Le document présente une énigme mathématique concernant une fonction f, définie par une machine, où f(f(n)) = 3n pour tout entier naturel n. Fabrice explore la fonction et calcule des valeurs comme f(2) = 3 et f(3) = 6, en cherchant à déterminer f(2012) qui est finalement calculé comme 3849. L'exploration est organisée autour des propriétés de la fonction, notamment sa croissance stricte et la relation entre les valeurs d'entrée et de sortie.

1. ENIGME SCIENTIFIQUE CDI / SEMAINE DU 30 JANVIER
TOUJOURS LA MACHINE DE CLEMENT
Fabrice a bien du mal avec la machine de Clément.
Il a bien compris les règles :
♦ on entre un entier naturel et il sort un entier naturel.
♦ l'entier en sortie augmente si on augmente l'entier en entrée.
♦ en entrant dans la machine le résultat obtenu pour un entier n,
on obtient 3 × n.
Fabrice vérifie ces premiers résultats auprès de Clément :
- J'ai nommé F ta machine.
J'ai trouvé que F(0) = 0, que F(1) = 2 mais rien de plus.
- Pourtant tu peux maintenant trouver F(2) !
Regarde F(2) = F(F(1)) = 3×1 = 3
- Exact, je n'y avais pas pensé !
Et du coup, je peux trouver F(3) en écrivant F(3) = F( F(2) ) = 3×2 = 6
Fabrice réfléchit puis s'exprime :
- Je peux bien continuer, je trouve F(6) = 9 mais pour F(4) et F(5) je ne vois pas… !
- Parce que tu oublies que plus le nombre en entrée est grand plus le nombre en sortie est grand…
- Euréka ! Maintenant je suis sûr de pouvoir trouver le résultats si j'entre 2012 dans ta machine…
Et vous, saurez-vous trouver le résultat donné par la machine de Clément
si on y entre 2012 ?

2. CORRECTION DE l'énigme 8
On nomme F la fonction définie par la machine de Clément.
La première règle explique donc que pour tout entier naturel n , F [ F (n) ] = 3n .
La seconde règle explique juste que la fonction F est strictement croissante, c'est-à-dire si a > b , alors F ( a ) > F (b ) .
Premier constat : Le résultat F ( n) fourni par la machine de Clément est supérieur ou égal au nombre d'entrée n .
F (0) est un entier naturel donc F (0) ≥ 0
F (1) > F (0) ≥ 0 donc F (1) est un entier naturel supérieur à 0 , c'est-à-dire F (1) ≥ 1
F (2) > F (1) ≥ 1 donc F (2) est un entier naturel supérieur à 1 , c'est-à-dire F (2) ≥ 2
On peut poursuivre de proche en proche indéfiniment… Donc pour tout entier naturel n , on a F ( n) ≥ n .
Examinons les premiers résultats fournis par la machine de Clément.
F [ F (0)] = 3 × 0 = 0
Si F (0) ≥ 1 , alors comme F est croissante F [ F (0) ] ≥ F (1) .
Mais c'est impossible car F [ F (0)] = 0 et F (1) ≥ 1 . Nécessairement F (0) = 0 .
F [ F (1)] = 3 ×1 = 3
Si F (1) = 1 , alors comme F [ F (1) ] = F [1] = 1 ce qui est impossible.
Si F (1) > 2 , alors comme F est strictement croissante F [ F (1) ] > F (2) > F (1) > 2 , ce qui implique que F [ F (1)] vaut au
moins 5 . C'est impossible. Par élimination, on obtient donc F (1) = 2 .
F [ F (1)] = 3 ×1 = 3 et F [ F (1)] = F [ 2] : donc F (2) = 3 .
F [ F (2)] = 3 × 2 = 6 et F [ F (2)] = F [3] : donc F (3) = 6 .
F [ F (3)] = 3 × 3 = 9 et F [ F (3)] = F [ 6] : donc F (6) = 9 .
Alors 6 = F (3) < F (4) < F (5) < F (6) = 9 donc F (4) = 7 et F (5) = 8 .
On peut poursuivre de proche en proche pour trouver les résultats donnés pour tout entier saisi en entrée…
Une idée consiste alors à "diviser" 2012 plusieurs fois par 3 :
3 × 670 < 2012 < 3 × 671 3 × 223 < 670 et 671 < 3 × 224 3 × 74 < 223 et 224 < 3 × 75
3 × 24 < 74 et 75 = 3 × 25 3 × 8 = 24 et 25 < 3 × 9
Puis on remonte au fur et à mesure jusqu'à 2012 :
F [8] = F [ F (5)] = 3 × 5 = 15 et F [9] = F [ F (6)] = 3 × 6 = 18
F [15] = F [ F (8)] = 3 × 8 = 24 et F [18] = F [ F (9)] = 3 × 9 = 27
Alors 24 = F (15) < F (16) < F (17) < F (18) = 27 donc F (15) = 24 et F (16) = 25 .
F [ 24] = F [ F (15)] = 3 ×15 = 45 et F [ 25] = F [ F (16)] = 3 ×16 = 48
F [ 45] = F [ F (24)] = 3 × 24 = 72 et F [ 48] = F [ F (25)] = 3 × 25 = 75
Alors 72 = F (45) < F (46) < F (47) < F (48) = 75 donc F (47) = 74 et F (48) = 75 .
F [ 74] = F [ F (47)] = 3 × 47 = 141 et F [ 75] = F [ F (48)] = 3 × 48 = 144
F [141] = F [ F (74)] = 3 × 74 = 222 et F [144] = F [ F (75)] = 3 × 75 = 225
Alors 222 = F (141) < F (142) < F (143) < F (144) = 225 donc F (142) = 223 et F (143) = 224 .
F [ 223] = F [ F (142)] = 3 ×142 = 426 et F [ 224] = F [ F (143)] = 3 ×143 = 429
F [ 426] = F [ F (223)] = 3 × 223 = 669 et F [ 429] = F [ F (224)] = 3 × 224 = 672
Alors 669 = F (426) < F (427) < F (428) < F (429) = 672 donc F (427) = 670 et F (428) = 671 .

3. F [ 670] = F [ F (427)] = 3 × 427 = 1281 et F [ 671] = F [ F (428)] = 3 × 428 = 1284
F [1281] = F [ F (670)] = 2010 et F [1284] = F [ F (671)] = 3 × 671 = 2013
Alors 2010 = F (1281) < F (1282) < F (1283) < F (1284) = 2013 donc F (1283) = 2012 .
Au final : F [ 2012] = F [ F (1283)] = 3 ×1283 = 3849 .
Si on entre 2012 dans la machine de Clément, alors on obtient un résultat de 3849 .
Remarque : solution plus rapide
On pouvait envisager les résultats donnés au fur et à mesure par blocs…
{
On constate aisément que sur la première ligne les ensembles écrits sont de la forme 3 p ... 2 × 3 p . }
On constate aisément que sur la seconde ligne les ensembles écrits sont de la forme {2 × 3 p
... 3 × 3 p } .
On constate enfin que les ensembles de la première ligne ont le même nombre d'éléments que les ensembles immédiatement
en dessous dans la seconde ligne.
On en déduit que :
p
en appliquant F du haut vers le bas, on ajoute donc 3 .
en appliquant F du bas vers le haut à droite, on soustrait donc 3 p puis on multiplie par 3 .
On écrit 2012 en base 3 : 2012 = 2 × 36 + 2 × 35 + 2 × 33 + 32 + 31 + 2
{
Donc 2012 est dans la ligne du bas… appartenant à l'ensemble 2 × 36 ... 3 × 36 }
Et finalement, F (2012) = (2012 − 36 ) × 3 = 3849 .
Remarque : Cette méthode permet de trouver le résultat donné par la machine pour n'importe quelle entrée.