las matemáticas en la torre Eiffel

1. mathématiques dans le monde qui nous entoure

6. LaTour Eiffel est un des meilleurs exemples de l’emploi des mathématiques dans la construction Né le 15 décembre 1832, à Dijon, Gustave Eiffel est un ingénieur-mathématicien hors de norme! En 1866, il décide de fonder sa propre société. Il fait l’adquisition d’ateliers de constructions métalliques. L’entreprise obtient alors plusieurs grandes commandes d’édifications de viaducs et de bâtiments à structures ou charpentes métalliques. Pour ce faire , il n’hésite pas à parcourir L’Europe entière. Mais sa carrière culmine, sans doute, avec la Grande Dame toute en fer Comme beaucoup de grands projets architecturaux, la Tour Eiffel a souffert des détracteurs. Au moment de sa construction de fortes protestations émanèrent de plusieurs personnalités du monde des arts et des lettres. À ces protestations, Gustave Eiffel répondait que l’élégance n’est pas incompatible avec la solidité, l’utilité et la technique. Il ajoutait que les courbes des quatre piliers de monument qui ont été fournies avec des calculs mathématiques, donneront á la tour une grande impression de force et de beauté.

7. Pour construire la tour , Gustave Eiffel a appliqué fidèlement la méthodologie scientifique et des procédés techniques soignés basés sur les maths et la physique. Ainsi, tant à la création de son projet en 1886 comme á la construction, Gustave Eiffel a controlé avec les maths du premier millimètre jusqu’au dernier centime de franc que coûtait l´éxécution de la tour: 7 800 000 francs de l’époque.

8. Grâce aux maths, Gustave Eiffel a obtenu: La précision du dessin : lever cette tour de 8000 tonnes et 300 mètres d’hauteur, avec 18000 pièces en fer, exigeait un procédé de montage très soigneux basé sur un algorythme mathématique pour emboîter tous les éléments de la structure des quatre piliers . L’élaboration du budget : la tour a été construite dans le temps prévu; les travaux ont duré 2 ans, 2 mois et 5 jours. Il n’y a pas eu un seul accident de travail pendant la construction, dans laquelle travaillaient plus de 300 ouvriers. En plus, avec moins de l´argent estimé au début, presque 7 800 000 francs de l’époque .

9. Quelques chiffres pour une épopée : Date de Naissance : 31 mars 1889 (pose le drapeau au sommet) Entrepreneur : Gustave Eiffel & Cie Ingénieurs : Maurice Koechlin et Emile Nouguier Architecte : Stephen Sauvestre Etudes : commencées en 1884 Construction : 1887-1889 ( 2 ans, 2 mois ey 5 jours) Poids de charpentes métalliques : 7300 tonnes (Poids total: 10100 tonnes) Hauteur primitive : 312mètres avec le drapeau au sommet Hauteur actuelle : 324 mètres avec antennes Nombre de pièces en fer : 18038 Nombre de rivets : 2 500 000 Nombre de marches pour l’escalier : 1665 Cout de construction : prèsque 7 800 000 frans de l’époque Nombre de personnes travaillant sur la tour : 600 environ Nombre de visiteurs jusqu`au 31 décembre 2009 : 249 976 000 Chiffre d’affaires pour l’année : 66 millions € environ Propriétaire : La ville de Paris

10. Dans le p roject de Gustave Eiffel, les maths ne sont pas seulement présentes aux chiffres, car il y a divers éléments mathématiques qui font partie de la propre structure de la tour. Quels sont les élements mathématiques que nous pouvons apprécier á la structure de la tour? Qu’est-ce que vous en pensez?

11. Maintenant, nous allons analyser ces éléments Les quatre piliers Les arcs de la base La symétrie Les triangles : Les proportions de la tour Les arcs de la base Les quatre piliers : ils sont inscrits dans un carré de 125 mètres de côté et orientés selon le 4 points cardinaux ils reposent sur les piliers et ici ils sont utilisés comme des éléments décoratifs.

12. La symétrie Dans la tour il y a une similitude de parties opposées, la reproduction exacte à gauche d’un axe de ce qu’il y a à droite. En maths, cette symétrie on l’appelle “ symétrie axiale ” On dit en maths qu’il y a symétrie axiale selon l’axe “e” si chaque point A de la figure à gauche a un autre point A’ dans la figure à droite tel que d(A,e)=d(A´,e); c’est à dire, que l’axe “e” est la médiatrice du segment AA’. Si on plie pour “e”, la figure à gauche se met au-dessus de la figure à droite. Pour comprendre mieux ce concept, nous allons voir une vidéo. A A´

13. Les triangles La tour est construite avec des triangles unis les uns avec les autres. Ce fait n’est pas par hasard. Le triangle est l’unique poligone qui ne se déforme pas avec la pression .

14. Si on applique une force de compression sur un des sommets d’un triangle les deux arêtes qui sortent de lui sont soumies à cette force de compression, mais la troisième arête est soumise à un effort de traction, et par conséquent, il y a un équilibre de forces. C’est pour cela que la figure ne se déforme pas. Pour faire qu´une autre figure géométrique soit rigide et stable on doit ajouter des triangles. Par exemple, pour avoir des triangles dans un carré on ajoute une arête et dans le pentagone deux arêtes:

15. Cette propriété des triangles a beaucoup d’applications à l´ architecture et à la technique. Par exemple, aux pylônes électriques , aux grandes grues , aux échafaudages utilisés pour construire, ou aux étagères métalliques que nous avons chez nous. Pour rendre stables les étagères on ajoute des petites équerres d’union (qui sont des triangles rectangles) ou bien ajoutant une ou deux arêtes pour former des triangles ) Mais, sans doute, la structure avec des triangles la plus représentative est la . Tour Eiffel

16. Les quatre bords : à mesure que la tour s’éleve, les 4 piliers se tournent vers l’intérieur jusqu’à rejoindre à un seul élément ou une colonne centrale. Si on regarde la tour de face, elle paraît un triangle, mais avec les arêtes courbes. La courbure des bords est exactement comme les calculs mathématiques ont déterminé . Ainsi, pour faire le dessin de la tour, Gustave Eiffel se basait sur des concepts simples de physique: l’idée était qu’à chaque point de la superficie de la tour la force du vent soit compensée avec le propre poids de la tour . Gustave Eiffel utilisait cette idée pour obtenir une équation qui donne la forme de la tour. Cette équation détermine une fonction, c’est à dire, une rélation entre deux magnitudes - Les quatre bords Dans ce cas, la fonction met en rélation la hauteur et la moitié de la largeur, ayant présente toujours la force du vent. Si on représente sur des axes de coordonnées l’équation, on obtient une courbe qui donne la forme des bords de la tour.

17. Les bords offrent la maxime résistance au vent. La tour peut supporter des vents de jusqu’à 800 kilomètres pour heure (en 1999 les vents arrivèrent jusqu’à 214 km/h au sommet). D’un autre côté, la résistanse et la légèreté du fer, le rend supérieur aux autres matériaux. L’utilisation de fer à une structure ouverte fait que le poids de la tour soit égal que le poids de l’air qui l’entoure . Mais la tour se tord aussi sous l’effect de la chaleur. La structure exposée au soleil se dilate plus que celle qui est à l’ombre. La tour pour “fuir le soleil” peut s’ incline r jusqu’à 18 centimètres

19. Le nombre d'or est la proportion , définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de l’addition de deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) ; c'est à dire lorsque (a+b)/a = a/b = approximativement 1,618 033 989. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ (phi) en honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon . Rectangles aureo et divine proportion Cette méthode que nous vous montrons ici permet de construire un rectangle d'or : Si on veut construire un rectangle d’or de largeur l : on dessine un carré de côté l. Sur un des cotes du carré, DF, on prend la moitié. Après, on dessine un cercle de rayon la distance du point moyen au sommet supérieur du carré ,E, et avec le centre dans ce point moyen. Le point C, où le cercle coupe à la prolongation du coté DF est le nouveau sommet du rectangle. Sur ce point, C, on lève une perpendiculaire qui coupe la prolongation du coté supérieur AE au point B. Et ç´est le rectangle d’or ABCD.

20. Le nombre d'or PHI , , est la clef mathématique de l'harmonie de notre monde. De l'univers sensible , comme de l'absolu , il se trouve dans de nombreuses manifestations de la nature aussi bien que dans les constructions humaines Pour finir cette exposé, maintenent nous allons voir une vidéo sur LE NOMBRE D´OR