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Cours et exercices logique mr djeddi kamel

Le document traite de la logique, définie comme la science de la raison et des règles régissant le raisonnement valide. Il retrace l'évolution de la logique depuis Aristote, en passant par la logique médiévale et la logique moderne, jusqu'à son application actuelle dans divers domaines tels que l'informatique et la philosophie. Enfin, il souligne l'importance croissante de la logique mathématique et ses fondements établis par des mathématiciens comme Frege et Hilbert.

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Logique melDjeddi ak Université d'Oum Elbouaghi Département de Mathématiques et Informatique Décembre 2014 E-mai:djeddi.kamel@gmail.com https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents https://www.slideshare.net/djeddikamel
1. I Qu’est ce que la logique ? Le mot «logique» provient du mot grec λo´γoς (logos). qui signifie «parole, discours», et par extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c’est la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas. La logique a ceci de particulier que l’on s’y intéresse aussi bien en mathématique pure qu’en philosophie. La logique au sens général repose sur l’examen critique de la méthodologie et de l’épistémologie. Pourtant, la logique au sens formel cherche à trouver de règles générales des raisonnements en s’appuyant sur leur forme plutôt que sur leur contenu. 2. logique Logique aristotélicienne L’étude systématique de la logique formelle fut commencée par Aristote (283-322 avant notre ère). Sa théorie (logique des termes) fut exposée dans un traité intitulé Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes. Selon Aristote, la logique était un instrument du savoir, mais pas le savoir lui même. Elle devrait donner des principes pour déterminer si un raisonnement est vrai ou faux. Il est évident que l’analyse des raisonnements nécessite l’emploi de mots, mais Aristote aperçus que la considération des mots (ou des symboles) n’était importante que au niveau d’application. Logique m´edievale La logique m´edieval (ou scholastique) est une continuation de la logique Aristot´elicienne, d´eveloppe´e en Europe m´edievale. Pendant cette p´eriode, la logique m´edieval s’inspira des philosophie islamique. Gottfried Wihleim Leibniz (1646-1716) propose un projet r´evolutionnel pour symboliser la logique. Ce projet consiste a` chercher une “caract´erisation universelle et artificielle” des raisonnements en les symbolisant, et à ´établir des m´ethodes automatisables de combiner ces symboles. Cependant, la r´evolution scientifique pendant cette p´eriode demande une profonde r´eforme de pens´ee sur le roˆle de la logique car la logique formelle devenait insuffisant comme un outil de source de savoir. Pendant le xviiième si`ecle apparaˆıt le calcul infinit´esimal qui permet d’´etablir le calcul diff´erentiel et le calcul int´egral. Le calcul infinit´esimal demande la notion de la limite qui ne pouvait ˆetre d´efinie que par une approche intuitive à l’´epoque. Or les r´esultats obtenus par cette approche ´etaient si puissants et importants que les math´ematiques ont quitt´e la logique formelle pour utiliser des outils intuitifs que la logique refuse. Logique moderne (math´ematique) C’est le debut du xixième si`ecle que les math´ematiciens commencaient a` ´etudier syst´ematiquement la logique. L’apparition des paradoxes demandait de r´esoudre les prob`eme de fondation des math´ematiques. De Morgan (1806-1976) et Boole (1815-1864) ont d´ecouvert l’existence de structures alg´ebriques permettant de d´efinir un “calcul de v´erit´e”. Mais cette th´eorie ne prend pas compte la notion de variable. Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 ntroduction H istoire de la 1
Frege publiait en 1879 le livre Begriffsschrift qui “libr´erait la logique d’une connexion artificielle avec les math´ematiques, tandis qu’en mˆeme temps il pr´eparait une interrelation plus profonde entre ces deux sciences” (J. Van Heijenoort). En 1900, David Hilbert a propos´e dans sa liste de 23 probl`emes non r´esolus des math´ematiques la coh´erence de l’arithm´etique comme le deuxi`eme probl`eme. Il a demand´e si la non- contradiction des axiomes de l’arithm´etique peut ˆetre d´emontrer par des moyens finitistes. Motiv´e par ce programme, nombreux r´esultats en logique sont obtenus pendant le d´ebut du xxième si`ecle parmi lequels on voudrais sousligner : 1) les axiomes de Peano pour l’arithm´etique, 2) les axiomes de Zermelo compl´et´es par Skolem et Frænkel pour la th´eorie des ensemble, 3) th´eorie des mod`eles, th´eor`eme de Lo¨wenheim-Skolem, 4) formalisation des math´ematiques propos´ee par Whitehead et Russell, 5) th´eor`eme de compl´etude du calcul des pr´edicats d´emontr´e par Go¨del. Malheuresement les deux th´eor`emes d’incompl´etude de Go¨del montrait l’impossibilit´e de r´ealiser le programme de Hilbert. Pendant les ann´ee 30 du xxe si`ecle, l’approche algorithmique de la logique a ´et´e d´ev´elopp´e par Turing, von Neumann, Church... etc. Du coˆt´e de la th´eorie de d´emonstration, Gentzen a d´emontr´e la coh´erence de l’arithm´etique de Peano en utilisant une induction jusqu’a` l’ordinal d´enombrable. Concernant la th´eorie des ensemble, Paul Cohen a d´emontr´e l’ind´ependance de l’hypoth`ese du continu en utilisant la m´ethode de forcing qui l’a permis de gagner un m´edaille de Fields (consid´er´e comme le prix de Nobel pour les math´ematiciens). On a aussi d´ecouvert le lien entre l’information et la logique par l’in- term´ediaire du lambda-calcul (la correspondance de Curry-Howard). Aujourd’hui, la logique math´ematique est un domain tr`es actif, qui trouve de plus en plus d’applications en informatique, en ing´enierie, en linguistique et bien sur, en philosophie. Dans les chapitres suivants, on introduit syst´ematiquement les notions ´el´ementaires de la logique math´ematique, notamment le calcul propostionnel et le calcul des pr´edicats. ÓØØ Ö Ï Ð ÑÄ Ò Þ ½ ½ ½ Ú Ò Ð³ ×ÝÑ ÓÐ × Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹ × Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÕÙ º Ù Ù×ØÙ× ÅÓÖ Ò ½ ¼ ½ ½ Ø ÓÖ ÓÓÐ ½ ½ ½ ÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ÔÖ ¹ Ñ Ö × Ð Ö × × ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ׺ ÎÓ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ×ØÖ Ø Ð³ Ð Ö ÓÓÐ º Ò Ø ÓÒ ½º A = (0, 1, ¬, ∧, ∨) ×Ø ÙÒ Ð Ö ÓÓÐ × ¬0 = 1 0 ∧ x = 0 0 ∨ x = x ¬1 = 0 1 ∧ x = x 1 ∨ x = 1 ¬¬x = x ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y x ∧ x = x x ∧ y = y ∧ x (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) x ∨ x = x x ∨ y = y ∨ x (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) x ∧ ¬x = 0 x ∨ ¬x = 1 2
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Université de Oum El Bouaghi Matière : Logique mathématique 2ième année Maths Responsable : Mr Djeddi kamel 2014/2015 Les paradoxes Définir le paradoxe Le paradoxe est une notion ambiguë en partie parce qu’elle repose étymologiquement sur une définition très large issue du terme grec para-doxos qui signifie « contre l’option » . On peut entendre par cette définition que le paradoxe fait référence à un énoncé ou à une croyance contraire à ce que l’on attend ou à l’opinion reçue. Cette définition première recouvre cependant des significations ayant trait à des situations très différents. Le paradoxe peut, en effet, naitre d’un raisonnement parfaitement construit mais qui aboutit à des conclusions erronées ou inadéquates, il peut également tenir d’un raisonnement ou comportement illogique « contraire à l’opinion commune » mais qui amène cependant à résoudre le problème ou à fournir la solution 1-Paradoxe de Russell (le problème de la notion de propriété ou d’ensemble) Première version (Russell) Appelons ‘prédicable’ la propriété qu’a une propriété de s’appliquer à elle-même. Par exemple, la propriété abstraite est abstraite, donc prédicable. Appelons ‘imprédicable’ la propriété de n’être pas prédicable. Ainsi rouge n’est pas rouge et donc imprédicable. On remarque alors que, paradoxalement, la propriété imprédicable est imprédicable ssi elle n’est pas imprédicable. Deuxième version (Russell) Soit R l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes. Alors R est membre de R ssi R n’est pas membre de R. En notation ensembliste ssi Troisième version (Gonseth) Le catalogue de tous les catalogues doit se mentionner lui-même. La plupart des autres catalogues ne se mentionnent pas eux-mêmes. Qu’en est-il du catalogue des catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ? Il a la propriété paradoxale de se mentionner lui- même ssi il ne se mentionne pas lui-même. Quatrième version (Russell) Le seul barbier d’un village rase toutes les personnes du village qui ne se rasent pas elles-mêmes. Qui rase le barbier ? 2-Paradoxe du coiffeur (barbershop paradox) un paralogisme présenté par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox, parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté d'appréhender l'implication logique. Présentation du paradoxe Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi 6
qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de Brown. Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde. Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte. Cependant, nous avons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps. Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles. C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc logiquement être présent. Fausseté du raisonnement Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, pour exemple, tout à fait compatible avec les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti. Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité. 3-Le paradoxe du menteur (le problème de la notion de vérité) Première version Épiménide le Crétois dit que les crétois sont des menteurs. Or, Épiménide est crétois. Donc s’il dit vrai, il ment. S’il ment, alors les crétois ne sont pas des menteurs, et donc il dit vrai. Cette forme du paradoxe contient une erreur de raisonnement qui disparaît dans les versions suivantes. Deuxième version La seule phrase dite par Paul le 1 janvier 2000 à 1 heure est : ‘Le 1 janvier 2000 à 1 heure, Paul ment.’ Cette phrase est vraie ssi elle ne l’est pas. Troisième version (Tarski) La phrase ‘il pleut’ est vraie ssi il pleut. En général, on a : “ est vraie ssi “. Lorsqu’on remplace les blancs par un énoncé. Donc, en particulier, ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Mais ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est précisément la phrase écrite à la page 17. On en déduit la conséquence paradoxale que la phrase écrite à la page 17 est vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Quatrième version Appelons ‘Sophie’ la phrase ‘Sophie n’est pas vraie’. Alors, Sophie est vraie ssi Sophie n’est pas vraie. La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Cinquième version (« Card paradox » de Philip Jourdain) On lit sur les deux faces d’une feuille de papier les inscriptions suivantes : –Recto– La phrase écrite au verso n’est pas vraie. –Verso– La phrase écrite au recto est vraie. 7
4-Le paradoxe de Richard Je vais définir un ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble , à l'aide des considérations suivantes: Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis à la suite les arrangements trois à trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements avec répétition. Quel que soit l’entier , tout arrangement des vingt-six lettres à se trouvera dans ce tableau, et, comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le mode de formation. La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des définitions de nombres. Soit le premier nombre défini par un arrangement, le second, le troisième, etc. On a ainsi, rangé dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l'aide d'un nombre fini de mots. Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un ensemble dénombrable. Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet ensemble. ((Soit , la è décimale du è nombre de l'ensemble ; formons un nombre ayant zéro pour partie entière et pour è décimale , si n'est égale ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le cas contraire.)) Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble . S'il était le è nombre de l'ensemble , son è chiffre serait le è chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas. Je nomme le groupe de lettres entre guillemets. Le nombre est défini par les mots du groupe , c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas. Telle est la contradiction. Notons, tout d'abord un fait généralement négligé, qui est que J. Richard oublie l'espace pour construire ses phrases. Les générations de lecteurs auront corrigé par eux-mêmes, ou, plus certainement, ce problème leur a paru tellement évident, une fois posé, que le texte proprement dit ne servait que d'étincelle, son détail concret importait peu et seul comptait le schéma général. Le procédé de démonstration, découvert par Cantor au siècle dernier, est nommé « diagonalisation » ou procédé diagonal. J. Richard poursuit son exposé en disant que cette contradiction n'est qu'apparente : dans la mesure ou le groupe n'a pas de sens avant que soit défini, il devrait donc, selon lui, être biffé. Nous reviendrons sur ce type de solution 8
Soit une propriété s'appliquant à des mots et soit le nom de cette propriété dans le langage . Nous définissons alors « hétérologique dans » de la façon suivante: (1) Définition.: est hétérologique dans si et seulement si n'a pas la propriété dans . Ainsi le mot français « monosyllabique, » par exemple, a quatre syllabes et donc n'est pas monosyllabique. Donc « monosyllabique, » en français, est hétérologique. Par contre, le mot « français » est lui-même français et donc n'est pas hétérologique en français. En vertu de cette définition la propriété nominale présumée a reçu le nom « hétérologique » en français. Cependant, pour éviter toute confusion entre le nom et le concept, je désignerai le mot « hétérologique » par la lettre . Substituons maintenant à dans la définition (1) ci- dessus la propriété d'hétérologie elle-même. Alors nous devons substituer à n et nous obtenons: (2) est hétérologique en français si et seulement si n'est pas hétérologique en français. C'est une contradiction manifeste. Théorème (Théorème de Löwenheim-Skolem) Si une théorie a un modèle, alors elle a un modèle (dont l’univers est) fini ou dénombrable. Démonstration Si une théorie a un modèle, elle est consistante, par le théorème de validité. Il suffit alors de remarquer que le modèle invoqué dans la démonstration du théorème de Henkin a pour univers un ensemble de termes et est donc fini ou dénombrable. 7-Le paradoxe de Skolem. D’après ce théorème, aucune théorie consistante ne peut contraindre ses modèles à être plus que dénombrables. Cependant il existe des théories consistantes qui disent que l’univers est infini non dénombrable. Donc, par le théorème de Löwenheim-Skolem, ces théories du non dénombrable ont un modèle dénombrable. Ce paradoxe a été extrait de son contexte logico-mathématique par Hilary Putnam (dans Models and Reality), qui — sous la forme des cerveaux dans une cuve (dans Reason, Truth and History) — en a fait l’argument majeur en faveur de son réalisme interne. Théorème (Théorème de compacité) Si toute partie finie d’une théorie a un modèle, alors elle a également un modèle. Démonstration En raison du théorème de Henkin, il suffit de montrer que la théorie est consistante, si toute partie finie est consistante. Cela est évident, par la définition de consistance 9 5-Le paradoxe de Grelling
Constituants de la logique des propositions A. Le Langage Un langage propositionnel est défini par : Définition : un alphabet : un ensemble de symboles des propositions Définition : (Négation) Enoncé non Notation : . 0 1 1 0 Définition : (Conjonction) Enoncé et Notation : 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ours : ------------------------------------------------------------------------------------C Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 Logique propositionnelle 10
Définition : (Disjonction) Enoncé ou Notation : 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Définition : (Implication) Enoncé implique , Notation : est vrai signifie qu’il est exclu que soit vrai sans que ne le soit. 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Définition : (Equivalence) Enoncé Equivalant (ou bien si et seulement si) , Notation : est vrai signifie est vrai. 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 11
. ¬0 est équivalente à 1 . ¬1 est équivalente à 0 . Les lois de Morgan : – ¬(p^q) est équivalente à ¬p˅¬q – ¬(p˅q) est équivalente à ¬p^¬q 7. 0 et l’élément absorbant de la conjonction : 0^p est équivalente à 0 8. 1 est l’élément absorbant de la disjonction : 1˅p est équivalente à 1 9. idempotence de la disjonction : p˅p est équivalente à p 10. idempotence de la conjonction : p^p est équivalente à p Notion de modèle: Terminologie : à partir de ces deux notions on pourra déduire les types des formules:  Frmule Satisfaisable ou Contingente : formule vraie pour au moins une valuation (c.à.d. Elle au moins un modèle).  Formule Insatisfaisable ou Contradiction : formule fausse pour toute valuation (c.à.d. qui n’a pas de modèle).  Tautologie : formule vraie pour toute valuation. On note |= ϕ pour dire que ϕ est une tautologie. Examinez la table suivante : p q (p q) ¬q (p ^ ¬q) (p→q)^ (p ^ ¬q) (q ˅¬q) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 12 Modèle On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule est vraie. Par exemple h= faux= vrai= fauxi est un modèle de (→ (∧ )).est une formule consistante. prédicats
On remarque que la formule « (q ˅ ¬q) » est vraie dans toutes les situations. De telles formules, qui vont elles aussi être utilisées pour les démonstrations, sont appelées des tautologies. De même, il existe des formules fausses dans toute situation, qu’on appellera contradictions (la formule « (p→q)^ (p ^ ¬q) »).  Les formules, dont la valeur de vérité dépend de la situation qui ne sont ni des tautologies ni des contradictions, seront dites contingentes. Selon notre exemple, on peut noter : |= (q ˅ ¬q). Pour l'abréviation, on nomme la formule (q ˅ ¬q) par et on écrit |= φ . Manipulation de formules table de vérité bien que pouvant être syntaxiquement différentes. Définition : Les formules ϕ et ψ sont équivalentes noté ψ ≡ ϕ ssi Mod(ψ) = Mod(ψ). ϕ. Informellement, deux propositions logiques A et B sont équivalentes logiquement ssi elles ont la même valeur de vérité pour toute valuattion. Exemple : ˅q) Remarque : Remplacer une sous-formule ψ d’une formule ϕ par une formule équivalente ψ′ donne une formule notée ϕ[ψ ← ψ′]. Cette substitution préserve les modèles, i.e. Mod(ϕ) = Mod(ϕ[ψ ← ψ′]). p (p p) p ￢p ˅ q 13 Les formules équivalentes sont des formules indistinguables par la sémantique, i.e. elles ont la même ￢￢p p ￢(p ˅ ￢p ˄ ￢q ￢(p ˄ ￢p ˅ ￢q p ˅ (q ˄ p ˅ q) ˄ (p ˅ r) (p ˅ q) ˄ r ˄ r ) ˅ (q ˄ r ) p → q ≡ ￢p ˅ q q devient q)^ (q q devient q) q) r) ( (p |= ¬(¬p ^ ¬q) (p La définition équivaut à |= ψ • • • • • • • •
érie 1 : Logique propositionnelle ------------------------------------------------------------------------------------S Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 Questions 2- Démontrer, sans tables de vérité ⇔ (p ⇔ q) ≡ q Soit V la constante "vrai" et F la constante "faux", vérifier également (sans tables de vérité) ⇒ F ≡ ¬p • V ⇒ p ≡ p Exercice 2 Exercice Exercice Soit la formule P dénie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ∨ ¬p). 1. Donner la table de vérité de la formule P. 2. Dire si la formule est valide, satisable, insatisable ? 3. La formule P a-t-elle un modèle ? si oui lequel ? 4. Donner la forme normale conjonctive et la forme normale disjonctive de la formule P. Donné le table de vérité de Montrer que 1. est une tautologie Exercice 1 3. 4. , que : p Enigme. Trois collègues, Ahmed, Ali et Mostafa déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Les affirmations suivantes sont vraies: 1. Si Ahmed commande un dessert, Ali en commande un aussi. 2. Chaque jour, soit Ali, soit Mostafa, mais pas les deux, commandent un dessert. 3. Ahmed ou Mostafa, ou les deux, commandent chaque jour un dessert. 4. Si Mostafa commande un dessert, Ahmed fait de même. 1. Exprimer les données du problème comme des formules propositionnelles 2. Que peut-on en déduire sur qui commande un dessert? 3. Pouvait-on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre affirmations? • p 14
1. Introduction : limite de la logique des propositions L’une des limites les plus importantes de la logique des propositions est qu’elle ne peut pas analyser certaines propositions. Dans l'exemple 1 la logique des propositions permet de voir la première proposition comme formée au moyen de plusieurs propositions. Par contre dans l'exemple 2, il y a quatre propositions qui sont toutes différentes Exemple 1 : Si Mohammed est malade, il ne sort pas P--¬Q Mohammed est malade P ------------------------ ---------- Mohammed ne sort pas ¬Q Si un homme est malade, il ne sort pas P--¬Q Mohammed est malade R ------------------------ --------- Mohammed ne sort pas ¬Q' La logique des prédicats vient pour pallier ces limites. 2 Structure Pour écrire un énoncé en logique du premier ordre, nous allons utiliser un ensemble de symboles plus riche qu’en logique des propositions. On se donne : – un ensemble (dénombrable) de constantes {a, b, c, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de variables {x, y, z, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de fonctions {f, g, h, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de prédicats, ou relations {P, Q, . . .} ; – des connecteurs logiques, {¬, ∧, ∨, →, . . .}, ainsi que les parenthèses ‘(’ et ‘)’ ; – les quantificateurs universel ∀ et existentiel ∃ (voir plus loin). Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 ours: C------------------------------------------------------------------------------------ prédicatsLogique d'orde 1 et des Exemple 2 : 15
2.1.Termes Un terme est une expression logique qui renvoie à un objet. Les cons- tantes, comme «Mostafa» ou « sociologie », ainsi que les variables, sont des termes. Un terme composé est construit à l’aide d’une fonction, par exemple « père(Mostafa) » ou « cours(IA) ». 2..2 Formules Une formule en logique des prédicats se construit similairement à une formule en logique des propositions. En fait un prédicat va jouer un rôle analogue à une proposition. On doit en plus prendre en compte les quanti- fications : 1. P(x1, . . . , xn) est une formule atomique ; 2. t1 = t2 est une formule atomique4 ; 3. si F est une formule, alors ¬F est une formule ; 4. si F et G sont des formules, alors (F ∧G), (F ∨G), (F → G) , etc. sont des formules ; 5. si F est une formule et x une variable, alors ∀x.F et ∃x.F sont des formules. Exemple 3 : propositionnel pour représenter Mohammed Est Ami De Ahme une relation qui porte sur deux arguments · ami s'appelle un prédicat · x et y sont des variables. quelconques x et y, ce que l’on note ami(x, y). Prédicats Considérons tout d’abord des phrases qui ont clairement une structure sujet/prédicat Omar est un homme Socrate est mortel. H(O) . M(s) Si on met que H désigne être un homme et O =omar · · Quantificateurs t s'écrire x E(x), mais aussi rien n’est mortel,Par exemple tout est mortel, qui pourrai qu’on pourrait écrire x ¬E(x). Un autre quantificateur qu’on appelle quantificateur existentiel. On le note $, représenter assez naturellement une phrase comme il a des choses mortels : $ x E(x) “Il existe x tel que E(x)”. ,(FÛ G) et il permet de 16
Liens entre ∀ et ∃ On a les lois de Morgan pour les quantificateurs : ¬∀x.F ≡ ∃x.¬F ¬∃x.F ≡ ∀x.¬F ∀x.F ≡ ¬∃x.¬F ∃x.F ≡ ¬∀x.¬F Remarque On traduit couramment certaines expressions en logique du premier ordre : – « Tous les A sont B. » : ∀x.(A(x) → B(x)) – « Seuls les A sont B. » : ∀x.(B(x) → A(x)) – « Aucun A n’est B. » : ∀x.(A(x) → ¬B(x)) – « Quelques A sont B. » : ∃x.(A(x) ∧ B(x)) Carr´e d’Aristote (1) L’introduction d’un quantificateur permet d’exprimer diverses propositions que nous appellerons quantifi´ees. Par exemple tout est ´eph´em`ere, qui pourrait s’´ecrire ∀xE(x), mais aussi rien n’est ´eph´em`ere, qu’on pourrait ´ecrire ∀x¬E(x). La tradition fr´eg´eenne introduit un second quantificateur, qui n’est pas `a proprement parler indispensable (il est d´efinissable au moyen de l’universel), qu’on appelle quantifica- teur existentiel. On le note ∃, et il permet de repr´esenter assez naturellement une phrase comme il a des choses ´eph´em`eres : ∃xE(x) “Il existe x tel que E(x)”. La relation entre les deux quantificateurs est assez facile `a voir si on consid`ere, par exemple, que rien n’est ´eph´em`ere (∀x¬E(x)) peut aussi se dire il n’existe pas de chose ´eph´em`ere (¬∃xE(x)). Cette ´equivalence est souvent illustr´ee sous la forme du fameux carr´e d’opposition (qui remonte `a Aristote), qui permet de faire apparaˆıtre clairement les interpr´etations des quantificateurs (cf. figure.1). Tout est ´eph´em`ere ∀xE(x) ¬∃x¬E(x) Rien n’est ´eph´em`ere ∀x¬E(x) ¬∃xE(x) Certaines choses sont ´eph´em`eres ∃xE(x) ¬∀x¬E(x) Certaines choses ne sont pas ´eph´em`eres ∃x¬E(x) ¬∀xE(x)                             d d d d d d d d d d d d d dd E E contradictoire contradictoire contraire subcontraire subalterne subalterne Fig. Ce carr´e d’opposition, tr`es utile pour repr´esenter de fa¸con synth´etique l’interpr´etation .1 – Carr´e d’Aristote, quantification non restreinte 17
Carr´e d’Aristote (2) On peut proposer maintenant une nouvelle version du carr´e d’Aristote, avec des phrases quantificationnelles dans lesquels on distingue une restriction et une port´ee : voir figure.2. Tous les profs sont gentils ∀x(P (x) → G(x)) ¬∃x(P (x) ∧ ¬G(x)) Aucun prof n’est gentil ∀x(P (x) → ¬G(x)) ¬∃x(P (x) ∧ G(x)) Certains profs sont gentils ∃x(P (x) ∧ G(x)) ¬∀x(P (x) ∧ ¬G(x)) Il y a des profs pas gentils ∃x(P (x) ∧ ¬G(x)) ¬∀x(P (x) ∧ G(x))                             d d d d d d d d d d d d d dd E E contradictoire contradictoire contraire subcontraire subalterne subalterne Fig. .2 – Carr´e d’Aristote, quantification restreinte Le rapport entre les formules universelles et existentielles quand elles sont quantifi´ees peut maintenant ˆetre ´etudi´e. D´efinition 1 (i) Si A est un nom de pr´edicat du vocabulaire de L, et chacun des t1...tn une constante ou une variable du vocabulaire de L, alors A(t1, ..., tn) est une formule. (ii) Si ϕ est une formule dans L, alors ¬ϕ l’est aussi. (iii) Si ϕ et ψ sont des formules dans L, alors (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), et (ϕ ↔ ψ) sont des formules de L. (iv) Si ϕ est une formule et x une variable, alors ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules de L. (v) Rien d’autre n’est une formule On peut, comme pr´ec´edemment, (1) laisser tomber les parenth`eses externes, (2) d´ecom- poser une formule de mani`ere unique en un arbre, toutes les sous-formules d’une formule apparaissant dans l’arbre. D´efinition 2 Si ∀xψ est une sous-formule de ϕ, alors ψ est appel´e la port´ee de cette occurrence du quantificateur ∀x dans ϕ. Mˆeme d´efinition pour ∃x. Exemple : ∃y(∀z(∃wA(z, w) → A(y, z)) ∧ A(x, y)) Il faut distinguer les diff´erentes occur- rences d’un quantificateur : (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)). Portée d'un quantificateur Dans les formules (x A) et ($x A), A est appelé la portée du quantificateur. 18
D´efinition 3 (a) Une occurrence d’une variable x dans la formule φ (qui n’est pas une partie d’un quantificateur) est dite libre si cette occurrence de x ne tombe pas dans la port´ee d’un quantificateur ∀x ou ∃x apparaissant dans φ. (b) Si ∀xψ (ou ∃xψ) est une sous-formule de φ et x est libre dans ψ, alors cette occurrence de x est dite li´ee par le quantificateur ∀x (ou ∃x). Cons´equence : toute variable est soit libre, soit li´ee par un quantificateur (et un seul). Noter que dans ∀x(A(x) ∧ ∃xB(x)) les deux occurrences de x ficateurs diff´erents. Pour ´eviter les confusions, on renommera les variables (muettes). Noter aussi que dans ∀xA(y), le quantificateur ne lie aucune variable. Une phrase est une formule sans variable libre. ∀xA(y) n’est pas une phrase, par exemple. Une formule avec des variables libres est appel´ee fonction propositionnelle : P(x) → G(x) est une fonction de l’ensemble des constantes vers les propositions. Notation : [j/x](P(x) → G(x)) a les mˆemes conditions de v´erit´es que P(j) → G(j) (N.B. : on ne remplace que les occurrences libres : [c/x](∀xA(x, x)) reste inchang´e). Une occurrence d'une variable est libre si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur. Sinon elle est liée. Exemples : Dans y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) la première occurrence de x est libre, tandis que la deuxième occurrence est liée. L'occurrence de y est liée. · Formule fermée, formule ouverte Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est ouverte. Exemples : La formule A = y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est ouverte, car il y a une occurrence de variable libre. La formule B = x y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est fermée (c'est la fermeture universelle de A). La formule $x $y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est également fermée (c'est la fermeture existentielle de A). D´efinition 4 19
La formule sous forme prénexe est équivalente logiquement à la formule initiale. Les formules suivantes sont en forme prénexe : Ø (x F) º ($x (ØF)) et Ø ($x F) º (x (ØF)) Pour se faire, on emploie les équivalences suivantes : · Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification existentielle sur la disjonction :Pour toutes formules F et G et pour toute variable x, on a : · ((x F) Ù (x G)) º (x(F Ù G)) · (($x F) Ú ($x G)) º ($x (F Ú G)) · considérons x une variable qui n’apparaisse pas dans G, nous avons les équivalence suivantes: · ((x F) Ù G) º (x(F Ù G)) · (($x F) Ù G) º ($x (F Ù G)) · ((x F) Ú G) º (x(F Ú G)) · (($x F) Ú G) º ($x (F Ú G)) · ((x F) à G) º($x(F à G)) · (($x F) - G) º (x (F à G)) · (G à (x F)) º (x (G à F)) · (G à ($x F)) º ($x (G à F)) Exemple: ((x($y F(x,y))) ) ®(x($y G(x,y)))) devient successivement: 20

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Cours et exercices logique mr djeddi kamel

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    Logique melDjeddi ak Université d'OumElbouaghi Département de Mathématiques et Informatique Décembre 2014 E-mai:djeddi.kamel@gmail.com https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents https://www.slideshare.net/djeddikamel
  • 3.
    1. I Qu’est ceque la logique ? Le mot «logique» provient du mot grec λo´γoς (logos). qui signifie «parole, discours», et par extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c’est la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas. La logique a ceci de particulier que l’on s’y intéresse aussi bien en mathématique pure qu’en philosophie. La logique au sens général repose sur l’examen critique de la méthodologie et de l’épistémologie. Pourtant, la logique au sens formel cherche à trouver de règles générales des raisonnements en s’appuyant sur leur forme plutôt que sur leur contenu. 2. logique Logique aristotélicienne L’étude systématique de la logique formelle fut commencée par Aristote (283-322 avant notre ère). Sa théorie (logique des termes) fut exposée dans un traité intitulé Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes. Selon Aristote, la logique était un instrument du savoir, mais pas le savoir lui même. Elle devrait donner des principes pour déterminer si un raisonnement est vrai ou faux. Il est évident que l’analyse des raisonnements nécessite l’emploi de mots, mais Aristote aperçus que la considération des mots (ou des symboles) n’était importante que au niveau d’application. Logique m´edievale La logique m´edieval (ou scholastique) est une continuation de la logique Aristot´elicienne, d´eveloppe´e en Europe m´edievale. Pendant cette p´eriode, la logique m´edieval s’inspira des philosophie islamique. Gottfried Wihleim Leibniz (1646-1716) propose un projet r´evolutionnel pour symboliser la logique. Ce projet consiste a` chercher une “caract´erisation universelle et artificielle” des raisonnements en les symbolisant, et à ´établir des m´ethodes automatisables de combiner ces symboles. Cependant, la r´evolution scientifique pendant cette p´eriode demande une profonde r´eforme de pens´ee sur le roˆle de la logique car la logique formelle devenait insuffisant comme un outil de source de savoir. Pendant le xviiième si`ecle apparaˆıt le calcul infinit´esimal qui permet d’´etablir le calcul diff´erentiel et le calcul int´egral. Le calcul infinit´esimal demande la notion de la limite qui ne pouvait ˆetre d´efinie que par une approche intuitive à l’´epoque. Or les r´esultats obtenus par cette approche ´etaient si puissants et importants que les math´ematiques ont quitt´e la logique formelle pour utiliser des outils intuitifs que la logique refuse. Logique moderne (math´ematique) C’est le debut du xixième si`ecle que les math´ematiciens commencaient a` ´etudier syst´ematiquement la logique. L’apparition des paradoxes demandait de r´esoudre les prob`eme de fondation des math´ematiques. De Morgan (1806-1976) et Boole (1815-1864) ont d´ecouvert l’existence de structures alg´ebriques permettant de d´efinir un “calcul de v´erit´e”. Mais cette th´eorie ne prend pas compte la notion de variable. Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 ntroduction H istoire de la 1
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    Frege publiait en1879 le livre Begriffsschrift qui “libr´erait la logique d’une connexion artificielle avec les math´ematiques, tandis qu’en mˆeme temps il pr´eparait une interrelation plus profonde entre ces deux sciences” (J. Van Heijenoort). En 1900, David Hilbert a propos´e dans sa liste de 23 probl`emes non r´esolus des math´ematiques la coh´erence de l’arithm´etique comme le deuxi`eme probl`eme. Il a demand´e si la non- contradiction des axiomes de l’arithm´etique peut ˆetre d´emontrer par des moyens finitistes. Motiv´e par ce programme, nombreux r´esultats en logique sont obtenus pendant le d´ebut du xxième si`ecle parmi lequels on voudrais sousligner : 1) les axiomes de Peano pour l’arithm´etique, 2) les axiomes de Zermelo compl´et´es par Skolem et Frænkel pour la th´eorie des ensemble, 3) th´eorie des mod`eles, th´eor`eme de Lo¨wenheim-Skolem, 4) formalisation des math´ematiques propos´ee par Whitehead et Russell, 5) th´eor`eme de compl´etude du calcul des pr´edicats d´emontr´e par Go¨del. Malheuresement les deux th´eor`emes d’incompl´etude de Go¨del montrait l’impossibilit´e de r´ealiser le programme de Hilbert. Pendant les ann´ee 30 du xxe si`ecle, l’approche algorithmique de la logique a ´et´e d´ev´elopp´e par Turing, von Neumann, Church... etc. Du coˆt´e de la th´eorie de d´emonstration, Gentzen a d´emontr´e la coh´erence de l’arithm´etique de Peano en utilisant une induction jusqu’a` l’ordinal d´enombrable. Concernant la th´eorie des ensemble, Paul Cohen a d´emontr´e l’ind´ependance de l’hypoth`ese du continu en utilisant la m´ethode de forcing qui l’a permis de gagner un m´edaille de Fields (consid´er´e comme le prix de Nobel pour les math´ematiciens). On a aussi d´ecouvert le lien entre l’information et la logique par l’in- term´ediaire du lambda-calcul (la correspondance de Curry-Howard). Aujourd’hui, la logique math´ematique est un domain tr`es actif, qui trouve de plus en plus d’applications en informatique, en ing´enierie, en linguistique et bien sur, en philosophie. Dans les chapitres suivants, on introduit syst´ematiquement les notions ´el´ementaires de la logique math´ematique, notamment le calcul propostionnel et le calcul des pr´edicats. ÓØØ Ö Ï Ð ÑÄ Ò Þ ½ ½ ½ Ú Ò Ð³ ×ÝÑ ÓÐ × Ø ÓÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹ × Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÕÙ º Ù Ù×ØÙ× ÅÓÖ Ò ½ ¼ ½ ½ Ø ÓÖ ÓÓÐ ½ ½ ½ ÓÒØ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ÔÖ ¹ Ñ Ö × Ð Ö × × ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ׺ ÎÓ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ×ØÖ Ø Ð³ Ð Ö ÓÓÐ º Ò Ø ÓÒ ½º A = (0, 1, ¬, ∧, ∨) ×Ø ÙÒ Ð Ö ÓÓÐ × ¬0 = 1 0 ∧ x = 0 0 ∨ x = x ¬1 = 0 1 ∧ x = x 1 ∨ x = 1 ¬¬x = x ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y x ∧ x = x x ∧ y = y ∧ x (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) x ∨ x = x x ∨ y = y ∨ x (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) x ∧ ¬x = 0 x ∨ ¬x = 1 2
  • 5.
    ÀÙ Å ÓÐн ¿ Ò Ø Ð ×ÝÒØ Ü Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐÐ Lp º ÓØØÐÓ Ö ½ ½ ¾ ×Ø Ð Ö Ø ÙÖ Ð ÐÓ ÕÙ ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò º ÁÐ Ø Ø Ð ÔÖ Ñ Ö ÙØ Ð × Ö Ð × Ø Ð × Ú Ö Ø ÔÓÙÖ Ð ÙÐ Ö Ð × Ú Ð ÙÖ× × ÓÖÑÙÐ × ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐР׺ ÖÐ × Ë Ò Ö× È Ö ½ ¿ ½ ½ Ò Ð × Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒÒ ÐÐ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð × Ø Ð × Ú Ö Ø º Ò× ×ÓÒ ÖØ Ð Ö × Ö Ø ½ ¸ ÓØØÐÓ Ö ÒØÖÓ Ù Ø Ð Ð Ò Ù Ð ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø× L Ø ÙØ Ð × Ð × ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ× ´ÔÐÙ× Ø Ö Ø Ò Ô Ò ÑÑ ÒØ Ð Ñ Ñ Ø Ø Ô Ö º È Ö µº Ö Ú Ò Ð³ ³ÙÒ ×Ý×Ø Ñ ÓÖÑ Ð ´ × Ü ÓÑ × Ø × Ö Ð × ÓÖÑ ÐÐ × ÔÓÙÖ Ù Ö Ð × ÓÖÑÙÐ × Ú Ð ×µ ½ º ØØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÔÔÖ × ÙÐ Ñ ÒØ Ù ÙØ Ù XXe × Ð º Ù × ÔÔ È ÒÓ ½ ½ ¿¾ ÒØÖÓ Ù Ø Ð × ×Ý×Ø Ñ × Ü ÓÑ Ø Õ٠׺ ij ³ÙÒ Ü ÓÑ ×Ø Ù Ù ÓÑ ØÖ Ö Ù Ð º Ù Ð ¼ ¿ ¼ Ú ÒØ Â º Ò× ×ÓÒ ÙÚÖ Ä × Ð Ñ ÒØ× Ù Ð ØÖ Ø Ð ÔÓ×ØÙÐ Ø ´ Ü ÓÑ µ ³ÙÒ Ø ³ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓÔÓ× Ø ÓÒ ÓÒØ Ð Ú Ö Ø ×Ø Ú ÒØ Ø ÕÙ ×Ø ÙØ Ð × ÔÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö × Ø ÓÖ Ñ ×º Ü ÓÑ Ø × Ø ÓÒ Ò ½ ¾ Ð ÓÑ ØÖ × Ò× ÔÓ×ØÙÐ Ø ³ÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ô Ö Æº ÄÓ Ø¹ Ú× ½ ¾ ½ ¸ Ø ÔÐÙ× Ø Ö Ô Ö Âº ÓÐÝ ½ ¼¾ ½ ¼ Ø Ô Ö Ãº Ù×× ½ ½ Ò Ð × Ò× Ù ÓÒ ÔØ ³ Ü ÓÑ ×ÓÖÑ × Ð× ×ÓÒØ ÚÙ× × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑÑ × ÔÖÓÔÓ¹ × Ø ÓÒ× ÔÖ × × ÔÓÙÖ ÔÖ Ñ ×× × ´× Ò× Ù ÙÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð ÙÖ Ú Ð Ø µº ÈÓÙÖØ Òظ ÔÓÙÖ ××ÙÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ø ÓÖ Ü ÓÑ Ø ÕÙ Th(A) ×Ø Ó Ö ÒØ Ð ×Ù Ø ³ Ò ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓ Ð M |= A Ô Ö Õ٠׳ Ð Ü ×Ø Ø ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ φ, ¬φ ∈ Th(A), ÐÓÖ× ÐÐ Ü ×Ø Ö Ø Ò× Ð ÑÓ Ð M ÐÙ ¹Ñ Ñ M |= φ, ¬φ. ³ ×Ø Ò ØÖÓÙÚ ÒØ ÙÒ ÑÓ Ð ÕÙ Ò Ñ Ñ ÒØ º ÃÐ Ò ½ ½ ¾ Ø Àº ÈÓ Ò Ö ½ ½ ½¾ ÓÒØ ÔÖÓÙÚ Ð Ó Ö Ò Ð ÓÑ ØÖ ÄÓ Ø Ú× º Ò× ×ÓÒ ÙÚÖ ÖÙÒ Ð Ò Ò Ö Ø Ñ Ø ½ ¿ ¸ ÓØØÐÓ Ö ÜÔÓ× ×ÓÒ ÔÖÓ¹ Ö ÑÑ ÓÖÑ Ð × Ø ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò ÙØ Ð × ÒØ × ÐÓ ÕÙ × ÔÖ Ø× Ø ×ÓÒ ×Ý×Ø Ñ Ù Ø Ö × Ö Øº Å × ÖØÖ Ò ÊÙ×× Ð ½ ¾ ½ ¼ ÓÙÚÖ ÙÒ Ô Ö ÓÜ Ò× ÔÖÓ Ö ÑÑ º Ä × Ô Ö ÓÜ × Ò ÓÖÑ Ð× ×ÓÒØ ÓÒÒÙ× ÔÙ × Ð IV e × Ð Ú ÒØ Âº º Ô Ñ Ò Ó× ´ÙÒ ÔÓ Ø Ö ØÓ ×µ ÌÓÙ× Ð × Ö ØÓ × ×ÓÒØ Ñ ÒØ ÙÖ× º Ø ÒÓÒ Ò Ô ÙØ ØÖ Ò ÚÖ ¸ Ò Ùܸ Ñ Ñ ÕÙ ÐÙ ¹ Ä Ô Ö × ÕÙ Ð × Ø Ò×Ø ÒØ ×Ø Ù×× º 3
  • 6.
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  • 7.
    ÔÖ Ò ÖÐ × Ö ×ÕÙ × ³ÙØ Ð × Ö ÙÒ Ø ÓÖ ÒÓÒ¹ ÓÒ Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ò º È Ö Ü ÑÔÐ ¸ Ö Ö ÒØÞ Ò ½ ¿ Ò Ð Ñ ÒØ ÔÖÓÙÚ Ð Ó Ö Ò Ð³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ S, Ñ × Ò ÙØ Ð × ÒØ ÙÒ Ñ Ø ¹Ø ÓÖ ÔÐÙ× ÓÖØ ¸ ÕÙ ÙØ Ð × Ð³ Ò Ù Ø ÓÒ ØÖ Ò× Ò º ØØ ÖÒ Ö Ó Ø ØÖ ÓÒ ×ÓÒ ØÓÙÖº ÍÒ ÑÓÝ Ò Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ø ¹Ø ÓÖ × ØÓÙ ÓÙÖ× ÔÐÙ× ÜÔÖ ×× Ú × ×Ø ³ Ø Ð Ö ÙÒ Ð ×× Ñ ÒØ × ÓÖÑÙÐ × Ô Ö Ð ÙÖ× ØÝÔ × Ø Ö Ö Ð × ÔÖÓÔÖ Ø × × ÓÖÑÙÐ × ³ÙÒ ØÝÔ τ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð × ÓÖÑÙÐ × × ØÝÔ × ×ÙÔ Ö ÙÖ τ. ØØ ÔÔÖÓ ¸ ÓÒØ Ð³ Ø ÔÖÓ¹ ÔÓ× Ô Ö º Ï Ø Ø º ÊÙ×× Ð Ò× ÈÖ Ò Ô Å Ø Ñ Ø ¸ Ü ÐÙØ Ð × Ô Ö ÓÜ ×º Ä ÙÜ Ñ Ð ÓÒ × Ö ×ÙÐØ Ø× Ð ÔÖÓÚ ÒØ × ÑÓÝ Ò× Ø Ò ÕÙ × ÕÙ³ Ð ÙØ Ð × Ò× Ð × ÔÖ ÙÚ × × × Ø ÓÖ Ñ ×º Ò Ø¸ Ð ÓÒÒ ÙÒ Ò Ø ÓÒ × ÓÒ Ø ÓÒ× Ö Ø Ñ ¹ Ø ÕÙ × ÓÒØ ÙÒ Ð ÙÐ ×Ø ÜÔÖ Ñ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ØØ Ñ Ò Ò× Ð × ÒÒ × ¼ ÐÓÒ×Ó ÙÖ ¸ ËØ Ô Ò ÓÐ ÃÐ Ò Ø Ð Ò ÌÙÖ Ò ÙÜ Ò Ø ÓÒ× Ö ÒØ × Ñ × ÕÙ Ú Ð ÒØ × × ÓÒ Ø ÓÒ× Ð ÙÐ Ð × ´ Ø × Ö ÙÖ× Ú ×µº 5
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    Université de OumEl Bouaghi Matière : Logique mathématique 2ième année Maths Responsable : Mr Djeddi kamel 2014/2015 Les paradoxes Définir le paradoxe Le paradoxe est une notion ambiguë en partie parce qu’elle repose étymologiquement sur une définition très large issue du terme grec para-doxos qui signifie « contre l’option » . On peut entendre par cette définition que le paradoxe fait référence à un énoncé ou à une croyance contraire à ce que l’on attend ou à l’opinion reçue. Cette définition première recouvre cependant des significations ayant trait à des situations très différents. Le paradoxe peut, en effet, naitre d’un raisonnement parfaitement construit mais qui aboutit à des conclusions erronées ou inadéquates, il peut également tenir d’un raisonnement ou comportement illogique « contraire à l’opinion commune » mais qui amène cependant à résoudre le problème ou à fournir la solution 1-Paradoxe de Russell (le problème de la notion de propriété ou d’ensemble) Première version (Russell) Appelons ‘prédicable’ la propriété qu’a une propriété de s’appliquer à elle-même. Par exemple, la propriété abstraite est abstraite, donc prédicable. Appelons ‘imprédicable’ la propriété de n’être pas prédicable. Ainsi rouge n’est pas rouge et donc imprédicable. On remarque alors que, paradoxalement, la propriété imprédicable est imprédicable ssi elle n’est pas imprédicable. Deuxième version (Russell) Soit R l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes. Alors R est membre de R ssi R n’est pas membre de R. En notation ensembliste ssi Troisième version (Gonseth) Le catalogue de tous les catalogues doit se mentionner lui-même. La plupart des autres catalogues ne se mentionnent pas eux-mêmes. Qu’en est-il du catalogue des catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ? Il a la propriété paradoxale de se mentionner lui- même ssi il ne se mentionne pas lui-même. Quatrième version (Russell) Le seul barbier d’un village rase toutes les personnes du village qui ne se rasent pas elles-mêmes. Qui rase le barbier ? 2-Paradoxe du coiffeur (barbershop paradox) un paralogisme présenté par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox, parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté d'appréhender l'implication logique. Présentation du paradoxe Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi 6
  • 9.
    qu'Allen est unhomme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de Brown. Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde. Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte. Cependant, nous avons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps. Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles. C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc logiquement être présent. Fausseté du raisonnement Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, pour exemple, tout à fait compatible avec les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti. Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité. 3-Le paradoxe du menteur (le problème de la notion de vérité) Première version Épiménide le Crétois dit que les crétois sont des menteurs. Or, Épiménide est crétois. Donc s’il dit vrai, il ment. S’il ment, alors les crétois ne sont pas des menteurs, et donc il dit vrai. Cette forme du paradoxe contient une erreur de raisonnement qui disparaît dans les versions suivantes. Deuxième version La seule phrase dite par Paul le 1 janvier 2000 à 1 heure est : ‘Le 1 janvier 2000 à 1 heure, Paul ment.’ Cette phrase est vraie ssi elle ne l’est pas. Troisième version (Tarski) La phrase ‘il pleut’ est vraie ssi il pleut. En général, on a : “ est vraie ssi “. Lorsqu’on remplace les blancs par un énoncé. Donc, en particulier, ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Mais ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est précisément la phrase écrite à la page 17. On en déduit la conséquence paradoxale que la phrase écrite à la page 17 est vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Quatrième version Appelons ‘Sophie’ la phrase ‘Sophie n’est pas vraie’. Alors, Sophie est vraie ssi Sophie n’est pas vraie. La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Cinquième version (« Card paradox » de Philip Jourdain) On lit sur les deux faces d’une feuille de papier les inscriptions suivantes : –Recto– La phrase écrite au verso n’est pas vraie. –Verso– La phrase écrite au recto est vraie. 7
  • 10.
    4-Le paradoxe deRichard Je vais définir un ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble , à l'aide des considérations suivantes: Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis à la suite les arrangements trois à trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements avec répétition. Quel que soit l’entier , tout arrangement des vingt-six lettres à se trouvera dans ce tableau, et, comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le mode de formation. La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des définitions de nombres. Soit le premier nombre défini par un arrangement, le second, le troisième, etc. On a ainsi, rangé dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l'aide d'un nombre fini de mots. Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un ensemble dénombrable. Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet ensemble. ((Soit , la è décimale du è nombre de l'ensemble ; formons un nombre ayant zéro pour partie entière et pour è décimale , si n'est égale ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le cas contraire.)) Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble . S'il était le è nombre de l'ensemble , son è chiffre serait le è chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas. Je nomme le groupe de lettres entre guillemets. Le nombre est défini par les mots du groupe , c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas. Telle est la contradiction. Notons, tout d'abord un fait généralement négligé, qui est que J. Richard oublie l'espace pour construire ses phrases. Les générations de lecteurs auront corrigé par eux-mêmes, ou, plus certainement, ce problème leur a paru tellement évident, une fois posé, que le texte proprement dit ne servait que d'étincelle, son détail concret importait peu et seul comptait le schéma général. Le procédé de démonstration, découvert par Cantor au siècle dernier, est nommé « diagonalisation » ou procédé diagonal. J. Richard poursuit son exposé en disant que cette contradiction n'est qu'apparente : dans la mesure ou le groupe n'a pas de sens avant que soit défini, il devrait donc, selon lui, être biffé. Nous reviendrons sur ce type de solution 8
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    Soit une propriétés'appliquant à des mots et soit le nom de cette propriété dans le langage . Nous définissons alors « hétérologique dans » de la façon suivante: (1) Définition.: est hétérologique dans si et seulement si n'a pas la propriété dans . Ainsi le mot français « monosyllabique, » par exemple, a quatre syllabes et donc n'est pas monosyllabique. Donc « monosyllabique, » en français, est hétérologique. Par contre, le mot « français » est lui-même français et donc n'est pas hétérologique en français. En vertu de cette définition la propriété nominale présumée a reçu le nom « hétérologique » en français. Cependant, pour éviter toute confusion entre le nom et le concept, je désignerai le mot « hétérologique » par la lettre . Substituons maintenant à dans la définition (1) ci- dessus la propriété d'hétérologie elle-même. Alors nous devons substituer à n et nous obtenons: (2) est hétérologique en français si et seulement si n'est pas hétérologique en français. C'est une contradiction manifeste. Théorème (Théorème de Löwenheim-Skolem) Si une théorie a un modèle, alors elle a un modèle (dont l’univers est) fini ou dénombrable. Démonstration Si une théorie a un modèle, elle est consistante, par le théorème de validité. Il suffit alors de remarquer que le modèle invoqué dans la démonstration du théorème de Henkin a pour univers un ensemble de termes et est donc fini ou dénombrable. 7-Le paradoxe de Skolem. D’après ce théorème, aucune théorie consistante ne peut contraindre ses modèles à être plus que dénombrables. Cependant il existe des théories consistantes qui disent que l’univers est infini non dénombrable. Donc, par le théorème de Löwenheim-Skolem, ces théories du non dénombrable ont un modèle dénombrable. Ce paradoxe a été extrait de son contexte logico-mathématique par Hilary Putnam (dans Models and Reality), qui — sous la forme des cerveaux dans une cuve (dans Reason, Truth and History) — en a fait l’argument majeur en faveur de son réalisme interne. Théorème (Théorème de compacité) Si toute partie finie d’une théorie a un modèle, alors elle a également un modèle. Démonstration En raison du théorème de Henkin, il suffit de montrer que la théorie est consistante, si toute partie finie est consistante. Cela est évident, par la définition de consistance 9 5-Le paradoxe de Grelling
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    Constituants de lalogique des propositions A. Le Langage Un langage propositionnel est défini par : Définition : un alphabet : un ensemble de symboles des propositions Définition : (Négation) Enoncé non Notation : . 0 1 1 0 Définition : (Conjonction) Enoncé et Notation : 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ours : ------------------------------------------------------------------------------------C Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 Logique propositionnelle 10
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    Définition : (Disjonction)Enoncé ou Notation : 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Définition : (Implication) Enoncé implique , Notation : est vrai signifie qu’il est exclu que soit vrai sans que ne le soit. 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Définition : (Equivalence) Enoncé Equivalant (ou bien si et seulement si) , Notation : est vrai signifie est vrai. 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 11
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    . ¬0 estéquivalente à 1 . ¬1 est équivalente à 0 . Les lois de Morgan : – ¬(p^q) est équivalente à ¬p˅¬q – ¬(p˅q) est équivalente à ¬p^¬q 7. 0 et l’élément absorbant de la conjonction : 0^p est équivalente à 0 8. 1 est l’élément absorbant de la disjonction : 1˅p est équivalente à 1 9. idempotence de la disjonction : p˅p est équivalente à p 10. idempotence de la conjonction : p^p est équivalente à p Notion de modèle: Terminologie : à partir de ces deux notions on pourra déduire les types des formules:  Frmule Satisfaisable ou Contingente : formule vraie pour au moins une valuation (c.à.d. Elle au moins un modèle).  Formule Insatisfaisable ou Contradiction : formule fausse pour toute valuation (c.à.d. qui n’a pas de modèle).  Tautologie : formule vraie pour toute valuation. On note |= ϕ pour dire que ϕ est une tautologie. Examinez la table suivante : p q (p q) ¬q (p ^ ¬q) (p→q)^ (p ^ ¬q) (q ˅¬q) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 12 Modèle On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule est vraie. Par exemple h= faux= vrai= fauxi est un modèle de (→ (∧ )).est une formule consistante. prédicats
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    On remarque quela formule « (q ˅ ¬q) » est vraie dans toutes les situations. De telles formules, qui vont elles aussi être utilisées pour les démonstrations, sont appelées des tautologies. De même, il existe des formules fausses dans toute situation, qu’on appellera contradictions (la formule « (p→q)^ (p ^ ¬q) »).  Les formules, dont la valeur de vérité dépend de la situation qui ne sont ni des tautologies ni des contradictions, seront dites contingentes. Selon notre exemple, on peut noter : |= (q ˅ ¬q). Pour l'abréviation, on nomme la formule (q ˅ ¬q) par et on écrit |= φ . Manipulation de formules table de vérité bien que pouvant être syntaxiquement différentes. Définition : Les formules ϕ et ψ sont équivalentes noté ψ ≡ ϕ ssi Mod(ψ) = Mod(ψ). ϕ. Informellement, deux propositions logiques A et B sont équivalentes logiquement ssi elles ont la même valeur de vérité pour toute valuattion. Exemple : ˅q) Remarque : Remplacer une sous-formule ψ d’une formule ϕ par une formule équivalente ψ′ donne une formule notée ϕ[ψ ← ψ′]. Cette substitution préserve les modèles, i.e. Mod(ϕ) = Mod(ϕ[ψ ← ψ′]). p (p p) p ￢p ˅ q 13 Les formules équivalentes sont des formules indistinguables par la sémantique, i.e. elles ont la même ￢￢p p ￢(p ˅ ￢p ˄ ￢q ￢(p ˄ ￢p ˅ ￢q p ˅ (q ˄ p ˅ q) ˄ (p ˅ r) (p ˅ q) ˄ r ˄ r ) ˅ (q ˄ r ) p → q ≡ ￢p ˅ q q devient q)^ (q q devient q) q) r) ( (p |= ¬(¬p ^ ¬q) (p La définition équivaut à |= ψ • • • • • • • •
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    érie 1 :Logique propositionnelle ------------------------------------------------------------------------------------S Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 Questions 2- Démontrer, sans tables de vérité ⇔ (p ⇔ q) ≡ q Soit V la constante "vrai" et F la constante "faux", vérifier également (sans tables de vérité) ⇒ F ≡ ¬p • V ⇒ p ≡ p Exercice 2 Exercice Exercice Soit la formule P dénie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ∨ ¬p). 1. Donner la table de vérité de la formule P. 2. Dire si la formule est valide, satisable, insatisable ? 3. La formule P a-t-elle un modèle ? si oui lequel ? 4. Donner la forme normale conjonctive et la forme normale disjonctive de la formule P. Donné le table de vérité de Montrer que 1. est une tautologie Exercice 1 3. 4. , que : p Enigme. Trois collègues, Ahmed, Ali et Mostafa déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Les affirmations suivantes sont vraies: 1. Si Ahmed commande un dessert, Ali en commande un aussi. 2. Chaque jour, soit Ali, soit Mostafa, mais pas les deux, commandent un dessert. 3. Ahmed ou Mostafa, ou les deux, commandent chaque jour un dessert. 4. Si Mostafa commande un dessert, Ahmed fait de même. 1. Exprimer les données du problème comme des formules propositionnelles 2. Que peut-on en déduire sur qui commande un dessert? 3. Pouvait-on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre affirmations? • p 14
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    1. Introduction :limite de la logique des propositions L’une des limites les plus importantes de la logique des propositions est qu’elle ne peut pas analyser certaines propositions. Dans l'exemple 1 la logique des propositions permet de voir la première proposition comme formée au moyen de plusieurs propositions. Par contre dans l'exemple 2, il y a quatre propositions qui sont toutes différentes Exemple 1 : Si Mohammed est malade, il ne sort pas P--¬Q Mohammed est malade P ------------------------ ---------- Mohammed ne sort pas ¬Q Si un homme est malade, il ne sort pas P--¬Q Mohammed est malade R ------------------------ --------- Mohammed ne sort pas ¬Q' La logique des prédicats vient pour pallier ces limites. 2 Structure Pour écrire un énoncé en logique du premier ordre, nous allons utiliser un ensemble de symboles plus riche qu’en logique des propositions. On se donne : – un ensemble (dénombrable) de constantes {a, b, c, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de variables {x, y, z, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de fonctions {f, g, h, . . .} ; – un ensemble (dénombrable) de prédicats, ou relations {P, Q, . . .} ; – des connecteurs logiques, {¬, ∧, ∨, →, . . .}, ainsi que les parenthèses ‘(’ et ‘)’ ; – les quantificateurs universel ∀ et existentiel ∃ (voir plus loin). Matière : Logique mathématique Responsable : Mr Djeddi kamel 2ième année Maths 2014/2015 ours: C------------------------------------------------------------------------------------ prédicatsLogique d'orde 1 et des Exemple 2 : 15
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    2.1.Termes Un terme estune expression logique qui renvoie à un objet. Les cons- tantes, comme «Mostafa» ou « sociologie », ainsi que les variables, sont des termes. Un terme composé est construit à l’aide d’une fonction, par exemple « père(Mostafa) » ou « cours(IA) ». 2..2 Formules Une formule en logique des prédicats se construit similairement à une formule en logique des propositions. En fait un prédicat va jouer un rôle analogue à une proposition. On doit en plus prendre en compte les quanti- fications : 1. P(x1, . . . , xn) est une formule atomique ; 2. t1 = t2 est une formule atomique4 ; 3. si F est une formule, alors ¬F est une formule ; 4. si F et G sont des formules, alors (F ∧G), (F ∨G), (F → G) , etc. sont des formules ; 5. si F est une formule et x une variable, alors ∀x.F et ∃x.F sont des formules. Exemple 3 : propositionnel pour représenter Mohammed Est Ami De Ahme une relation qui porte sur deux arguments · ami s'appelle un prédicat · x et y sont des variables. quelconques x et y, ce que l’on note ami(x, y). Prédicats Considérons tout d’abord des phrases qui ont clairement une structure sujet/prédicat Omar est un homme Socrate est mortel. H(O) . M(s) Si on met que H désigne être un homme et O =omar · · Quantificateurs t s'écrire x E(x), mais aussi rien n’est mortel,Par exemple tout est mortel, qui pourrai qu’on pourrait écrire x ¬E(x). Un autre quantificateur qu’on appelle quantificateur existentiel. On le note $, représenter assez naturellement une phrase comme il a des choses mortels : $ x E(x) “Il existe x tel que E(x)”. ,(FÛ G) et il permet de 16
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    Liens entre ∀et ∃ On a les lois de Morgan pour les quantificateurs : ¬∀x.F ≡ ∃x.¬F ¬∃x.F ≡ ∀x.¬F ∀x.F ≡ ¬∃x.¬F ∃x.F ≡ ¬∀x.¬F Remarque On traduit couramment certaines expressions en logique du premier ordre : – « Tous les A sont B. » : ∀x.(A(x) → B(x)) – « Seuls les A sont B. » : ∀x.(B(x) → A(x)) – « Aucun A n’est B. » : ∀x.(A(x) → ¬B(x)) – « Quelques A sont B. » : ∃x.(A(x) ∧ B(x)) Carr´e d’Aristote (1) L’introduction d’un quantificateur permet d’exprimer diverses propositions que nous appellerons quantifi´ees. Par exemple tout est ´eph´em`ere, qui pourrait s’´ecrire ∀xE(x), mais aussi rien n’est ´eph´em`ere, qu’on pourrait ´ecrire ∀x¬E(x). La tradition fr´eg´eenne introduit un second quantificateur, qui n’est pas `a proprement parler indispensable (il est d´efinissable au moyen de l’universel), qu’on appelle quantifica- teur existentiel. On le note ∃, et il permet de repr´esenter assez naturellement une phrase comme il a des choses ´eph´em`eres : ∃xE(x) “Il existe x tel que E(x)”. La relation entre les deux quantificateurs est assez facile `a voir si on consid`ere, par exemple, que rien n’est ´eph´em`ere (∀x¬E(x)) peut aussi se dire il n’existe pas de chose ´eph´em`ere (¬∃xE(x)). Cette ´equivalence est souvent illustr´ee sous la forme du fameux carr´e d’opposition (qui remonte `a Aristote), qui permet de faire apparaˆıtre clairement les interpr´etations des quantificateurs (cf. figure.1). Tout est ´eph´em`ere ∀xE(x) ¬∃x¬E(x) Rien n’est ´eph´em`ere ∀x¬E(x) ¬∃xE(x) Certaines choses sont ´eph´em`eres ∃xE(x) ¬∀x¬E(x) Certaines choses ne sont pas ´eph´em`eres ∃x¬E(x) ¬∀xE(x)                             d d d d d d d d d d d d d dd E E contradictoire contradictoire contraire subcontraire subalterne subalterne Fig. Ce carr´e d’opposition, tr`es utile pour repr´esenter de fa¸con synth´etique l’interpr´etation .1 – Carr´e d’Aristote, quantification non restreinte 17
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    Carr´e d’Aristote (2)On peut proposer maintenant une nouvelle version du carr´e d’Aristote, avec des phrases quantificationnelles dans lesquels on distingue une restriction et une port´ee : voir figure.2. Tous les profs sont gentils ∀x(P (x) → G(x)) ¬∃x(P (x) ∧ ¬G(x)) Aucun prof n’est gentil ∀x(P (x) → ¬G(x)) ¬∃x(P (x) ∧ G(x)) Certains profs sont gentils ∃x(P (x) ∧ G(x)) ¬∀x(P (x) ∧ ¬G(x)) Il y a des profs pas gentils ∃x(P (x) ∧ ¬G(x)) ¬∀x(P (x) ∧ G(x))                             d d d d d d d d d d d d d dd E E contradictoire contradictoire contraire subcontraire subalterne subalterne Fig. .2 – Carr´e d’Aristote, quantification restreinte Le rapport entre les formules universelles et existentielles quand elles sont quantifi´ees peut maintenant ˆetre ´etudi´e. D´efinition 1 (i) Si A est un nom de pr´edicat du vocabulaire de L, et chacun des t1...tn une constante ou une variable du vocabulaire de L, alors A(t1, ..., tn) est une formule. (ii) Si ϕ est une formule dans L, alors ¬ϕ l’est aussi. (iii) Si ϕ et ψ sont des formules dans L, alors (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), et (ϕ ↔ ψ) sont des formules de L. (iv) Si ϕ est une formule et x une variable, alors ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules de L. (v) Rien d’autre n’est une formule On peut, comme pr´ec´edemment, (1) laisser tomber les parenth`eses externes, (2) d´ecom- poser une formule de mani`ere unique en un arbre, toutes les sous-formules d’une formule apparaissant dans l’arbre. D´efinition 2 Si ∀xψ est une sous-formule de ϕ, alors ψ est appel´e la port´ee de cette occurrence du quantificateur ∀x dans ϕ. Mˆeme d´efinition pour ∃x. Exemple : ∃y(∀z(∃wA(z, w) → A(y, z)) ∧ A(x, y)) Il faut distinguer les diff´erentes occur- rences d’un quantificateur : (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)). Portée d'un quantificateur Dans les formules (x A) et ($x A), A est appelé la portée du quantificateur. 18
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    D´efinition 3 (a) Uneoccurrence d’une variable x dans la formule φ (qui n’est pas une partie d’un quantificateur) est dite libre si cette occurrence de x ne tombe pas dans la port´ee d’un quantificateur ∀x ou ∃x apparaissant dans φ. (b) Si ∀xψ (ou ∃xψ) est une sous-formule de φ et x est libre dans ψ, alors cette occurrence de x est dite li´ee par le quantificateur ∀x (ou ∃x). Cons´equence : toute variable est soit libre, soit li´ee par un quantificateur (et un seul). Noter que dans ∀x(A(x) ∧ ∃xB(x)) les deux occurrences de x ficateurs diff´erents. Pour ´eviter les confusions, on renommera les variables (muettes). Noter aussi que dans ∀xA(y), le quantificateur ne lie aucune variable. Une phrase est une formule sans variable libre. ∀xA(y) n’est pas une phrase, par exemple. Une formule avec des variables libres est appel´ee fonction propositionnelle : P(x) → G(x) est une fonction de l’ensemble des constantes vers les propositions. Notation : [j/x](P(x) → G(x)) a les mˆemes conditions de v´erit´es que P(j) → G(j) (N.B. : on ne remplace que les occurrences libres : [c/x](∀xA(x, x)) reste inchang´e). Une occurrence d'une variable est libre si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur. Sinon elle est liée. Exemples : Dans y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) la première occurrence de x est libre, tandis que la deuxième occurrence est liée. L'occurrence de y est liée. · Formule fermée, formule ouverte Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est ouverte. Exemples : La formule A = y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est ouverte, car il y a une occurrence de variable libre. La formule B = x y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est fermée (c'est la fermeture universelle de A). La formule $x $y ((p(x) v $x p(x)) q(y)) est également fermée (c'est la fermeture existentielle de A). D´efinition 4 19
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    La formule sousforme prénexe est équivalente logiquement à la formule initiale. Les formules suivantes sont en forme prénexe : Ø (x F) º ($x (ØF)) et Ø ($x F) º (x (ØF)) Pour se faire, on emploie les équivalences suivantes : · Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification existentielle sur la disjonction :Pour toutes formules F et G et pour toute variable x, on a : · ((x F) Ù (x G)) º (x(F Ù G)) · (($x F) Ú ($x G)) º ($x (F Ú G)) · considérons x une variable qui n’apparaisse pas dans G, nous avons les équivalence suivantes: · ((x F) Ù G) º (x(F Ù G)) · (($x F) Ù G) º ($x (F Ù G)) · ((x F) Ú G) º (x(F Ú G)) · (($x F) Ú G) º ($x (F Ú G)) · ((x F) à G) º($x(F à G)) · (($x F) - G) º (x (F à G)) · (G à (x F)) º (x (G à F)) · (G à ($x F)) º ($x (G à F)) Exemple: ((x($y F(x,y))) ) ®(x($y G(x,y)))) devient successivement: 20