L'informatique de Ramsès II au web 2

Pierre-rouge Sciences - Assas Richard Terrat
L'informatique
de RAMSÈS II
au web 2.0
Richard G. TERRAT
Ingénieur A&M
Maître de conférences honoraire en Informatique
Université de Montpellier

12 janvier 2016
2/82
Sommaire
● Prolégomènes
– informatique
– algorithme
– ordinateur
● Périple autour des algorithmes et du codage
– la maison de la sagesse (Bagdad)
– l'Inde
– la Chine
– la bibliothèque d'Alexandrie
– l'Égypte
– Babylone

12 janvier 2016
Prolégomènes 3/82
Informatique
● Étymologie
1957 Informatik : néologisme allemand de Karl Steinbuch
« Automatische Informationsverarbeitung »
1962 Informatique : néologisme français de Philippe Dreyfus
fusion de « information » et « automatique »
1966 Informatique : « dérivé d'information sur le modèle de
mathématique, électronique »
Académie française
● Définition
« Science du traitement rationnel et automatique de
l'information ; l'ensemble des applications de cette science »

12 janvier 2016
Prolégomènes 4/82
Informatique
● Quatre « piliers »
l'algorithmique
– l'information : représentation, codage
– la programmation (parfois improprement appelée aussi
« codage ») et ses langages
– l'ordinateur
« L'ordinateur est à l'informaticien ce que le télescope est à
l'astronome » (Jacques Arsac, membre de l'Académie des
Sciences)
« L'informatique n'est pas plus la science des ordinateurs que
l'astronomie n'est celle des télescopes. » (Michael R. Fellows
et Ian Parberry - Computing Research News – Janvier 1993) »

12 janvier 2016
Prolégomènes 5/82
Algorithme
● Etymologie
« XIIIe siècle, augorisme. Altération, sous l'influence du
grec arithmos, « nombre », d'algorisme, qui, par
l'espagnol, remonte à l'arabe Al-Khuwarizmi, surnom d'un
mathématicien »
● Définition
« Méthode de calcul qui indique la démarche à suivre pour
résoudre une série de problèmes équivalents en
appliquant dans un ordre précis une suite finie de règles.
L'algorithme de la multiplication de nombres à plusieurs
chiffres »

12 janvier 2016
Prolégomènes 6/82
Ordinateur
● Étymologie
Mot choisi le 16 IV 1955 par Jacques Perret,
professeur de philologie latine à la Sorbonne sur
demande de François Girard responsable du service
de publicité d’I.B.M. France
● Définition
XVe siècle, au sens de « celui qui institue quelque
chose »
XXe siècle, au sens actuel. Emprunté du latin ordinator,
« celui qui règle, met en ordre ; ordonnateur »

12 janvier 2016
Alexandrie 7/82
Bagdad
850 → 1200
Alexandrie
-300 → 600
Thèbes
-1800 → -1500
Babylone
-2500 → -1500
Chine
-1000 → -300
Inde
200 → 700

12 janvier 2016
Bagdad 8/82
La maison de la sagesse
Bagdad (832 –1258)
● Al-Khuwarizmi
● Codage
● Algorithmes et Algèbre
● L'épitaphe de Diophante

12 janvier 2016
Bagdad 9/82
Al-Khuwarizmi
– originaire de Khiva, province du Khwarezm à cette
époque en Perse, actuellement en Ouzbékistan
– mathématicien à la maison de la sagesse à Bagdad
– auteur de « Kitab al-jabr w’al-muqabala » : calcul
par restauration et ré-équilibrage
– fondateur de l'Algèbre (Al-jabr)
– importe de l'Inde les chiffres indiens (via Aryabatha
et Brahmagupta) connus actuellement comme les
chiffres arabes, et le zéro (sifr en arabe)
780 → 850

12 janvier 2016
Bagdad 10/82
Al-Khuwarizmi
– les règles de l'algèbre permettent de résoudre des
équations (fondées par Diophante - appelé le
« père de l'algèbre » - au IIIème siècle )
– importation en France par Sylvestre II (Gerbert
d'Aurillac) le pape de l'an mil, lors d'un séjour dans
les monastères de Vich et Ripoli près de Barcelone
– nombreuses traductions latines au XIIIème siècle :
● Liber Abaci : Fibonacci (1202)
● Dixit algorizmi : plusieurs auteurs
● confusion avec Arithmetica de Diophante

12 janvier 2016
Bagdad 11/82
Codage
● Nombres
– décimale positionnelle avec chiffre 0
– importée de l'inde
● Algorithmes
– rhétoriques
– inconnue appelée chay' (la chose) devenue xay en
ancien espagnol d'où (peut être) le x actuel
– les nombres sont appelés des dirhams
– tous les coefficients sont positifs

12 janvier 2016
Bagdad 12/82
Algorithmes et Algèbre
● Exemple
– « Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à
un homme, une donation égale à la part d'un de
ses fils et, à un autre, le quart de la différence entre
le tiers de l'héritage et la première donation. »
● L'équation
– x désigne la part de chaque fils

12 janvier 2016
Bagdad 13/82
Algorithmes et Algèbre
● Règles
– Al jabr : la restauration
● 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3
– Al muqabala : le ré-équilibrage
● 4x = 9 + 3x devient x = 9
– Al hatt : la réduction
● 2x = 8 devient x = 4

12 janvier 2016
Bagdad 14/82
L'épitaphe de Diophante
par Métrodore, grammairien grec vers l’an 500
Il resta enfant pendant le sixième de sa vie.
Après un autre douzième, ses joues se couvrirent de
barbe.
Après un septième, il alluma le flambeau du mariage.
Cinq ans après il lui naquit un fils, mais celui-ci mourut
arrivé à la moitié de l'âge auquel son père mourut.
Diophante vécut encore quatre ans, adoucissant sa
douleur par des recherches sur la science des nombres.
Question : à quel âge Diophante est-il mort ?

12 janvier 2016
Bagdad 15/82
L'épitaphe de Diophante
● Équation
on pose x = l'âge de Diophante à sa mort
Al hatt
Al hatt
Al muqabala

12 janvier 2016
Alexandrie 16/82
Bagdad
850 → 1200
Inde
200 → 700

12 janvier 2016
Inde 17/82
L'inde
● Historique
● Codage
● Algorithmes
● La racine carrée

12 janvier 2016
Inde 18/82
Historique
● Harappéens ≈ de -5 000 à -2 000
– comptabilité commerciale
– poids et mesures
● Aryens ≈ de -1 500 à -500
– sanskrit
– vedangas textes mathématiques

12 janvier 2016
Inde 19/82
Codage
● Système de Bakhshali ≈ 200
– apparition de la numération décimale et du chiffre
zéro (sunya en sanskrit, sifr en arabe, cephira en
latin)

12 janvier 2016
Inde 20/82
Codage
●
Les chiffres

12 janvier 2016
Inde 21/82
Algorithmes
● Calculs avec le système décimal positionnel
– nombreux algorithmes
● les quatre opérations
● La racine carré
– utilisation de l'arithmétique et de la géométrie
– forme réthorique puis syncopée

12 janvier 2016
Inde 22/82
Algorithmes
Aryabhata
● Calcul de la racine carrée et cubique ≈ 500
– algorithme de la potence
– utilise la notation décimale et le zéro
– utilise une base quelconque (10, 2 ou autre)
– le calcul de la racine carrée figurait en France aux
programmes de
● terminale C en 1968
● certificat d'études en 1910
476 → 550

12 janvier 2016
Inde 23/82
Algorithmes
● Brahmagupta
– introduction du nombre 0 et des nombres négatifs
– solution générale des équations
● du premier degré
● du second degré
598 → 670

12 janvier 2016
Inde 24/82
La racine carrée

12 janvier 2016
Alexandrie 25/82
Chine
Inde
Chine
-1000 → -300
Inde
200 → 700

12 janvier 2016
Chine 26/82
La Chine
● Historique
● Codage
● Algorithmes et constructivisme
● Les neuf chapitres
● Systèmes d'équations
● Codage binaire

12 janvier 2016
Chine 27/82
Historique
● Chiffres des Jiaguwen
– 1400 ans av. J.C.
– inscriptions sur os et écailles de tortue
– numération décimale additive

12 janvier 2016
Chine 28/82
Codage
● Numération « savante » par position ≈ 200
apparition tardive du zéro : 0 au VIIIème siècle
nombres négatifs appelés « nombres trompeurs »

12 janvier 2016
Chine 29/82
Algorithmes et constructivisme
– Juizhang Suanshu
– origine environ 200 ans av. J.C.
– commenté par Liu Hui en 263 ap. J.C.
– publié en Chine en 1247 par Qin Jiushao
– traduit en français par Karine Chemla
– publié en octobre 2004 chez Dunod
en chinois ancien et en français

12 janvier 2016
Chine 30/82
Les neuf chapitres
● Contenu 246 problèmes
– carrés magiques
– théorème de Pythagore
– calcul de ∏ par exhaustion
– systèmes d’équations linéaires
● méthode du pivot Gauss
– équations de degrés 1, 2, 3
– triangle de Pascal
– arithmétique modulaire
● théorème des restes chinois

12 janvier 2016
Chine 31/82
Le théorème de Pythagore
Les neuf chapitres

12 janvier 2016
Chine 32/82
Les neuf chapitres
● Méthodes
– toutes les solutions des problèmes sont justifiées
par des algorithmes. On y trouve
● assignation de variables (je pose ..., je remplace par ...)
● conditionnelles
● itérations
– les algorithmes font office de preuves
– ni axiomatique ni inférences
● contrairement aux mathématiques grecques

12 janvier 2016
Chine 33/82
Systèmes d'équations
● Exemple
– Alice va dans une boulangerie et achète 2 croissants
et 1 pain au chocolat pour 4 euros.Quelques minutes
plus tard dans la même boulangerie Bob achète 1
croissant et 3 pains au chocolat pour 7 euros.
– quel est le prix d'un croissant et d'un pain au chocolat
dans cette boulangerie?
– on pose
● x : prix d'un croissant
● y : prix d'un pain au chocolat

12 janvier 2016
Chine 34/82
Systèmes d'équations

12 janvier 2016
Chine 35/82
Le codage binaire
● Les hexagrammes
– Yi Jing (livre des
mutations)
– origine Fu-Hi (2 900 av.
J.C.)
– découverts par Leibnitz le
15 février 1701 grâce au
père jésuite Joachim
Bouvet missionnaire en
Chine
– traits
● Yin - -
● Yang —

12 janvier 2016
Alexandrie 36/82
Bagdad
Alexandrie
Thèbes
Babylone
Chine
Inde
Alexandrie
-300 → 600
Chine
-1000 → -300

12 janvier 2016
Alexandrie 37/82
La bibliothèque d'Alexandrie
● Historique
● Codage
● Algorithme d'Euclide
● Algorithme de Héron d'Alexandrie

12 janvier 2016
Alexandrie 38/82
Historique
● Fondée en -268
● Toujours pas identifiée
● Plusieurs destructions ... hypothétiques
– guerre civile romaine (César - Pompée ≈ -50)
– séismes et raz-de-marées entre 115 et 630
– par les chrétiens en 415 avec le massacre d'Hypatie
– par les arabes en 642 (contesté)
– par les turcs en 868
Hypatie
370 - 415

12 janvier 2016
Alexandrie 39/82
Codage
● Nombres acrophoniques système attique ≈ -600
– numération additive-multiplicative sans zéro
– Exemple
75 201

12 janvier 2016
Alexandrie 40/82
Algorithme d'Euclide
● Euclide
– mathématicien grec vers -300 ou
– nom d'une école de mathématiciens
– auteur des « éléments de mathématiques » (13+2
tomes, traduction française éditée chez Hachette )
– forme syncopée
– livre VII : un algorithme, dit d'Euclide, pour trouver
● le plus grand carré pour carreler un rectangle
● la plus grande mesure commune à deux
segments
● le plus grand diviseur de deux nombres (pgcd)

12 janvier 2016
Alexandrie 41/82
22 x 14 8 x 14
8 x 6
2 x 4
2 x 2
2 x 6
14 x 14
8 x 8
6 x 6
2 x 2
2 x 2
Le plus grand carré

12 janvier 2016
Alexandrie 42/82
● Idée (on suppose a ≥ b) :
– si c est une mesure commune à a et b,
c'est aussi une mesure commune à a-b
a
b a-b
c c c c c c
La plus grande mesure commune

12 janvier 2016
Alexandrie 43/82
● tant que a ≠ b
– si a > b je retranche b de a
– sinon je retranche a de b
● maintenant que a = b c'est le pgcd
Pour :
● le carrelage d'un rectangle
● la plus petite mesure commune
● le calcul du pgcd de a et b

12 janvier 2016
Alexandrie 44/82
pgcd (a, b) :
tant que a ≠ b : itération
si a > b : condition
a ← a - b affectation
sinon : alternative
b ← b - a affectation
Le programme

12 janvier 2016
Alexandrie 45/82
Le programme en Python
def pgcd (a,b) :
# données : 2 entiers naturels
# résultat : leur pgcd
while a != b : # invariant : pgcd (a,b)
if a > b :
a = a - b
else :
b = b - a
return a

12 janvier 2016
Alexandrie 46/82
Algorithme de Héron
● Héron d'Alexandrie
– ingénieur, mécanicien, mathématicien
– auteur d'un algorithme d'extraction de la racine
carrée
● souvent attribué (à tort) à Newton
● connu des babyloniens

12 janvier 2016
Alexandrie 47/82
● Calcul de la racine carrée de a :
– c'est le côté d'un carré dont l'aire est a
● Principe :
– on construit un rectangle de côtés x et y quelconques
d'aire a
– on construit une suite de rectangles d'aire a dont un
des côtés x est la moyenne arithmétique des côtés du
rectangle précédent
– on s'arrête quand on veut

12 janvier 2016
Alexandrie 48/82
● Exemple : Calcul de √2
2
1
3/2 = 1,5
4/3=1,33 17/12 = 1,417
24/17=1,412

12 janvier 2016
Alexandrie 49/82
● Calcul de √n (n > 1)
– je pose x = 1 et y = n ⇒ x < √n < y
– tant que je veux :
● je remplace y par (x + y) /2 { y décroît }
● je remplace x par a / y { x croît }
– je peux arrêter le calcul quand je veux
– j'aurai toujours, avec une précision croissante :
● √n compris en x et y : x < √n < y

12 janvier 2016
Alexandrie 50/82
Racine carrée de a à ε près :
x ← 1
y ← a
tant que (y – x) > ε : itération
y ← (x + y ) / 2 affectation
x ← a / y
Le programme

12 janvier 2016
Alexandrie 51/82
def racine (a,epsilon) :
# donnée : 1 entier naturel a et un réel epsilon
# résultat : la racine carrée de a à epsilon près
x = 1
y = a
while (y - x) > epsilon :
# invariant : x a y≤ √ ≤
y = (x + y)/2
x = a/y
return (x+y)/2

12 janvier 2016
Alexandrie 52/82
Alexandrie
-300 → 600
Thèbes
-1800 → -1500

12 janvier 2016
Égypte 53/82
L'Égypte
● Codage
● Le papyrus Rhind
● L'algorithme de multiplication

12 janvier 2016
Égypte 54/82
Codage
● Numération décimale additive
1 234 567

12 janvier 2016
Égypte 55/82
Le papyrus « Rhind »
● découvert au XIX ème
siècle dans la tombe de
Ramsès II (Thèbes)
● Auteur : Ahmès
● 5m de long14 feuilles
● daté du XVIème siècle av.
J. C.
● reprend un papyrus plus
ancien du XIXème siècle
av. J. C.

12 janvier 2016
Égypte 56/82
● réthorique
● pas d’abstraction
● pas de logique
● pas de démonstration
● problèmes « concrets »
● calculs arithmétiques
– les 4 opérations
– tables : multiplication, inverse, ...
– opérations sur les fractions (7 à 23)
● équations du 1er degré (24 à 27)
– résolution par la méthode des « fausses suppositions »

12 janvier 2016
Égypte 57/82
● Calcul des aires
– carré, rectangle, triangle, trapèze
● Calcul des volumes
– pyramides
● Valeur de π problèmes 48 à 50
– aire d’un cercle de diamètre 9 unités =
aire d’un carré de côté 8 unités
– π.92/4 ≈ 82 π ≈ 4 x(8 /9)2 ≈ 3,16
– c’est la quadrature (approchée) du cercle !

12 janvier 2016
Égypte 58/82
L'algorithme de multiplication
● Calcul de 19 x 35
35 1
35 x 2 = 70 2
70 x 2 = 140 4
140 x 2 = 280 8
280 x 2 = 560 16
----------------------
665 19
19 √
19 ÷ 2 9 √
9 ÷ 2 4
4 ÷ 2 2
2 ÷ 2 1 √
1 ÷ 2 0
√
√
√

12 janvier 2016
Égypte 59/82
● Calcul de 19 x 35
19 = 16 + 2 + 1 = 24
+ 21
+ 20
décomposition de 19 en … binaire !
1910
= 100112
19 = 2 x 9 + 1
9 = 2 x 4 + 1
4 = 2 x 2 + 0
2 = 2 x 1 + 0
1 = 2 x 0 + 1

12 janvier 2016
Égypte 60/82
35 x 19
35 x 18 + 35
70 x 9 + 35
70 x 8 + 70 + 35
70 x 8 + 105
140 x 4 + 105
280 x 2 + 105
560 x 1+ 105
1120 x 0 + 560 + 105
560 + 105
665
Dite aussi « du paysan russe »

12 janvier 2016
Égypte 61/82
Pour multiplier a par b avec r comme résultat
● je pose r = 0
● tant que b n'est pas nul
– Si b est impair
● j'ajoute a à r
– je multiplie a par 2
– je divise b par 2 (par défaut)
● maintenant que b est nul, r est le résultat

12 janvier 2016
Égypte 62/82
def ahmès (a,b) :
# résultat : leur produit selon la méthode d'Ahmès
r = 0
while b != 0 : # invariant : r + a*b
c = b%2
if c != 0 :
r = r+a
a = a*2
b = b//2
return r

12 janvier 2016
Égypte 63/82
19 x 35
10 x 35 + 9 x 35
10 x 35 + 315
1 x 350 + 315
350 + 315
665
9 x 35
9 x 30 + 9 x 5
9 x 30 + 45
9 x 3 x 10 + 45
27 x 10 + 45
315
selon Pythagore

12 janvier 2016
Égypte 64/82
Pour multiplier a par b avec r comme résultat
● je pose r = 0
● tant que b n'est pas nul :
– je prends le dernier chiffre de b
– je multiplie ce dernier chiffre par a
● cf. table de multiplication de Pythagore
– je l'ajoute à r
– je multiplie a par dix
– je divise b par dix (par défaut)
● maintenant que b est nul, r est le résultat
selon Pythagore

12 janvier 2016
Égypte 65/82
def pythagore (a,b) :
# résultat : leur produit selon la méthode de Pythagore
r = 0
c = b%10
if c != 0 :
r = r + produitParUnChiffre (c,a)
a = a*10
b = b//10
return r

12 janvier 2016
Égypte 66/82
def produitParUnChiffre (a,b) :
# données : a chiffre décimal, b entier naturel
# résultat : le produit de a par b
r = 0
c = b%10
if c != 0 :
r = r + c*a # table de multiplication
a = a*10
b = b//10
return r

12 janvier 2016
Ègypte 67/82
Et dans les ordinateurs ...
● On fait comment ?
– comme les égyptiens ?
– comme Pythagore ?
– autrement ?
● Préférences ?
– beaucoup d'opérations simples
– peu d'opérations complexes
● Un indice :
– les nombres sont codés en binaire !

12 janvier 2016
Alexandrie 68/82
Thèbes
Babylone
Thèbes
-1800 → -1500
Babylone
-2500 → -1500

12 janvier 2016
Babylone 69/82
Babylone
● Historique
● Codage
● Algorithmes

12 janvier 2016
Babylone 70/82
Historique
● Sources
– 400 tablettes d'argile mises au jour
depuis les années 1850 datées de -2 500 à -1 500
● Contenus
– calculs arithmétiques : multiplications, divisions,
fractions, racines carrées
– géométrie : calculs d'hypoténuse, triplets
pythagoriciens, théorème de Pythagore
– algèbre : équations du premier, second et troisième
degré
– éléments de trigonométrie

12 janvier 2016
Babylone 71/82
Codage
● base 60
● 2 signes : clou et chevron
● chiffres codés en additif
● nombres codés en positionnel
● exemples
– chiffre 24 = [24]
– nombre 152 = 2*60 + 32 = [2 ; 32]
1 10

12 janvier 2016
Babylone 72/82
Codage
● Ambiguïtés
– 152 = 2*60 + 32 = [2 ; 32]
– 7 232 = 2*3600 + 32 = [2 ; 0 ; 32]
● Invention du zéro « intercalaire »
0
152
7 232

12 janvier 2016
Babylone 73/82
Codage
● Mais … pas de zéros en positions terminales
– 2 = [2]
– 120 = [2 ; 0]
– 7 200 = [ 2 ; 0 ; 0 ]
● Nombres fractionnaires
– exprimées en puissances négatives de 60
– pas de zéros en positions initiales
– 1 ÷ 30 = 2 ÷ 60 = [0 ; 2]
– 1 ÷ 1 800 = 2 ÷ 3 600 = [ 0 ; 0 ; 2]

12 janvier 2016
Babylone 74/82
Codage
● Représentation actuelle en virgule flottante
– exemple : 365,25 = 3,6525 x 102
= 36525 x 10-3
●
norme informatique : 0,36525 x 103
= {36525 ; 3}
● mantisse : 36525 exposant : 3
● règle à calcul : 3,6525 … sans exposant
● Représentation babylonienne
– virgule flottante sans exposant
– nombres définis à une puissance de 60 près
représente 2 ou 120 ou 1÷30 ou ...

12 janvier 2016
Babylone 75/82
Algorithmes
● Algorithme de
Babylone
– tablette Babylonienne
YBC 7289
– datée de - 1700
– collection
babylonienne Yale
University

12 janvier 2016
Babylone 76/82
Algorithmes
● La Tablette YBC 7289
[30] = 1/2
[1 ; 24 ; 51 ; 10 ] = 1,414 213
[42 ; 25 ; 35 ] = 0,707 106
or on sait que :
√2 = 1,414 213
√2 / 2 = 1 / √2 = 0,707 106
c'est donc le valeur de √2 avec 6 décimales exactes !
par recoupement avec d'autres tablettes, on pense qu'elle
a été calculée par … l'algorithme de Héron !!

12 janvier 2016
Babylone 77/82
Algorithmes
● La multiplication
– plusieurs méthodes dont celle … de Pythagore !
– utilisation de nombreuses tables : carrés, inverses
– utilisation d'identités remarquables :
● (a + b)2
= a2
+ 2 a.b + b2
⇒a.b = ((a + b)2
- a2
- b2
) /2
●
(a - b)2
= a2
- 2 a.b + b2
⇒a.b = ((a + b)2
- (a - b)2
) /4
– décomposition en carrés : méthode analogue au
calcul du pgcd …. d'Euclide !

12 janvier 2016
Babylone 78/82
Algorithmes
● La multiplication par décomposition en carrés
– exemple : 22 x 14
22 x 14 8 x 14
8 x 6
2 x 4
2 x 22 x 6
14 x 14
8 x 8
6 x 6
2 x 2
2 x 2
196
+ 64 260
+ 36 296
+ 4 300
+ 4 304
+ 4 308
0
+ 196

12 janvier 2016
Babylone 79/82
Algorithmes
● La multiplication
● je pose r = 0
tant que a ≠ 0 et b ≠ 0 :
– si a ≥ b
●
j'ajoute b2
à P
● je retranche b de a
– sinon
●
j'ajoute a2
à P
● je retranche a de b

12 janvier 2016
Babylone 80/82
Algorithmes
def babylone (a,b) :
# résultat : leur produit selon une méthode babylonienne
r = 0
while a != 0 and b != 0 : # invariant : r + a*b
if a>b :
r = r + b**2 # cf. : table des carrés
a = a-b
else :
r = r + a**2 # cf. : table des carrés
b = b-a
return r

12 janvier 2016
81/82
Calculabilité
● Question
– peut-on « tout » calculer ?
– existe-t-il un algorithme pour tout problème posé ?
● Réponse
– NON
● Exemple
– existe-t-il un agorithme permettant de calculer les
solutions des équations de Diophante (fondées en
250) ?
● problème posé par David Hilbert en 1900
● résolu négativement par Yuri Matiyasevitch en 1970

12 janvier 2016
82/82
Bibliographie
● Le théorème du perroquet
– Denis Guedj - Editions du seuil
– Karine Chemla, Guo Shuchun – Dunod
● Zéro
– Denis Guedj - Robert Laffont
● Sur les traces de l'Homo mathematicus
– Bernard Duvillié – Ellipses
● L'histoire des mathématiques
– Richard Mankiewicz - Seuil

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