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Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                             e

                              Prof. Said Hadd


                             21 novembre 2012




Prof. Said Hadd ()           Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                     e          21 novembre 2012   1 / 20
I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                          e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e


D´finition
 e
Soient I un intervalle de R et x0 ∈ I.
  1   Une fonction f : I → R est dite d´rivable en x0 si la limite suivante
                                       e
                                                             f (t) − f (x0 )
                                             L = lim
                                                     t→x0        t − x0
                                                     t=x0

      existe. On note L = f (x0 ) la d´riv´e de f au point x0 .
                                      e e
  2   On dit que f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point
                        e                        e
      x0 ∈ I. Dans ce cas, on a d´finit une fonction
                                 e

                                          f : I → R,              x → f (x).



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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                          e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e


D´finition
 e
Soit f : I → R une fonction d´rivable.
                             e
  1   Si f est elle mˆme d´rivable, sa d´riv´e (f ) s’appelle la d´riv´e
                     e    e             e e                       e e
      seconde et se note f ou f (2) .

  2   On d´finie de mˆme la d´riv´e n-i`me (si elle existe, on la note f (2)
           e        e       e e       e
          n
      ou d f ).
         dx n

  3   On note

             f (0) (x) = f (x),            f (1) (x) = f (x),                  f (n+1) (x) = f (n) (x).




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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                         e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e


Remarque
On aurait pu d´finir la d´riv´e d’une fonctions On d´finit la d´riv´e d’une
               e        e e                        e         e e
fonction f au point x0 par:

                                                   f (x0 + h) − f (x0 )
                               f (x0 ) = lim                            .
                                               h→0          h
                                               h=0

Il suffit donc de faire le changement de variable

                                                 h = t − x0 .

donc t tend vers x0 ´quivalent ` dire que h tend vers 0.
                    e          a



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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                          e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Remarque
  1   On d´finit la d´riv´e ` gauche d’une fonction f au point x0 par:
          e         e e a

                                                                 f (t) − f (x0 )
                                       fg (x0 ) = lim                            .
                                                          −
                                                       t→x0          t − x0

  2   On d´finit la d´riv´e ` droit d’une fonction f au point x0 par:
          e         e e a

                                                                 f (t) − f (x0 )
                                       fd (x0 ) = lim+                           .
                                                       t→x0          t − x0

Th´or`me
  e e
Une fonction f est d´rivable en x0 si et seulement si elle est d´rivable `
                    e                                           e        a
gauche et ` droite de x0 et fg (x0 ) = fd (x0 ).
          a


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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                         e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors f est continue en x0
          e
L’inverse de se r´sultat est faux en g´n´rale. En effet la fonction f (t) = |t|
                 e                    e e
est continue en 0, mais n’est pas d´rivable en 0.
                                    e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors on a
          e

         f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + ε(h)h                              avec   lim ε(h) = 0.
                                                                                     h→0


Exemple
la fonction sinus est d´rivable en 0, sin(0) = 0 et sin (0) = cos(0) = 1,
                       e
donc sin(h) = h + ε(h)h. D’o`  u

                          sin(h)
                                 = 1 + ε(h) → 1,                    quand h → 0.
                             h
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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
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I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Th´or`me
   e e
Soient f et g deux fonctions d´rivables. Alors
                              e
  1   f + g et fg sont d´rivables et on a
                        e

                            (f + g ) = f + g ,                       (fg ) = f g + fg .
      f
  2
      g   et g ◦ f sont d´rivables l` o` elle sont d´finies et
                         e          a u             e

                             f            f g − fg
                                     =             ,                 (g ◦ f ) = f g ◦ f .
                             g               g2
  3   Si f −1 existe et si f (x0 ) = 0 alors f −1 est d´rivable en f (x0 ) et on a
                                                       e

                                                                            1
                                           (f −1 ) (f (x0 )) =                   .
                                                                         f (x0 )

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I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Exemple 1
Par d´finition, la fonction logarithme est une fonction f :]0, +∞[→ R,
      e
                              1
d´rivable telle que f (y ) = y , y ∈]0, +∞[. On note f (y ) = ln(y ). D’autre
 e
part, ln(y ) est continue, strictement croissante, donc c’est une bijection.
Sa bijection r´ciproque est appell´e fonction exponentielle et sera not´e
               e                   e                                      e
exp : R →]0, +∞[. On a aussi

                                  y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y ).
               1
On a ln (y ) = y = 0 pour tout y > 0. Donc exp est d´rivable sur R et si
                                                    e
x = ln(y ) ∈ R

                                                               1      1
               exp (x) = exp (ln(y )) =                             = 1 = y = exp(x).
                                                            ln (y )   y

On note aussi exp(x) = e x . Donc (e x ) = e x ,                              ∀ x ∈ R.
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             e

Exemple 2
La fonction sin : [− π , π ] → [−1, 1] est continue, strictement croissante.
                     2 2
Donc sin est bijective et on note sin−1 = arcsin : [−1, 1] → [− π , π ]. La
                                                                  2 2
fonction arcsin est continue, croissante et on a
                                                                                π     π
               y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y ),                              ∀ −     ≤y ≤ .
                                                                                2     2
On sait que sin est d´rivable et que sin (y ) = cos(y ). Donc sin (x) = 0
                       e
                  π π
pour tout y ∈] − 2 , 2 [. Donc arcsin est d´rivable sur ] − 1, 1[ et si
                                           e
x = sin(y ) ∈] − 1, 1[

                                                          1         1                    1
     arcsin (x) = arcsin (sin(y )) =                            =         =
                                                       sin (y )   cos(y )           1 − sin2 (y )
                              1
                    =√             .
                            1 − x2
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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
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I. Calcul diff´rentiel dans R
             e


D´finition
 e
  1   Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 0 si f est continue.

  2   Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 1 si f est d´rivable et
                                                                 e
      que f est continue.

  3   Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C n si f est n fois
      d´rivable et que f (n) est continue.
       e

  4   Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C ∞ si f poss´de des
                                                                e
      d´riv´es continues ` tout ordre.
       e e               a



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I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                         e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Exemples
 1   Les fonctions polynˆmes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus
                          o
     sont de classe C ∞ .
 2   Soit f : R → R la fonction d´finie par
                                 e
                                                                   1
                                                       t 2 sin     t   ,      t = 0,
                                      f (t) =
                                                       0,                     t = 0.

     • f est continue sur R, donc de classe C 0 . En effet f est continue sur
     R{0} car c’est le compos´ et le produit de fonctions continues. Il
                                 e
     reste ` verifier la continuit´ au point O. Pour t = 0 on a
            a                    e
     −t 2 ≤ f (t) ≤ t 2 donc le principe des gendarme implique
     lim f (t) = 0 = f (0), donc continue en 0. Ainsi f est continue sur R
     t→0



     Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                   e                   21 novembre 2012   11 / 20
I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                         e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e
Exemples
Soit f : R → R la fonction d´finie par
                            e
                                                               1
                                                  t 2 sin      t   ,    t = 0,
                                  f (t) =
                                                  0,                    t = 0.

• Montrons que f est d´rivable sur R. D´j` f est d´rivable sur R{0} car
                        e                ea         e
c’est le compos´ et le produit de fonctions d´rivables et pour tout
               e                             e
t ∈ R{0} on a

                                                            1       1
                                 f (t) = 2t sin               − cos   .
                                                            t       t
Reste ` v´rifier la d´rivabilit´ de f en 0.
      a e           e         e
                         f (t) − f (0)             1
                     lim               = lim t sin   = 0 = f (0).
                     t→0     t −0        t→0       t
                     t=0                             t=0
     Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                   e             21 novembre 2012   12 / 20
I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
                         e                  ee

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Exemples
Donc f est d´rivable si R et la fonction d´riv´e f : R → R est donn´e par
            e                             e e                      e
                                                      1                 1
                                          2t sin      t     − cos       t     , t = 0,
                          f (t) =
                                          0,                                    t = 0.

• Est ce que f est de classe C 1 sur R. On remarque que f est de classe C 1
sur R{0} car f (t) = 2t sin 1 − cos 1 est continue. Mais f n’est de
                               t         t
classe C 1 sur R car f n’est pas continue en 0 puisque

                                                                1
                                                 lim cos
                                                t→0             t
                                                t=0

n’existe pas.

     Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                   e                     21 novembre 2012   13 / 20
I.2. Extremums

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

D´finition
 e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
  1   On dit que f admet un maximun (resp. minimum) en x0 si pour
      tout x ∈ Df :

                           f (x) ≤ f (x0 )          (resp. f (x) ≥ f (x0 ))

  2   On dit que f admet un maximun strict (resp. minimum strict) en
      x0 si pour tout x ∈ Df , x = x0 :

                           f (x) < f (x0 )          (resp. f (x) > f (x0 ))

Exemple
                                   1
La fonction f :]0, 1] → R, f (x) = x admet un minimum en x0 = 1. En
                                                         1
effet, on a f (1) = 1 et pour tout x ∈]0, 1] on a f (x) = x ≥ 1 = f (1).

      Prof. Said Hadd ()            Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                            e            21 novembre 2012   14 / 20
I.2. Extremums

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e


D´finition
  e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
On dit que f admet un maximun local (resp. minimum local) en x0 si il
existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df

                  x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≤ f (x0 )
                  (resp. x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≥ f (x0 ))

D´finition
 e
Un extremum signifiera maximum ou minimum.




    Prof. Said Hadd ()          Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                        e          21 novembre 2012   15 / 20
I.2. Extremums

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

D´finition
  e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x0 est un point
critique pour f si f est d´rivable en x0 et que f (x0 ) = 0.
                          e

Exemple
  1   La f : R → R, f (x) = sin(x) est d´rivable sur R et que
                                          e
      f (x) = cos(x) pour tout x ∈ R. L’equation f (x0 ) = 0 ´quivalente `
                                                               e         a
      cos(x0 ) = 0 ´quivalente ` x0 = (2k + 1) π avec k ∈ Z. Donc
                   e           a               2
      l’ensemble des points critiques de f est {(2k + 1) π : k ∈ Z}.
                                                         2
                                               3
  2   La fonction f : R → R, f (x) = x3 − x est d´rivable sur R et que
                                                  e
      f (x) = x 2 − 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est {−1, 1}.
                                               3
  3   La fonction f : R → R, f (x) = x3 + x est d´rivable sur R et que
                                                  e
      f (x) = x 2 + 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est

      l’ensemble vide.

      Prof. Said Hadd ()      Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                      e          21 novembre 2012   16 / 20
I.2. Extremums

I. Calcul diff´rentiel dans R
             e

Proposition
Soient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extremum local en x0
alors x0 est un point critique de f .

D´monstration: Supposons que f admet un maximun local en x0 .
  e
• Si x < x0 alors on a
         f (x) − f (x0 )                                          f (x) − f (x0 )
                         ≥0   donc        fg (x0 ) = lim                          ≥ 0.
             x − x0                                        x→x0       x − x0
                                                           x<x0

• Si x > x0 alors on a
         f (x) − f (x0 )                                        f (x) − f (x0 )
                         ≤0   donc fd (x0 ) = lim                               ≤ 0.
             x − x0                                        x→x0     x − x0
                                                           x<x0

Donc en peut conclure que f (x0 ) = 0.
     Prof. Said Hadd ()        Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                       e                   21 novembre 2012   17 / 20
II. 1 Th´or`me des accroissements finis
                          e e

II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
      e e

Th´or`me de Rolle
    e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[ telle que
                                             e
f (a) = f (b) = 0. Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.




Exemple
                                             2
Soit f : [0, 1] → R, f (x) = e x − e x . On a f est continue sur [0, 1] et
d´rivable sur ]0, 1[. De plus f (0) = f (1) = 0. Donc d’apr`s le Th´or`me de
 e                                                          e       e e
Rolle, il existe c ∈]0, 1[ tel que f (c) = 0. D’autre part, on a
               2
f (x) = 2xe x − e x . Donc on a
                                                    2
                                            2ce c − e c = 0.


     Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                   e          21 novembre 2012   18 / 20
II. 1 Th´or`me des accroissements finis
                           e e

II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
      e e
Th´or`me des accroissements finis
   e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors il existe
                                            e
un c ∈]a, b[ tel que

                                   f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

Proposition
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors
                                            e
  1   f est constante si et seulement si f = 0.

  2   f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si
      f ≥ 0 (resp. f > 0).

  3   f est d´croissante (resp. strictement d´croissante) si et seulement si
             e                               e
      f ≤ 0 (resp. f < 0).
      Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                    e          21 novembre 2012   19 / 20
II. 1 Th´or`me des accroissements finis
                          e e

II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
      e e

Exemple
 1   Montrer que e x ≥ x + 1 pour tout x ≥ 0. En effet, on pose
     f : [0, +∞[→ R, f (x) = e x − (x + 1). On a f (0) = 0. De plus f est
     d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = e x − 1 ≥ 0 pour tout x ≥ 0. Donc f
       e
     est croissante. Ainsi x ≥ 0 impique f (x) ≥ f (0) = 0, d’o`
                                                               u
     e x − (x + 1) ≥ 0 et donc e x ≥ x + 1.




 2   Montrons que sin(x) ≤ x pour tout x ∈ [0, +∞[. En effet, on pose
     f : [0, +∞[→ R, f (x) = sin(x) − x. On a f (0) = 0. De plus f est
     d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = cos(x) − 1 ≤ 0. Donc f est
       e
     d´croissante. D’o` x ≥ 0 implique f (x) ≥ f (0) = 0, et ainsi
       e               u
     sin(x) − x ≤ 0.


     Prof. Said Hadd ()                    Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
                                                                   e          21 novembre 2012   20 / 20

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  • 1. Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e Prof. Said Hadd 21 novembre 2012 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 1 / 20
  • 2. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e Soient I un intervalle de R et x0 ∈ I. 1 Une fonction f : I → R est dite d´rivable en x0 si la limite suivante e f (t) − f (x0 ) L = lim t→x0 t − x0 t=x0 existe. On note L = f (x0 ) la d´riv´e de f au point x0 . e e 2 On dit que f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point e e x0 ∈ I. Dans ce cas, on a d´finit une fonction e f : I → R, x → f (x). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 2 / 20
  • 3. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e Soit f : I → R une fonction d´rivable. e 1 Si f est elle mˆme d´rivable, sa d´riv´e (f ) s’appelle la d´riv´e e e e e e e seconde et se note f ou f (2) . 2 On d´finie de mˆme la d´riv´e n-i`me (si elle existe, on la note f (2) e e e e e n ou d f ). dx n 3 On note f (0) (x) = f (x), f (1) (x) = f (x), f (n+1) (x) = f (n) (x). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 3 / 20
  • 4. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Remarque On aurait pu d´finir la d´riv´e d’une fonctions On d´finit la d´riv´e d’une e e e e e e fonction f au point x0 par: f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = lim . h→0 h h=0 Il suffit donc de faire le changement de variable h = t − x0 . donc t tend vers x0 ´quivalent ` dire que h tend vers 0. e a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 4 / 20
  • 5. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Remarque 1 On d´finit la d´riv´e ` gauche d’une fonction f au point x0 par: e e e a f (t) − f (x0 ) fg (x0 ) = lim . − t→x0 t − x0 2 On d´finit la d´riv´e ` droit d’une fonction f au point x0 par: e e e a f (t) − f (x0 ) fd (x0 ) = lim+ . t→x0 t − x0 Th´or`me e e Une fonction f est d´rivable en x0 si et seulement si elle est d´rivable ` e e a gauche et ` droite de x0 et fg (x0 ) = fd (x0 ). a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 5 / 20
  • 6. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Proposition Si f est d´rivable en x0 alors f est continue en x0 e L’inverse de se r´sultat est faux en g´n´rale. En effet la fonction f (t) = |t| e e e est continue en 0, mais n’est pas d´rivable en 0. e Proposition Si f est d´rivable en x0 alors on a e f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + ε(h)h avec lim ε(h) = 0. h→0 Exemple la fonction sinus est d´rivable en 0, sin(0) = 0 et sin (0) = cos(0) = 1, e donc sin(h) = h + ε(h)h. D’o` u sin(h) = 1 + ε(h) → 1, quand h → 0. h Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 6 / 20
  • 7. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Th´or`me e e Soient f et g deux fonctions d´rivables. Alors e 1 f + g et fg sont d´rivables et on a e (f + g ) = f + g , (fg ) = f g + fg . f 2 g et g ◦ f sont d´rivables l` o` elle sont d´finies et e a u e f f g − fg = , (g ◦ f ) = f g ◦ f . g g2 3 Si f −1 existe et si f (x0 ) = 0 alors f −1 est d´rivable en f (x0 ) et on a e 1 (f −1 ) (f (x0 )) = . f (x0 ) Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 7 / 20
  • 8. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Exemple 1 Par d´finition, la fonction logarithme est une fonction f :]0, +∞[→ R, e 1 d´rivable telle que f (y ) = y , y ∈]0, +∞[. On note f (y ) = ln(y ). D’autre e part, ln(y ) est continue, strictement croissante, donc c’est une bijection. Sa bijection r´ciproque est appell´e fonction exponentielle et sera not´e e e e exp : R →]0, +∞[. On a aussi y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y ). 1 On a ln (y ) = y = 0 pour tout y > 0. Donc exp est d´rivable sur R et si e x = ln(y ) ∈ R 1 1 exp (x) = exp (ln(y )) = = 1 = y = exp(x). ln (y ) y On note aussi exp(x) = e x . Donc (e x ) = e x , ∀ x ∈ R. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 8 / 20
  • 9. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Exemple 2 La fonction sin : [− π , π ] → [−1, 1] est continue, strictement croissante. 2 2 Donc sin est bijective et on note sin−1 = arcsin : [−1, 1] → [− π , π ]. La 2 2 fonction arcsin est continue, croissante et on a π π y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y ), ∀ − ≤y ≤ . 2 2 On sait que sin est d´rivable et que sin (y ) = cos(y ). Donc sin (x) = 0 e π π pour tout y ∈] − 2 , 2 [. Donc arcsin est d´rivable sur ] − 1, 1[ et si e x = sin(y ) ∈] − 1, 1[ 1 1 1 arcsin (x) = arcsin (sin(y )) = = = sin (y ) cos(y ) 1 − sin2 (y ) 1 =√ . 1 − x2 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 9 / 20
  • 10. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e 1 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 0 si f est continue. 2 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 1 si f est d´rivable et e que f est continue. 3 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C n si f est n fois d´rivable et que f (n) est continue. e 4 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C ∞ si f poss´de des e d´riv´es continues ` tout ordre. e e a Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 10 / 20
  • 11. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Exemples 1 Les fonctions polynˆmes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus o sont de classe C ∞ . 2 Soit f : R → R la fonction d´finie par e 1 t 2 sin t , t = 0, f (t) = 0, t = 0. • f est continue sur R, donc de classe C 0 . En effet f est continue sur R{0} car c’est le compos´ et le produit de fonctions continues. Il e reste ` verifier la continuit´ au point O. Pour t = 0 on a a e −t 2 ≤ f (t) ≤ t 2 donc le principe des gendarme implique lim f (t) = 0 = f (0), donc continue en 0. Ainsi f est continue sur R t→0 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 11 / 20
  • 12. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Exemples Soit f : R → R la fonction d´finie par e 1 t 2 sin t , t = 0, f (t) = 0, t = 0. • Montrons que f est d´rivable sur R. D´j` f est d´rivable sur R{0} car e ea e c’est le compos´ et le produit de fonctions d´rivables et pour tout e e t ∈ R{0} on a 1 1 f (t) = 2t sin − cos . t t Reste ` v´rifier la d´rivabilit´ de f en 0. a e e e f (t) − f (0) 1 lim = lim t sin = 0 = f (0). t→0 t −0 t→0 t t=0 t=0 Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 12 / 20
  • 13. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases e ee I. Calcul diff´rentiel dans R e Exemples Donc f est d´rivable si R et la fonction d´riv´e f : R → R est donn´e par e e e e 1 1 2t sin t − cos t , t = 0, f (t) = 0, t = 0. • Est ce que f est de classe C 1 sur R. On remarque que f est de classe C 1 sur R{0} car f (t) = 2t sin 1 − cos 1 est continue. Mais f n’est de t t classe C 1 sur R car f n’est pas continue en 0 puisque 1 lim cos t→0 t t=0 n’existe pas. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 13 / 20
  • 14. I.2. Extremums I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . 1 On dit que f admet un maximun (resp. minimum) en x0 si pour tout x ∈ Df : f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 )) 2 On dit que f admet un maximun strict (resp. minimum strict) en x0 si pour tout x ∈ Df , x = x0 : f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 )) Exemple 1 La fonction f :]0, 1] → R, f (x) = x admet un minimum en x0 = 1. En 1 effet, on a f (1) = 1 et pour tout x ∈]0, 1] on a f (x) = x ≥ 1 = f (1). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 14 / 20
  • 15. I.2. Extremums I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que f admet un maximun local (resp. minimum local) en x0 si il existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≤ f (x0 ) (resp. x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≥ f (x0 )) D´finition e Un extremum signifiera maximum ou minimum. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 15 / 20
  • 16. I.2. Extremums I. Calcul diff´rentiel dans R e D´finition e Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x0 est un point critique pour f si f est d´rivable en x0 et que f (x0 ) = 0. e Exemple 1 La f : R → R, f (x) = sin(x) est d´rivable sur R et que e f (x) = cos(x) pour tout x ∈ R. L’equation f (x0 ) = 0 ´quivalente ` e a cos(x0 ) = 0 ´quivalente ` x0 = (2k + 1) π avec k ∈ Z. Donc e a 2 l’ensemble des points critiques de f est {(2k + 1) π : k ∈ Z}. 2 3 2 La fonction f : R → R, f (x) = x3 − x est d´rivable sur R et que e f (x) = x 2 − 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est {−1, 1}. 3 3 La fonction f : R → R, f (x) = x3 + x est d´rivable sur R et que e f (x) = x 2 + 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est l’ensemble vide. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 16 / 20
  • 17. I.2. Extremums I. Calcul diff´rentiel dans R e Proposition Soient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extremum local en x0 alors x0 est un point critique de f . D´monstration: Supposons que f admet un maximun local en x0 . e • Si x < x0 alors on a f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ≥0 donc fg (x0 ) = lim ≥ 0. x − x0 x→x0 x − x0 x<x0 • Si x > x0 alors on a f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) ≤0 donc fd (x0 ) = lim ≤ 0. x − x0 x→x0 x − x0 x<x0 Donc en peut conclure que f (x0 ) = 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 17 / 20
  • 18. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e e II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e e Th´or`me de Rolle e e Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[ telle que e f (a) = f (b) = 0. Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0. Exemple 2 Soit f : [0, 1] → R, f (x) = e x − e x . On a f est continue sur [0, 1] et d´rivable sur ]0, 1[. De plus f (0) = f (1) = 0. Donc d’apr`s le Th´or`me de e e e e Rolle, il existe c ∈]0, 1[ tel que f (c) = 0. D’autre part, on a 2 f (x) = 2xe x − e x . Donc on a 2 2ce c − e c = 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 18 / 20
  • 19. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e e II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e e Th´or`me des accroissements finis e e Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors il existe e un c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). Proposition Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors e 1 f est constante si et seulement si f = 0. 2 f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si f ≥ 0 (resp. f > 0). 3 f est d´croissante (resp. strictement d´croissante) si et seulement si e e f ≤ 0 (resp. f < 0). Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 19 / 20
  • 20. II. 1 Th´or`me des accroissements finis e e II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor e e Exemple 1 Montrer que e x ≥ x + 1 pour tout x ≥ 0. En effet, on pose f : [0, +∞[→ R, f (x) = e x − (x + 1). On a f (0) = 0. De plus f est d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = e x − 1 ≥ 0 pour tout x ≥ 0. Donc f e est croissante. Ainsi x ≥ 0 impique f (x) ≥ f (0) = 0, d’o` u e x − (x + 1) ≥ 0 et donc e x ≥ x + 1. 2 Montrons que sin(x) ≤ x pour tout x ∈ [0, +∞[. En effet, on pose f : [0, +∞[→ R, f (x) = sin(x) − x. On a f (0) = 0. De plus f est d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = cos(x) − 1 ≤ 0. Donc f est e d´croissante. D’o` x ≥ 0 implique f (x) ≥ f (0) = 0, et ainsi e u sin(x) − x ≤ 0. Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel e 21 novembre 2012 20 / 20