Le document contient l'énoncé de l'épreuve de modélisation mathématiques.informatique pour la banque d'écoles Agro/Véto 2017. La correction se trouve sur le même site.
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M2i Webinar - « Participation Financière Obligatoire » et CPF : une opportuni...M2i Formation
Suite à l'entrée en vigueur de la « Participation Financière Obligatoire » le 2 mai dernier, les règles du jeu ont changé !
Pour les entreprises, cette révolution du dispositif est l'occasion de revoir sa stratégie de formation pour co-construire avec ses salariés un plan de formation alliant performance de l'organisation et engagement des équipes.
Au cours de ce webinar de 20 minutes, co-animé avec la Caisse des Dépôts et Consignations, découvrez tous les détails actualisés sur les dotations et les exonérations, les meilleures pratiques, et comment maximiser les avantages pour les entreprises et leurs salariés.
Au programme :
- Principe et détails de la « Participation Financière Obligatoire » entrée en vigueur
- La dotation : une opportunité à saisir pour co-construire sa stratégie de formation
- Mise en pratique : comment doter ?
- Quelles incidences pour les titulaires ?
Webinar exclusif animé à distance en coanimation avec la CDC
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 03-06-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
https://agriculture.wallonie.be/home/recherche-developpement/acteurs-du-developpement-et-de-la-vulgarisation/les-services-exterieurs-de-la-direction-de-la-recherche-et-du-developpement/newsletters-des-services-exterieurs-de-la-vulgarisation/newsletters-du-se-de-libramont.html
Bonne lecture et bienvenue aux activités proposées.
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Conseils pour Les Jeunes | Conseils de La Vie| Conseil de La JeunesseOscar Smith
Besoin des conseils pour les Jeunes ? Le document suivant est plein des conseils de la Vie ! C’est vraiment un document conseil de la jeunesse que tout jeune devrait consulter.
Voir version video:
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Aimeriez-vous donc…
-réussir quand on est jeune ?
-avoir de meilleurs conseils pour réussir jeune ?
- qu’on vous offre des conseils de la vie ?
Ce document est une ressource qui met en évidence deux obstacles qui empêchent les jeunes de mener une vie épanouie : l'inaction et le pessimisme.
1) Découvrez comment l'inaction, c'est-à-dire le fait de ne pas agir ou d'agir alors qu'on le devrait ou qu'on est censé le faire, est un obstacle à une vie épanouie ;
> Comment l'inaction affecte-t-elle l'avenir du jeune ? Que devraient plutôt faire les jeunes pour se racheter et récupérer ce qui leur appartient ? A découvrir dans le document ;
2) Le pessimisme, c'est douter de tout ! Les jeunes doutent que la génération plus âgée ne soit jamais orientée vers la bonne volonté. Les jeunes se sentent toujours mal à l'aise face à la ruse et la volonté politique de la génération plus âgée ! Cet état de doute extrême empêche les jeunes de découvrir les opportunités offertes par les politiques et les dispositifs en faveur de la jeunesse. Voulez-vous en savoir plus sur ces opportunités que la plupart des jeunes ne découvrent pas à cause de leur pessimisme ? Consultez cette ressource gratuite et profitez-en !
En rapport avec les " conseils pour les jeunes, " cette ressource peut aussi aider les internautes cherchant :
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Conseils pour Les Jeunes | Conseils de La Vie| Conseil de La Jeunesse
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1. Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
e
Prof. Said Hadd
21 novembre 2012
Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
e 21 novembre 2012 1 / 20
2. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
Soient I un intervalle de R et x0 ∈ I.
1 Une fonction f : I → R est dite d´rivable en x0 si la limite suivante
e
f (t) − f (x0 )
L = lim
t→x0 t − x0
t=x0
existe. On note L = f (x0 ) la d´riv´e de f au point x0 .
e e
2 On dit que f est d´rivable sur I si f est d´rivable en chaque point
e e
x0 ∈ I. Dans ce cas, on a d´finit une fonction
e
f : I → R, x → f (x).
Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
e 21 novembre 2012 2 / 20
3. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
Soit f : I → R une fonction d´rivable.
e
1 Si f est elle mˆme d´rivable, sa d´riv´e (f ) s’appelle la d´riv´e
e e e e e e
seconde et se note f ou f (2) .
2 On d´finie de mˆme la d´riv´e n-i`me (si elle existe, on la note f (2)
e e e e e
n
ou d f ).
dx n
3 On note
f (0) (x) = f (x), f (1) (x) = f (x), f (n+1) (x) = f (n) (x).
Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
e 21 novembre 2012 3 / 20
4. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Remarque
On aurait pu d´finir la d´riv´e d’une fonctions On d´finit la d´riv´e d’une
e e e e e e
fonction f au point x0 par:
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = lim .
h→0 h
h=0
Il suffit donc de faire le changement de variable
h = t − x0 .
donc t tend vers x0 ´quivalent ` dire que h tend vers 0.
e a
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e 21 novembre 2012 4 / 20
5. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Remarque
1 On d´finit la d´riv´e ` gauche d’une fonction f au point x0 par:
e e e a
f (t) − f (x0 )
fg (x0 ) = lim .
−
t→x0 t − x0
2 On d´finit la d´riv´e ` droit d’une fonction f au point x0 par:
e e e a
f (t) − f (x0 )
fd (x0 ) = lim+ .
t→x0 t − x0
Th´or`me
e e
Une fonction f est d´rivable en x0 si et seulement si elle est d´rivable `
e e a
gauche et ` droite de x0 et fg (x0 ) = fd (x0 ).
a
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e 21 novembre 2012 5 / 20
6. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors f est continue en x0
e
L’inverse de se r´sultat est faux en g´n´rale. En effet la fonction f (t) = |t|
e e e
est continue en 0, mais n’est pas d´rivable en 0.
e
Proposition
Si f est d´rivable en x0 alors on a
e
f (x0 + h) = f (x0 ) + f (x0 )h + ε(h)h avec lim ε(h) = 0.
h→0
Exemple
la fonction sinus est d´rivable en 0, sin(0) = 0 et sin (0) = cos(0) = 1,
e
donc sin(h) = h + ε(h)h. D’o` u
sin(h)
= 1 + ε(h) → 1, quand h → 0.
h
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e 21 novembre 2012 6 / 20
7. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Th´or`me
e e
Soient f et g deux fonctions d´rivables. Alors
e
1 f + g et fg sont d´rivables et on a
e
(f + g ) = f + g , (fg ) = f g + fg .
f
2
g et g ◦ f sont d´rivables l` o` elle sont d´finies et
e a u e
f f g − fg
= , (g ◦ f ) = f g ◦ f .
g g2
3 Si f −1 existe et si f (x0 ) = 0 alors f −1 est d´rivable en f (x0 ) et on a
e
1
(f −1 ) (f (x0 )) = .
f (x0 )
Prof. Said Hadd () Chapitre III: Calcul Diff´rentiel
e 21 novembre 2012 7 / 20
8. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Exemple 1
Par d´finition, la fonction logarithme est une fonction f :]0, +∞[→ R,
e
1
d´rivable telle que f (y ) = y , y ∈]0, +∞[. On note f (y ) = ln(y ). D’autre
e
part, ln(y ) est continue, strictement croissante, donc c’est une bijection.
Sa bijection r´ciproque est appell´e fonction exponentielle et sera not´e
e e e
exp : R →]0, +∞[. On a aussi
y = exp(x) ⇐⇒ x = ln(y ).
1
On a ln (y ) = y = 0 pour tout y > 0. Donc exp est d´rivable sur R et si
e
x = ln(y ) ∈ R
1 1
exp (x) = exp (ln(y )) = = 1 = y = exp(x).
ln (y ) y
On note aussi exp(x) = e x . Donc (e x ) = e x , ∀ x ∈ R.
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e 21 novembre 2012 8 / 20
9. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Exemple 2
La fonction sin : [− π , π ] → [−1, 1] est continue, strictement croissante.
2 2
Donc sin est bijective et on note sin−1 = arcsin : [−1, 1] → [− π , π ]. La
2 2
fonction arcsin est continue, croissante et on a
π π
y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y ), ∀ − ≤y ≤ .
2 2
On sait que sin est d´rivable et que sin (y ) = cos(y ). Donc sin (x) = 0
e
π π
pour tout y ∈] − 2 , 2 [. Donc arcsin est d´rivable sur ] − 1, 1[ et si
e
x = sin(y ) ∈] − 1, 1[
1 1 1
arcsin (x) = arcsin (sin(y )) = = =
sin (y ) cos(y ) 1 − sin2 (y )
1
=√ .
1 − x2
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e 21 novembre 2012 9 / 20
10. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
1 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 0 si f est continue.
2 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C 1 si f est d´rivable et
e
que f est continue.
3 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C n si f est n fois
d´rivable et que f (n) est continue.
e
4 Une fonction f :]a, b[→ R est dite de classe C ∞ si f poss´de des
e
d´riv´es continues ` tout ordre.
e e a
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e 21 novembre 2012 10 / 20
11. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Exemples
1 Les fonctions polynˆmes, exponentielles, logarithmes, sinus, cosinus
o
sont de classe C ∞ .
2 Soit f : R → R la fonction d´finie par
e
1
t 2 sin t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.
• f est continue sur R, donc de classe C 0 . En effet f est continue sur
R{0} car c’est le compos´ et le produit de fonctions continues. Il
e
reste ` verifier la continuit´ au point O. Pour t = 0 on a
a e
−t 2 ≤ f (t) ≤ t 2 donc le principe des gendarme implique
lim f (t) = 0 = f (0), donc continue en 0. Ainsi f est continue sur R
t→0
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e 21 novembre 2012 11 / 20
12. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Exemples
Soit f : R → R la fonction d´finie par
e
1
t 2 sin t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.
• Montrons que f est d´rivable sur R. D´j` f est d´rivable sur R{0} car
e ea e
c’est le compos´ et le produit de fonctions d´rivables et pour tout
e e
t ∈ R{0} on a
1 1
f (t) = 2t sin − cos .
t t
Reste ` v´rifier la d´rivabilit´ de f en 0.
a e e e
f (t) − f (0) 1
lim = lim t sin = 0 = f (0).
t→0 t −0 t→0 t
t=0 t=0
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e 21 novembre 2012 12 / 20
13. I.1. D´finitions et propri`t`s de bases
e ee
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Exemples
Donc f est d´rivable si R et la fonction d´riv´e f : R → R est donn´e par
e e e e
1 1
2t sin t − cos t , t = 0,
f (t) =
0, t = 0.
• Est ce que f est de classe C 1 sur R. On remarque que f est de classe C 1
sur R{0} car f (t) = 2t sin 1 − cos 1 est continue. Mais f n’est de
t t
classe C 1 sur R car f n’est pas continue en 0 puisque
1
lim cos
t→0 t
t=0
n’existe pas.
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e 21 novembre 2012 13 / 20
14. I.2. Extremums
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
1 On dit que f admet un maximun (resp. minimum) en x0 si pour
tout x ∈ Df :
f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x) ≥ f (x0 ))
2 On dit que f admet un maximun strict (resp. minimum strict) en
x0 si pour tout x ∈ Df , x = x0 :
f (x) < f (x0 ) (resp. f (x) > f (x0 ))
Exemple
1
La fonction f :]0, 1] → R, f (x) = x admet un minimum en x0 = 1. En
1
effet, on a f (1) = 1 et pour tout x ∈]0, 1] on a f (x) = x ≥ 1 = f (1).
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e 21 novembre 2012 14 / 20
15. I.2. Extremums
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df .
On dit que f admet un maximun local (resp. minimum local) en x0 si il
existe δ > 0 tel que pour tout x ∈ Df
x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≤ f (x0 )
(resp. x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ =⇒ f (x) ≥ f (x0 ))
D´finition
e
Un extremum signifiera maximum ou minimum.
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e 21 novembre 2012 15 / 20
16. I.2. Extremums
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
D´finition
e
Soit f : Df → R une fonction et x0 ∈ Df . On dit que x0 est un point
critique pour f si f est d´rivable en x0 et que f (x0 ) = 0.
e
Exemple
1 La f : R → R, f (x) = sin(x) est d´rivable sur R et que
e
f (x) = cos(x) pour tout x ∈ R. L’equation f (x0 ) = 0 ´quivalente `
e a
cos(x0 ) = 0 ´quivalente ` x0 = (2k + 1) π avec k ∈ Z. Donc
e a 2
l’ensemble des points critiques de f est {(2k + 1) π : k ∈ Z}.
2
3
2 La fonction f : R → R, f (x) = x3 − x est d´rivable sur R et que
e
f (x) = x 2 − 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est {−1, 1}.
3
3 La fonction f : R → R, f (x) = x3 + x est d´rivable sur R et que
e
f (x) = x 2 + 1. Donc l’ensemble des points critiques de f est
l’ensemble vide.
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e 21 novembre 2012 16 / 20
17. I.2. Extremums
I. Calcul diff´rentiel dans R
e
Proposition
Soient f :]a, b[→ R et x0 ∈]a, b[. Si f admet un extremum local en x0
alors x0 est un point critique de f .
D´monstration: Supposons que f admet un maximun local en x0 .
e
• Si x < x0 alors on a
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
≥0 donc fg (x0 ) = lim ≥ 0.
x − x0 x→x0 x − x0
x<x0
• Si x > x0 alors on a
f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
≤0 donc fd (x0 ) = lim ≤ 0.
x − x0 x→x0 x − x0
x<x0
Donc en peut conclure que f (x0 ) = 0.
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e 21 novembre 2012 17 / 20
18. II. 1 Th´or`me des accroissements finis
e e
II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
e e
Th´or`me de Rolle
e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[ telle que
e
f (a) = f (b) = 0. Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.
Exemple
2
Soit f : [0, 1] → R, f (x) = e x − e x . On a f est continue sur [0, 1] et
d´rivable sur ]0, 1[. De plus f (0) = f (1) = 0. Donc d’apr`s le Th´or`me de
e e e e
Rolle, il existe c ∈]0, 1[ tel que f (c) = 0. D’autre part, on a
2
f (x) = 2xe x − e x . Donc on a
2
2ce c − e c = 0.
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e 21 novembre 2012 18 / 20
19. II. 1 Th´or`me des accroissements finis
e e
II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
e e
Th´or`me des accroissements finis
e e
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors il existe
e
un c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
Proposition
Soit f : [a, b] → R continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[. Alors
e
1 f est constante si et seulement si f = 0.
2 f est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si
f ≥ 0 (resp. f > 0).
3 f est d´croissante (resp. strictement d´croissante) si et seulement si
e e
f ≤ 0 (resp. f < 0).
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e 21 novembre 2012 19 / 20
20. II. 1 Th´or`me des accroissements finis
e e
II. Th´or`me des accroissements finis et formules de Taylor
e e
Exemple
1 Montrer que e x ≥ x + 1 pour tout x ≥ 0. En effet, on pose
f : [0, +∞[→ R, f (x) = e x − (x + 1). On a f (0) = 0. De plus f est
d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = e x − 1 ≥ 0 pour tout x ≥ 0. Donc f
e
est croissante. Ainsi x ≥ 0 impique f (x) ≥ f (0) = 0, d’o`
u
e x − (x + 1) ≥ 0 et donc e x ≥ x + 1.
2 Montrons que sin(x) ≤ x pour tout x ∈ [0, +∞[. En effet, on pose
f : [0, +∞[→ R, f (x) = sin(x) − x. On a f (0) = 0. De plus f est
d´rivable sur [0, +∞[ et f (x) = cos(x) − 1 ≤ 0. Donc f est
e
d´croissante. D’o` x ≥ 0 implique f (x) ≥ f (0) = 0, et ainsi
e u
sin(x) − x ≤ 0.
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e 21 novembre 2012 20 / 20