Le document traite des suites numériques réelles, abordant leur définition par fonction ou par récurrence, ainsi que le principe de récurrence pour prouver des propriétés. Il présente également des concepts clés comme les suites arithmétiques et géométriques, et explique comment calculer des sommes et déterminer des variations ainsi que des limites. Les notions de convergence et divergence des suites sont également discutées, ainsi que les opérations sur les limites.

1. R´sum´ du cours sur les suites.
e e
1 Suites num´riques r´elles et principe de r´currence
e e e
1.1 Les deux fa¸ons de d´finir une suite num´rique r´elle
c e e e
D´finition. On note n0 un entier naturel (en g´n´ral n0 = 0 ou n0 = 1)
e e e
.
Une suite num´rique r´elle est une application qui associe ` tout entier
e e a
naturel n ≥ n0 un nombre r´el qui est not´ un .
e e
Ce nombre est « le terme de la suite de rang n » et la suite est donc
d´finie « ` partir du rang n0 ».
e a
On peut d´finir une suite de deux fa¸ons compl`tement diff´rentes :
e c e e
– Soit on a un moyen de calculer la valeur de un connaissant le rang n : la
suite est donc d´finie par une fonction f du rang et on note un = f (n) .
e
Ex : un = 2n
– Soit on connaˆ la valeur initiale de la suite un0 et on sait calculer la
ıt
valeur de la suite au rang n + 1 connaissant sa valeur au rang n :
un+1 = f (un ) .
Ex : u0 = 0 et un+1 = un + 2
Les deux exemples d´finissent la mˆme suite qui n’est autre que la suite
e e
des entiers naturels multiples de 2 .
Dans le premier cas la suite est d´finie par une fonction (sous-entendu :
e
du rang) et dans le second, elle est d´finie par une formule de r´currence
e e
On commence par une propri´t´ utile pour compter le nombre de termes
ee
dans une somme.
Propri´t´. Soit a ≤ b deux entiers naturels. Le nombre d’entiers n com-
e e
pris entre a et b est ´gal ` b − a + 1 .
e a
Ex : entre les entiers 15 et 20 (bornes comprises) on a exactement 6
entiers.
1.2 Le principe de r´currence
e
On consid`re une propri´t´ qui d´pend d’un entier naturel n : pour chaque
e ee e
n , la propri´t´ Pn est vraie ou fausse.
ee
1

2. Th´or`me. Si les deux conditions suivantes sont r´unies :
e e e
– Pn0 est vraie
– Pour tout n ≥ n0 , si Pn est vraie , alors Pn+1 est vraie
Alors on peut conclure que la propri´t´ Pn est vraie pour tout n ≥ n0
ee
On en d´duit une formule pour la somme des entiers de 0 ` n .
e a
Propri´t´. Soit n un entier naturel et S = 0 + . . . + n la somme de tous
e e
n(n + 1)
les entiers compris entre 0 et n. On a le r´sultat suivant : S =
e
2
On en d´duit ´galement une formule pour la somme des puissances d’un
e e
nombre r´el .
e
Propri´t´. Soit n un entier naturel , q un nombre r´el et S = 1 + q +
e e e
n
. . .+q la somme de toutes les puissances de q dont l’exposant est compris
entre 0 et n. On a leesultat suivant :
r´
 1 − q n+1 q n+1 − 1

 1−q = si q = 1
q−1

S=



 n+1 si q = 1
2 Rappels de premi`re : suites arithm´tiques et suites
e e
g´om´triques
e e
2.1 Suites arithm´tiques
e
D´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est arithm´tique
e e a e
lorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = un + r o` le u
nombre r est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite.
e e
Remarque. Montrer qu’une suite est arithm´tique revient donc ` montrer
e a
que la diff´rence un+1 − un est constante.
e
Calcul d’un terme en fonction de son rang.
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie `
e e e a
partir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme de
rang n par la formule suivante :
un = un0 + (n − n0 ) · r
2

3. Remarque. On calcule la raison d’une suite arithm´tique dont on connaˆ
e ıt
u n − u n0
deux termes de rangs diff´rents par la formule : r =
e
n − n0
Calcul de la somme de termes cons´cutifs.
e
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite arithm´tique de raison r d´finie `
e e e a
partir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’`
e a
un rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e
S = un0 + un0 +1 + . . . + un
Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la
formule suivante :
u n + un
S=N· 0
2
Remarque. La somme est donc la moyenne du premier et du dernier terme
multipli´e par le nombre de termes.
e
2.2 Suites g´om´triques
e e
D´finition. Une suite (un ) d´finie ` partir du rang n0 est g´om´trique
e e a e e
lorsque pour tout entier naturel n ≥ n0 on a : un+1 = q · un o` le nombre
u
q est une constante r´elle appel´e « raison » de la suite.
e e
Remarque. Montrer qu’une suite qui ne s’annule pas est g´om´trique re-
e e
un+1
vient donc ` montrer que le quotient
a est constant.
un
Calcul d’un terme en fonction de son rang.
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie `
e e e e a
partir du rang n0 , pour tout entier n ≥ n0 , on peut calculer le terme de
rang n par la formule suivante :
un = un0 · q n−n0
Calcul de la somme de termes cons´cutifs.
e
e e ´
Propri´t´. Etant donn´e une suite g´om´trique de raison q d´finie `
e e e e a
partir du rang n0 , on consid`re la somme de ses termes du rang n0 jusqu’`
e a
un rang n ≥ n0 . Cette somme est not´e : e
S = un0 + un0 +1 + . . . + un
Le nombre de termes de cette somme est N = n − n0 + 1 et on a la
3

4. formule suivante :
 N
 un · 1 − q si

 0 q=1
 1−q
S=



 u ·N
n0 si q=1
3 Majoration et minoration d’une suite
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « major´e par le r´el M » lorsque
e e e
pour tout n ≥ n0 , on a :
un ≤ M
Remarque. Le r´el M est alors appel´ un « majorant » de la suite. De
e e
plus, lorsqu’une suite est major´e, elle a une infinit´ de majorants.
e e
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « minor´e par le r´el m » lorsque
e e e
pour tout n ≥ n0 , on a :
un ≥ m
Remarque. Le r´el m est alors appel´ un « minorant » de la suite. De
e e
plus, lorsqu’une suite est minor´e, elle a une infinit´ de minorants.
e e
D´finition. Une suite (un )n≥n0 est « born´e » lorsque elle est ` la fois
e e a
major´e et minor´e.
e e
4 Variations
4.1 G´n´ralit´s
e e e
D´finition. Une suite est « croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on a :
e
un ≤ un+1
.
Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas croissante, il faut montrer
qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 > un1 +1 .
e
D´finition. Une suite est « d´croissante » lorsque pour tout n ≥ n0 on
e e
a:
un ≥ un+1
.
4

5. Remarque. Pour montrer qu’une suite n’est pas d´croissante, il faut mon-
e
trer qu’il existe un rang particulier n1 pour lequel on v´rifie un1 < un1 +1 .
e
D´finition. Une suite est « monotone » lorsqu’elle est croissante ou
e
d´croissante.
e
4.2 M´thodes
e
Il y a principalement quatre m´thodes pour ´tudier les variations d’une
e e
suite.
´
Etude du signe de la diff´rence de deux termes cons´cutifs.
e e
Dans tous les cas, on peut calculer la diff´rence un+1 − un et ´tudier son
e e
signe.
Si cette diff´rence est toujouirs positive, la suite est croissante.
e
Si cette diff´rence est toujouirs n´gative, la suite est d´croissante.
e e e
Comparaison du quotient de deux termes cons´cutifs et de 1.
e
Uniquement dans le cas o` on sait que tous les termes de la suite sont
u
un+1
strictement positifs, on peut calculer le quotient et le comparer `a
un
1.
Si ce quotient est toujouirs plus grand que 1, la suite est croissante.
Si ce quotient est toujouirs plus petit que 1 , la suite est d´croissante.
e
´
Etude des variations d’une fonction. Uniquement dans le cas o` la suite
u
est d´finie comme une fonction du rang, c’est-`-dire o` l’on a un = f (n),
e a u
on peut ´tudier les variations de f sur l’intervalle [0, +∞[ : les variations
e
de la suite sont identiques ` celles de la fonction.
a
Raisonnement par r´currence.
e Pour montrer qu’une suite d´finie pour
e
tout entier naturel est croissante, on peut proc´der ainsi :
e
1. On v´rifie u0 ≤ u1
e
2. On suppose que pour un certain entier n, on a un ≤ un+1 et on
montre que cela implique n´cessairement un+1 ≤ un+2
e
3. On peut alors conclure que la suite est croissante.
5

6. 5 Limites
Dans cette section, tous les r´sultats ´nonc´s sont admis.
e e e
5.1 D´finition des limites
e
Une suite peut avoir une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞ ou ` un r´el l .
e a a a e
Une suite peut ´galement ne pas avoir de limite.
e
Limite infinie.
D´finition. La suite (un ) tend vers +∞ lorsque pour tout r´el K il existe
e e
un rang n1 ` partir duquel on a un > K.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus
e
grands que tout r´el ` partir d’un certain rang ».
e a
D´finition. La suite (un ) tend vers −∞ lorsque pour tout r´el K il existe
e e
un rang n1 ` partir duquel on a un < K.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que les termes de la suite « sont plus
e
petits que tout r´el ` partir d’un certain rang ».
e a
Limite r´elle
e
D´finition. La suite (un ) tend vers 0 lorsque pour tout r´el e > 0 il
e e
existe un rang n1 ` partir duquel on a |un | < e.
a
D´finition. La suite (un ) tend vers le r´el l lorsque pour tout r´el e > 0
e e e
il existe un rang n1 ` partir duquel on a |un − l| < e.
a
Remarque. Il est ´quivalent de dire que la distance des termes de la suite
e
au r´el l « est plus petite que tout r´el strictement positif ` partir d’un
e e a
certain rang ».
Convergence et divergence
D´finition.
e
Une suite est « convergente » lorsqu’elle admet une limite r´elle.
e
Une suite est « divergente » dans le cas contraire, c’est-`-dire lorsque
a
– ou bien elle admet une limite ´gale ` +∞ ou ` −∞
e a a
– ou bien elle n’admet pas de limite
6

7. 5.2 Limites et op´rations
e
Dans les tableaux qui suivent les nombres et sont deux nombres r´els. e
Lorsque le r´sultat est not´ ? ? ? , cela signifie qu’il est « ind´termin´ »
e e e e
, c’est-`-dire varie selon la nature des suites utilis´es.
a e
Somme de deux suites
Si lim un = +∞ −∞ +∞
et lim vn = +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Alors lim un + vn = + +∞ −∞ +∞ −∞ ? ? ?
Produit de deux suites
Si lim un = = 0 ±∞ 0
et lim vn = ±∞ ±∞ ±∞
Alors lim un · vn = · ±∞ ±∞ ? ? ?
Lorsque le r´sultat est ±∞ , le signe est d´termin´ par la r`gle des signes
e e e e
.
Inverse d’une suite
Si lim un = = 0 ±∞ 0 0+ 0−
1 1
Alors lim = 0 ? ? ? +∞ −∞
un
Par d´finition lim un = 0+ signifie : lim un = 0 et la suite est strictement
e
positive ` partir d’un certain rang.
a
De mˆme, lim un = 0− signifie : lim un = 0 et la suite est strictement
e
n´gative ` partir d’un certain rang.
e a
un 1
Quotient de deux suites. On d´termine la limite de
e = un · par
vn vn
application successive des th´or`mes sur l’inverse d’une suite et sur le
e e
produit de deux suites.
7

8. Cas d’ind´termination.
e C’est le plus important ` m´moriser :
a e
1 ∞ 0
∞−∞ 0·∞
0 ∞ 0
5.3 Suite obtenue par composition d’une suite puis d’une fonc-
tion
Propri´t´. On consid`re la suite vn = f (un ) o` f d´signe une fonction
e e e u e
num´rique r´elle. Si on connaˆt lim un = α et si on connaˆt lim f (x) = β
e e ı ı
x→α
, alors on a : lim vn = β.
Remarque. Dans cet ´nonc´, les symboles α et β d´signent un r´el ou
e e e e
+∞ ou −∞.
5.4 Limites et relation d’ordre
Passage ` la limite dans une in´galit´.
a e e
Propri´t´. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) toutes les deux conver-
e e e
gentes respectivement vers les r´els et . Si ` partir d’un certain rang,
e a
on a : un ≤ vn , alors on a :
≤
Remarque. On dit qu’on peut « passer ` la limite » dans l’in´galit´ un ≤
a e e
vn
Calcul d’une limite ` partir d’in´galit´s.
a e e On ne peut pas appliquer les
th´or`mes sur les op´rations dans tous les cas, notamment lorsque l’une
e e e
des deux suites utilis´es n’a pas de limite. Dans cette situation, les
e
r´sultats suivants sont souvent utiles.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim un =
e e a
+∞, alors on a :
lim vn = +∞
Remarque. On dit aussi que si une suite est minor´e par une suite qui
e
tend vers +∞ , alors elle tend elle-mˆme vers +∞.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn et si lim vn =
e e a
−∞, alors on a :
lim un = −∞
8

9. Remarque. On dit aussi que si une suite est major´e par une suite qui
e
tend vers −∞ , alors elle tend elle-mˆme vers −∞.
e
Propri´t´. Si ` partir d’un certain rang, on a : un ≤ vn ≤ wn et si
e e a
lim un = lim wn = o` est un r´el, alors on a :
u e
lim vn =
Remarque. Ce r´sultat est appel´ « th´or`me des gendarmes ». On dit
e e e e
aussi que si une suite est encadr´e par deux suites qui tendent vers le
e
mˆme nombre r´el, alors elle tend elle-mˆme vers ce r´el.
e e e e
6 Exemples de suites convergentes
6.1 Convergence de suites g´om´triques
e e
Th´or`me. Soit q un r´el diff´rent de 0 et de 1. On a les r´sultats
e e e e e
suivants :
1. Si q > 1 , alors lim q n = +∞
2. Si −1 < q < 1 , alors lim q n = 0
Remarque. On peut compl´ter ces r´sultats par :
e e
n
• si q = 1 , la suite (q ) est constante et sa limite est 1
• si q = 0 , la suite (q n ) est constante ` partier du rang 1 et sa limite est
a
0
• si q ≤ −1 , la suite (q n ) n’a pas de limite
6.2 Convergence monotone
Le r´sultat suivant qui est admis, est tr`s utile pour montrer qu’une suite
e e
est convergente : il ne permet pas cependant de calculer cette limite.
Th´or`me. Si une suite est croissante et major´e, alors elle est conver-
e e e
gente. De mˆme, si une suite est d´croissante et minor´e, alors elle est
e e e
convergente.
6.3 Suites adjacentes
D´finition. On consid`re deux suites (un ) et (vn ) d´finies ` partir du
e e e a
rang n0 . Elles sont dites « adjacentes » lorsque :
1. (un ) est croissante
9

10. 2. (vn ) est d´croissante
e
3. lim vn − un = 0
Th´or`me. Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers le
e e
mˆme nombre r´el.
e e
10