Le document traite des pavages de Truchet, utilisés pour illustrer des résultats aléatoires de lancers de pièces, en transformant des séquences de piles ou faces en images. Il présente un algorithme en Python permettant de créer ces pavages en utilisant des images spécifiques, ainsi qu'une brève histoire de la théorie des pavages et des fractales. Enfin, il évoque des mathématiciens influents dans le domaine des fractales et les caractéristiques qui les définissent.

2. Pavages de Truchet
On veut essayer de comprendre comment fonctionne l’al´eatoire, et pour cela on ´etudie des s´eries de 100 pile ou face en
changeant de point de vue. C’est `a dire qu’on transforme les r´esultats P ou F en une figure. Mais comment associer des
s´equences de pile ou face `a des images? On veut une certaine continuit´e dans les images et pour cela on fait recours aux
pavages de Truchet. Voici les quatre photos qu’on utilise pour former les pavages de Truchet:
Pile Rouge Pile Vert Face Rouge Face Vert
Voici quelques pavages et la s´equence qu’ils repr´esentent:
Un pavage d’une s´equence al´eatoire
de P ou F
Un pavage alternant `a chaque ligne
entre PF et FP
Un pavage de la s´equence PPFFFFP.
Un pavage d’une s´equence al´eatoire
de P ou F
Un pavage de la s´equence
PPPFFPFFFP
Un pavage alternant des couches
carr´ees de P et F
Un pavage d’une s´equence al´eatoire
de P ou F
Un pavage repr´esentant la s´equence
PF
Un pavage alternant `a chaque 2
lignes entre PPFF et FFPP
Enrique Lacal et Lu˜a Streit

3. Mais comment passer des s´equences aux pavages?
C’est grˆace `a cet algorithme en language Python qu’on parvient
`a transformer une s´equence de pile ou face sur excel en un
pavage de Truchet.
1 import pygame , Buttons
2 from pygame . l o c a l s import ∗
3 from PIL import Image
4 import random
5 import x l r d
6 import os
7
8 #o u v e r t u r e du f i c h i e r e x c e l
9 workbook = x l r d . open workbook ( ’ C l a s s e u r 1 . x l s ’ )
10 s h e e t = workbook . s h e e t b y i n d e x ( 0 )
11
12 d e f av ( x , y , dh ) :
13 i f ( x==0 and y>0) :
14 r e t u r n ( dh∗x+y−1)
15 e l i f ( x>0) :
16 r e t u r n ( ( x−1)∗dh+y )
17 random . seed ( )
18 #Ouverture des images n c e s s a i r e s
19 pr = Image . open ( ” pr . png” )
20 pv = Image . open ( ”pv . png” )
21 f r = Image . open ( ” f r . png” )
22 f v = Image . open ( ” f v . png” )
23
24 ( width , h e i g h t )= pr . s i z e
25 #l e c t u r e des i n f o r m a t i o n s du t a b l e u r
26 n=s h e e t . nrows
27 c=s h e e t . n c o l s
28
29 #C r e a t i o n d ’ une l i s t e
30 pouf = [ [ ] f o r i i n xrange ( n ) ]
31 f o r i i n xrange ( 0 , n ) :
32 f o r h i n xrange ( 0 , c ) :
33 #Ajout des i n f o r m a t i o n s du t a b l e a u dans l a l i s t e pouf
34 i f s h e e t . c e l l v a l u e ( h , i )==”F” :
35 pouf [ i ] . append ( ”F” )
36 e l i f s h e e t . c e l l v a l u e ( h , i )==”P” :
37 pouf [ i ] . append ( ”P” )
38
39 #C r e a t i o n d ’ une image qui s ’ adapte l a t a i l l e du t a b l e u r
40 image=Image . new ( ”RGB” , ( n∗width , c∗ h e i g h t ) , ( 2 5 5 , 2 5 5 , 2 5 5 ) )
41 ( iwidth , i h e i g h t ) = image . s i z e
42 dh = i h e i g h t / h e i g h t
43 dw = i w i d t h / width
44 l o g = [ ]
45
46 #Ajout des images s u i v a n t l a sequence d ’ e x c e l
47 f o r x i n xrange ( 0 , dh ) :
48 f o r y i n xrange ( 0 ,dw) :
49 avant = av ( x , y , dh )
50 i f ( pouf [ x ] [ y]==”F” ) :
51 i f ( x==0 and y==0) :
52 g . p a s t e ( fv , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
53 l o g . append ( ” f v ” )
54 e l s e :
55 i f ( l o g [ avant]==” f v ” or l o g [ avant]==” pr ” ) :
56 g . p a s t e ( f r , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
57 l o g . append ( ” f r ” )
58 e l i f ( l o g [ avant]==” f r ” or l o g [ avant]==”pv” ) :
59 g . p a s t e ( fv , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
60 l o g . append ( ” f v ” )
61 e l i f ( pouf [ x ] [ y ] . upper ( )==”P” ) :
62 i f ( x==0 and y==0) :
63 g . p a s t e ( pv , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
64 l o g . append ( ”pv” )
65 e l s e :
66 i f ( l o g [ avant]==”pv” or l o g [ avant]==” f r ” ) :
67 g . p a s t e ( pr , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
68 l o g . append ( ” pr ” )
69 e l i f ( l o g [ avant]==” pr ” or l o g [ avant]==” f v ” ) :
70 g . p a s t e ( pv , ( x∗width , y∗ h e i g h t ) )
71 l o g . append ( ”pv” )
72 #Ouvrir l ’ image
73 image . show ( )
Cet algorithme permet de cr´eer des chefs-d’œuvre comme
les pavages suivants:
Pour cela, il suffit de changer les images de base et inventer
un dessin unique.
Enrique Lacal et Lu˜a Streit

4. LES PAVAGES DE TRUCHET,
L’ART DES MATHS !
Les pavages simples.
À l’aide d’une une pièce carrée bicolore séparée en deux
parties, diagonalement, il crée des pavages qu’il va ensuite
étudier et classifier.
Les pavages étendus.
Il va ensuite changer la disposition des carrés toujours
conservant la double couleur. Il suit des règles telle que les
segments ou les arcs de cercle coïncident lors des
juxtapositions des pièces.
Un peu d’histoire…
Le Père Sébastien Truchet est né à Lyon en 1657,
membre de l’académie des
sciences, il fut le premier à étudier la
théorie des pavages. Il mourut en 1729
à 72 ans
Les pavages de Truchet ont inspire de
nombreux artistes dont Athos Bulcão qui a plusieurs
expositions à Brasília, y comprit au Lycée Français François
Mitterrand. Louise Segura TS,
LfFM
à Lyon.

5. Voici l’art!
Athos Bulcão...
Pavages de Truchet...
Louise
Segura
TS, LfFM

6. [Digite texto]
Tout d’abord, notre but était de
construire une fractale grâce au
logiciel « GEOTORTUE ». La fractale
est la suivante, on l’appelle le
« flocon de Von Koch ».
Nous avons commencé par
comprendre quelle était la partie de
la fractale qui se répètait :
CODE GEOTORTUE: En répétant cette procédure 3 fois,
on obtient une étoile.
Il fallait ici trouver un moyen de
répéter cette procédure plusieurs
fois mais avec des tailles différentes
selon le niveau de la fractale.
Ci-dessous, les trois premiers
niveaux de la fractales :
FRACTALE
S

7. [Digite texto]
LE CODE FINAL:
Commande:
Procédure:
Bien sur, nous ne sommes pas arrivés à la solution au premier coup.
Nous avons dû faire plusieurs essais .
Ainsi, en essayant, nous avons trouvé des figures très intéressantes
par hazard. Voici quelques exemples :
Affiche realisé par Camila Rico, Anita Broggio
et Gabriel Salgado.

8. Histoire des fractales
Le mot "fractale" vient du latin
"fractus" qui signifie "brisé". En effet, une
fractale est une figure géométrique qui se
répète infiniment, cela veut dire que si on
zoom une partie de la figure on rencontre
toute la figure. Les fractales sont apparues
au XIXe siècle, elles étaient considérées
comme des curiosités mathématiques,
surtout lorsque les mathématiciens
s’aperçurent que de nombreux objets de la
nature en contenaient, par exemple: un
nuage, une montagne, une branche, une
ramification, des bronches dans les
poumons, etc.
Nous reconnaissons deux grands
mathématiciens dans ce domaine :
 Benoit Mandelbrot (1924-2010)
est un mathématicien franco-
américain qui a développé la
théorie sur les objets fractales. Il
baptise une famille de fractales
comme l’ensemble de Madelbrot
definies par une suite
recurrente : zn+1 = zn
2
+ c où c
représente un nombre complexe
quelconque.
 Wacław Franciszek Sierpiński (1882-1969) est un mathématicien polonais, connu pour ses
contributions aux théories des ensembles, des nombres, des fonctions et de la topologie.
Nous reconnaissons trois fractales portant son nom : Le triangle de Sierpiński, le tapis de
Sierpiński et la courbe de Sierpiński.
Ci-dessous, le triangle de Sierpinski. On peut s'obtenir à partir d'un triangle équilatéral « plein » ,
par une infinité d'itérations consistant à retirer à chaque étape le triangle équilatéral formé par le
milieu des côté des triangles en noir restant. Donc a chaque étape les triangles noirs forment une
aire de plus en plus petite (à chaque étape elle est multiplié par ¾) mais sa taille reste la même.

9. Définition simplifiée
Autrement dit, on peut
reconnaître un objet fractal s'il a
une forme plus ou moins
fragmentée, et si on retrouve cette
forme en changeant d'échelle.
Maira Xavier TS
LfFM de Brasilia