L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.
Alternative au Tramway de la ville de Quebec Rev 1 sml.pdfDaniel Bedard
CDPQ Infra dévoile un plan de mobilité de 15 G$ sur 15 ans pour la région de Québec. Une alternative plus économique et rapide, ne serait-elle pas posssible?
- Valoriser les infrastructures ferroviaires du CN, en créant un Réseau Express Métropolitain (REM) plutôt qu'un nouveau tramway ou une combinaison des 2.
- Optimiser l'utilisation des rails pour un transport combiné des marchandises et des personnes, en accordant une priorité aux déplacements des personnes aux heures de pointes.
- Intégrer un téléphérique transrives comme 3ème lien urbain dédiés aux piétons et cyclistes avec correspondance avec le REM.
- Le 3 ème lien routier est repensé en intégrant un tunnel routier qui se prolonge avec le nouveau pont de l'Île d'Orléans et quelques réaménagemet de ses chausées.
https://www.linkedin.com/in/bedarddaniel/
English:
CDPQ Infra unveils a $15 billion, 15-year mobility plan for the Quebec region. Wouldn't a more economical and faster alternative be possible?
Leverage CN's railway infrastructure by creating a Metropolitan Express Network (REM) instead of a new tramway or a combination of both.
Optimize the use of rails for combined freight and passenger transport, giving priority to passenger travel during peak hours.
Integrate a cross-river cable car as a third urban link dedicated to pedestrians and cyclists, with connections to the REM.
Rethink the third road link by integrating a road tunnel that extends with the new Île d'Orléans bridge and some reconfiguration of its lanes.
https://www.linkedin.com/in/bedarddaniel/
3. I) Suites de fonctions
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies de I ⊂ R vers K = R
ou C et soit f une fonction définie de I vers K.
1) Convergence simple
Definition
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si
∀x ∈ I : lim
n→+∞
fn(x) = f(x)
Autrement dit si :
∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq ∀n ≥ N : |fn(x) − f(x)| < ε
4. Exemples
a- fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N
...
...
b- fn(x) =
1
n
sin(nx) , x ∈ R et n ∈ N
...
...
5. 2) Convergence uniforme
Definition
On dit que (fn) converge uniformément vers f sur I si
lim
n→+∞
sup
x∈I
|fn(x) − f(x)| = 0
Autrement dit si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ I : |fn(x) − f(x)| < ε
Remarques
Si fn
CVU
−
−
−
→ f alors fn
CVS
−
−
→ f, la réciproque est fausse en
général.
Pour étudier la convergence uniforme de (fn), on détermine
d’abord sa limite simple.
6. Exemples
a- fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
...
b- fn(x) =
1 + nx
x + n
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
...
7. Théorème (Critère de Cauchy uniforme)
(fn) converge uniformément vers f sur I ssi :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ≥ N sup
x∈I
|fq(x) − fp(x)| < ε
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur I alors pour toute suite (xn) de points de I,
on a lim
n→+∞
(fn(xn) − f(xn)) = 0
Preuve
........
Remarques
Pour montrer que (fn) ne converge pas uniformément vers f sur I,
il suffit de trouver une suite (xn) de points de I telle que
lim
n→+∞
(fn(xn) − f(xn)) 6= 0
8. Exemple
fn(x) =
2
3 + n2x2
, x ∈]0, +∞[ et n ∈ N
......
3) Théorème de continuité
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur I et si les fonctions (fn) sont continue sur I,
alors f est continue sur I et on a :
∀x0 ∈ I : lim
n→+∞
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→x0
lim
n→+∞
fn(x)
Remarque
On utiluse souvent la contraposée : si f n’est pas continue sur I
alors fn ne converge pas uniformément vers f sur I.
Exemple
fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N∗
......
9. 4) Théorème d’intégration
Théorème
Si (fn) CVU vers f sur [a, b] et si les fonctions (fn) sont integrables
sur [a, b], alors f est integrable sur [a, b] et on a :
lim
n→+∞
Z b
a
fn(x)dx =
Z b
a
lim
n→+∞
fn(x)dx
Remarques
Ce théorème montre qu’on peut échanger la limite et
l’intégrale si les fonctions intégrables (fn) CVU vers f sur
[a, b].
Si f ne CV pas uniformément vers f alors le théorème n’est
pas appliquable.
11. 5) Théorème de dérivation
Théorème
Si (fn) CVS vers f sur I et si les fonctions (fn) sont dérivables sur I
et (f0
n) CVU sur I, alors f est dérivable sur I et on a :
lim
n→+∞
fn(x)
0
= lim
n→+∞
f0
n(x)
Remarque
La CVU de (fn) vers f sur I n’est pas suffisant pour la dérivabilité
de f sur I. La CVU de (f0
n) sur I est une condition nécessaire.
Exemple
fn(x) =
r
x2 +
1
n
, x ∈ R et n ∈ N∗
......
12. II) Séries de fonctions
1) Définitions et notations
Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies de I ⊂ R vers K = R
ou C. Considérons la suite de fonctions (Sn)n∈N définie par :
Sn(x) = f0(x) + f1(x) + ... + fn(x) =
n
X
k=0
fk (x)
La suite de fonctions (Sn) est appelée la fonction des sommes
partielles de (fn)n∈N.
Definition
On appelle série de fonctions de terme général fn, et on note
X
n≥0
fn, la suite des sommes partielles (Sn).
13. 2) Convergence Simple et convergence uniforme
Definition
Si lim
n→+∞
Sn(x) = S(x), ∀x ∈ I,on dit que la série
X
n≥0
fn
converge simplement sur I. S est appelée la somme de la
série et on note
+∞
X
n=0
fn(x) = S(x), ∀x ∈ I.
On dit que la série
X
n≥0
fn converge uniformément sur I si la
suite de fonctions (Sn) CVU sur I.
Remarques
Pour étudier la CVS d’une série de fonctions on peut utiliser
les critères de CV des séries numériques.
Si
X
fn CVU sur I alors
X
fn CVS sur I.
14. Exemples
a) fn(x) =
x
x2 + n2
, x ∈ R+
et n ∈ N∗
. On a
n
3
2 fn(x) =
x
√
n
x2
n2 + 1
−→
n→+∞
0
donc la série
+∞
X
n=1
fn(x) converge simplement sur R+
b) fn(x) = nx2
e−nx
, x ∈ R et n ∈ N∗
Si x = 0, on a fn(0) = 0 donc
X
fn(0) CVS.
Si x 6= 0, on a
fn+1(x)
fn(x)
=
n + 1
n
e−x
−→
n→+∞
e−x
et e−x
1 ssi x 0. Donc
X
fn(x) CVS sur ]0, +∞[
Alors la série
X
fn(x) CVS sur R+
15. Proposition (Critère de Cauchy uniforme)
La série
P
fn CVU sur I si et seulement si
∀ε 0, ∃N ∈ N, ∀q p ≥ N : sup
x∈I
28. 3) Convergence normale
Definition
On dit que la série
P
fn converge normalement sur I s’il existe
une suite (un) tq :
|fn(x)| ≤ un, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0.
La série
X
un est convergente.
Exemples
a) fn(x) =
x
(n + 1)2
, x ∈ [0, 1] et n ∈ N
On a |fn(x)| ≤
1
(n + 1)2
, ∀x ∈ [0, 1]
et la série
X 1
(n + 1)2
converge
donc
X x
(n + 1)2
CVN sur [0, 1]
29. b) fn(x) = xn
e−nx
, x ∈ R+
et n ∈ N∗
à partir du tableau de variation de fn, on montre que
|fn(x)| ≤ e−n
, ∀x ≥ 0
et la série
X
e−n
converge
donc
X
xn
e−nx
CVN sur R+
30. Théorème
Si
P
fn CVN sur I alors
P
fn CVU sur I.
Preuve
Exercice (Montrer que la série
P
fn vérifie le critère de Cauchy
uniforme)
% CVU
CVN CVS
CVA %
31. 4) Théorème de continuité
Théorème
Si la série
P
fn CVU sur I et si les fonctions (fn) sont continue sur
I, alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est continue sur I et on a :
lim
x→x0
+∞
X
n=0
fn(x) =
+∞
X
n=0
lim
x→x0
fn(x), ∀x0 ∈ I
Preuve
Il suffit d’appliquer le théorème de continuité des suites de
fonctions.
40. ≤
1
n2
, ∀x ∈ R+
et la série
X 1
n2
converge
donc
P
fn CVN donc CVU sur R+
et puisque les fonctions (fn) sont continue sur R+
donc la fonction f(x) =
+∞
X
n=0
fn(x) est continue sur R+
.
41. 5) Théorème d’intégration
Théorème
Si la série
P
fn CVU sur [a, b] et si les fonctions (fn) sont
integrables sur [a, b], alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est integrable sur
[a, b] et on a :
+∞
X
n=0
Z b
a
fn(x)dx =
Z b
a
+∞
X
n=0
fn(x)
!
dx
Preuve
Il suffit d’appliquer le théorème d’intégration des suites de
fonctions.
42. Exemple
Considérons la série
+∞
X
n=1
xn
n
avec x ∈]0, 1[. On a
+∞
X
n=1
xn
n
=
+∞
X
n=1
Z x
0
tn−1
dt =
+∞
X
n=0
Z x
0
tn
dt
La série
+∞
X
n=0
tn
CVU sur ]0, x[ et la fonction t 7→ tn
est continue
donc intégrable sur ]0, x[. Donc
+∞
X
n=0
Z x
0
tn
dt =
Z x
0
+∞
X
n=0
tn
!
dt =
Z x
0
1
1 − t
dt = − ln(1 − x)
Par suite
+∞
X
n=1
xn
n
= − ln(1 − x) , ∀x ∈]0, 1[
43. 6) Théorème de dérivation
Théorème
Si la série
P
fn CVS sur I et si les fonctions (fn) sont dérivables
sur I et la série
P
f0
n CVU sur I, alors la fonction f =
+∞
X
n=0
fn est
dérivable sur I et on a :
+∞
X
n=0
fn(x)
!0
=
+∞
X
n=0
f0
n(x), ∀x ∈ I
Remarques
Si (fn) est de C1
(I) alors f est de C1
(I).
Le théorème s’applique aussi si la série
+∞
X
n=0
f0
n CVU sur tout
intervalle [a, b] ⊂ I.
44. Exemple
Reprenons l’exemple fn(x) =
e−nx
1 + n2
, x ∈ R+
et n ∈ N
P
fn CVU donc CVS sur R+
.
fn est de classe C1
sur R+
, ∀n ∈ N.
|f0
n(x)| =
52. ≤ e−na
, sur [a, +∞[ , ∀a 0
donc
P
f0
n CVN donc CVU sur [a, +∞[.
Donc la fonction f(x) =
+∞
X
n=0
fn(x) est de C1
sur [a, +∞[, ∀a 0.
Donc elle est de C1
sur ]0, +∞[ et on a :
f0
(x) = −
+∞
X
n=0
n
1 + n2
e−nx
∀x 0