions calculables est identique quelque
soit le modèle de calcul »
– Alan Turing
• Première construction abstraite d’une machine à calculer
universelle en 1936
Alonzo Church
(1903 - 1995)
Alan Turing
(1912 - 1954)
Septembre 2008

9. Refondation des
Mathématiques
• Logicisme
Dedekind, Cantor, Peano, Frege, Russel, Boole
– Principe du tiers exclus
– Définitions cohérentes
– Démonstrations par existence
• Formalisme
Hilbert, Bourbaki
– Fondement purement axiomatique
– Russel et Gödel l’infirment
• Constructivisme ou intuitionnisme
Kronecker, Poincaré, Borel, Brouwer
– Définitions et démonstrations par algorithmes
– Refus de l’axiome de choix et du tiers exclus
Septembre 2008

II
Théorie des
Ensembles
Septembre 2008

Sommaire
1. Auteurs et questions
2. Définitions
3. Opérations
4. Constructions
Septembre 2008

1. Auteurs & Questions
• Greg Cantor : fondateur
• Frege, Peano, Zermelo, Russel,
Fraenkel, …
• Refondation des Mathématiques sur
les concepts de structure, logique,
objets abstraits
• Nombreux paradoxes
• Exemple X = {x |x∉x} Russel
• Questions fondamentales
• Cohérence, Complétude
• Décidabilité
Gottlob Frege
(1848 - 1925)
Giuseppe Peano
(1858 - 1932)
Ernst Zermelo
(1871 - 1953)
Adolf Abraham Fraenkel
(1891 - 1965)
Greg Cantor
(1845 - 1918)
Sir Bertrand Russel
(1872 - 1970)
…
Septembre 2008

Septembre 2008

2. Définitions
• Définition d’un élément
– N’importe quoi d’identifiable :
• Un nombre
• Un objet concret (caillou, femme)
• Un objet abstrait (cercle, équation)
– Deux éléments différents doivent pouvoir
être distingués
– Un élément doit pouvoir être identifié de
façon unique et sans ambiguïté
Septembre 2008

Définition d’un ensemble
• En extension
– Énumération des éléments
– Exemples
• A = { 12, 42, 27 }
• B = {arthur, max, zoë }
• En compréhension
– Propriété des éléments
• X = {x | P(x) }
– Exemples
• X = habitants de Montpellier
• Y = {n | n est pair}  ensemble infini
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Appartenance
• Définition
– a ∈ E a est un élément de E
– b ∉ E b n’est pas un élément de E
• Principe
– Pour tout élément x et tout ensemble E
• x ∈ E ou x ∉ E obligatoirement
• x ∈ E et x ∉ E impossible
– Un élément appartient ou non à un ensemble
– Un élément ne peut pas à la fois appartenir et ne pas
appartenir à un ensemble  tiers exclus
Septembre 2008

Ensemble d’ensembles
• Un ensemble peut être élément d’un
ensemble
• Exemples
– E = {a, b, c} F = {d, e, f, g }
– G = {E, F} = { {a,b,c} , {d,e,f,g} }
– Propriétés
• a∈E g∈F E∈G b∉F d∉E a∉G e∉G
Septembre 2008

Diagramme de Venn
a b
c
E
E = {a,b,c}
E
d
e
f
g
F
F = {d,e,f,g}
F G = {E,F}
G
 Représentation ambigüe !
E et F ne sont pas des sous-ensembles de G
Septembre 2008

Paradoxe de Russel
• X = { E | E ∉ E }
– X est l’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas
eux mêmes comme élements
– Question : X ∈ X ou bien X ∉ X ?
– Raisonnement :
• X ∈ X ⇒ X ∉ X
• X ∉ X ⇒ X ∈ X
 Infraction au principe !
– Il faut donc raffiner la définition d’un ensemble
Septembre 2008

Sous Ensemble
• A ⊆ B
– A est un sous ensemble de B ⇔
x ∈ A ⇒ x ∈ B
• A ⊂ B
– A est un sous ensemble strict de B ⇔
A ⊆ B et A ≠ B
AB
Septembre 2008

Ensemble vide
• Ø
• L’ensemble vide ne contient aucun
élément
• Ø est sous ensemble de tout
ensemble
Ø
Septembre 2008

3. Opérations
• Union
• Intersection
• Différence
• Complément
Septembre 2008

Union
• C = A ∪ B
– C = {x | x ∈ A ou x ∈ B }
 ATTENTION ! A ∉ C B ∉ C !!
– C n’est pas l’ensemble des éléments A et B
– C est composé des éléments appartenant à A ou B
A B
C
Septembre 2008

Intersection
• C = A ∩ B
– C = { x | x ∈ A et x ∈ B }
– C est composé des éléments appartenant à A et B
– Si A et B sont disjoints A ∩ B = Ø
A
BC
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Généralisations
• Union
– E = E1 ∪ E2 ∪ …En
• E = { x | x ∈ E1 ou x ∈ E2 … ou x ∈ En }
• Intersection
– E = E1 ∩ E2 ∩ …En
• E = { x | x ∈ E1 et x ∈ E2 … et x ∈ En }
Septembre 2008

Différence
• C = A B
– C = { x | x ∈ A et x ∉ B }
– C est composé des éléments appartenant à A et n’appartenant pas à B
A B
C
Septembre 2008

Différence symétrique
• C = A Δ B
– C = { x | (x ∈ A et x ∉ B) ou (x ∈ B et x ∉ A) }
– C est composé des éléments de A qui ne sont pas
dans B ou de B qui ne sont pas dans A
– A Δ B = (A B ) ∪ (B A) = (A ∪ B ) (A ∩ B)
A B
C
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Complément
• si B ⊆ A C = ⌠AB
– C = { x | x ∈ A et x ∉ B }
– C est composé des éléments de A qui ne
sont pas dans B
A B C
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Lois de De Morgan
• ⌠E ( A ∪ B) = ⌠E A ∩ ⌠E B
• ⌠E ( A ∩ B) = ⌠E A ∪ ⌠E B
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4. Constructions
• Partition
• Produit cartésien
• Partie
• Cardinal
• Fonction caractéristique
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Partition
• E1, E2, … En forment une partition de E ⇔
• Pour tout i Ei ≠ Ø
• Pour tout i,j | i≠j Ei ∩ Ej = Ø
• E1 ∪ E2 … ∪ En = E
E1
E2
E3
E4
E5
E
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Produit cartésien
• C = A x B
– C = { (a,b) | a ∈ A, b ∈ B }
x
y
u v w
xu xv xw
yu yv yw
A
B
C
C est composé
de tous les couples
ordonnés des éléments
de A et de B
 A x B ≠ B x A
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Généralisation
• E = E1 x E2 x … En
– E = { (e1, e2, … en) | e1 ∈ E1, e2 ∈ E2, …
en ∈ En }
– E est composé de tous les « n-uples »
ordonnés des éléments de E1, E2, … En
 Ne pas confondre le n-uple (e1, e2, … en)
avec l’ensemble { e1, e2, … en }
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Parties d’un ensemble
• ℘(E) est constitué de tous les sous-
ensembles de E
– ℘ (E) = { A | A ⊆ E }
• Exemple
– E = { a, b, c }
– ℘(E) = { Ø , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},
{a,b,c} }
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Cardinal
• Nn est l’ensemble des n premiers entiers
• |E| = n est le cardinal de E ssi il existe une
bijection E → Nn
• On montre que n est unique pour E
 n est le nombre d’éléments de E
• Exemple
– E = { a, b, c } N3 = {1, 2, 3} |E| = 3
– |℘(E)| = 8
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Fonction caractéristique
1 si x ∈ A
fA (x) =
0 si x ∉ A
– |℘ (E) | = 2 |E|
Septembre 2008

III
Relations
Fonctions
Ensembles infinis
Structures
Septembre 2008

Sommaire
1. Relations
2. Fonctions
3. Infinis
4. Structures
Septembre 2008

1. Relations
• Définition
– Relation binaire
• R ⊆ A x B
• Sous ensemble du produit cartésien A x B
– Relation n-aire
• R ⊆ E1 x E2 x … En
• Sous ensemble de produit cartésien
– Arité n
Septembre 2008

Diagramme sagittal
a
b
c
e
d
E F
R = { (a,d) , (a,e) , (c,e) } ⊆ E x F
Septembre 2008

Diagramme cartésien
E
F
a b c
d
e

 
R = { (a,d) , (a,e) , (c,e) } ⊆ E x F
Septembre 2008

Graphe
• Cas où R ⊆ E x E noté E2
– Exemple
• E = { a, b, c, d, e }
• R = { (a,d) , (a,e) , (c,e) } ⊆ E2
a b c
d e
Septembre 2008

n-uples
E F G
a d u
a e v
c e w
R = { (a,d,u) , (a,e,v) , (c,e,w) } ⊆ E x F x G
 seule représentation possible pour des relations
d’arité > 2
Septembre 2008

Domaine et Image
• R ⊆ E x F
• Domaine de R D (R) = { x ∈ E | ∃ y ∈ F , (x,y) ∈ R}
• Image de R I (R) = { y ∈ F | ∃ x ∈ E , (x,y) ∈ R}
E F
D I
. .
E : ensemble
de départ
F : ensemble
d’arrivée
Septembre 2008

Images et antécédents
• R ⊆ E x F X ⊆ E Y ⊆ F
• Ensemble des images par R des éléments de X R(X) = { y ∈ F | ∃ x ∈ X , (x,y) ∈ R}
• Ensemble des antécédents par R des éléments de Y R-1(Y) = { x ∈ E | ∃ y ∈ Y, (x,y) ∈ R}
E F
X Y
. .
y ∈F est une image
de x ∈E ssi (x,y) ∈ R
x ∈E est un antécédent
de y ∈F ssi (x,y) ∈ R
Septembre 2008

Propriétés
• Relations binaires R ⊆ E2
– Notation : (a,b) ∈ Ra R b ou R (a, b)
– Réflexivité ∀ a ∈ E a R a
– Irréflexivité ∀ a ∈ E ¬(a R a)
– Symétrie ∀ a, b ∈ E a R b ⇒ b R a
– Antisymétrie ∀ a, b ∈ E a R b et b R a ⇒ a = b
– Transitivité ∀ a, b, c ∈ E a R b et b R c ⇒ a R c
Septembre 2008

Relations types
• Pré-ordre
– Transitivité
• Équivalence souvent notée ≡
– Pré-ordre + Réflexivité + Symétrie
• Ordre souvent notée ≤ ou ≥
– Pré-ordre + Réflexivité + Antisymétrie
• Ordre strict souvent notée < ou >
– Pré-ordre + Irréflexivité + Antisymétrie
Septembre 2008

2. Fonctions
• Définition
– R ⊆ E x F (arité 2) est une fonction (arité 1) ssi
(a,b) ∈ R et (a,c) ∈ R ⇒ b = c
• Il ne peut y avoir 2 relations ayant même élément de
départ et des éléments différents d’arrivée
• Notation f : E → F b = f (a)
– f est la fonction
– a est la variable
– b est la valeur de la fonction pour a
Septembre 2008

Fonctions de plusieurs
variables
• Définition
– R ⊆ E1 x E2 x … En (arité n) est une fonction (arité n-1) ssi
(x1, x2, …xn ) ∈ R et (x1, x2, …x’n ) ∈ R ⇒ x n= x’n
• Il ne peut y avoir 2 relations ayant mêmes éléments de départ
et des éléments différents d’arrivée
• Notation
– f : E1 x E2 x … En-1 → En
– xn = f (x1, x2, …xn-1 )
• f est la fonction
• x1, x2, …xn-1 sont les variables
• xn est la valeur de la fonction pour (x1, x2, …xn-1)
Septembre 2008

Diagramme sagittal
• f : E → F (E peut être de la forme E1 x E2 x … En-1 )
• Domaine de f : D (f) = { x ∈ E | ∃ y ∈ F , y = f(x) }
• Image de f : I (f) = { y ∈ F | ∃ x ∈ E , y = f(x) }
E F
D I
. .
E : ensemble
de départ
F : ensemble
d’arrivée
Septembre 2008

Propriétés
• Application
– D (f) = E
• Injection
– f : E → F injective ssi D (f) = E et
∀ y ∈ F ∃ au plus un x ∈ E tel que y = f(x)
• Surjection
– f : E → F surjective ssi D (f) = E et
∀ y ∈ F ∃ au moins un x ∈ E tel que y = f(x)
• Bijection
– f : E → F bijective ssi f injective et surjective
Septembre 2008

Fonction inverse
• si f : E → F
– arité 1 et bijective
– on peut définir
f-1 : F → E
Septembre 2008

Composition de fonctions
• f : E → F
• g : F → G
• On peut définir h : E → G
x ∈ E y ∈ F z ∈ G
z = g (y) et y = f(x) ⇒ z = h(x)
• Notations
– h = g o f  certains auteurs notent h = f o g
– h (x) = g ( f (x) )
Septembre 2008

3. Infinis
• Définition
– Soit A ⊂ E inclusion stricte
– E est infini ssi ∃ A, f : E → A bijective
 un ensemble E est infini si et seulement si il
est possible de définir une bijection entre E et
un sous-ensemble strict de E
Septembre 2008

Nombres entiers
• Définition de Von Neumann
– 0 est défini par Ø
– 1 est défini par {Ø}
– 2 est défini par {Ø, {Ø}}
– …
– n + 1 est défini par n ∪ {n}
• Propriétés
– n est le cardinal de l’ensemble qui le définit
– m < n ⇔ l’ ensemble qui définit m ∈ l’ensemble qui définit n
John von Neumann
(1903 - 1957)
Septembre 2008

Ensemble des nombres entiers
• N est infini :
N = { 0, 1, 2, … }
N+ = { 1, 2, 3, … } ⊂ N
f : N → N+ définie par f (x) = x + 1
F bijective ⇒ N infini
• Paradoxes de Hilbert l’hôtel
– ∞ + n = ∞
– ∞ x n = ∞
David Hilbert
(1862 - 1943)
Septembre 2008

Ensembles énumérables
ou dénombrables
• E énumérable (ou dénombrable) ssi
– ∃ f : E → N bijective
• Exemples
– Nn
– Z = { n | n ∈ N ou -n ∈ N }
– Q = { p ÷ q | p, q ∈ N }
– { n | n ∈ N, n pair }
– { p | p ∈ N, p premier }
– …
Septembre 2008

Ensembles non dénombrables
• Exemples
– ℘(N)
– { f | f : N → {0,1} }
– { f | f : N → N }
– { x ∈ ℜ | 0 ≤ x < 1 }
– ℜ
– …
Septembre 2008

Puissance d’un ensemble
• Extension du concept de cardinal
• Définition des nombres transfinis
– ℵ0 = | N |
– ℵ1 = 2 ℵ0 = |℘(N) | = | ℜ | = …
– ℵ2 = 2 ℵ1 = |℘(ℜ) |
– …
• Propriétés
– ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < …
Septembre 2008

Hypothèse du continu
• Il n’existe aucun nombre transfini
ℵ tel que
ℵ0 < ℵ < ℵ1
 1er problème de Hilbert
• Non démontrable !
Septembre 2008

Septembre 2008

4. Structures
• Loi de composition interne à un
ensemble E
– Application * : E2 → E
• Propriétés
– Commutativité
• ∀ x, y ∈ E x * y = y * x
– Associativité
• ∀ x, y, z ∈ E (x * y ) * z = x * (y * z)
Septembre 2008

Éléments neutres et inverses
– Élément neutre
• e neutre de * dans E
• ∀ x ∈ E x * e = e * x = x
– Élément neutre à droite (à gauche)
• à droite ∀ x ∈ E x * e = x
• à gauche ∀ x ∈ E e * x = x
– Symétrique ou Inverse
• si e neutre de * dans E
• x’ symétrique de x dans E
– x * x’ = x’ * x = e
– Symétrique ou Inverse à droite (à gauche)
Septembre 2008

Distributivité
– Distributivité
• si * : E2 → E et ° : E2 → E
• ° distributive par rapport à * dans E
• ∀ x, y, z ∈ E
– x ° (y * z) = (x ° y) * (x ° z) (1)
– (x * y) ° z = (x ° z) * (y ° z) (2)
– Distributivité à droite (à gauche)
Septembre 2008

Complémentaire
– Complémentaire
• si e neutre de * dans E
• si e’ neutre de ° dans E
• x’ complémentaire de x pour * et ° dans E
– x * x’ = x’ * x = e’
– x ° x’ = x’ ° x = e
 observer le « croisement » * et ° avec e’ et e
Septembre 2008

Notations
• Structure ou Algèbre
S = < E1, E2, … Em ; f1, f2, … fn ; R1, R2, …
Rp ; e1, e2, … eq>
• Ei Ensembles
• fi Fonctions, Applications ou Lois internes
• Ri Relations
• ei Eléments distingués
Septembre 2008

IV
Espaces vectoriels
Algèbre linéaire
Septembre 2008

Sommaire
1. Structures
2. Formes linéaires
3. Bases et dimension d’un espace
vectoriel
Septembre 2008

1. Structures
1.1 Notations
1.2 Monoïde
1.3 Groupe
1.4 Anneau
1.5 Corps
1.6 Espace Vectoriel
Septembre 2008

1.1 Notations
• Structure ou Algèbre
S = < E1, E2, … Em ; f1, f2, … fn ; R1, R2, … Rp ; e1, e2, … eq>
• Ei Ensembles
• fi Fonctions, Applications ou Lois internes
• Ri Relations
• ei Éléments distingués
 S est fini ssi tous les ensembles E1, E2,… sont finis
Septembre 2008

1.2 Monoïde
• < E ; * ; e >
* loi de composition interne dans E
* associative dans E
* a un élément neutre e dans E
• Monoïde commutatif
* commutative dans E
Septembre 2008

Evariste Galois
(1811-1832)
Niels Abel
(1802-1829)
1.3 Groupe
• < E ; + ; 0 >
Monoïde
Tout élément de E a un inverse pour la loi +
∀ x ∈ E, ∃ x’ ∈ E, x + x’ = x’ + x = 0
• Groupe commutatif ou abélien
+ commutative dans E
Septembre 2008

1.4 Anneau
• < E ; + , * ; 0 >
Groupe abélien
* loi de composition interne
* associative dans E
* distributive par rapport à +
• Anneau unitaire
* a un élément neutre : 1
• Anneau commutatif
* commutative
Ernst Eduard Kummer
(1810-1893)
Septembre 2008

• Propriétés
Divisibilité : r divise s noté r | s
∀ r, s ∈ E ∃ t ∈ E : s = t * r
Inversibilité : u ∈ E (unitaire) inversible
∃ v ∈ E : u * v = 1
Primalité : p ∈ E (commutatif, unitaire) premier
p | ( a * b) ⇒ p | a ou p | b
Irréductibilité : p ∈ E (commutatif, unitaire) irréductible
p non inversible et p = x * y ⇒ x ou y inversibles
Équivalence : p, q ∈ E (commutatif, unitaire) équivalents
∃ u ∈ E inversible p = u * q
Septembre 2008

• Anneau intègre
∀ a, b ∈ E a * b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
 il n’y pas de diviseurs de 0
• Anneau factoriel
unitaire, commutatif, intègre et
∀ r ∈ E r≠0 ∃ u ∈ E inversible, p1, p2, …pn ∈ E
irréductibles et non équivalents et e1, e2, …en ∈ N |
r = u * p 1
e1 * p2
e2 * … pn
en unique (à l’ordre près)
 tout élément irréductible est premier
 la décomposition d’un élément en facteurs premiers (ou
irréductibles) est unique
Septembre 2008

1.5 Corps
• < E ; +, * ; 0, 1 >
Anneau unitaire
0 élément neutre pour +
1 élément neutre pour *
Tout élément de E, sauf 0, a un inverse pour la loi *
∀ x ∈ E, x ≠ 0, ∃ x’ ∈ E, x’ * x = x * x’ = 1
• Corps commutatif
* commutative
Richard Dedeking
(1831-1916)
Septembre 2008

• Exemple
F2 = {0, 1}  corps se dit Field en anglais
+ est défini par * est défini par
< F2 ; +, * ; 0, 1 > est un corps fini à 2 éléments
Ne pas confondre avec
B = {0, 1}
∨ défini par ∧ défini par
< B ; ∨, ∧ ; 0, 1 > est une algèbre de Boole !
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
* 0 1
0 0 0
1 0 1
! 0 1
0 0 1
1 1 1
! 0 1
0 0 0
1 0 1
George Boole
(1815-1864)
Septembre 2008

1.6 Espace Vectoriel
• < K ; +, * ; 0,1 > corps commutatif
• < V ; + ; 0, 1 > groupe abélien
 les éléments de K sont appelés des Scalaires
 les éléments de V sont appelés des Vecteurs
On définit une loi externe ° : K x V → V
possédant les propriétés : ∀ a, b ∈ K ∀ u, v ∈ V
a ° (b ° v) = (a * b) ° v
(a + b) ° v = (a ° v) + (b ° v)
a ° (v + w) = (a ° v) + (a ° w)
1 ° v = v
On dit que V est un espace vectoriel sur K
Sir William
Roman Hamilton
(1805-1865)
Septembre 2008

• Exemple
F2
n = { (x1, x2, …xn) : x1, x2, …xn ∈ F2 } où
0 = (0, 0, … 0) est le vecteur nul
+ défini par X = (x1, x2, …xn) Y = (y1, y2, …yn)
X + Y = (x1+y1, x2+y2, …xn+yn)
° défini par λ°X = (λ*x1, λ*x2, … λ*xn)
est un espace vectoriel sur F2
• Notations « allégées »
En l’absence d’ambiguïtés, les signes * et ° seront omis
par exemple λ°X = (λ*x1, λ*x2, … λ*xn)
sera écrit λX = (λx1, λx2, … λxn)
Septembre 2008

• Sous espace vectoriel noté sev
W est un sev de V sur K ssi
W ⊆ V
∀ w ∈ W -w ∈ W -w = (-1)w
∀ v, w ∈ W v + w ∈ W
∀ λ ∈ K, ∀ w ∈ W λw ∈ W
– Propriétés
• 0 ∈ W
• V est un sev de V
• {0} est un sev de V
• l’intersection (non vide) d’un ensemble de sev de V est un sev
Septembre 2008

2. Formes linéaires
• Définition
X est une combinaison linéaire des vecteurs X1,
X2,…Xn ssi
• Vecteurs linéairement indépendants
X1, X2,…Xn sont linéairement indépendants ssi
X = !1X1 + !2X2 +!!n Xn = !i Xi
i=1
n
"
!i Xi = 0 " #i $ [1: n] !i = 0
i=1
n
%
Septembre 2008

Propriété
Si X1, X2,…Xn sont linéairement dépendants
et
Donc Xk peut s’exprimer comme combinaison linéaire des
autres vecteurs
 les λ doivent former un corps (division possible)
 Si X1, X2,…Xn sont linéairement indépendants, aucun
d’eux ne peut être exprimé comme une combinaison linéaire des
autres
! k : "k Xk = "i Xi
i#k
$ Xk =
!i
!k
Xi
i"k
#
Septembre 2008

• Famille génératrice d’un EV
X = {X1, X2,…Xn} engendrent un EV W défini par l’intersection
de tous les sev contenant tous les vecteurs de X
X est appelée une famille génératrice de W
Propriété
W est constitué de toutes les combinaisons linéaires
engendrées par les vecteurs de X
• Base d’un EV
X = {X1, X2,…Xn} est une base d’un EV W ssi
• X est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants
• X est une famille génératrice de W
Septembre 2008

Théorème de Lagrange
si Y1, Y2,…Ym sont linéairement indépendants dans V et
si X1, X2,…Xn forment une base de V alors
• m ≤ n
• Y1, Y2,…Ym, Xm+1, Xm+2, …Xn forment une base de V
(en renumérotant éventuellement les vecteurs X)
 cela signifie que
• il n’est pas possible de trouver plus de n vecteurs
linéairement indépendants dans V
• il est toujours possible de compléter un ensemble de vecteurs
linéairement indépendants pour former une base
• le nombre de vecteurs de la base est indépendant de la base
 Dans certains EV infinis, la base est infinie !
• ex : les polynômes
Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813)
Septembre 2008

3. Bases et Dimension d’un
espace vectoriel
• Définition
Nombre de vecteurs de la base d’un espace vectoriel
Exemple
F2
n = { (x1, x2, …xn) : x1, x2, …xn ∈ F2 } est de dimension n et
e1 = (1, 0, … 0)
e2 = (0, 1, … 0)
……
en = (0, 0, … 1)
constitue une base de F2
n appelée base canonique
Septembre 2008

• Coordonnées d’un vecteur
soit E = {E1, E2,…En} une base de V et X ∈ V
X peut s’exprimer comme combinaison linéaire des Ei
xi sont les coordonnées de X dans la base E
Propriétés
• les xi sont uniques pour une base E
• si Z = X + Y alors zi = xi + yi
• si Y = λ X alors yi = λ xi
X = xi Ei
i=1
n
!
Septembre 2008

• Relations entre bases
soit E = {E1, E2,…En} une base de V
E’ = {E’1, E’2,…E’n} une autre base de V
Les vecteurs de E’ peuvent s’exprimer comme des
combinaisons linéaires de E
les λij sont les coordonnées de E’ dans E
• Changement de base
On peut remplacer tout vecteur d’une base par une
combinaison linéaire des autres vecteurs de cette base
On obtient alors une nouvelle base de V
!j " [1: n] E' j = #ij Ei
i=1
n
$
Septembre 2008

V
Matrices
Polynômes
Septembre 2008

Sommaire
1. Applications linéaires
2. Calcul matriciel
3. Formes bilinéaires
4. Polynômes
Septembre 2008

1. Applications linéaires
1.1 Homomorphismes
1.2 Expression dans les bases
Septembre 2008

1.1 Homomorphisme
• Définition
f : V → W V et W : espaces vectoriels sur K
Propriétés additivité et homogénéité
∀ X1, X2 ∈ V f (X1 + X2) = f (X1) + f (X2)
∀ λ ∈ K ∀ X ∈ V f (λX) = λ f (X)
 f est une application linéaire
Noyau
ker (f) = { X ∈ V : f (X) = 0 }
Image
Im (f) = { f (X) : X ∈ V }
Septembre 2008

1.2 Expression dans les
bases
Soit E1, E2, …Em une base de V (dim. m)
F1, F2, …Fn une base de W (dim. n)
∀ X ∈ V s’écrit
xi coordonnées de X dans V
∀ Y ∈ W s’écrit
yi coordonnées de Y dans W
X = xi Ei
i=1
m
!
Y = y j Fj
j=1
n
!
Septembre 2008

Y = f (X) = f ( xi Ei )
i=1
m
! = f (xi Ei)
i=1
m
! = xi f (Ei)
i=1
m
!
additivité homogénéité
f (Ei) = aij Fj
j=1
n
! aij coordonnées de f(Ei) dans W
Y = xi aij Fj
j=1
n
!
i=1
m
! = xiaijFj
j=1
n
!
i=1
m
! = xiaijFj
i=1
m
!
j=1
n
!
distributivité commutativité
Y = y j Fj
j=1
n
! y j = xiaij
i=1
m
!or donc
Septembre 2008

2. Calcul matriciel
2.1 Représentation matricielle
2.2 Composition d’applications
Septembre 2008

2.1 Représentation
matricielle
fournit les coordonnées de Y en
fonction des coordonnées de X
les scalaires aij sont donc une représentation de f que l’on peut
coucher dans un tableau appelé une matrice A
A est de dimension m x n
m : dimension de V
nb. de lignes de A
n : dimension de W
nb. de colonnes de A
y j = xiaij
i=1
m
!
A =
a11 a12 … a1 j … a1n
a21 a22 … a2 j … a2n
! ! " ! # !
ai1 ai2 … aij … ain
! ! # ! " !
am1 am2 … amj $ amn
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
Septembre 2008

• Propriétés
 chaque ligne i de A est constituée des coordonnées dans W de
l’image du vecteur Ei de la base de V
 on montre que les vecteurs f (Ei) engendrent un sev de W
 si ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils forment donc
une base de ce sev
A =
a11 a12 … a1 j … a1n
a21 a22 … a2 j … a2n
! ! " ! # !
! ! # ! " !
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
f (Ei) = aij Fj
j=1
n
!
aij coordonnées de
f(Ei) dans W
Septembre 2008

• Calculs
Y = f (X)
calcul des coordonnées de Y en fonction des
coordonnées de X grâce à la matrice A
représentant f
a11 a12 … a1 j … a1n
a21 a22 … a2 j … a2n
! ! " ! # !
! ! # ! " !
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
x1 x2 ! xi ! xm( )
y1 y2 ! y j ! yn( )
y j = xiaij
i=1
m
!
Y = X • A
Septembre 2008

• Changement de base
soit E = {E1, E2,…En} une base de V
E’ = {E’1, E’2,…E’n} une autre base de V
g : E → E’ une application linéaire
qui peut être représentée par une
matrice de changement de base P
P est une matrice carrée
inversible
Elle définit donc un
isomorphisme
P =
!11 !12 … !1 j … !1n
!21 !22 … !2 j … !2n
! ! " ! # !
!i1 !i2 … !ij … !in
! ! # ! " !
!n1 !n2 … !nj $ !nn
"
#
$
$
$
$
$
$
$
%
&
'
'
'
'
'
'
'
!j " [1: n] E' j = #ij Ei
i=1
n
$
Septembre 2008

2.2 Composition
d’applications
Soit f : U → V représentée par la matrice A
g : V → W représentée par la matrice B
∀ X ∈ U, ∀ Y ∈ V, ∀ Z ∈ W
Y = f (U) Z = g (Y) Z = g ( f (U))
Y = X • A Z = Y • B Z = (X • A) • B
la fonction f ° g est linéaire
elle peut être représentée par une matrice C : Z = X • C
C est définie par : C = A • B produit de matrices
Septembre 2008

• Produit de matrices
Soit U de dimension l
V de dimension m
W de dimension n
Alors A est de dimension l x m
B est de dimension m x n
C est de dimension l x n
On montre que
!i " [1: l],!j " [1: n] cij = aik . bkj
k=1
m
#
Septembre 2008

• Calculs
a11 a12 … a1k … a1m
a21 a22 … a2k … a2m
! ! " ! # !
ai1 ai2 … aik … aim
! ! # ! " !
al1 al 2 … alk $ alm
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
c11 c12 … c1 j … c1n
c21 c22 … c2 j … c2n
! ! " ! # !
ci1 ci2 … cij … cin
! ! # ! " !
cl1 cl 2 … clj $ cln
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
b11 b12 … b1 j … b1n
b21 b22 … b2 j … b2n
! ! " ! # !
bk1 bk2 … bkj … bkn
! ! # ! " !
bm1 bm2 … bmj $ bmn
!
"
#
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
&
cij = aik . bkj
k=1
m
!
C = A• B
Septembre 2008

• Propriétés
Addition de matrices C = A + B cij = aij + bij
associative
commutative
élément neutre matrice 0 0ij = 0
inverse c’ij = - cij
Produit de matrices C = A • B
associative
élément neutre matrice I Iij = 1 si i = j
0 si i ≠ j
• est distributif sur +
 les matrices forment un anneau unitaire non commutatif
Septembre 2008

3. Formes bilinéaires
• Définition
Soit V un espace vectoriel sur K
π : V2 → K telle que : ∀ u, v, w ∈ V ∀ λ ∈ K
Notation : u.v appelé : Produit scalaire
Propriétés u.v = v.u
(u + v).w = u.w + v.w
λu.v = λ(u.v)
u≠0 ∃ v ∈ V : u.v ≠ 0
Septembre 2008

• Propriétés
orthogonalité u ⊥ v ssi u.v = 0
• Exemple
F2
n = { (x1, x2, …xn) : x1, x2, …xn ∈ F2 } sur F2
soit x = (x1, x2, …xn) ∈ F2
n
y = (y1, y2, …yn) ∈ F2
n
 ∑ définie dans F2
 un vecteur peut être orthogonal à lui-même !
x.y = xi.yi
i=1
n
!
Septembre 2008

4. Polynômes
4.1 Définition
4.2 Opérations et propriétés
4.3 Division euclidienne
4.4 Polynômes F2[X]/(Xn+1)
Septembre 2008

4.1 Définition
• < A ; +, * ; 0,1 > corps commutatif
• A[X] = {(a0, a1, …) ∈AN | ∃ n ∈N |
∀i > n ai= 0 }
ensemble des polynômes sur le corps A
– a0, a1, … coefficients de P
– X = (0, 1, 0, 0 …) indéterminée de P
 on peut aussi définir des polynômes sur un
anneau A (au lieu d’un corps)
Septembre 2008

4.2 Opérations et propriétés
• Addition
P = (a0, a1, …) Q = (b0, b1, …)
P + Q = (a0+b0, a1+b1, …)
Elément neutre 0 = (0, 0, …)
Inverse -P = (-a0, -a1, …)
 les polynômes A[X] forment un groupe abélien
• Produit externe a°P = (a.a0, a.a1, …)
 les polynômes A[X] forment un EV sur A
 la dimension de cet EV est infini
Septembre 2008

• Produit
P = (a0, a1, …) Q = (b0, b1, …)
P x Q = (c0, c1, …) =
(a0b0, a0b1+a1b0, a0b2+a1b1+a2b0, …)
Elément neutre 1 = (1, 0, …)
Distributivité P x (Q + R) = P x Q + P x R
 les polynômes A[X] forment un anneau et
une algèbre commutative sur A
ck = aibj
i+ j=k
! !
Septembre 2008

• Notations
– a peut désigner par « abus »
• un scalaire a ∈A
• le polynôme (a, 0, 0, …) ∈ A[X]
 produits °(externe) et x (interne) confondus
– X = (0, 1, 0, 0, 0, …) donc
• X2 = (0, 0, 1, 0, 0, …)
• X3 = (0, 0, 0, 1, 0, …)
• …
• et par extension 1= X0 = (1, 0, 0, 0, 0, …)
 P = (a0, a1, a2, …) = a0X0 + a1X1 + a2X2 + … =
 notation « traditionnelle » des polynômes
ai Xi
!!
Septembre 2008

• Degré
d°(P) = n | an ≠0 et ∀i >n ai = 0
 le plus grand exposant de A[X] ayant un coefficient ≠ 0
 par extension si P = 0 d°(P) = -∞
• Fonctions polynômes
– P : A  A définie pour un polynôme P par
∀x ∈ A P (x) = où n est le degré de P
 à un polynôme non nul peut correspondre une fonction
polynôme nulle partout
ex : A = F2 P = X + X2 ≠ 0 ∀x∈A P(x) = 0
ai xi
!
i=1
n
!
Septembre 2008

4.3 Division euclidienne
• Division
∀ U, V ∈A[X] ∃ Q, R uniques ∈A[X] |
U = V x Q + R et d°(R) < d°(V)
 la division se fait selon les puissances décroissantes
• Divisibilité
V | U ssi R = 0
 A [X] est un anneau euclidien et un anneau factoriel
• Identité de Bézout
P,Q ∈A[X] premiers entre eux ssi ∃ U,V ∈A[X] | U x P + V x Q = 1
Etienne Bézout
(1730-1783)
Septembre 2008

4.4 Polynômes F2[X]/(Xn+1)
• Définition {(a0, a1, an-1) ∈ F2
n}
 polynômes de degré < n munis des opérations
– Addition P + Q identique à celle de F2[X]
– Produit P ⊗ Q = (P x Q) mod (Xn+1)
• Propriétés structurelles
ces polynômes forment
– un EV de dimension n sur F2
– un anneau commutatif unitaire factoriel non intègre
– une algèbre commutative sur F2
Septembre 2008

• Autres propriétés
Xn mod (Xn+1) = 1
P = (a0, a1,…an-1) ⇒ X ⊗ P = (an-1, a0,…an-2)
 le produit de X par P provoque un
décalage circulaire à droite des
coefficients de P
Preuve
P = ai Xi
i=0
n!1
" !
mod (Xn+1)= 1
X ! P = ai Xi+1
i=0
n"2
# + an"1
!!!X.P = ai Xi+1
i=0
n"1
# = ai Xi+1
i=0
n!2
" + an!1Xn
C.Q.F.D.
Septembre 2008

VI
Analyse combinatoire
Probabilités discrètes
Septembre 2008

Sommaire
1. Analyse combinatoire
2. Probabilités discrètes
Septembre 2008

1. Analyse combinatoire
1.1 Permutations
1.2 Arrangements
1.3 Combinaisons
Septembre 2008

1.1 Permutations
• Définition
Application injective Π : E → E E fini non vide
Donc Π est bijective
• Nombre de permutations
si |E| = n il existe n.(n-1).(n-2)…1 permutations
Notation
Propriété n! = n.(n-1)! par extension : 0! = 1
formule de Stirling
Pn = n!
n! n!"
# !## nn
e$n
2%n
Septembre 2008

1.2 Arrangements
• Définition
Application injective A : E → F E et F finis non vides
Donc si |E| = m et |F| = n m ≤ n
• Nombre d’arrangements
n.(n-1).(n-2)…(n-m+1) = n! / (n-m)!
 c’est aussi le nombre de sous-ensembles totalement
ordonnés de de m éléments de F
Notation An
m
=
n!
(n ! m)!
Septembre 2008

1.3 Combinaisons
• Définition
Image d’une application injective A : E → F
• Nombre de combinaisons
À chaque combinaison on peut faire correspondre m!
arrangements
 c’est aussi le nombre de sous-ensembles (non ordonnés)
de m éléments de F
Notations Cn
m
=
n
m
!
"
#
$
%
& =
An
m
m!
=
n!
m! (n ' m)!
Septembre 2008

2. Probabilités discrètes
2.1 Historique
2.2 Probabilités élémentaires
2.3 Probabilités conditionnelles
2.4 Probabilités des causes
Septembre 2008

2.1 Historique
• Al Kindi (≈ 850) « Sur le déchiffrement des messages cryptographiques »
• Jérôme Cardan (1564) « De Ludo Aleae »
• Blaise Pascal & Pierre Simon de Fermat (1654) « Calcul des Possibilités »
• Jacques & Daniel Bernoulli (1713) « Ars Conjectandi »
• Thomas Bayes (1763) « Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of
Chances »
• Андрей Николаевич Колмогоров (1933) « Аксиомы »
Septembre 2008

2.2 Probabilités élémentaires
• Définition : mesure des parties d’un ensemble
 probabilités discrètes : ensemble fini
Ω : ensemble de toutes les possibilités
Axiomes de Kolmogorov Ω fini
p(ω) : abréviation de p({ω})
Ω
E1
E2
E3
E4
p :! (") # 0,1[ ]
(i) !" # $ 0 % p(") %1
(ii) !E " #($) p(E) = p(%)
% "E
&
(iii) p(!) =1
! "#
$
Septembre 2008

• Propriétés
∀ A, B ⊆ Ω
0 ≤ p (A) ≤ 1
p (A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)
p (⌠A) = 1 - p(A)
A ⊆ B ⇒ p(A) ≤ p(B)
A ∩ B = Ø ⇒ p (A ∩ B) = 0
si E1, E2, …Ek forment une partition de Ω alors
p (E1) + p(E2) + … p(Ek) = 1
• Distribution uniforme
∀ ω ∈ Ω p (ω) = 1 / |Ω|
alors ∀ A ⊆ Ω p (A) = |A| / |Ω|
Septembre 2008

• Terminologie et notations
ensembliste probabiliste notations
sous ensemble événement A ⊆ Ω
ensemble total événement certain Ω
ensemble vide événement impossible Ø
complémentaire événement contraire ⌠
intersection et ∩
union ou ∪
inclusion implication ⊆
ensembles disjoints événements incompatibles A ∩ B = Ø
partition système exhaustif ∑ Ai = Ω
Ai ∩ Aj = Ø
Septembre 2008

2.3 Probabilités conditionnelles
• Définition
 c’est la probabilité relative ou conditionnelle de B dans A,
c.à.d. la probabilité que l’événement B se produise
sachant que A s’est produit.
 on l’appelle aussi probabilité bayésienne (cf. Thomas
Bayes 1702 - 1761)
p (B/A) =
p (A! B)
p (A)
Ω
A B
Septembre 2008

• Propriétés
Formule de Bayes
• Événements indépendants
 A et B sont indépendants ssi
p (A / B) = p (A) ou p (B / A) = p (B)
alors
 A et B ne peuvent être indépendants que s’ils
sont compatibles ! (sauf si p(A) = 0 ou p(B) = 0)
p (A! B) = p (B/A)" p (A)
= p (A/B)" p (B)
p (A! B) = p (A)" p (B)
Septembre 2008

• Exemple jeu de dé équiprobable (honnête)
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = {1, 2 } p (A) = 1/3
B = {3, 4, 5 } p (B) = 1/2
C = {1, 2, 3, 4 } p (C) = 2/3
A ∩ B = Ø p (A ∩ B) = 0 p (A) . p (B) = 1/6
A ∩ C = {1, 2 } p (A ∩ C) = 1/3 p (A) . p (C) = 2/9
B ∩ C = {3, 4 } p (B ∩ C) = 1/3 p (B) . p (C) = 1/3
A et B incompatibles non indépendants
A et C compatibles non indépendants
B et C compatibles indépendants
Septembre 2008

2.4 Probabilités des causes
• Probabilités totales
A1, A2, …Ak système exhaustif avec ∀i p (Ai) ≠ 0
B événement
Preuve
B ∩ Ai disjoints
formule de Bayes
p (B) = p (B/Ai )! p (Ai )
i=1
k
"
p (B) = p (B! Ai
i=1
k
" )
= p (B/Ai)! p (Ai)
i=1
k
"
Septembre 2008

• Théorème de Bayes
 B est un événement causé par les événements Ai
expression des probabilités des causes de B
A1
A2 A3
A4
B
p (Aj /B) =
p (Aj )! p (B/Aj )
p (Ai )! p (B/Ai )
i=1
k
"
Septembre 2008

Preuve
formule de Bayes
probabilités totales
C.Q.F.D.
p (Aj /B) =
p (Aj ! B)
p (B)
=
p (Aj )" p (B/Aj )
p (B)
p (B) = p (Ai )! p (B/Ai )
i=1
k
"
p (Aj /B) =
p (Aj )! p (B/Aj )
p (Ai )! p (B/Ai )
i=1
k
"
Septembre 2008

Septembre 2008

MATHÉMATIQUES
POUR
L’INFORMATIQUE
TD
Université Montpellier II
Master Sciences & Technologies
Mention Informatique

TD 1
ÉPISTÉMOLOGIE
Exercice 1
Démontrer l’irrationalité de √2
Exercice 2
Montrer que l’existence de rectangles nécessite le Vème postulat d’Euclide
Exercice 3
Calculer l’âge auquel Diophante est mort, d’après son épitaphe :
« Il resta enfant pendant le sixième de sa vie. Après un autre douzième, ses joues se
couvrirent de barbe. Après un septième, il alluma le flambeau du mariage. Cinq ans après il
lui naquit un fils, mais celui-ci, enfant malheureux, quoique passionnément aimé, mourut
arrivé à la moitié de l'âge auquel son père mourut. Diophante vécut encore quatre ans,
adoucissant sa douleur par des recherches sur la science des nombres. »
Exercice 4
J'ai quatre fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.
J'ai 40 ans.
Quel âge avez vous ?
Exercice 5
Procurez vous une carte des 6 premiers arrondissements de Paris et examinez les ponts
reliant les berges de la Seine aux îles de la cité (Notre Dame et Saint Louis) et entre ces îles,
c'est-à-dire du pont des Arts au pont de Sully, y compris le pont Saint-Louis.
Euler aurait-il pu faire sa promenade circulaire (même lieu de départ et d'arrivée)
comme il le souhaitait ?
Aurait-il pu si les lieux de départ et d'arrivée étaient différents ? Et à Königsberg ?
Exercice 6
Sauriez vous déjouer le sophisme suivant ?
Tout ce qui est rare est cher (prémisse majeure)
Or un cheval bon marché est rare (prémisse mineure)
Donc un cheval bon marché est cher (conclusion)
Exercice 7
Sauriez-vous résoudre cette équation, dont Cardan a eu du mal à trouver la solution ?
x3
= 15x + 4
Master Informatique Mathématiques pour l'Informatique
Septembre 2008

TD 2
THÉORIE DES ENSEMBLES
Exercice 1
Mettre une croix dans les cases où x symbole y a un sens et est vrai
x y ∈ ∉ ⊆ ⊆ ⊂ ⊄
1 1
1 {1}
2 {1}
{1} {1,2}
{1} {1}
{1} {{1},{1,2}}
{1} {1,{1}}
Exercice 2
a) Quel est le nombre de groupes possibles de personnes (contenant au moins une
personne) prises dans un ensemble de 5 personnes ? 10 personnes ? 20 personnes ?
b) Combien l’ensemble E doit-il contenir de personnes (au minimum) pour que le
nombre de groupes possibles de personnes (contenant au moins une personne) prises dans
l’ensemble E soit supérieur ou égal à un milliard ? à un entier k donné ? (Donner la réponse en
fonction de k)
Exercice 3
Quels sont les nombres de parties et de partitions
de l’ensemble {1, 2} ?
de l’ensemble {1, 2, 3} ?
Exercice 4
Vérifier par des diagrammes de Venn que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Septembre 2008

Exercice 5
Soit E = {1, 2, 3, 4, 5} et A, B ∈℘(E) définis par :
A = {x ∈ E | x est pair}
B = {x ∈ E | x ≤ 3}
a) Ecrire en extension A, B, ⌠A, ⌠B, ⌠(A ∩ B), ⌠(A ∪ B), ⌠A ∩ ⌠B, ⌠A ∪ ⌠B
b) Soit x un élément de E et la phrase :
“Il n’est pas vrai que x est à la fois pair et inférieur ou égal à 3”.
Réécrire cette phrase sous les formes suivantes :
“Il est vrai que x est ...”, x ∈ { ... }, ∈ ⌠( A ... B), x ∈ ⌠A ... ⌠B
c) Même question pour la phrase :
“Il n’est pas vrai que x est pair ou inférieur ou égal à 3”.
d) Compléter les lois de De Morgan :
⌠A ∩ B = ... , ⌠A ∪ B = ...
e) Vérifier les lois de De Morgan par des diagrammes de Venn.
Exercice 6
Compléter le tableau suivant par les cardinaux des ensembles
|A| |B| |A∩B| |A∪B| |AB| |BA|
15 7 3
2 20 8
13 8 5
a b i
a b u
x y z
Septembre 2008

TD 3
RELATIONS
FONCTIONS
Exercice 1
Soit E = {1, 2, 3}, F = {−2,−1} et R la relation de E vers F définie par :
R = {(x, y) ∈ E × F | x + y ≤ 0}.
a) Ecrire R en extension et la représenter par un tableau et un diagramme sagittal.
b) Donner le domaine de R.
R est-elle une fonction de E vers F ?
Une application de E vers F ?
Exercice 2
Soit E = {a, b} et R la relation de ℘ (E) vers ℘ (E) définie par :
R = {(A,B) ∈ ℘(E)2
| A ∩ B = ∅ et A ∪ B = E}
a) Ecrire R en extension et la représenter par un tableau.
b) Donner le domaine de R.
R est-elle une fonction de ℘ (E) vers ℘ (E) ?
Une application de ℘ (E) vers ℘ (E) ?
Exercice 3
a) Soit E = {a, b, c} et F = {1, 2}.
Quel est le nombre de relations de E vers F ?
b) Même question pour E et F ensembles finis quelconques
(Donner la réponse en fonction de |E| et |F|)
Exercice 4
a) Soit E = {a, b} et F = {1, 2}.
Quel est le nombre de relations, fonctions, applications, applications injectives,
applications surjectives, applications bijectives,de E vers F ?
b) Même question pour E = {a, b} et F = {1, 2, ..., m}, m ≥ 3
(Donner la réponse en fonction de m)
Septembre 2008

TD 4
ESPACES VECTORIELS
ALGEBRE LINEAIRE
Exercice 1
On note Zn l’anneau des entiers modulo n muni des lois habituelles + et x
On note F2 le corps des entiers modulo 2 muni des lois habituelles + et x
Montrer que Z5 est un corps
Montrer que Z4 n’est pas un corps
Montrer qu’il est néanmoins possible de définir un corps fini à 4 éléments
Indication : l’anneau F2[x]/ (x2
+ x + 1) des polynômes à coefficients dans F2 modulo
x2
+ x + 1
Exercice 2
Montrer que F2
n
avec le corps F2 et le produit externe habituel forment un espace
vectoriel
Montrer qu’un code de parité paire codant un mot de 3 bits est une application linéaire
de F2
3
→ F2
4
Construire la matrice de cette application
Cette application est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Montrer que le bit de parité paire est une combinaison linéaire des autres bits
Montrer que l’image de cette application forme un sous-espace vectoriel de F2
4
Quelle est la dimension de ce sous-espace ?
Construire une base de ce sous-espace
Carl Friedrich Gauß
(1777-1855)
« Prince des mathématiciens »
Septembre 2008

TD 5
MATRICES
POLYNOMES
Exercice 1 : Matrices
On appelle rang d’une matrice la dimension de l’espace vectoriel de l’image de
l’application linéaire qu’elle représente
Pour chacune des 3 matrices ci-dessous, à coefficients dans F2, indiquer
son rang
si l’application qu’elle représente est
injective
surjective
bijective
Lesquelles de ces matrices peuvent prétendre à représenter un codage ?
A =
1 0 1 0
0 1 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
! B =
1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
!
"
#
#
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
&
&
! C =
1 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 1 1
!
"
#
#
#
#
$
%
&
&
&
&
!
Montrer que si U est une matrice inversible, V une matrice quelconque, l’image de
l’application représentée par U.V est la même que l’image de V
Exercice 2 : Polynômes
Construire un polynôme non nul dans F3[X] dont la fonction est nulle partout
Pour les polynômes P = X7
+1 et Q = X5
+1 de F2[X]
calculer R = PGCD (P,Q)
trouver 2 polynômes U et V tels que P.U + Q.V = R
Montrer que pour tout polynôme S = (a0, a1, …an-1) ∈F2[X]/(Xn
+1)
X⊗S = (an-1, a0, a1, …an-2) où ⊗ est le produit interne (mod (Xn
+1))
Carl Friedrich Gauß
(1777-1855)
« Prince des mathématiciens »
Septembre 2008

TD 6
PROBABILITES DICRÈTES
Applications du Théorème du Révérend Père Bayes
Thomas Bayes
(1702-1761)
1. Accidents de la route
On a relevé par statistiques les informations suivantes :
1. 1/3 des accidents ont pour origine l’alcool au volant
Peut-on en conclure que les personnes sobres sont deux fois plus dangereuses que les
alcooliques ? Pourquoi ?
2. Lors de contrôles « de routine » 1 alcootest sur 100 est positif
Dans quelle proportion un alcoolique est-il plus dangereux qu’une personne sobre ?
Indication : on cherchera à évaluer :
La probabilité d’être alcoolique quand on est responsable d’un accident
La probabilité d’être responsable d’un accident quand on est alcoolique
2. L’incontrôle des naissances (Science et Vie N° 1044 – Sept. 2004 – p. 51)
Une mère a deux enfants dont l’un est un garçon.
Quelle est la probabilité pour que l’autre soit une fille ?
Attention ! On ne demande pas quelle est la probabilité pour qu’un enfant soit une fille (cette
probabilité est trivialement égale à ½).
3. Une lettre inquiétante ? (Science et Vie N° 1044 – Sept. 2004 – p. 48)
Monsieur,
Vous êtes récemment venu dans notre hôpital pour un test de dépistage d’une maladie rare,
qui touche en France une personne sur dix mille. Nous sommes au regret de vous annoncer
que ce test, efficace à 99%, s’est avéré positif.
Vous recevez cette lettre. Quelle est, selon vous, la probabilité que vous soyez réellement
malade ?
Même question après 2 résultats indépendants positifs.
Septembre 2008

Mathématiques pour l'informatique

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