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Le  t h é o r è m e  de P y t h a g o r e Francisca Bravo Lucas
Nous avons ici un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui contient un angle droit, c’est à dire, un angle qui mesure 90º.  90º
Son hypoténuse Opposée à l’angle droit
Si on trace deux côtés perpendiculaires Le triangle est formé Le troisième côté, l’hypoténuse,  nous est imposé par la construction Donc, sa longueur dépend des longueurs choisies pour les deux premiers côtés. Mais de quelle manière? C’est le sujet que l’on va traiter aujourd’hui.
Le carré de l’hypoténuse est formé sur le côté de l'hypoténuse
Les carrés   des deux côtés de l’angle droit
 
+ La place occupée par le grand carré, son aire, est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. =
Théorème de  Pythagore La place occupée par le grand carré, son aire, est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. En langage mathématique :   Le  carré  de l ’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. X² + Y² = Z² x y z
Comment cette règle est-elle possible?
Voici la démonstration!
On s ’intéresse à la moitié de l’un des deux petits carrés.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Pourquoi? Sommet du triangle
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
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L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
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L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
Donc les deux triangles orange ont la même aire.
Si on double l ’aire de ces deux triangles: Alors on complète le carré  Et on complète aussi le  rectangle.
L’aire du carré .. …  l’aire du rectangle. est donc la même que  …
On procède de la même manière pour l’autre carré.
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
Et on le fait tourner
Et on le fait tourner
Et on le fait tourner
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
On le déplace
Et on double les aires
L’aire du carré .. … l’aire du rectangle est la même que …
Donc, finalement, le grand carré est rempli par les deux petits, comme on voulait démontrer.
Quelques exemples d’utilisation de la propriété de Pythagore
Prenons un triangle rectangle 25 cm² Si un côté mesure 3 cm Le carré construit sur ce côté mesure  9 cm² 9 cm² Si l’autre côté mesure 4 cm Le  carré  construit sur ce côté mesure  16 cm² 16 cm² La somme des aires de ces deux carrés est de 9 + 16 = 25 cm² Donc le  carré  construit sur l’hypoténuse mesure 25 cm² Donc l’hypoténuse doit mesurer 5 cm, car 5     5 = 25 3² + 4² = 5² 3 cm 4 cm 5 cm 3 cm 4 cm
20²  +  21²  =  400 + 441 = 841 car  29      29  = 841 Voici un autre exemple : Nous avons ce triangle dont les deux cotés de l’angle droit mesurent 20 cm et 21 cm. Donc, l’hypoténuse de ce triangle doit mesurer 29cm 21 cm 20 cm 29 cm
25 ²     24 ² = 625    576 = 49 Le petit côté qui manque doit mesurer  7 cm   car  7      7  = 49 Le dernier exemple est un peu différent. Ici, on connaît l’hypoténuse, et un petit côté, qui mesurent  25 cm  et  24 cm . On doit  soustraire . 24 cm 25 cm 7 cm
Ce sont des exemples de trois longueurs entières qui permettent de construire des triangles rectangles. On les appelle  des triplets Pythagoriciens. (3, 4, 5) (20, 21, 29) (7, 24, 25) 3 cm 29 cm 4 cm 5 cm 21 cm 7 cm 25 cm 24 cm 20 cm
Qu’est-ce qu’une racine carrée? Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm On calcule la longueur de l’hypoténuse par la relation de Pythagore: h² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65 Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le  carré  est égal à 65. Il n ’existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation. Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note  7 cm 4 cm h
UNE BRÈVE HISTOIRE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
Pythagore Le théorème de Pythagore doit son nom au mathématicien grec Pythagore, né à Samos (Grèce) vers -570 avant J.C . Toutefois, il n'existe aucun écrit de Pythagore. Il aurait vécu à Crotone au sud de l'actuelle Italie et y aurait fondé une école, l'école des pythagoriciens. De nombreux résultats élémentaires de géométrie leur sont attribués . Pythagore vu par Raphaël
LE  THÉORÈME  DE PYTHAGORE Le  théorème de Pythagore  n'est en fait pas une découverte de  Pythagore , il était déjà connu sur des cas particuliers par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. La  Columbia Institut  conserve la célèbre tablette d’argile qui présente ce théorème. Elle est écrite en caractères cunéiformes et est baptisée  Plimpton 322.
LE  THÉORÈME  DE PYTHAGORE Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 nœuds   (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux «longueurs». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs. Cependant, les pythagoriciens généralisent le théorème pour tout triangle rectangle.    La première preuve écrite du théorème de Pythagore date du IV e  siècle avant JC. C'est Euclide qui l'a donnée dans le livre I de ses  Éléments  : c'est une œuvre majeure dans l'histoire des mathématiques.
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Pythagore

  • 1. Le t h é o r è m e de P y t h a g o r e Francisca Bravo Lucas
  • 2. Nous avons ici un triangle rectangle
  • 3. Un triangle rectangle est un triangle qui contient un angle droit, c’est à dire, un angle qui mesure 90º. 90º
  • 4. Son hypoténuse Opposée à l’angle droit
  • 5. Si on trace deux côtés perpendiculaires Le triangle est formé Le troisième côté, l’hypoténuse, nous est imposé par la construction Donc, sa longueur dépend des longueurs choisies pour les deux premiers côtés. Mais de quelle manière? C’est le sujet que l’on va traiter aujourd’hui.
  • 6. Le carré de l’hypoténuse est formé sur le côté de l'hypoténuse
  • 7. Les carrés des deux côtés de l’angle droit
  • 8.  
  • 9. + La place occupée par le grand carré, son aire, est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. =
  • 10. Théorème de Pythagore La place occupée par le grand carré, son aire, est la même que celle des deux plus petits carrés assemblés. En langage mathématique : Le carré de l ’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. X² + Y² = Z² x y z
  • 11. Comment cette règle est-elle possible?
  • 13. On s ’intéresse à la moitié de l’un des deux petits carrés.
  • 14. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé. Pourquoi? Sommet du triangle
  • 15. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 16. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 17. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 18. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 19. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 20. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 21. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 22. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 23. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 24. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 25. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 26. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 27. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 28. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 29. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 30. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 31. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 32. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 33. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 34. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 35. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 36. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 37. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 38. L’aire d’un triangle ne varie non plus quand on le fait tourner autour d’un point.
  • 39. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 40. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 41. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 42. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 43. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 44. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 45. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 46. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 47. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 48. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 49. L’aire d’un triangle ne varie pas quand on déplace un sommet parallèlement au côté opposé.
  • 50. Donc les deux triangles orange ont la même aire.
  • 51. Si on double l ’aire de ces deux triangles: Alors on complète le carré Et on complète aussi le rectangle.
  • 52. L’aire du carré .. … l’aire du rectangle. est donc la même que …
  • 53. On procède de la même manière pour l’autre carré.
  • 59. Et on le fait tourner
  • 60. Et on le fait tourner
  • 61. Et on le fait tourner
  • 67. Et on double les aires
  • 68. L’aire du carré .. … l’aire du rectangle est la même que …
  • 69. Donc, finalement, le grand carré est rempli par les deux petits, comme on voulait démontrer.
  • 70. Quelques exemples d’utilisation de la propriété de Pythagore
  • 71. Prenons un triangle rectangle 25 cm² Si un côté mesure 3 cm Le carré construit sur ce côté mesure 9 cm² 9 cm² Si l’autre côté mesure 4 cm Le carré construit sur ce côté mesure 16 cm² 16 cm² La somme des aires de ces deux carrés est de 9 + 16 = 25 cm² Donc le carré construit sur l’hypoténuse mesure 25 cm² Donc l’hypoténuse doit mesurer 5 cm, car 5  5 = 25 3² + 4² = 5² 3 cm 4 cm 5 cm 3 cm 4 cm
  • 72. 20² + 21² = 400 + 441 = 841 car 29  29 = 841 Voici un autre exemple : Nous avons ce triangle dont les deux cotés de l’angle droit mesurent 20 cm et 21 cm. Donc, l’hypoténuse de ce triangle doit mesurer 29cm 21 cm 20 cm 29 cm
  • 73. 25 ²  24 ² = 625  576 = 49 Le petit côté qui manque doit mesurer 7 cm car 7  7 = 49 Le dernier exemple est un peu différent. Ici, on connaît l’hypoténuse, et un petit côté, qui mesurent 25 cm et 24 cm . On doit soustraire . 24 cm 25 cm 7 cm
  • 74. Ce sont des exemples de trois longueurs entières qui permettent de construire des triangles rectangles. On les appelle des triplets Pythagoriciens. (3, 4, 5) (20, 21, 29) (7, 24, 25) 3 cm 29 cm 4 cm 5 cm 21 cm 7 cm 25 cm 24 cm 20 cm
  • 75. Qu’est-ce qu’une racine carrée? Dans un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 4 cm et 7 cm On calcule la longueur de l’hypoténuse par la relation de Pythagore: h² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65 Pour connaître la valeur de h, on cherche un nombre dont le carré est égal à 65. Il n ’existe pas de nombre entier qui réponde à cette situation. Par définition, on appelle «racine carrée» de 65 le nombre cherché. On le note 7 cm 4 cm h
  • 76. UNE BRÈVE HISTOIRE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
  • 77. Pythagore Le théorème de Pythagore doit son nom au mathématicien grec Pythagore, né à Samos (Grèce) vers -570 avant J.C . Toutefois, il n'existe aucun écrit de Pythagore. Il aurait vécu à Crotone au sud de l'actuelle Italie et y aurait fondé une école, l'école des pythagoriciens. De nombreux résultats élémentaires de géométrie leur sont attribués . Pythagore vu par Raphaël
  • 78. LE THÉORÈME DE PYTHAGORE Le théorème de Pythagore n'est en fait pas une découverte de Pythagore , il était déjà connu sur des cas particuliers par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. La Columbia Institut conserve la célèbre tablette d’argile qui présente ce théorème. Elle est écrite en caractères cunéiformes et est baptisée Plimpton 322.
  • 79. LE THÉORÈME DE PYTHAGORE Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 nœuds (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux «longueurs». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs. Cependant, les pythagoriciens généralisent le théorème pour tout triangle rectangle.   La première preuve écrite du théorème de Pythagore date du IV e siècle avant JC. C'est Euclide qui l'a donnée dans le livre I de ses Éléments  : c'est une œuvre majeure dans l'histoire des mathématiques.