Le document présente une série d'exercices mathématiques comprenant des problématiques de géométrie, d'algèbre et d'analyse de droites. Les exercices nécessitent des justifications, des calculs de vecteurs, et la résolution d'équations pour différents cas. Chaque exercice est noté et conçu pour évaluer la compréhension des concepts mathématiques par les élèves.

1. Exercice 1 : ( 4 pts)
Dans le tableau suivant une seule réponse proposée pour chaque question est correcte. Indiquer laquelle
en justifiant.
Exercice 2 : ( 4 pts)
Dans un repère orthonormé (O ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ) , on considère les points A( −3 ; −1 ) , B( 1 ; −5) , C(2 ; 4)
1) Montrer que A , B et C ne sont pas alignés .
2) Déterminer les coordonnées du point I milieu de [BC].
3) Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC , et montrer par le calcul que :
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗⃗.
4) Soit E( m ; −2) . Déterminer m pour que les trois points B , C et E sont alignés .
Exercice 3 : ( 6 pts)
Dans un repère orthonormé (O ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗ ) , On considère les droites (D1): {
𝑥 = −2𝑡 − 3
𝑦 = 2 − 3𝑡
( t est un paramètre
réel) et (D2) d'équation 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 et les points A(3 ; −1) , B(2 ; 2) , C(−1 ;−1) , D(−1 ; 4) .
1) Donner deux vecteurs directeurs 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ de chacune des droites (D1) et (D2) respectivement .
Réponses
N° Questions a b c
1) La comparaison de A =
2
3+ √2
et B =
2
5+ √2
donne :
A > B A < B A = B
2) 𝑥 et 𝑦 sont deux réels tel que :
0 < 𝑥 < 1 et 2 < 𝑦 < 3 . Un encadrement de
𝑥 + 2𝑦 – 1 est :
3 < 𝑥 + 2𝑦 – 1 < 6 6 < 𝑥 + 2𝑦 – 1 < 3 3 < 𝑥 + 2𝑦 – 1< 4
3) Pour que P(x ) = ( m – 1)𝑥3 + 4 𝑥 + p – 4 et
q(x) = 2 𝑥3 + 4 𝑥 + 5 , soient identiques il
faut
m = −3
p = 9
m = 3
p = −9
m = 3
p = 9
4) On considère les points : A(3 ; −2) ,
B( 0 ; −1) et C(1 ; 1) . Les coordonnées de
vecteur 𝑉⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑖⃗+ 3 𝑗⃗sont :
𝑉⃗⃗( 0 ; −1 ) 𝑉⃗⃗( 0 ; 1 ) 𝑉⃗⃗( −1; 0 )
‫الرسمية‬ ‫العين‬ ‫ثانوية‬881‫البقاع‬ : ‫محافظة‬‫بعلبك‬ : ‫قضاء‬
‫الثاني‬ ‫السعي‬ ‫امتحان‬‫رياضيات‬:‫المادة‬: ‫المدة‬120‫دقيقة‬
)‫فرنسي‬ ( ‫ثانوي‬ ‫األول‬ : ‫الصف‬: ‫الدراسي‬ ‫العام‬2017/2018

2. 2) Ecris (D1) sous sa forme cartésienne.
3) Montrer que (D1) et (D2) sont sécantes. Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I.
4) Ecrire les équations paramétriques de la droite (D3) passant par B et parallèle à (CD).
5) On considère le vecteur : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 2a −1) 𝑖⃗⃗ − ( b – 2 ) 𝑗⃗ . ( a et b sont deux réels )
Montrer que les coordonnées du point M sont : M( 2 a + 2 ; −b + 1 )
Exercice 4 : ( 2 pts)
On considère la famille des droites (dm) : ( 𝑚 – 1 ) 𝑥 – ( 2 – 𝑚 ) 𝑦 + 3 𝑚 + 5 = 0 ( m ∈ℝ )
Déterminer m dans chacun des cas suivant :
1) (dm) admet 𝑅⃗⃗ ( −1 ; 3) comme vecteur directeur .
2) (dm) passe par le point N( 2 ; 3)
3) (dm) est parallèle à la droite (d) : 𝑦 = − 2 𝑥 + 1
Exercice 5: ( 4 pts)
Soit les deux polynômes P(𝑥) = 𝑥3 + (a – 1 ) 𝑥2 −𝑥 + b + 1 et Q(𝑥) = = 2 𝑥3 +3 𝑥2 – 2 𝑥 – 3
1) Déterminer les réels a et b pour que P(𝑥) est divisible par 𝑥 − 1 et par 𝑥.
2) Montrer que – 1 est un racine de Q(𝑥) .
3) Montrer que Q(𝑥) est divisible par 𝑥−1 .
4) Déduire que : Q(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 – 1 )(2 𝑥 + 3 ) .
Bonne chance