SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  73
Trigonométrie
15.03.24 2
TRIGONOMÉTRIE.
Titre du diagramme
TRIGONOMÉTRIE
TRIANGLES RECTANGLES
RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES
SINUS
COSINUS ET TANGENTE
TRIANGLES QUELCONQUES
LOI DES SINUS
LOI DES COSINUS
15.03.24 3
Définition de la trigonométrie
Définition: la partie des mathématiques qui s’intéresse aux
mesures des angles et des côtés d ’un triangle. Les mesures des
angles étant données en degrés et les mesures des côtés sont
données dans des unités de longueur connus (cm, m, km……)
Plusieurs sciences ou techniques se fondent sur la
trigonométrie:
La géodésie
La topographie
L ’arpentage
15.03.24 5
Les pré-requis
La somme des angles dans un triangle:
mA+ mB + mC = 1800
Types de triangles: rectangle, isocèle, quelconque
Théorème de Pythagore:
c2 = a2 + b2 (calcul de l ’hypoténuse)
a2 = c2  b2 (calcul de la mesure du côté « a »)
a2 = c2  a2 (calcul de la mesure du côté « b »)
UTILITÉ DU THÉORÈME DE
PYTHAGORE
Le théorème de PYTHAGORE permet de
déterminer la longueur du coté d’un triangle
rectangle connaissant la longueur des deux
autres cotés.
A
B
C
c
a
b
Rappel de Pythagore
AB = 3 cm
AC = 7 cm
BC = ?
A
B
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 1
Le triangle ABC est
rectangle en B. D’après
l’énoncé du théorème
de PYTHAGORE :
c2 = b2 + a2
AC = 7 cm
A
B
C
A
B
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 1
c2 = a2 + b2
72 = 32 + b2
49 = 9 + b2
49 - 9 = b2
40 = b2
b2 = 4O
AC = 7 cm
c2 = a2 + b2
72 = 32 + b2
49 = 9 + b2
49 - 9 = b2
40 = b2
b2 = 4O
A
B
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 1
AC = 7 cm
c2 = a2 + b2
72 = 32 + b2
49 = 9 + b2
49 - 9 = b2
40 = b2
b2 = 4O
b = 40
A
B
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 1
AC = 7 cm
c2 = a2 + b2
72 = 32 + b2
49 = 9 + b2
49 - 9 = b2
40 = b2
b2 = 4O
b = 40
b ≈ 6.32cm
A
B
C
AB = 3 cm
BC = ?
APPLICATION 1
AC = 7 cm
15.03.24 13
Notation dans un triangle
Notation:  ABC
Identification des angles:
par le symbole ACB
Identification des côtés:
par des lettres minuscules:
Ex : a , b , c
B
C A
c
b
a
15.03.24 14
Les Noms des Côtés
• Le côté opposé à l’angle
– est le côté qui ne touche pas l`angle.
• Le côté adjacent à l’angle
– est le côté qui touche l`angle. Mais ce n`est pas
l’hypoténuse.
• L’hypoténuse
– est le côté le plus long dans un triangle rectangle.
L’hypoténuse est toujours opposé à l’angle droite.
15.03.24 15
Les rapports trigonométriques
Distinguer le côté opposé et le côté adjacent de l ’ angle
aigu A , ainsi que l ’hypoténuse dans un triangle
rectangle.

c  hypoténuse
bcôté adjacent
acôté
opposé
C
A
B
15.03.24 16
a
b
c
20°
Quel côté est opposé à l`angle de 20 degrés?
15.03.24 17
a
b
c
25°
Quel côté est opposé à l`angle de 25 degrés?
15.03.24 18
a
b
c
60°
Quel côté est opposé à l`angle de 60 degrés?
15.03.24 19
a
b
c
70°
Quel côté est adjacent à l`angle de 70 degrés?
15.03.24 20
a
b
c
15°
Quel côté est adjacent à l`angle de 15 degrés?
15.03.24 21
a b
c
45°
Quel côté est adjacent à l`angle de 45 degrés?
15.03.24 22
y
x
z
Quel côté est l`hypoténuse?
15.03.24 23
f
e
d
Quel côté est l`hypoténuse?
15.03.24 24
r
s
t
Quel côté est l`hypoténuse?
Autres façon de trouver les
mesures manquantes d’un
triangle rectangle
15.03.24 26
Les rapports trigonométriques
Calcul des rapports trigonométriques
15.03.24 27
Les rapports trigonométriques
3
4
5
Regarde le rapport entre chaque paire de côtés.
L’angle de référence est l’angle x.
x
Opposé
Hypoténuse
=
3
5
= .60
Adjacent
Hypoténuse
=
4
5
= .80
Opposé
Adjacent
=
3
4
= .75
15.03.24 28
Les rapports trigonométriques
Regarde le rapport entre chaque paire de côtés si je fait un triangle similaire
mais deux fois plus grand.
L’angle de référence est l’angle x.
Opposé
Hypoténuse
=
6
10
= .60
Adjacent
Hypoténuse
=
8
10
= .80
Opposé
Adjacent
=
6
8
= .75
6
8
10
x
Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille!
15.03.24 29
Le multiple avec des triangles similaires
Est-ce que ca marche si je multiplies le triangles par 7
Opposé
Hypoténuse
=
21
35
= .60
Adjacent
Hypoténuse
=
28
35
= .80
Opposé
Adjacent
=
21
28
= .75
21
28
35
x
Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille!
15.03.24 30
Les rapports trigonométriques
À quoi ça sert?
Calcul de la mesure d’un angle à l’aide
d’un de ses rapports trigonométriques.
Calcul de la mesure d ’un côté à l ’aide
de la mesure d ’un angle aigu et d ’un
côté.
15.03.24 31
Pause calculatrice
Mettre la calculatrice
en mode « degrés »
Entrer la valeur du
rapport trouvé.
Appuyer sur la touche:
Appuyer sur la touche
de:
Trouver la mesure
d ’un angle dont
on connaît l’un
des rapports
trigonométriques.
DRG
2nd
SIN COS TAN
15.03.24 32
Sinus
• C’est le nom pour le rapport
trigonométrique de
• C’est le longueur du côté oppose divise par
le longueur de l’hypoténuse
Opp
Hyp
15.03.24 33
Cosinus
• C’est le nom pour le rapport
trigonométrique de
• C’est le longueur du côté adjacent divise par
le longueur de l’hypoténuse
Adj
Hyp
15.03.24 34
Tangente
• C’est le nom pour le rapport
trigonométrique de
• C’est le longueur du côté oppose divise par
le longueur côté adjacent
Opp
Adj
15.03.24 35
Les rapports trigonométriques
( Sinus )
Sinus = côté opposé
hypoténuse
Calcul du rapport: sinus
A = 35 = 0,6
Calcul de l ’angle aigu
correspondant: mA = 0,6
donc, mA = 370
• Triangle rectangle :
2nd sin
B
C
A
4 5
3
15.03.24 36
Les rapports trigonométriques
( Cosinus )
Cosinus= côté adjacent
hypoténuse
Calcul du rapport: cosinus
A = 45 = 0,8
Calcul de l ’angle aigu
correspondant: mA = 0,8
donc, mA = 370
• Triangle rectangle :
2nd cos
A
C
B
4
5
3
15.03.24 37
Les rapports trigonométriques
( Tangente )
Tangente= opposé
adjacent
Calcul du rapport:
tangenteA = 34 = 0,75
Calcul de l ’angle aigu
correspondant: mA = 0,75
donc, mA = 370
• Triangle rectangle:
2nd tan
A
C B
3
4
5
15.03.24 38
Pause calculatrice
Mettre la calculatrice
en mode « degrés »
Entrer la valeur en
degrées .
Appuyer sur le rapport
recherché:
Trouver le rapport
trigonométrique
d ’un angle
donné
DRG
COS
SIN TAN
15.03.24 39
Résumé des apprentissages
Sinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
opposé à l ’angle sur l a mesure de l ’hypoténuse.
Cosinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
adjacent à l ’angle sur l a mesure de l’hypoténuse
Tangente d ’un angle: le rapport de la mesure du côté
opposé à l ’angle sur la mesure du côté adjacent
le coté en face de l'angle
ou coté: opposé
le coté en face de l'angle droit
ou le plus grand: l'hypoténuse
le coté qui touche l'angle et l'angle droit
ou coté adjacent
B
A
C
adj
/
opp
=
tan ….
A
O
T
hyp
/
adj
=
cos ….
H
A
C
hyp
/
opp
=
sin ….
H
O
S
TRIGONOMÉTRIE
LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES :
LA TRIGONOMETRIE
COURS
opposé
l'hypoténuse
adjacent
B
A
C
la disposition des cotés opposé et
adjacent dépend de l'angle utilisé dans
les calculs
opposé
adjacent
ATTENTION:
Toujours au même endroit
Chapitre : TRIGONOMÉTRIE
COURS
sin

B=
15
22
A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ?
calculer un angle :
calculer un coté :
si 2 cotés sont donnés
cos 35° =
AB
55
un autre coté peut
être calculé
si l’angle est donné
et 1 coté est donné
l’angle peut être calculé,
tan 17° =
126
AC
si l’angle est donné
et 1 coté est donné
un autre coté peut
être calculé
Chapitre : TRIGONOMÉTRIE
15.03.24 43
E
B
D
d = 13 cm
Exemple 1 : Pour le triangle BDE, détermines cos B et
la mesure de l'angle B.
Si tu connais la mesure en degrés d'un angle, la touche COS
de ta calculatrice te permet d'en déterminer le cosinus.
Si tu connais le sinus de l'angle, la touche COS-1 de ta calculatrice
te permet de déterminer la mesure en degrés de l'angle.
e = 5 cm
Résumé des apprentissages
15.03.24 44
E
B
D e = 5 cm
cos B =
adjacent
hypothénuse
=
5cm
13 cm
cos B =
5
13
d = 13 cm
<B = 67o
Résumé des apprentissages
15.03.24 45
Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w
W
X
Y
w 24 cm
11 cm
Résumé des apprentissages
15.03.24 46
Puisque, <W = 63o et <X = 90o , alors <Y = 180o - (90o + 47o) = 27o
cos Y =
w
24
w = 24(cos 27o) = 21, la longueur de w est donc 21 cm.
W
X
Y
w 24 cm
Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w
11 cm
cos 27o =
w
24
cos W = adjacent
Hypothénuse
cos W =
11
24
<W = 63o
Résumé des apprentissages
15.03.24 47
Séance d ’entrainement
Les choses se corsent ?
Faites tout de suite une bonne séance
d ’entraînement!
Choisir le bon rapport trigonométrique.
S
E L
36 °
8,5 cm
?
Par rapport à l’angle connu
Je connais : l’hypoténuse
Je cherche : le côté opposé
Donc j’utilise Sinus
ESL:
Par rapport à l’angle connu
Je connais : le côté opposé
Je cherche : le côté adjacent
Donc j’utilise Tangente
ESL:
S
E L
36 °
4,5 cm
?
Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché
S
E L
36 °
8,5 cm
?
Je cherche la mesure du côté ES
Je connais : l’hypoténuse
Je connais : le côté adjacent
Donc j’utilise Cosinus
15.03.24 50
1. Résous ce triangle pour trouver la longueur du côté x
17,4 cm
x
23°
Tu dois trouver la longueur du côté opposé.
Tu sais la longueur de l’hypoténuse.
Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN?
Parce que tu cherches le côté opposé et tu sais l’hypoténuse, tu choisis SIN.
Tu utilises SIN parce que SIN est le rapport entre l’opposé et l’hypoténuse.
Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé
hypoténuse hypoténuse adjacent
15.03.24 51
x
17,4 cm
23°
Tu as choisi SIN donc tu écris:
SIN 23° = longueur du côté opposé
longueur de l’hypoténuse
SIN 23 ° = x .
17,4
Utilise ta calculatrice: Appuie sur “2” et “3” et puis appuie sur les bouton “SIN”
Sur ton écran, tu vois : 0,3907311. Tu peux arrondir ce rapport à 0,3907.
Dans l’équation, remplace SIN 23 ° par 0,3907
0,3907 = x . Fais la “multiplcation à travers” (cross multiply)
17,4
(0,3907) (17,4) = x
6,79818 = x
La longueur du côté x est 6,8 cm
15.03.24 52
2. Résous ce triangle pour trouver la mesure de l’angle ө.
12,8 m
15,1 m
ө
Tu sais la longueur du côté adjacent à angle ө
Tu sais la longueur de l’hypoténuse.
Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN?
Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé
hypoténuse hypoténuse adjacent
Parce que tu sais le côté adjacent et tu sais l’hypoténuse, tu choisis COS.
Tu utilises COS parce que COS est le rapport entre l’adjacent et l’hypoténuse.
15.03.24 53
Tu as choisi COS donc tu écris:
COS ө = longueur du côté adjacent
longueur de l’hypoténuse
COS ө = 12,8 .
15,1
ө
12,8 m
15,1 m
Utilise ta calculatrice:
Divise “12,8” par “15,1”
= 0,8476821
Puis appuie sur les bouton « 2nd ».
Puis appuie sur le bouton “COS”
 La réponse est « 32,039548 »
SIN ө = 0,8476821
ө = 32,039548
ө = 32,0
L’angle ө mesure 32,0 °
Les angles - Trigonométrie
Un angle d’élévation est un angle qui
est mesuré vers le haut, par rapport à
une ligne horizontale.
L’angle d’élévation
chat
Suzanne se situe à 120 m d’un bâtiment. Elle
observe, sous un angle d’élévation de 29°, un chat
qui se trouve au toit de l’immeuble. Quelle est la
hauteur du bâtiment?
L’angle d’élévation est 29°.
chat
Suzanne
h
120 m
tg 29° = h
120 m Le bâtiment a une
h = (0, 5543) (120 m) hauteur de 66, 5 m.
h = 66, 5 m
L’angle d’élévation est 29°.
chat
Suzanne
h
120 m
Les angles - Trigonométrie
Un angle de dépression est un angle
qui est mesuré vers le bas, par
rapport à une ligne horizontale.
bateau
mer
F
A
L
A
I
S
E
Paul
angle de dépression
Paul se trouve en haut d’une falaise. Il voit, sous un
angle de dépression de 31°, un bateau qui flotte
dans la mer. Le bateau se situe à 650 m de la
falaise. Quelle est la hauteur de la falaise?
bateau
mer
F
A
L
A
I
S
E
Paul
angle de dépression est 31°
650 m
Si l’angle de dépression est 31°, alors
l’angle A mesure ( 90 – 31) = 59°.
bateau
mer
F
A
L
A
I
S
E
Paul
angle de dépression est 31°
650 m
A = 59°
tg 59 ° = 650 m La falaise a une
f hauteur de 390,6 m.
(f )(1, 6643) = 650 m
f = 390, 6 m
bateau
mer
F
A
L
A
I
S
E
Paul
angle de dépression est 31°
650 m
A = 59°
Dans le livre bleu “OMNIMATHS 10”, regarde page XXIV
Résolution de problèmes
Tour
x
100 m
52°
Le côté de x est à angle 52 °.
Le côté de 100 m est à angle 52°
Lorsqu’on sait la longueur du côté
adjacent et la longueur de du côté
opposé, quel rapport utilise-t-on?
TAN 52° = x Appuie sur : “52” “TAN”
100
1,2799416 = x Fais la multiplication croisée
100
127,99416 = x
x = 128 mètres La hauteur de la tour est 128 mètres.
Angle d`élévation
C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation.
Quand tu dessines un angle d’élévation:
- tu commences à la ligne horizontale
- tu montes vers le haut pour faire l’angle
La ligne entre les yeux de la
personne qui observe et l`objet
observé.
La ligne est au-dessus de
l`horizon.
Ligne horizontale
ligne
d’observation
Angle de Dépression
C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation.
Quand tu dessines un angle de dépression:
- tu commences à la ligne horizontale
- tu descends vers le BAS pour faire l’angle
La ligne d’observation est la ligne entre les yeux de
la personne qui observe et l`objet observé.
La ligne est au dessous
de l`horizon.
ligne horizontale
Page 244 # 15
60°
1,5 m
x
Hauteur du
cerf-volant = X + 1,5 m
Le côté x est _______ à l’angle de 60°.
La corde est l’
Quand on a le côté opposé et
l’hypoténuse, on utilise le rapport SIN
SIN 60° = x .
25
0,8660254 = x .
25
(25)(0,8660254) = x
21,650635 = x
21,7 = x
Hauteur = X + 1,5 m
Hauteur = 21,7 m + 1,5 m = 23,2 m
Page 244 # 16
30°
1,6 m
Immeuble
ou
bâtiment
100 m
x
Hauteur = x + 1,6 m
Le côté x est _______ à l’angle de 30°.
La côté de 100 m est _______ à l’angle de 30°.
Quand on a le côté opposé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN.
TAN 30° = x .
100
0,5773503 = x .
100
(100)(0,5773503) = x
57,73503 = x
57,7 = x
Hauteur = x + 1,6 m
Hauteur = 57,7 m + 1,6 m
Hauteur = 59,3 m
Page 245 # 17
25° angle de dépression
25°
65°
x
On trouve l’angle de 65° par:
90° - 25° = 65°
Le côté x est par rapport à l’angle de 65 °.
Le côté de 367 m est l’
Quand on a le côté adjacent et l’hypoténuse, on utilise le rapport COS.
COS 65° = x .
367
0,4226183 = x .
367
(367)(0,4226183) = x
155,1009 = x
155,1 = x La hauteur de l’avion est 155,1 mètres.
Page 245 # 18
Sommet de la falaise
(Top of cliff)
30°
------------------------------------------
30° angle de dépression
60°
Base de la falaise La mer
x
Le côté x est par rapport à l’angle de 60°.
Le côté de 60 métres est le côté par rapport à l’angle de 60°.
Quand on a le côté oppsé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN.
TAN 60° = x .
60
60 m
1,7320508 = x .
60
(60) (1,7320508) = x
103,9 = x
Le bateau se trouve à 103,9 mètres
de la base de la falaise.
À quelle hauteur par rapport au sol
le cerf-volant se situe-t-il?
60º
1,5 m
25 m
x
sin 60º = x
25 m
0,8660 = x
25 m
0,8660(25) = x
x = 21,65 m
21,65 m
21,65 m + 1,5 m = 23,15
m
Le cerf-volant se situe de 23,15 m par rapport au sol.
h
Quelle est la hauteur de l’immeuble?
100,0 m
30º
1,6 m
x
La hauteur de l’immeuble est égale à 59,34 m.
tg 30º = x
100 m
0,5774(100) = x
x = 57,74 m
57,74
m
57,74 m + 1,6 m = 59,34
m
h
Si elle regardait vers le haut à partir
du sol, quel serait l’angle d’élévation?
100,0 m
θ
L’angle d’élévation serait égale à 31º.
tg θ = 59,34 m
100 m
tg θ = 0,5934
θ = 30,68
θ = 31º
59,34
m
Quelle est la hauteur de l’avion?
25º
sol
367 m
h
65º
tg 65º = 367 m
h
2,1445(h) = 367 m
h = 367 m
2,1445
h = 171,13 m
La hauteur de l’avion est égale à 171,13 m.
À quelle distance se trouve le
bateau de la base de la falaise?
Le bateau se trouve à une distance de 103,92 m de la
base de la falaise.
30º
d
60 m
60º
tg 60º = d
60 m
(1,732)(60 m) = d
d = 103,92 m
Quel angle est le plus grand, x ou y? De
combien est-il plus grand?
20,0 m
Chris Kerry
100,0
m
200,0
m
x y
tg <x = 20,0 m
100 m
tg <x = 0,2000
< x = 11,31
x = 11º
tg <y = 20,0 m
200 m
tg <y = 0,1000
< y = 5,71
y = 6º
11º 6º
Quel angle est le plus grand, x ou y?
De combien est-il plus grand?
20,0 m
Chris Kerry
100,0
m
200,0
m
x y
11º 6º
L’angle x est le plus grand. Il est à peu près deux fois
plus grand que l’angle y.

Contenu connexe

Similaire à trigo Bonne version.ppt pour tout renseignement

1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
boubacar11
 
Quel est le lieu géométrique de la pointe 2012
Quel est le lieu  géométrique de la pointe  2012Quel est le lieu  géométrique de la pointe  2012
Quel est le lieu géométrique de la pointe 2012
zeinabze
 

Similaire à trigo Bonne version.ppt pour tout renseignement (20)

Géométrie Classe EB7
Géométrie Classe EB7Géométrie Classe EB7
Géométrie Classe EB7
 
Cours equation d'une droite
Cours equation d'une droite Cours equation d'une droite
Cours equation d'une droite
 
Diaporamaths
DiaporamathsDiaporamaths
Diaporamaths
 
3eme chap 4
3eme chap 43eme chap 4
3eme chap 4
 
2.4_cylindriques_spheriques (1).pdf formulaire
2.4_cylindriques_spheriques (1).pdf formulaire2.4_cylindriques_spheriques (1).pdf formulaire
2.4_cylindriques_spheriques (1).pdf formulaire
 
Pythagore_triangle non rectangle
Pythagore_triangle non rectanglePythagore_triangle non rectangle
Pythagore_triangle non rectangle
 
Papier (1)
Papier (1)Papier (1)
Papier (1)
 
Fonctions trigonometriques h12
Fonctions trigonometriques h12Fonctions trigonometriques h12
Fonctions trigonometriques h12
 
Usage du dessin axonométrique en architecture
Usage du dessin axonométrique en architectureUsage du dessin axonométrique en architecture
Usage du dessin axonométrique en architecture
 
Courschapitre4 trigonometrie
Courschapitre4 trigonometrieCourschapitre4 trigonometrie
Courschapitre4 trigonometrie
 
Pythagore_longueurs
Pythagore_longueursPythagore_longueurs
Pythagore_longueurs
 
Cours
CoursCours
Cours
 
1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
1ère S Ex. sur équ. et inéqu. trigo. _1_.pdf
 
Quel est le lieu géométrique de la pointe 2012
Quel est le lieu  géométrique de la pointe  2012Quel est le lieu  géométrique de la pointe  2012
Quel est le lieu géométrique de la pointe 2012
 
RCM004 - Calcul de termes de suites
RCM004 - Calcul de termes de suitesRCM004 - Calcul de termes de suites
RCM004 - Calcul de termes de suites
 
Examen du 2 semestre eb9 2017
Examen du 2 semestre eb9 2017Examen du 2 semestre eb9 2017
Examen du 2 semestre eb9 2017
 
Corrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptxCorrigé TD chapitre I.pptx
Corrigé TD chapitre I.pptx
 
Calcul vectoriel
Calcul vectorielCalcul vectoriel
Calcul vectoriel
 
La Trisectrice Graphique d'un Angle Arbitraire
La Trisectrice Graphique d'un Angle ArbitraireLa Trisectrice Graphique d'un Angle Arbitraire
La Trisectrice Graphique d'un Angle Arbitraire
 
Trigonometrie
TrigonometrieTrigonometrie
Trigonometrie
 

trigo Bonne version.ppt pour tout renseignement

  • 2. 15.03.24 2 TRIGONOMÉTRIE. Titre du diagramme TRIGONOMÉTRIE TRIANGLES RECTANGLES RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES SINUS COSINUS ET TANGENTE TRIANGLES QUELCONQUES LOI DES SINUS LOI DES COSINUS
  • 3. 15.03.24 3 Définition de la trigonométrie Définition: la partie des mathématiques qui s’intéresse aux mesures des angles et des côtés d ’un triangle. Les mesures des angles étant données en degrés et les mesures des côtés sont données dans des unités de longueur connus (cm, m, km……) Plusieurs sciences ou techniques se fondent sur la trigonométrie: La géodésie La topographie L ’arpentage
  • 4. 15.03.24 5 Les pré-requis La somme des angles dans un triangle: mA+ mB + mC = 1800 Types de triangles: rectangle, isocèle, quelconque Théorème de Pythagore: c2 = a2 + b2 (calcul de l ’hypoténuse) a2 = c2  b2 (calcul de la mesure du côté « a ») a2 = c2  a2 (calcul de la mesure du côté « b »)
  • 5. UTILITÉ DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la longueur du coté d’un triangle rectangle connaissant la longueur des deux autres cotés. A B C c a b
  • 6. Rappel de Pythagore AB = 3 cm AC = 7 cm BC = ? A B C
  • 7. AB = 3 cm BC = ? APPLICATION 1 Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE : c2 = b2 + a2 AC = 7 cm A B C
  • 8. A B C AB = 3 cm BC = ? APPLICATION 1 c2 = a2 + b2 72 = 32 + b2 49 = 9 + b2 49 - 9 = b2 40 = b2 b2 = 4O AC = 7 cm
  • 9. c2 = a2 + b2 72 = 32 + b2 49 = 9 + b2 49 - 9 = b2 40 = b2 b2 = 4O A B C AB = 3 cm BC = ? APPLICATION 1 AC = 7 cm
  • 10. c2 = a2 + b2 72 = 32 + b2 49 = 9 + b2 49 - 9 = b2 40 = b2 b2 = 4O b = 40 A B C AB = 3 cm BC = ? APPLICATION 1 AC = 7 cm
  • 11. c2 = a2 + b2 72 = 32 + b2 49 = 9 + b2 49 - 9 = b2 40 = b2 b2 = 4O b = 40 b ≈ 6.32cm A B C AB = 3 cm BC = ? APPLICATION 1 AC = 7 cm
  • 12. 15.03.24 13 Notation dans un triangle Notation:  ABC Identification des angles: par le symbole ACB Identification des côtés: par des lettres minuscules: Ex : a , b , c B C A c b a
  • 13. 15.03.24 14 Les Noms des Côtés • Le côté opposé à l’angle – est le côté qui ne touche pas l`angle. • Le côté adjacent à l’angle – est le côté qui touche l`angle. Mais ce n`est pas l’hypoténuse. • L’hypoténuse – est le côté le plus long dans un triangle rectangle. L’hypoténuse est toujours opposé à l’angle droite.
  • 14. 15.03.24 15 Les rapports trigonométriques Distinguer le côté opposé et le côté adjacent de l ’ angle aigu A , ainsi que l ’hypoténuse dans un triangle rectangle.  c  hypoténuse bcôté adjacent acôté opposé C A B
  • 15. 15.03.24 16 a b c 20° Quel côté est opposé à l`angle de 20 degrés?
  • 16. 15.03.24 17 a b c 25° Quel côté est opposé à l`angle de 25 degrés?
  • 17. 15.03.24 18 a b c 60° Quel côté est opposé à l`angle de 60 degrés?
  • 18. 15.03.24 19 a b c 70° Quel côté est adjacent à l`angle de 70 degrés?
  • 19. 15.03.24 20 a b c 15° Quel côté est adjacent à l`angle de 15 degrés?
  • 20. 15.03.24 21 a b c 45° Quel côté est adjacent à l`angle de 45 degrés?
  • 21. 15.03.24 22 y x z Quel côté est l`hypoténuse?
  • 22. 15.03.24 23 f e d Quel côté est l`hypoténuse?
  • 23. 15.03.24 24 r s t Quel côté est l`hypoténuse?
  • 24. Autres façon de trouver les mesures manquantes d’un triangle rectangle
  • 25. 15.03.24 26 Les rapports trigonométriques Calcul des rapports trigonométriques
  • 26. 15.03.24 27 Les rapports trigonométriques 3 4 5 Regarde le rapport entre chaque paire de côtés. L’angle de référence est l’angle x. x Opposé Hypoténuse = 3 5 = .60 Adjacent Hypoténuse = 4 5 = .80 Opposé Adjacent = 3 4 = .75
  • 27. 15.03.24 28 Les rapports trigonométriques Regarde le rapport entre chaque paire de côtés si je fait un triangle similaire mais deux fois plus grand. L’angle de référence est l’angle x. Opposé Hypoténuse = 6 10 = .60 Adjacent Hypoténuse = 8 10 = .80 Opposé Adjacent = 6 8 = .75 6 8 10 x Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille!
  • 28. 15.03.24 29 Le multiple avec des triangles similaires Est-ce que ca marche si je multiplies le triangles par 7 Opposé Hypoténuse = 21 35 = .60 Adjacent Hypoténuse = 28 35 = .80 Opposé Adjacent = 21 28 = .75 21 28 35 x Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille!
  • 29. 15.03.24 30 Les rapports trigonométriques À quoi ça sert? Calcul de la mesure d’un angle à l’aide d’un de ses rapports trigonométriques. Calcul de la mesure d ’un côté à l ’aide de la mesure d ’un angle aigu et d ’un côté.
  • 30. 15.03.24 31 Pause calculatrice Mettre la calculatrice en mode « degrés » Entrer la valeur du rapport trouvé. Appuyer sur la touche: Appuyer sur la touche de: Trouver la mesure d ’un angle dont on connaît l’un des rapports trigonométriques. DRG 2nd SIN COS TAN
  • 31. 15.03.24 32 Sinus • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de • C’est le longueur du côté oppose divise par le longueur de l’hypoténuse Opp Hyp
  • 32. 15.03.24 33 Cosinus • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de • C’est le longueur du côté adjacent divise par le longueur de l’hypoténuse Adj Hyp
  • 33. 15.03.24 34 Tangente • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de • C’est le longueur du côté oppose divise par le longueur côté adjacent Opp Adj
  • 34. 15.03.24 35 Les rapports trigonométriques ( Sinus ) Sinus = côté opposé hypoténuse Calcul du rapport: sinus A = 35 = 0,6 Calcul de l ’angle aigu correspondant: mA = 0,6 donc, mA = 370 • Triangle rectangle : 2nd sin B C A 4 5 3
  • 35. 15.03.24 36 Les rapports trigonométriques ( Cosinus ) Cosinus= côté adjacent hypoténuse Calcul du rapport: cosinus A = 45 = 0,8 Calcul de l ’angle aigu correspondant: mA = 0,8 donc, mA = 370 • Triangle rectangle : 2nd cos A C B 4 5 3
  • 36. 15.03.24 37 Les rapports trigonométriques ( Tangente ) Tangente= opposé adjacent Calcul du rapport: tangenteA = 34 = 0,75 Calcul de l ’angle aigu correspondant: mA = 0,75 donc, mA = 370 • Triangle rectangle: 2nd tan A C B 3 4 5
  • 37. 15.03.24 38 Pause calculatrice Mettre la calculatrice en mode « degrés » Entrer la valeur en degrées . Appuyer sur le rapport recherché: Trouver le rapport trigonométrique d ’un angle donné DRG COS SIN TAN
  • 38. 15.03.24 39 Résumé des apprentissages Sinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l ’angle sur l a mesure de l ’hypoténuse. Cosinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté adjacent à l ’angle sur l a mesure de l’hypoténuse Tangente d ’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l ’angle sur la mesure du côté adjacent
  • 39. le coté en face de l'angle ou coté: opposé le coté en face de l'angle droit ou le plus grand: l'hypoténuse le coté qui touche l'angle et l'angle droit ou coté adjacent B A C adj / opp = tan …. A O T hyp / adj = cos …. H A C hyp / opp = sin …. H O S TRIGONOMÉTRIE LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES : LA TRIGONOMETRIE COURS
  • 40. opposé l'hypoténuse adjacent B A C la disposition des cotés opposé et adjacent dépend de l'angle utilisé dans les calculs opposé adjacent ATTENTION: Toujours au même endroit Chapitre : TRIGONOMÉTRIE COURS
  • 41. sin  B= 15 22 A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ? calculer un angle : calculer un coté : si 2 cotés sont donnés cos 35° = AB 55 un autre coté peut être calculé si l’angle est donné et 1 coté est donné l’angle peut être calculé, tan 17° = 126 AC si l’angle est donné et 1 coté est donné un autre coté peut être calculé Chapitre : TRIGONOMÉTRIE
  • 42. 15.03.24 43 E B D d = 13 cm Exemple 1 : Pour le triangle BDE, détermines cos B et la mesure de l'angle B. Si tu connais la mesure en degrés d'un angle, la touche COS de ta calculatrice te permet d'en déterminer le cosinus. Si tu connais le sinus de l'angle, la touche COS-1 de ta calculatrice te permet de déterminer la mesure en degrés de l'angle. e = 5 cm Résumé des apprentissages
  • 43. 15.03.24 44 E B D e = 5 cm cos B = adjacent hypothénuse = 5cm 13 cm cos B = 5 13 d = 13 cm <B = 67o Résumé des apprentissages
  • 44. 15.03.24 45 Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w W X Y w 24 cm 11 cm Résumé des apprentissages
  • 45. 15.03.24 46 Puisque, <W = 63o et <X = 90o , alors <Y = 180o - (90o + 47o) = 27o cos Y = w 24 w = 24(cos 27o) = 21, la longueur de w est donc 21 cm. W X Y w 24 cm Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w 11 cm cos 27o = w 24 cos W = adjacent Hypothénuse cos W = 11 24 <W = 63o Résumé des apprentissages
  • 46. 15.03.24 47 Séance d ’entrainement Les choses se corsent ? Faites tout de suite une bonne séance d ’entraînement!
  • 47. Choisir le bon rapport trigonométrique. S E L 36 ° 8,5 cm ? Par rapport à l’angle connu Je connais : l’hypoténuse Je cherche : le côté opposé Donc j’utilise Sinus ESL: Par rapport à l’angle connu Je connais : le côté opposé Je cherche : le côté adjacent Donc j’utilise Tangente ESL: S E L 36 ° 4,5 cm ? Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché
  • 48. S E L 36 ° 8,5 cm ? Je cherche la mesure du côté ES Je connais : l’hypoténuse Je connais : le côté adjacent Donc j’utilise Cosinus
  • 49. 15.03.24 50 1. Résous ce triangle pour trouver la longueur du côté x 17,4 cm x 23° Tu dois trouver la longueur du côté opposé. Tu sais la longueur de l’hypoténuse. Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN? Parce que tu cherches le côté opposé et tu sais l’hypoténuse, tu choisis SIN. Tu utilises SIN parce que SIN est le rapport entre l’opposé et l’hypoténuse. Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé hypoténuse hypoténuse adjacent
  • 50. 15.03.24 51 x 17,4 cm 23° Tu as choisi SIN donc tu écris: SIN 23° = longueur du côté opposé longueur de l’hypoténuse SIN 23 ° = x . 17,4 Utilise ta calculatrice: Appuie sur “2” et “3” et puis appuie sur les bouton “SIN” Sur ton écran, tu vois : 0,3907311. Tu peux arrondir ce rapport à 0,3907. Dans l’équation, remplace SIN 23 ° par 0,3907 0,3907 = x . Fais la “multiplcation à travers” (cross multiply) 17,4 (0,3907) (17,4) = x 6,79818 = x La longueur du côté x est 6,8 cm
  • 51. 15.03.24 52 2. Résous ce triangle pour trouver la mesure de l’angle ө. 12,8 m 15,1 m ө Tu sais la longueur du côté adjacent à angle ө Tu sais la longueur de l’hypoténuse. Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN? Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé hypoténuse hypoténuse adjacent Parce que tu sais le côté adjacent et tu sais l’hypoténuse, tu choisis COS. Tu utilises COS parce que COS est le rapport entre l’adjacent et l’hypoténuse.
  • 52. 15.03.24 53 Tu as choisi COS donc tu écris: COS ө = longueur du côté adjacent longueur de l’hypoténuse COS ө = 12,8 . 15,1 ө 12,8 m 15,1 m Utilise ta calculatrice: Divise “12,8” par “15,1” = 0,8476821 Puis appuie sur les bouton « 2nd ». Puis appuie sur le bouton “COS”  La réponse est « 32,039548 » SIN ө = 0,8476821 ө = 32,039548 ө = 32,0 L’angle ө mesure 32,0 °
  • 53. Les angles - Trigonométrie Un angle d’élévation est un angle qui est mesuré vers le haut, par rapport à une ligne horizontale. L’angle d’élévation chat
  • 54. Suzanne se situe à 120 m d’un bâtiment. Elle observe, sous un angle d’élévation de 29°, un chat qui se trouve au toit de l’immeuble. Quelle est la hauteur du bâtiment? L’angle d’élévation est 29°. chat Suzanne h 120 m
  • 55. tg 29° = h 120 m Le bâtiment a une h = (0, 5543) (120 m) hauteur de 66, 5 m. h = 66, 5 m L’angle d’élévation est 29°. chat Suzanne h 120 m
  • 56. Les angles - Trigonométrie Un angle de dépression est un angle qui est mesuré vers le bas, par rapport à une ligne horizontale. bateau mer F A L A I S E Paul angle de dépression
  • 57. Paul se trouve en haut d’une falaise. Il voit, sous un angle de dépression de 31°, un bateau qui flotte dans la mer. Le bateau se situe à 650 m de la falaise. Quelle est la hauteur de la falaise? bateau mer F A L A I S E Paul angle de dépression est 31° 650 m
  • 58. Si l’angle de dépression est 31°, alors l’angle A mesure ( 90 – 31) = 59°. bateau mer F A L A I S E Paul angle de dépression est 31° 650 m A = 59°
  • 59. tg 59 ° = 650 m La falaise a une f hauteur de 390,6 m. (f )(1, 6643) = 650 m f = 390, 6 m bateau mer F A L A I S E Paul angle de dépression est 31° 650 m A = 59°
  • 60. Dans le livre bleu “OMNIMATHS 10”, regarde page XXIV Résolution de problèmes Tour x 100 m 52° Le côté de x est à angle 52 °. Le côté de 100 m est à angle 52° Lorsqu’on sait la longueur du côté adjacent et la longueur de du côté opposé, quel rapport utilise-t-on? TAN 52° = x Appuie sur : “52” “TAN” 100 1,2799416 = x Fais la multiplication croisée 100 127,99416 = x x = 128 mètres La hauteur de la tour est 128 mètres.
  • 61. Angle d`élévation C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation. Quand tu dessines un angle d’élévation: - tu commences à la ligne horizontale - tu montes vers le haut pour faire l’angle La ligne entre les yeux de la personne qui observe et l`objet observé. La ligne est au-dessus de l`horizon. Ligne horizontale ligne d’observation
  • 62. Angle de Dépression C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation. Quand tu dessines un angle de dépression: - tu commences à la ligne horizontale - tu descends vers le BAS pour faire l’angle La ligne d’observation est la ligne entre les yeux de la personne qui observe et l`objet observé. La ligne est au dessous de l`horizon. ligne horizontale
  • 63. Page 244 # 15 60° 1,5 m x Hauteur du cerf-volant = X + 1,5 m Le côté x est _______ à l’angle de 60°. La corde est l’ Quand on a le côté opposé et l’hypoténuse, on utilise le rapport SIN SIN 60° = x . 25 0,8660254 = x . 25 (25)(0,8660254) = x 21,650635 = x 21,7 = x Hauteur = X + 1,5 m Hauteur = 21,7 m + 1,5 m = 23,2 m
  • 64. Page 244 # 16 30° 1,6 m Immeuble ou bâtiment 100 m x Hauteur = x + 1,6 m Le côté x est _______ à l’angle de 30°. La côté de 100 m est _______ à l’angle de 30°. Quand on a le côté opposé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN. TAN 30° = x . 100 0,5773503 = x . 100 (100)(0,5773503) = x 57,73503 = x 57,7 = x Hauteur = x + 1,6 m Hauteur = 57,7 m + 1,6 m Hauteur = 59,3 m
  • 65. Page 245 # 17 25° angle de dépression 25° 65° x On trouve l’angle de 65° par: 90° - 25° = 65° Le côté x est par rapport à l’angle de 65 °. Le côté de 367 m est l’ Quand on a le côté adjacent et l’hypoténuse, on utilise le rapport COS. COS 65° = x . 367 0,4226183 = x . 367 (367)(0,4226183) = x 155,1009 = x 155,1 = x La hauteur de l’avion est 155,1 mètres.
  • 66. Page 245 # 18 Sommet de la falaise (Top of cliff) 30° ------------------------------------------ 30° angle de dépression 60° Base de la falaise La mer x Le côté x est par rapport à l’angle de 60°. Le côté de 60 métres est le côté par rapport à l’angle de 60°. Quand on a le côté oppsé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN. TAN 60° = x . 60 60 m 1,7320508 = x . 60 (60) (1,7320508) = x 103,9 = x Le bateau se trouve à 103,9 mètres de la base de la falaise.
  • 67. À quelle hauteur par rapport au sol le cerf-volant se situe-t-il? 60º 1,5 m 25 m x sin 60º = x 25 m 0,8660 = x 25 m 0,8660(25) = x x = 21,65 m 21,65 m 21,65 m + 1,5 m = 23,15 m Le cerf-volant se situe de 23,15 m par rapport au sol. h
  • 68. Quelle est la hauteur de l’immeuble? 100,0 m 30º 1,6 m x La hauteur de l’immeuble est égale à 59,34 m. tg 30º = x 100 m 0,5774(100) = x x = 57,74 m 57,74 m 57,74 m + 1,6 m = 59,34 m h
  • 69. Si elle regardait vers le haut à partir du sol, quel serait l’angle d’élévation? 100,0 m θ L’angle d’élévation serait égale à 31º. tg θ = 59,34 m 100 m tg θ = 0,5934 θ = 30,68 θ = 31º 59,34 m
  • 70. Quelle est la hauteur de l’avion? 25º sol 367 m h 65º tg 65º = 367 m h 2,1445(h) = 367 m h = 367 m 2,1445 h = 171,13 m La hauteur de l’avion est égale à 171,13 m.
  • 71. À quelle distance se trouve le bateau de la base de la falaise? Le bateau se trouve à une distance de 103,92 m de la base de la falaise. 30º d 60 m 60º tg 60º = d 60 m (1,732)(60 m) = d d = 103,92 m
  • 72. Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien est-il plus grand? 20,0 m Chris Kerry 100,0 m 200,0 m x y tg <x = 20,0 m 100 m tg <x = 0,2000 < x = 11,31 x = 11º tg <y = 20,0 m 200 m tg <y = 0,1000 < y = 5,71 y = 6º 11º 6º
  • 73. Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien est-il plus grand? 20,0 m Chris Kerry 100,0 m 200,0 m x y 11º 6º L’angle x est le plus grand. Il est à peu près deux fois plus grand que l’angle y.