1. Enigme 17 correction
Au début d’une partie de jeu vidéo en ligne, Loïc est à la tête d’un bataillon de vaisseaux disposés en carré. Il capture
sans aucune perte le bataillon de Charlotte lui aussi organisé en carré. Avec toutes ces troupes, Loïc forme un nouveau
carré et attaque les forces de David. Il subit un revers terrible et il ne lui reste plus que la dernière rangée de son carré à
l’issue de son assaut.
Avec tous les vaisseaux restants, il peut quand même à nouveau former un carré mais il préfère former deux carrés pour
mener une opération de guérilla. Mal lui en prend car David le lamine à nouveau ne lui laissant que la dernière rangée de
chacun de ses deux bataillons.
Loïc fait vite ses comptes : il ne lui reste finalement que 23 vaisseaux.
Sauriez-vous dire combien Loïc possédait de vaisseaux au maximum en début de partie?
Pour tout le Pb, un bataillon en forme decarré signifi que le nombre de vaisseaux est le carré d’un entier naturel.
Soit A² le nombre de vaisseaux de Loïc au départ.
Soit B² le nombre de vaisseaux de Charlotte.
La somme des deux bataillons est encore un carré d’entiers C².
Après son premier revers, en ne conservant que la dernière rangée, il lui reste C vaisseaux.
En fait C est encore un carré d’entiers D² et même la somme de deux carrés d’entiers E²+F².
Après son dernier revers, il ne lui reste que la dernière rangée de chaque bataillon, soit E+F vaisseaux.
Donc A²+B² = C² puis C = D² = E² + F² et E + F = 23.
On commence donc par chercher D : on examine toutes les sommes possibles E+F et la somme des carrés E²+F².
E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
F 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
E+F 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23
E²+F² 485 445 409 377 349 325 305 289 277 269 265
D = racine
22,02 21,1 20,22 19,42 18,68 18,03 17,46 17 16,64 16,4 16,28
carrée de E²+F²
La seule possibilité entière pour D est 17.
Donc C = D² = 17² = 289.
Donc C² = 289² = 83521
On cherche donc les nombres entiers A et B possibles tels que A² + B² = 83521.
A et B sont compris entre 1 et 288 (inclus)…
On cherche toutes les comniaisons possibles sur tableur ou à l’aide d’un algorithme…
C 1 2 3 4 …
D=Racine
288,9983 288,9930795 288,9844286 288,972317 …
(83521 - C²)
On cherche donc le plus grand entier C qui renvoie un nombre D entier…
On trouve un maximum pour C de 255 (D vaut alors 136). Ce qui donne 255² = 65025.
Conclusion : Au maximum, Loïc possède donc 65025 vaisseaux au démarrage au maximum…