Le document présente un programme en Python pour générer la suite de Thue-Morse et utilise des graphiques Turtle pour tracer divers motifs basés sur cette suite. Plusieurs algorithmes et angles de rotation sont testés pour créer des figures complexes, notamment des flocons de Koch et des mandalas, en observant des motifs émergents et des comportements stables au fur et à mesure que le nombre de termes augmente. L'auteur explore également des conjectures sur l'impact des angles de rotation et les approximations de constantes mathématiques comme pi et l'e ainsi que leur influence sur les motifs générés.

1. Suite de Thue-Morse
Programme Python pour la générer :
>>> m, t = 1, [0]

2. >>> while m != 2**16 :
... n=0
... while n != m :
... r=(int(t[n])-1)**2
... t.append(r)
... n=n+1
... m=m*2
Tracés avec Turtle Graphics :
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(60)
fd(10)
a = a+1
On obtient un fragment du flocon de Koch
__
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 : # ou == 1
rt(60)

3. fd(10)
a = a+1
donne un petit hexagone
__
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(60)
a = a+1
On retrouve le flocon de Koch tracé d'une autre manière
__
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(30)
fd(10)
avec l'angle de 30, on obtient probablement le flocon mais plus grossier encore

4. __
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(90)
on obtient le symbole suivant !
__
a = 0
while a < 2**16 :
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(90)
fd(10)
de même :
__
a = 0
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(45)
fd(10)
a=a+1

5. donne :
__
a = 0
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(45)
a=a+1
__
a = 0
while a != 2**16:
if t[a] == 1 : # ou 0 d'ailleurs
fd(10)
else :
rt(135)
a=a+1
__
a = 0
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(135)
fd(10)
a=a+1

6. __
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(120)
fd(10)
a=a+1
__
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(150)
fd(10)
a=a+1

7. __
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(150)
a=a+1
ET
while a != 2**16:
if t[a] == 0 :
fd(10)
else :
rt(120)

8. a=a+1
donnent aussi d'autres versions du flocon de Koch
__
notons
le remplacement de ==0 par ==1 entraine seulement une rotation de la figure
passons maintenant à la comparaison de deux termes de la suite
a = 0
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(60)
fd(10)
a=a+1
60 = 180-(360/3)
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(30)
... fd(10)
... a=a+1

9. pas de période observée
orbite plutôt stable autour d'un centre se déplacement lentement ?
__
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(45)
fd(10)
a=a+1
bassin stable, aux allures pentagonales sans le centre, allure « nuage électronique »
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(108)
... fd(10)
... a=a+1
108 = angle d'un pentagone
__

10. while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(72)
... fd(10)
... a=a+1
72 = 360/5
extra !
Il faudrait réessayer en laissant le tracé beaucoup plus longtemps
avec un pas de 4 (dézoom)
aspect « cathédrale »
__
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :

11. fd(10)
else :
rt(216)
fd(10)
a=a+1
Bassin à priori stable, en forme d'oursin (← pentagone vu de côté...?).
__
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(90)
fd(10)
a=a+1
quadrillage carré de forme triangulaire (… ? à grande échelle?)
90 = 180-360/4 = 360/4 ; influence du 4
Voici la même figure avec un pas de 1 pixel (dézoom)...en cours de construction :

12. Ressemble à une construction humaine...?
Pas de motif final, étrange coin amoché, brisé,
__
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(120)
fd(10)
a=a+1
Espace quadrillé parcouru et reparcouru, élargi peu à peu
__

13. while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(150)
fd(10)
a=a+1
bassin à priori stable, pentagonal (environ), à voir dans le temps
__
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(240)
fd(10)
a=a+1
240 même type que 120
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(360/7)
... fd(10)
... a=a+1

14. influence du nombre 7
bassin à peu près stable, ou évolue très lentement, (humain vue de haut, tête)
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(180-(360/7))
... fd(10)
... a=a+1
influence du 7, angle de l'heptagone
Enorme ! Mandala, étoile à 14 branche (Tempérance)
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(135)
... fd(10)
... a=a+1
135 = 180-360/8 , angle de l'octogone

15. On retrouve le flocon de Koch qu'on avait laissé en changeant l'algorithme !
__
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(140)
... fd(10)
... a=a+1
140 : angle de l'ennéagone, influence du 9
! Croissance quasi végétale, très naturelle, supposée infinie d'une structure étoilée !
À laisser tourner une nuit !
Processus de construction très très impressionnant, renforcement des structures existantes avant de

16. poursuivre plus loin, … !!!
Croissance régulière, mais entretient des asymétries, qui entretiennent le mouvement.
Elargissement de la structure sous forme de boucles, cellules, plus stable.
Stabilisation en un Mandala à 18 branches !

17. __
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(40)
fd(10)
a=a+1
40 = 360/8
pas laissé assez longtemps
__
J'oubliais bien entendu 180, la ligne :
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(180)
... fd(10)
... a=a+1
Le segment du haut indique le pas
Le tracé est donc une segment de deux pas <=> il n'y a jamais plus de deux 0 de suite
__

18. Tout petit décalage de l'angle droit :
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :
... rt(91)
... fd(10)
... a=a+1
Mandala qui doit être très long à achever
décalage encore plus petit :
while a != 2**16:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(10)
... else :

19. ... rt(90.1)
... fd(10)
... a=a+1
__
nombre d'or
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(360/b)
fd(10)
a=a+1
avec b le nombre d'or b = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354

20. Phi semble bien s'exprimer mais attention aux approximations, et donc au décalage.
Autre :
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(180-360/b)
fd(10)
a=a+1
Pseudo mandala :
Et pour Pi :
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :

21. fd(10)
else :
rt(180-360/b)
fd(10)
a=a+1
avec pi = b = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534

22. (fd:4)
Observation : émergence d'une structure connue = segments de 1 ou 2 avec possible rotation de 108
degrés <=> écart de 72 degré à la trajectoire
→ pour l'instant, émergence de la même figure que pour 72 degré !!!
puis
obtenu avec
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(20)
else :
rt(72)
fd(20)
a=a+1
Le motif d'auto-similarité de cet algo était :

23. A vérifier
pour 2**16 termes de la suite
On observe un petit décalage dans la figure, peut-être dû à une approximation inévitable de pi.
Difficile à vérifier.
On peut assurer un peu plus la conjecture en poussant un peu plus loin pour observer l'éventuel
changement attendu (par analogie à l'angle de 90°).
Essayons à 2**20 (et attendons...)
L'approximation de pi par python est à 2.4e-16 près (sous estimation), ce qui revient à un écart
angulaire de max 10^-14 et cette erreur s'accumule à chaque rotation. Quelle est la probabilité de
rotation ? Question intéressante, à développer plus tard. Disons ¾, alors l'approximation
entrainerait, pour le tracé selon 2^16 termes, un décalage d'angle de 4.10^-10 degré environ, ce qui
est encore insignifiant.
L'écart ici semble 10^10 fois plus grand : mesure de l'angle entre la direction en début de tracé
(segment du haut) et en fin de tracé d'environ 5 degré sur la dernière figure (ils devrait être alignés
si le motif émergent est celui produit par l'algo 7). Autre perte de précision dans l'algo ? Mauvaise
conjecture ?
Le motif semble pourtant vraiment prendre l'allure conjecturée à ce petit décalage près.
Conjecture : le motif émergent avec l'algo(180-360/pi) (algo(≈65.41)) pour 2**16 termes de la
séquence est le même que celui produit par l'algo72 pour 2**4 termes.
La conjecture ne se vérifie pas sur un plus long terme. Le caractère émergent est tout de même
notable. Pour quelle plage de valeur d'angle ce phénomène est-il effectif ?

24. Ce motif ne semble pas être ancré dans une échelle, mais en constante émergence à une échelle
supérieure.
Test algo(65.41)
while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] :
fd(1)
else :
rt(65.41)
fd(1)
a=a+1

25. Il y a bien une divergence avec le tracé précédent mais toujours ce comportement émergent.
__
Autre :
while a != 2**16:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(360/b)
fd(10)
a=a+1
b = pi
Mandala ! Soleil, particule...
__
a = 0
while a != 2**20-1:
if t[a] == t[a+1] :
fd(20)
else :
rt(180-360/(b/2))
fd(20)
a=a+1

26. à suivre
__
while a != 2**20-1:
if t[a] == t[a+1] :
fd(2)
else :
rt(180-360/(2*b))
fd(2)
a=a+1
b=pi

27. __
while a != 2**20-1:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(180-360/(2**0.5))
fd(10)
a=a+1
racine de 2

28. __
a = 0
while a != 2**20-1:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(360/(2**0.5))
fd(10)
a=a+1

29. __
Pi au carré :
>>> while a != 2**20:
... if t[a] == t[a+1] :
... fd(5)
... else :
... rt(180-360/pi**2)
... fd(5)
... a=a+1

30. __
while a != 2**20-1:
if t[a] == t[a+1] :
fd(10)
else :
rt(360/e)
fd(10)
a=a+1
e = 2.71828182845904523536

32. while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] :
fd(5)
else :
rt(360/e)
a=a+1

33. while a != 2**20:
if t[a] != t[a+1] :
fd(5)
else :
rt(360/e)
a=a+1
while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] :
fd(20)
else :
rt(180-360/e)
a=a+1

34. while a != 2**20:
if t[a] != t[a+1] :
fd(20)
else :
rt(180-360/e)
a=a+1
__
while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] :
fd(5)
else :
rt(360/e)
fd(5)
a=a+1

35. while a != 2**20:
if t[a] != t[a+1] :
fd(5)
else :
rt(360/e)
fd(5)
a=a+1

36. __
while a != 2**20:
if t[a] == t[a+1] :
fd(20)
else :
rt(360/e**2)
fd(20)
a=a+1
while a != 2**20:

37. if t[a] == t[a+1] :
fd(5)
else :
rt(180-360/e**2)
fd(5)
a=a+1
Autre :
Cercle ! (ou plutôt polygone)
while a!= 2**20 :
fd(1)
rt(t[a])
a=a+1
print(pos(), a)

38. Complété au bout de 720 termes (720 = 2*360) et d'un diamètre ce 229.8
while a != 2**20 :
fd(10*t[a])
rt(1)
a=a+1
print(pos(), a)
Cercle complété après 360 termes, de diamètre 572.94
while a != 2**20 :
fd(10*t[a])
rt(a)
a=a+1
print(pos(), a)

40. Spirales de Pythagore !
while a != 2**20 :
... fd(a/10000)
... rt(t[a])
... a=a+1
while a != 2**20 :
fd(a/1000)
rt(t[a])
a=a+1

41. Observation intéressante, si on ne commence pas à a=0, alors le tracé est « insignifiant », ou plutôt
très simple, à vérifier/approfondir...
Autre question intéressante : pour le figures stabilisées, y a-t-il une période, et à partir de quel terme
de la suite le tracé est-il complet ?