1. La science informatique 2. La préhistoire (Egypte, Grèce) 3. L’algèbre et le calcul (Chine, Inde, Arabie) 4. Du moyen âge à la renaissance (Italie) 5. De la renaissance au XIXème siècle (Europe) 6. Les XIXème et XXème siècles (Europe, USA)

1. Epistémologie de
l’Informatique
Richard G. Terrat

2. Sommaire
Bibliographie
1. La science informatique
2. La préhistoire (Egypte, Grèce)
3. L’algèbre et le calcul (Chine, Inde, Arabie)
4. Du moyen âge à la renaissance (Italie)
5. De la renaissance au XIXème siècle (Europe)
6. Les XIXème et XXème siècles (Europe, USA)

3. Bibliographie
• Histoire de l’informatique
– Jean-Yvon Birrien - P.U.F. Que sais-je ?
• Une histoire de l’informatique
– Philippe Breton - Editions la découverte
• Le théorème du perroquet
– Denis Guedj - Editions du seuil
• Histoire des mathématiques
– Richard Mankiewicz - Editions du seuil
• Nouvel abrégé d’histoire des mathématiques
– Jean Baudet - Vuibert
• Les neuf chapitres
– Karine Chemla, Guo Shuchun - Dunod

4. • Les nombres
– 9 co-auteurs - Vuibert
• Les inattendus mathématiques
– Jean-Paul Delahaye - Belin . Pour la Science
• Le dernier théorème de Fermat
– Simon Singh - Lattès
• Histoire des codes secrets
– Simon Singh - Lattès
• Œuvres complètes
– Blaise Pascal - Editions du seuil
• Encyclopædia universalis
• Le vrai paradis de Platon
– John L. Casti - Le Pommier
• Il était une fois la révolution
– Etienne Klein - Flammarion

5. 1. La science informatique
1.1 L’épistémologie
1.2 L’informatique
1.3 L’ordinateur
1.4 La science
1.5 La science informatique

6. 1.1 L’épistémologie
• Etymologie
– Épistémè (gr.) : science επιστηµη
– Logos (gr.) : étude λογοσ
• Définition
– Étude critique des sciences, destinée à
déterminer leur origine logique, leur valeur
et leur portée
⇒ Théorie de la connaissance

7. 1.2 L’informatique
• Néologisme de Philippe Dreyfus (1962) issu de
« information » et « automatique »
• Science du traitement rationnel, notamment par
machines automatiques, de l’information, considérée
comme le support des connaissances humaines et des
communications dans les domaines techniques,
économiques et sociaux
Académie française Avril 1966

8. • n. f. et adj. XXe siècle. Dérivé d'information sur le
modèle de mathématique, électronique.
n. f. Science du traitement rationnel et automatique de
l'information ; l'ensemble des applications de cette
science.
• adj. Qui se rapporte à l'informatique. Système
informatique, ensemble des moyens qui permettent
de conserver, de traiter et de transmettre
l'information. Programme informatique. Réseau
informatique, ensemble de systèmes informatiques
communiquant entre eux par voies locales, privées
ou publiques. Traitement informatique des données.
Matériel informatique. Fichier informatique. Les
divers langages informatiques.
http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire

9. 1.3 L’ordinateur
• Mot choisi le 16 IV 1955 par Jacques Perret, professeur
de philologie latine à la Sorbonne sur demande de
François Girard responsable du service de publicité
d’I.B.M. France
• Machine automatique qui permet d’effectuer, dans le
cadre de programmes de structures préétablies des
ensembles d’opérations arithmétiques et logiques à des
fins scientifiques, administratives et comptables
Académie française Avril 1966

10. 1.4 La science
n. f. Connaissance exacte qu'on a de quelque chose … Il
signifie particulièrement Système de connaissances
rationnelles ou expérimentales sur un objet déterminé.
Les sciences naturelles. Les sciences exactes. Les
sciences physiques. Les sciences morales et politiques.
Les sciences occultes. Les sciences expérimentales. Les
sciences d'observation. La science des nombres. Les
sciences … Il se dit absolument et au singulier de
l'Ensemble des connaissances acquises par l’étude.
http://www.academie-francaise.fr/dictionnaire

11. 1.5 La science informatique
• Objet
Information
« considérée comme le support des connaissances
humaines et des communications »
Racine étymologique : FORME
Cf. formaliser, informatiser
! mettre en forme

12. • Traitement
– Modification, transformation
– Différence avec :
• linguistique, philologie (Information statique)
• Rationnel
– Règles de traitement :
• programmation, logique
• Automatique
– Étymologie :
automatos (gr.) : qui se meut de soi-même

13. • Émergence
– Conditions
• Économiques
• Sociales
• Culturelles
– Outils
• Machines
• Ordinateurs
➡ l’ordinateur est à l’informaticien ce qu’est le télescope à
l’astrophysicien

14. • Fondements
– Calcul
– Écriture
– Logique

15. 2. La Préhistoire
2.1 Le calcul
2.2 L’écriture
2.3 Les mathématiques
2.4 La logique
2.5 L’école d’Alexandrie

16. 2.1 Le calcul
• Paléolithique supérieur
– 30 000 ans av. J. C.
– Entailles numériques dans
• Bois, os
• Néolithique
– 8 000 ans av. J. C.
– Boulettes d’argile
CALCULI
1 10 60 600 3 600 36 000

17. 2.2 L’écriture
Mésopotamie
• 3 500 ans av. J. C. Sumer
– Écriture cunéiforme
– Tablettes d’argile
– Numération additive
• 2 signes : 1 10
• Base 60
• Exemple 5112 10
1-25-12 60

18. La multiplication
• Premier algorithme de l’histoire
• On cherche z = x . y
z = 0
tant que x ≠ 0
{si x impair {x = x - 1 ; z = z + y} ;
x = x / 2 ; y = y . 2 }
- - x.y+z est invariant - -

19. Exemple
x y z
21 3 0
10 6 3
5 12 3
2 24 15
1 48 15
0 96 63

20. 2.3 Les mathématiques
(Égypte)
• Découvert au XIX ème siècle
dans la tombe de Ramsès II
(Thèbes)
• Auteur Ahmès
• 5m de long 14 feuilles
• Daté du XVIème siècle av. J.
C.
• Reprend un papyrus plus
ancien du XXème siècle av. J.
C.
Papyrus RHIND

21. Mathématiques égyptiennes
• Pas d’abstraction
• Pas de logique
• Pas de démonstration
• Problèmes concrets
• Calculs arithmétiques
– Les 4 opérations
– Table de multiplication
– Opérations sur les fractions (7 à 23)
• Equations du 1er degré (24 à 27)
– Résolution par la méthode des « fausses
suppositions »

22. Géométrie égyptienne
• Calcul des aires
– carré, rectangle, triangle, trapèze
• Calcul des volumes
– pyramides
• valeur de ∏ problèmes 48 à 50
– aire d’un cercle de diamètre 9 unités =
aire d’un carré de côté 8 unités
π.92/4 ≈ 64 π ≈ 3,16
‣ c’est la quadrature du cercle !

23. • Calcul de la hauteur de la
pyramide de Khéops (par l’ombre)
• Prédiction de l’éclipse de soleil
du 28 mai -585
• Démontre les premiers théorèmes
– Un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre
– Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux
– Les angles opposés par le sommet sont égaux.
– Un triangle est déterminé si la base et les angles à la base sont
donnés
– Un triangle ABC inscrit dans un cercle et tel que le segment [BC] en
est un diamètre, est rectangle en A
L’abstraction (Thalès)
Thalès de Milet
(-625 -547)

24. • Etymologie
– Arithmos (gr.) : nombre
• Philosophie
• École Fraternité (Secte)
• Abstraction appliquée aux nombres
• Nombres
– Entiers à partir de 2
– Fractionnaires
Arithmétique (Pythagore)
Pythagore
(-580 -490)

25. Théorèmes
• Nombres Pairs Impairs
• Addition P + P = P P + I = I I + P = I I + I = P
• Produit P x P = P P x I = P I x P = P I x I = I
• « le » Théorème de Pythagore

26. Un nombre « irrationnel »
• Calcul de la diagonale du carré
Côté 1 Diagonale x2 = 2
x = p / q Fraction irréductible
p2 / q2 = 2 ⇒ p2 = 2.q2 ⇒ p2 pair ⇒ p pair
p = 2.r ⇒ p2 = 4.r2 ⇒ q2 = 2.r2 ⇒ q pair
p/q réductible contradiction !
• x tel que x2 = 2 est appelé « irrationnel »

27. Les pythagoriciens (500 av. J.C.)
• École de Crotone (sud de l’Italie)
– Dirigée par Theano (femme de Pythagore à qui on
doit le nombre d’or) et ses 3 filles
– Zénon d’Élée
• Paradoxe de la tortue
• Fondateur de la dichotomie
• Paradoxes de l’infini
(-490 -430)

28. L’école d’Athènes (400 av. J.C.)
• Antiphon
– Quadrature du cercle
– Exhaustion
• Hippias
– Trisection de l’angle
• Eudoxe de Cnide
– Duplication du cube
– Aire du cercle par exhaustion
• Platon
– Philosophie Platon
(-427 -347)
Eudoxe
(-408 -355)
Antiphon
(-480 -411)
?
?
?
Hippias
(-460 -400)

29. 2.4 La logique
Aristote
• Syllogisme
1. Tout homme est mortel
2. Or Socrate est un homme
3. Donc Socrate est mortel
• Eubulide Épidémide
– Paradoxe du menteur
« je mens »
Aristote
(-384 -322)

30. Axiomes & Postulats(Euclide)
Etymologie
– Axiome (grec Axioma = j'estime) je crois vrai :
irréfutable, évident
– Postulat (latin Postulare = demander) que l'on
demande au lecteur d'accepter
300 ans av. J.C. siècle d’or
Fonde l’école d’Alexandrie
Auteur (collectif?) des éléments
XIII livres étalés sur un siècle

31. Les Axiomes d’Euclide
1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles
2. Si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les
touts sont égaux
3. Si, à des choses égales, des choses égales sont retranchées,
les restes sont égaux
4. Si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées,
les touts sont inégaux
5. Des choses qui coïncident l’une avec l’autre sont égales
6. Les doubles du même sont égaux entre eux
7. Les moitiés du même sont égales entre elles

32. Les Postulats d’Euclide
1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite
passant par A et B
2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite
passant par A et B (compte tenu du premier postulat, elle
est unique)
3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut
décrire un cercle de centre A passant par B
4. Tous les angles droits sont égaux entre eux
5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une
parallèle et une seule à cette droite.

33. 1.5 L’école d’Alexandrie
• Appolonius
– Traité des coniques
• Archimède
– Physique théorique
– Équations du 3ième degré
– Mesure de ∏
– Boulons : vis + écrou
Appolonius
(-262 -190)
Archimède
(-287 -212)

34. • Eratosthène
– Directeur de la bibliothèque
– Mesure de la terre
– Crible nombres premiers
– Fondateur de la géographie
– Précepteur du fils de Ptolémée III
Eratosthène
(-276 -194)

35. • Hipparque
– Astromonie
– Trigonométrie
• sinus cosinus
• Héron
– Algorithme de la racine carrée
• Attribué plus tard à Newton
?
Hipparque
(-190 -120)
Héron
(-150 ? -250 ?)

36. • Ménélaus
– coniques & sphériques
• Théon de Smyrne
– Nombres
• Nicomaque de Gérase
– Nombres
• Sommes des entiers,carrés, cubes
Théon
(70 - 135)
?
Ménélaus
(70 - 130)
?
Nicomaque
(150 - ?)

37. • Diophante
– Fondateur des équations
– Variables et « inconnues »
– Équation de l’âge de Diophante
– Auteur de VI livres d’arithmétique
– À l’origine du Xème problème de Hilbert (1900)
• Résolu (négativement) en 1971par MATIIASSEVITCH
?
Diophante
(210 - 294)

38. • Pappus
• Théon d’Alexandrie
• Hypatie
– Fille de Théon
– Directrice de l’école
– Assassinée par les chrétiens
• Destruction de la bibliothèque
• Fin d’Alexandrie
?
?
?
Pappus
(290 - 350)
Théon
(335 - 405)
Hypatie
(370 - 415)

39. 3. L’algèbre et le calcul
les mathématiques orientales
3.1 Mathématiques chinoises
3.2 Mathématiques indiennes
3.3 Mathématiques arabes

40. 3.1 Mathématiques chinoises
• 1300 ans av. J.C.
– Numération décimale
Chiffres des Jiaguwen
Inscriptions sur os et écailles de tortue
– Connaissance du zéro
– Nombres négatifs « trompeurs »

41. Confucius
• Contemporain de Pythagore
• Epoque des royaumes combattants
• Premier texte mathématique
– Zhoubi suanjing
– Canon des calculs gnomiques
Confucius
(-551 -479)

42. Les neuf chapitres
• Juizhang Suanshu
• Origine environ 2000 ans av. J.C.
• Très nombreuses versions chinoises
• Commenté par Liu Hui 300 ap. J.C.
• Traduit en français par Karine Chemla
• Publié en octobre 2004 chez Dunod

43. • Carrés magiques
• Théorème de Pythagore
• Calcul de ∏ par exhaustion
• Systèmes d’équations linéaires
– Méthode du pivot Gauss
• Calcul matriciel
• Équations de degrés 1, 2, 3
• Triangle de Pascal
• Théorème des restes chinois

44. • Algorithmes
– assignation de variables
– conditionnelles
– itérations
• Démonstration
– pas de logique
– preuves d’exactitude

45. 3.2 Mathématiques indiennes
• Harrappéens 3000 ans av. J.C.
– Comptabilité commerciale
– Poids et mesures
• Aryens 1500 ans av. J.C.
– Sanskrit
– Vedangas textes mathématiques

46. Le zéro
• Système de Bakhshali IIIème siècle
– Apparition du zéro
• Système de Gwalior IXème siècle
– Système actuel chiffres arabes
– 9 signes et le zéro ! ou O
– Appelé en inde sunya et en arabe sifr
– Origine du mot chiffre

47. Les chiffres

48. • Aryabhata (476 - 550)
• Brahmagupta (598 - 670)
– Astronomie
• Tables des sinus
– Équations
– Racines carrées et cubiques
– Calcul des irrationnels
• √2 = 1+ 1/3 + 1/3 (1/4 - 1/34 x 1/4)
= 577 / 408 = 1,41426 exact !
• ∏ = 62 832 / 20 000 = 3,1416 exact !

49. • Solution des équations
a x2 ± c = y2 équation hyperbolique
61 x2 + 1 = y2 défi de Fermat
solution de Lagrange
• BHASKARA (1114 - 1193)
– Fonde la démonstration
– Refus de ∏ = √10 non fondé

50. 3.2 Mathématiques arabes
• Étude de Diophante Équations
• Fondation de l’algèbre
! Abu jafar muhammad ibn musa al-khawrizmi
– Origine du mot algorithme
• Hisab al-jabr w’al-muquabala
– Calcul par restauration et réduction
– Origine du mot algèbre
780 -850

51. • Bibliothèque de Bagdad
– Succède à la défunte Alexandrie
– Traduction en arabe des manuscrits
• Grecs Euclide, Diophante, …
• Indiens Numération, Zéro, …
• Abu Kamil (850 - 930)
– Systèmes d’équations
– Trigonométrie
• Tangente, cotangente
• Formules sin (a+b) = . . .
sin p + sin q = . . .

52. • Al Karaji (980 - 1030)
– nombres irrationnels
– Sommes des entiers, carrés, cubes
– Démontre ap . aq = ap+q
– Introduit a-n = 1/an
• Al Farisi (1260 - 1320)
– Théorie des nombres
– x4 + y4 = z4 est insoluble
• Ibn al-Khawwam (1245 -1324)
– x3 + y3 = z3 est insoluble

53. • Al Kashi (1390 - 1450)
– Directeur de l’observatoire de Samarkande
– Liens algèbre - géométrie
– Analyse combinatoire
– Calculabilité par radicaux
– Calcul de ∏ avec 16 décimales
– Généralise le théorème de Pythagore
• a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cos a (ABC quelconque)

54. 4. Du moyen âge à la
renaissance
4.1 Nombres et Calculs
4.2 Algèbre et Géométrie
4.3 Logique
4.4 Théorie des Nombres

55. 4.1 Nombres et calcul
• Chiffres « arabes »
Gerbert d’Aurillac
– Etudes à Aurillac puis Barcelone
– Découvre les chiffres arabes
– Voyages en Allemagne
– Introduit ces chiffres en Europe
– Devient pape en 999 Sylvestre II
• « pape de l’an mil »
Gerbert d’Aurillac
(938 - 1003)
Pape en 999
Sylvestre II

56. Fibonacci
(1175 - 1250)
Traductions
• Al-Khwarizmi
– nombreuses traductions latines à partir du XIIème
siècle
– Dixit Algorizmi (cf. « arithmos »)
• Léonard de Pise filius Bonacci
– Liber Abaci 1202 algébre et arithmétique
– Introduit le zéro et l’ algèbre
– Équation du 3ème degré
– Suite un = un-1 + un-2 u0 = 0 u1 = 1
• Nombre d’or
• 10ème problème de Hilbert

57. ?
Nicolas Chuquet
(1445 - 1488)
La Science des Nombres
• Nicolas Chuquet
– Triparty en la science des nombres
• Nombres rationnels, irrationnels
• Equations
• Progressions arithmétiques & géométriques
• Premières notations mathématiques
– p : plus m : moins eq : = …
• Nombres négatifs
• Règle des signes + x + = + - x - = + - x + = + x - = -
• Table de multiplication

58. Omar Khayyam
(1048 - 1131)
?
Scipion del Ferro
(1465 - 1526)
Équation du 3ième degré
• Omar Khayyam Perse
– Solutions positives géométriques
• Intersection de coniques
• Scipion del Ferro Italien
• Première solution complète non publiée

59. Imprimerie révolution
– Johannes Gensfleisch
Tartaglia dit « le bègue »
– Gravement blessé à 13 ans par les soldats de
François 1er
– Gagnant d’un concours avec Antonio Fior
élève de Scipion del Ferro
• 30 équations du 3ième degré
(résolues en une nuit)
non publié
Gutenberg
(1400 - 1468)
Tartaglia
(1499 - 1557)

60. Girolamo Cardano
– Médecin, astrologue (horoscope du Christ),
mathématicien, mécanicien
– Inventeur du « joint de cardan »
– Soutire à Tartaglia en 1539 la solution des équations
du 3ième degré promesse de ne pas publier
– Auteur de « Ars Magna » 1545
– Publie la solution trahit sa promesse
– Précurseur du calcul des probabilités
Gérôme Cardan
(1501 - 1576)

61. Nombres imaginaires
• Ars Magna Chapitre 37
– Équation x (10 - x) = 40
– Affirme les solutions 5 ± √-15
– La somme = 10 le produit = 40
– « Manifestum est, quod caseus seu quaestio est
impossibilis, sic tamen operabimus »
– Cardan appelle ces nombres quantitas sophistica
nombre formel

62. Bombelli
– Publie Algebra 1572
– Énonce 8 règles de calcul des nombres complexes
dont √-1 x √-1 = -1
Exemple
• (2 ± √-1)3 = 2 ± 11 √-1
– L’équation x3 = 15 x + 4
– Solution de Cardan très compliquée
– Solution de Bombelli x = 4
Rafael Bombelli
(1526 - 1572)

63. Lodovico Ferrari
(1522 - 1565)
Équation du 4ième degré
• Lodovico Ferrari
– Domestique de Cardan à 14 ans
– Puis secrétaire, puis élève
– Résout l’équation du 4éme degré avec une équation
« résolvante » du 3ème degré
– Mort empoisonné par sa sœur

64. François Viète
(1540 - 1603)
Signes et calculabilité
• François Viète
– Avocat, conseiller au parlement
– Mathématicien « amateur »
– Cryptologue de Henri IV
– Canon Mathematicus 1571
• Trigonométrie
– Conjecture l’impossibilité des 3 problèmes de
l’antiquité en 1592
– Résout une équation de degré 45 en 1593
• Trouve les 22 solutions positives

65. • Équations
Relations de Viète
– Entre coefficients et solutions
– Exemple x3 + 3x2 - 2x - 6 = 0
– Racines a, b, c
– a + b + c = - 3 ab + ac + bc = -2 abc = 6
Première idée du théorème fondamental de
l’algèbre
Première idée de « structure »

66. • Les signes
In artem ananyticam isagoge 1591
– Algèbre signes : + - in / exposants
– Utilisation de lettres pour les variables
– Refuse les nombres négatifs
Écritures de 12 + 5 . X = 20
– Diophante (IIIème) ζεM° 1β εστ1Χ
– Chuquet (XVème) 12° p 51 egault 20°
– Viète (XVIème) 12 + 5 in A aequatur 20
– Tartaglia (XVIème) 12 N p 5 R equale 20 N
– Descartes (XVIIème) 20 + 5z ∝ 20

67. John Neper
ou Napier
(1550 - 1617)
Bâtons ou Réglettes
de Neper (1615)
Logarithmes & Machines à
calculer
• Etymologie (gr.)
logos : logique arithmos : nombre
• Première machine à calculer

68. • Multiplication
Exemple 327 x 546
réglettes V 3 2 7
réglettes H 5 4 6
somme en diagonale
/ de Bas Droite
à Haut Gauche
Résultat
178 542

69. 4.2 Algèbre & Géométrie
Albert Girard
– Enonce le théorème fondamental
René Descartes
– Polynômes p(x)
• p(x) divisible par (x-c) ⇔ c est racine
– Géométrie analytique
• Unification algèbre - géométrie
• Coordonnées cartésiennes, distance
• Équations des droites, cercles, courbes, ..
• Etude des fonctions (parabole, cycloïde, …)
– Discours de la méthode
René Descartes
(1596 - 1650)
?
Albert Girard
(1595 - 1632)

70. 4.3 Logique
• Scolastique
Enseignement dans les écoles ecclésiastiques
Abélard Dialectica
Guillaume d’Occam Summa Logicæ
Nicole Oresme De proportionibus
– Raisonnements sur le Syllogisme d’Aristote
– Introduction de la négation
– Modes des syllogismes
• tout y est x, tout z est y ⇒ tout z est x
• aucun y n’est x, tout z est y ⇒ aucun z n’est x
• tout y est x, certains z sont y ⇒ certains z sont x
Pierre Abélard
(1079 - 1142)
Guillaume d’Occam
(1285 - 1349)
?
Nicole Oresme
(1323 - 1382)

71. • La Logique de Port-Royal
Les solitaires
– Messieurs de Port-Royal
– Antoine Arnauld & Pierre Nicole
• La logique ou l’art de penser 1662
– Collaboration de Pascal
– Manuels de logique et grammaire
– Premiers enseignements en français
Antoine Arnauld
(1612 - 1694)
Pierre Nicole
(1625 - 1695)

72. 4.4 Théorie des Nombres
Pierre Simon de Fermat
– Né à Beaumont-de-Lomagne
– Mort à Castres
– Conseiller au parlement de Toulouse
– Mathématicien amateur
– Lit et annote l’Arithmetica de Diophante
– Importante correspondance avec ses contemporains
Descartes et Pascal
– Fonde le calcul de Probabilités
– Très nombreuses « théorèmes »
– Fonde la théorie des nombres
Pierre Simon de Fermat
(1601 - 1665)

73. • Théorèmes de Fermat
– Petit théorème
• p premier ⇒ a p- a est divisible par p
• Démontré par Euler 100 ans plus tard
• Utilisé en cryptologie dans RSA
– Grand théorème
• a, b, c, n ∈ N
• an + bn = cn ⇒ n ≤ 2
« … d'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance
quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus
généralement aucune puissance supérieure stricte à 2 n'est somme de deux
puissances analogues.
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne
peux l’écrire dans cette marge car elle est trop longue »
• Démontré en 1995 par Andrew Wiles
Andrew Wiles
(1953 )

74. • Machine à calculer
Blaise Pascal
– Redécouvre les maths à 12 ans
– Contemporains : Descartes, Fermat
– Triangle de Pascal
• Propriétés : binôme, combinaisons
– La Pascaline 1642
• Machine à Additionner
Blaise Pascal
(1623 - 1662)

75. 5. De la renaissance au
XIXème siècle
5.1 XVIIème siècle l’analyse
5.2 XVIIIème siècle les fonctions
5.3 XIXème siècle les structures

76. 5.1 l’analyse
Leibniz
– Philosophe, mathématicien
– Disciple de Descartes
– Fondateur du calcul différentiel
• Notation dy/dx = lim ∆y/∆x ∆x → 0
– Auteur de Acta Eruditorum
• Calcul intégral notation ∫f(x)dx
– Développements en série 1/(x+1)
– Contemporain de Newton et Arnauld
– Machine à calculer
• Capable des 4 opérations
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(1646 - 1716)

77. Numération binaire
– Découvre et interprète les hexagrammes
chinois
• Origine Fu-Hi (2 900 av. J.C.)
– Fonde la numération binaire
• De Arte Combinatoria (inachevé)
– Précurseur de la logique
formelle
Hexagrammes
Numération binaire

78. Analyse mathématique
Newton
– Fonde l’analyse
– Séries infinies
– Fluentes et fluxions
– Loi de la gravitation F = k M M’/d2
– Loi de la dynamique F = M γ
Bernoulli Jacques et Jean
– Apparition des fonctions
« on appelle fonction d’une grandeur variable une quantité
composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur
variable et de constantes » Jean Bernoulli 1718
Sir Isaac Newton
(1643 - 1727)
Jacques Bernoulli
(1654 - 1705)
Jean Bernoullli
(1667 - 1748)

79. Le Vème postulat
Saccheri
– Logica Demonstrativa 1697
– Euclides ab omni naevo vindicatus
– Reprend les travaux des perses Al Kayyam et Nasir
al-Din al-Tusi
– Tente de démontrer les Véme postulat d’Euclide en le
niant
– Fonde à son insu les géométries non euclidiennes
?
Giovanni Girolamo Saccheri
(1667 - 1733)
Nasir al-Din al Tusi
(1201 - 1274)

80. Conjecture de Goldbach
Goldbach
– Théorie des nombres
– 1742 Lettre à Euler
« tout nombre pair > 2 est la somme de 2 nombres
premiers »
– Non démontré à ce jour
?
Christian Goldbach
(1690 - 1764)

81. Systèmes d’équations
Cramer
– Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques
• Systèmes d’équations à plusieurs inconnues 1750
Vandermonde
– Mémoire sur la résolution des équations
Gabriel Cramer
(1704 - 1752)
Alexandre Vandermonde
(1735 - 1796)

82. Théorie des nombres
Euler
– Prouve et généralise le « petit théorème » de Fermat
– Si a premier avec n (aφ(n) -1) mod n = 0
• φ(n) totient d’Euler : nombre de nombres < n et premiers avec n
• Base du système de cryptographie RSA
– Avancées sur le « grand théorème »
– Erreur célèbre sur les nombres complexes :
√ ab = √ a • √ b
ex : 4 = √16 = √-4 • √-4 =( 2 • √-1)2 = 4 • (-1) = -4
– Fonde la théorie des graphes
• Les ponts de Königsberg
Leonhard Euler
(1707 - 1783)

83. • Fonctions et séries
– Introductio in analysin infinitorum 1748
• Synthèse des mathématiques
– Fonctions inverses
– Fonctions de plusieurs variables
– Fonctions trigonométriques
– Développements en série
– Irrationalité de e
eiπ = -1 en lettres d’or au palais de la découverte à paris
salle π (31)

84. Irrationnalité de π
Lambert
– Theorie der parallellinien 1766
• travaux sur le Vème postulat
– prouve π irrationnel 1768
– conjecture π et e transcendants
Legendre
– éléments de géométrie 1794
• travaux sur le Vème postulat
– complète la preuve de Lambert
– prouve π2 irrationnel
Adrien-Marie Legendre
(1752 - 1833)
Johann Heinrich Lambert
(1728 - 1777)

85. Retour aux équations
Lagrange
– Réflexions sur la résolution algébrique des équations 1772
– Traité de la résolution des équations numériques 1798
– Conjecture le théorème fondamental
– Recherche des solutions générales des équations du
5ième degré
– Substitutions
• Première idée sur la structure des racines
Joseph-Louis Lagrange
(1736 - 1813)

86. Nombres complexes
Wessel
Argand
– Représentation géométrique 1799
Gauss « prince de mathématiciens »
– Racines de l’unité
– Équation cyclotimique
– Fonde l’algèbre des complexes
– Démontre le théorème fondamental
Carl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)
?
Gaspard Wessel
(1745 - 1818)
?
Jean Robert Argand
(1768 - 1822)

87. Analyse
Cauchy
– Rigueur
– Annales de mathématiques pures et appliquées 1817
– Continuité des fonctions
– Convergence des séries
– Définition formelle des limites
– Croit avoir démontré le théorème de Fermat mais
commet une erreur
Augustin Louis Cauchy
(1789 - 1857)

88. Idéaux
Kummer
– 1er mars 1847 Académie des sciences :
Cauchy et Lamé déposent une « démonstration » du
théorème de Fermat
– Avril 1847 Kummer relève la même erreur dans les
2 manuscrits : application du théorème fondamental
de l’arithmétique aux nombres complexes
– Définit les nombres « idéaux »
– Précurseurs des anneaux
Ernst Kummer
(1810 - 1893)

89. 6. XIXème & XXème siècles
6.1 Des structures aux ensembles
6.2 La calculabilité
6.3 Fondement de l’informatique

90. Une mathématicienne
Sophie Germain
– 13 ans lit la vie d’Archimède
– 19 ans lit les cours de Polytechnique
– Correspond avec Lagrange et Gauss sous le nom de
Mr Le Blanc
– Démontre le théorème de Fermat pour un classe de
nombres premiers
– Oriente les recherches Dirichlet, Legendre, Lamé
– Opposition avec Poisson
– Théorie des surfaces et vibrations
– Devient l’amie de Jean-Baptiste Fourier
Sophie Germain
(1776 - 1831)

91. Théorie des ensembles
• Premières idées
Bolzano
• Größenlehre 1840
– Premier essai de fondements des mathématiques sur la logique
• Paradoxien des Unendlichen 1851
– Précurseur de la théorie des ensembles infinis de Cantor
Weierstrass
• Construction arithmétique de
l’ensemble des nombres irrationnels
• Précurseur des fractales
– Fonctions continues non dérivables
Bernard Placidius Johann
Nepomuk Bolzano
(1781 - 1848)
Karl Wilhelm
Theodor Weierstrass
(1815 - 1897)

92. Groupes « abéliens »
Abel
– Contemporain de Beethoven et Schubert
– Critique Augustin Cauchy
• Donne un contre-exemple d’un théorème faux sur la
continuité
– Démontre l’impossibilité de résoudre l’équation de
cinquième degré par radicaux
– Mort dans la misère et la maladie
– 2001 Création du prix « Abel » équivalent en
maths du prix « Nobel »
ens.math.univmontp2.fr/SPIP/article.php3?id_article=721
Niels Henrik Abel
(1802 - 1829)

93. Corps « de Galois »
Galois
– Opposant politique de Cauchy
– Recalé 2 fois à l’oral de Polytechnique
– Fonde les corps finis CG
• Très utilisés en informatique CG2
– Démontre l’impossibilité de résoudre toute équation de degré ≥
5 par radicaux
– Mort en duel à 20 ans
– Rédige toutes ses découvertes la nuit précédent sa mort
ens.math.univ-montp2.fr/SPIP/article.php3?id_article=1178
Evariste Galois
(1811 - 1832)

94. Nombres transcendants
Liouville
– Élève de Cauchy
– Publie les œuvres de Galois
– Fractions continues
– Prouve l’existence de nombres non algébriques
appelés transcendants 1844
– Exemple de nombre de Liouville
L = 10-1! +10-2! +10-3! +10-4! +... =
0.1100010000000000000000010000...
1 en position n! et 0 ailleurs
– Conjecture la transcendance de π et e
Joseph Liouville
(1809 - 1882)

95. Calculabilité géométrique
la règle et le compas
Wantzel
– Poursuit les travaux d’Abel
– Théorème
« Tout nombre constructible à la règle et au compas est
racine d'un polynôme à coefficients entiers et le degré
du polynôme minimal admettant x comme zéro est une
puissance de 2 »
– Fin de 2 des 3 problèmes de l’antiquité
• Duplication du cube
• Trisection de l’angle
?
Pierre Laurent Wantzel
(1814 - 1848)

96. Logique
Boole
– 1ère formalisation de la logique
– The laws of thought 1854
– Observe que a ou b a et b
Se « calculent » comme a + b a . b
Charles Lutwidge Dodgson
– Nombreuses publications sur Euclide
– Alice's adventures in wonderland 1865
– Démonte les sophismes de Zénon (tortue)
– Nécessité des règles d’inférence
– Symbolic logic 1896
George Boole
(1815 - 1864)
Lewis Carroll
(1832 - 1898)

97. Transcendance de e & π
Hermite
– Prouve e transcendant 1873
Lindemann
– Prouve π transcendant 1882
Inconnues
– Transcendance de π + e, π • e, …
Fin du 3ième problème de l’antiquité
quadrature du cercle impossible
Carl Louis Ferdinand Lindemann
(1852 - 1939)
Charles Hermite
(1822 - 1901)

98. Les infinis
Cantor
– Prouve l’existence de deux infinis de puissances
différente Argument diagonal
• L’infini des entiers et de tous les ensembles dénombrables :
N, Z , Q, … puissance ℵ0
• L’infini du continu
R, ℘(N), F : N → N, … puissance ℵ1
– Fonde les nombres transfinis
ℵ0 ℵ1 ℵ2 … ℵℵ
– Fonde la théorie des ensembles
• Avec Richard Dedekind
Greg Cantor
(1845 - 1918)
Richard Dedekind
(1831 - 1916)

99. Le constructivisme
Poincaré
– Cousin de Raymond Poincaré
• Président de la République (1913 1920)
– Immense œuvre 30 volumes
– Théorie du chaos
– Fonde la topologie algébrique
– Fonde le Constructivisme (ou Intuitionnisme)
opposé a l’Axiomatisme (Hilbert, Russel)
– Principe de définition par induction et non par
axiomes
Henri Poincaré
(1854 - 1912)

100. Théorie des ensembles
Frege, Peano, Zermelo,
Russel, Fraenkel, …
– Refondation des
mathématiques sur les
concepts de structure,
logique, objets abstraits
– Nombreux paradoxes
• Exemple X = {x |x ∉ x} Russel
– Questions fondamentales
• Cohérence, complétude
• Décidabilité
Gottlob Frege
(1848 - 1925)
Giuseppe Peano
(1858 - 1932)
Sir Bertrand Russel
(1872 - 1970)
Ernst Zermelo
(1871 - 1953)
Adolf Abraham Fraenkel
(1891 - 1965)
…

101. Les 23 problèmes
Hilbert
– Théorie des invariants
– Congrès de paris 1900
• Pose 23 problèmes à résoudre pour le siècle
• Presque tous ont été résolus depuis, la plupart négativement
• Un des derniers : le dixième équations diophantines 1971
• Le grand théorème de Fermat ne fait pas partie des 23
problèmes !
– Hilbert le considérait comme trop difficile !
– Calculabilité et décidabilité
David Hilbert
(1862 - 1943)

102. Intuitionnisme
Brouwer
– Idées de Poincaré
– Critique l’axiomatisation
– S’oppose au logicisme
– Refuse les ensembles non dénombrables
– Refuse les axiomes non construits
• axiome de choix, tiers exclus
– Existence par construction
– Démonstration par calcul effectif
Luitzen Egbertus
Jan Brouwer
(1881 - 1966)

103. Algèbre abstraite
Emmy Nœther
– Idéaux dans les anneaux
– Invariants algébriques
• Application à la relativité Einstein
– Correspondance avec Cantor et Dedeking
– Éloges de Hilbert et Einstein
– Chassée d’Allemagne par les nazis
– Expatriée aux USA 1933
Emmy Nœther
(1882 - 1935)

104. La cybernétique
Wiener
– La recherche mathématique est identique à la
création d’un œuvre d’art
– Logique, axiomatique, analyse, théorie des
nombres, analyse, théorie de l’information
– Novations
• Limites de la logique mathématique
• Fonde la théorie du chaos
• Systèmes dynamiques
– Fonde la cybernétique
• Cybernétique et société 1948
Norbert Wiener
(1894 - 1964)

105. La récursivité
Ackermann
– Élève de Hilbert
– Fonction récursive mais non calculable par itération
bornée
A (m,n) =
si m = 0 alors n + 1 sinon
si n = 0 alors A(m - 1, 1) sinon
A(m - 1, A(m, n - 1))
– Fonction non primitive récursive
Wilhelm Ackermann
(1896 - 1962)

106. La plus grande découverte
mathématique de l’humanité
Gödel
« toute théorie dont le modèle comporte un ensemble
infini ne peut être à la fois consistante ET complète »
– Idée : construire un système formel acceptant la
fbf :
A : A n’est pas un théorème
• Si A est vrai A n’est pas démontrable
• Si A est faux, A est un théorème
Kurt Gödel
(1906 - 1978)

107. Sémantique de la vérité
Banach
– Fonde l’analyse fonctionnelle
– Théorie de la mesure
Tarski
– Fonde la théorie des modèles
– Définit la conséquence logique 1936
– la conception sémantique de la vérité et le
fondement de la sémantique 1944
– Paradoxe de la sphère Banach-Tarski
Alfred Tarski
(1902 - 1983)
Stefan Banach
(1892 - 1945)

108. Algorithmes formels
Markov père
– Processus stochastiques
– Chaines de Markov
Markov fils
– Fonde la théorie première théorie formelle des
algorithmes
– Précurseur de la théorie de la calculabilité
– Prouve l’indécidabilité du problème de
l’homéomorphisme
Андрей Андреевич Марков
(1856 - 1922)
Андрей Андреевич Марков
(1903 - 1979)

109. Axiomatisations
Kolmogorov
– Axiomatisation des probabilités
partie du 6ème problème de Hilbert
– Impossibilité de résoudre l’équation du 7ème degré
par fonctions de 2 variables
13ème problème de Hilbert
– Théorie de l’information fondée sur la complexité
algorithmique
différente de celle de Shannon
Андрей Николаевич
Колмогоров
(1903 - 1987)

110. Le premier ordinateur
Von Neumann
– Logique
– Algèbres quantiques
– Fonde la théorie des jeux
– Définition ensembliste des nombres
• 0 → ∅, 1→ {∅}, 2 → {∅,{∅}}, …, n+1 → n ∪ {n}
• Propriétés card (n) = n , < coïncide avec ∈
– Automates cellulaires
– Premier ordinateur ENIAC1945
• UAL
• Mémoire
• Programme enregistré
John von Neumann
(1903 - 1957)

111. Calculabilité
Church
– Calculabilité et Décidabilité
– Récursivité
– Etablit en 1936 la première construction
mathématique des fonctions calculables
– Fonde en 1941 le lambda calcul à l’origine de
Lisp et Scheme
– Enonce la thèse de la calculabilité
« l’ensemble des fonctions calculables est identique quelque
soit le modèle de calcul »
Alonzo Church
(1903 - 1995)

112. Machine à calculer universelle
Turing
– Première construction
abstraite d’une machine à
calculer universelle en … 1936
– Décrypte le code de l’Enigma
– Fonde l’intelligence artificielle
– Auteur du test de Turing
• Procédure distinguant un humain et une machine
Alan Turing
(1912 - 1954)

113. Fonctions non calculables
• Terminaison d’un programme
Arrêt de la machine de Turing
Existence supposée d’une fonction calculable f
∀ P f(P) = 0 ⇔ P se termine P est un programme (texte)
Construction de la fonction g (P) dont G est le programme
∀ P si f(P) = 0 alors tant que vrai faire { }
g (G) se termine ⇔ G ne se termine pas
Conclusion f n’est pas calculable
• Équivalence de programmes
P (d) ≡ Q (d) ⇔ ∀ d résultat de P (d) = résultat de Q (d)

114. Théorie de l’information
Hartley
– Transmission of information 1928
– Première mesure de l’information
Weaver et Shannon
– A Mathematical Theory of Communication 1948
Applications
• Transmission de données
• Compression de données
• Codes détecteurs & correcteurs
• Cryptologie
• Physique quantique
Claude Shannon
(1916 - 2001)
Warren Weaver
(1894 - 1978)
?
Ralph Hartley
(1888 - 1970)

115. Conjecture de Syracuse
Collaz 1937
Posée en 1950 à l’université de Syracuse
(USA)
un+1 = si un pair un / 2 sinon 3 un + 1
• Conjecture
– converge vers 1
– non démontrée
?
Lothar Collaz
(1910 - 1990)

116. La science informatique
Arsac
– Introduit l’informatique à l’université française
• Institut de programmation de Paris
– la science informatique 1970
– les machines à penser 1987
– La science et le sens de la vie 1993
– Y-a-t-il une vérité hors de la science 2002
Jacques Arsac
(1929 )

117. La mathématique
Bourbaki
– Nom : canular ENS 1880
– Collectif de 1935 renouvelé par cooptation
âge limite 50 ans
– Refonde « la mathématique » sur les fondements
axiomatiques de Hilbert
– 10 volumes
– Introduction des notations N, Z, Q, R, C
des termes injection, surjection, bijection
des notations ⇒, CE, …
Nicolas Bourbaki
(1939 - ? )

118. Les 3 écoles actuelles
• Logicisme Dedekind, Cantor, Peano, Frege, Russel,
Boole
– Principe du tiers exclus
– Définitions cohérentes
– Démonstrations par existence
• Constructivisme ou intuitionnisme Kronecker,
Poincaré, Borel, Brouwer
– Définitions et démonstrations par algorithmes
– Refus de l’axiome de choix et du tiers exclus
• Formalisme Hilbert, Bourbaki
– Fondement purement axiomatique
– Russel et Gödel l’infirment