Brevet exam

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I. (2.5 points)
On considère les trois nombres suivants:
𝐴𝐵 = (√6 − √3)(1 + √2) ; 𝐴𝐶 =
5
3
+
8
3
×
1
2
et 𝐵𝐶 =
√3×10⁵
5×10⁴
1) Ecrire AB et BC sous la forme 𝑎√3 où a est un entier.
2) Vérifier que: AC est un entier.
3) Déduire que ABC est un triangle rectangle en A.
II. (4 points)
On considère un triangle ABC sachant que 𝐴𝐵 = 𝑥 + 𝑦, 𝐴𝐶 = 2𝑥 − 3𝑦, 𝐵𝐶 = 2𝑥 − 2𝑦 et
la hauteur𝐴𝐻 = 4 𝑐𝑚. ( x et 𝑦 sont deux nombres positives, et l'unité du langueur est la
cm). Le périmètre du triangle ABC est 16 cm et son aire et 12 cm².
1) Prouver que les informations précédentes se traduisent par ce système:{
5𝑥 − 4𝑦 = 16
𝑥 − 𝑦 = 3
2) a. Résoudre le système, écrire les étapes de calcul en détails, et trouver les valeurs de
𝑥 et de y.
b. Déduire les dimensions du triangle ABC, puis déduire sa nature.
3) a. Calculer sin 𝐴𝐵̂ 𝐶. Puis calculer à degré près la valeur de l'angle 𝐴𝐵̂ 𝐶.
b. Déduire la valeur de l'angle 𝐴̂.
III.( 3 points)
On donne: 𝐴( 𝑥) = 4𝑥2
− 1 − (𝑥 + 2)(1− 2𝑥) et 𝐵( 𝑥) = 𝑥2
− 3𝑥 − 4.
1) Développer et réduire 𝐴( 𝑥).
2) Factoriser 𝐴( 𝑥) et vérifier que 𝐵( 𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 4).
3) Trouver la valeur numérique de 𝐴 (
2
3
).
4) Résoudre l'équation: 𝐴( 𝑥) = 2𝐵(𝑥).
5) Soit 𝐸( 𝑥) =
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
.
a. Pour quelle valeur de 𝑥, 𝐸(𝑥) soit définie?
b. Simplifier 𝐸(𝑥).
c. Résoudre l'inéquation: 𝐸( 𝑥) > 8.
Nom:…………………
Classe de EB9
Sujet: Mathématiques
LaCitéCulturelle
Scientifique
(Mraige)
Examen du 𝟐é𝒎𝒆
semestre
Date:28 Mars, 2017
Durée:120 min

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IV. (5 points)
Le diagramme circulaire ci-contre représente la
distribution des 1200 élèves durant l'année 2015 dans une
école parmi trois cycles: Jardin, Education de Base (EB)
et Secondaire.
1) Organiser un tableau des effectifs et des fréquences
en pourcentages, des élèves dans les trois cycles.
2) Construire un diagramme en bâtons des effectifs.
3) Les frais annuels de chaque élève dans cette école
sont comme suit:
- 2400 000 LL en jardin.
- 280 000 LL en EB.
- 3600 000 LL en cycle secondaire.
a. Calculer le montant total reçu de tous les élèves.
b. Déduire les frais annuels moyens de chaque élève pendant 2015, arrondir la réponse
à une unité prés en LL.
4) Dans l'année 2016 les frais annuels de cette école ont augmenté comme suit:
- En jardin: 200 000 LL.
- En (EB): 300 000 LL.
- En Secondaire: 400 000 LL.
Mais à la raison de la nouvelle TVA en 2017, l'école a déclaré que les frais annuels
pour l'année prochaine augmenteront de 15% pour couvrir les nouvelles dépenses (les
salaires des enseignants, les outils de l'école, l'électricité, l'eau, les papiers ...).
Quels sont les nouveaux frais annuels en 2017 pour chaque cycle dans cette école.
V. (3 points)
On donne un losange ABCD, de côté 4 cm, où B est un point fixe, tandis que A, C et D
sont des points variables. Soit E le point tel que 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
1) Montrer que ACE est un triangle rectangle.
2) On désigne par F le translaté du point A par translation de vecteur 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ .
Déterminer la nature de ACEF. Déduire que C, B et F sont alignés.
3) Soit M le point d'intersection des segments [AB] et [DF]. Déterminer le lieu du point
M lorsque A, C et D varient dans le plan.

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VI. (7. 5 points)
Dans un repère orthonormé d'axes x'Ox , y'Oy, où l'unité de longueur est le cm, on
considère les points A(1;2), B(
13
2
; 3) et C(5;5).
1) a. Tracer les cercle de centre A et de rayon 5 cm.
b. Vérifier par calcul, que le point C appartient au cercle (C).
2) a. Montrer que l'équation de la droite (d) passante par A et C est: 𝑦 =
3
4
𝑥 +
5
4
b. Ecrire l'équation de la droite (d') tangente au cercle (C) au point C.
c. Vérifier par calcul que (d') passe par B.
3) Soit E le point défini par: 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
a. Montrer que le triangle ACE est rectangle en A.
b. Calculer la valeur exacte de CE.
4) Montrer que le cos 𝐵𝐴̂ 𝐶 =
2√5
5
. Calculer la mesure de l'angle 𝐵𝐴̂ 𝐶, et écrire la
réponse au degré près.
5) Soit H le point diamétralement opposé à C sur le cercle (C). La droite (CE) recoupe
(C) en un point D.
a. Montrer que les deux triangles CAE et CDH sont semblables.
b. Calculer la longueur exacte du segment [CD].
6) Démontrer que les points A, D, E et H appartiennent au même cercle, on déterminera
son center et se rayon.
BON TRAVAIL