Le document présente un examen de mathématiques pour une classe de seconde, composé de plusieurs exercices couvrant des sujets variés tels que les équations, les inégalités, et les fonctions trigonométriques. Chaque exercice est noté et contient des questions demandant la résolution de problèmes mathématiques spécifiques. La durée de l'examen est de 120 minutes avec un barème de points pour chaque exercice.

1. Ecole officielle des filles
koubayat
1 janvier 2019
Classe Seconde
Barème de Math mi-
année
Durée : 120 min
Exercice 1 : ( 3 points , 0.75 pour chacune)
a) |1 −
1
𝑎+1
| = |
𝑎
𝑎+1
| =
𝑎
𝑎+1
car a<0 et a+1 < 0 ⇒
𝑎
𝑎+1
> 0
b) -3 < x< 4 ⇒ -3 < x < 0 ou 0 ≤ x < 4
0< x2
< 9 ou 0 < x2
< 16 ⇒ 0 ≤ x2
< 16
c) 1< x <3 ⇒
1
3
<
1
𝑥
< 1 et 1< x2
< 9 ⇒ 3< x2
+2 < 11 ⇒ 1 <
𝑥2+2
𝑥
< 11
d) 3< 4
√3 < 2
√3 – 2 < 0
-2> -3
√3 -2> √3 -3
1
√3−2
<
1
√3−3
A < B
Exercice 2 : ( 3.5 points)
1) A = { x∈ E / 2x2
– 2x = 0 }
2x(x-1) = 0 ⇒ x=0 ou x= 1 ⇒ A = { 0 ; 1 } (0.25 pt)
C = {0 ; 2 ; 8 } (0.25 pt)
𝐷̅ = { 0;1; 2;4 ; 5;7 ; 8 } (0.25 pt)
𝐵̅ = { 0; 2;4 ; 5;6;7 ; 8 } (0.25 pt)
2) E = { x∈ N / x ≤ 9 } (0.25 pt)
B = { x∈ E* / x diviseur de 9 } (0.25 pt)
D = {x ∈ E* / x multiple de 3 } (0.25 pt)
3) D∩B = { 3 ; 9 } (0.25 pt)
𝐷 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅ = { 0;1; 2;4;5; 6;7;8} (0.25 pt)

2. 𝐷̅̅̅̅ ∪ 𝐵̅̅̅̅ = { 0; 1;2; 4;5;6; 7;8} (0.25 pt)
4) P(B) = {∅ ; {1} ; {3} ;{9} ; {1 ; 3} ; {1 ; 9} ;{3 ; 9} ; 𝐵} (0.5 pt)
5) F∪ 𝐷 = 𝐸 et et F∩D = ∅ alors F= 𝐷̅ = {0 ;1 ;2 ;4 ;5 ;7 ;8} (0.5 pt)
Exercice 3 : ( 2.5 points)
1)
22×10−5
(22×53)3
×
210×253
25−4
=
22×2−5×5−5×210×56
26×59×5−8
=
27×5
26×5
= 2 (0.75 pt)
2) |𝑥2
− √ 𝑥2| + √ 𝑥4 + | 𝑥 + 1| =
| 𝑥2
+ 𝑥| + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 =
| 𝑥(𝑥 + 1)| + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 =
-x(x+1) + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 1 (1 pt)
3)
√4𝑎2 𝑏4
√32𝑎10 𝑏55 =
2(−𝑎) 𝑏2
2𝑎2 𝑏
= −
𝑏
𝑎
(0.75 pt)
Exercice 4 : (4 points)
1) |2x− 5| < 3 ⇒ -3 < 2x-5 < 3 ⇒ 1 < x < 4 (0.5 pt)
2) -3 < y < -1
1 < -y < 3
1< x < 4
⇒ 2 < x – y < 7 (0.5 pt)
1 < y2
< 9 (0.25 pt)
3) 4 < 2(x-y) < 14 ⇒
1
14
<
1
2(𝑥−𝑦)
<
1
4
(0.5 pt)
1 < y2
< 9
1
14
<
𝑦2
2(𝑥−𝑦)
<
9
4
(0.25 pt)
−9
4
<
− 𝑦2
2(𝑥−𝑦)
<
−1
14
(0.25 pt)
4) 0 <√ 𝑎 – b < 1
(√ 𝑎 − 𝑏)2
< √ 𝑎 − 𝑏 < √√ 𝑎 − 𝑏 < 1 <
1
√𝑎−𝑏
(0.5 pt)
5) a) | 𝑥 + 2| − 1 > 4
| 𝑥 + 2| > 5
x +2 < - 5 ou x+2 > 5
x < -7 ou x > 3 (0.75 pt)

3. x ∈ ]−∞; −7[∪ ]3;+∞[
b) |−3𝑥 + 1 | +6 < 2
|−3𝑥 + 1 | < - 4 impossibledonc pas de solution . (0.5 pt)
Exercice 5 : ( 4 points)
1) A(x) = cos(9𝜋 − 𝑥) + sin(
11
2
𝜋 –x ) - sin(−𝜋 − 𝑥) + cos(
5
2
𝜋 + 𝑥) (1 pt)
= cos( 𝜋 − 𝑥) + sin(
−𝜋
2
–x ) - sin(𝜋 − 𝑥) + cos(
𝜋
2
+ 𝑥)
= - cos x –cos x – sinx – sinx= -2 cos x -2 sinx
B(x) = tan(5𝜋 − 𝑥) −tan (
7𝜋
2
+ 𝑥)+ tan (𝑥 −
𝜋
2
)
= -tan x + cot x – cot x = - tan x (0.75 pt)
2) Cos ∝ = −
√3
2
Cos (
𝜋
6
) =
√3
2
et cos ( 𝜋 −
𝜋
6
) = −cos (
𝜋
6
) = −
√3
2
Et 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
∈ [
𝜋
2
; 𝜋]
Donc ∝ =
5𝜋
6
(0.75 pt)
3) Sin2
x + 5 cos2
x = 2
1-cos2
x+5cos2
x= 2
Cos2
x =
1
4
Cos x = −
1
2
car cos x < 0 , x ∈ ]
𝜋
2
; 𝜋[ (0.75 pt)
4) Cos2
y(2+tan2
y) = Cos2
y(2+
𝑠𝑖𝑛2 𝑦
𝑐𝑜𝑠2 𝑦
) = 2 cos2
y + sin2
y = 2(1-sin2
y ) + sin2
y =
2 – sin2
y (0.75 pt)
Exercice 6 : ( 3 points)
1) 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

4. 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0.5 pt)
 3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
5𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0.75 pt)
2) 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= −𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
=4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0.75 pt)
Donc 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sontcolinéaires et les points M,M’ et G sontalignés.
(0.5 pt)