De l'antiquité à la machine de Turing

1. Histoire du calcul et desHistoire du calcul et des
ordinateursordinateurs
Histoire du calcul et desHistoire du calcul et des
ordinateursordinateurs

2. Université Montpellier II
Licence Sciences & Technologies
Culture générale

3. Sommaire
Bibliographie
1. La science informatique
2. La préhistoire (Egypte, Grèce)
3. L’algèbre et le calcul (Chine, Inde, Arabie)
4. Du moyen âge à la renaissance (Italie)
5. De la renaissance au XIXème siècle (Europe)
6. Les XIXème et XXème siècles (Europe, USA)

5. bibliographie
Bibliographie
• Histoire de l’informatique
– Jean-Yvon Birrien - P.U.F. Que sais-je ?
• Une histoire de l’informatique
– Philippe Breton - Editions la découverte
• Le théorème du perroquet
– Denis Guedj - Editions du seuil
• Histoire des mathématiques
– Richard Mankiewicz - Editions du seuil
• Nouvel abrégé d’histoire des mathématiques
– Jean Baudet - Vuibert
• Les neuf chapitres
– Karine Chemla, Guo Shuchun - Dunod

6. bibliographie
• Les nombres
– 9 co-auteurs - Vuibert
• Les inattendus mathématiques
– Jean-Paul Delahaye - Belin . Pour la Science
• Le dernier théorème de Fermat
– Simon Singh - Lattès
• Histoire des codes secrets
– Simon Singh - Lattès
• Œuvres complètes
– Blaise Pascal - Editions du seuil
• Encyclopædia universalis
• Le vrai paradis de Platon
– John L. Casti - Le Pommier
• Il était une fois la révolution
– Etienne Klein - Flammarion

9. la science informatique
1. La science informatique
1.1 L’épistémologie
1.2 L’informatique
1.3 L’ordinateur
1.4 La science
1.5 La science informatique

10. la science informatique > l'épistémologie
1.1 L’épistémologie
• Etymologie
– Épistémè (gr.) : science επιστηµη
– Logos (gr.) : étude λογοσ
• Définition
– Étude critique des sciences, destinée à
déterminer leur origine logique, leur valeur et
leur portée
⇒ Théorie de la connaissance

11. la science informatique > l'informatique
1.2 L’informatique
• Néologisme de Philippe Dreyfus (1962) issu de
« information » et « automatique »
• Science du traitement rationnel, notamment par
machines automatiques, de l’information, considérée
comme le support des connaissances humaines et des
communications dans les domaines techniques,
économiques et sociaux
Académie française Avril 1966

12. la science informatique > l'informatique
• n. f. et adj. XXe si�cle. Dé�rivé d'information sur le
modè�le de mathé�matique, �électronique.
• n. f. Science du traitement rationnel et automatique de
l'information ; l'ensemble des applications de cette
science.
• adj. Qui se rapporte �à l'informatique. Syst�ème
informatique, ensemble des moyens qui permettent de
conserver, de traiter et de transmettre l'information.
Programme informatique. Ré�seau informatique,
ensemble de systè�mes informatiques communiquant
entre eux par voies locales, privé�es ou publiques.
Traitement informatique des donné�es. Mat�ériel
informatique. Fichier informatique. Les divers langages
informatiques.
http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire

13. la science informatique > l'ordinateur
1.3 L’ordinateur
• Mot choisi le 16 IV 1955 par Jacques Perret, professeur
de philologie latine à la Sorbonne sur demande de
François Girard responsable du service de publicité
d’I.B.M. France
• Machine automatique qui permet d’effectuer, dans le
cadre de programmes de structures préétablies des
ensembles d’opérations arithmétiques et logiques à des
fins scientifiques, administratives et comptables
Académie française Avril 1966

14. la science informatique > la science
1.4 La science
• n. f. Connaissance exacte qu'on a de quelque chose … Il
signifie particulièrement Système de connaissances
rationnelles ou expérimentales sur un objet
d�éterminé�. Les sciences naturelles. Les sciences
exactes. Les sciences physiques. Les sciences morales et
politiques. Les sciences occultes. Les sciences
expérimentales. Les sciences d'observation. La science
des nombres. Les sciences … Il se dit absolument et au
singulier de l'Ensemble des connaissances acquises par
l’é�tude.
http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire

15. la science informatique > la science informatique
1.5 La science informatique
• Objet
Information
« considérée comme le support des connaissances
humaines et des communications »
Racine étymologique : FORME
Cf. formaliser, informatiser
mettre en forme

16. la science informatique > la science informatique
• Traitement
– Modification, transformation
– Différence avec :
• linguistique, philologie (Information statique)
• Rationnel
– Règles de traitement :
• programmation, logique
• Automatique
– Étymologie :
automatos (gr.) : qui se meut de soi-même

17. la science informatique > la science informatique
• Émergence
– Conditions
• Économiques
• Sociales
• Culturelles
– Outils
• Machines
• Ordinateurs

18. la science informatique > la science informatique
• Fondements
– Écriture
– Calcul
– Logique

21. la préhistoire
2. La Préhistoire
2.1 Le calcul
2.2 L’écriture
2.3 Les mathématiques
2.4 La logique
2.5 L’école d’Alexandrie

22. la préhistoire > le calcul
2.1 Le calcul
• Paléolithique supérieur
– 30 000 ans av. J. C.
– Entailles numériques dans
• Bois, os
• Néolithique
– 8 000 ans av. J. C.
– Boulettes d’argile
CALCULI
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
1 10 60 600 3 600 36 000

23. la préhistoire > l'écriture
2.2 L’écriture
Mésopotamie
• 3 500 ans av. J. C. Sumer
– Écriture cunéiforme
– Tablettes d’argile
– Numération additive
• 2 signes : 1 10
• Base 60
• Exemple 5112 10
1-25-12 60

24. la préhistoire > l'écriture
La multiplication
• Premier algorithme de l’histoire
• On cherche z = x . y
z = 0
tant que x ≠ 0
{si x impair {x = x - 1 ; z = z + y} ;
x = x / 2 ; y = y . 2 }
- - x.y+z est invariant - -

25. la préhistoire > l'écriture
Exemple
x y z
21 3 0
10 6 3
5 12 3
2 24 15
1 48 15
0 96 63

26. la préhistoire > les mathématiques
2.3 Les mathématiques
(Égypte)
• Découvert au XIX ème siècle
dans la tombe de Ramsès II
(Thèbes)
• Auteur Ahmès
• 5m de long 14 feuilles
• Daté du XVIème siècle av. J. C.
• Reprend un papyrus plus ancien
du XXème siècle av. J. C.
Papyrus RHIND

27. la préhistoire > les mathématiques
Mathématiques égyptiennes
• Pas d’abstraction
• Pas de logique
• Pas de démonstration
• Problèmes concrets
• Calculs arithmétiques
– Les 4 opérations
– Table de multiplication
– Opérations sur les fractions (7 à 23)
• Equations du 1er degré (24 à 27)
– Résolution par la méthode des « fausses suppositions »

28. la préhistoire > les mathématiques
Géométrie égyptienne
• Calcul des aires
– carré, rectangle, triangle, trapèze
• Calcul des volumes
– pyramides
• valeur de ∏ problèmes 48 à 50
– Aire d’un cercle de diamètre 9 unités ≈
– Aire d’un carré de côté 8 unités
π.92
/4 ≈ 64 π ≈ 3,16

29. la préhistoire > les mathématiques
L’abstraction (Thalès)
• Calcul de la hauteur de la
pyramide de Khéops (par l’ombre)
• Prédiction de l’éclipse de soleil
du 28 mai -585
• Démontre les premiers théorèmes
– Un cercle est partagé� en deux parties égales par tout diamètre
– Les angles � la base d'un triangle isocèle sont égaux
– Les angles opposés par le sommet sont égaux.
– Un triangle est déterminé� si la base et les angles �à la base sont
donnés
– Un triangle ABC inscrit dans un cercle et tel que le segment [BC] en
est un diamètre, est rectangle en A
Thalès de Milet
(-625 -547)

30. la préhistoire > les mathématiques
Pythagore
(-580 -490)
Arithmétique (Pythagore)
• Etymologie
– Arithmos (gr.) : nombre
• Philosophie
• École Fraternité (Secte)
• Abstraction appliquée aux nombres
• Nombres
– Entiers à partir de 2
– Fractionnaires

31. la préhistoire > les mathématiques
Théorèmes
• Nombres Pairs Impairs
• Addition P + P = P P + I = I I + P = I I + I = P
• Produit P x P = P P x I = P I x P = P I x I = I
• « le » Théorème de Pythagore
QuickTime™ et un
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32. la préhistoire > les mathématiques
Un nombre « irrationnel »
• Calcul de la diagonale du carré
Côté 1 Diagonale x2
= 2
x = p / q Fraction irréductible
p2
/ q2
= 2 ⇒ p2
= 2.q2
⇒ p2
pair ⇒ p pair
p = 2.r ⇒ p2
= 4.r2
⇒ q2
= 2.r2
⇒ q pair
p/q réductible contradiction !
• x tel que x2
= 2 est appelé « irrationnel »

33. la préhistoire > les mathématiques
Les pythagoriciens (500 av. J.C.)
• École de Crotone (sud de l’Italie)
– Dirigée par Theano (femme de Pythagore à qui on doit
le nombre d’or) et ses 3 filles
– Zénon d’Élée
• Paradoxe de la tortue
• Fondateur de la dichotomie
• Paradoxes de l’infini
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (nosont requis pour visionn
(-490 -430)

34. la préhistoire > les mathématiques
L’école d’Athènes (400 av. J.C.)
• Antiphon
– Quadrature du cercle
– Exhaustion
• Hippias
– Trisection de l’angle
• Eudoxe de Cnide
– Duplication du cube
– Aire du cercle par exhaustion
• Platon
– Philosophie
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Platon
(-427 -347)
Eudoxe
(-408 -355)
Antiphon
(-480 -411)
??
??
??Hippias
(-460 -400)

35. la préhistoire > la logique
2.4 La logique
Aristote
• Syllogisme
1. Tout homme est mortel
2. Or Socrate est un homme
3. Donc Socrate est mortel
• Eubulide Épidémide
– Paradoxe du menteur
« je mens »
QuickTime™ et un
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Aristote
(-384 -322)

36. la préhistoire > la logique
Axiomes & Postulats(Euclide)
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Etymologie
– Axiome (grec Axioma = j'estime) je crois vrai :
irréfutable, évident
– Postulat (latin Postulare = demander ) que l'on
demande au lecteur d'accepter
300 ans av. J.C. siècle d’or
Fonde l’école d’Alexandrie
Auteur (collectif?) des éléments
XIII livres étalés sur un siècle

37. la préhistoire > la logique
Les Axiomes d’Euclide
1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles
2. Si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les
touts sont égaux
3. Si, à des choses égales, des choses égales sont retranchées,
les restes sont égaux
4. Si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées,
les touts sont inégaux
5. Des choses qui coïncident l’une avec l’autre sont égales
6. Les doubles du même sont égaux entre eux
7. Les moitiés du même sont égales entre elles

38. la préhistoire > la logique
Les Postulats d’Euclide
1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite
passant par A et B
2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite
passant par A et B (compte tenu du premier postulat, elle
est unique)
3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut
décrire un cercle de centre A passant par B
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux
5. Par un point extérieur � à une droite, on peut mener
une parallèle et une seule � à cette droite.

39. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
1.5 L’école d’Alexandrie
• Appolonius
– Traité des coniques
• Archimède
– Physique théorique
– Équations du 3ième degré
– Mesure de ∏
– Boulons : vis + écrou
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non comsont requis pour visionner cett
Appolonius
(-262 -190)
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Archimède
(-287 -212)

40. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
• Eratosthène
– Directeur de la bibliothèque
– Mesure de la terre
– Crible nombres premiers
– Fondateur de la géographie
– Précepteur du fils de Ptolémée III
QuickTime™ et un
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sont requis pour visionner cette image.
Eratosthène
(-276 -194)

41. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
• Hipparque
– Astromonie
– Trigonométrie
• sinus cosinus
• Héron
– Algorithme de la racine carrée
• Attribué plus tard à Newton
??
Hipparque
(-190 -120)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.
Héron
(-150 ? -250 ?)

42. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
• Ménélaus
– coniques & sphériques
• Théon de Smyrne
– Nombres
• Nicomaque de Gérase
– Nombres
• Sommes des entiers,carrés, cubes
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressésont requis pour visionner cette image
Théon
(70 - 135)
??
Ménélaus
(70 - 130)
??
Nicomaque
(150 - ?)

43. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
• Diophante
– Fondateur des équations
– Variables et « inconnues »
– Équation de l’âge de Diophante
– Auteur de VI livres d’arithmétique
– À l’origine du Xème problème de Hilbert (1900)
• Résolu (négativement) en 1971par MATIIASSEVITCH
??
Diophante
(210 - 294)

44. la préhistoire > l'école d'Alexandrie
• Pappus
• Théon d’Alexandrie
• Hypatie
– Fille de Théon
– Directrice de l’école
– Assassinée par les chrétiens
• Destruction de la bibliothèque
• Fin d’Alexandrie
??
??
??
Pappus
(290 - 350)
Théon
(335 - 405)
Hypatie
(370 - 415)

45. l'algèbre et le calcul
3. L’algèbre et le calcul
les mathématiques orientales
3.1 Mathématiques chinoises
3.2 Mathématiques indiennes
3.3 Mathématiques arabes

46. l'algèbre et le calcul > mathématiques chinoises
3.1 Mathématiques chinoises
• 1300 ans av. J.C.
– Numération décimale
Chiffres des Jiaguwen
Inscriptions sur os et écailles de tortue
– Connaissance du zéro
– Nombres négatifs « trompeurs »
QuickTime™ et un
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47. l'algèbre et le calcul > mathématiques chinoises
Confucius
• Contemporain de Pythagore
• Epoque des royaumes combattants
• Premier texte mathématique
– Zhoubi suanjing
– Canon des calculs gnomiques
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé
sont requis pour visionner cette imag
Confucius
(-551 -479)

48. l'algèbre et le calcul > mathématiques chinoises
Les neuf chapitres
• Juizhang Suanshu
• Origine environ 2000 ans av. J.C.
• Très nombreuses versions chinoises
• Commenté par Liu Hui 300 ap. J.C.
• Traduit en français par Karine Chemla
• Publié en octobre 2004 chez Dunod

49. l'algèbre et le calcul > mathématiques chinoises
• Carrés magiques
• Théorème de Pythagore
• Calcul de ∏ par exhaustion
• Systèmes d’équations linéaires
– Méthode du pivot Gauss
• Calcul matriciel
• Équations de degrés 1, 2, 3
• Triangle de Pascal
• Théorème des restes chinois

50. l'algèbre et le calcul > mathématiques chinoises
• Algorithmes
– assignation de variables
– conditionnelles
– itérations
• Démonstration
– pas de logique
– preuves d’exactitude

51. l'agèbre et le calcul > mathématiques indiennes
3.2 Mathématiques indiennes
• Harrappéens 3000 ans av. J.C.
– Comptabilité commerciale
– Poids et mesures
• Aryens 1500 ans av. J.C.
– Sanskrit
– Vedangas textes mathématiques

52. l'algèbre et le calcul > mathématiques indiennes
Le zéro
• Système de Bakhshali IIIème siècle
– Apparition du zéro
• Système de Gwalior IXème siècle
– Système actuel chiffres arabes
– 9 signes et le zéro  ou O
– Appelé en inde sunya et en arabe sifr
– Origine du mot chiffre

53. l'algèbre et le calcul > mathématiques indiennes
Les chiffres

54. l'algèbre et le calcul > mathématiques indiennes
• Aryabhata (476 - 550)
• Brahmagupta (598 - 670)
– Astronomie
• Tables des sinus
– Équations
– Racines carrées et cubiques
– Calcul des irrationnels
• √2 = 1+ 1/3 + 1/3 (1/4 - 1/34 x 1/4)
= 577 / 408 = 1,41426 exact !
• ∏ = 62 832 / 20 000 = 3,1416 exact !

55. l'algèbre et le calcul > mathématiques indiennes
• Solution des équations
a x2
± c = y2
équation hyperbolique
61 x2
+ 1 = y2
défi de Fermat
solution de Lagrange
• BHASKARA (1114 - 1193)
– Fonde la démonstration
– Refus de ∏ = √10 non fondé

56. l'algèbre et le calcul > mathématiques arabes
3.2 Mathématiques arabes
• Étude de Diophante Équations
• Fondation de l’algèbre
Abu jafar muhammad ibn musa al-khawrizmi
– Origine du mot algorithme
• Hisab al-jabr w’al-muquabala
– Calcul par restauration et réduction
– Origine du mot algèbre
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
780 - 850

57. l'algèbre et le calcul > mathématiques arabes
• Bibliothèque de Bagdad
– Succède à la défunte Alexandrie
– Traduction en arabe des manuscrits
• Grecs Euclide, Diophante, …
• Indiens Numération, Zéro, …
• Abu Kamil(850 - 930)
– Systèmes d’équations
– Trigonométrie
• Tangente, cotangente
• Formules sin (a+b) = . . .
sin p + sin q = . . .

58. l'algèbre et le calcul > mathématiques arabes
• Al Karaji (980 - 1030)
– nombres irrationnels
– Sommes des entiers, carrés, cubes
– Démontre ap
. aq
= ap+q
– Introduita-n
= 1/an
• Al Farisi (1260 - 1320)
– Théorie des nombres
– x4
+ y4
= z4
est insoluble
• Ibn al-Khawwam (1245 -1324)
– x3
+ y3
= z3
est insoluble

59. l'algèbre et le calcul > mathématiques arabes
• Al Kashi (1390 - 1450)
– Directeur de l’observatoire de Samarkande
– Liens algèbre - géométrie
– Analyse combinatoire
– Calculabilité par radicaux
– Calcul de ∏ avec 16 décimales
– Généralise le théorème de Pythagore
• a2
= b2
+ c2
- 2.b.c.cos a (ABC quelconque)
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61. du moyen âge à la renaissance
4. Du moyen âge à la
renaissance
4.1 Nombres et Calculs
4.2 Algèbre et Géométrie
4.3 Logique
4.4 Théorie des Nombres

62. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
4.1 Nombres et calcul
• Chiffres « arabes »
Gerbert d’Aurillac
– Etudes à Aurillac puis Barcelone
– Découvre les chiffres arabes
– Voyages en Allemagne
– Introduit ces chiffres en Europe
– Devient pape en 999 Sylvestre II
• « pape de l’an mil »
Gerbert d’Aurillac
(938 - 1003)
Pape en 999
Sylvestre II
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63. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
Fibonacci
(1175 - 1250)
Traductions
• Al-Khwarizmi
– nombreuses traductions latines à partir du XIIème
siècle
– Dixit Algorizmi (cf. « arithmos »)
• Léonard de Pise filius Bonacci
– Liber Abaci 1202 algébre et arithmétique
– Introduit le zéro et l’ algèbre
– Équation du 3ème degré
– Suite un = un-1 + un-2 u0 = 0 u1 = 1
• Nombre d’or
• 10ème problème de Hilbert

64. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
?
Nicolas Chuquet
(1445 - 1488)
La Science des Nombres
• Nicolas Chuquet
– Triparty en la science des nombres
• Nombres rationnels, irrationnels
• Equations
• Progressions arithmétiques & géométriques
• Premières notations mathématiques
– p : plus m : moins eq : = …
• Nombres négatifs
• Règle des signes + x + = + - x - = + - x + = + x - = -
• Table de multiplication

65. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
Omar Khayyam
(1048 - 1131)
?
Scipion del Ferro
(1465 - 1526)
Équation du 3ième degré
• Omar Khayyam Perse
– Solutions positives géométriques
• Intersection de coniques
• Scipion del Ferro Italien
• Première solution complète non publiée

66. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
Imprimerie révolution
– Johannes Gensfleisch
Tartaglia dit « le bègue »
– Gravement blessé à 13 ans par les soldats de
François 1er
– Gagnant d’un concours avec Antonio Fior
élève de Scipion del Ferro
• 30 équations du 3ième degré
(résolues en une nuit)
non publié
Gutenberg
(1400 - 1468)
Tartaglia
(1499 - 1557)

67. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
Girolamo Cardano
– Médecin, astrologue (horoscope du Christ),
mathématicien, mécanicien
– Inventeur du « joint de cardan »
– Soutire à Tartaglia en 1539 la solution des équations du
3ième degré promesse de ne pas publier
– Auteur de « Ars Magna » 1545
– Publie la solution trahit sa promesse
– Précurseur du calcul des probabilités
Gérôme Cardan
(1501 - 1576)

68. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
Nombres imaginaires
• Ars Magna Chapitre 37
– Équation x (10 - x) = 40
– Affirme les solutions 5 ± √-15
– La somme = 10 le produit = 40
– « Manifestum est, quod caseus seu quaestio est
impossibilis, sic tamen operabimus »
– Cardan appelle ces nombres « quantitas sophistica »
nombre formel

69. du myen âge à la renaissance > nombres et calculs
Bombelli
– Publie Algebra 1572
– Énonce 8 règles de calcul des nombres complexes dont
√-1 x √-1 = -1
Exemple
• (2 ± √-1)3
= 2 ± 11 √-1
– L’équation x3
= 15 x + 4
– Solution de Cardan très compliquée
– Solution de Bombelli x = 4
Rafael Bombelli
(1526 - 1572)

70. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
sont requis pour visionner cette image.
Lodovico Ferrari
(1522 - 1565)
Équation du 4ième degré
• Lodovico Ferrari
– Domestique de Cardan à 14 ans
– Puis secrétaire, puis élève
– Résout l’équation du 4éme degré avec une équation
« résolvante » du 3ème degré
– Mort empoisonné par sa sœur

71. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non cosont requis pour visionner cet
François Viète
(1540 - 1603)
Signes et calculabilité
• François Viète
– Avocat, conseiller au parlement
– Mathématicien « amateur »
– Cryptologue de Henri IV
– Canon Mathematicus 1571
• Trigonométrie
– Conjecture l’impossibilité des 3 problèmes de
l’antiquité en 1592
– Résout une équation de degré 45 en 1593
• Trouve les 22 solutions positives

72. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
• Équations
Relations de Viète
– Entre coefficients et solutions
– Exemple x3
+ 3x2
- 2x - 6 = 0
– Racines a, b, c
– a + b + c = - 3 ab + ac + bc = -2 abc = 6
Première idée du théorème fondamental de
l’algèbre
Première idée de « structure »

73. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
• Les signes
In artem ananyticam isagoge 1591
– Algèbre signes : + - in / exposants
– Utilisation de lettres pour les variables
– Refuse les nombres négatifs
Écritures de 12 + 5 . X = 20
– Diophante (IIIème) ζεM° 1β εστ1Χ
– Chuquet (XVème) 12° p 51 egault 20°
– Viète (XVIème) 12 + 5 in A aequatur 20
– Tartaglia (XVIème) 12 N p 5 R equale 20 N
– Descartes (XVIIème) 20 + 5z ∝ 20

74. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
QuickTime™ et un
décompresseur TIFF (non compressé)
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John Neper
ou Napier
(1550 - 1617)
QuickTime™ et un
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Bâtons ou Réglettes
de Neper (1615)QuickTime™ et un
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Logarithmes & Machines à
calculer
• Etymologie (gr.)
logos : logique arithmos : nombre
• Première machine à calculer

75. du moyen âge à la renaissance > nombres et calculs
• Multiplication
Exemple 327 x 546
réglettes V 3 2 7
réglettes H 5 4 6
somme en diagonale
/ de Bas Droite
à Haut Gauche
Résultat
178 542
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76. du moyen âge à la renaissance > algèbre et géométrie
4.2 Algèbre & Géométrie
Albert Girard
– Enonce le théorème fondamental
René Descartes
– Polynômes p(x)
• p(x) divisible par (x-c) ⇔ c est racine
– Géométrie analytique
• Unification algèbre - géométrie
• Coordonnées cartésiennes, distance
• Équations des droites, cercles, courbes, ..
• Etude des fonctions (parabole, cycloïde, …)
– Discours de la méthode
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René Descartes
(1596 - 1650)
?
Albert Girard
(1595 - 1632)

77. du moyen âge à la renaissance > logique
4.3 Logique
• Scolastique
Enseignement dans les écoles ecclésiastiques
Abélard Dialectica
Guillaume d’Occam Summa Logicæ
Nicole Oresme De proportionibus
– Raisonnements sur le Syllogisme d’Aristote
– Introduction de la négation
– Modes des syllogismes
• tout y est x, tout z est y ⇒ tout z est x
• aucun y n’est x, tout z est y ⇒ aucun z n’est x
• tout y est x, certains z sont y ⇒ certains z sont x
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Pierre Abélard
(1079 - 1142)
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Guillaume d’Occam
(1285 - 1349)
?
Nicole Oresme
(1323 - 1382)

78. du moyen âge à la renaissance > logique
• La Logique de Port-Royal
Les solitaires
– Messieurs de Port-Royal
– Antoine Arnauld & Pierre Nicole
• La logique ou l’art de penser 1662
– Collaboration de Pascal
– Manuels de logique et grammaire
– Premiers enseignements en français
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Antoine Arnauld
(1612 - 1694)
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Pierre Nicole
(1625 - 1695)

79. du moyen âge à la renaissance > théorie des nombres
4.4 Théorie des Nombres
Pierre Simon de Fermat
– Né à Beaumont-de-Lomagne
– Mort à Castres
– Conseiller au parlement de Toulouse
– Mathématicien amateur
– Lit et annote l’Arithmetica de Diophante
– Importante correspondance avec ses contemporains
Descartes et Pascal
– Fonde le calcul de Probabilités
– Très nombreuses « théorèmes »
– Fonde la théorie des nombres
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Pierre Simon de Fermat
(1601 - 1665)

80. du moyen âge à la renaissance > théorie des nombres
• Théorèmes de Fermat
– Petit théorème
• p premier ⇒ a p
- a est divisible par p
• Démontré par Euler 100 ans plus tard
• Utilisé en cryptologie dans RSA
– Grand théorème
• a, b, c, n ∈ N
• an
+ bn
= cn
⇒ n ≤ 2
« … d'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance
quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus
généralement aucune puissance supérieure stricte à� 2 n'est somme de
deux puissances analogues.
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne
peux l’écrire dans cette marge car elle est trop longue »
• Démontré en 1995 par Andrew Wiles
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Andrew Wiles
(1953 )

81. du moyen âge à la renaissance > théorie des nombres
• Machine à calculer
Blaise Pascal
– Redécouvre les maths à 12 ans
– Contemporains : Descartes, Fermat
– Triangle de Pascal
• Propriétés : binôme, combinaisons
– La Pascaline 1642
• Machine à Additionner
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Blaise Pascal
(1623 - 1662)
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82. 5. De la renaissance au
XIXème siècle
5.1 XVIIème siècle l’analyse
5.2 XVIIIème siècle les fonctions
5.3 XIXème siècle les structures

83. 5.1 l’analyse
Leibniz
– Philosophe, mathématicien
– Disciple de Descartes
– Fondateur du calcul différentiel
• Notation dy/dx = lim ∆y/∆x ∆x → 0
– Auteur de Acta Eruditorum
• Calcul intégral notation ∫f(x)dx
– Développements en série 1/(x+1)
– Contemporain de Newton et Arnauld
– Machine à calculer
• Capable des 4 opérations
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compresont requis pour visionner cette im
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(1646 - 1716)
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84. Numération binaire
– Découvre et interprète les hexagrammes chinois
• Origine Fu-Hi (2 900 av. J.C.)
– Fonde la numération binaire
• De Arte Combinatoria (inachevé)
– Précurseur de la logique
formelle
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Hexagrammes
Numération binaire

85. Analyse mathématique
Newton
– Fonde l’analyse
– Séries infinies
– Fluentes et fluxions
– Loi de la gravitation F = k M M’/d2
– Loi de la dynamique F = M γ
Bernoulli Jacques et Jean
– Apparition des fonctions
« on appelle fonction d’une grandeur variable une quantité
composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur
variable et de constantes » Jean Bernoulli 1718
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compsont requis pour visionner cette i
Sir Isaac Newton
(1643 - 1727)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non comprsont requis pour visionner cette im
Jacques Bernoulli
(1654 - 1705)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compresssont requis pour visionner cette ima
Jean Bernoullli
(1667 - 1748)

86. Le Vème postulat
Saccheri
– Logica Demonstrativa 1697
– Euclides ab omni naevo vindicatus
– Reprend les travaux des perses Al Kayyam et Nasir
al-Din al-Tusi
– Tente de démontrer les Véme postulat d’Euclide en le
niant
– Fonde à son insu les géométries non euclidiennes
?
Giovanni Girolamo Saccheri
(1667 - 1733)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.
Nasir al-Din al Tusi
(1201 - 1274)

87. Conjecture de Goldbach
Goldbach
– Théorie des nombres
– 1742 Lettre à Euler
« tout nombre pair > 2 est la somme de 2 nombres
premiers »
– Non démontré à ce jour
?
Christian Goldbach
(1690 - 1764)

88. Systèmes d’équations
Cramer
– Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques
• Systèmes d’équations à plusieurs inconnues 1750
Vandermonde
– Mémoire sur la résolution des équations
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Gabriel Cramer
(1704 - 1752)
QuickTime™ et un
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Alexandre Vandermonde
(1735 - 1796)

89. Théorie des nombres
Euler
– Prouve et généralise le « petit théorème » de Fermat
– Si a premier avec n (aφ(n)
-1) mod n = 0
∀ φ(n) totient d’Euler : nombre de nombres < n et premiers avec n
• Base du système de cryptographie RSA
– Avancées sur le « grand théorème »
– Erreur célèbre sur les nombres complexes :
√ ab = √ a • √ b
ex : 4 = √16 = √-4 • √-4 =( 2 • √-1)2
= 4 • (-1) = -4
– Fonde la théorie des graphes
• Les ponts de Königsberg
QuickTime™ et un
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Leonhard Euler
(1707 - 1783)

90. • Fonctions et séries
– Introductio in analysin infinitorum 1748
• Synthèse des mathématiques
– Fonctions inverses
– Fonctions de plusieurs variables
– Fonctions trigonométriques
– Développements en série
– Irrationalité de e
EEiπiπ
= -1= -1 en lettres d’or au palais de la découverte àen lettres d’or au palais de la découverte à
parisparis salle π (31)salle π (31)

91. Irrationnalité de π
Lambert
– Theorie der parallellinien 1766
• travaux sur le Vème postulat
– prouve π irrationnel 1768
– conjecture π et e transcendants
Legendre
– éléments de géométrie 1794
• travaux sur le Vème postulat
– complète la preuve de Lambert
– prouve π2
irrationnel
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Adrien-Marie Legendre
(1752 - 1833)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.
Johann Heinrich Lambert
(1728 - 1777)

92. Retour aux équations
Lagrange
– Réflexions sur la résolution algébrique des équations 1772
– Traité de la résolution des équations numériques 1798
– Conjecture le théorème fondamental
– Recherche des solutions générales des équations du 5ième
degré
– Substitutions
• Première idée sur la structure des racines
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Joseph-Louis Lagrange
(1736 - 1813)

93. Nombres complexes
Wessel
Argand
– Représentation géométrique 1799
Gauss « prince de mathématiciens »
– Racines de l’unité
– Équation cyclotimique
– Fonde l’algèbre des complexes
– Démontre le théorème fondamental
QuickTime™ et un
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Carl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)
?Gaspard Wessel
(1745 - 1818)
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?Jean Robert Argand
(1768 - 1822)

94. Analyse
Cauchy
– Rigueur
– Annales de mathématiques pures et appliquées 1817
– Continuité des fonctions
– Convergence des séries
– Définition formelle des limites
– Croit avoir démontré le théorème de Fermat mais
commet une erreur
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Augustin Louis Cauchy
(1789 - 1857)

95. Idéaux
Kummer
– 1er mars 1847 Académie des sciences :
Cauchy et Lamé déposent une « démonstration » du
théorème de Fermat
– Avril 1847 Kummer relève la même erreur dans les 2
manuscrits : application du théorème fondamental de
l’arithmétique aux nombres complexes
– Définit les nombres « idéaux »
– Précurseurs des anneaux
QuickTime™ et un
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sont requis pour visionner cette image.
Ernst Kummer
(1810 - 1893)

96. 6. XIXème & XXème siècles
6.1 Des structures aux ensembles
6.2 La calculabilité
6.3 Fondement de l’informatique

97. Une mathématicienne
Sophie Germain
– 13 ans lit la vie d’Archimède
– 19 ans lit les cours de Polytechnique
– Correspond avec Lagrange et Gauss sous le nom de Mr
Le Blanc
– Démontre le théorème de Fermat pour un classe de
nombres premiers
– Oriente les recherches Dirichlet, Legendre, Lamé
– Opposition avec Poisson
– Théorie des surfaces et vibrations
– Devient l’amie de Jean-Baptiste Fourier
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Sophie Germain
(1776 - 1831)

98. Théorie des ensembles
• Premières idées
Bolzano
• Größenlehre 1840
– Premier essai de fondements des mathématiques sur la logique
• Paradoxien des Unendlichen 1851
– Précurseur de la théorie des ensembles infinis de Cantor
Weierstrass
• Construction arithmétique de
l’ensemble des nombres irrationnels
• Précurseur des fractales
– Fonctions continues non dérivables
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Bernard Placidius Johann
Nepomuk Bolzano
(1781 - 1848)
QuickTime™ et un
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Karl Wilhelm
Theodor Weierstrass
(1815 - 1897)

99. Groupes « abéliens »
Abel
– Contemporain de Beethoven et Schubert
– Critique Augustin Cauchy
• Donne un contre-exemple d’un théorème faux sur la continuité
– Démontre l’impossibilité de résoudre l’équation de
cinquième degré par radicaux
– Mort dans la misère et la maladie
– 2001 Création du prix « Abel » équivalent en maths
du prix « Nobel »
ens.math.univmontp2.fr/SPIP/article.php3?id_article=721
QuickTime™ et un
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Niels Henrik Abel
(1802 - 1829)

100. Corps « de Galois »
Galois
– Opposant politique de Cauchy
– Recalé 2 fois à l’oral de Polytechnique
– Fonde les corps finis CG
• Très utilisés en informatique CG2
– Démontre l’impossibilité de résoudre toute équation de degré ≥ 5
par radicaux
– Mort en duel à 20 ans
– Rédige toutes ses découvertes la nuit précédent sa mort
ens.math.univ-montp2.fr/SPIP/article.php3?id_article=1178
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Evariste Galois
(1811 - 1832)

101. Nombres transcendants
Liouville
– Élève de Cauchy
– Publie les œuvres de Galois
– Fractions continues
– Prouve l’existence de nombres non algébriques appelés
transcendants 1844
– Exemple de nombre de Liouville
L = 10-1!
+10-2!
+10-3!
+10-4!
+... =
0.1100010000000000000000010000...
1 en position n! et 0 ailleurs
– Conjecture la transcendance de π et e
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressont requis pour visionner cette ima
Joseph Liouville
(1809 - 1882)

102. Calculabilité géométrique
la règle et le compas
Wantzel
– Poursuit les travaux d’Abel
– Théorème
« Tout nombre constructible à la règle et au compas est
racine d'un polynôme � à coefficients entiers et le
degré du polynôme minimal admettant x comme zéro
est une puissance de 2 »
– Fin de 2 des 3 problèmes de l’antiquité
• Duplication du cube
• Trisection de l’angle
?
Pierre Laurent Wantzel
(1814 - 1848)

103. Logique
Boole
– 1ère formalisation de la logique
– The laws of thought 1854
– Observe que a ou b a et b
Se « calculent » comme a + b a . b
Charles Lutwidge Dodgson
– Nombreuses publications sur Euclide
– Alice's adventures in wonderland 1865
– Démonte les sophismes de Zénon (tortue)
– Nécessité des règles d’inférence
– Symbolic logic 1896
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George Boole
(1815 - 1864)
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Lewis Carroll
(1832 - 1898)

104. Transcendance de e & π
Hermite
– Prouve e transcendant 1873
Lindemann
– Prouve π transcendant 1882
Inconnues
– Transcendance de π + e, π • e, …
Fin du 3ième problème de l’antiquité
quadrature du cercle impossible
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Carl Louis Ferdinand Lindemann
(1852 - 1939)
QuickTime™ et un
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Charles Hermite
(1822 - 1901)

105. Les infinis
Cantor
– Prouve l’existence de deux infinis de puissances
différente Argument diagonal
• L’infini des entiers et de tous les ensembles dénombrables :
N, Z , Q, … puissance ℵ0
• L’infini du continu
R, ℘(N), F : N → N, … puissance ℵ1
– Fonde les nombres transfinis
ℵ0 ℵ1 ℵ2 … ℵℵ
– Fonde la théorie des ensembles
• Avec Richard Dedekind
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Greg Cantor
(1845 - 1918)
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Richard Dedekind
(1831 - 1916)

106. Le constructivisme
Poincaré
– Cousin de Raymond Poincaré
• Président de la République (1913 1920)
– Immense œuvre 30 volumes
– Théorie du chaos
– Fonde la topologie algébrique
– Fonde le Constructivisme (ou Intuitionnisme) opposé a
l’Axiomatisme (Hilbert, Russel)
– Principe de définition par induction et non par axiomes
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Henri Poincaré
(1854 - 1912)

107. Théorie des ensembles
Frege, Peano, Zermelo,
Russel, Fraenkel, …
– Refondation des
mathématiques sur les
concepts de structure,
logique, objets abstraits
– Nombreux paradoxes
• Exemple X = {x |x ∉ x} Russel
– Questions fondamentales
• Cohérence, complétude
• Décidabilité
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Gottlob Frege
(1848 - 1925)
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Giuseppe Peano
(1858 - 1932)
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Sir Bertrand Russel
(1872 - 1970)
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Ernst Zermelo
(1871 - 1953)
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Adolf Abraham Fraenkel
(1891 - 1965)
…

108. Les 23 problèmes
Hilbert
– Théorie des invariants
– Congrès de paris 1900
• Pose 23 problèmes à résoudre pour le siècle
• Presque tous ont été résolus depuis, la plupart négativement
• Un des derniers : le dixième équations diophantines 1971
• Le grand théorème de Fermat ne fait pas partie des 23
problèmes !
– Hilbert le considérait comme trop difficile !
– Calculabilité et décidabilité
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David Hilbert
(1862 - 1943)

109. Intuitionnisme
Brouwer
– Idées de Poincaré
– Critique l’axiomatisation
– S’oppose au logicisme
– Refuse les ensembles non dénombrables
– Refuse les axiomes non construits
• axiome de choix, tiers exclus
– Existence par construction
– Démonstration par calcul effectif
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Luitzen Egbertus
Jan Brouwer
(1881 - 1966)

110. Algèbre abstraite
Emmy Nœther
– Idéaux dans les anneaux
– Invariants algébriques
• Application à la relativité Einstein
– Correspondance avec Cantor et Dedeking
– Éloges de Hilbert et Einstein
– Chassée d’Allemagne par les nazis
– Expatriée aux USA 1933
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Emmy Nœther
(1882 - 1935)

111. La cybernétique
Wiener
– La recherche mathématique est identique à la création
d’un œuvre d’art
– Logique, axiomatique, analyse, théorie des nombres,
analyse, théorie de l’information
– Novations
• Limites de la logique mathématique
• Fonde la théorie du chaos
• Systèmes dynamiques
– Fonde la cybernétique
• Cybernétique et société 1948
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image
Norbert Wiener
(1894 - 1964)

112. La récursivité
Ackermann
– Élève de Hilbert
– Fonction récursive mais non calculable par itération
bornée
A (m,n) =
si m = 0 alors n + 1 sinon
si n = 0 alors A(m - 1, 1) sinon
A(m - 1, A(m, n - 1))
– Fonction non primitive récursive
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Wilhelm Ackermann
(1896 - 1962)

113. La plus grande découverte
mathématique de l’humanité
Gödel
« toute théorie dont le modèle comporte un ensemble
infini ne peut être à la fois consistante ET complète »
– Idée : construire un système formel acceptant la fbf :
A : A n’est pas un théorème
• Si A est vrai A n’est pas démontrable
• Si A est faux, A est un théorème
QuickTime™ et un
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sont requis pour visionner cette image.
Kurt Gödel
(1906 - 1978)

114. Sémantique de la vérité
Banach
– Fonde l’analyse fonctionnelle
– Théorie de la mesure
Tarski
– Fonde la théorie des modèles
– Définit la conséquence logique 1936
– la conception sémantique de la vérité et le fondement
de la sémantique 1944
– Paradoxe de la sphère Banach-Tarski
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Alfred Tarski
(1902 - 1983)
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compresssont requis pour visionner cette imag
Stefan Banach
(1892 - 1945)

115. Algorithmes formels
Markov père
– Processus stochastiques
– Chaines de Markov
Markov fils
– Fonde la théorie première théorie formelle des
algorithmes
– Précurseur de la théorie de la calculabilité
– Prouve l’indécidabilité du problème de
l’homéomorphisme
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.
Андрей Андреевич Марков
(1856 - 1922)
QuickTime™ et un
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Андрей Андреевич Марков
(1903 - 1979)

116. Axiomatisations
Kolmogorov
– Axiomatisation des probabilités
partie du 6ème problème de Hilbert
– Impossibilité de résoudre l’équation du 7ème degré par
fonctions de 2 variables
13ème problème de Hilbert
– Théorie de l’information fondée sur la complexité
algorithmique
différente de celle de Shannon
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Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 - 1987)

117. Le premier ordinateur
Von Neumann
– Logique
– Algèbres quantiques
– Fonde la théorie des jeux
– Définition ensembliste des nombres
• 0 → ∅, 1→ {∅}, 2 → {∅,{∅}}, …, n+1 → n ∪ {n}
• Propriétés card (n) = n , < coïncide avec ∈
– Automates cellulaires
– Premier ordinateur ENIAC 1945
• UAL
• Mémoire
• Programme enregistré
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John von Neumann
(1903 - 1957)

118. Calculabilité
Church
– Calculabilité et Décidabilité
– Récursivité
– Etablit en 1936 la première construction mathématique
des fonctions calculables
– Fonde en 1941 le lambda calcul à l’origine de
Lisp et Scheme
– Enonce la thèse de la calculabilité
« l’ensemble des fonctions calculables est identique quelque
soit le modèle de calcul »
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Alonzo Church
(1903 - 1995)

119. Machine à calculer universelle
Turing
– Première construction
abstraite d’une machine à
calculer universelle en … 1936
– Décrypte le code de l’Enigma
– Fonde l’intelligence artificielle
– Auteur du test de Turing
• Procédure distinguant un humain et une machine
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Alan Turing
(1912 - 1954)

120. Fonctions non calculables
• Terminaison d’un programme
Arrêt de la machine de Turing
Existence supposée d’une fonction calculable f
∀ P f(P) = 0 ⇔ P se termine P est un programme (texte)
Construction de la fonction g (P) dont G est le programme
∀ P si f(P) = 0 alors tant que vrai faire { }
g (G) se termine ⇔ G ne se termine pas
Conclusion f n’est pas calculable
• Équivalence de programmes
P (d) ≡ Q (d) ⇔ ∀ d résultat de P (d) = résultat de Q (d)

121. Théorie de l’information
Hartley
– Transmission of information 1928
– Première mesure de l’information
Weaver et Shannon
– A Mathematical Theory of Communication 1948
Applications
• Transmission de données
• Compression de données
• Codes détecteurs & correcteurs
• Cryptologie
• Physique quantique
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Claude Shannon
(1916 - 2001)
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Warren Weaver
(1894 - 1978)
?
Ralph Hartley
(1888 - 1970)

122. Conjecture de Syracuse
Collaz 1937
Posée en 1950 à l’université de Syracuse
(USA)
un+1 = si un pair un / 2 sinon 3 un + 1
• Conjecture
– converge vers 1
– non démontrée
?
Lothar Collaz
(1910 - 1990)

123. La science informatique
Arsac
– Introduit l’informatique à l’université française
• Institut de programmation de Paris
– la science informatique 1970
– les machines à penser 1987
– La science et le sens de la vie 1993
– Y-a-t-il une vérité hors de la science 2002
QuickTime™ et undécompresseur TIFF (non csont requis pour visionner c
Jacques Arsac
(1929 )

124. La mathématique
Bourbaki
– Nom : canular ENS 1880
– Collectif de 1935 renouvelé par cooptation
âge limite 50 ans
– Refonde « la mathématique » sur les fondements
axiomatiques de Hilbert
– 10 volumes
– Introduction des notations N, Z, Q, R, C
des termes injection, surjection, bijection
des notations ⇒, CE, …
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Nicolas Bourbaki
(1939 - ? )

125. Les 3 écoles actuelles
• Logicisme Dedekind, Cantor, Peano, Frege, Russel, Boole
– Principe du tiers exclus
– Définitions cohérentes
– Démonstrations par existence
• Constructivisme ou intuitionnisme Kronecker,
Poincaré, Borel, Brouwer
– Définitions et démonstrations par algorithmes
– Refus de l’axiome de choix et du tiers exclus
• Formalisme Hilbert, Bourbaki
– Fondement purement axiomatique
– Russel et Gödel l’infirment